精品解析：河南省漯河市召陵区青年镇初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

河南省漯河市召陵区青年镇初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 一、单选题（共27分） 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知中最长的弦为8，则的半径是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 3. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 要得到二次函数的图象，需将的图象（ ） A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 5. 函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为．则这个圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 8. 据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图坐标平面上有一正五边形ABCDE，C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此正五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，下列会经过点（75，0）的点是（ ) A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 10. 反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①和的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当时，．其中一定正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（共18分） 11. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果： 投篮的次数 投中的次数 投中的频率 这名球员投篮一次，投中的概率约是______（精确到）． 12. 已知点和是反比例函数（为常数，）图象上的两点，当时，，则的值可以是_______________．（只写一个） 13. 在中，，，，则的内切圆的半径为________． 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0，1)、B(0，1+t)、C(0，1-t)(其中t＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1 为半径的⊙D上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的取值范围是_____ ． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边、恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长． 18. 如图，三个顶点坐标分别为． （1）请画出关于原点成中心对称的图形，并写出点的坐标； （2）在轴上找一点，使得的值最小，直接写出点的坐标． 19. 某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）．并绘制出不完整的条形统计图（如图2）． 成绩 频数 百分比 不及格 3 a 及格 b 良好 45 c 优秀 32 图1 学生体质健康统计表 （1）图1中________，________，________； （2）请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数； （3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率． 20. 如图，为的直径，C为上一点，的平分线交于点于点E． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）过点D作于点F，若，求图中阴影部分的面积． 21. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线最高点的坐标； （3）斜坡上点B处有一棵树，点B的三等分点（且靠近点），小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于两点． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标． （2）结合图象，直接写出的解集． （3）过点A作直线轴，过点B作直线m于点C，点D是直线m上一点，若为等腰三角形，求点D的坐标． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，点P在该抛物线上，其横坐标为m． （1）抛物线的解析式为________________直线的解析式为________________； （2）若点P在直线下方，连接，求当m为何值时，的面积最大； （3）若抛物线在点B和点P之间的部分（包括点B和点P），最高点与最低点的纵坐标之差为，请直接写出m的值________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省漯河市召陵区青年镇初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 一、单选题（共27分） 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 2. 已知中最长的弦为8，则的半径是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径是圆中最长的弦，根据半径是直径的一半计算即可． 【详解】∵中最长的弦为8, ∴的直径为8， 故半径为4， 故选A． 3. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程无实数根的条件，判别式小于零，代入系数求解不等式． 【详解】解：∵方程 没有实数根， ∴判别式 ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 4. 要得到二次函数的图象，需将的图象（ ） A. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，利用“左加右减，上加下减”的平移规则求解． 【详解】解：∵二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到， ∴要得到二次函数的图象，需将的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位． 故选：C． 5. 函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象的综合问题， 分两种情况讨论：当时，根据一次函数的图象和反比例函数经过的象限；当时，一次函数和反比例函数经过的象限即可得出答案. 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限；当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数位于第二、四象限，即可得出答案. 所以图B符合题意. 故选：B. 6. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 7. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为．则这个圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，扇形的面积公式等知识点，解题的关键是掌握扇形的面积公式． 先求出底面圆的周长，再利用扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：底面圆的周长为， 底面圆的周长即为圆锥展开图扇形的弧长， ∴扇形的面积即为圆锥的侧面积为， 故选：B． 8. 据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据2023年安徽省生产总值=2021年安徽省生产总值×列函数表达式即可． 【详解】解：根据题意，y关于x的函数表达式是， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，找到等量关系是解答的关键． 9. 如图坐标平面上有一正五边形ABCDE，C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此正五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，下列会经过点（75，0）的点是（ ) A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）． ∴按题中滚动方法点E经过点（3，0），点A经过点（4，0），点B经过点（5，0）， ∵点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周， ∴可知经过（5，0）的点经过（75，0）， ∴点B经过点（75，0）． 故选B． 10. 反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①和的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当时，．其中一定正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义、反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征；由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得，即可判断①；设点的坐标为，则点的坐标为，点，求出的长度，由此可得出与的关系无法确定，即可判断②；利用分割图形求面积法即可得出，即可判断③；设点的坐标为，则点的坐标为，点，由点可得出，将其代入点的坐标即可得出，即可判断④． 【详解】解：①∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴，， ∴，故①正确； ②设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∴，， ∵与的关系无法确定，故结论②错误； ③∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴， ∴，故结论③正确； ④设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∵，则， ∴， ∴点的坐标为，， ∴，即故结论④正确； ∴正确的结论为①③④， 故选：D． 二、填空题（共18分） 11. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果： 投篮的次数 投中的次数 投中的频率 这名球员投篮一次，投中的概率约是______（精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率的知识，根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案． 【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近， ∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为． 故答案为：． 12. 已知点和是反比例函数（为常数，）图象上的两点，当时，，则的值可以是_______________．（只写一个） 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：点和在图象上，且当时，， ， 解得：， 的值可以是4（答案不唯一）． 故答案为：4（答案不唯一）． 13. 在中，，，，则的内切圆的半径为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和三角形的内切圆的定义，掌握三角形的内切圆的定义是解题关键． 先利用勾股定理求出斜边的长，通过三角形的面积列方程求解即可． 【详解】解：如图，作示意图如下， 由三角形的内切圆的定义可知，内切圆的圆心O到三角形的三边的距离相等，等于半径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先找到的圆心O，得到∠BOC=45°，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为的圆心O， 从图中可得：的半径为OB=5， 连接OC， ∵∠BAC=22.5°， ∴∠BOC=222.5°=45°， 的长为． ． 故答案为： 【点睛】本题考查了弧长公式，找到的圆心是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0，1)、B(0，1+t)、C(0，1-t)(其中t＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1 为半径的⊙D上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的取值范围是_____ ． 【答案】4≤t≤6 【解析】 【分析】根据点A、B、C的坐标，可知点A是BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得AP的长，再由勾股定理解得AD的长，最后由点与圆的位置关系解得t的最大值与最小值，进而确定t的取值范围． 【详解】连接AP， 由题意得， t要最大，就是点A到上的一点的距离最大 在AD延长线上， 的最大值是APAD+PD=5+1=6 的最小值是APAD-PD=5-1=4 故t的取值范围为： 4≤t≤6 故答案为：4≤t≤6． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，其中涉及坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形中线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴， ∴或， 解得． 17. 已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，该方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边、恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长． 【答案】（1） 证明： 所以此方程总有实根． （2）三角形另外两边长为2，2 【解析】 【分析】（1）检验根的判别式的正负情况即可得证． （2）△ABC是等腰三角形，若b=c，即=0，解出k后代入方程，解方程可得另外两边长；若a是腰，则a＝1是方程的根，把1代入方程解出k后，再解出方程另一个解，检验是否符合三角形三边关系即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①若，则此方程有两个相等实根 此时，则， 原方程为：，， ∴另外两边长为2和2， ②若，则是方程的根， ∴， ∴， 原方程为， 解得：，， 而1、1、2为边不能构成三角形． 所以，三角形另外两边长为2，2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 18. 如图，三个顶点坐标分别为． （1）请画出关于原点成中心对称的图形，并写出点的坐标； （2）在轴上找一点，使得的值最小，直接写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求， ，，． （2） 解：点的位置如图所示： P点坐标为． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． （2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则， P点坐标为． 19. 某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）．并绘制出不完整的条形统计图（如图2）． 成绩 频数 百分比 不及格 3 a 及格 b 良好 45 c 优秀 32 图1 学生体质健康统计表 （1）图1中________，________，________； （2）请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数； （3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率． 【答案】（1）；20； （2） 补全条形统计图，如图： 估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人； （3）选取的2名学生均为“良好”的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． （1）用“优秀”等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；再分别求得的值； （2）根据（1）的结果，可补全条形统计图，利用样本估计总体可求解； （3）用列表法表示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人均为“良好”的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：样本容量为， 则， ， ， 故答案为：；20；； 【小问2详解】 解：（人）， 估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人； 【小问3详解】 解：设3名“良好”分别用A、B、C表示，1名“优秀”用D表示，列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生均为“良好”的结果数有种， ∴选取的2名学生均为“良好”的概率为． 20. 如图，为的直径，C为上一点，的平分线交于点于点E． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）过点D作于点F，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 与相切，理由如下： 如图所示，连接， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径． ∴与相切． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明推出，由，得到，由此即可得到结论． （2）由角平分线的性质得到，进一步求解，即可根据求出答案． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：的平分线交于点， ， ， ， ， ∴图中阴影部分的面积为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，圆周角定理，求不规则图形面积，切线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键． 21. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线最高点的坐标； （3）斜坡上点B处有一棵树，点B的三等分点（且靠近点），小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 【答案】（1） （2） （3）这棵树的高为2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； （3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明，利用相似三角形的性质求得，，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵点是抛物线上的一点， 把点代入中，得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴抛物线最高点对坐标为； 【小问3详解】 解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D， ∵，， ∴， ∴， 又∵点B是的三等分点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴点C的横坐标为1， 将代入中，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， 答：这棵树的高为2． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于两点． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标． （2）结合图象，直接写出的解集． （3）过点A作直线轴，过点B作直线m于点C，点D是直线m上一点，若为等腰三角形，求点D的坐标． 【答案】（1）， （2）的解集为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点B的坐标代入求出k的值，即可得出反比例函数的表达式，再求出点A的坐标即可； （2）根据图象，找出一次函数图象高于反比例函数图象的部分即可； （3）根据题意可得，，则，即可进行解答． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入得：， ∴反比例函数的表达式为：， 把点代入得：，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：由图可知：当或时，； 【小问3详解】 解：∵直线轴，直线m，，， ∴， ∴， ∵直线m， ∴在中，， ∴， ∵点D是直线m上一点， ∴设点， ∴，解得：或， ∴或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解反比例函数表达式以及反比例函数图象上点的坐标特征． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，点P在该抛物线上，其横坐标为m． （1）抛物线的解析式为________________直线的解析式为________________； （2）若点P在直线下方，连接，求当m为何值时，的面积最大； （3）若抛物线在点B和点P之间的部分（包括点B和点P），最高点与最低点的纵坐标之差为，请直接写出m的值________． 【答案】（1）； （2）当，的面积取得最大值，且最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可； (2) 过点P作轴，交直线于点E，结合抛物线，直线解析式，设，则，则，表示出，利用二次函数的最值解答即可． (3) 结合抛物线解析式，设，当时，点为最低点，点最高点，得到；当时， 最低点，点为最高点，此时；当时， 点为最高点，为最低点，此时；分类计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：过点P作轴，交直线于点E， ∵抛物线解析式，直线解析式，设，则， 则， ∴， ， ∴当，的面积最大，且最大值为． 故当，的面积取得最大值，且最大值为． 【小问3详解】 解：∵抛物线解析式， 设， 当时，根据题意，得点为最低点，点最高点， ∴，整理， 得， 解得（舍去）， 故； 当时， 根据题意，得最低点，点为最高点， 此时， 整理，得， 此时，方程无解， 当时，点为最高点，为最低点， 此时， 整理，得， 解得（舍去）， 故． 综上所述，符合题意的m值为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，构造抛物线法求面积最值，分类思想确定最高点、最低点，解一元二次方程，根的判别式的应用，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $