精品解析：山东省济宁市邹城市第十中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

八上数学12月月度检测题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 等式成立的条件是（　　） A. B. C. D. 不受限制 3. 天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离．光在真空中的速度约为，1年约为，则1光年约为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，的角平分线和的外角平分线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件能确定的形状与大小的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，要在学校的一块三角形草坪上建一个文化牌，若要使文化牌到草坪三条边的距离相等，则这个文化牌的位置应选在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三边的垂直平分线的交点 C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三条角平分线的交点 7. 从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点和 （ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称 9. 已知，，，，则a、b、c、d的大小关系() A. B. C. D. 10. 定义关于的新运算：，其中为正整数．例如，已知，则．若，则的结果为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若等腰三角形的一个角是，它的另外两个角的度数分别是____________________． 12. 老师说，多项式：有最小值，但是小明不会做，请你帮小明计算出最小值是________． 13. 多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 14. 若，则的值为__________． 15. 如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为________． 16. 如图，在中，，，是的两条中线，是上的一个动点，则图中长度与的最小值相等的线段是_______． 三、解答题（本大题共7个小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） （3） 18. 分解因式： （1） （2） （3） 19. （1）先化简，再求值，其中； （2）已知，求的值． 20. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；…… 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： （1）计算：________．（） （2）若（（，是常数），则________，________． （3）若（x，y是常数），则________，_______． （4）如果把的展开式按照a的降幂排列，第三项的系数是________． （5）直接写出式子的值． 21. 已知关于的代数式的中不含项与项． （1）求，的值； （2）求代数式的值． 22. 已知为等边三角形，点、分别在边、上，且，，相交于点． （1）在图1中，全等三角形有________对，请选择其中一对全等三角形进行证明； （2）如图2，过点作，垂足为点，求证：； 23. 小明同学将图1中的阴影部分（边长为m的大正方形中有一个边长为n的小正方形），拼成了一个长方形（如图2），比较两图阴影部分的面积，可以得到的等式是___________（用含m、n的式子表示），运用所得到的公式，计算下列各题： （1）（用乘法公式） （2） 24. 现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八上数学12月月度检测题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算，逐一判断即可． 【详解】解：A.原式，故本选项不符合题意； B.原式，故本选项符合题意； C. 原式，故本选项不符合题意； D. 原式，故本选项不符合题意． 故选：B. 2. 等式成立的条件是（　　） A. B. C. D. 不受限制 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据零指数幂的运算法则：计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故选：C． 3. 天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离．光在真空中的速度约为，1年约为，则1光年约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．根据路程速度时间的公式，代入光速和时间的数值，利用同底数幂的乘法法则计算1光年的距离，再选择正确选项． 【详解】解：1光年约为 （）， 故选：B． 4. 如图，在中，，的角平分线和的外角平分线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．由角平分线的定义可得，，从而可求得，再利用三角形的外角性质得，从而可求解． 【详解】解：如图， 的角平分线和的外角平分线交于点， ，， ， ，， 是的外角，， ， 即， 解得：． 故选：． 5. 下列条件能确定的形状与大小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据全等三角形的判定方法，若各选项的条件满足三角形全等的条件，则可确定三角形的形状和大小，否则三角形的形状和大小不能确定． 【详解】解：A、​，​的形状和大小不能确定，故不符合题意； B、，​的形状和大小不能确定，故不符合题意； C、，​的形状和大小不能确定，故不符合题意； D、​，则利用“​”可判断​是唯一的，故符合题意． 故选：D． 6. 如图，要在学校的一块三角形草坪上建一个文化牌，若要使文化牌到草坪三条边的距离相等，则这个文化牌的位置应选在（ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三边的垂直平分线的交点 C. 三角形三条高所在直线的交点 D. 三角形三条角平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用；由于文化牌到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定文化牌位置． 【详解】解：∵文化牌到草坪三条边的距离相等， ∴这个文化牌的位置应选在三角形三条角平分线的交点， 故选：D． 7. 从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，点和 （ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握坐标轴对称的点的坐标特征． 根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点和的横坐标均为2，纵坐标分别为1和，互为相反数， 根据关于轴对称的点的坐标特征（横坐标相等，纵坐标互为相反数），可知两点关于轴对称． 故选：C． 9. 已知，，，，则a、b、c、d的大小关系() A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用；将各数转化为同指数形式，比较底数大小即可． 【详解】∵，，，， 且指数均为， 比较底数：， 故． 故选：D． 10. 定义关于的新运算：，其中为正整数．例如，已知，则．若，则的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算．根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：由题意得， ， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 若等腰三角形的一个角是，它的另外两个角的度数分别是____________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分的角为顶角和底角，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当的角为顶角时：两个底角的度数为：； 当的角为底角时，则顶角的度数为：； 故答案为：或． 12. 老师说，多项式：有最小值，但是小明不会做，请你帮小明计算出最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用及完全平方式的非负性，熟练掌握配方法将多项式变形为完全平方式与常数的组合形式是解题的关键．通过配方法将多项式转化为完全平方式与常数的和，利用完全平方式的非负性求最小值． 【详解】解： ， 因为， 所以，即有最小值为， 故答案为：． 13. 多项式①；②；③；④；⑤中能用公式法分解因式的有________（填序号）． 【答案】③④⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查了公式法分解因式（平方差公式、完全平方公式），熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式的形式，逐一判断每个多项式是否符合公式法分解因式的条件． 【详解】解：①不符合完全平方公式形式，且无法用平方差公式分解，故不能使用公式法． ②可写为，平方和在实数范围内不能分解，故不能使用公式法． ③可写为，符合平方差公式，即，故能用公式法． ④可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． ⑤可写为，符合完全平方公式，即，故能用公式法． 综上，能用公式法分解因式的有③、④、⑤． 故答案为：③④⑤． 14. 若，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键，先根据多项式乘多项式的运算法则计算，由题意得出，即可得出的值． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和平行线性质，此题关键是证明和为等腰三角形．先利用两直线平行，内错角相等得，，再因为和的平分线交于点，得，，通过等量代换，，得出和为等腰三角形最后运用等腰三角形性质即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴和为等腰三角形， ∴，． ∵，， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，是的两条中线，是上的一个动点，则图中长度与的最小值相等的线段是_______． 【答案】##EC 【解析】 【分析】如图，连接，根据，是的中线，可推出，即可得到，由于是上的一个动点同时结合三角形三边关系定理可得，根据两点之间线段最短，当点、、共线时，的值最小，最小值为线段的长度，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵，是的中线， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵是上的一个动点， ∴， 当点、、共线时，的值最小，最小值为线段的长度， 即与的最小值相等的线段是． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，三角形三边关系定理，两点之间线段最短等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题（本大题共7个小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）首先将原式整理为，然后根据同底数幂乘法法则求解即可； （3）首先进行积的乘方运算，再进行单项式乘单项式运算，然后进行单项式除以单项式运算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 18. 分解因式： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解， （1）根据平方差公式进行因式分解即可； （2）首先将原式整理为，再根据完全平方公式进行因式分解即可； （3）首先提公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 19. （1）先化简，再求值，其中； （2）已知，求的值． 【答案】（1），（2）0 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值， （1）首先进行单项式乘以多项式运算，再去括号，合并同类项进行化简，然后将代入计算即可； （2）首先进行多项式乘以多项式运算、利用完全平方公式进行运算，然后去括号、合并同类项进行化简，然后将代入计算即可． 【详解】解：（1）原式 ， 当时，原式； （2）原式 ， ∵， ∴原式． 20. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例．如果将（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1；…… 若将上述各项式子的系数排列成下表，请同学们观察： （1）计算：________．（） （2）若（（，是常数），则________，________． （3）若（x，y是常数），则________，_______． （4）如果把的展开式按照a的降幂排列，第三项的系数是________． （5）直接写出式子的值． 【答案】（1）1 （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】本题主要考查了“杨辉三角”的规律以及二项式展开式的应用．充分理解“杨辉三角”的规律与二项式展开式之间的联系是解题的关键． （1）由任何非零数的0次幂均为1可得答案； （2）（3）通过观察前面给出展开式的项数和系数的规律知与的展开式的相关情况 ； （4）由“杨辉三角”的规律继续向下可写出按照a的降幂排列展开式，进而可知第三项的系数是36； （5）根据前面的规律将给定的式子转化为的形式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵，任何非零数的0次幂均为1， ∴1； 【小问2详解】 解：由“杨辉三角”的规律及表可知有五项，系数分别为1，4，6，4，1，即，故，； 【小问3详解】 解：由“杨辉三角”的规律可知有六项，系数分别为1，5，10，10，5，1，即，故，； 【小问4详解】 由“杨辉三角”的规律可知有十项，按照a的降幂排列展开式为，故展开式按照a的降幂排列，第三项的系数是36； 【小问5详解】 解：原式 ． 21. 已知关于的代数式的中不含项与项． （1）求，的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，，即可得出，的值； （2）将，的值代入进行计算即可． 【小问1详解】 解： ， 不含项与项， ， 解得：； 【小问2详解】 解：． 22. 已知为等边三角形，点、分别在边、上，且，，相交于点． （1）在图1中，全等三角形有________对，请选择其中一对全等三角形进行证明； （2）如图2，过点作，垂足为点，求证：； 【答案】（1） 全等三角形有对：，． 证明： ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴（）， 证明： ∵是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴（）； （2） 证明：∵， ∴， ∵，即， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）及含角的直角三角形的边长关系是解题的关键． （1）先确定图中全等三角形，利用等边三角形的边、角性质，结合判定定理证明全等． （2）由全等三角形得角相等，推出，进而得，在中利用含角的直角三角形性质证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 小明同学将图1中的阴影部分（边长为m的大正方形中有一个边长为n的小正方形），拼成了一个长方形（如图2），比较两图阴影部分的面积，可以得到的等式是___________（用含m、n的式子表示），运用所得到的公式，计算下列各题： （1）（用乘法公式） （2） 【答案】，（1）1，（2） 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何图形，完全平方公式，表示图中阴影部分面积是解题的关键． 根据题意分别求出图与图阴影部分面积，然后由面积相等即可求解； （）利用平方差公式即可求解； （）利用平方差公式和完全平方公式即可求解． 【详解】解：图阴影面积：，图阴影面积：， ∵图与图阴影部分面积相等， ∴， 故答案为：； （） ； （） ． 24. 现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1），；（2） ①；②；（3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景、整式的混合运算-化简求值，熟练掌握以上知识点是关键； （1）根据几何图形面积计算方法填空即可； （2）利用图1图2的计算公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）图1中，，组成大正方形四部分面积之和， 即：， 图2中，， 即：， 故答案为：，； （2）①由图2可得， ，， ， ②由图1可得：， ， ， ， 故答案为：①；②13； （3）由题意可得， ， ， ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $