学易金卷：八年级数学上学期期末模拟卷（青岛专用，新教材北师大版八上全册：勾股定理+实数+位置与坐标+一次函数+二元一次方程组+数据分析+证明）

2025-2026学年八年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共27分) 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 9 [A][B][c][D] 2 [A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7 [A][B][c][D] 4[A][B][C[D] 8[A][B][c][D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 10.(3分) 11.(3分) 12.(3分) 13.(3分) 14.（3分) 15.(3分) 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12分) 0计算：6+2-2+-5-2网 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ x-3y=-10 (xy+1=1 (2)解方程： x+y=6 (3)解方程： 23 3x+2y=10 17.(7分) 5 4 3 2 5-432+10 2345x 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(6分) 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) /元A 2 8------ 6 01020分钟 23.（10分) A、 B C- H------ 图 图三 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) M B B RO A A 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣■■。。■。。。■。■=▣。▣=▣。■=。■==■■▣■▣▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共27分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 10 11. 12 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(12分) 计第：6-2-同2+-5-网列： (2)解方程： [x-3y=-10 x+y=6: (3)解方程： 3x+2y=10 17.(7分) 5 A 2 432+10 345x 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(6分) 20.(6分) E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 22.(8分) y元 8 6 10 20 分钟 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分) 图 24.(10分) M y不 B RO A A 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 O (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 : 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 : 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 O 4.测试范围：北师大版2024八年级上册。 : 第一部分（选择题共27分） .. 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，满分27分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 .… 目要求的) ①：在下列各数0i3,3.1415926,0.,1010010001.·(每两个1之间依次多1个0)，-2,7，V5,中元无 理数的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 O 2.下列命题是真命题的是() A.等边对等角 B.周长相等的两个等腰三角形全等 C.等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合 D.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 : 3.平面直角坐标系中，第三象限内的点P(a+3,a)到y轴的距离是4，则a的值为() A.-7 B.4 C.1 D.-4 4.在2025年9月3日举行的中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日的阅兵仪式上，受 O 阅仪仗方队的女队员的身高标准为173cm至180c,前期训练中，一组6名队员的身高（单位：cm) 分别是：174,178,176,179,174,175，当一名身高为176cm的队员下场休息，现在5名队员身高的 : 平均数和方差与原6名队员相比() A.平均数变大，方差变小 B.平均数变小，方差不变 K C.平均数不变，方差变大 D.平均数变小，方差变大 : 5.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二 斗.问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱：行酒（劣质酒）1斗， : 价值10钱.现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少？设买得醇酒x斗，买得行酒y斗， ○ ○ 则可列方程组为() 试题第1页（共6页） .: .: ©学科网·学易金卷做树费：限是鲁禁 x+y=2 x-y=2 A. B. 10x+30y=50 50x+10y=30 x+y=2 x+y=2 C. D. 10x+50y=30 50x+10y=30 6.如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S,S2,S,若S+S2-S=24, 则图中阴影部分的面积为() g S A B A.24 B.18 C.12 D.6 7.如图.在△ABC中，P是BC上一点，PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,且PD=PE,F是AC上一 点，且∠APF=∠PAF.下列结论：①AD=AE;②PF∥AB;③△PEF≌△PEC,其中正确的是() D B A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 8.己知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A-B-C-D-E-F的路 径匀速运动，相应的△HAF的面积S(cm2)关于时间t(s)的关系图象如图2，已知AF=8cm,则下列说 法正确的有() F AS(cm2) D C 40-- 0 5812bt(S) 图1 图2 ①动点H的速度是2c/s: ②BC的长度为3cm: ③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm2; ④b的值为14： ⑤在运动过程中，当△AF的面积是30cn时，点H的运动时间是3.75s和9.25s. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 试题第2页（共6页） 可学科网·学易金卷做概卷：限是普 9.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，（2,0)，（2,1)， (3,2),(3,1),(3,0),.根据这个规律探究可得，第55个点的坐标为() (5,4) :(4,3)(5,3) (3,2) 4,25.2) (2,1): 3,14,1)(5,1) 01,02.06,04,05.0元 A.(9,0) B.(9,8) c.(10,0) D.(10,9) 第二部分（非选择题共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 10.在平面直角坐标系中，点P(2m+4,m-1)在x轴上，则m的值为 11.将直线y=-2x+6向左平移5个单位长度后所得的解析式为 12.如果二元一次方程 6x-y=a-2 x+8y=-3a+1的解，y互为相反数，那么a的值是 13.如图，直角三角形纸片ABC中，∠A=90°，将△BDE,△CKG分别沿着DE,GK折叠，使点B,C 恰好都落在F点，且D,F,G三点共线.已知BC=I2,BE=3,则EK= B.- 14.如图，AE与BD相交于点C,AC=EC,AB∥DE,AB=10cm.点2和点P同时出发，点P以3cm/S 的速度从点A出发，沿AB向B运动，到B位置后，立刻以相同的速度沿BA向A运动；点Q从点D出 发，沿DE以lc/s的速度向E运动.当点P返回到点A时，P,Q两点同时停止运动.设点P的运动 时间为t秒.当P,Q,C三点在同一条直线上时，t的值为 15.设直线y=+与两坐标轴所围成的三角形的面积8：=123.，202，则 x+ 2k+12k+1 S+S2+S,+S4++S2026的值 三、解答题（本大题共9小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(12分) 计第：6+2-52+同)-5-V2: 试题第3页（共6页） : 「x-3y=-10 x_y+1=1 (2)解方程： (3)解方程： {23 x+y=6 3x+2y=10 : 17.(7分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A(1,1),B(4,2),C(3,4). : : : : 54321012345x : (1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△ABC,并写出对应点C的坐标. 游 (2)求△ABC的面积： 游 .: (3)在y轴上求作一点P,使得AP+CP的值最小. : 18.(8分)为了解学生每月利用A1工具进行科技赋能学习的情况，学校在八、九年级学生中各随机抽取 10名学生对每月的AI工具使用次数进行整理、描述和分析（次数用x表示，共分成四组，A:10≤x<15: O O : B:15≤x<20;C:20≤x<25;D:x≥25).下面给出了部分信息： 八年级10名学生每月使用次数分别是：11,13,17,19,20,22,25,27,28,28. 九年级10名学生每月使用次数在C组中的数据是：20,20,21,24. 八、九年级抽取的学生每月使用次数统计表 九年级抽取的学生每月使用次数扇形统计图 年级 八年级 九年级 A 10% 平均数 21 21 D B : 世 no 30% 中位数 21 a O C 众数 b 27 m% : 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中α的值为_，b的值为，m的值为_ (2)你认为该校八、九年级中哪个年级学生在使用AI工具进行赋能学习次数情况更多？请判断并说明 理由. (3)若该校共有八、九年级学生共3600名，请你根据样本数据，估计该校八、九年级学生每月利用AI : 工具进行赋能学习次数不低于25次的学生总人数. 19.(6分)定义：我们把关于x,y的两个二元一次方程x+y=b与+y=b(m,n,b为常数，且≠n≠0) 试题第4页（共6页） ..…. : .: 心+=6，叫做共轭二元一次方程组. nx+ny=b 叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组 : O (1)x-2y=5的共轭二元一次方程是一·（填选项字母) A.-x+2y=5B.x+2y=5C.-2x+y=5D.2x-y=5 : 5x+y=2+1, (2)若关于x,y的方程组 x+(4-my=3-n是共轭二元一次方程组，求-m的平方根 20.(6分)如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F使得EF=ED, 连接CF. : O : (1)求证：AB∥CF; : : (2)若BD=4,CF=3,AC平分∠BCF,求线段BC的长度. 21.(8分)某商场用2750元购进A,B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价，标价如下表所示： 类型 A型 B型 进价（元/盏） 四 65 : 标价（元/盏） 60 100 (1)这两种台灯各购进多少盏？ (2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获 利多少元？ 婆 (3)远东二中准备用1560元，按进价购买A型、B型台灯（两种型号均购买），刚好1560元全部用完， : 那么学校有哪几种购买方案？ 22.(8分)共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km-10km的出行市场，现有A,B两种品 牌的共享电动车，下面图象反映了收费y(元)与骑行时间in之间的对应关系，其中A品牌收费方 O 式对应y,B品牌的收费方式对应y2,小明同学求出y(x≥10)与x的函数解析式是y=0.2x+4,请 : 根据相关信息，解答下列问题： : 以元A : 1020分钟 (1)求y2关于x的函数解析式： (2)请说明图中函数y与y2图象的交点P表示的实际意义： (3)如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶 试题第5页（共6页） .: : ©学科网·学易金卷德树费：限爱是鲁” 速度均为0.3mmin,小明家到工厂的距离为9km,那么小明选择 品牌共享电动车更省钱；（填 “A'或B) (④)当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？请写出过程. 23.(10分)【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上 添加的一些线.这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的. C< 企D 图一 图二 (1I)如图一，己知AB∥EF,∠B=∠E,请说明BC∥DE. 解：分别过点C,D作CG∥AB,DH∥EF. 因为_①_，所以AB∥CG∥DH∥EF. 由两直线平行，内错角相等，可知∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠E. 由题知∠B=∠E,所以_②_ 则1+∠2=∠3+∠4，即_③. 由_④_，可得BC∥DE. 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整. (2)【迁移应用】如图二，己知AB∥CD,CE,BE的交点为E.判断∠BEC,∠ABE,∠DCE之间 的数量关系，并说明理由 (3)【拓展延伸】在第(2)题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE 的平分线，交点为E;第二次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E2；第三次操作，分 别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E,,第n次操作，分别作∠ABEn1和∠DCEn1的平分线， 交点为E,如图三.若∠En=1°，直接写出∠BEC的大小. 24.(10分)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A(4,0),B(0,b),且b满足4-b=0. 图1 图2 (1)求点B的坐标. (2)P(0,t)为y轴上一动点，连接AP,过点P在线段AP上方作PM⊥PA,且PM=PA ①如图1，若点P在y轴正半轴上，点M在第一象限，连接MB,过点B作PM的平行线交x轴于点R, 求点R的坐标（用含t的式子表示） ②如图2，连接OM,探究当OM取最小值时，直线OM与x轴的夹角（锐角）是多少度？ 试题第6页（共6页） 2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C D A C D D B B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10．1 11． 12．/ 13．5 14．或5 15． 三、解答题：本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（每小题4分，共12分） （1）解： ；…………………………4分 （2）解： 得：， 解得， 将代入得：， 原方程组的解为；………………………4分 （3）解： 去分母整理得：， 得：， 解得， 将代入得：， 原方程组的解为；…………………………4分 17．（7分） （1）解：如图所示，关于x轴的对称图形， ………………………2分 ∴；………………………3分 （2）解： ；………………………5分 （3）解：如图，点P为所求． ∵点A关于y轴的对称点， ∴，则，根据两点之间线段最短， ∴连接，则与轴的交点即是点的位置．………………………7分 18．（8分） （1）解：∵九年级一共抽取了10名学生， ∴把九年级抽取的10名学生每月利用AI工具进行赋能学习次数按照从低到高排列，中位数为第5名学生的次数和第6名学生次数的平均数， ∵名， ∴九年级A组和B组的人数之和为4， ∵， ∴九年级的中位数为，即，………………………1分 ∵八年级使用次数最多的为28次， ∴八年级的众数为28，即；………………………2分 ，则；………………………3分 （2）解：八年级学生在使用AI工具进行赋能学习次数情况更多，理由如下： 从平均数看，两个年级使用AI工具进行赋能学习次数情况相同， 从中位数看，八年级的中位数大于九年级的中位数， 从众数看，八年级的众数大于九年级的众数， ∴八年级学生在使用AI工具进行赋能学习次数情况更多；………………………6分 （3）解：名， 答：估计该校八、九年级学生每月利用AI工具进行赋能学习次数不低于25次的学生总人数为1080名．………………………8分 19．（6分） （1）解：的共轭二元一次方程是， 故答案为：C．………………………2分 （2）解：由题意可得整理得， ②－①，得，即．………………………5分 的平方根是， 的平方根是．………………………6分 20．（6分） （1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴，………………………2分 ∴， ∴；………………………3分 （2）解：∵， ∴， ∴，………………………4分 ∵平分， ∴，………………………5分 由（1）可知，， ∴， ∴．………………………6分 21．（8分） （1）解：设购进型台灯盏，则购进型台灯盏． 根据题意，得， ， （盏，………………………2分 答：购进型台灯20盏，购进型台灯30盏． （2）解：这批台灯全部售出后，商场共获利（元， 答：这批台灯全部售出后，商场共获利730元．………………………4分 （3）解：设购进型台灯盏，购进型台灯盏． 则， 化简得．………………………5分 因为均为正整数，所以必须是8的倍数． 当时，； 当时，； 当时，（不符合两种型号均购买，舍去）．…………………7分 所以学校有2种购买方案：方案一：购进型台灯26盏，B型台灯8盏：方案二：购进型台灯13盏B型台灯16盏．………………………8分 22．（8分） （1）解：品牌共享电动车每分钟收费元， 关于x的函数解析式为；…………………1分 （2）解：交点P表示骑行20分钟时，A、B两个品牌的共享电动车收费相同，均为8元；………3分 （3）解：小明骑共享电动车从家到工厂用时（分钟）， 由图象可知，当时，， 小明选择A品牌共享电动车更省钱， 故答案为：A；…………………5分 （4）解：当时，，即， 解得，…………………6分 当时，，即， 解得舍去或， 当x为5或40时，两种品牌共享电动车收费相差4元．…………………8分 23．（10分） （1）解：分别过点，作， 因为，所以…………………1分 由两直线平行，内错角相等，可知，， 由题知，所以…………………2分 则，即…………………3分 由内错角相等，两直线平行，可得…………………4分 （2）解： 理由：过点作（如图）， …………………5分 ， ，…………………6分 （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等），…………………7分 ， ．…………………8分 （3）解：由（2）的结论可知：． 第一次操作：平分，平分， 则，， 根据（2）的结论，． 第二次操作：平分，平分， 则，， 同理，． 以此类推，第次操作后，． 已知，代入得， 解得． 答：的大小为．…………………10分 24．（10分） （1）解：∵， ∴，即， ∴点的坐标为．…………………1分 （2）①解：过点作轴于点， ∵， ∴， ∴…………………2分 又∵， ∴ ∵，， ∴（），…………………3分 ∴，， ∴， ∵，轴为截线， ∴（两直线平行，内错角相等）．…………………5分 在和中： ∴（），…………………6分 ∴． 又∵在轴负半轴， ∴点的坐标为．…………………7分 ②解：由①知，即点的纵坐标比横坐标大4， ∴点在直线上． 根据垂线段最短，的最小值为原点到直线的垂线段长度． 直线与轴交于，与轴交于， ∴该直线与轴、轴围成的三角形为等腰直角三角形，其与轴的夹角为． ∵垂直于直线， ∴直线与轴的夹角（锐角）为．…………………10分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024八年级上册。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，满27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在下列各数，3.1415926，0.1010010001……（每两个1之间依次多1个0），，，，中无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列命题是真命题的是（   ） A．等边对等角 B．周长相等的两个等腰三角形全等 C．等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合 D．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 3．平面直角坐标系中，第三象限内的点到轴的距离是4，则的值为（   ） A． B．4 C．1 D． 4．在2025年9月3日举行的中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日的阅兵仪式上，受阅仪仗方队的女队员的身高标准为至，前期训练中，一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和方差与原6名队员相比（    ） A．平均数变大，方差变小 B．平均数变小，方差不变 C．平均数不变，方差变大 D．平均数变小，方差变大 5．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买得醇酒斗，买得行酒斗，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 7．如图．在中，P是上一点，于点D，于点E，且，F是上一点，且．下列结论：①；②；③，其中正确的是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 8．已知动点以每秒厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（   ） ①动点的速度是； ②的长度为； ③当点到达点时的面积是； ④的值为14； ⑤在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是和． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律探究可得，第55个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 10．在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为______． 11．将直线向左平移个单位长度后所得的解析式为____________________． 12．如果二元一次方程的解互为相反数，那么的值是_______． 13．如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点，恰好都落在点，且，，三点共线．已知，，则______． 14．如图，与相交于点，，，．点和点同时出发，点以的速度从点出发，沿向运动，到位置后，立刻以相同的速度沿向运动；点从点出发，沿以的速度向运动．当点返回到点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒．当，，三点在同一条直线上时，的值为_____． 15．设直线与两坐标轴所围成的三角形的面积，则的值_________． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分） (1)计算：； (2)解方程：； (3)解方程：. 17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形，并写出对应点的坐标． (2)求的面积； (3)在y轴上求作一点P，使得的值最小． 18．（8分）为了解学生每月利用AI工具进行科技赋能学习的情况，学校在八、九年级学生中各随机抽取10名学生对每月的AI工具使用次数进行整理、描述和分析（次数用x表示，共分成四组，A：；B：；C：；D：）．下面给出了部分信息： 八年级10名学生每月使用次数分别是：11，13，17，19，20，22，25，27，28，28． 九年级10名学生每月使用次数在C组中的数据是：20，20，21，24． 八、九年级抽取的学生每月使用次数统计表 年级 八年级 九年级 平均数 21 21 中位数 21 a 众数 b 27 九年级抽取的学生每月使用次数扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a的值为_，b的值为_____，m的值为_． (2)你认为该校八、九年级中哪个年级学生在使用AI工具进行赋能学习次数情况更多？请判断并说明理由． (3)若该校共有八、九年级学生共3600名，请你根据样本数据，估计该校八、九年级学生每月利用AI工具进行赋能学习次数不低于25次的学生总人数． 19．（6分）定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 20．（6分）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点使得，连接． (1)求证：； (2)若，，平分，求线段的长度． 21．（8分）某商场用2750元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价，标价如下表所示： 类型 A型 B型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 100 (1)这两种台灯各购进多少盏？ (2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？ (3)远东二中准备用1560元，按进价购买A型、B型台灯（两种型号均购买），刚好1560元全部用完，那么学校有哪几种购买方案？ 22．（8分）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费元与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，小明同学求出与x的函数解析式是，请根据相关信息，解答下列问题： (1)求关于x的函数解析式； (2)请说明图中函数与图象的交点P表示的实际意义； (3)如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择______品牌共享电动车更省钱；填“A”或“B” (4)当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？请写出过程． 23．（10分）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为_①_，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以_②_． 则，即_③_． 由_④_，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 24．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且满足． (1)求点的坐标． (2)为轴上一动点，连接，过点在线段上方作，且 ①如图1，若点在轴正半轴上，点在第一象限，连接，过点作的平行线交轴于点，求点的坐标（用含的式子表示） ②如图2，连接，探究当取最小值时，直线与轴的夹角（锐角）是多少度？ 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024八年级上册。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，满27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在下列各数，3.1415926，0.1010010001……（每两个1之间依次多1个0），，，，中无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的判定，熟练掌握无理数的定义是解题关键． 根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，逐一判断每个数是否为无理数即可． 【详解】解：，3.1415926，0.1010010001……（每两个1之间依次多1个0），，，，中无理数有0.1010010001……（每两个1之间依次多1个0），，，共3个； 故选C． 2．下列命题是真命题的是（   ） A．等边对等角 B．周长相等的两个等腰三角形全等 C．等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合 D．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题真假判断，结合全等三角形的判定，三角形的边角关系，等腰三角形的性质进行证明，线段垂直平分线的判定是解题的关键． 根据三角形的边角关系对A进行判断；根据全等三角形的判定方法对B进行判断；根据等腰三角形的性质对C进行判断；线段垂直平分线的判定可对D进行判断． 【详解】解：A、在一个三角形中，等边对等角，原命题为假命题，故本选项不符合题意； B、周长相等的两个等腰三角形不一定全等，原命题为假命题，故本选项不符合题意； C、等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，原命题为假命题，故本选项不符合题意； D、到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项符合题意； 故选：D 3．平面直角坐标系中，第三象限内的点到轴的距离是4，则的值为（   ） A． B．4 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答即可． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴且， ∵点P到y轴的距离是4， ∴， ∴， 解得． 故选：A． 4．在2025年9月3日举行的中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日的阅兵仪式上，受阅仪仗方队的女队员的身高标准为至，前期训练中，一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和方差与原6名队员相比（    ） A．平均数变大，方差变小 B．平均数变小，方差不变 C．平均数不变，方差变大 D．平均数变小，方差变大 【答案】C 【分析】本题考查求平均数和方差，熟练掌握求平均数和方差的方法是解题的关键，求出前后2次的平均数和方差进行判断即可． 【详解】解：原6名队员身高的平均数为：； 方差为：； 现在5名队员身高的平均数为， 方差为：； ； 故平均数不变，方差变大； 故选C． 5．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买得醇酒斗，买得行酒斗，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据“今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒”列出方程组即可． 【详解】解：设买得醇酒x斗，行酒y斗， ∵总酒量为2斗， ∴； ∵醇酒每斗50钱，行酒每斗10钱，总钱数为30钱， ∴． 故列方程组为． 故选D． 6．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：D． 7．如图．在中，P是上一点，于点D，于点E，且，F是上一点，且．下列结论：①；②；③，其中正确的是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定．证明，可得，，从而得到，进而得到，再由平行线的性质可得，然后根据题意无法得到与的大小关系，则无法确定与是否全等． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∴， 根据题意无法得到与的大小关系， ∴无法确定与是否全等，故③错误； 故选：B 8．已知动点以每秒厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（   ） ①动点的速度是； ②的长度为； ③当点到达点时的面积是； ④的值为14； ⑤在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是和． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题是动点函数的图象问题．考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义，是解决本题的关键．先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法． 【详解】解：当点H在上时，如图所示， ， ， 此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线， ，点H从点C点D运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示， ，点H从点E向点F运动，HF逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得时，点H在上， ， ∴，， ∴动点H的速度是，故①正确， 时，点H在上，此时三角形面积不变， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴，故②错误， 时，当点H在上，三角形面积逐渐减小， ∴动点H由点C运动到点D共用时， ∴， ∴， 在D点时，的高与相等，即， ∴，故③正确， ，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴，故④错误． 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时，故⑤正确． 综上分析可知，正确的有①③⑤，共计3个，故B正确． 故选：B． 9．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律探究可得，第55个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察可得横坐标为n的点有n个，它们的纵坐标分别为，根据即可确定第55个点的坐标． 【详解】解：∵这些点的坐标分别为，，，，，，… ∴横坐标为n的点有n个，它们的纵坐标分别为， ∵， ∴第55个点的横坐标为10，纵坐标为0， ∴第55个点的坐标为， 故选：C． 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 10．在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征．根据轴上点的纵坐标为零的特征，令点的纵坐标等于，求解的值． 【详解】解：点在轴上， 纵坐标， 解得． 故答案为：． 11．将直线向左平移个单位长度后所得的解析式为____________________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象平移．根据一次函数图象平移的规律，水平平移时，左移个单位则在上加，右移个单位则在上减，且一次项系数不变，据此作答即可． 【详解】解：将直线向左平移个单位长度，得． 故答案为：． 12．如果二元一次方程的解互为相反数，那么的值是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、互为相反数的性质，因为x和y的值互为相反数，所以有，将方程组的两个方程相加得，则，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二元一次方程的解互为相反数， ∴， 得， 即， ∴， 解得：； 故答案为：． 13．如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点，恰好都落在点，且，，三点共线．已知，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理，由折叠的性质可得，，，，结合三角形内角和定理 ，从而可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ∵直角三角形纸片中，， ∴， ∴， ∵，，三点共线， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 14．如图，与相交于点，，，．点和点同时出发，点以的速度从点出发，沿向运动，到位置后，立刻以相同的速度沿向运动；点从点出发，沿以的速度向运动．当点返回到点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒．当，，三点在同一条直线上时，的值为_____． 【答案】或5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质， 当点P，Q，C三点共线时，先证明，可得，再证明， 然后分两种情况：当点P在沿向B运动时，根据可得答案； 当点P在沿向A运动时，根据得出答案即可． 【详解】解：当点P，Q，C三点共线时， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴． 当点P在沿向B运动时，， ∴． ∵， ∴， 即， 解得； 当点P在沿向A运动时，， ∴． ∵， ∴， 即， 解得． 由，所以符合题意． 所以t的值为或5． 故答案为：或5． 15．设直线与两坐标轴所围成的三角形的面积，则的值_________． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，根据题意求出三角形面积的式子是解答此题的关键． 根据直线的解析式求出直线与两坐标轴的交点坐标，进而用含k的式子表示出直线与两坐标轴围成的三角形的面积，并将式子变形，最后令k分别等于进行求解即可． 【详解】解：当时， ， 当时， 解得， ∴三角形面积 ， ∴， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分） (1)； (2)； (3). 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和解二元一次方程组． （1）先化简二次根式和绝对值，并利用平方差公式计算乘法，最后计算加减法即可； （2）利用加减消元法解方程组即可； （3）整理后，利用加减消元法解方程组即可； 【详解】（1）解： ；…………………………4分 （2）解： 得：， 解得， 将代入得：， 原方程组的解为；………………………4分 （3）解： 去分母整理得：， 得：， 解得， 将代入得：， 原方程组的解为；…………………………4分 17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形，并写出对应点的坐标． (2)求的面积； (3)在y轴上求作一点P，使得的值最小． 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图——轴对称变换、轴对称——最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）作出的三个顶点关于轴的对称点，，，依次连接即可得到，进而可得到的坐标； （2）根据割补法计算即可； （3）作点A关于y轴的对称点，连接，交轴于点，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，关于x轴的对称图形， ………………………2分 ∴；………………………3分 （2）解： ；………………………5分 （3）解：如图，点P为所求． ∵点A关于y轴的对称点， ∴，则，根据两点之间线段最短， ∴连接，则与轴的交点即是点的位置．………………………7分 18．（8分）为了解学生每月利用AI工具进行科技赋能学习的情况，学校在八、九年级学生中各随机抽取10名学生对每月的AI工具使用次数进行整理、描述和分析（次数用x表示，共分成四组，A：；B：；C：；D：）．下面给出了部分信息： 八年级10名学生每月使用次数分别是：11，13，17，19，20，22，25，27，28，28． 九年级10名学生每月使用次数在C组中的数据是：20，20，21，24． 八、九年级抽取的学生每月使用次数统计表 年级 八年级 九年级 平均数 21 21 中位数 21 a 众数 b 27 九年级抽取的学生每月使用次数扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a的值为_，b的值为_____，m的值为_． (2)你认为该校八、九年级中哪个年级学生在使用AI工具进行赋能学习次数情况更多？请判断并说明理由． (3)若该校共有八、九年级学生共3600名，请你根据样本数据，估计该校八、九年级学生每月利用AI工具进行赋能学习次数不低于25次的学生总人数． 【答案】(1)20；28；40 (2)八年级学生在使用AI工具进行赋能学习次数情况更多，理由见解析 (3)1080名 【分析】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，扇形统计图等等，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义可得a和b的值，求出九年级D组的人数，再求出九年级D组的人数占比即可得到m的值； （2）根据两个年级的平均数相同，但是八年级的中位数和众数均大于九年级的中位数和众数可得结论； （3）用3600乘以样本中两个年级学生每月利用AI工具进行赋能学习次数不低于25次的学生人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：∵九年级一共抽取了10名学生， ∴把九年级抽取的10名学生每月利用AI工具进行赋能学习次数按照从低到高排列，中位数为第5名学生的次数和第6名学生次数的平均数， ∵名， ∴九年级A组和B组的人数之和为4， ∵， ∴九年级的中位数为，即，………………………1分 ∵八年级使用次数最多的为28次， ∴八年级的众数为28，即；………………………2分 ，则；………………………3分 （2）解：八年级学生在使用AI工具进行赋能学习次数情况更多，理由如下： 从平均数看，两个年级使用AI工具进行赋能学习次数情况相同， 从中位数看，八年级的中位数大于九年级的中位数， 从众数看，八年级的众数大于九年级的众数， ∴八年级学生在使用AI工具进行赋能学习次数情况更多；………………………6分 （3）解：名， 答：估计该校八、九年级学生每月利用AI工具进行赋能学习次数不低于25次的学生总人数为1080名．………………………8分 19．（6分）定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 【答案】(1)C； (2)的平方根是 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，平方根 ． （1）由定义直接可求； （2）根据定义得到计算得到，再求平方根即可 【详解】（1）解：的共轭二元一次方程是， 故答案为：C．………………………2分 （2）解：由题意可得整理得， ②－①，得，即．………………………5分 的平方根是， 的平方根是．………………………6分 20．（6分）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点使得，连接． (1)求证：； (2)若，，平分，求线段的长度． 【答案】(1)见详解 (2)7 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等角对等边的知识，掌握全等三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意可证，得到，由内错角相等，两直线平行即可求证； （2）根据全等三角形的性质得到，则，根据平行线的性质，角平分线的定义得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴，………………………2分 ∴， ∴；………………………3分 （2）解：∵， ∴， ∴，………………………4分 ∵平分， ∴，………………………5分 由（1）可知，， ∴， ∴．………………………6分 21．（8分）某商场用2750元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价，标价如下表所示： 类型 A型 B型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 100 (1)这两种台灯各购进多少盏？ (2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？ (3)远东二中准备用1560元，按进价购买A型、B型台灯（两种型号均购买），刚好1560元全部用完，那么学校有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A型台灯20盏，B型台灯30盏 (2)730元 (3)有两种购买方案：方案一：购进型台灯26盏，B型台灯8盏：方案二：购进型台灯13盏，B型台灯16盏 【分析】此题考查了一元一次方程及二元一次方程的应用，是利用方程求解实际问题的题目，解题的关键是找到等量关系． （1）根据题意可得等量关系：、两种新型节能台灯共50盏，种新型节能台灯的台数种新型节能台灯的台数元；设型台灯购进盏，型台灯购进盏，列方程即可求得； （2）根据题意列出代数式进行解答即可． （3）设购进型台灯盏，购进型台灯盏．则，化简得，再求解即可． 【详解】（1）解：设购进型台灯盏，则购进型台灯盏． 根据题意，得， ， （盏，………………………2分 答：购进型台灯20盏，购进型台灯30盏． （2）解：这批台灯全部售出后，商场共获利（元， 答：这批台灯全部售出后，商场共获利730元．………………………4分 （3）解：设购进型台灯盏，购进型台灯盏． 则， 化简得．………………………5分 因为均为正整数，所以必须是8的倍数． 当时，； 当时，； 当时，（不符合两种型号均购买，舍去）．…………………7分 所以学校有2种购买方案：方案一：购进型台灯26盏，B型台灯8盏：方案二：购进型台灯13盏B型台灯16盏．………………………8分 22．（8分）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费元与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，小明同学求出与x的函数解析式是，请根据相关信息，解答下列问题： (1)求关于x的函数解析式； (2)请说明图中函数与图象的交点P表示的实际意义； (3)如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择______品牌共享电动车更省钱；填“A”或“B” (4)当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？请写出过程． 【答案】(1)关于x的函数解析式为 (2)交点P表示骑行20分钟时，A、B两个品牌的共享电动车收费相同，均为8元 (3)A (4)当x为5或40时，两种品牌共享电动车收费相差4元 【分析】本题考查一次函数的应用，写出关于x的函数解析式、掌握绝对值方程的解法是解题的关键． （1）求出B品牌共享电动车每分钟的收费，再根据“B品牌的收费每分钟的收费骑行时间”写出关于x的函数解析式即可； （2）根据一次函数的交点的意义联系实际说明即可； （3）根据时间路程速度求出小明骑共享电动车从家到工厂所用的时间，再比较与的大小即可； （4）根据x的取值范围，将和关于x的函数解析式分别代入，得到关于x的绝对值方程并求解即可． 【详解】（1）解：品牌共享电动车每分钟收费元， 关于x的函数解析式为；…………………1分 （2）解：交点P表示骑行20分钟时，A、B两个品牌的共享电动车收费相同，均为8元；………3分 （3）解：小明骑共享电动车从家到工厂用时（分钟）， 由图象可知，当时，， 小明选择A品牌共享电动车更省钱， 故答案为：A；…………………5分 （4）解：当时，，即， 解得，…………………6分 当时，，即， 解得舍去或， 当x为5或40时，两种品牌共享电动车收费相差4元．…………………8分 23．（10分）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为_①_，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以_②_． 则，即_③_． 由_④_，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 【答案】(1)①；②；③；④内错角相等，两直线平行 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的规律应用，解题的关键是通过作辅助线转化角的关系，利用平行线性质推导，再根据角平分线的递推规律求解． （1）利用平行公理补全推理，通过角的等量代换得到内错角相等，从而判定平行； （2）作辅助线分析角的数量关系； （3）先根据（2）的结论得到初始角的关系，再结合角平分线的定义，依次推导每次操作后角的表达式，归纳出第次操作后角与原角的数量关系，进而递推得到与的关系． 【详解】（1）解：分别过点，作， 因为，所以…………………1分 由两直线平行，内错角相等，可知，， 由题知，所以…………………2分 则，即…………………3分 由内错角相等，两直线平行，可得…………………4分 （2）解： 理由：过点作（如图）， …………………5分 ， ，…………………6分 （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等），…………………7分 ， ．…………………8分 （3）解：由（2）的结论可知：． 第一次操作：平分，平分， 则，， 根据（2）的结论，． 第二次操作：平分，平分， 则，， 同理，． 以此类推，第次操作后，． 已知，代入得， 解得． 答：的大小为．…………………10分 24．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且满足． (1)求点的坐标． (2)为轴上一动点，连接，过点在线段上方作，且 ①如图1，若点在轴正半轴上，点在第一象限，连接，过点作的平行线交轴于点，求点的坐标（用含的式子表示） ②如图2，连接，探究当取最小值时，直线与轴的夹角（锐角）是多少度？ 【答案】(1)点的坐标为 (2)①点的坐标为 ②直线与轴的夹角（锐角）为 【分析】本题考查了绝对值的性质、平面直角坐标系中点的坐标求解、全等三角形的判定与性质、平行线的性质及垂线段最短的应用，解题的关键是通过构造全等三角形转化线段与角度关系，结合坐标特征分析点的轨迹与线段最值． （1）利用绝对值的非负性求的值，得点坐标； （2）①作辅助线构造全等三角形，结合平行线的内错角性质推导点坐标； ②确定点的运动轨迹，利用垂线段最短分析最小值时直线与轴的夹角． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴点的坐标为．…………………1分 （2）①解：过点作轴于点， ∵， ∴， ∴…………………2分 又∵， ∴ ∵，， ∴（），…………………3分 ∴，， ∴， ∵，轴为截线， ∴（两直线平行，内错角相等）．…………………5分 在和中： ∴（），…………………6分 ∴． 又∵在轴负半轴， ∴点的坐标为．…………………7分 ②解：由①知，即点的纵坐标比横坐标大4， ∴点在直线上． 根据垂线段最短，的最小值为原点到直线的垂线段长度． 直线与轴交于，与轴交于， ∴该直线与轴、轴围成的三角形为等腰直角三角形，其与轴的夹角为． ∵垂直于直线， ∴直线与轴的夹角（锐角）为．…………………10分 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $©学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：北师大版2024八年级上册。 第一部分（选择题共27分) 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，满27分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求的) 1在下列各效0i5:31415926c,010101001.(每两个1之间依次多1个0)。一受号6，中无理 数的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列命题是真命题的是() A.等边对等角 B.周长相等的两个等腰三角形全等 C.等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合 D.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 3.平面直角坐标系中，第三象限内的点P(a+3,a)到y轴的距离是4，则a的值为() A.-7 B.4 C.1 D.-4 4.在2025年9月3日举行的中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日的阅兵仪式上，受 阅仪仗方队的女队员的身高标准为173cm至180cm,前期训练中，一组6名队员的身高（单位：cIn)分 别是：174,178,176,179,174,175，当一名身高为176cm的队员下场休息，现在5名队员身高的平 均数和方差与原6名队员相比() A.平均数变大，方差变小 B.平均数变小，方差不变 C.平均数不变，方差变大 D.平均数变小，方差变大 1/10 西©学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二 斗.问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱：行酒（劣质酒)1斗， 价值10钱.现有30钱，买得2斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少？设买得醇酒x斗，买得行酒y斗， 则可列方程组为() x+y=2 x-y=2 A. B. 10x+30y=50 50x+10y=30 x+y=2 x+y=2 C. D 10x+50y=30 50x+10y=30 6.如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S,S2,S,若S,+S2-S=24, 则图中阴影部分的面积为() S3 S2 A.24 B.18 C.12 D.6 7.如图.在△ABC中，P是BC上一点，PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,且PD=PE,F是AC上一点， 且∠APF=∠PAF.下列结论：①AD=AE:②PF∥AB:③△PEF≌APEC,其中正确的是() D B A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 8.已知动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A-B-C-D-卫-F的路 径匀速运动，相应的△HAF的面积S(cm2)关于时间t(s)的关系图象如图2，已知AF=8cm,则下列说 法正确的有() 2/10 ©学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 E ◆S(cm) 40- B 5812bt(S 图1 图2 ①动点H的速度是2cm/s: ②BC的长度为3cm: ③当点H到达D点时△HAF的面积是8cm2: ④b的值为14： ⑤在运动过程中，当△HAF的面积是30cm时，点H的运动时间是3.75s和9.25s. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,2)， (3,1),(3,0),…根据这个规律探究可得，第55个点的坐标为() :(5,4) 4,3(5,3) (3,2) 4,2)(5,2) (2,1) 3,14,15,1) 0(1,0)(2,0)(3,0)(4,0)(5,0) A.(9,0) B.(9,8) c.(10,0) D.(10,9) 第二部分（非选择题共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 10.在平面直角坐标系中，点P(2+4,m-1)在x轴上，则m的值为 11.将直线y=-2x+6向左平移5个单位长度后所得的解析式为 6x-y=a-2 12.如果二元一次方程 x+8y=-3a+1 的解x,y互为相反数，那么a的值是 13.如图，直角三角形纸片ABC中，∠A=90°，将△BDE,△CKG分别沿着DE,GK折叠，使点B,C恰 好都落在F点，且D,F,G三点共线.己知BC=12,BE=3,则EK=一 3/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 G 8. 14.如图，AE与BD相交于点C,AC=EC,AB∥DE,AB=10cm,点Q和点P同时出发，点P以3cm/s 的速度从点A出发，沿AB向B运动，到B位置后，立刻以相同的速度沿BA向A运动：点Q从点D出 发，沿DE以1c/s的速度向E运动.当点P返回到点A时，P,2两点同时停止运动.设点P的运动 时间为t秒.当P,Q,C三点在同一条直线上时，t的值为 D B D 15.设直线y= 2k-1 ,1与两坐标轴所围成的三角形的面积S,(k=12,3,2026),则 2k+ix+2k+1 S+S2+S3+S4+…+S2026的值 三、解答题（本大题共9小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(12分) (1)计算： 得-+-5网： (2)解方程： x-3y=-10 x+y=69 (3)解方程： 1 3x+2y=10 4/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17.(7分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A1,1),B(4,2),C(3,4). 4 3 2 3-2 +10 (1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△AB,C,并写出对应点C的坐标. (2)求△ABC的面积： (3)在y轴上求作一点P,使得AP+CP的值最小. 18.(8分)为了解学生每月利用AI工具进行科技赋能学习的情况，学校在八、九年级学生中各随机抽取 10名学生对每月的AI工具使用次数进行整理、描述和分析（次数用x表示，共分成四组，A:10≤x<15: B:15≤x<20;C:20≤x<25;D:x≥25).下面给出了部分信息： 八年级10名学生每月使用次数分别是：11,13,17,19,20,22,25,27,28,28. 九年级10名学生每月使用次数在C组中的数据是：20,20,21,24. 八、九年级抽取的学生每月使用次数统计表 年级 八年级 九年级 平均数 21 21 中位数 21 a 众数 b 27 5/10 ©学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 九年级抽取的学生每月使用次数扇形统计图 A 10% D B no 30% m% 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a的值为，b的值为，m的值为· (2)你认为该校八、九年级中哪个年级学生在使用A虹工具进行赋能学习次数情况更多？请判断并说明理 由 (3)若该校共有八、九年级学生共3600名，请你根据样本数据，估计该校八、九年级学生每月利用A虹 工具进行赋能学习次数不低于25次的学生总人数， 19.(6分)定义：我们把关于x,y的两个二元一次方程x+y=b与x+y=b(m,n,b为常数，且m≠n≠0) mx+ny=b 叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组 m+=6’叫做共轭二元一次方程组. (1)x-2y=5的共轭二元一次方程是·（填选项字母） A.-x+2y=5B.x+2y=5C.-2x+y=5D.2x-y=5 「5x+y=2m+1, (2)若关于x,y的方程组 x+(4n-加)y=3-n是共轭二元一次方程组，求n-m的平方根. 6/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(6分)如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F使得EF=ED,连 接CF. (1)求证：AB∥CF: (2)若BD=4,CF=3,AC平分∠BCF,求线段BC的长度. 21.(8分)某商场用2750元购进A,B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价，标价如下表所示： 类型 A型 B型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 100 (1)这两种台灯各购进多少盏？ (2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获 利多少元？ (3)远东二中准备用1560元，按进价购买A型、B型台灯（两种型号均购买），刚好1560元全部用完， 那么学校有哪几种购买方案？ 7/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(8分)共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km-10km的出行市场，现有A,B两种品 牌的共享电动车，下面图象反映了收费y(元)与骑行时间in之间的对应关系，其中A品牌收费方式 对应，B品牌的收费方式对应y2,小明同学求出y(x≥10)与x的函数解析式是y=0.2x+4,请根据 相关信息，解答下列问题： 元 01020x/分钟 (1)求2关于x的函数解析式： (2)请说明图中函数月与y,图象的交点P表示的实际意义： (3)如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，己知两种品牌共享电动车的平均行驶 速度均为0.3 km /min,小明家到工厂的距离为9m,那么小明选择 品牌共享电动车更省钱：（填 “A”或“B) (4)当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？请写出过程. 8/10 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23.(10分)【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上 添加的一些线.这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的. A G >E 图一 图二 图三 (I)如图一，已知AB∥EF,∠B=∠E,请说明BC∥DE 解：分别过点C,D作CG∥AB,DH∥EF. 因为①_，所以AB∥CG∥DH∥EF, 由两直线平行，内错角相等，可知∠B=∠A,∠2=∠3，∠4=∠E. 由题知∠B=∠E,所以②_· 则1+∠2=∠3+∠4，即③_. 由④_，可得BC∥DE 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整。 (2)【迁移应用】如图二，已知AB∥CD,CE,BE的交点为E.判断∠BEC,∠ABE,∠DCE之间 的数量关系，并说明理由， (3)【拓展延伸】在第(2)题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的 平分线，交点为E；第二次操作，分别作∠ABE,和∠DCE的平分线，交点为E2:第三次操作，分别作 ∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E,.,第n次操作，分别作∠ABEn1和∠DCEn1的平分线，交点 为En,如图三.若∠En=1°，直接写出∠BEC的大小. 9/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24.(10分)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A(4,0),B(0,b),且b满足4-b=0. B RO 图1 图2 (1)求点B的坐标. (2)P(O,t)为y轴上一动点，连接AP,过点P在线段AP上方作PM⊥PA,且PM=PA ①如图1，若点P在y轴正半轴上，点M在第一象限，连接MB,过点B作PM的平行线交x轴于点R, 求点R的坐标（用含t的式子表示） ②如图2，连接OM,探究当OM取最小值时，直线OM与x轴的夹角（锐角）是多少度？ 10/10 2025-2026学年八年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共27分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 10.（3分）________________ 11.（3分）________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（12分） (1)计算：； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ (2)解方程：； (3)解方程：. 17．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（6分） 21．（8分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8分） 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共27分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 10．_________________ 11．___________________ 12．__________________ 13．__________________ 14．___________________ 15．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分） (1)计算：； (2)解方程：； (3)解方程：. 17．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） 19．（6分） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 23. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024八年级上册。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，满分27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在下列各数，3.1415926，0.1010010001……（每两个1之间依次多1个0），，，，中无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列命题是真命题的是（   ） A．等边对等角 B．周长相等的两个等腰三角形全等 C．等腰三角形的角平分线、中线和高线互相重合 D．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 3．平面直角坐标系中，第三象限内的点到轴的距离是4，则的值为（   ） A． B．4 C．1 D． 4．在2025年9月3日举行的中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日的阅兵仪式上，受阅仪仗方队的女队员的身高标准为至，前期训练中，一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和方差与原6名队员相比（    ） A．平均数变大，方差变小 B．平均数变小，方差不变 C．平均数不变，方差变大 D．平均数变小，方差变大 5．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买得醇酒斗，买得行酒斗，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 7．如图．在中，P是上一点，于点D，于点E，且，F是上一点，且．下列结论：①；②；③，其中正确的是（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 8．已知动点以每秒厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2，已知，则下列说法正确的有（   ） ①动点的速度是； ②的长度为； ③当点到达点时的面积是； ④的值为14； ⑤在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是和． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律探究可得，第55个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 10．在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为______． 11．将直线向左平移个单位长度后所得的解析式为____________________． 12．如果二元一次方程的解互为相反数，那么的值是_______． 13．如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点，恰好都落在点，且，，三点共线．已知，，则______． 14．如图，与相交于点，，，．点和点同时出发，点以的速度从点出发，沿向运动，到位置后，立刻以相同的速度沿向运动；点从点出发，沿以的速度向运动．当点返回到点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒．当，，三点在同一条直线上时，的值为_____． 15．设直线与两坐标轴所围成的三角形的面积，则的值_________． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分） (1)计算：； (2)解方程：； (3)解方程：. 17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形，并写出对应点的坐标． (2)求的面积； (3)在y轴上求作一点P，使得的值最小． 18．（8分）为了解学生每月利用AI工具进行科技赋能学习的情况，学校在八、九年级学生中各随机抽取10名学生对每月的AI工具使用次数进行整理、描述和分析（次数用x表示，共分成四组，A：；B：；C：；D：）．下面给出了部分信息： 八年级10名学生每月使用次数分别是：11，13，17，19，20，22，25，27，28，28． 九年级10名学生每月使用次数在C组中的数据是：20，20，21，24． 八、九年级抽取的学生每月使用次数统计表 九年级抽取的学生每月使用次数扇形统计图 年级 八年级 九年级 平均数 21 21 中位数 21 a 众数 b 27 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a的值为_，b的值为_____，m的值为_． (2)你认为该校八、九年级中哪个年级学生在使用AI工具进行赋能学习次数情况更多？请判断并说明理由． (3)若该校共有八、九年级学生共3600名，请你根据样本数据，估计该校八、九年级学生每月利用AI工具进行赋能学习次数不低于25次的学生总人数． 19．（6分）定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 20．（6分）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点使得，连接． (1)求证：； (2)若，，平分，求线段的长度． 21．（8分）某商场用2750元购进A，B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价，标价如下表所示： 类型 A型 B型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 100 (1)这两种台灯各购进多少盏？ (2)若A型台灯按标价的9折出售，B型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？ (3)远东二中准备用1560元，按进价购买A型、B型台灯（两种型号均购买），刚好1560元全部用完，那么学校有哪几种购买方案？ 22．（8分）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费元与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，小明同学求出与x的函数解析式是，请根据相关信息，解答下列问题： (1)求关于x的函数解析式； (2)请说明图中函数与图象的交点P表示的实际意义； (3)如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择______品牌共享电动车更省钱；填“A”或“B” (4)当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？请写出过程． 23．（10分）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为_①_，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以_②_． 则，即_③_． 由_④_，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 24．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且满足． (1)求点的坐标． (2)为轴上一动点，连接，过点在线段上方作，且 ①如图1，若点在轴正半轴上，点在第一象限，连接，过点作的平行线交轴于点，求点的坐标（用含的式子表示） ②如图2，连接，探究当取最小值时，直线与轴的夹角（锐角）是多少度？ 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $