微专题4 找平行关系的几种常用方法 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

微专题1　找平行关系的几种常用方法 方法1　利用三角形中位线的性质找平行关系 1.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,B1C的中点. 求证:DE∥平面ACC1A1. 2.如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别是PA,BD,PD的中点.求证: (1)MN∥平面PCD; (2)平面MNQ∥平面PBC. 方法2　利用平行四边形的性质找平行关系 3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BB1,DD1的中点.求证:AF∥平面A1C1E. 4.如图所示,已知四边形ABCD是正方形,四边形ACEF是矩形,M是线段EF的中点. (1)求证:AM∥平面BDE; (2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,试分析l与m的位置关系,并证明你的结论. 方法3　利用等分线段成比例找平行关系 5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1是菱形,E是棱BB1的中点,F在棱AC上,且AF=2CF,证明:CB1∥平面A1EF. 6.如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD为直角梯形,DC=2AB,GC=2FG,平面ABFE∩平面CDEF=EF. (1)证明:AF∥平面BDG; (2)证明:AB∥EF. 方法4　利用线面平行的性质找平行关系 7.如图所示,在四面体ABCD中,用平行于棱AB,CD的平面截此四面体,求证:截面MNPQ是平行四边形. 8.如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD为平行四边形,G为FC的中点,平面ABFE∩平面CDEF=EF. (1)证明:AF∥平面BDG; (2)证明:AB∥EF. 方法5　利用面面平行的性质找平行关系 9.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,CC1的中点. (1)求证:DE∥平面AB1C1; (2)若AB=AA1=2,求三棱锥E-AB1C1的体积. 方法6　利用线面垂直的性质找平行关系 10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直.求证:EF∥BD1. 答案 1.解：　证明:连接BC1,AC1, 因为几何体ABC-A1B1C1是斜三棱柱, 所以四边形BCC1B1为平行四边形, 由平行四边形性质得E也是BC1的中点. 又D是AB的中点, 所以DE∥AC1. 又DE⊄平面ACC1A1,AC1⊂平面ACC1A1, 所以DE∥平面ACC1A1. 2.解：　证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,点N是BD的中点,∴N是AC的中点, 又∵点M是PA的中点,∴MN∥PC, 又∵PC⊂平面PCD,MN⊄平面PCD, ∴MN∥平面PCD. (2)由(1)知MN∥PC,又PC⊂平面PBC,MN⊄平面PBC, ∴MN∥平面PBC. ∵N是BD的中点, Q是PD的中点, ∴NQ∥PB, 又∵PB⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,∴NQ∥平面PBC, 又∵MN∩NQ=N,MN,NQ⊂平面MNQ, ∴平面MNQ∥平面PBC. 3.解：　证明:取CC1的中点G,连接BG,FG,如图, ∵F为DD1的中点,∴FG∥CD且FG=CD,又CD∥AB且CD=AB, ∴FG∥AB且FG=AB,∴四边形ABGF为平行四边形, ∴BG∥AF, ∵BE∥C1G且BE=C1G,∴四边形BGC1E为平行四边形,∴BG∥EC1,∴AF∥EC1, 又∵AF⊄平面A1C1E,EC1⊂平面A1C1E, ∴AF∥平面A1C1E. 4.解：　(1)证明:如图,记AC与BD的交点为O,连接OE, 易知O是AC的中点,又M是EF的中点,四边形ACEF是矩形, 所以四边形AOEM是平行四边形,所以AM∥OE. 又因为OE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE, 所以AM∥平面BDE. (2)l∥m,证明如下: 由(1)知AM∥平面BDE, 又AM⊂平面ADM,平面ADM∩平面BDE= l, 所以l∥AM, 因为AM∥平面BDE,AM⊂平面ABM,平面ABM∩平面BDE=m, 所以m∥AM,所以l∥m. 5.解：　证明:连接AB1交A1E于点G,连接FG, ∵四边形ABB1A1为菱形,∴AA1∥BB1且AA1=BB1, ∵E为BB1的中点,∴B1E∥AA1且B1E=AA1, ∴==,又∵AF=2CF,即=,∴=, ∴CB1∥FG, 又∵CB1⊄平面A1EF,FG⊂平面A1EF, ∴CB1∥平面A1EF. 6.解：　证明:(1)连接AC交BD于O,连接OG, 因为四边形ABCD为直角梯形,DC=2AB, 所以==, 又因为GC=2FG, 所以==, 所以AF∥OG, 又因为OG⊂平面BDG,AF⊄平面BDG, 所以AF∥平面BDG. (2)因为四边形ABCD为直角梯形, 所以AB∥CD, 又因为CD⊂平面CDEF,AB⊄平面CDEF, 所以AB∥平面CDEF, 又因为AB⊂平面ABFE,平面CDEF∩平面ABFE=EF, 所以AB∥EF. 7.解：　证明:因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB⊂平面ABC, 所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN. 同理AB∥PQ,所以MN∥PQ. 同理可得MQ∥NP. 所以截面MNPQ是平行四边形. 8.解：　证明:(1)如图,连接AC交BD于O,连接OG. 因为四边形ABCD为平行四边形,所以AC、BD互相平分. 又G为FC的中点,所以OG为三角形ACF的中位线, 所以AF∥OG. 又因为OG⊂平面BDG,AF⊄平面BDG, 所以AF∥平面BDG. (2)因为四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD. 又因为CD⊂平面CDEF,AB⊄平面CDEF, 所以AB∥平面CDEF. 又因为AB⊂平面ABFE,平面CDEF∩平面ABFE=EF, 所以AB∥EF. 9.解：　(1)证明:如图,取AC的中点F,连接DF,EF, 又D,E分别为AB,CC1的中点,BC∥B1C1, ∴EF∥AC1,DF∥BC∥B1C1, 又DF⊄平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1, 且EF⊄平面AB1C1,AC1⊂平面AB1C1, ∴DF∥平面AB1C1,EF∥平面AB1C1, 又DF∩EF=F,且DF,EF⊂平面DEF, ∴平面DEF∥平面AB1C1,又DE⊂平面DEF, ∴DE∥平面AB1C1. (2)如图,取BC的中点为H,连接AH, 又三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱, ∴AH⊥平面BCC1B1, 根据题意可知AH=,△B1C1E的面积为×2×1=1, ∴==×1×=. 10.解：　证明:如图所示,连接AB1,B1D1,B1C,BD,则AC⊥BD,A1D∥B1C, 易知DD1⊥平面ABCD,又AC⊂平面ABCD, ∴DD1⊥AC. 又DD1∩BD=D,DD1,BD⊂平面BDD1B1, ∴AC⊥平面BDD1B1, 又BD1⊂平面BDD1B1, ∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C, 又AC∩B1C=C,AC,B1C⊂平面AB1C, ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D,A1D∥B1C,∴EF⊥B1C. 又EF⊥AC,B1C∩AC=C,B1C,AC⊂平面AB1C, ∴EF⊥平面AB1C, ∴EF∥BD1. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $