精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市平罗县平罗中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

平罗中学2025-2026学年度第一学期第三次月考试卷 高一数学 满分：150分 考试时长：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 快到2026年元旦假期了，是（ ）角 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用终边相同角的集合来分析即可判断. 【详解】因为，而是第三象限角， 所以是第三象限角， 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集概念求出答案. 【详解】. 故选：A 3. 函数的零点所在的区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析函数的单调性，再利用零点存在定理分析判断选项． 【详解】在上单调递增，在内单调递增， 在定义域上单调递增， ，， 根据零点存在定理可知，存在使得，故A正确； ，函数在定义域上单调递增， ，故BCD错误． 故选：A． 4. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的性质分析出、、的取值范围，比较大小即可. 【详解】指数函数在上单调递减，因为， 所以，即； 对数函数在上单调递减，因为， 所以，即， 指数函数在上单调递增，因为，所以，即. 综上，. 故选：D. 5. 下列结论中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】C 【解析】 【分析】选项根据指数运算的公式即可判断；选项根据平方根的定义即可判断；选项根据指数，利用完全平方公式即可计算出结果；选项根据平方开根号必须加绝对值，再利用正负取绝对值即可判断. 【详解】对于：利用指数运算的公式：，则，故错误； 对于：，，故错误； 对于：，所以 ，化简得，所以，故正确； 对于：因为，所以，故错误. 故选：. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据函数在时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数，令，解得且， 所以的定义域为， 又， 所以为奇函数，则函数图像关于原点对称，故排除B、D； 当时，，，，所以，故排除C. 故选：A 7. 函数的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，得到的对称中心为再判断选项即可． 【详解】的对称中心为， 令，解得， 所以的对称中心为， 时，的一个对称中心为，其他都不符合． 故选：A． 8. 已知函数（且）的图像过定点，且角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简所要求的式子，又由于，所以过定点，进一步结合题意可以求出与有关的三角函数值，最终代入求值即可. 【详解】 又因为，，， 故原式=;又过定点,所以，代入原式得原式=. 故选：. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 已知，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式性质判断，或取特值验证即可． 【详解】由不等式的性质可知，若，则，故A正确； 若，当时有，故B错误； 若，满足，但是，故C错误； 由不等式的性质可知，若，则，故D正确． 故选：AD. 10. 关于函数，正确的是（ ） A. 直线是的一条对称轴 B. 点是的图象的一个对称中心 C. 在区间上单调递增 D. 若方程在区间上有两个不等实根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三角函数的对称轴和对称中心的定义求得函数对称轴和对称中心，判断AB选项；由求得范围，然后得到函数单调性，判断C选项，由求得范围，由函数图象得到结论，判断D选项. 【详解】令，则，∴直线是的一条对称轴，A选项正确； 令，则，∴点是的图象的一个对称中心，B选项正确； 当时，，函数单调递减，C选项错误； 当时，，函数图象如下， 由题意可知，D选项正确； 故选：ABD. 11. 已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列正确的有（ ） A. B. 为函数图象的一条对称轴 C. D. 函数在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据为奇函数，得到关于中心对称，；B选项，根据为偶函数，得到关于轴对称，B正确；C选项，分析得到的一个周期为4，故，C错误；D选项，先得到在上单调递增，又关于轴对称，故函数在上单调递减. 【详解】A选项，为奇函数，故，故关于中心对称， 故，A正确； B选项，为偶函数，故，故关于轴对称，B正确； C选项，由A知，，故， 即， 又，故， 所以，故， 故的一个周期为4，故，C错误； D选项，在上单调递增，关于中心对称， 故在上单调递增， 又，故在上单调递增， 又关于轴对称，故函数在上单调递减，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则______. 【答案】81 【解析】 【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（9）的值 【详解】解：∵幂函数f（x）＝xα图象过点， ∴f（）2，解得α＝2， ∴f（x）＝x2， ∴f（9）＝92＝81． 故答案为：81． 【点睛】本题考查幂函数表达式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运用． 13. 已知，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】在代数式上除以，再利用弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则 . 故答案为：. 14. 已知函数，若存在，使，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先说明函数的单调性，即可画出函数图象，数形结合可得，，即可得解. 【详解】因为， 当时，，所以在上单调递减， 令，解得，； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以的图象如图所示， 因为存在，使，令， 则， 由图可得，关于点对称，， 所以，则， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，并且是第二象限的角. （1）求和的值； （2）求. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式，求解； （2）上下同时除以，化简求值. 【详解】（1）是第二象限角，， 可得， ， ，. （2）原式上、下同时除以得， . 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期; （2）求函数的单调增区间； （3）求函数在区间上的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的最小正周期公式来求解. （2）利用正弦函数的单调性，通过解不等式来确定单调区间. （3）先确定自变量的取值范围，再根据正弦函数的值域来求解的值域. 【小问1详解】 函数的最小正周期为； 【小问2详解】 令，得, 所以函数的单调递增区间为. 【小问3详解】 因为，所以， 所以当时，即，取得最小值； 当时，即，取得最大值1. 所以在区间上的值域为. 17. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）奇函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数的真数大于零列不等式求解即可； （2）根据函数奇偶性定义即可求解； （3）根据对数函数的单调性及定义域即可求解． 【小问1详解】 由题意得且， 解得，所以函数定义域为． 【小问2详解】 因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数． 【小问3详解】 ，则， 则且， 解得． 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）减函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【小问1详解】 因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴， 则，由， 则当时，原函数为奇函数． 【小问2详解】 由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减函数． 【小问3详解】 因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 19. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． （2）根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 【答案】（1）选模型②，理由见解析，解析式为 （2）（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【解析】 【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． 【小问1详解】 由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； 【小问2详解】 （i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2025-2026学年度第一学期第三次月考试卷 高一数学 满分：150分 考试时长：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 快到2026年元旦假期了，是（ ）角 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间可以是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 下列结论中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（且）的图像过定点，且角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，那么 D. 已知，则 10. 关于函数，正确的是（ ） A. 直线是的一条对称轴 B. 点是的图象的一个对称中心 C. 在区间上单调递增 D. 若方程在区间上有两个不等实根，则 11. 已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列正确的有（ ） A. B. 为函数图象的一条对称轴 C. D. 函数在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则______. 13. 已知，则___________. 14. 已知函数，若存在，使，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，并且是第二象限的角. （1）求和的值； （2）求. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期; （2）求函数的单调增区间； （3）求函数在区间上的值域. 17. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）判断的奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数的取值范围． 18. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 19. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． （2）根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $