精品解析：山东省莱西市第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025年秋季高一数学 一、单选题 1. 若集合，，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意求出，再求其子集个数即可. 【详解】因为，所以， 所以的子集个数为：2． 故选：B． 2. 已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】因为点为其终边上一点，且， 由三角函数的定义，可得，解得或或， 又因为是第二象限角，所以，所以. 故选：D. 3. 已知幂函数与指数函数的图像都过点，则（ ） A. B. C. D. 方程有两个解 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数的基本性质，求出函数解析式，作出函数图像，判断各选项正误. 【详解】设，且， 则，可得，则， ，因为且，解得，所以，， 对于A选项，，即所以A错误； 对于BCD选项，在同一直角坐标系中作出函数、的图像如下图所示： 由图可知，当时，；当时，. 所以，B错误； ，C正确； 函数、的图像有三个公共点，即方程有三个解，D错误. 故选：C. 4. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由公式列出面积的表达式，然后由基本不等式求得最大值. 【详解】由题意. ，即， 当且仅当时等号成立. 所以此三角形面积的最大值为3. 故选：B. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和函数值的符号即可判断. 【详解】依题意，函数的定义域为，且， 所以是偶函数，所以的图象关于轴对称，所以排除B，D选项； 又当时，，所以排除C选项. 故选：A. 6. 如果一个种群不受资源、空间等条件限制，种群数量将成指数级增长．假定某地的一种外来入侵生物不受控制，其数量将以每年的比例增加．如果放任年不管，该入侵生物数量将超过原来数量的100倍，则的最小值为（ ）（参考数据：， A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】设该生物原来的数量为，由题意知，，进而根据指数函数的性质及对数的运算性质求解即可. 【详解】设该生物原来的数量为， 由题意知，，则， 所以， 因为，所以的最小值为12． 故选：D． 7. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，利用弦化切求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D 8. 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题设得到进而求出关于的方程，再由计算分析取得的值得出函数解析式，再由正弦函数单调性列不等式计算即可求解. 【详解】若对恒成立，则， 所以， 又，所以，即， 则，由周期性可取， 所以函数， 令， 所以的单调递增区间是. 故选：C 二、多选题 9. 已知是第二象限角，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数在各个象限的符号进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 所以，A选项正确. 当时，，B选项错误. 因为①， 所以，C选项正确. 由①得，当时，时， 此时，D选项错误. 故选：AC 10. 如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则（    ） A. 在起始位置，扇形的面积为 B. 经过，点的坐标为 C. 经过，扇形的弧长为 D. 经过，点在单位圆上第二次重合 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用特殊角的三角函数，以及扇形的弧长和面积公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由点，可得，扇形的面积为，所以A正确； 对于B，经过，点转过了，所以点的坐标为，所以B正确； 对于C，经过，在的终边上，在的终边上， 所以扇形的弧长为，所以C错误； 对于D，要使得第二次相遇，则有走过的弧长减去走过的弧长=， 即设经过秒后，有，解得，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，若存在四个实数，使得，则（    ） A. t的范围为 B. C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】通过分析分段函数的图象及函数性质，结合方程的四个根的分布规律，逐项分析判断即可. 【详解】函数的图象，如图： 选项A，函数的图象与直线交于4点，则，A正确； 选项B， 对于的两个根，由的对称性可知，，即. 对于的两个根，由，且， 得，即， 即，展开得，所以，故B错误； 选项C，由，且，则. 这是关于的二次函数，开口向下，对称轴为，在上单调递增， 所以，C错误； 选项D， 由（选项B）知，，得，则，， 所以，， 而对勾函数在上单调递增，则， 因此，所以，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12. 化简 ＝________（α为第二象限角）. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系及式子的特征化简即可. 【详解】因为， 且为第二象限角， 所以， 故答案为： 13. 已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的周期得出，再分类讨论代入计算应用诱导公式计算求解. 【详解】由题意，，则． 当时，根据时，函数图象位于最低点，可得， 所以． 当时，根据时函数图像位于最低点， 可得， 故． 综上，． 故答案为：. 14. 方程有________个实数根 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，确定的取值范围，再换元结合指数函数、二次函数图象交点个数确定方程根的个数. 【详解】由，得， 两边平方得，令，，则原方程化为， 函数与函数在有两个交点，设其横坐标分别为，且， 观察图象得，由，得，有唯一解， 由，得有两解，所以方程有个根. 故答案为：3 四、解答题 15. 已知全集，集合，函数的定义域为． （1）求： （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出集合，利用补集的定义可得出集合，利用并集的定义可得出集合； （2）分和两种情况讨论，根据题意得出关于实数的不等式（组），解出即可. 【小问1详解】 解不等式，即，解得，得 对于函数，有，解得，则 ，则； 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，得到，符合题意， 当时，，解得 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知幂函数在上单调递增. （1）求的解析式； （2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性可得出关于的等式与不等式，即可解得的值，即可得出函数的解析式； （2）根据二次函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【小问1详解】 因为幂函数在上单调递增， 由题意得，解得，故. 【小问2详解】 因为，函数的图象对称轴为， 因为在上不是单调函数，所以，解得. 故实数的取值范围为. 17. 已知，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）－. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将等式两边平方，结合即可求解； （2）利用立方和公式求值即可. （3）利用平方差公式及象限角的正余弦值求值即可. 【小问1详解】 ，，即. ，. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 因为，，所以正余弦值异号，即为第二象限角， 所以. 18. 已知函数，其中. （1）化简； （2）若，求 的值； （3）若，求的值. 【答案】（1）且； （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）应用诱导公式化简函数式即可； （2）由平方关系，将目标式化为关于正余弦的齐次式，再由弦化切，即可求值； （3）由已知得，两侧平方并化为，即可得. 【小问1详解】 由且； 【小问2详解】 由题设及（1）知，而 【小问3详解】 由题设，即， 所以，可得， 所以，即， 所以，即. 19. 若函数满足：对任意的正数，，都有，则称函数为“函数”. （1）分别判断函数和函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数为“函数”，，且当时，，证明： （i），； （ii），. 【答案】（1）不是“函数”，是“函数”，理由如下： 对于，取， 则，. 因为，不满足， 故不是“函数”； 对于，对任意的正数，， 有 ， 因为，则，所以函数是“函数”. （2） （i）令，， ， . （ii）因为当时，， 所以对任意，有， 又，则， 又， 所以， 由（i）知，则， 所以， 则， 故. 【解析】 【分析】（1）对举反例即可，利用作差法结合因式分解并利用指数函数性质即可判断； （2）（i）令，，不断迭代即可证明；（ii）根据并结合，再根据其定义性质即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键是利用是令，，再通过不断迭代即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季高一数学 一、单选题 1. 若集合，，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（ ）． A. B. C. D. 3. 已知幂函数与指数函数的图像都过点，则（ ） A. B. C. D. 方程有两个解 4. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如果一个种群不受资源、空间等条件限制，种群数量将成指数级增长．假定某地的一种外来入侵生物不受控制，其数量将以每年的比例增加．如果放任年不管，该入侵生物数量将超过原来数量的100倍，则的最小值为（ ）（参考数据：， A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知是第二象限角，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，质点和从单位圆上同时出发且按逆时针作匀速圆周运动，点的起始位置坐标为，角速度为（即每经过，射线转过的角度为），点的起始位置坐标为，角速度为，则（    ） A. 在起始位置，扇形的面积为 B. 经过，点的坐标为 C. 经过，扇形的弧长为 D. 经过，点在单位圆上第二次重合 11. 已知函数，若存在四个实数，使得，则（    ） A. t的范围为 B. C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题 12. 化简 ＝________（α为第二象限角）. 13. 已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则________． 14. 方程有________个实数根 四、解答题 15. 已知全集，集合，函数的定义域为． （1）求： （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 16. 已知幂函数在上单调递增. （1）求的解析式； （2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围. 17. 已知，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 18. 已知函数，其中. （1）化简； （2）若，求 的值； （3）若，求的值. 19. 若函数满足：对任意的正数，，都有，则称函数为“函数”. （1）分别判断函数和函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数为“函数”，，且当时，，证明： （i），； （ii），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $