精品解析：河南省实验中学2025-2026学年高三上学期一测模拟（二）数学试卷

河南省实验中学2025-2026学年高三上学期一测模拟（二）数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则的图象（ ） A. 关于对称 B. 关于对称 C. 关于对称 D. 关于对称 2. 已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面，于是可得到（ ） A. 若，则. B. 若a，b是一对异面直线，且，则. C. 若，则. D. 若，则. 3. 如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（ ） A. 15 B. C. D. 4. 已知点，圆，点F是上的动点，过F作圆O的切线，切点分别为A，B，直线AB与OF交于点M，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，，满足，则下列关系不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 6. 已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，动直线过点且与抛物线交于两点，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 的周长可以为14 D. 当时， 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 7. 已知直线：是曲线的切线，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 8. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小： （2）若的周长为，求的边上的高. 9. 已知函数在处有极值. （1）求的值； （2）若函数恰有3个零点，求实数的取值范围. 10. 随着国内人均收入的增加，居民的健康意识也不断增加，健身器材行业发展迅速，下面为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 4.1 4.4 4.8 5.5 6.3 （1）由上面数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到）； （2）数据显示2024年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从2024年购买过体育用品类的中国消费者中国随机抽取3人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列与数学期望. 参考数据： 其中. 参考公式：对于一组数据，，，，其经验回归直线的斜率与截距的最小二乘法公式为：，. 11. 记. （1）判断并证明的奇偶性； （2）将的最小值记为， （i）求数列， （ii）若恒成立，求的最小整数值. 12. 平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过且倾斜角为的直线与交于A，B两点（其中点在轴上方），且的周长为8，现将平面沿轴向上折叠，折叠后A，B两点在新图形中对应的点分别记为，且二面角为直二面角，如图所示. （1）求折叠前的标准方程； （2）若，求； （3）当时，折叠后，求平面与平面的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省实验中学2025-2026学年高三上学期一测模拟（二）数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则的图象（ ） A. 关于对称 B. 关于对称 C. 关于对称 D. 关于对称 【答案】D 【解析】 【分析】求出的定义域可判断A，C不正确；根据为奇函数可判断B不正确，D正确. 【详解】由，得，解得， 所以的定义域为，故A，C不正确； 又， 所以为奇函数，图像关于原点对称， 则的图象关于对称，故B不正确，D正确 故选：D. 2. 已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面，于是可得到（ ） A. 若，则. B. 若a，b是一对异面直线，且，则. C. 若，则. D. 若，则. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线，直线与平面的位置关系结合选项逐个判断即可. 【详解】对于A，若，则直线a，b的关系可以平行，相交或异面，A不正确； 对于B，在空间中取一点，不在平面内，过作直线， 因为是异面直线，所以是相交直线，设它们所确定的平面为， 由可得；同理； 又, ，所以；同理可得，故，B正确； 对于C， ，若，此时与不垂直，C不正确； 对于D，，则也可能与平行，D不正确. 故选：B 3. 如图所示，小明从家出发到学校，途经超市和银行，已知，，，，，求小明家到学校的位移大小是（ ） A. 15 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量数量积的定义式和数量积的运算律以及模长的计算结合题意计算可得. 【详解】由题意可得， 所以①， 因为，设其夹角为，所以， 又，所以， 所以①， 所以. 故选：D. 4. 已知点，圆，点F是上的动点，过F作圆O的切线，切点分别为A，B，直线AB与OF交于点M，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由表示出点坐标，代入直线方程得出点的轨迹，根据点到圆上一点距离最小值求法计算即可． 【详解】设，由题可知，则， 即， 所以，所以点， 将点F的坐标代入，化简得（不同时为0）， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又，点在该圆外， 所以的最小值为. 故选：C 5. 已知实数，，满足，则下列关系不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为，，的图象与直线交点的横坐标，结合函数图象即可判断. 【详解】依题意，令，则，，， 则，，可分别视为函数，，的图象与直线交点的横坐标， 又与互为反函数，函数图象关于对称且的图象一直在的图象的上方， 即与没有交点，所以一定不成立； 在同一坐标系中画出函数，，和的图象，如图， 当直线为时，； 当直线为时，； 当直线为时，； 当直线为时，； 当直线为时，； 当直线为时，； 综上所述，，，都有可能成立，而不可能成立. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 6. 已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，动直线过点且与抛物线交于两点，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 的周长可以为14 D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：利用抛物线的定义和焦点弦的长度公式可得，再根据点的坐标可得，列式可得的值，可判断A的真假；对B：设直线的方程为，，，结合韦达定理和焦半径公式，可用表示出，再结合基本不等式，可求其最小值，判断B的真假；结合抛物线定义，取抛物线上一点，可得，进而求出周长的最小值，可判断C的真假；根据两三角形的面积关系，结合韦达定理，可求弦的长，判断D的真假. 【详解】对于A，如图，    分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，， 由于圆的直径过焦点，则到准线的距离为 ， 又，所以，解得，故A正确； 对于B，设直线的方程为，，， 又抛物线：，由，可得， 则，，， （当且仅当时等号成立），故B错误； 对于C，由，，所以，设的周长为， 如图：    过点向抛物线准线作垂线，垂足为， 则， 周长的最小值为，故C正确； 对于D，如图：      因为，所以， 又因为，则，解得或（舍）， 所以，即，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 7. 已知直线：是曲线的切线，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义表示斜率，由切点在曲线上得出方程组，解得，即可求解. 【详解】由已知设切点坐标为， 因为，则， 所以，解得或 ， 所以或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 8. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小： （2）若的周长为，求的边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和代换，再利用诱导公式和正弦定理角化边，即可得； （2）由题可得，利用余弦定理可得，再利用等面积公式即可求出高. 【小问1详解】 因为， 所以， 结合正弦定理可得，即， 可得，因为，所以. 【小问2详解】 因为的周长为，所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以 又的面积，设边上的高为，所以 ，解得. 9. 已知函数在处有极值. （1）求的值； （2）若函数恰有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得，根据，求得，结合函数的单调性和极值点定义，即可求解； （2）由（1）中，函数的单调性，求得的极值，画出函数的图象，转化为函数与的图象有三个公共点，即可图象，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 因为在处取极值，可得，解得， 当时，， 当或时，；当，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 故满足在处取极值，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知：函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以，， 由于当时，，时，， 时，，当时，， 画出函数的图象，如图所示， 又因为方程有3个实数根时，即函数与的图象有三个公共点， 结合图象，可得， 所以恰有3个零点时，实数的取值范围为. 10. 随着国内人均收入的增加，居民的健康意识也不断增加，健身器材行业发展迅速，下面为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 4.1 4.4 4.8 5.5 6.3 （1）由上面数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到）； （2）数据显示2024年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从2024年购买过体育用品类的中国消费者中国随机抽取3人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列与数学期望. 参考数据： 其中. 参考公式：对于一组数据，，，，其经验回归直线的斜率与截距的最小二乘法公式为：，. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望.【解析】 【分析】（1）由 ，得模型线性化为：，然后利用最小二乘法的公式计算即可； （2）利用二项分布的概率计算公式与期望计算公式可得答案. 【小问1详解】 由 ，则模型线性化为：， ，，， 由，， 得：， 由，， 得：， 代入最小二乘法估计公式，得： ， ， ， 故关于的回归方程为：. 【小问2详解】 由题意知： 服从二项分布，即. 由二项分布的概率计算公式得： ， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 11. 记. （1）判断并证明的奇偶性； （2）将的最小值记为， （i）求数列， （ii）若恒成立，求的最小整数值. 【答案】（1）函数为偶函数，理由如下： 因为的定义域为， 且， 所以函数为偶函数. （2）（i）；（ii）10 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义结合三角函数的奇偶性分析判断即可； （2）（i）分和两种情况，换元令，可得，利用导数分析单调性和最值，进而可得数列的通项公式；（ii）令，利用错位相减法求，进而分析求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为，， 当时，， 当时，令，则， 设，则， 当时，则，， 可得，在上单调递减； 当时，则，， 可得，在上单调递增； 可知当时，取最小值， 所以； 当时，亦适合上式，所以； （ii）令， 则， 可得， 两式相减得 ， 则， 所以，即的最小整数值为10. 12. 平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过且倾斜角为的直线与交于A，B两点（其中点在轴上方），且的周长为8，现将平面沿轴向上折叠，折叠后A，B两点在新图形中对应的点分别记为，且二面角为直二面角，如图所示. （1）求折叠前的标准方程； （2）若，求； （3）当时，折叠后，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义和离心率可得，，进而可得和椭圆方程； （2）可得直线方程为，与椭圆方程联立结合韦达定理求弦长； （3）联立方程求点的坐标，建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 因为的周长为，即， 又因为离心率为，则，可得 所以折叠前椭圆的标准方程. 【小问2详解】 由（1）可知：， 直线经过且斜率为，则直线方程为，且直线与椭圆必相交， 与椭圆方程联立，消去得， 设交点，则， 由弦长公式可得：. 【小问3详解】 当时，直线的方程为：， 联立方程，解得或， 即， 以原来的轴为轴，轴正半轴所在直线为轴，轴负半轴所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 故， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 可得 平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $