3.2 频率的稳定性 同步练习 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

频率的稳定性 一、单选题 1．期中调研日期为“2023年04月20日”，其中出现的频率相同的数字是（    ） A．0和4 B．0和3 C．2和4 D．0和2 2．在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 3．下列说法正确的是（  ） A．“明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B．连续抛一枚硬币次，出现正面朝上的次数一定是次 C．年奥运会刘翔一定能夺得米跨栏冠军 D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为，买这种彩票张一定会中奖 4．对于“中奖率是”的理解，下列说法合理的是（    ） A．买100张彩票一定会有2张中奖 B．买100张彩票有可能有2张中奖 C．买1张彩票不可能中奖 D．买200张彩票不可能有10张中奖 5．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 6．下列说法正确的是（   ） A．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 B．“买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件 C．投掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率可以用列举法求得 D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 7．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共装有10个球，其中有1个黑球、2个白球、3个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（   ） A．黑球 B．白球 C．红球 D．黄球 8．某商场为促销商品进行了抽奖，通过后台的数据显示转盘指针落在“10元优惠券”区域的统计数据如下表： 转动转盘的次数 200 600 1000 1600 2000 落在“10元优惠券”区域的次数 64 186 300 479 602 落在“10元优惠券”区域的频率 0.320 0.310 0.300 0.299 0.301 估计随机转动转盘一次，得到“10元优惠券”的概率为（） A．0.28 B．0.30 C．0.32 D．0.33 9．如图，是根据“用频率估计概率”的实验统计的某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．投掷一枚图钉，尖朝上 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 10．在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同．小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有（    ） A．24个 B．22个 C．20个 D．16个 二、填空题 11．暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为 ． 12．连续抛掷一枚质地均匀的一元硬币9次，出现了8次正面朝上，则第10次抛掷该硬币出现正面朝上的概率是 ． 13．某射手在相同条件下进行射击训练．结果如下： 射击次数 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 在相同条件下，该射手射击一次，击中靶心的概率的估计值是 ．（精确到） 14．抛一个瓶盖，落地后会出现“盖口向上”和“盖口向下”两种情况小明通过信息技术模拟实验得到了如下的折线统计图根据统计结果估计事件“盖口向上”发生的概率为 ． 15．社团课上，同学们进行了“摸球游戏”．在一个不透明的盒子里装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图如图所示，经分析可以估计盒子里黑球的个数可能为 个． 16．在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，小红摸出一个小球记录颜色后放回口袋，经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在左右，那么摸出黑球的概率约为 三、解答题 17．为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子颗数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子颗数 94 378 571 664 951 发芽种子频率 (1)填空：上表中的值为___________，的值为___________； (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到） 18．投壶（如图）是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者甲的投壶结果： 投壶次数n 50 100 150 200 250 300 400 500 投中次数m 28 46 72 104 125 153 200 250 投中频率 0.56 0.46 0.48 x 0.50 0.51 y 0.50 根据上表中的数据解答下列问题： (1)计算表中x、y的值； (2)随着投壶次数越来越大，估计甲投壶一次投中的概率．（结果精确到0.1） 19．工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 m 合格频率 (1)估计任抽一件该产品是合格品的概率是________；表格中m的值为________； (2)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 20．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：________，________； (2)这种树苗成活的概率估计值为________（精确到） (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 频率的稳定性 一、单选题 1．期中调研日期为“2023年04月20日”，其中出现的频率相同的数字是（    ） A．0和4 B．0和3 C．2和4 D．0和2 2．在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 3．下列说法正确的是（  ） A．“明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是 B．连续抛一枚硬币次，出现正面朝上的次数一定是次 C．年奥运会刘翔一定能夺得米跨栏冠军 D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为，买这种彩票张一定会中奖 4．对于“中奖率是”的理解，下列说法合理的是（    ） A．买100张彩票一定会有2张中奖 B．买100张彩票有可能有2张中奖 C．买1张彩票不可能中奖 D．买200张彩票不可能有10张中奖 5．如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面的推断合理的是（　　） A．当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是 B．当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率一定是 C．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 D．若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定仍是 6．下列说法正确的是（   ） A．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 B．“买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件 C．投掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率可以用列举法求得 D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 7．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共装有10个球，其中有1个黑球、2个白球、3个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（   ） A．黑球 B．白球 C．红球 D．黄球 8．某商场为促销商品进行了抽奖，通过后台的数据显示转盘指针落在“10元优惠券”区域的统计数据如下表： 转动转盘的次数 200 600 1000 1600 2000 落在“10元优惠券”区域的次数 64 186 300 479 602 落在“10元优惠券”区域的频率 0.320 0.310 0.300 0.299 0.301 估计随机转动转盘一次，得到“10元优惠券”的概率为（） A．0.28 B．0.30 C．0.32 D．0.33 9．如图，是根据“用频率估计概率”的实验统计的某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．投掷一枚图钉，尖朝上 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 10．在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同．小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有（    ） A．24个 B．22个 C．20个 D．16个 二、填空题 11．暑假将至，东营区教育局向全区师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“水”字出现的频率为 ． 12．连续抛掷一枚质地均匀的一元硬币9次，出现了8次正面朝上，则第10次抛掷该硬币出现正面朝上的概率是 ． 13．某射手在相同条件下进行射击训练．结果如下： 射击次数 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 在相同条件下，该射手射击一次，击中靶心的概率的估计值是 ．（精确到） 14．抛一个瓶盖，落地后会出现“盖口向上”和“盖口向下”两种情况小明通过信息技术模拟实验得到了如下的折线统计图根据统计结果估计事件“盖口向上”发生的概率为 ． 15．社团课上，同学们进行了“摸球游戏”．在一个不透明的盒子里装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图如图所示，经分析可以估计盒子里黑球的个数可能为 个． 16．在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，小红摸出一个小球记录颜色后放回口袋，经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在左右，那么摸出黑球的概率约为 三、解答题 17．为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如表： 种子颗数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子颗数 94 378 571 664 951 发芽种子频率 (1)填空：上表中的值为___________，的值为___________； (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率．（精确到） 18．投壶（如图）是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者甲的投壶结果： 投壶次数n 50 100 150 200 250 300 400 500 投中次数m 28 46 72 104 125 153 200 250 投中频率 0.56 0.46 0.48 x 0.50 0.51 y 0.50 根据上表中的数据解答下列问题： (1)计算表中x、y的值； (2)随着投壶次数越来越大，估计甲投壶一次投中的概率．（结果精确到0.1） 19．工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 合格频数 m 合格频率 (1)估计任抽一件该产品是合格品的概率是________；表格中m的值为________； (2)某天甲员工被抽检了件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 20．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：________，________； (2)这种树苗成活的概率估计值为________（精确到） (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B C D B B D D 1．D 【分析】根据频率的定义即可解答． 【详解】解：在“2023年04月20日”中，共有0、2、3、4四个数字，其中0出现了3次，2出现了3次，3出现了1次，4出现了1次， 则数字0和2的频率相同，均为， 数字3和4的频率相同，均为． 故选：D． 【点睛】本题考查了频率，掌握频数与总次数的比值（或者百分比）称为这类数据频数的频率是解题关键． 2．B 【分析】先根据图得到黄球出现的频率稳定在0.6附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n． 【详解】解：由图可知，经过大量实验发现，黄球出现的频率稳定在0.6附近， ∴ 解得 n=3 故选：B． 【点睛】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式． 3．A 【分析】本题考查了概率的意义，正确掌握概率的实际意义是解题关键．直接利用概率的意义逐项判断即可． 【详解】解：A、“明天的降水概率为”是指明天下雨的可能性是，说法正确，故A符合题意； B、连续抛一枚硬币次，出现正面朝上的次数不一定是次，原说法错误，故B不符合题意； C、年奥运会刘翔退赛，所以年奥运会刘翔一定能夺得米跨栏冠军是不可能事件，原说法错误，故C不符合题意； D、某地发行一种福利彩票，中奖概率为，买这种彩票张可能会中奖，原说法错误，故D不符合题意； 故选：A ． 4．B 【分析】本题考查概率的意义，概率只是反映事件发生机会的大小．根据概率的意义解答即可． 【详解】解：“中奖率是”，就是说中奖的概率是，但也有可能发生，即买100张彩票有可能有2张中奖． 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，计算频率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，频率等于频数除以总数，每次试验频率的值都有可能发生变化，据此可得答案． 【详解】解：A、当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是： ，但“钉尖向上”的概率不一定是，原说法错误，不符合题意； B、当投掷次数是6000时，“钉尖向上”的频率不一定是，原说法错误，不符合题意； C、随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是，原说法正确，符合题意； D、若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是，但不一定是，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了随机事件，利用频率估计概率等知识点，正确理解随机事件的概念是解题的关键． 根据随机事件的概念，利用频率估计概率的原理分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A. “汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件，不是不可能事件，故选项不符合题意； B. “买中奖率为的奖券张，中奖”是随机事件，不是必然事件，故选项不符合题意； C. 投掷一枚图钉，由于“钉尖朝上”和“钉尖朝下”的可能性不是均等的，因此要获得“钉尖朝上”的概率不可以用列举法求得，可以利用实验的方法，故选项不符合题意； D. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此说法正确，故选项符合题意； 故选：． 7．B 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在左右，即抽到该球的概率为， ∵抽到黑球的概率为，抽到白球的概率为，抽到红球的概率为，抽到黄球的概率为， ∴该球的颜色最有可能是白球， 故选：B． 8．B 【分析】本题主要考查概率；通过频率估计概率，取转动转盘2000次时试验的频率值进行精确处理． 【详解】解：∵概率可以通过大量重复试验的频率稳定值来估计， ∴由表可知，转动转盘2000次时，频率为0.301， 精确到0.01为0.30， ∴估计概率为0.30， 故选：B． 9．D 【分析】此题考查了利用频率估计概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为的即为正确答案． 【详解】解：试验结果在附近波动，即其概率， A、小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜的概率为，故A选项错误； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项错误； C、投掷一枚图钉，尖朝上的概率无法判断，故C选项错误； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数是，故D选项正确； 故选：D． 10．D 【分析】本题考查了用频率估计概率的应用，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，据此列式计算即可求解． 【详解】解：． 故选：D 11． 【分析】本题考查了频率的计算，用“水”字出现的次数除以总的字的个数即可求解，掌握频率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：“不去河沟游玩，防落水，不去河沟游泳，防溺水”，共有个字，其中“水”字出现的次数为次， ∴“水”字出现的频率为， 故答案为：． 12．/ 【分析】根据概率的意义可知，每一次正面朝上的概率都为，据此即可求解． 【详解】解：每一次正面朝上的概率都为， 第10次抛掷该硬币出现正面朝上的概率是． 故答案为： 13． 【分析】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是根据每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题． 根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率． 【详解】解：由击中靶心频率都在上下波动， 所以该射手击中靶心的概率的估计值是， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． 根据折线统计图可得“盖口向上”的频率稳定到的常数，再根据大量重复实验中事件发生的概率求解即可． 【详解】解：观察折线统计图发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数附近， 估计事件“盖口向上”发生的概率为． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查用频率估计概率，根据频率估计概率得出摸到黑球的近似概率，再根据概率公式进行计算即可求解． 【详解】解：由图可知，摸到黑球的概率约为， ∴ 解得： 故答案为：． 16． 【分析】根据大量重复试验频率等于概率及概率之和等于1直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在左右， ∴， 故答案为； 【点睛】本题主要考查大量重复试验频率等于概率及概率之和等于1． 17．(1)，855 (2)估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率为 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，求频率，概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率． （1）用发芽种子颗数种子总数求出a的值，用总种子数发芽种子频率求出b的值即可； （2）随着种子数增多，发芽种子频率稳定在左右，得出这种农作物种子在此条件下发芽的概率即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的种子频率逐渐稳定在左右， ∴估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率约为． 18．(1)， (2)0.5 【分析】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯地依靠几次决定． （1）根据频率公式计算即可． （2）根据表格数据得出投壶次数越来越大，投中的频率趋近于0.5，即可估计出其概率约为0.5． 【详解】（1）解：根据表中的数据可得， ． （2）解：随着投壶次数越来越大，估计甲投壶一次投中的概率为． 19．(1)； (2)估计其中不合格品有件 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用频率估计概率可得任抽一件该产品是合格品的概率，用总件数乘合格的频率即可得出m的值； （2）总件数乘以不合格的概率即可． 【详解】（1）解：估计任抽一件该产品是合格品的概率是， ， 故答案为：，； （2）解：抽取件数为时，合格的频率趋近于， 估计任抽一件该产品是不合格品的概率为； ∴（件）， 答：估计其中不合格品有件． 20．(1)117 (2) (3)棵 【分析】本题考查占比的计算和用频率估计概率，注意数据的精确度，正确的计算是解题的关键． （1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为实验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：117；； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而实验数据量最大为1000粒，对应频率为， 所以这种油菜籽发芽的概率估计值是， （精确到）； 故答案为：； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $