专题02 有理数及其运算（期末复习讲义，11知识点+28题型）六年级数学上学期新教材鲁教版五四制

该初中数学复习讲义通过表格系统梳理12个核心考点，明确复习目标与考情规律，结合知识点分模块详解，用对比表格呈现有理数分类、性质归纳等内容，清晰展现绝对值、混合运算等重难点的内在联系。 讲义亮点在于27类题型分类及解题技巧指导，如“数轴上两点间距离”培养几何直观，“实际应用问题”提升应用意识。练习分基础、重难、拓展层次，典例与变式结合，助力不同学生提升运算能力，支持教师精准教学与学生自主复习。

专题02 有理数及其运算（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 有理数的概念与分类（整数、分数；正有理数、0、负有理数） 能准确区分有理数类别，理解负数的实际意义 选择题基础题，概念辨析为主，难度低 2. 数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）及有理数与数轴的对应关系 会画数轴，能在数轴上表示有理数，读出数轴上点对应的数 选择题、填空题常考，难度低 3. 相反数的定义及性质（互为相反数的两数和为0） 能快速求任意有理数的相反数，利用相反数性质解题 选择题、填空题高频考点，难度低 4. 绝对值的定义、性质（正数绝对值是本身，负数是相反数，0的绝对值是0） 熟练计算有理数的绝对值，理解绝对值的非负性 选择题、填空题核心考点，易出错在负数绝对值计算，难度中等 5. 有理数的大小比较（数轴法、法则法） 能熟练比较两个或多个有理数的大小，尤其是负数的大小比较 选择题常考，难度低 6. 有理数的加法法则及运算律（交换律、结合律） 掌握加法法则，灵活运用运算律简化计算，准确判断符号 解答题基础题型，难度中等 7. 有理数的减法法则（减去一个数等于加它的相反数） 能将减法转化为加法计算，处理符号问题 解答题必考，是混合运算的基础，难度中等 8. 有理数的乘除法则及运算律 掌握乘除符号法则，能将除法转化为乘法计算 解答题核心考点，易混淆0相关运算，难度中等 9. 有理数的乘方运算（底数、指数的意义） 理解乘方定义，准确计算有理数的乘方，注意负数乘方的符号 选择题、填空题高频考查，难度中等 10. 有理数的混合运算（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内） 掌握运算顺序，规范步骤，准确计算 解答题必考题型，综合性强，分值占比高，难度中等偏上 11. 近似数与四舍五入法 能区分准确数与近似数，按要求取近似数 选择题、填空题基础题，难度低 12. 科学记数法（表示较大的数） 掌握科学记数法的表示形式 （），能进行数的转化 选择题、填空题常考，难度低 知识点01 认识有理数 ★1、正数和负数的概念： 像 1，2，3，1.8％ 这样大于 0 的数叫做正数. 像 -3，-1，-2，-2.7％ 这样在正数前面加上符号“ - ”(负) 的数叫做负数. 【注意】 判断一个数是正数还是负数，不能简单地理解为带“ +”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，如我们以后会学到 −(−4)就不是负数，而+(−5)也不是正数． ★2、数0 的意义： （1）0 既不是正数也不是负数；（2）0是正数与负数的分界.（3）0不仅表示“没有”，还可以表示某种量的基准，如0℃可以表示实际温度为冰点时的计量结果. ★3、 有理数的概念及其分类 （1）有理数：整数和分数统称为有理数. （2）有理数的分类 ①按整数、分数的关系分类： ②按正数、负数与0的关系分类： 有理数； 有理数． 知识点02 数轴 ★1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. ★2、画数轴的步骤： （1）画直线，取原点：在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点； （2）标正方向：通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向； （3）选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···. ★3 、数轴上的点与有理数的关系 1、任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数. 2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线. 3、一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；表示数﹣a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a个单位长度． ★4、 利用数轴比较有理数的大小 ◆在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 知识点03 相反数 ★1、相反数的定义： 像 2和﹣2，3和﹣3 这样只有符号不同的两个数叫做相反数.（代数意义） 一般地，a 和 -a 互为相反数. ★2、相反数的几何意义： （1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧 (0 除外)； （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等； （3）一般地，设 a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示 数 ﹣a 和 a，我们说这两点关于原点对称. ★3、相反数的性质： 任何一个数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数. 知识点04 绝对值 ★1、绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，0的绝对值等于0. ★2、表示方法：如果a表示一个有理数，那么a的绝对值记作 | a |，读作“a的绝对值”. 【注意】任何数都有绝对值，并且只有一个，数 a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. ★3、绝对值的性质： （1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. （2）字母 a 表示一个有理数，则 【拓展】 （1）互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. （2）几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0. （3）若两个数的绝对值相等,则这两个数相等或互为相反数，即若 |x|=|y| ，则 x=y 或 x=﹣y . （4）当| a |=a时， a是正数或0；当| a |= ﹣a时，a是负数或0 . 知识点05 利用法则比较有理数的大小 ◆1、比较有理数大小的法则： 符号法则 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数． 同号两数比较 大小的法则 两个正数比较大小，绝对值大的数大． 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． ◆2、两个负数比较大小的步骤： （1）分别求出两个负数的绝对值； （2）比较绝对值的大小； （3）根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行判断. 知识点06 有理数的加减运算 ●一、有理数的加法 ★有理数的加法法则： 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． 2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3.互为相反数的两个数相加得 0． 4.一个数与0相加，仍得这个数． ●二、有理数的加法运算律 ★1、有理数的加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．即a + b = b + a. ★2、有理数的加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．用字母表示为：(a + b) + c = a + (b + c). ●三、有理数的减法 ★1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为：a-b=a+(-b)． ★2、有理数减法的运算方法： ①把减号变为加号(改变运算符号)． ②把减数变为它的相反数(改变性质符号)． ③按照加法运算的步骤进行运算． ●四、有理数的加减混合运算 ★有理数的加减混合运算 引入相反数后，有理数的加减混合运算统一成加法运算.即：a+b+(﹣c) 方法 步骤 直接计算 利用有理数的加法及减法法则,按从左到右的顺序运算. 统一为加法计算 （1）利用减法运算法则,将有理数加减混合运算转化为加法运算; （2）适当运用加法运算律简化运算. 知识点07 有理数的乘除运算 ●一、 有理数的乘法 ★1、有理数的乘法法则： （1） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同 0 相乘，都得 0. 拓展：（1）一个数与1相乘等于它本身，与 −1相乘等于它的相反数. （2）若 a，b同号，则ab>0；反之，若 ab>0，则 a，b同号. 若a，b异号，则ab<0；反之，若 ab<0，则 a，b异号. ★2、有理数乘法的求解步骤: (1)确定积的符号； (2)确定积的绝对值． 【注意】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定积的符号，在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． ★3、多个有理数相乘 （1）几个不等于零的数相乘 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数有偶数个时，积为正． （2）几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于0. ●二、 倒数 ★1、倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数．一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． ★2、倒数的性质：如果 a, b互为倒数，那么 ab=1. ★3、倒数的判定：若 ab=1，则 a，b两数互为倒数. ★4、正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【注意】倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫另一个数的倒数，单独一个数不称其为倒数． ●三、 有理数的乘法运算律 ★1、有理数的乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积相等.即a b = b a. ★2、有理数的乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等.用字母表示为：(a b) c = a (b c). 【注意】用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如 a×b 可以写成 a·b 或 ab. ★3、有理数的乘法分配律： 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 用字母表示为：a(b+c) = a b +ac ●四、 有理数的除法 ★1、有理数的除法法则： 有理数除法法则（一）： 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.用字母表示为：a÷b=a·(b≠0)； 有理数除法法则（二）： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0. ★2、有理数的乘除混合运算： 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算） 知识点08 有理数的乘方 ●一、 有理数的乘方的意义 ★有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．一般地，n个相同的数a相乘，简记为，即.乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方，也可以读作a的n次幂．（将an看作是a的n次方的结果时） ●二、 有理数的乘方的运算 ★1、乘方运算的符号法则： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （2）正数的任何正整数次幂都是正数， 0 的任何正整数次幂都是 0. ★2、有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 有相反意义的量就可以用负数表示． ★3、底数为互为相反数的两个数（≠0）的幂的关系： (1)互为相反数的两个非零数的同偶次幂相等，即若a+b=0，则a2n=b2n (n为正整数，a≠0，b≠0). (2)互为相反数的两个非零数的同奇次幂仍然互为相反数， 即若a+b=0，则a2n−1 +b2n−1=0(n为正整数，a≠0，b≠0) （注：若n为正整数，则通常用2n表示整数，2n﹣1表示奇数） 知识点09 科学记数法 ★1、科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． （3）小于−10 的数也可以用科学记数法表示，只是多了一个负号：记作−a×10 n,其中−10＜−a≤−1. ★2、科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 知识点10 有理数的混合运算 ★有理数的混合运算： （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 知识点11 近似数 ★1、准确数与近似数： 意 义 示 例 准确数 与实际完全符合的数. 某班的学生人数为45人，某校一共有60个班级. 近似数 与实际接近的数. 某同学的身高约为156 cm，体重约为53 kg . ★2、判断准确数与近似数的方法： 一般地，用计数的方法得到的数是准确数；用测量工具得到的数是近似数. 【注意】 有时不容易获得准确数或不可能得到准确数时，就只能取近似数.例如，人口普查. 知识点14 近似数的精确度 ★1、近似数的精确度：是指与准确数的接近程度.一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. ★2、近似数的精确度的表述方法： （1）用数位表述：如精确到个位或十分位等； （2）用小数表述：如精确到0.1或0.01等. 【注意】 一个近似数末尾的0不可随意省略,它表示的是这个数的精确度.例如，近似数0.50表示精确到百分位，近似数0.5表示精确到十分位. ★3、近似数的精确度的确定方法： 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该数精确到哪一位. 【说明 】对于用“百、千、万等或科学记数法”表示的数，确定它的精确度时，需先写回原数，再指出它精确到哪一位. ★4、用四舍五入法取近似数：精确到哪一位，只看下一位，够5则进，不够则舍. 题型一 正负数的概念 解｜题｜技｜巧 在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 【典例1】（24-25七年级上·江西上饶·期末）下列语句正确的是（     ） A．“”表示向东走 B．表示没有温度 C．可以表示正数 D．0既是正数也是负数 【变式1】（24-25七年级上·云南红河·期末）在下列各数，7，，，，，0，中，负数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】在有理数 ， ， ，0 ， ，中，正数的个数是（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 题型二 用正负数表示具有相反意义的量 解｜题｜技｜巧 用正负数表示两种具有相反意义的量．通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示． 【典例1】（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）中国是历史上最早认识和使用负数的国家，成书于东汉前期的《九章算术》．在粮谷计算中，益实五斗记为斗，那么损实九斗记为（   ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【变式1】（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）我国古代数学名著《九章算术》对正负数的概念注有：“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入500元记作元，则支出300元记作（    ） A．300元 B．元 C．200元 D．元 【变式2】（23-24七年级上·广东中山·期末）2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射．若火箭发射点火前5秒记为秒，那么火箭发射点火后10秒应记为（    ） A． 秒 B．秒 C．秒 D．秒 B． 题型三 运用正负数表示误差范围 解｜题｜技｜巧 用正负数表示误差范围，首先根据a±b的实际意义，确定了最大值和最小值的结果，从而求出物体允许的误差范围；再将数据与这个误差范围比较，若在这个范围内，则为合格，反之为不合格. 【典例1】某药品说明书上标明药品保存的温度是（20±2）℃，则该药品保存的温度范围是（　　） A．20～22℃ B．18～20℃ C．18～22℃ D．20～24℃ 【变式1】（24-25六年级上·山东泰安·期末）一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉中合格的是（   ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【变式2】某种生物适合生长的温度t满足，该生物适合生长的温度范围是（    ） A． B． C． D． 题型四 有理数及其分类 解｜题｜技｜巧 整数和分数统称为有理数；有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；有理数有两种分类方法，一是按定义来分，分为整数和分数；一是按性质符号来分，分为正有理数、0和负无理数. 【典例1】15．（25-26七年级上·全国·期末）下列7个数：，，0，，3.3，，（每两个1之间依次多一个4）其中有理数有（  ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（24-25七年级上·重庆秀山·月考）下列四个数中，是正整数的是（   ） A． B． C． D．10 【变式2】（25-26六年级上·全国·期末）下列各数，，，20，，中，分数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五 数轴及其画法 解｜题｜技｜巧 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，原点、单位长度和正方向三要素缺一不可. 【典例1】（24-25七年级上·全国·期末）下列选项中，能正确表示数轴的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）下列各图中，数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中画图正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六 数轴上两点间的距离 解｜题｜技｜巧 求数轴上任意两点之间的距离就是求两点之间有多少个单位长度，可借助画数轴加深理解. 【典例1】数轴上点A距原点2个单位长度，点B距原点3个单位长度，则点A与点B之间的距离为（    ）个单位长度． A．1 B．5 C．1或5 D．或 【变式1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知数轴上，两点表示的数分别为和6，是线段的中点，点在线段的延长线上，若，则点表示的数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）已知数轴上的点表示的数为，点是数轴上的点，原点为，且，若点是的中点，那么点表示的数是（    ） A．2或 B．2或4 C．或3 D．1或3 题型七 利用数轴解决实际问题 解｜题｜技｜巧 数形结合解决实际问题，有理数和数轴上的点的关系是数形结合的体现，数轴能直观的反映出点与点之间的关系. 【典例1】如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 　 　. 【变式1】在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【变式2】如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是 ； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点 重合． 题型八 绝对值 解｜题｜技｜巧 一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，如果a表示一个有理数，那么a的绝对值记作 | a |，读作“a的绝对值”. 【典例1】（25-26七年级上·全国·期末）的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·江苏·期末）下列各数中，绝对值最小的数是（   ） A． B．0 C．2 D． 【变式2】的相反数是（　　） A． B． C．2021 D． 题型九 相反数 解｜题｜技｜巧 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，一般地，a 和 -a 互为相反数. 【典例1】下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．和2 B．4和 C．和 D．和 【变式1】在一个数前添加“”表示求这个数的相反数，添加“”就表示原来这个数，那么下列各组数中，不相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】点A在数轴上表示的数是a，当点A在数轴上向左移动了6个单位长度后到点B，点A与点B表示的数恰好互为相反数，则数a是（   ） A． B． C．6 D．3 题型十 有理数的大小比较 解｜题｜技｜巧 1、直接根据符号法则来比较，正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数． 2、利用数轴比较有理数大小的步骤： （1）画数轴并描点； （2）定顺序：确定各点在数轴上的左右顺序； （3）判大小：根据右边的数总比左边的数大确定大小. 3、两个正数比较大小，绝对值大的数大．两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【典例1】（25-26七年级上·全国·期末）有理数，0，12，中，最小的数是（   ） A． B．0 C．12 D． 【变式1】比较下列各组数的大小，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 题型十一 利用绝对值解决实际问题 解｜题｜技｜巧 本题中用绝对值的大小表示产品直径与标准直径的接近程度，由绝对值的几何意义，可知一个数的绝对值越小，其在数轴上对应的点距离原点越近，在这个实际问题中，绝对值越小表示产品直径的尺寸与标准直径的尺寸偏差越小. 【典例1】（25-26七年级上·广西·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·吉林长春·期末）某公司抽检盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数．图中是四盒牛奶的检测数据，小聪很快确定了标注数据为这盒牛奶的容量最接近标准．下列能对小聪的判断作出正确解释的数学概念是（    ） A．相反数 B．绝对值 C．倒数 D．正负数 【变式2】在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 题型十二 有理数的加减法 解｜题｜技｜巧 按照有理数加法和减法运算的步骤进行计算即可解答. 【典例1】（24-25七年级上·山东滨州·期末）以下是我县12月份连续四天的天气预报信息，如图所示，其中日温差最大的一天是（   ） A．12月10日 B．12月11日 C．12月12日 D．12月13日 【变式1】如果，，且，则 ． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十三 有理数的乘除法 解｜题｜技｜巧 按照有理数乘法和除法运算的步骤进行计算即可解答. 【典例1】下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】若，，且，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4) ． 题型十四 有理数的简便运算 解｜题｜技｜巧 1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加； 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整； 3. 有分母相同的分数时，可先把分母相同的分数结合. 4. 在有理数的范围内，运用乘法的的交换律、结合律和分配律可以简化计算. 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级上·天津和平·期末）计算： (1) (2) 【变式2】用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 题型十五 有理数的乘方 解｜题｜技｜巧 1、有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； 2、乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 【典例1】（24-25七年级上·云南玉溪·期末）式子表示的含义是（   ） A．6个2相乘的积的相反数 B．与6相乘的积 C．6与相乘的积的相反数 D．6个相乘的积 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【变式2】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 题型十六 利用有理数的乘方解决实际问题 解｜题｜技｜巧 用有理数的乘方运算解决实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题，常见的问题有 拉面的条数、折纸的张数、绳子的长度、细胞分裂的个数等都利用2n或. 【典例1】（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，某种卷筒纸的外直径为，内直径为，每层纸的厚度为．假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是（π取3.14）（   ） A．3140米 B．31.4米 C．6280米 D．62.8米 【变式1】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的，可以表示十进制中的10．那么，三进制中的表示的是十进制中的（   ） A．54 B．60 C．61 D．73 【变式2】生活情境·剪绳子 有一根1米长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如果以后每次都剪去剩下绳子的，第100次剪完后剩下绳子的长度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型十七 有理数的混合运算 解｜题｜技｜巧 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【典例1】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）计算： (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）计算： (1) (2) 【变式2】计算： (1) (2)． 题型十八 乘方与相反数、倒数、绝对值的综合 解｜题｜技｜巧 1、互为相反数的两个数的偶次幂相等、奇次幂仍互为相反数； 2、相反数是它本身的数是0； 3、倒数等于它本身的数是1和﹣1； 4、绝对值和偶次方都具有非负性. 【典例1】如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，且原点为，根据图中各点位置，则下列选项不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】已知|a|＝5，b2＝9，解答下列问题： （1）由|a|＝5，b2＝9，可得a＝　 　，b＝　 　． （2）若ab＜0，求|a+b|的值．【变式2】（24-25七年级上·湖北恩施·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值． (2)化简：． 题型十九 科学记数法 解｜题｜技｜巧 科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．10的指数比原来的整数位数少1． 【典例1】（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）九三阅兵之后国际形势变化较大，全国要求台湾回归祖国的呼声越来越高．据统计截至11月以来，收到相关邮件为800万件，用科学记数法表示是（    ） A．件 B．件 C．件 D．件 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）过度包装既浪费资源又污染环境．据测算，如果全国每年减少十分之一的包装纸用量，那么将减少二氧化碳的排放量．数据3120000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）2025年中国新能源汽车销量预计达1650万辆（含出口），将数据1650万用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 题型二十 近似数 解｜题｜技｜巧 求一个数的近似数，一般用四舍五入法取近似数：精确到哪一位，只看下一位，够5则进，不够则舍. 【典例1】（24-25七年级上·浙江·期末）对1270.394取近似值，正确的是（　　） A．1270.40（精确到0.01） B．1270.39（精确到十分位） C．（精确到百位） D．（精确到十位） 【变式1】由四舍五入法得到的近似数，下列说法正确的是（   ） A．精确到万位 B．精确到百位 C．精确到千分位 D．精确到百分位 【变式2】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）下列说法错误的是（   ） A．近似数3.58精确到0.01 B．近似数精确到百分位 C．近似数2.51万精确到百位 D．近似数2.40是由数a四舍五入得到的，则数a的取值是 题型二十一 有理数的实际应用问题 解｜题｜技｜巧 利用有理数的混合运算求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题. 【典例1】有一批试剂，每瓶标准剂量为200毫升，现抽取8瓶样品进行检测，根据标准计量，用正数表示高于标准量、负数表示低于标准量，统计结果如下（单位：毫升）： ，，，，，，，． (1)这8瓶样品试剂的总剂量是多少？ (2)现在要将这8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量，若增加或者减少每瓶试剂剂量的人工费是12元毫升，则共需要多少人工费？ 【变式1】“十一”黄金周期间，磁器口在7天假期中每天的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化（单位：万人） +1.6 +0.8 +0.4 ﹣0.4 ﹣0.8 +0.2 ﹣1.2 (1)7天内游客最多的是哪一天？最少的是哪一天？它们相差多少人？ (2) 若9月30日的游客人数是1万，请求出这7天的游客总人数． 【变式2】小海家新换了一辆新能源汽车，他以每天平均行驶50千米为标准，连续一周记录了实际行驶路程与标准的差值（多于记为正，不足记为负，刚好记为0），数据如下表： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 与标准差值（） 0 (1)这七天中，行驶路程最多的一天比最少的一天多走了多少千米？ (2)小海家的新能源汽车这七天实际一共行驶了多少千米？ (3)已知他家原来的燃油车每100千米耗油升，汽油单价元/升；新能源汽车每100千米耗电15千瓦时，充电单价元/千瓦时．则这七天使用新能源汽车比燃油车节省了多少元？ 题型二十二 有理数的规律探究问题 解｜题｜技｜巧 本题考查数字变化的规律，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 【典例1】观察下列各式：，那么的个位数字是（    ） A．9 B．3 C．2 D．0 【变式1】【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 【变式2】“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图． (1)求图中第行第个数是__________； (2)第二行的数字之和是 ，第三行的数字之和 ，第行的数字之和 ； (3)求图中前行所有的数字之和． 题型二十三 有理数的乘除法的规律探究题 解｜题｜技｜巧 裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． 【典例1】观察下列各式： … （1）猜想　 　； （2）根据上面的规律，解答下列问题： ①（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1） ②将2016减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 【变式1】探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 【变式2】观察下列各式： ，； ，； ，； 解答下列各题： （1）尝试并计算：； （2）尝试并计算：； （3）； （4）尝试并计算：． 题型二十四 含乘方的规律探究题 解｜题｜技｜巧 乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到一般，由得到的规律来解决问题． 【典例1】观察下列等式：，① ，② ，③ … (1)请直接写出第⑩个等式； (2)根据上述等式的排列规律，猜想并写出第n个等式（n是正整数）． 【变式1】仔细观察下列三组数： 第一组：1，4，9，16，25，； 第二组：0，，，，，； 第三组：，，，，，． (1)第一组数是按什么规律排列的？ 第二组数与第一组数有什么关系？ (2)按第三组的排列规律，第9，10两个数各是多少？ (3)取每组的第20个数，计算这三个数的和． 【变式2】为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 题型二十五 有理数的材料阅读问题 解｜题｜技｜巧 材料阅读题要根据题中的材料来分析并解决问题，此题中是根据倒数法进行有理数的混合运算，有些含分数的数学问题直接求解比较麻烦，而若把分子、分母上下颠倒，则可立即找到突破口，这种解法称为倒数法，本题中先将被除数与除数的位置互换，先求其结果，再求出原式的结果. 【典例1】阅读下面解答过程：计算：． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)上面解题过程存在错误，是从第　　步开始错误的； (2)写出正确的解答过程． 【变式1】下面是小胡同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：（﹣48）÷36×（） 解：原式＝（﹣48）÷（﹣4）⋯⋯⋯⋯⋯第①步 ＝12⋯⋯⋯⋯⋯第②步 问题：（1）上述解题过程中，从第 　 　步开始出错（填“①”或“②”）； （2）写出本题的正确解答过程． 【变式2】阅读下列材料： 计算：50÷（）． 解法一：原式＝50505050×3﹣50×4+50×12＝550． 解法二：原式＝50÷（）＝5050×6＝300． 解法三：原式的倒数为（）÷50＝（） 故原式＝300． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法　 　是错误的．在正确的解法中，你认为解法　 　最简捷．然后，请你解答下列问题： 计算：（）÷（）． 题型二十六 有理数的程序图问题 解｜题｜技｜巧 利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． 【典例1】根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为，则输出的结果是（   ） A．4 B．20 C．36 D．100 【变式1】如图是小欣设计的一个运算程序，当她输入时，输出的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（    ） A． B． C． D． 题型二十七 有理数的新定义运算问题 解｜题｜技｜巧 新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查. 【典例1】对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ，，，，，，，...... (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整：同号得正，异号得_______，并把绝对值_______；一个数与0相“乘加”等于_______； (2)根据法则计算：_______；________； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：． 【变式1】数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【变式2】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）规定：求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：_______； (2)比较大小：_______；（填“”，“”或“”） (3)算一算：； (4)关于除方，下列说法错误的是________ A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 题型二十八 绝对值的几何意义 解｜题｜技｜巧 绝对值是一个数与零的距离，无论这个数是正数还是负数，其绝对值都是非负数。绝对值的几何意义可以推而广之，表示两点之间的距离，并不一定强调与原点的距离。例如：| x-a |的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a的点之间的距离. 【典例1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示和的两点之间的距离是　 　． ②数轴上表示和的两点之间的距离是　 　． ③数轴上表示和的两点之间的距离是　 　． 归纳：一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)应用： ①如果表示数和的两点之间的距离是，则可记为：，那么　 　．    ②求的最小值． 【变式1】【阅读】 表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看成，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)若，则__________． (2)利用数轴，找出所有符合条件的整数，使所表示的点到和所对应的点的距离之和为． (3)由以上探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【变式2】阅读下面材料： 在数轴上5与所对的两点之间的距离：； 在数轴上与3所对的两点之间的距离：； 在数轴上与所对的两点之间的距离：； 在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离． 回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是___________；数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为___________；数轴上表示数___________和___________的两点之间的距离表示为； (2)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究： ①请你借助数轴，当表示数x的点在与3之间移动时，求的值； ②要使，请你求出数轴上表示点的数x的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家，若收入元记作元，那么支出元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．下列说法，正确的个数是（    ） ① 0既不是正数，也不是负数； ② 是正有理数； ③可以写成分数形式的数就是有理数； ④不是自然数，也不是有理数． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一刻度尺如图贴放，刻度尺上“”和“”对应的数分别是和，那么的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．（25-26七年级上·广东·期末）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体 氦气 氢气 氮气 氧气 液化温度 其中液化温度最低的气体是（） A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气 5．（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上一点P表示的数是x，则表示的数是的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 6．（24-25七年级上·吉林·期末）下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与3 C．与 D．5与 7．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·湖南·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数分别为 和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026对应的是（   ） A．点D B．点C C．点B D．点A 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若a、b互为相反数，则 D．若，则a＞b 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）2024年浙江省中考考生约54.9万人，该近似数“54.9万”精确到了（   ） A．十分位 B．十位 C．千位 D．万位 11．求的值，可设，则，因此，．参照以上推理，计算的值为（    ） A． B． C． D． 12．设a、b都表示有理数，规定一种新运算“”：当时，；当时，．例如：；． (1)______； (2)求． 13．计算： （1）； （2）； （3）； （4） ． 14．（1）已知，求的值． （2）若，，且，求的值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．小王在网店上销售文具，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周文具的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 文具销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小王第一周实际销售文具的总量是多少千克？ (3)若文具售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文具销售收入共多少元？ 16．有依次排列的3个数：5，2，0，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在两个数之间，可产生一个新数串①：5，，2，，0，这称作第一次操作；对数串①进行同样的操作后也可产生一个新的数串②：5，，，5，2，，，2，0……依次操作下去． (1)数串①的所有数之和为_________，数串②的所有数之和为_________， (2)数串③共有_________个数，所有数之和为_________． (3)请列式计算：操作第66次产生的新数串的所有数字之和是多少？ 17．如图，数轴的单位长度为1，点C，D表示的数互为相反数，结合数轴回答下列问题： (1)请在数轴上标出原点O的位置； (2)直接写出点A，B，C，D所表示的数，并判断哪一点表示的数的平方最大，最大是多少？ (3)设点M，N都从点A出发沿数轴的正方向匀速向终点D运动，点M的速度为每秒2个单位长度，点N的速度为每秒5个单位长度，当点M运动到点B时点N开始运动，设点M运动的时间为t秒，求点M，N之间的距离．（用含t的代数式表示） 18．在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数及其运算（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 有理数的概念与分类（整数、分数；正有理数、0、负有理数） 能准确区分有理数类别，理解负数的实际意义 选择题基础题，概念辨析为主，难度低 2. 数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）及有理数与数轴的对应关系 会画数轴，能在数轴上表示有理数，读出数轴上点对应的数 选择题、填空题常考，难度低 3. 相反数的定义及性质（互为相反数的两数和为0） 能快速求任意有理数的相反数，利用相反数性质解题 选择题、填空题高频考点，难度低 4. 绝对值的定义、性质（正数绝对值是本身，负数是相反数，0的绝对值是0） 熟练计算有理数的绝对值，理解绝对值的非负性 选择题、填空题核心考点，易出错在负数绝对值计算，难度中等 5. 有理数的大小比较（数轴法、法则法） 能熟练比较两个或多个有理数的大小，尤其是负数的大小比较 选择题常考，难度低 6. 有理数的加法法则及运算律（交换律、结合律） 掌握加法法则，灵活运用运算律简化计算，准确判断符号 解答题基础题型，难度中等 7. 有理数的减法法则（减去一个数等于加它的相反数） 能将减法转化为加法计算，处理符号问题 解答题必考，是混合运算的基础，难度中等 8. 有理数的乘除法则及运算律 掌握乘除符号法则，能将除法转化为乘法计算 解答题核心考点，易混淆0相关运算，难度中等 9. 有理数的乘方运算（底数、指数的意义） 理解乘方定义，准确计算有理数的乘方，注意负数乘方的符号 选择题、填空题高频考查，难度中等 10. 有理数的混合运算（先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内） 掌握运算顺序，规范步骤，准确计算 解答题必考题型，综合性强，分值占比高，难度中等偏上 11. 近似数与四舍五入法 能区分准确数与近似数，按要求取近似数 选择题、填空题基础题，难度低 12. 科学记数法（表示较大的数） 掌握科学记数法的表示形式 （），能进行数的转化 选择题、填空题常考，难度低 知识点01 认识有理数 ★1、正数和负数的概念： 像 1，2，3，1.8％ 这样大于 0 的数叫做正数. 像 -3，-1，-2，-2.7％ 这样在正数前面加上符号“ - ”(负) 的数叫做负数. 【注意】 判断一个数是正数还是负数，不能简单地理解为带“ +”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，如我们以后会学到 −(−4)就不是负数，而+(−5)也不是正数． ★2、数0 的意义： （1）0 既不是正数也不是负数；（2）0是正数与负数的分界.（3）0不仅表示“没有”，还可以表示某种量的基准，如0℃可以表示实际温度为冰点时的计量结果. ★3、 有理数的概念及其分类 （1）有理数：整数和分数统称为有理数. （2）有理数的分类 ①按整数、分数的关系分类： ②按正数、负数与0的关系分类： 有理数； 有理数． 知识点02 数轴 ★1、数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. ★2、画数轴的步骤： （1）画直线，取原点：在直线上任取一点表示数 0，这个点叫做原点； （2）标正方向：通常规定直线上从原点向右 (或上) 为正方向，从原点向左 (或下) 为负方向； （3）选取单位长度，标数：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，···；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，···. ★3 、数轴上的点与有理数的关系 1、任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点都不表示有理数. 2、数轴上原点右边的数是正数，原点左边的数是负数，0 是正、负数的分界线. 3、一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；表示数﹣a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a个单位长度． ★4、 利用数轴比较有理数的大小 ◆在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 知识点03 相反数 ★1、相反数的定义： 像 2和﹣2，3和﹣3 这样只有符号不同的两个数叫做相反数.（代数意义） 一般地，a 和 -a 互为相反数. ★2、相反数的几何意义： （1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧 (0 除外)； （2）互为相反数的两个数到原点的距离相等； （3）一般地，设 a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示 数 ﹣a 和 a，我们说这两点关于原点对称. ★3、相反数的性质： 任何一个数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数. 知识点04 绝对值 ★1、绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，0的绝对值等于0. ★2、表示方法：如果a表示一个有理数，那么a的绝对值记作 | a |，读作“a的绝对值”. 【注意】任何数都有绝对值，并且只有一个，数 a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. ★3、绝对值的性质： （1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. （2）字母 a 表示一个有理数，则 【拓展】 （1）互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. （2）几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0. （3）若两个数的绝对值相等,则这两个数相等或互为相反数，即若 |x|=|y| ，则 x=y 或 x=﹣y . （4）当| a |=a时， a是正数或0；当| a |= ﹣a时，a是负数或0 . 知识点05 利用法则比较有理数的大小 ◆1、比较有理数大小的法则： 符号法则 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数． 同号两数比较 大小的法则 两个正数比较大小，绝对值大的数大． 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． ◆2、两个负数比较大小的步骤： （1）分别求出两个负数的绝对值； （2）比较绝对值的大小； （3）根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行判断. 知识点06 有理数的加减运算 ●一、有理数的加法 ★有理数的加法法则： 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． 2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3.互为相反数的两个数相加得 0． 4.一个数与0相加，仍得这个数． ●二、有理数的加法运算律 ★1、有理数的加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．即a + b = b + a. ★2、有理数的加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．用字母表示为：(a + b) + c = a + (b + c). ●三、有理数的减法 ★1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为：a-b=a+(-b)． ★2、有理数减法的运算方法： ①把减号变为加号(改变运算符号)． ②把减数变为它的相反数(改变性质符号)． ③按照加法运算的步骤进行运算． ●四、有理数的加减混合运算 ★有理数的加减混合运算 引入相反数后，有理数的加减混合运算统一成加法运算.即：a+b+(﹣c) 方法 步骤 直接计算 利用有理数的加法及减法法则,按从左到右的顺序运算. 统一为加法计算 （1）利用减法运算法则,将有理数加减混合运算转化为加法运算; （2）适当运用加法运算律简化运算. 知识点07 有理数的乘除运算 ●一、 有理数的乘法 ★1、有理数的乘法法则： （1） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同 0 相乘，都得 0. 拓展：（1）一个数与1相乘等于它本身，与 −1相乘等于它的相反数. （2）若 a，b同号，则ab>0；反之，若 ab>0，则 a，b同号. 若a，b异号，则ab<0；反之，若 ab<0，则 a，b异号. ★2、有理数乘法的求解步骤: (1)确定积的符号； (2)确定积的绝对值． 【注意】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定积的符号，在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． ★3、多个有理数相乘 （1）几个不等于零的数相乘 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数有偶数个时，积为正． （2）几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于0. ●二、 倒数 ★1、倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数．一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． ★2、倒数的性质：如果 a, b互为倒数，那么 ab=1. ★3、倒数的判定：若 ab=1，则 a，b两数互为倒数. ★4、正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【注意】倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫另一个数的倒数，单独一个数不称其为倒数． ●三、 有理数的乘法运算律 ★1、有理数的乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积相等.即a b = b a. ★2、有理数的乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等.用字母表示为：(a b) c = a (b c). 【注意】用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如 a×b 可以写成 a·b 或 ab. ★3、有理数的乘法分配律： 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. 用字母表示为：a(b+c) = a b +ac ●四、 有理数的除法 ★1、有理数的除法法则： 有理数除法法则（一）： 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.用字母表示为：a÷b=a·(b≠0)； 有理数除法法则（二）： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0. ★2、有理数的乘除混合运算： 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算） 知识点08 有理数的乘方 ●一、 有理数的乘方的意义 ★有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．一般地，n个相同的数a相乘，简记为，即.乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方，也可以读作a的n次幂．（将an看作是a的n次方的结果时） ●二、 有理数的乘方的运算 ★1、乘方运算的符号法则： （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （2）正数的任何正整数次幂都是正数， 0 的任何正整数次幂都是 0. ★2、有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 有相反意义的量就可以用负数表示． ★3、底数为互为相反数的两个数（≠0）的幂的关系： (1)互为相反数的两个非零数的同偶次幂相等，即若a+b=0，则a2n=b2n (n为正整数，a≠0，b≠0). (2)互为相反数的两个非零数的同奇次幂仍然互为相反数， 即若a+b=0，则a2n−1 +b2n−1=0(n为正整数，a≠0，b≠0) （注：若n为正整数，则通常用2n表示整数，2n﹣1表示奇数） 知识点09 科学记数法 ★1、科学记数法—表示较大的数 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． （3）小于−10 的数也可以用科学记数法表示，只是多了一个负号：记作−a×10 n,其中−10＜−a≤−1. ★2、科学记数法—原数 （1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 知识点10 有理数的混合运算 ★有理数的混合运算： （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 知识点11 近似数 ★1、准确数与近似数： 意 义 示 例 准确数 与实际完全符合的数. 某班的学生人数为45人，某校一共有60个班级. 近似数 与实际接近的数. 某同学的身高约为156 cm，体重约为53 kg . ★2、判断准确数与近似数的方法： 一般地，用计数的方法得到的数是准确数；用测量工具得到的数是近似数. 【注意】 有时不容易获得准确数或不可能得到准确数时，就只能取近似数.例如，人口普查. 知识点14 近似数的精确度 ★1、近似数的精确度：是指与准确数的接近程度.一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. ★2、近似数的精确度的表述方法： （1）用数位表述：如精确到个位或十分位等； （2）用小数表述：如精确到0.1或0.01等. 【注意】 一个近似数末尾的0不可随意省略,它表示的是这个数的精确度.例如，近似数0.50表示精确到百分位，近似数0.5表示精确到十分位. ★3、近似数的精确度的确定方法： 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该数精确到哪一位. 【说明 】对于用“百、千、万等或科学记数法”表示的数，确定它的精确度时，需先写回原数，再指出它精确到哪一位. ★4、用四舍五入法取近似数：精确到哪一位，只看下一位，够5则进，不够则舍. 题型一 正负数的概念 解｜题｜技｜巧 在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 【典例1】（24-25七年级上·江西上饶·期末）下列语句正确的是（     ） A．“”表示向东走 B．表示没有温度 C．可以表示正数 D．0既是正数也是负数 【答案】C 【分析】本题主要考查了0的意义，正负数的定义，相反意义的量，相反数的定义，根据知识点逐一可判断即可． 【详解】解：A、“”表示向规定的正方向走，原说法错误，不符合题意； B、表示有温度，原说法错误，不符合题意； C、若是正数，则是负数，若是负数，则是正数，若是0，则是0，原说法正确，符合题意； D、0既不是正数也不是负数，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·云南红河·期末）在下列各数，7，，，，，0，中，负数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查有理数分类，负数定义等．根据题意逐一计算每个表达式的值，判断是否为负数，负数指小于零的数． 【详解】解：∵ ， ， ， ， （2025为奇数）， 而，，既非正也非负， ∴ 负数有5个， 故选：C． 【变式2】在有理数 ， ， ，0 ， ，中，正数的个数是（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【分析】本题考查正数与负数，化简多重符号，计算绝对值．各项计算得到结果，即可判断． 【详解】解：，， 在有理数 ， ， ，0 ， ，中，正数有 和， 共有2个， 故选：B． 题型二 用正负数表示具有相反意义的量 解｜题｜技｜巧 用正负数表示两种具有相反意义的量．通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示． 【典例1】（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）中国是历史上最早认识和使用负数的国家，成书于东汉前期的《九章算术》．在粮谷计算中，益实五斗记为斗，那么损实九斗记为（   ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：益实五斗记为斗，那么损实九斗记为斗， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）我国古代数学名著《九章算术》对正负数的概念注有：“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入500元记作元，则支出300元记作（    ） A．300元 B．元 C．200元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握正负数的意义．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示即可． 【详解】解：根据题意，收入500元记作元，则支出300元记作元． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级上·广东中山·期末）2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射．若火箭发射点火前5秒记为秒，那么火箭发射点火后10秒应记为（    ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【分析】本题考查正负数的实际应用，正负数可以用来表示具有相反意义的量；根据题意，发射前的时间记为负数，发射后的时间记为正数. 【详解】解：∵火箭发射点前5秒记为秒， ∴火箭发射点火后10秒应记为秒. 故选：A. 题型三 运用正负数表示误差范围 解｜题｜技｜巧 用正负数表示误差范围，首先根据a±b的实际意义，确定了最大值和最小值的结果，从而求出物体允许的误差范围；再将数据与这个误差范围比较，若在这个范围内，则为合格，反之为不合格. 【典例1】某药品说明书上标明药品保存的温度是（20±2）℃，则该药品保存的温度范围是（　　） A．20～22℃ B．18～20℃ C．18～22℃ D．20～24℃ 【答案】C． 【分析】此题比较简单，根据正数和负数的定义便可解答． 【详解】解：温度是20℃±2℃，表示最低温度是20℃﹣2℃＝18℃，最高温度是20℃+2℃＝22℃，即18℃～22℃之间是合适温度． 故选：C． 【点睛】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【变式1】（24-25六年级上·山东泰安·期末）一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉中合格的是（   ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的实际应用，根据题意求出合格面粉的最小质量和最大质量即可求解； 【详解】解：由题意得：合格面粉的最小质量为：千克； 最大质量为：千克； 故D选项符合题意； 故选：D 【变式2】某种生物适合生长的温度t满足，该生物适合生长的温度范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数的实际应用，解题的关键是理解“”表示的范围是到. 根据“”的含义，先计算出适合生长的最低温度和最高温度，确定温度范围后，对比选项得出答案． 【详解】解：“”表示最低温度为，最高温度为，即该生物适合生长的温度范围是； 故选：B． 题型四 有理数及其分类 解｜题｜技｜巧 整数和分数统称为有理数；有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；有理数有两种分类方法，一是按定义来分，分为整数和分数；一是按性质符号来分，分为正有理数、0和负无理数. 【典例1】15．（25-26七年级上·全国·期末）下列7个数：，，0，，3.3，，（每两个1之间依次多一个4）其中有理数有（  ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查有理数，掌握有理数的分类是解题的关键．根据整数和分数统称为有理数，进行判断即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，不属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； （每两个1之间依次多一个4）是无限不循环小数，不属于有理数； 则有理数共有5个． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·重庆秀山·月考）下列四个数中，是正整数的是（   ） A． B． C． D．10 【答案】D 【分析】根据正整数的定义来逐一分析选项．正整数是指大于的整数．本题主要考查了正整数的定义，熟练掌握正整数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 正整数是指大于的整数， ∴ 选项A：是负整数，不是正整数， 选项B：是无理数，不是整数， 选项C：是分数，不是整数， 选项D：是大于的整数，是正整数， 故选：D． 【变式2】（25-26六年级上·全国·期末）下列各数，，，20，，中，分数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的分类． 根据分数定义选择即可． 【详解】解：是整数，不是分数； 是分数； 是有限小数，属于分数； 20是整数，不是分数； 是有限小数，属于分数； 可转化成分数，属于分数； 故分数有4个， 故选：D． 题型五 数轴及其画法 解｜题｜技｜巧 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，原点、单位长度和正方向三要素缺一不可. 【典例1】（24-25七年级上·全国·期末）下列选项中，能正确表示数轴的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查的是数轴，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】解：A、此数轴无正方向，本选项不符合题意； B、此数轴无原点，本选项不符合题意； C、此数轴表示正确，本选项符合题意； D、此数轴单位标注错误，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）下列各图中，数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素，原点，单位长度，正方向即可得到答案． 【详解】 解：是一条射线，不是数轴，故选项A不符合题意； 单位长度不一致，不是数轴，故选项B不符合题意； 没有正方向且位置错误，不是数轴，故选项C不符合题意； 是数轴，故选项D符合题意； 故选D． 【变式2】如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中画图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴，根据数轴的三要素（原点、正方向和单位长度）逐项判断即可． 【详解】解：A，单位长度不均匀，故错误； B，正确； C，数据顺序不对，故错误； D，没有标注及正方向，故错误； 故选B． 题型六 数轴上两点间的距离 解｜题｜技｜巧 求数轴上任意两点之间的距离就是求两点之间有多少个单位长度，可借助画数轴加深理解. 【典例1】数轴上点A距原点2个单位长度，点B距原点3个单位长度，则点A与点B之间的距离为（    ）个单位长度． A．1 B．5 C．1或5 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 点、点在数轴上的位置可能位于原点的左侧或右侧，分类计算即可． 【详解】解：∵点距原点2个单位长度，∴表示的数为； 点距原点3个单位长度，∴表示的数为； 当点表示的数为2，点表示的数为3时，； 当点表示的数为2，点表示的数为时，； 当点表示的数为，点表示的数为3时，； 当点表示的数为，点表示的数为时，； ∴点A与点B之间的距离为1或5． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知数轴上，两点表示的数分别为和6，是线段的中点，点在线段的延长线上，若，则点表示的数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点表示有理数，数轴上中点的计算，掌握数轴的特点是解题的关键． 根据题意可得点表示的有理数，结合点在线段的延长线上，若，即可求解． 【详解】解：∵数轴上，两点表示的数分别为和，是线段的中点， ∴点表示的数为， ∵点在线段的延长线上，若， ∴点表示的数为， 故选：A ． 【变式2】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）已知数轴上的点表示的数为，点是数轴上的点，原点为，且，若点是的中点，那么点表示的数是（    ） A．2或 B．2或4 C．或3 D．1或3 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的点所表示的数，熟练掌握到数轴上一点距离相等的点有两个，然后分类讨论是解题的关键．根据数轴上两点间的距离右边的数左边的数，先得出点表示的数为或6，再根据是的中点，即可得出点表示的数． 【详解】解：原点为，且， 点表示的数为或6， 点表示的数为， 当点表示的数为时，， 点是的中点， ， 点表示的数为， 当点表示的数为6时，同理可得点表示的数为2， 综上，点表示的数是2或， 故选：A． 题型七 利用数轴解决实际问题 解｜题｜技｜巧 数形结合解决实际问题，有理数和数轴上的点的关系是数形结合的体现，数轴能直观的反映出点与点之间的关系. 【典例1】如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 　 　. 【答案】﹣2π． 【分析】由数轴的概念，圆周长公式，即可计算． 【详解】解：∵圆的周长为2πr＝2π， ∴半径为单位1圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是﹣2π． 故答案为：﹣2π． 【点睛】本题考查数轴的概念，圆周长公式，关键是掌握数轴的三要素． 【变式1】在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上点的运动规律问题，根据数轴上运动时“右加左减”计算即可． 【详解】解：∵，， ∴第113秒时，点在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 【变式2】如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是 ； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点 重合． 【答案】 【分析】此题主要考查数轴的特点，解题的关键是根据题意得到正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位． （1）根据正方形滚动1周后点的位置得出点对应的数； （2）根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数的点． 【详解】（1）由题可得，正方形向左滚动一周，正方形的顶点向左移动4个单位， 所以正方形向左滚动一周后，点对应的数为：， 故答案为：； （2）∵ 所以将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2025表示的点与点B重合； 故答案为：． 题型八 绝对值 解｜题｜技｜巧 一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，如果a表示一个有理数，那么a的绝对值记作 | a |，读作“a的绝对值”. 【典例1】（25-26七年级上·全国·期末）的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的定义． 一个数的绝对值表示该数到原点的距离，总是非负的，负数的绝对值是其相反数． 根据绝对值的定义作答即可． 【详解】解：的绝对值是． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·江苏·期末）下列各数中，绝对值最小的数是（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的大小比较，计算各数的绝对值再比较大小． 【详解】解：∵， ， ，， ∴ 绝对值最小的是0， 故选：B． 【变式2】的相反数是（　　） A． B． C．2021 D． 【答案】D 【分析】本题考查求一个数的绝对值，相反数，根据负数的绝对值等于它的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解：的相反数是； 故选D． 题型九 相反数 解｜题｜技｜巧 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，一般地，a 和 -a 互为相反数. 【典例1】下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．和2 B．4和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值，化简多重符号，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 分别化各选项中的数，再根据相反数的定义判断． 【详解】解：A、和2是互为相反数，符合题意； B、，那么和4不是互为相反数，不符合题意； C、和不是互为相反数，不符合题意； D、，，则和不是互为相反数，不符合题意； 故选：A． 【变式1】在一个数前添加“”表示求这个数的相反数，添加“”就表示原来这个数，那么下列各组数中，不相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了化简多重符号，相反数的意义，掌握相反数的意义是解题的关键．先化简再比较两个数，即可判断出答案． 【详解】解：A. 和 ，相等，故该选项不符合题意； B.和 ，相等，故该选项不符合题意； C. 和，不相等，故该选项符合题意；     D. 和，相等，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】点A在数轴上表示的数是a，当点A在数轴上向左移动了6个单位长度后到点B，点A与点B表示的数恰好互为相反数，则数a是（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了数轴以及相反数，正确表示出点对应的数是解题的关键． 根据题意，点表示的数为，由点与点互为相反数可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：点表示的数为，向左移动个单位后到达点， 则点表示的数为． 点与点互为相反数， ． 合并同类项得：， 解得． 故选：D． 题型十 有理数的大小比较 解｜题｜技｜巧 1、直接根据符号法则来比较，正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数． 2、利用数轴比较有理数大小的步骤： （1）画数轴并描点； （2）定顺序：确定各点在数轴上的左右顺序； （3）判大小：根据右边的数总比左边的数大确定大小. 3、两个正数比较大小，绝对值大的数大．两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【典例1】（25-26七年级上·全国·期末）有理数，0，12，中，最小的数是（   ） A． B．0 C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 根据有理数大小比较法则作答即可． 【详解】解：∵是负数，、0、12都是非负数，负数小于零和正数， ∴最小． 故选：D． 【变式1】比较下列各组数的大小，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数比较大小，绝对值的性质的运用，掌握有理数比较大小的方法是解题的关键． 通过直接计算比较各组数的大小，利用绝对值性质和负数比较法则判断． 【详解】解：A、因为正数大于负数，所以，故A错误； B、因为，所以，故B错误； C、因为，，，所以，故C错误； D、因为，，，所以，故D正确． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·福建泉州·期末）有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数和绝对值．由得到与互为相反数，从而利用相反数的定义得出原点位置，进而结合绝对值的性质得出答案． 【详解】解： ， 与互为相反数， 原点在，中间位置， 距离原点最远， 、、、三个数中绝对值最大的数是． 故选：D 题型十一 利用绝对值解决实际问题 解｜题｜技｜巧 本题中用绝对值的大小表示产品直径与标准直径的接近程度，由绝对值的几何意义，可知一个数的绝对值越小，其在数轴上对应的点距离原点越近，在这个实际问题中，绝对值越小表示产品直径的尺寸与标准直径的尺寸偏差越小. 【典例1】（25-26七年级上·广西·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义．通过计算每个足球与标准质量差值的绝对值，比较绝对值大小，绝对值越小越接近标准． 【详解】解：∵ ，，，， 又∵ ， ∴ 最接近标准的是选项C． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·吉林长春·期末）某公司抽检盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数．图中是四盒牛奶的检测数据，小聪很快确定了标注数据为这盒牛奶的容量最接近标准．下列能对小聪的判断作出正确解释的数学概念是（    ） A．相反数 B．绝对值 C．倒数 D．正负数 【答案】B 【分析】根据绝对值最小的越接近标准解答即可． 本题考查了绝对值的应用，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，且， ∴标注数据为这盒牛奶的容量最接近标准． 能解释这一判断的依据是绝对值． 故选：B． 【变式2】在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1)小杰的视力最差，理由见解析 (2)6名学生中有2人需要配戴眼镜 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键． （1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解； （2）求出6名学生数据的绝对值，分别比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：小杰的视力最差． ∵， ∴最小，与标准差的最多， ∴小杰的视力最差． （2）解：∵，，，，， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜． 题型十二 有理数的加减法 解｜题｜技｜巧 按照有理数加法和减法运算的步骤进行计算即可解答. 【典例1】（24-25七年级上·山东滨州·期末）以下是我县12月份连续四天的天气预报信息，如图所示，其中日温差最大的一天是（   ） A．12月10日 B．12月11日 C．12月12日 D．12月13日 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，熟练掌握有理数减法的运算法则是解决此题的关键．分别求出每天的温差，然后进行比较即可． 【详解】解：12月10日的温差为， 12月11日的温差为， 12月12日的温差为， 12月13日的温差为， ∴温差最大的一天是12月13日， 故选：D． 【变式1】如果，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值、有理数大小的比较和有理数的加法，解题的关键是掌握求绝对值、有理数大小的比较和有理数的加法．由绝对值的意义得，结合得，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵，， ∴，， ∴． 故答案为∶ ． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据有理数的加减法则计算即可得解； （2）根据有理数的加减法则计算即可得解； （3）根据有理数的加减法则计算即可得解； （4）根据有理数的加减法则计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十三 有理数的乘除法 解｜题｜技｜巧 按照有理数乘法和除法运算的步骤进行计算即可解答. 【典例1】下列计算①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了多个有理数的乘法运算，有理数的除法运算，有理数乘除混合运算等知识点，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 按照有理数的乘法法则和除法法则进行计算即可．注意结果符号的判断． 【详解】解：①，故原计算错误； ②，故原计算错误； ③，故计算正确； ④，故计算正确； 综上，计算正确的有：，共个， 故选：． 【变式1】若，，且，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘法法则，由绝对值的意义得，再根据有理数的乘法法则可得，或，，求出的值进而即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴异号， ∴，或，， ∴或， ∴， 故选：． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题关键． （1）按照有理数乘法运算的法则进行计算即可； （2）按照有理数乘法运算的法则进行计算即可； （3）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （4）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 题型十四 有理数的简便运算 解｜题｜技｜巧 1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加； 2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整； 3. 有分母相同的分数时，可先把分母相同的分数结合. 4. 在有理数的范围内，运用乘法的的交换律、结合律和分配律可以简化计算. 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先去括号，再根据有理数加法运算律和加减运算法则计算即可； （）根据有理数的加法运算律和运算法则计算即可； 本题考查了有理数的加减运算，掌握有理数的加减运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级上·天津和平·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法和加减法的混合运算，正确计算是解题的关键． （1）利用乘法分配律计算； （2）利用乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)27 (2)11 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更简便，要注意对运算算式的整理． （1）把带分数化为假分数，然后利用有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ． 题型十五 有理数的乘方 解｜题｜技｜巧 1、有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； 2、乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 【典例1】（24-25七年级上·云南玉溪·期末）式子表示的含义是（   ） A．6个2相乘的积的相反数 B．与6相乘的积 C．6与相乘的积的相反数 D．6个相乘的积 【答案】A 【分析】本题考查了有理数乘方的意义，根据乘方的定义即可求出答案． 【详解】解：式子表示的含义是6个2相乘的积的相反数， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·期末）当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查乘方的运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 根据乘方的意义进行判断即可． 【详解】解：当时， ①，正确． ②，正确． ③，故错误． ④，则，故错误． 故选：A． 【变式2】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方的含义，乘法分配律的应用，通过提取 简化表达式，利用负数的奇数次幂为负的性质进一步求解即可． 【详解】解：∵ ， 又∵ （指数2025为奇数）， ∴ 原式． 故选：C 题型十六 利用有理数的乘方解决实际问题 解｜题｜技｜巧 用有理数的乘方运算解决实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题，常见的问题有 拉面的条数、折纸的张数、绳子的长度、细胞分裂的个数等都利用2n或. 【典例1】（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，某种卷筒纸的外直径为，内直径为，每层纸的厚度为．假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是（π取3.14）（   ） A．3140米 B．31.4米 C．6280米 D．62.8米 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算和圆柱的计算．用空心圆柱的底面积÷厚度即可． 【详解】解：纸的总长度 米． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的，可以表示十进制中的10．那么，三进制中的表示的是十进制中的（   ） A．54 B．60 C．61 D．73 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 根据三进制与十进制的数的转化方法计算即可． 【详解】解：， 故三进制中的表示的是十进制中的61， 故选：C． 【变式2】生活情境·剪绳子 有一根1米长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如果以后每次都剪去剩下绳子的，第100次剪完后剩下绳子的长度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方和数字类规律，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 根据题意可得第一次剪去绳子的，剩下绳子的长度是（米），第二次剪去剩下绳子的，剩下绳子的长度是（米），……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：因为第一次剪去绳子的，所以剩余（米）， 因为第二次剪去剩下绳子的，所以第二次剪去后剩下的绳子长度是（米）， 因为第三次剪去剩下绳子的，所以第三次剪去后剩下的绳子长度是（米）， …… 以此类推，第100次剪完后剩下绳子的长度是米． 故选：C． 题型十七 有理数的混合运算 解｜题｜技｜巧 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【典例1】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)20 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算； （1）先计算乘方和小括号里的计算，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式2】计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握混合运算法则． （1）先算乘方，再算乘除，最后计算加减法即可； （2）先算乘方，化简绝对值，再算乘除，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型十八 乘方与相反数、倒数、绝对值的综合 解｜题｜技｜巧 1、互为相反数的两个数的偶次幂相等、奇次幂仍互为相反数； 2、相反数是它本身的数是0； 3、倒数等于它本身的数是1和﹣1； 4、绝对值和偶次方都具有非负性. 【典例1】如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，且原点为，根据图中各点位置，则下列选项不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，绝对值的性质，不等式的性质等知识．关键是利用好数轴来判断两个数的大小． 根据，，的大小，进行判断即可． 【详解】解：根据数轴得，，，，， A、，所以，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意． D、，所以，所以，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】已知|a|＝5，b2＝9，解答下列问题： （1）由|a|＝5，b2＝9，可得a＝　 　，b＝　 　． （2）若ab＜0，求|a+b|的值． 【分析】（1）利用有理数的乘方，绝对值的定义求解a、b的值； （2）利用有理数的乘法确定a、b的可能取值，再计算|a+b|的值． 【详解】解：（1）∵|a|＝5，b2＝9， ∴a＝±5，b＝±3； 故答案为：±5，±3； （2）由（1）得a＝±5，b＝±3， 又∵ab＜0， ∴a、b异号， ∴|a+b|＝2． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，绝对值的定义，有理数的乘法和加法，解题的关键是掌握有理数的乘方，绝对值的定义，有理数的乘法和加法． 【变式2】（24-25七年级上·湖北恩施·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数轴可得，再由得到，据此求解即可； （2）由数轴可知，据此化简绝对值并计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：由数轴可知， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则混合计算，有理数的除法和加法计算，化简绝对值等等，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． 题型十九 科学记数法 解｜题｜技｜巧 科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．10的指数比原来的整数位数少1． 【典例1】（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）九三阅兵之后国际形势变化较大，全国要求台湾回归祖国的呼声越来越高．据统计截至11月以来，收到相关邮件为800万件，用科学记数法表示是（    ） A．件 B．件 C．件 D．件 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，将800万转换为8000000，再根据科学记数法的定义（，其中）进行表示． 【详解】解：∵ 800万， 又∵ 科学记数法要求，其中， ∴； 故选B． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）过度包装既浪费资源又污染环境．据测算，如果全国每年减少十分之一的包装纸用量，那么将减少二氧化碳的排放量．数据3120000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）2025年中国新能源汽车销量预计达1650万辆（含出口），将数据1650万用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：1650万， 故选：B． 题型二十 近似数 解｜题｜技｜巧 求一个数的近似数，一般用四舍五入法取近似数：精确到哪一位，只看下一位，够5则进，不够则舍. 【典例1】（24-25七年级上·浙江·期末）对1270.394取近似值，正确的是（　　） A．1270.40（精确到0.01） B．1270.39（精确到十分位） C．（精确到百位） D．（精确到十位） 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法与有效数字，近似数，掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入即可． 【详解】解：A、1270.39（精确到0.01），原选项错误，不符合题意； B、1270.4（精确到十分位），原选项错误，不符合题意； C、（精确到百位），原选项错误，不符合题意； D、（精确到十位），原选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】由四舍五入法得到的近似数，下列说法正确的是（   ） A．精确到万位 B．精确到百位 C．精确到千分位 D．精确到百分位 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法近似数的精确度，将科学记数法转换为原数是解题的关键． 近似数表示61800，末位数字8在百位上，据此解答即可． 【详解】解：，末位数字8表示8百，则精确到百位， 故选：B． 【变式2】（24-25六年级下·黑龙江绥化·期末）下列说法错误的是（   ） A．近似数3.58精确到0.01 B．近似数精确到百分位 C．近似数2.51万精确到百位 D．近似数2.40是由数a四舍五入得到的，则数a的取值是 【答案】B 【分析】本题考查近似数，根据各选项的数值形式确定其精确到的数位． 【详解】A.近似数3.58精确到0.01，正确，不符合题意； B.精确到百位，错误，符合题意； C.2.51万，末位1在百位，故精确到百位，正确，不符合题意； D.近似数2.40精确到百分位，原数a的取值范围为，正确，不符合题意； 故选：B． 题型二十一 有理数的实际应用问题 解｜题｜技｜巧 利用有理数的混合运算求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题. 【典例1】有一批试剂，每瓶标准剂量为200毫升，现抽取8瓶样品进行检测，根据标准计量，用正数表示高于标准量、负数表示低于标准量，统计结果如下（单位：毫升）： ，，，，，，，． (1)这8瓶样品试剂的总剂量是多少？ (2)现在要将这8瓶样品试剂再加工制作成标准剂量，若增加或者减少每瓶试剂剂量的人工费是12元毫升，则共需要多少人工费？ 【答案】(1)1596毫升 (2)696元 【分析】本题考查的是正负数，解题的关键是掌握有理数的加减法法则． (1)8个数据和加上8瓶标准试剂的总量即可； (2)计算这8个数据绝对值的和，然后乘12元得人工费． 【详解】（1）解： (毫升)， 答：这8瓶样品试剂的总剂量是1596毫升； （2）解： (元) 答：共需要696元人工费． 【变式1】“十一”黄金周期间，磁器口在7天假期中每天的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化（单位：万人） +1.6 +0.8 +0.4 ﹣0.4 ﹣0.8 +0.2 ﹣1.2 (1)7天内游客最多的是哪一天？最少的是哪一天？它们相差多少人？ (2)若9月30日的游客人数是1万，请求出这7天的游客总人数． 【答案】(1)3日人最多，7日人最少，它们相差2.2万人； (2)20.2万人 【分析】（1）设9月30日，游客人数为人，分别用的代数式表示七天内游客人数，再找出最多的人数，以及对应的日期即可． （2）先把七天内游客人数分别用的代数式表示，再求和，把代入化简后的式子，进而得出答案． 【详解】（1）解：设9月30日，游客人数为人， 则七天内游客人数分别是：，，，，，，， 所以3日人最多，7日人最少， 它们相差：（万人）； （2）解：若9月30日的游客人数是1万，即=1万， 则这7天的游客总人数为： （万人）． 【点睛】本题考查正数和负数的知识，解题的关键是要读懂题目，根据题目给出的条件，列式计算，注意单位的统一． 【变式2】小海家新换了一辆新能源汽车，他以每天平均行驶50千米为标准，连续一周记录了实际行驶路程与标准的差值（多于记为正，不足记为负，刚好记为0），数据如下表： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 与标准差值（） 0 (1)这七天中，行驶路程最多的一天比最少的一天多走了多少千米？ (2)小海家的新能源汽车这七天实际一共行驶了多少千米？ (3)已知他家原来的燃油车每100千米耗油升，汽油单价元/升；新能源汽车每100千米耗电15千瓦时，充电单价元/千瓦时．则这七天使用新能源汽车比燃油车节省了多少元？ 【答案】(1)17 (2)366 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）由表格数据得出最大的数与最小的数，将其作差并计算即可； （2）用再加上表中数据的和列式计算即可； （3）结合（2）中所求结果列式分别计算两种方式的费用，然后计算比较即可． 【详解】（1）解： ， 即这 7 天里路程最多的一天比最少的一天多走； （2）解： 千米， 即小海家的新能源汽车这七天实际一共行驶了366千米； （3）解：用汽油的费用：元， 用电的费用：元， ， 即这七天使用新能源汽车比燃油车节省了元． 题型二十二 有理数的规律探究问题 解｜题｜技｜巧 本题考查数字变化的规律，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 【典例1】观察下列各式：，那么的个位数字是（    ） A．9 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】由31+32+33+34个位数字是0，得到规律个位数字四个为一组的循环，再由2019÷4=504…3，即可求解． 【详解】解：∵31=3，32=9，33=27，34=81， ∴31+32+33+34个位数字是0， 由此可知个位数字的规律是四个一组循环， ∵2019÷4=504…3， ∴3+32+33+…+32018+32019的个位数字与31+32+33个位数字相同， ∴3+32+33+…+32018+32019的个位数字是9； 故选：A． 【点睛】本题考查数字的变化规律；能够通过已知条件确定尾数的循环规律是解题的关键． 【变式1】【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 【答案】（1）①；②；③；（2）当时，；当时，；（3） 【分析】本题考查了有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方，再比较有理数的大小即可得； （2）根据（1）的结果，进行归纳即可得； （3）根据（2）的结果，取即可得． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴； ②∵，，， ∴； ③∵，，， ∴； 故答案为：①；②；③． （2）根据（1）的结果，经过归纳得：当时，；当时，． （3）∵， ∴，即， 故答案为：． 【变式2】“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图． (1)求图中第行第个数是__________； (2)第二行的数字之和是 ，第三行的数字之和 ，第行的数字之和 ； (3)求图中前行所有的数字之和． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（）根据题意和图形解答即可； （）由图形可求出第二行、第三行的数字之和，进而求出第四行、第五行的数字之和，从而找到规律，即可得到第行的数字之和； （）设前行所有的数字之和为，可得，，用即可求解； 本题考查了数字类变化规律，有理数的加法和乘方运算，整式的加减，解题的关键是观察图形的变化，找到数字的变化规律． 【详解】（1）解：由题意得，图中第行第个数是， 故答案为：； （2）解：由图可得，第二行的数字之和是，第三行的数字之和， ∵第二行的数字之和是， 第三行的数字之和是， 第四行的数字之和是， 第五行的数字之和是， ， ∴第行的数字之和， 故答案为：，，； （3）解：设前行所有的数字之和为， 则， ∴ 得， ， 即， ∴图中前行所有的数字之和为． 题型二十三 有理数的乘除法的规律探究题 解｜题｜技｜巧 裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值． 【典例1】观察下列各式： … （1）猜想　 　； （2）根据上面的规律，解答下列问题： ①（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1） ②将2016减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 【分析】（1）根据所给各式发现规律，结果的分子为第1个分数的分子，分母为最后1个分数的分母； （2）原式括号中变形计算后，约分即可得到结果； （3）根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：（1）∵ … ∴ 故答案为：； （2）①原式（）×（）×…×（）×（） ； ②由题意得，2016×（1）×（1）×…×（1）＝2016 ＝1． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式1】探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，正确理解新定义掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意得出：同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可． （2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算即可； （3）根据题意得出，确定，然后代入式子进行计算即可． 【详解】（1）解：① =， 故答案为：． ② =， 故答案为：． （2）解： = ． （3）∵， ∴， ∴， ∴ ． 【变式2】观察下列各式： ，； ，； ，； 解答下列各题： （1）尝试并计算：； （2）尝试并计算：； （3）； （4）尝试并计算：． 【分析】（1）利用计算的规律，直接拆分计算即可； （2）利用计算的规律，直接拆分计算即可； （3）先去绝对值，再抵消法计算即可求解； （4）利用计算的规律，两次拆分计算即可． 【详解】解：（1） ＝1 ＝1 ； （2） （1） （1） ； （3） ＝1 ＝1 ； （4） （） （） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 题型二十四 含乘方的规律探究题 解｜题｜技｜巧 乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数的变化规律，由特殊到一般，由得到的规律来解决问题． 【典例1】观察下列等式：，① ，② ，③ … (1)请直接写出第⑩个等式； (2)根据上述等式的排列规律，猜想并写出第n个等式（n是正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，数字规律的运用， （1）根据材料提示的运算法则，数字规律，代入计算即可； （2）根据上述运算，总结规律即可． 【详解】（1）解：第①个等式，， 第②个等式，， 第③个等式，， 第④个等式，， ∴第⑩个等式，， ∴第⑩个等式，； （2）解：根据（1）中的计算可得，第个等式为：， 检验：等式左边 右边， ∴第个等式是． 【变式1】仔细观察下列三组数： 第一组：1，4，9，16，25，； 第二组：0，，，，，； 第三组：，，，，，． (1)第一组数是按什么规律排列的？ 第二组数与第一组数有什么关系？ (2)按第三组的排列规律，第9，10两个数各是多少？ (3)取每组的第20个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)见解析 (2)第9个数为，第10个数为 (3) 【分析】（1）第一组按，，，，排列，第二组按，，，，排列，由此进一步得出答案即可； （2）第三组数的分子是连续自然数，分母是对应分母的平方加1，奇数位置为正，第n个数为，偶数位置为负，第n个数为，由此求得答案即可； （3）根据规律求得每组的第20个数，再相加即可． 此题考查了有理数的乘方，数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题． 【详解】（1）解：第一组数是按正整数1，2，3，4，5，的平方数的顺序排列的， 即，，，，，， 第二组数是由第一组的每一个数减去1，再取差的相反数得到的， 即，，，，，． （2）解：第三组数的规律是，，，，，， 即当n为奇数时，第n个数是； 当n为偶数时，第n个数是， ∴这组数的第9个数为， 则第10个数是． （3）解：第一组的第20个数是， 第二组的第20个数是， 第三组的第20个数是， ∴． 这三个数的和为：． 【变式2】为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了数字类规律探究和有理数的乘方运算， 根据题干所提供的思路，设，再把这个等式两边同时乘以得到，把这两个等式两边分别相减得到得，然后再把两边同时除以可得结果； 根据规律可得第第个数是；仿照中的解题思路设，把等式两边同式乘以得到则，把两个等式两边同时相加可得，然后再把两边同时除以即可得到结果． 【详解】（1）设， 则． 由，得， ， 即； （2）解：第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 根据规律可得第个数是； 设， 则． 由，得， ， 即这列数中前个数的和是． 题型二十五 有理数的材料阅读问题 解｜题｜技｜巧 材料阅读题要根据题中的材料来分析并解决问题，此题中是根据倒数法进行有理数的混合运算，有些含分数的数学问题直接求解比较麻烦，而若把分子、分母上下颠倒，则可立即找到突破口，这种解法称为倒数法，本题中先将被除数与除数的位置互换，先求其结果，再求出原式的结果. 【典例1】阅读下面解答过程：计算：． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)上面解题过程存在错误，是从第　　步开始错误的； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】（1）先观察已知条件的步骤，观察各个步骤，第一步的变成了，变成了，由此进行判断即可； （2）利用加法的交换律，交换加数的位置，进行有理数的简便计算即可． 【详解】（1）解：是从第一步开始错误， 故答案为：一． （2）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题关键是熟练掌握有理数的加法运算律． 【变式1】下面是小胡同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：（﹣48）÷36×（） 解：原式＝（﹣48）÷（﹣4）⋯⋯⋯⋯⋯第①步 ＝12⋯⋯⋯⋯⋯第②步 问题：（1）上述解题过程中，从第 　 　步开始出错（填“①”或“②”）； （2）写出本题的正确解答过程． 【分析】（1）根据有理数的乘除混合运算法则，从左到右依次计算． （2）根据有理数的乘除混合运算法则，先将除法运算转换为乘法运算，再计算乘法． 【详解】解：（1）根据有理数的乘除混合运算，从左到右依次计算， ∴（﹣48）÷36×（）应先计算除法． ∴从第一步开始出错． 故答案为：①． （2）（﹣48）÷36×（） ＝﹣48 ． 【点睛】本题主要考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算法则是解决本题的关键． 【变式2】阅读下列材料： 计算：50÷（）． 解法一：原式＝50505050×3﹣50×4+50×12＝550． 解法二：原式＝50÷（）＝5050×6＝300． 解法三：原式的倒数为（）÷50＝（） 故原式＝300． 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法　 　是错误的．在正确的解法中，你认为解法　 　最简捷．然后，请你解答下列问题： 计算：（）÷（）． 【分析】上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，我认为解法一是错误的．在正确的解法中，你认为解法三最简捷； 利用乘法分配律求出原式倒数的值，即可求出原式的值． 【解答】解：上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，我认为解法一是错误的．在正确的解法中，你认为解法三最简捷； 故答案为：一；三； 原式的倒数为（）÷（）＝（）×（﹣42）＝﹣7+9﹣28+12＝﹣14， 则原式． 【点评】此题考查了有理数的除法，弄清题意是解本题的关键． 题型二十六 有理数的程序图问题 解｜题｜技｜巧 利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． 【典例1】根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为，则输出的结果是（   ） A．4 B．20 C．36 D．100 【答案】D 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，根据流程图，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：当输入x的值为，则，， 输入x的值为4，则，， ∴输出的结果是100． 故选：D． 【变式1】如图是小欣设计的一个运算程序，当她输入时，输出的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，根据流程图列出算式，然后先计算绝对值里面的减法，再根据绝对值的性质进行化简，最后进行有理数的加法运算即可．解题的关键是掌握相应的运算法则、性质及运算顺序． 【详解】解：∵输入，则根据流程图得： ， 又∵， ∴再根据流程图得： ． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，，第次结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查运算程序，代数式的值，规律探索，根据运算程序先判断输入的数是奇数还是偶数，是奇数选择运算，是偶数选择计算，直到从第4次开始偶数次输出结果为6，奇数次输出结果为3，根据2025为奇数，即可得出第2025次结果． 【详解】解：第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， 第次输出的结果为：， ， 从第次开始，以，依次循环， 因为， 所以第次输出的结果为． 故选：A． 题型二十七 有理数的新定义运算问题 解｜题｜技｜巧 新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查. 【典例1】对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ，，，，，，，...... (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整：同号得正，异号得_______，并把绝对值_______；一个数与0相“乘加”等于_______； (2)根据法则计算：_______；________； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：． 【答案】(1)负，相加，这个数的绝对值 (2)， (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的运算对式子进行计算． （1）根据新的运算，对照式子直接写出答案即可； （2）根据新的运算，写出运算的式子，再计算出结果即可； （3）根据新的运算先分别算出和，再计算出即可． 【详解】（1）解：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值， 故答案为：负，相加，这个数的绝对值； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解： ． 【变式1】数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可； （2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可； （3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值； （2）； （3）当同号时，，， ∴， 当异号时，， ∴， 当有1个为0，或两个都为0也满足， ∴新运算“”具有交换律； 如，． 【变式2】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）规定：求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：_______； (2)比较大小：_______；（填“”，“”或“”） (3)算一算：； (4)关于除方，下列说法错误的是________ A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【答案】(1) (2) (3) (4)C 【分析】本题主要考查有理数的新定义运算方法，在有理数除法的基础上定义多个相同的非零数的除法的表达方法，并根据有理数除法法则计算； 理解除方的定义、掌握有理数的乘除法、乘方运算法则是解题的关键． （1）根据除方的定义、有理数除法法则计算即可； （2）根据除方的定义，结合有理数除法的运算法则计算，再比较大小即可； （3）先将乘方、除方按照运算规则展开，再算乘除，最后算加减，计算的过程中注意符号(正负)的变化． （4）根据除方的定义，结合有理数除法的运算法则逐一判断即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ，，， 故答案为：； （3）解： ； （4）解：A、任何非零数的圈2次方就是两个相同的数相除，即都等于1，说法正确，不符合题意； B、多少个1相除都是1，即对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1，说法正确，不符合题意； C、，，，即，说法错误，符合题意； D、负数的圈奇数次方相当于奇数个负数相除，结果是负数；负数的圈偶数次方相当于偶数个负数相除，结果是正数，说法正确，不符合题意， 故答案为：C ． 题型二十八 绝对值的几何意义 解｜题｜技｜巧 绝对值是一个数与零的距离，无论这个数是正数还是负数，其绝对值都是非负数。绝对值的几何意义可以推而广之，表示两点之间的距离，并不一定强调与原点的距离。例如：| x-a |的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数a的点之间的距离. 【典例1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示和的两点之间的距离是　 　． ②数轴上表示和的两点之间的距离是　 　． ③数轴上表示和的两点之间的距离是　 　． 归纳：一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)应用： ①如果表示数和的两点之间的距离是，则可记为：，那么　 　．    ②求的最小值． 【答案】(1)①；②；③ (2)①或；② 【分析】（1）根据题意：一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于，结合计算即可； （2）①根据题意，结合绝对值的意义，进行计算即可得出的值；②根据数轴上两点间的距离，得出当在和之间时，有最小值，进行计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：①；②；③ （2）解：① ∴， 解得：或， 即或； 故答案为：或 ②根据数轴上两点间的距离，可得：当在和之间时，有最小值， 最小值为． 【点睛】本题考查了数轴表示数的意义和方法、绝对值的意义，理解数轴上两点距离的计算方法是解本题的关键． 【变式1】【阅读】 表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看成，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)若，则__________． (2)利用数轴，找出所有符合条件的整数，使所表示的点到和所对应的点的距离之和为． (3)由以上探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)最小值为5 【分析】（1）与2的差的绝对值为5，则与2的差为，从而去掉绝对值解方程即可； （2）根据数轴上2和−1所对应的点的距离恰好为3，说明在2和−1之间； （3）可理解为数轴上到表示2和-3的点的距离之和，当在2和-3之间时，值最小． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得或 故答案为：或 （2）解：在数轴上点2和−1所对应的点的距离恰好为， 则， 所以可取整数为 （3）解：最小值为5，理由如下， 可理解为数轴上到表示2和-3的点的距离之和，当在2和-3之间时最小，最小值为 【点睛】本题考查了绝对值的计算、绝对值的定义，牢固掌握绝对值的定义是解题关键． 【变式2】阅读下面材料： 在数轴上5与所对的两点之间的距离：； 在数轴上与3所对的两点之间的距离：； 在数轴上与所对的两点之间的距离：； 在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离． 回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是___________；数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为___________；数轴上表示数___________和___________的两点之间的距离表示为； (2)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究： ①请你借助数轴，当表示数x的点在与3之间移动时，求的值； ②要使，请你求出数轴上表示点的数x的值． 【答案】(1)3，，x， (2)①5  ②或 【分析】（1）利用距离公式，计算即可； （2）①根据绝对值的意义化简计算即可； ②分，，，求解即可． 【详解】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是； 数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为； 数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为, 故答案为：3，，x，． （2）①∵， ∴． ②当时，， ∵， ∴， 解得，符合题意； 当时，， ∵， ∴， 解得，符合题意； 当时，， ∵， ∴矛盾，不成立， 故或． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的化简，熟练掌握掌握距离公式，正确理解绝对值的特点和意义是解题的关键． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家，若收入元记作元，那么支出元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题可根据正负数表示相反意义的量这一概念，分析收入和支出的表示方法，进而得出支出元的记法．本题主要考查了正负数的意义，熟练掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵收入用正数表示， ∴支出与收入是相反意义的量， ∴支出元应记作元． 故选：B． 2．下列说法，正确的个数是（    ） ① 0既不是正数，也不是负数； ② 是正有理数； ③可以写成分数形式的数就是有理数； ④不是自然数，也不是有理数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的相关定义及分类． 根据有理数的定义和性质逐项判断． 【详解】解： ①0既不是正数也不是负数，正确； ②是循环小数，可化为分数，是正有理数，正确； ③有理数的定义是能写成分数形式的数，正确； ④是有限小数，是有理数，错误； 正确的有①②③，共3个， 故选：C． 3．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一刻度尺如图贴放，刻度尺上“”和“”对应的数分别是和，那么的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 根据数轴上两点间的距离公式计算即可． 【详解】解：根据数轴可知：， 解得． 故选：D． 4．（25-26七年级上·广东·期末）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体 氦气 氢气 氮气 氧气 液化温度 其中液化温度最低的气体是（） A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数比较大小，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键． 通过比较各气体的液化温度数值，找出最小的数，即为液化温度最低的气体． 【详解】解：∵， ∴， ∴液化温度最低的气体是氦气． 故选：A． 5．（25-26七年级上·全国·期末）如图，数轴上一点P表示的数是x，则表示的数是的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查数轴上数的表示与相反数的几何意义，解题的关键是确定点表示的数的范围，进而分析的范围． 先判断点表示的数的范围，再计算的范围，结合数轴上点的位置确定对应点． 【详解】解：由数轴可知，点在与0之间，即：， 将不等式两边同时乘以，得：， 观察数轴： 点表示，不满足； 点在与之间，不满足； 点在0与1之间，不满足； 点在0与2之间，满足． 故选：D． 6．（24-25七年级上·吉林·期末）下列各组数中互为相反数的是（    ） A．与 B．与3 C．与 D．5与 【答案】A 【分析】本题考查相反数的概念，解题关键是理解相反数的定义，并准确计算每个数的值． 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，分别计算每个选项中两个数的值，判断是否只有符号不同，即可作答． 【详解】解：A、，则与互为相反数，故该选项符合题意； B、与3不是互为相反数，故该选项不符合题意； C、，与不是互为相反数，故该选项不符合题意； D、，5与不是互为相反数，故该选项不符合题意； 故选：A 7．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，根据相关法则计算并判断即可． 【详解】解：A、，故此选项正确，不符合题意； B、，故此选项不正确，符合题意； C、，故此选项正确，不符合题意； D、，故此选项正确，不符合题意； 故选：B． 8．（25-26七年级上·湖南·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数分别为 和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026对应的是（   ） A．点D B．点C C．点B D．点A 【答案】D 【分析】本题考查了用点来表示数轴上的有理数，规律探究，正确理解正方形转动的规律是解题的关键．利用已知，找到循环规律，然后看对应的数2026的是谁即可． 【详解】解：正方形在数轴上点对应的数分别为， 正方形的边长为1， 转动时点对应的数依次为； 点对应的数依次是 点对应的数依次是 点对应的数依次是 ， 2026对应的是第507次循环后的点． 故选：. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若a、b互为相反数，则 D．若，则a＞b 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的意义，相反数，有理数的运算，根据绝对值的意义，相反数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，故选项A说法错误； B、若，则，故选项B说法错误； C、若a、b互为相反数且不为0时，，则，故选项C说法错误； D、若，则a＞b，表述是正确的； 故选：D． 10．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）2024年浙江省中考考生约54.9万人，该近似数“54.9万”精确到了（   ） A．十分位 B．十位 C．千位 D．万位 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度，解题的关键是理解近似数精确到哪一位的判断方法． 先将54.9万还原为原数，再看近似数中最后一位数字所在的数位，即可确定其精确到的位数． 【详解】54.9万， 在近似数54.9万中，数字9在千位上，所以近似数“54.9万”精确到千位， 故选：C． 11．求的值，可设，则，因此，．参照以上推理，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘方的含义，根据题目信息，设，求出，然后相减计算即可得解． 【详解】设， 则，因此， 所以 ． 故选D． 12．设a、b都表示有理数，规定一种新运算“”：当时，；当时，．例如：；． (1)______； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即可得； （2）先计算，再计算，即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了有理数的运算，解题的关键是理解题意，掌握有理数的新运算． 13．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）原式利用减法法则变形，然后利用加法交换律和结合律计算即可得到结果； （2）原式利用乘法分配律解题即可得到结果； （3）原式利用乘法分配律的逆运算即可得到结果； （4）原式先运算乘方和括号，然后乘除，最后加减计算即可得到结果． 【详解】解：（1） ＝3； （2） ＝12﹣18+8 ＝2； （3） ； （4） ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 14．（1）已知，求的值． （2）若，，且，求的值． 【答案】（1）；（2）或5 【分析】（1）利用相反数，非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可求出值； （2）利用绝对值的代数意义求出x的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得：， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 当，时，， 当，时，． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法，非负数的性质，绝对值的意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 15．小王在网店上销售文具，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周文具的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 文具销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小王第一周实际销售文具的总量是多少千克？ (3)若文具售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文具销售收入共多少元？ 【答案】(1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售20千克 (2)小王第一周实际销售文具的总量是718千克 (3)小王这一周文具销售收入共3590元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，涉及了有理数的混合运算，注意计算的准确性． （1）用周六文具的销量减去周五文具的销量即可； （2）计算即可求解； （3）收入=（售价－运费）×总量，据此即可求解． 【详解】（1）解：根据表格可知，实际每天销售量最多超过13千克，实际每天销售量最少低7千克， 所以（千克）， 答：小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售20千克． （2）解：小王第一周实际销售文具的总量： （千克）， 答：小王第一周实际销售文具的总量是718千克． （3）解：小王这一周文具销售收入共： （元）， 答：小王这一周文具销售收入共3590元． 16．有依次排列的3个数：5，2，0，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在两个数之间，可产生一个新数串①：5，，2，，0，这称作第一次操作；对数串①进行同样的操作后也可产生一个新的数串②：5，，，5，2，，，2，0……依次操作下去． (1)数串①的所有数之和为_________，数串②的所有数之和为_________， (2)数串③共有_________个数，所有数之和为_________． (3)请列式计算：操作第66次产生的新数串的所有数字之和是多少？ 【答案】(1)2， (2)17， (3) 【分析】此题主要考查了有理数混合运算，数字变化类，关键是找出规律，要求要有一定的解题技巧，解题的关键是能找到所增加的数是定值． （1）根据题意进行有理数加减混合计算，求得答案； （2）根据题意，理解数串的计算办法并填空 （3）根据题意可发现每次操作加，从而求得第66次操作后所有数之和为． 【详解】（1）解：数串①所有数字之和为：； 数串②所有数字之和为：； 故答案为：2，； （2）解：第3次操作以后所产生的数串③共有个数， 数串③为． 所有数之和为： ， 故答案为：17，； （3）解：∵第一次操作增加数字：， 第二次操作增加数字：， 第三次操作增加数字：， ∴第一次操作增加5+， 第二次操作增加， 第三次操作增加， 即每次操作加， 第66次操作后所有数之和为． 17．如图，数轴的单位长度为1，点C，D表示的数互为相反数，结合数轴回答下列问题： (1)请在数轴上标出原点O的位置； (2)直接写出点A，B，C，D所表示的数，并判断哪一点表示的数的平方最大，最大是多少？ (3)设点M，N都从点A出发沿数轴的正方向匀速向终点D运动，点M的速度为每秒2个单位长度，点N的速度为每秒5个单位长度，当点M运动到点B时点N开始运动，设点M运动的时间为t秒，求点M，N之间的距离．（用含t的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，而的平方最大，最大为49； 所以A点表示的数的平方最大； (3)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）根据点C，D表示的数互为相反数，则原点位于线段的中点处，即可确定； （2）根据数轴即可确定四点表示的数；计算出四点表示的数的平方即可； （3）表示出M、N两点表示的数，分三种情况考虑，当时；当时；当时，即可求得． 【详解】（1）解：原点位置如图所示； （2）解：由数轴知，A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，而， 所以A点表示的数的平方最大；最大为49； （3）解：运动t秒后，点M表示的数为， 当时，点M在上运动，点N静止， 则； 当时，点N表示的数为， 则； 当时，此时点N到达终点D，点M继续运动； 则； 综上，当时，；当时，；当时， ． 【点睛】本题考查了数轴上的点表示有理数，两点间的距离，相反数，列代数式，乘方运算，动点问题等知识，理解题意，掌握相关知识与运算是关键． 18．在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，，9 (2)7 (3)①2.5或7.5；②或 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 【点睛】本题考查了数轴，数轴上两点之间的距离，以及数轴上的动点问题，正确的表示出t秒后P、Q所对应的数，以及分类讨论是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $