期末复习05一元二次方程实际应用期末冲刺讲义(核心考点+常考题型精析+分层强化)2025-2026学年北师大版九年级数学上册

该初中数学讲义以一元二次方程实际应用为核心，通过表格梳理11大题型（传播、增长率、图形面积等）的核心公式与等量关系，用解题步骤框架图呈现“审设列解检答”流程，清晰呈现各题型内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“模型建构-典例解析-分层专练”设计，如增长率问题用公式b=a(1+x)ⁿ解决芯片产量增长问题，培养抽象能力与模型意识。跟踪专练分基础与提升题，助力不同学生掌握，教师可据此实施精准教学，提升学生用数学思维解决实际问题的能力。

期末复习05一元二次方程实际应用期末冲刺讲义 开篇寄语：一元二次方程不仅是课本上的公式与计算，更是解决实际问题的“数学利器”——从增长率预测到图形面积求解，从利润最值分析到行程规划，它藏在生活的每一个角落。今天，我们就带着“解题寻宝”的心态，攻克这一期末核心考点！ 1.知识目标：熟练掌握一元二次方程在增长率、利润、图形面积、行程与程问题中的应用模型，牢记核心公式与数量关系，能快速识别题型对应解题方法。 2.能力目标：提升从实际问题中提取等量关系、构建一元二次方程的能力，掌握方程求解、根的合理性检验技巧，能灵活应对分层题型，突破利润最值等难点。 3.素养目标：养成“审题—设元—列式—求解—检验—作答”的规范解题习惯，规避常见易错点，增强用数学知识解决生活实际问题的意识与信心，为期末备考筑牢基础。 1.一元二次方程应用:传播问题 2.一元二次方程应用:增长率问题 3.一元二次方程应用:与图形有关的问题 4.一元二次方程应用:数字问题 5.一元二次方程应用:营销问题 6.一元二次方程应用:动态几何问题 7.一元二次方程应用:工程问题 8一元二次方程应用:行程问题 9.一元二次方程应用:图表信息问题 10.一元二次方程应用:其他问题 11.一元二次方程应用:握手 循环赛问题 1.审：认真审题，找出已知量、未知量以及它们之间的等量关系。这是最关键的一步。 2.设：根据题意，设出未知数。可以直接设要求的量，也可以间接设一个与问题相关的量。 3.列：根据找到的等量关系，列出一元二次方程。 4.解：解方程，求出未知数的值。 5.检：检验解的合理性。 数学检验：将解代入原方程，看等式是否成立。 实际检验：检查解是否符合实际问题的意义。例如，长度、时间、人数等不能为负数。 6.答：写出完整的答案。 题型1.一元一次方程应用之传播问题 核心模型：这类问题描述的是一个事物（如病毒、信息、谣言、邮件等）如何从一个个体传播到多个个体，然后这些新的个体再继续传播。 关键假设： 每个已被感染（或掌握信息）的个体，在每一轮传播中，都能成功地将信息传播给 x 个新的个体。 已被感染的个体不会被重复感染，也不会康复或失去传播能力。 核心公式： *设初始有 a 个传染源。 *每一轮每个传染源传染 x 个人。 *经过 n 轮传播后，总感染人数 b 为：b = a(1 + x)^n 【典例】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过第三轮传染一共有多少人感染？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7人 (2)经过第三轮传染一共有512人感染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 根据题意列式计算即可． 【详解】（1）每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）根据题意得：人， 答：经过第三轮传染一共有512人感染． 【跟踪专练1】学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 【跟踪专练2】化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值是． .核心公式(必记) 所有增长率/下降率问题均基于此模型，直接套用即可。 1. 增长模型：b = a(1 + x)ⁿ 2. 下降模型：b = a(1 - x)ⁿ 字母含义（精准对应，不混淆）： a：初始量（变化前的基础数值，如年初产量、期初人口） x：平均每期增长率/下降率（百分数转小数，例：30% = 0.3，不可直接用百分数计算） n：变化次数（周期数，如年数、月数，需与x的周期对应） b：最终量（经过n次变化后的结果数值，如年末产量、期末人口） 【典例】芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业．芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个．解决下列问题： (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； (2)按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个，请通过计算说明该目标能否实现？ 【答案】(1) (2)该目标不能实现 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二、三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的芯片生产量第一季度的芯片生产量第二、三季度生产量的平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）利用第四季度的芯片生产量第三季度的芯片生产量第二、三季度生产量的平均增长率），可求出第四季度的芯片生产量，再将其与175万个比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设第二、三季度生产量的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：第二、三季度生产量的平均增长率为； （2）解：该目标不能实现，理由如下： 按照（1）中的平均增长率，该公司第四季度的芯片生产量为（万个）， ∵， ∴该目标不能实现． 【跟踪专练1】随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)21万元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意易得，进而求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 【跟踪专练2】某实验室进行溶液稀释实验，现有浓度为的盐水溶液，总质量为100克．实验要求：先倒出部分盐水，再加入相同质量的清水，再重复该操作一次后（每次倒出盐水的质量相同），测得新的盐水浓度为．求每次倒出盐水的质量． 【答案】 30克 【分析】本题考查溶液浓度问题，解题的关键在于根据每次倒出盐水并加入清水后溶液浓度的变化规律来建立方程求解． 设每次倒出盐水质量为克，根据两次操作后剩余盐的质量关系列出方程，解二次方程并舍去不合理根． 【详解】解：初始盐的质量为克， 第一次操作：倒出克盐水，倒出盐克，剩余盐克， 加入清水后总质量100克，浓度， 第二次操作：倒出克盐水，倒出盐克，剩余盐克， 加入清水后总质量100克，浓度， ，可得， ， 或， ∵，∴， 答：每次倒出盐水的质量为30克． 题型3.一元二次方程应用之与图形有关的问题 核心公式及等量关系(必记) 矩形：面积 = 长 × 宽；周长 = 2×（长 + 宽）（边框/小路问题核心用面积公式）。 正方形：面积 = 边长²；周长 = 4×边长（边长变化、拼接分割问题常用）。 三角形：面积 = （底 × 高）÷ 2（多通过底、高的数量关系列方程）。 梯形：面积 = （上底 + 下底）× 高 ÷ 2（重点用未知数表示上底、下底、高的关联）。 立体拼接/分割（无盖长方体）：容积 = 长 × 宽 × 高（由平面图形折叠而成，长、宽需结合剪切长度计算）。 特殊场景等量关系：① 靠墙围矩形：篱笆总长 = 平行于墙的边长 + 2×垂直于墙的边长（或反之）；② 拼接/分割：总面积/总周长不变（或满足题干给定比例）。 【典例】《千里江山图》是青绿山水画中的一幅巨制杰作，由我国北宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为原来的2倍．求该画四周装裱上的边衬的宽度． 【答案】该画四周装裱上的边衬的宽度为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．设四周装裱上的边衬的宽度为，根据装裱后整幅画的面积为原来的2倍，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设四周装裱上的边衬的宽度为，根据题意得： ， 解得，， ∵， ∴， 答：该画四周装裱上的边衬的宽度为． 【跟踪专练1】在某学校的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场（如图所示），养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门． (1)设为x米，请用含x的式子表示为________． (2)若养鸡场的面积是160平方米，求养鸡场的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)8米 【分析】本题主要考查了列代数式和一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由长方形的性质可得，而的长等于用去的板材的总长减去3个的长度，再加上2个门的宽度，据此列式求解即可； （2）根据长方形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，米； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，，即米， 答：养鸡场的宽为8米． 【跟踪专练2】学校项目实验小组有一块矩形试验田如图所示，、，为了管理方便，现要在试验田中间开辟一横两纵共三条等宽的管理通道，使种植区（图中阴影部分）总面积为． (1)求管理通道的宽； (2)实验小组计划将该试验田收获的作物进行义卖，所得款项用于公益．去年作物总产量为千克，义卖售价为8元/千克，所有作物全部售出．今年，通过改进种植技术使作物产量大幅提升，与去年相比，若每千克作物的售价每降低元，总销量可增加千克． ①若今年义卖售价定为元/千克，则作物的总销量为________千克，义卖总收入为________元． ②若今年义卖总收入预计为元，为尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为________元/千克． 【答案】(1)2米 (2)①，；② 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及销售问题中的数量关系．理解题意列出正确的数量关系是解题关键． （1）通过设通道宽，利用平移种植区的方法，得到种植区对应的矩形长和宽的代数式，再根据矩形面积公式列出一元二次方程，求解并检验得到通道宽度． （2）①先计算出售价降低的幅度，再根据“每降低元，总销量增加千克”求出销量增加量，进而得到总销量，最后根据“总收入售价销量”计算总收入即可． ②设售价为元/千克，先表示出销量随售价的变化量，再根据“总收入售价销量”列出一元二次方程，求解后结合“让购买者得到实惠”的条件选择合适的售价即可． 【详解】（1）解：设管理通道的宽为2米， 根据题意得， 解得，（不合题意，舍去） 答：管理通道的宽为米． （2）解：①千克， 元； ②设义卖售价应定为元/千克，售价降低了元， 增加的销量为千克， 总销量为千克， ， 解得，， 尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为元千克． 故答案为． 题型4.一元二次方程应用之数字问题 核心思路：掌握两位数、三位数的表示方法。 一个两位数，十位数字为 a，个位数字为 b，则这个数可表示为 10a + b。 一个三位数，百位、十位、个位数字分别为 a, b, c，则这个数可表示为 100a + 10b + c。 关键识别：题目涉及一个数的各位数字，或数字间的位置关系（如 “对调”）。 【典例】2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】5 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解日历表的中数与数的关系，正确列式求解是关键． 设这个最小数为，则最大数为，由此列方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 【跟踪专练1】如图为2025年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中矩形筐所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d． (1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果为： ； ； ； (2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ； (3)子怡说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．” 瑾萱说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确． 【答案】(1) (2)552 (3)两人的说法都正确，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）观察日历表，即可用含a的代数式表示出b，c，d； （2）观察日历表，可找出a的最大值，将其代入中，即可求出结论； （3）两人说法都正确，根据的值为135，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，可得出结论；根据为84，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：． 故答案为：； （2）观察日历表，可知：a的最大值为23， 的最大值为． 故答案为：552； （3）两人的说法都正确，理由如下： 子怡的说法正确，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 10月8日为周三，符合题意， 子怡的说法正确； 瑾萱的说法正确，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 10月6日为周一，符合题意， 瑾萱的说法正确． 【跟踪专练2】整体思想在解决数学问题中有重要作用． 例如: (1)为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为，求出； (2)现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，求出此数的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程的应用，根据题目的整体思想运用的方法通过设未知数建立方程是解题的关键． （1）根据题意，通过设未知数，建立一元一次方程，解方程即可得解； （2）利用整体思想，将连分数设为变量，整理可得一元二次方程，最后用配方法解方程，结合即可得解． 【详解】（1）解：设， 则， ， 移项得，， 解得，， （2）解：设， 每一个分母都与原数完全一样， ， 整理，得， 移项，得， 配方，得， 即． 由此可得， ，， ， 的值为． 题型5.一元二次方程应用之营销问题 核心公式及等量关系(必记) 基础公式1：单件利润 = 单件售价 - 单件进价（成本） 基础公式2：总利润 = 单件利润 × 销售量 关键关联：售价与销量成反向变化（涨价则销量减少，降价则销量增加），设“每涨/降x元，销量减/增y件”，用未知数表示销量。 最值关联：总利润表达式为二次函数，可通过顶点求最大利润（中考高频考点）。 【典例】列方程解应用题：某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为每件120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，在每件降价幅度不超过15元的情况下，若每天盈利1200元，则每件童装应降价多少元？ 【答案】每件童装应降价10元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题中的等量关系列方程，注意根据题意对求得的根进行取舍． 设每件童装降价x元，则平均每天可售出件，再写出单件利润的表达式，两者乘积为总利润，列出方程，解方程，根据题意对根进行取舍，即可求出答案． 【详解】解：设每件童装应降价元， 则， 解得：， 在每件降价幅度不超过15元的情况下， 不合题意，舍去， 答：每件童装应降价10元． 【跟踪专练1】小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫，已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， (1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 【答案】(1)1152元 (2)75元 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据降价后的每件利润和销售量计算总利润； （2）设降价x元，根据利润公式列方程求解，选择降价多的方案以优惠最大，再求销售价． 【详解】（1）解：降价8元，每件利润为（元）， 销售量为（件）， 利润为（元）， 答：降价8元，每天销售T恤衫的利润为1152元； （2）解：设每件T恤衫降价x元，则销售价为元， 每件利润为元， 销售量为件， 由题意得， 整理得， 解得， ∵优惠最大， ∴取， 销售价为（元）． 答：每件T恤衫的销售价应该定为75元． 【跟踪专练2】某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． (1)求、两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 【答案】(1)A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元 (2)A款水杯降低了6元 【分析】本题主要考查分式方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）先求出B款水杯的进价，九月份A款水杯销量，九月份B款水杯销量，设A款水杯降低了元，再根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元， 根据题意，可列出方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， B款水杯的售价为（元）， ∴A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元． （2）解：B款水杯的进价为（元）， 九月份A款水杯销量为（只）， 九月份B款水杯销量为（只）， 设A款水杯降低了元， 根据题意，可列出方程：， 解得，， 因为是降价促销，所以不符合题意，舍去， ∴A款水杯降低了6元． 题型6.一元二次方程应用之动态几何问题 核心公式与等量关系必记 动态问题仍基于基础几何公式，重点关注“变化量的表示”，核心关系如下： 运动基础：路程 = 速度 × 时间（设运动速度为v，时间为t，则移动距离为vt，用于表示边长变化）。 面积公式：同静态图形（矩形=长×宽、三角形=底×高÷2、梯形=（上底+下底）×高÷2），仅边长/高用含未知数的代数式表示。 关键等量：① 面积等量（某时刻面积等于定值）；② 边长等量（移动后线段相等、垂直或平行对应的长度关系）；③ 重叠/剩余面积等量（动态过程中重叠部分或剩余部分面积给定）。 【典例】如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间就可以表示出，，再用就可以求出的长； （2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，； （2）解：存在，理由如下： 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 存在的值，使得的面积等于，此时的值为1． 【跟踪专练1】如图，在中，，，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为． (1)当t为何值时，的面积是面积的？ (2)当t为何值时，的长为？ 【答案】(1)1 (2)或2 【分析】本题是与三角形有关的动点问题，考查了勾股定理，一元二次方程的意义，由题意得一元二次方程是关键． （1）由题意可求得、的长，从而可得关于t的一元二次方程，解方程即可； （2）根据勾股定理即可得到关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意知，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵的面积是面积的， ∴， ∴， 解得，（舍去）． ∴当为1时，的面积是面积的； （2）解：设秒后，的长度等于， 根据勾股定理，得，即， 整理得，， 解得，． ∴当为或2时，的长度等于． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、、设点、运动的时间为． (1)当___________时，四边形是矩形； (2)是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，沿着把翻折，当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【答案】(1)3 (2)不存在，理由见解析 (3)1或3 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （3）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形时， ， 解得：， 故当时，四边形为矩形； 故答案为：3； （2）解：不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （3）解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、折叠的性质等，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型7.一元二次方程应用之工程问题. 核心公式与等量关系(必记) 基础公式1：工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间（单人/单队效率） 基础公式2：总工作量 = 工作效率 × 工作时间（单人/合作完成的工作量） 核心设定：总工作量通常设为“1”，便于计算效率（如甲单独做需10天，效率为1/10）。 合作关系：① 合作效率 = 各主体效率之和；② 合作完成工作量 = 合作效率 × 合作时间；③ 分阶段工作：各阶段工作量之和 = 总工作量（1）。 高频关联：题干常给出“单独做时间”“合作时间”或“效率变化”（如甲效率比乙高、改进后效率提升），用未知数表示时间或效率列方程。 【典例】在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 【跟踪专练1】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 【跟踪专练2】“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 题型8.一元二次方程应用之行程问题 核心公式： 路程 = 速度 × 时间 关键识别：题目中出现 “相遇”、“追及”、“往返”、“水流”、“风速” 等词语。 常见类型： 相遇问题：总路程 = 甲的路程 + 乙的路程 追及问题：路程差 = 快者路程 - 慢者路程 流水行船问题： 顺水速度 = 船在静水中的速度 + 水流速度 逆水速度 = 船在静水中的速度 - 水流速度 【典例】在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 【跟踪专练1】一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)1 (2)共滚动了 (3)小球滚动用了2秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度等于速度变化÷小球运动速度变化的时间，掌握此关系式是关键． （1）从滚动到小球速度为平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用开始的速度与停止时的速度差除以时间等于速度平均每秒减小的量，即可求出小球从开始到停止滚动的时间，再利用求得小球从开始到停止滚动的距离； （3设小球滚动到时的时间为，根据得到方程，解方程即得到行驶时间． 【详解】（1）解：， 即小球的滚动速度平均每秒减少， 故答案为：1； （2）解：， ； 答：小球从开始到停止滚动时，共滚动了； （3）解：设小球滚动到时的时间为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：小球滚动用了2秒． 【跟踪专练2】如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(1)或小时； (2)上午时． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 题型9.一元二次方程应用之图表信息问题 核心公式与等量关系(必记) 图标解读核心：① 表格：锁定行/列对应量（如时间-产量、售价-销量），找变化规律；② 统计图：横轴/纵轴含义、刻度单位，数据峰值、变化趋势（递增/递减）。 模型衔接：图标信息多对应已学题型，需匹配对应公式： 图标含“时间-数量”递增/递减：用增长率/下降率公式（b=a(1±x)ⁿ）； 图标含“售价-销量-利润”：用营销问题公式（总利润=单件利润×销量）； 图标含“边长-面积”数据：用图形面积公式（矩形、三角形等）。 关键等量：图标中给出的“某两组数据对应关系”“总量/差值条件”，均为列方程的依据。 【典例】在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【答案】(1)见解析 (2)这5个数中最大数为29． 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）设最大数为为x，则最小数为，列出一元二次方程解答即可． 【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为，，，， ∴； （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大数为29． 【跟踪专练1】某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 【跟踪专练2】体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确，理由见解析 (2)①；②过重 【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性． （1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可； （2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得． 【详解】（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 题型10.一元二次方程应用之其他问题 浓度问题：溶质质量=溶液质量×浓度，稀释/混合后溶质总量不变，核心为“溶质守恒”。 配套问题：按比例配套（如1个部件配2个零件），总量需满足配套比例，避免过剩。 【典例】钢琴键盘中的数学密码：一架现代标准钢琴共有88个琴键，是为满足音乐作品的音域要求而设计的，其中黑键通常用于演奏升降音符，白键用于自然音符．已知黑键数和白键数的乘积是1872，求黑白键各多少个？ 【答案】黑键36个，白键52个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键；设黑键个，则白键个，根据等量关系：黑键数和白键数的乘积是1872，列出一元二次方程并求解即可． 【详解】解：设黑键个，则白键个， 由题意得：， 整理得：， 解得或52； 由于黑键比白键少，故x取36． 所以黑键36个，白键52个． 【跟踪专练1】嘉峪关文物景区位于甘肃省嘉峪关市，是首批国家级旅游景区，有“天下第一雄关”“中外巨防”“河西锁钥”“丝路咽喉”之称．“十一”假期间，为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准： 标准一：如果人数不超过20人，门票价格为110元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于90元/人． (1)若某单位组织22人去嘉峪关文物景区旅游，购买门票费用为_____元； (2)若某单位支付该景区门票费用共计2500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 【答案】(1)2332 (2)25名 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用单价原价超出20人的人数，可求出22人去旅游时门票的单价，再利用总价单价数量即可求出结论； （2）设该单位这次共有名员工去该景区旅游，由总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，即可解答． 【详解】（1）解：， 故购买门票费用为2332元． （2）解：设该单位有名员工去该景区旅游， ， 故， 则可列方程：， 整理得：， 解得：， 当时，， 当时，， 故舍去， 该单位共有25名员工去该景区旅游． 【跟踪专练2】如图，用同样规格黑白两色的正三角形瓷砖铺设等边三角形地面.请观察下列图形并解答有关问题： (1)在第5个图中，共有_______块白色瓷砖，共有______块黑色瓷砖； (2)按上述铺设方案，在第个图中，铺一块这样的地面共用了120块白色瓷砖，求此时的值； (3)若黑瓷砖每块6元，白瓷砖每块4元.在铺设中，是否存在采购黑瓷砖的费用比采购白瓷砖的费用多300元的情形？若存在，请计算说明是第几个图；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)15；10 (2)15 (3)存在，是第20个图，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，图形类规律探索问题，根据题中所给图形规律， 得出第个图中，白色瓷砖总数和黑色瓷砖总数是解题的关键； （1）根据前面3个图中的白色瓷砖和黑色瓷砖分布，类比推出第5个图中，白色瓷砖的总数和黑色瓷砖的总数； （2）根据（1）中得出的规律，在第个图中，铺一块这样的地面共有块白色瓷砖， 可列方程，即，解方程可得结果； （3）根据（1）中得出的规律，若在第个图中，则可列方程， 即，解方程可得结果． 【详解】（1）由图知，第1个图中共有1块白色瓷砖，0块黑色瓷砖； 第2个图中共有块白色瓷砖，1块黑色瓷砖； 第3个图中共有块白色瓷砖，块黑色瓷砖； …… 依次类推，第5个图中共有块白色瓷砖，块黑色瓷砖． 故答案为：15；10． （2）解：由（1）知，在第个图中，铺一块这样的地面共有块白色瓷砖， ， 即， 解方程得，，（舍去） 的值15． （3）解：存在，是第20个图，理由如下： 由（1）知，按上述铺设方案，在第个图中，共有块白色瓷砖，块黑色瓷砖， 由， 得， 整理得， 解得，（舍去） 在第20个图，采购黑瓷砖的费用比采购白瓷砖的费用多300元． 题型11.一元二次方程应用之握手.循环赛问题 核心公式与等量公式(必记) 基础公式：总互动次数 = n(n - 1) ÷ 2（n为参与个体数量，如人数、队伍数）。 公式推导：n个个体中，每个个体需与其余(n - 1)个个体互动，但A与B、B与A属于同一次互动，需除以2避免重复计数。 易混区分：单循环赛（每两队赛一场）、握手（每人握一次）适用此公式；双循环赛（每两队赛两场，主客场）总场次 = n(n - 1)，无除以2步骤。 核心等量：题干给出的总握手次数、总比赛场次，直接等于公式结果，以此列方程。 【典例】2024年是广东省男子篮球联赛举办的第8年，常规赛将采用分区分组巡回赛制（每两队之间进行一场比赛），某小组共进行了10场比赛，问该小组有多少支球队参赛？ 【答案】5 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，根据等量关系列出一元二次方程． 设该小组有n支球队，根据每两队之间进行一场比赛，可知共比赛了场，由此列一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设该小组有n支球队参赛 每两队之间进行一场比赛，则比赛总场数为 根据题意， 两边同时乘以2，得 即 因式分解，得 解得或（舍去） ∴该小组有5支球队参赛． 【跟踪专练1】淮畔青春，“足”够精彩．10月18日，2025年淮南市高校足球联赛在市奥体广场中心开幕，已知在小组赛阶段，所有队伍采用单循环赛制（每两队之间比赛一次），本次联赛计划安排55场比赛，请问共有多少支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛？ 【答案】共有11支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握握手、循环赛问题是解题的关键．设共有支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛，根据“所有参赛队伍采用单循环赛制（每两队之间比赛一次）已知联赛计划安排55场比赛”建立方程求解即可． 【详解】解：（1）设共有x支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛， 根据题意可得：， 整理得：，， 解得：或（舍）． 答：共有11支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛． 【跟踪专练2】（1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 【答案】（1）11支；（2）20件． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设应邀请支篮球队参加比赛，根据题意列方程求解即可； （2）由题意可知奖品数超过了10件，设购买的件数为，根据题意列方程求解，进而判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：设应邀请支篮球队参加比赛， 根据题意，可列方程： 整理得 解得或（舍去） 答：应邀请11支篮球队参加比赛； （2）解：， 奖品数超过了10件， 设购买的件数为，则每件商品的价格为：元，根据题意可得： 解得：， 当时，； 当时，，不合题意舍去； 答：王老师购买该奖品的件数为20件． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习05一元二次方程实际应用期末冲刺讲义 开篇寄语：一元二次方程不仅是课本上的公式与计算，更是解决实际问题的“数学利器”——从增长率预测到图形面积求解，从利润最值分析到行程规划，它藏在生活的每一个角落。今天，我们就带着“解题寻宝”的心态，攻克这一期末核心考点！ 1.知识目标：熟练掌握一元二次方程在增长率、利润、图形面积、行程与程问题中的应用模型，牢记核心公式与数量关系，能快速识别题型对应解题方法。 2.能力目标：提升从实际问题中提取等量关系、构建一元二次方程的能力，掌握方程求解、根的合理性检验技巧，能灵活应对分层题型，突破利润最值等难点。 3.素养目标：养成“审题—设元—列式—求解—检验—作答”的规范解题习惯，规避常见易错点，增强用数学知识解决生活实际问题的意识与信心，为期末备考筑牢基础。 1.一元二次方程应用:传播问题 2.一元二次方程应用:增长率问题 3.一元二次方程应用:与图形有关的问题 4.一元二次方程应用:数字问题 5.一元二次方程应用:营销问题 6.一元二次方程应用:动态几何问题 7.一元二次方程应用:工程问题 8一元二次方程应用:行程问题 9.一元二次方程应用:图表信息问题 10.一元二次方程应用:其他问题 11.一元二次方程应用:握手 循环赛问题 1.审：认真审题，找出已知量、未知量以及它们之间的等量关系。这是最关键的一步。 2.设：根据题意，设出未知数。可以直接设要求的量，也可以间接设一个与问题相关的量。 3.列：根据找到的等量关系，列出一元二次方程。 4.解：解方程，求出未知数的值。 5.检：检验解的合理性。 数学检验：将解代入原方程，看等式是否成立。 实际检验：检查解是否符合实际问题的意义。例如，长度、时间、人数等不能为负数。 6.答：写出完整的答案。 题型1.一元一次方程应用之传播问题 核心模型：这类问题描述的是一个事物（如病毒、信息、谣言、邮件等）如何从一个个体传播到多个个体，然后这些新的个体再继续传播。 关键假设： 每个已被感染（或掌握信息）的个体，在每一轮传播中，都能成功地将信息传播给 x 个新的个体。 已被感染的个体不会被重复感染，也不会康复或失去传播能力。 核心公式： *设初始有 a 个传染源。 *每一轮每个传染源传染 x 个人。 *经过 n 轮传播后，总感染人数 b 为：b = a(1 + x)^n 【典例】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)经过第三轮传染一共有多少人感染？ 【跟踪专练1】学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【跟踪专练2】化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． .核心公式(必记) 所有增长率/下降率问题均基于此模型，直接套用即可。 1. 增长模型：b = a(1 + x)ⁿ 2. 下降模型：b = a(1 - x)ⁿ 字母含义（精准对应，不混淆）： a：初始量（变化前的基础数值，如年初产量、期初人口） x：平均每期增长率/下降率（百分数转小数，例：30% = 0.3，不可直接用百分数计算） n：变化次数（周期数，如年数、月数，需与x的周期对应） b：最终量（经过n次变化后的结果数值，如年末产量、期末人口） 【典例】芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业．芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片100万个，第三季度生产芯片144万个．解决下列问题： (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； (2)按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到175万个，请通过计算说明该目标能否实现？ 【跟踪专练1】随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【跟踪专练2】某实验室进行溶液稀释实验，现有浓度为的盐水溶液，总质量为100克．实验要求：先倒出部分盐水，再加入相同质量的清水，再重复该操作一次后（每次倒出盐水的质量相同），测得新的盐水浓度为．求每次倒出盐水的质量． 题型3.一元二次方程应用之与图形有关的问题 核心公式及等量关系(必记) 矩形：面积 = 长 × 宽；周长 = 2×（长 + 宽）（边框/小路问题核心用面积公式）。 正方形：面积 = 边长²；周长 = 4×边长（边长变化、拼接分割问题常用）。 三角形：面积 = （底 × 高）÷ 2（多通过底、高的数量关系列方程）。 梯形：面积 = （上底 + 下底）× 高 ÷ 2（重点用未知数表示上底、下底、高的关联）。 立体拼接/分割（无盖长方体）：容积 = 长 × 宽 × 高（由平面图形折叠而成，长、宽需结合剪切长度计算）。 特殊场景等量关系：① 靠墙围矩形：篱笆总长 = 平行于墙的边长 + 2×垂直于墙的边长（或反之）；② 拼接/分割：总面积/总周长不变（或满足题干给定比例）。 【典例】《千里江山图》是青绿山水画中的一幅巨制杰作，由我国北宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为原来的2倍．求该画四周装裱上的边衬的宽度． 【跟踪专练1】在某学校的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场（如图所示），养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门． (1)设为x米，请用含x的式子表示为________． (2)若养鸡场的面积是160平方米，求养鸡场的宽为多少米？ 【跟踪专练2】学校项目实验小组有一块矩形试验田如图所示，、，为了管理方便，现要在试验田中间开辟一横两纵共三条等宽的管理通道，使种植区（图中阴影部分）总面积为． (1)求管理通道的宽； (2)实验小组计划将该试验田收获的作物进行义卖，所得款项用于公益．去年作物总产量为千克，义卖售价为8元/千克，所有作物全部售出．今年，通过改进种植技术使作物产量大幅提升，与去年相比，若每千克作物的售价每降低元，总销量可增加千克． ①若今年义卖售价定为元/千克，则作物的总销量为________千克，义卖总收入为________元． ②若今年义卖总收入预计为元，为尽量让购买者得到实惠，则义卖售价应定为________元/千克． 题型4.一元二次方程应用之数字问题 核心思路：掌握两位数、三位数的表示方法。 一个两位数，十位数字为 a，个位数字为 b，则这个数可表示为 10a + b。 一个三位数，百位、十位、个位数字分别为 a, b, c，则这个数可表示为 100a + 10b + c。 关键识别：题目涉及一个数的各位数字，或数字间的位置关系（如 “对调”）。 【典例】2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【跟踪专练1】如图为2025年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中矩形筐所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d． (1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果为： ； ； ； (2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ； (3)子怡说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．” 瑾萱说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确． 【跟踪专练2】整体思想在解决数学问题中有重要作用． 例如: (1)为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为，求出； (2)现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，求出此数的值． 题型5.一元二次方程应用之营销问题 核心公式及等量关系(必记) 基础公式1：单件利润 = 单件售价 - 单件进价（成本） 基础公式2：总利润 = 单件利润 × 销售量 关键关联：售价与销量成反向变化（涨价则销量减少，降价则销量增加），设“每涨/降x元，销量减/增y件”，用未知数表示销量。 最值关联：总利润表达式为二次函数，可通过顶点求最大利润（中考高频考点）。 【典例】列方程解应用题：某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为每件120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，在每件降价幅度不超过15元的情况下，若每天盈利1200元，则每件童装应降价多少元？ 【跟踪专练1】小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫，已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， (1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ 【跟踪专练2】某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． (1)求、两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 题型6.一元二次方程应用之动态几何问题 核心公式与等量关系必记 动态问题仍基于基础几何公式，重点关注“变化量的表示”，核心关系如下： 运动基础：路程 = 速度 × 时间（设运动速度为v，时间为t，则移动距离为vt，用于表示边长变化）。 面积公式：同静态图形（矩形=长×宽、三角形=底×高÷2、梯形=（上底+下底）×高÷2），仅边长/高用含未知数的代数式表示。 关键等量：① 面积等量（某时刻面积等于定值）；② 边长等量（移动后线段相等、垂直或平行对应的长度关系）；③ 重叠/剩余面积等量（动态过程中重叠部分或剩余部分面积给定）。 【典例】如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【跟踪专练1】如图，在中，，，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为． (1)当t为何值时，的面积是面积的？ (2)当t为何值时，的长为？ 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、、设点、运动的时间为． (1)当___________时，四边形是矩形； (2)是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，沿着把翻折，当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 题型7.一元二次方程应用之工程问题. 核心公式与等量关系(必记) 基础公式1：工作效率 = 工作量 ÷ 工作时间（单人/单队效率） 基础公式2：总工作量 = 工作效率 × 工作时间（单人/合作完成的工作量） 核心设定：总工作量通常设为“1”，便于计算效率（如甲单独做需10天，效率为1/10）。 合作关系：① 合作效率 = 各主体效率之和；② 合作完成工作量 = 合作效率 × 合作时间；③ 分阶段工作：各阶段工作量之和 = 总工作量（1）。 高频关联：题干常给出“单独做时间”“合作时间”或“效率变化”（如甲效率比乙高、改进后效率提升），用未知数表示时间或效率列方程。 【典例】在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【跟踪专练1】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【跟踪专练2】“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 题型8.一元二次方程应用之行程问题 核心公式： 路程 = 速度 × 时间 关键识别：题目中出现 “相遇”、“追及”、“往返”、“水流”、“风速” 等词语。 常见类型： 相遇问题：总路程 = 甲的路程 + 乙的路程 追及问题：路程差 = 快者路程 - 慢者路程 流水行船问题： 顺水速度 = 船在静水中的速度 + 水流速度 逆水速度 = 船在静水中的速度 - 水流速度 【典例】在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【跟踪专练1】一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【跟踪专练2】如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 题型9.一元二次方程应用之图表信息问题 核心公式与等量关系(必记) 图标解读核心：① 表格：锁定行/列对应量（如时间-产量、售价-销量），找变化规律；② 统计图：横轴/纵轴含义、刻度单位，数据峰值、变化趋势（递增/递减）。 模型衔接：图标信息多对应已学题型，需匹配对应公式： 图标含“时间-数量”递增/递减：用增长率/下降率公式（b=a(1±x)ⁿ）； 图标含“售价-销量-利润”：用营销问题公式（总利润=单件利润×销量）； 图标含“边长-面积”数据：用图形面积公式（矩形、三角形等）。 关键等量：图标中给出的“某两组数据对应关系”“总量/差值条件”，均为列方程的依据。 【典例】在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【跟踪专练1】某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【跟踪专练2】体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 题型10.一元二次方程应用之其他问题 浓度问题：溶质质量=溶液质量×浓度，稀释/混合后溶质总量不变，核心为“溶质守恒”。 配套问题：按比例配套（如1个部件配2个零件），总量需满足配套比例，避免过剩。 【典例】钢琴键盘中的数学密码：一架现代标准钢琴共有88个琴键，是为满足音乐作品的音域要求而设计的，其中黑键通常用于演奏升降音符，白键用于自然音符．已知黑键数和白键数的乘积是1872，求黑白键各多少个？ 【跟踪专练1】嘉峪关文物景区位于甘肃省嘉峪关市，是首批国家级旅游景区，有“天下第一雄关”“中外巨防”“河西锁钥”“丝路咽喉”之称．“十一”假期间，为了吸引游客组团来旅游，特推出了如下门票标准： 标准一：如果人数不超过20人，门票价格为110元/人； 标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于90元/人． (1)若某单位组织22人去嘉峪关文物景区旅游，购买门票费用为_____元； (2)若某单位支付该景区门票费用共计2500元，试求该单位共有多少名员工去该景区旅游． 【跟踪专练2】如图，用同样规格黑白两色的正三角形瓷砖铺设等边三角形地面.请观察下列图形并解答有关问题： (1)在第5个图中，共有_______块白色瓷砖，共有______块黑色瓷砖； (2)按上述铺设方案，在第个图中，铺一块这样的地面共用了120块白色瓷砖，求此时的值； (3)若黑瓷砖每块6元，白瓷砖每块4元.在铺设中，是否存在采购黑瓷砖的费用比采购白瓷砖的费用多300元的情形？若存在，请计算说明是第几个图；若不存在，请说明理由． 题型11.一元二次方程应用之握手.循环赛问题 核心公式与等量公式(必记) 基础公式：总互动次数 = n(n - 1) ÷ 2（n为参与个体数量，如人数、队伍数）。 公式推导：n个个体中，每个个体需与其余(n - 1)个个体互动，但A与B、B与A属于同一次互动，需除以2避免重复计数。 易混区分：单循环赛（每两队赛一场）、握手（每人握一次）适用此公式；双循环赛（每两队赛两场，主客场）总场次 = n(n - 1)，无除以2步骤。 核心等量：题干给出的总握手次数、总比赛场次，直接等于公式结果，以此列方程。 【典例】2024年是广东省男子篮球联赛举办的第8年，常规赛将采用分区分组巡回赛制（每两队之间进行一场比赛），某小组共进行了10场比赛，问该小组有多少支球队参赛？ 【跟踪专练1】淮畔青春，“足”够精彩．10月18日，2025年淮南市高校足球联赛在市奥体广场中心开幕，已知在小组赛阶段，所有队伍采用单循环赛制（每两队之间比赛一次），本次联赛计划安排55场比赛，请问共有多少支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛？ 【跟踪专练2】（1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $