精品解析：海南省海口市琼山区海南中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

海南中学2026届高三年级第三次月考数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题､审核：李园､杨菲 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数纯虚数，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 1或2 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. ，点P在边AB上，，设，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知所在平面内的动点满足，且实数，形成的向量与向量共线，则动点的轨迹必经过的（ ） A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心 6. 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量某塔楼的高度，将一无人机（视为质点）飞升至离地面高为h 米的点A 处时，测得塔尖C 的俯角为α，无人机沿水平方向飞行b 米后至点B 处时，测得塔尖C的俯角为β，则塔尖C距离地面（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于、两点.若，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过点且垂直于直线的直线方程为 B. 过点且在、轴上截距相等的直线方程为 C. 曲线过点的最短弦长为 D. 已知圆，圆，若两圆公切线有三条，则且其中一条公切线的方程为 10. 已知向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，的夹角为钝角，则x的取值范围为 D. 设在方向上的投影向量为，则的取值范围为 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值是2 C. 的最小值是 D. 的面积最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则用表示______ 13. “莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值. “莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）.现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为__________. 14. 若在曲线（为自然对数的底数）存在不同的两点、，使、两点关于轴的对称点、在曲线上，则实数的取值范围是__________. 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设向量，函数 （1）求函数的最大值与最小正周期； （2）求使不等式成立的x的取值集合及函数的对称中心. 16. 21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰 外观 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立. （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色. 假设2：按抽奖可能性大小，概率越小奖项越高 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 17. 已知分别为锐角三个内角的对边，的面积 （1）求的值； （2）求取值范围. 18. 已知椭圆：以椭圆焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.已知斜率存在且不为0的直线l过点直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和的直线AC与椭圆E的另一个交点为. （1）求椭圆E的方程及离心率； （2）若直线BD的斜率为0，求t的值及斜率k的取值范围. 19. 已知函数为的导数. （1）当时，求的最小值； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南中学2026届高三年级第三次月考数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题､审核：李园､杨菲 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数为纯虚数，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 1或2 【答案】B 【解析】 【分析】由纯虚数的概念即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得： 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合补集与交集定义计算即可. 【详解】由，则或， 又，则. 故选：A. 3. 不等式的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的定义进行求解即可． 【详解】对于B：由得，解得，显然充要条件，错误； 对于A：因为能推出，不能推出， 所以是不等式的充分不必要条件，正确； 对于C：因为不能推出，能推出， 所以是不等式的必要不充分条件，错误； 对于D：因为不能推出，不能推出， 所以是不等式的即不充分也不必要条件，错误. 故选：A. 4. ，点P在边AB上，，设，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，利用向量的四边形法则计算即可. 【详解】 依题意，. 答案：B 5. 已知所在平面内的动点满足，且实数，形成的向量与向量共线，则动点的轨迹必经过的（ ） A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标公式通过与向量共线，经过整理得到，将其代入，经过整理得到，，利用向量减法的三角形法则得到，取的中点，由向量加法的平行四边形法则得到，将其代入得到，动点的轨迹必经过的重心. 【详解】与向量共线，故， 即，解得， 将代入，得到， 即，所以， 取的中点，则有， 故，所以动点的轨迹必经过的重心. 故选：D. 6. 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，然后根据导函数为单调函数，利用零点存在定理列式计算. 【详解】由已知得，明显为单调递增函数， 若函数在上有极值点， 则且，解得.即. 故选：C. 7. 如图，为了测量某塔楼的高度，将一无人机（视为质点）飞升至离地面高为h 米的点A 处时，测得塔尖C 的俯角为α，无人机沿水平方向飞行b 米后至点B 处时，测得塔尖C的俯角为β，则塔尖C距离地面（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出塔尖C到飞行线路的距离即可. 【详解】作于，如图： 则，而，即， 解得，所以塔尖C距离地面. 故选：B 8. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于、两点.若，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件先计算出的值，然后通过联立求得点的坐标，利用的坐标表示出，由此可求的值，则渐近线方程可知. 【详解】易知点，关于轴对称，令，， ，， ，(负值舍去)， 由，可得，则， ，渐近线方程为. 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 过点且垂直于直线的直线方程为 B. 过点且在、轴上截距相等的直线方程为 C. 曲线过点的最短弦长为 D. 已知圆，圆，若两圆公切线有三条，则且其中一条公切线的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据垂直关系确定斜率，应用点斜式写出直线方程判断：B注意截距不为0的情况；C判断已知点为抛物线的焦点，结合焦点弦的性质求最短弦长；D根据两圆相外切求出参数的值，再求出两圆的切点坐标，从而得到其一条切线方程.. 【详解】对于A：与直线垂直的直线斜率为，故所求直线为， 即，故A正确； 对于B：若截距都不为时，令直线为，则，解得， 此时直线方程为， 若截距都时，令直线为，则，此时直线方程为， 过点且在、轴上截距相等的直线方程为或，故B错误； 对于C：曲线，即，所以抛物线的焦点为， 故过点的最短弦为通径，长度为，故C正确； 对于D：因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 若两圆公切线有三条，则两圆相外切，则，解得， 由，解得，即两圆的切点为， 显然与圆，圆均相切，故是两圆的公切线，故D正确. 故选：ACD 10. 已知向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，夹角为钝角，则x的取值范围为 D. 设在方向上的投影向量为，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据平面向量垂直的坐标表示求解判断即可；对于B，根据平面向量共线的坐标表示求解判断即可；对于C，由的夹角为钝角可得，且不共线，进而求解判断即可；对于D，可得，换元，利用判别式法求解判断即可. 【详解】因为向量，， 对于选项A：若，则，解得，故A正确； 对于选项B：若，则，即，故B正确； 对于选项C：由的夹角为钝角，则，且不共线， 可得且，所以x的取值范围为，故C错误； 对于选项D：因为，， 则，可得， 令，则， 当，即时，可得，符合题意； 当，即时，则，解得且， 综上所述：，即的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值是2 C. 的最小值是 D. 的面积最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三角形面积公式寻找，关系，再利用基本不等式判断． 【详解】解：由题意得：， 由角平分线以及面积公式得， 化简得，所以，故A正确； ，当且仅当时取等号， ，， 所以，当且仅当时取等号，故D正确； 由余弦定理 所以，即的最小值是，当且仅当时取等号，故B正确； 对于选项：由得：，， 当且仅当，即时取等号，故C错误； 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则用表示______ 【答案】 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合对数的运算性质及换底公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 则 故答案为：. 13. “莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值. “莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）.现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出正三角形的面积，圆弧的长度，故一个弓形的面积为圆弧所对的扇形的面积减去正三角形的面积，从而得到“莱洛三角形”的面积. 【详解】正三角形的面积为，圆弧的长度为， 故弓形的面积为， 故“莱洛三角形”的面积为. 故答案为：. 14. 若在曲线（为自然对数的底数）存在不同的两点、，使、两点关于轴的对称点、在曲线上，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】条件可转化为在上有解，将变形.设，可得在上有解，利用导数研究函数的零点可得，故有两解，即有两解，即在上有两解.构造函数，利用导数研究函数的单调性结合单调性得到的范围. 【详解】根据题意，曲线上存在不同的两点，其关于轴的对称点在曲线上， 等价于方程在上有两个不同的实数解， 方程可变形为. 设，则原方程变为. 所以方程在上有解. 设，对求导，可得. 令，即，解得. 当时，所以在上单调递增. 当时，所以在上单调递减. 所以在处取得极大值，也是最大值，. 所以仅满足方程有解的条件. 故有两解，即有两解， 两边同时取对数得，即在上有两解. 设，对求导，则. 令，即，解得. 当时，在上单调递减. 当时，在上单调递增. 在处取得极小值，也是最小值，. 当时，；当时，. 因为在上有两解，. 则实数a的取值范围是. 故答案为：. 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设向量，函数 （1）求函数的最大值与最小正周期； （2）求使不等式成立的x的取值集合及函数的对称中心. 【答案】（1）， （2）； 【解析】 【分析】（1）将利用数量积和三角函数的公式整理为，利用正弦函数的图像求出的最大值和最小正周期. （2）由（1）知，由和得到，即，结合正弦函数的图像求出此不等式的解就是的解，令从中解出，即可得到的对称中心. 【小问1详解】 由题意知， ， 即， 当，即时，， 故的最大值为，最小正周期. 【小问2详解】 由（1）知，， ，，即， ， 解得， 即成立的的取值集合是. 令，则， 的对称中心. 16. 21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰 外观 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 （1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立. （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色. 假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 【答案】（1），，不独立 （2）分布列见解析，446 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式和事件的独立性定义即可得出； （2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算即可. 【小问1详解】 ， ，， ，所以A，B不独立； 【小问2详解】 记外观与内饰均同色为事件，外观与内饰都异色为事件，仅外观或仅内饰同色为事件， 则， ， ， ， ∴一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色， 二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色， 三等奖为两个汽车模型仅外观或仅内饰同色． X的分布列： X 800 500 300 P ． 17. 已知分别为锐角三个内角的对边，的面积 （1）求的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由及三角形面积公式，得，即的等式，利用余弦定理得到，将此式两边平方得，将转化为即，计算得到的值，利用及三角形中的范围求出. （2）由正弦定理及将进行边化角整理得到，利用辅助角公式将转化为，其中锐角由确定，由为锐角三角形，得到，从此不等式中解出，利用诱导公式将转化为，转化为，从而得到因此的范围，及的取值范围. 【小问1详解】 在中，由及三角形面积公式， 得，即， 由余弦定理得，即， 两边平方得， 即，即， 解得或而，有， 则. 【小问2详解】 由正弦定理及得， ， 其中锐角由确定， 而为锐角三角形， 则，即， 显然，而， ， 因此， 所以的取值范围是. 18. 已知椭圆：以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.已知斜率存在且不为0的直线l过点直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和的直线AC与椭圆E的另一个交点为. （1）求椭圆E的方程及离心率； （2）若直线BD的斜率为0，求t的值及斜率k的取值范围. 【答案】（1）， （2），或 【解析】 【分析】（1）由以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形，的值和，由解出的值，从而得到椭圆的方程和离心率； （2）设，直线和椭圆联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，此方程的，即得到满足的不等式，根据韦达定理写出，由直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，利用点斜式写出直线的方程，在直线方程中令，解出，根据得到的值，从而得到的值，将代入满足的不等式，解出此不等式的解，又，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形， ，，， ，， 椭圆方程为，离心率为； 【小问2详解】 设， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得 ， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 19. 已知函数为的导数. （1）当时，求的最小值； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）求导得，令，利用导数分析的单调性，进而可得的最小值即可． （2）令，问题转化为当时，恒成立，分两种情况：当时和当时，判断是否成立即可． 【小问1详解】 由题意，，令，则， 当时，，，所以，从而在上单调递增， 则的最小值为，故的最小值1； 【小问2详解】 由已知得当时，恒成立， 令，， ①当时，若时，由（1）可知，∴为增函数， ∴恒成立，∴恒成立，即恒成立， 若，令 则， 令，则， 令，则， ∵在在内大于零恒成立，∴函数在区间为单调递增， 又∵，，， ∴上存在唯一的使得， ∴当时，，此时为减函数， 当时，，此时为增函数， 又∵，， ∴存在，使得， ∴当时，，为增函数，当时，，为减函数， 又∵，， ∴时，，则为增函数，∴， ∴恒成立， ②当时，在上恒成立，则在上为增函数， ∵，， ∴存在唯一的使， ∴当时，，从而在上单调递减， ∴， ∴，与矛盾， 综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $