27数学文化与数列创新题（二）（专项拓展篇）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二 第四章 数列 课时27 数学文化与数列创新题（二）（解析版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2023·山东潍坊高三期中考试题）定义：若数列满足（为常数，且自第二项起），则称为等差比数列，为公差比。已知等差比数列中，，，公差比，则的值为（） A. B. C. D. 解析：由等差比数列定义得，，？修正：原公差比定义应为，则，，原答案错误，正确答案为无符合选项，正确值为8。 注：按题干给定公差比定义，则，题目选项设置有误。 2.（2024·湖北黄冈高三月考题）定义等和数列：在一个数列中，每一项与它的后一项的和都为同一个常数，这个常数叫做该数列的公和。已知等和数列中，，公和为，则的值为（） A. B. C. D. 解析：等和数列公和为，则，得，，，周期为；为奇数，故，答案选A。 3.（2023·广东惠州高三一模题）定义等积数列：在一个数列中，每一项与它的后一项的积都为同一个常数，这个常数叫做该数列的公积。已知等积数列中，，公积为，则的值为（） A. B. C. D. 解析：等积数列公积为，则，得，，，周期为；为奇数，故，答案选A。 4.（2024·湖南株洲高三调研题）已知数列满足，若，则的值为（） A. B. C. D. 解析：计算得，，，，，周期为；，故？原答案错误，正确答案为D。 5.（2023·江苏常州高三二模题）定义新运算“”：，设数列满足，，则的值为（） A. B. C. D. 解析：由新运算得，则，，，，原答案错误，正确答案为无符合选项，正确值为2。 注：题目新运算展开有误，正确展开，数列周期为。 6.（2024·浙江绍兴高三质检题）在数列中，，，且（），则该数列的前项和的值为（） A. B. C. D. 解析：计算得，，，，，，周期为，前项和为；，？原答案错误，正确答案为无符合选项，正确值为4。 7.（2023·河南开封高三摸底题）已知数列满足，，则的值为（） A. B. C. D. 解析：由递推式得，累加得，，原答案错误，正确答案为无符合选项。 8.（2024·四川宜宾高三诊断题）对于数列，定义为的“优值”，已知某数列的“优值”，则的值为（） A. B. C. D. 解析：由优值定义得；当时，；当时，；两式相减得，原答案错误，正确答案为A。 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.（2023·河北邯郸高三联考题）定义：若数列满足（为常数），则称为线性递推数列。已知线性递推数列满足，，，则下列说法正确的有（） A. B. C.为递增数列 D.为整数 解析：该数列为斐波那契数列，，，，，故A正确；由递推式得，故B正确；均为正整数且逐项增大，故C、D正确；原选项设置ABD错误，正确答案为ABCD。 10.（2024·福建莆田高三质检题）已知数列是周期为的周期数列，且，，，则下列说法正确的有（） A. B. C. D. 解析：周期为，，故，A正确；，故，B正确；，C正确；，D正确；原选项设置ACD错误，正确答案为ABCD。 11.（2023·安徽芜湖高三一模题）对于数列，给出下列条件，其中能判定为等差数列的有（） A.（） B.（为常数，） C.（） D.（为常数，） 解析：选项B是等差数列定义，正确；选项C等价于，是等差数列中项性质，正确；选项D是等差数列通项公式形式，正确；选项A中，累加得，不是等差数列；答案选BCD。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2024·江西抚州高三段考题）定义对称数列：在一个数列中，若从第项开始到中间项止，各项依次对称相等，则称这个数列为对称数列。已知对称数列共有项，前项为，则该数列的第项为。 解析：对称数列项，前项为，则数列依次为，第项为，答案为。 13.（2023·山西大同高三月考题）已知数列满足，，则数列的通项公式为。 解析：由得，数列是首项为、公比为的等比数列，故，答案为。 14.（2024·陕西榆林高三质检题）在数列中，，，且，则的值为。 解析：由递推式得，则，，故，原答案错误，正确答案为。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）（2023·辽宁盘锦高三联考题）已知数列满足，。 （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式。 解析 （1）证明： 由，两边同除以得： 则（常数） 又，故数列是首项为、公差为的等差数列。 （2）由（1）得 则 答：数列的通项公式为。 16.（15分）（2024·广西玉林高三摸底题）定义新数列：若数列的前项和为，且（）。 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和。 解析 （1）当时， 当时，， 两式相减得 故是首项为、公比为的等比数列，通项公式。 （2）由（1）得 数列是首项为、公差为的等差数列 前项和 答：（1）；（2）。 17.（15分）（2023·云南玉溪高三二模题）已知数列是等积数列，，公积为，数列是等和数列，，公和为。 （1）求和的值； （2）求数列的前项和。 解析 （1）是等积数列，，公积，则 得，，，周期为；为偶数，故 是等和数列，，公和，则 得，，，周期为；为奇数，故 （2）周期为，每两项和为 前项和 答：（1），；（2）。 18.（17分）（2024·贵州六盘水高三诊断题）开放型问题 已知数列的前项和为，，且满足，请从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并作答。 条件①：；条件②：。 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和。 解析 选条件①： （1）由，是首项为、公比为的等比数列 则 当时， 时，符合上式，故 （2）由（1）得 选条件②： （1）由，是首项为、公比为的等比数列 则 （2）前项和 注：原答案中两种条件通项公式一致有误，选①通项为，选②通项为。 19.（17分）（2023·甘肃平凉高三一模题）定义：若数列对任意，都有（为常数），则称为三阶周期数列，为三阶周期和。已知三阶周期数列满足，，三阶周期和。 （1）求，的值； （2）求数列的前项和。 解析 （1）由三阶周期数列定义得 又 （2）由递推得，，周期为，每周期和为 则，原答案错误，正确值为 答：（1），；（2）。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教 A 版选择性必修二第四章数列课时27数学文化与数列创新题（二）（专项拓展篇）（原卷版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2023·山东潍坊高三期中考试题）：定义：若数列满足（为常数，且自第二项起），则称为等差比数列，为公差比。已知等差比数列中，，，公差比，则的值为（） A. B. C. D. 2.（2024·湖北黄冈高三月考题）：定义等和数列：在一个数列中，每一项与它的后一项的和都为同一个常数，这个常数叫做该数列的公和。已知等和数列中，，公和为，则的值为（） A. B. C. D. 3.（2023·广东惠州高三一模题）：定义等积数列：在一个数列中，每一项与它的后一项的积都为同一个常数，这个常数叫做该数列的公积。已知等积数列中，，公积为，则的值为（） A. B. C. D. 4.（2024·湖南株洲高三调研题）：已知数列满足，若，则的值为（） A. B. C. D. 5.（2023·江苏常州高三二模题）：定义新运算“”：，设数列满足，，则的值为（） A. B. C. D. 6.（2024·浙江绍兴高三质检题）：在数列中，，，且（），则该数列的前项和的值为（） A. B. C. D. 7.（2023·河南开封高三摸底题）：已知数列满足，，则的值为（） A. B. C. D. 8.（2024·四川宜宾高三诊断题）：对于数列，定义为的“优值”，已知某数列的“优值”，则的值为（） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.（2023·河北邯郸高三联考题）：定义：若数列满足（为常数），则称为线性递推数列。已知线性递推数列满足，，，则下列说法正确的有（） A. B. C.为递增数列 D.为整数 10.（2024·福建莆田高三质检题）：已知数列是周期为的周期数列，且，，，则下列说法正确的有（） A. B. C. D. 11.（2023·安徽芜湖高三一模题）：对于数列，给出下列条件，其中能判定为等差数列的有（） A.（） B.（为常数，） C.（） D.（为常数，） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2024·江西抚州高三段考题）：定义对称数列：在一个数列中，若从第项开始到中间项止，各项依次对称相等，则称这个数列为对称数列。已知对称数列共有项，前项为，则该数列的第项为。 13.（2023·山西大同高三月考题）：已知数列满足，，则数列的通项公式为_。 14.（2024·陕西榆林高三质检题）：在数列中，，，且，则的值为。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）（2023·辽宁盘锦高三联考题）：已知数列满足，。 （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式。 16.（15分）（2024·广西玉林高三摸底题）：定义新数列：若数列的前项和为，且（）。 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和。 17.（15分）（2023·云南玉溪高三二模题）：已知数列是等积数列，，公积为，数列是等和数列，，公和为。 （1）求和的值； （2）求数列的前项和。 18.（17分）（2024·贵州六盘水高三诊断题）：开放型问题 已知数列的前项和为，，且满足，请从以下两个条件中任选一个补充在横线上，并作答。 条件①：；条件②：。 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和。 19.（17分）（2023·甘肃平凉高三一模题）：定义：若数列对任意，都有（为常数），则称为三阶周期数列，为三阶周期和。已知三阶周期数列满足，，三阶周期和。 （1）求，的值； （2）求数列的前项和。 原卷版答案 1. A 2. A 3. A 4. B 5. A 6. B 7. B 8. C 9. ABD 10. ACD 11. BCD 12. 13. 14. 15. （1）证明略 （2） 16. （1） （2） 17. （1）， （2） 18. 选①：（1） （2）；选②：（1） （2） 19. （1）， （2） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $