专题课 与圆有关的轨迹问题 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案以“轨迹问题”为核心，旨在引导学生掌握坐标法等求轨迹方程的方法，培养数形结合思想与解题严谨性。通过“一目了然”夯实定义性质基础，“两全其美”梳理承前启后逻辑，“三位一体”明确目标，“四通八达”展开方法教学，构建从基础到应用的完整学习路径。 亮点在于“四通八达”模块按直接法、相关点法、定义法分类设计例题与变式，如例1用直接法推导轨迹方程，变式训练结合定义法探究椭圆轨迹，培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（模型意识）。“五谷丰登”反思环节促进知识内化，为教师提供针对性复习指导，提升单元复习效率。

班级： 小组： 姓名： 编写：吴新梅 审核：夏宝海 八仙过海 唐山实验学校高二数学导学案 微专题 轨迹问题 一、【一目了然】定义、性质、基础公式 本节在教材中的地位 坐标化思想 数形结合 二、【两全其美】承前 启后 圆锥曲线轨迹求解逻辑 本节 作用 1. 圆的定义 ；椭圆的定义 ； 2. 两点间距离公式 ；斜率公式 ；中点坐标公式 ； 3. 看见“垂直”思想延伸 ； 4. 圆外的点到圆上点的距离的最值 ； 5. 圆与圆的位置关系 ； 三、【三位一体】 1. 明确轨迹问题的解决方法，熟练运用坐标法推到轨迹方程。 2. 通过例题拆解，变式训练，深化数形结合等思想。 3. 消除轨迹问题的畏难情绪，体会几何与代数的内在统一，培养解题的严谨性与条理性。 学习重点：理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法。 学习难点：能熟练地运用直接法、定义法、相关点法等方法求曲线的轨迹方程。 四、【四通八达】 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： 1、直接法：建设限代化验，直接根据题目提供的条件列出方程； 2、相关点法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等： 3、定义法，根据直线、圆、椭圆等定义列方程。 一、直接法求轨迹方程 ★例 1：已知定点A(-2，0), B(2，0),动点P满足|PA|= 2|PB|，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状. ★变式：已知点A（-2,0）B（2,0）C（4,3），动点P满足PA⊥PB，则|PC|的取值范围为（ ） A.[2,5] B.[2,8] C[3,7] D[4,6] 思考：圆外的点到圆上的点的距离的取值范围是什么？ 二、相关点法求轨迹方程 ★例 2 ：已知线段AB的端点B的坐标是(4，3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。 A． B． C． D． 【十全十美】相关点法求轨迹方程步骤： ①设坐标：设所求动点坐标为(x,y)，另一动点为(x0,y0)； ②找关系：根据已知条件找到x与x0、y与y0的等式关系； ③代方程：将第二步中的两个等式关系代入另一动点的轨迹方程； ④标准化：将所得新的方程进行整理成标准化方程。 ★★变式：已知△ABC的边AB长为4，A（-2,0），B（2,0）若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程． 三、定义法求轨迹方程 （课本88页）长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程。 ★★变式：一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程。 ★★跟踪训练：已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B＋sin A＝5/4 sin C，求点C的轨迹。 【千锤百炼 】 1.等腰三角形的顶点 A 的坐标是(4,2),底边一个端点 B 的坐标是(3,5),求另一个端点 C 的轨迹方程,并说明它是什么图形. ★ 3．在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，|AB|＋|AC|＝6，则顶点A的轨迹方程是（） 5. ★★★★ 思考 五、【五谷丰登】 1. 通过本节课你掌握了哪些知识？ 2. 你体会到了哪些数学思想方法？ 3. 从情感方面你有哪些收获？ 六、【百尺竿头】 每天进步 1%，一年后就是 1.013 6 5 ≈37.8！（第 2 页） 每天进步 1%，一年后就是 1.013 6 5 ≈37.8！（第 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $