学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷（青岛专用，北师大版九上+九下全部：特殊平行四边形+一元二次方程+概率的进一步认识+图形的相似+投影与视图+反比例函数+直角三角形的边角关系+二次函数+圆）

2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共27分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 9 [A][B][c][D] 2 [A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C[D] 7 [A][B][c][D] 4[A][B][C[D] 8[A][B][c][D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 10.(3分) 11.(3分) 12.(3分) 13.(3分) 14.(3分) 15.(3分) 三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留 作图痕迹) 16. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（本大题共8小题，满分71分.解答应写出文字说明，证明 过程或演算步骤) 17.(8分) (1)解方程：x2-6x+8=0. (2)计算：cos245°+√3sin60°-tan60°.tan30° 18.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) 图2 C B B D 图3 20.(6分) BO A OP O D 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 24.(10分) y 9-87-654320123456789x 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) p 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C B B A C C D D A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. ＞ 11. 12. 13. 2026 14. / 15. 5 三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16． 解：如图，点E、F即为所求 四、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17． （1）解：， ， 或， ．…………………………4分 （2）解： ．…………………………4分 18．（5分） （1）解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有9种等可能的结果；…………………………3分 （2）由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中恰好标注的是“篮”和“足”字样的有2种结果， ∴．…………………………5分 19．（6分） （1）解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ， ，…………………………1分 ， ，…………………………2分 米，为的中点， 米， （米；…………………………3分 （2）解：在（1）中米， 如图，作于点，则， 同理可得，，…………………………4分 ，…………………………5分 水桶在竖直方向上升的距离为米， 故水桶在竖直方向上升的距离约为米．…………………………6分 20．（6分） （1）解：如图，连接， 是的直径， ．…………………………1分 ，， ． ． ．…………………………2分 （2）如图，连接， ， ．…………………………3分 切于点， ，即． ． ， ．…………………………5分 ．…………………………6分 21．（8分） （1）解：设每件类腊肠的售价为元，则每件类腊肠的售价为元， 根据题意得， 解得，…………………………1分 则每件类腊肠的售价（元， 答：类腊肠的售价为元件，类腊肠的售价为元件；…………………………2分 （2）解：由题意得，…………………………3分 类腊肠进价元件，售价为元件，且每件售价不低于进价， ， 答：；…………………………4分 （3）解：…………………………5分 ，…………………………6分 ， 当时，有最大值，…………………………7分 答：类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为元．………………………8分 22．（8分） （1）解：点，在反比例函数的图象上， ，…………………………1分 反比例函数的解析式为， 在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：，；…………………………2分 （2）解：由（1）知，， ，…………………………3分 ， 当或时，， 故答案为：或；…………………………4分 （3）解：轴，， ， ， 点到的距离，…………………………5分 作轴，轴， 由勾股定理得：，…………………………6分 ， ， ．…………………………8分 23．（8分） （1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，，…………………………1分 ∵平分， ∴，…………………………2分 ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形；…………………………3分 （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，…………………………4分 ∴是等边三角形，…………………………5分 ∴， ∴，…………………………6分 在中，，…………………………7分 ∴．…………………………8分 24．（10分） （1）解：∵如图所示，可知第一象限的顶点坐标为，经过， ∴设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，……………………1分 将代入，得：， 解得：，…………………………2分 ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为．…………………3分 （2）∵当时，代入得：，…………………………4分 ， ， ， ，…………………………5分 ∴解得：，(舍)． ∴为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心米以内．…………………………6分 （3）设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． ∵改造前，当时，， 又∵喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合， ∴． ∵改造前后喷出水柱形状不变， ∴，即．…………………………7分 ∵水池的直径扩大到米， ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）与轴交于， 将代入得： ，…………………………8分 ， ， ， 即． ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．…………………………10分 【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 25．（12分） （1）解：， 理由如下：取的中点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 、分别为正方形的边、的中点， ， ， ，…………………………1分 平分， ， ， ，…………………………2分 ， ， ， ， ， ， ；…………………………3分 （2）解：在上取，连接， 由（1）同理可得， ，， ，…………………………4分 ， ，， ，而， ， ， ， ；…………………………6分 （3）解：连接，作，交的延长线于，交于，连接，， 由（2）知，， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形，…………………………8分 点与关于对称， …………………………9分 ∴最小值为的长， ， ，， 由勾股定理得， 周长的最小值为．…………………………12分 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册和下册。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，满分27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图所示的几何体，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 2．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是256万元．假设该公司每个月生产成本的下降率都相同，设下降率为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下面四个命题，其中真命题是（   ） A．矩形的对角线互相垂直 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线相等且互相垂直 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 4．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 5．如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为(   ) A． B． C． D． 6．如图，在一条笔直的海岸线（东西方向）的北边有一座灯塔．小华在海岸线上的点测得灯塔在北偏东的方向上；小华继续沿着正东方向走了海里到达点处，此时测得灯塔在北偏东的方向上．那么灯塔到海岸线的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 7．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限内，以原点O为位似中心，在第一象限内作与的相似比为3的位似图形，若点D的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．如图，点B、E是以为直径的半圆O的三等分点，弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，下列说法：①；②；③；④方程有两个实数根；⑤（为任意实数）．其中正确的有（　） A．②③④ B．①④⑤ C．②③⑤ D．①②③④⑤ 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 10．已知点，在反比例函数的图象上，且，则______．（填“”、“”或“”） 11．如图，与y轴相切于点C，与x轴相交于点，，圆心P的坐标是_______． 12．四大名著是中国文学史中的经典作品，也是世界宝贵的文化遗产之一，其中的人物和故事情节千古传诵．在箱中放置的是印有“孙悟空”、“林黛玉”、“武松”、“诸葛亮”这张卡片，箱中放置的是印有“大闹天宫”、“葬花”、“景阳冈打虎”、“草船借箭”这张卡片，这些卡片形状大小完全一样，现从、箱中分别抽取一张卡片，人物和故事情节能对应得上的概率是__________． 13．定义：关于的一元二次方程与为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．若关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式能取得的最大值是___________． 14．如图，在等腰中，，，的角平分线交于点，交于点，交于点．为的中点，连接，若，，则（用含，的式子表示） 15．如图，在函数和的图象上，分别有、两点，若轴，交轴于点，且，则线段的长度________． 三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．如图，在中，点为的中点，过点作直线，请利用尺规作图法在直线上作点，（在的左侧），连接，，，，使得四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 四、解答题（本大题共8小题，满分71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算（本小题每题4分，共8分） （1）解方程：． （2）计算： 18．（5分）体育中考前，初三某班组织模拟测试，其中“球类自选项目”需从篮球、足球、排球3种球类中选择．体育老师准备了3个完全相同的不透明小球，分别标注“篮”“足”“排”字样（分别记为，，），放入不透明袋子中．测试规则为：一名同学有放回地从袋中随机摸球两次，第一次摸出的球代表第一备选项目，第二次摸出的球代表第二备选项目（两次项目可重复）． (1)请用列表法或者画树状图法中的一种方法，列出该同学两次摸球的所有可能的结果总数； (2)求该同学两次摸出的球中，恰好标注的是“篮”和“足”字样的概率． 19．（6分）图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 20．（6分）已知在中，弦与直径交于点． (1)如图①，若，，求的度数． (2)如图②，过点作的切线交的延长线于点．若，，求的度数． 21．（8分）“秋风起，吃腊味”，某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价元/件，B类腊肠进价元/件．已知购买2件A类腊肠和1件B类腊肠需元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需元． (1)求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ (2)A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，请求出w与x的函数关系式，并求出每天每件A类腊肠降价多少元时利润最大，最大利润是多少元？ 22．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)则_，_； (2)若时，则的取值范围是_； (3)过点作轴于点，连接，过点作于点D，求线段CD的长． 23．（8分）如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点O，若，，求的长． 24．（10分）某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱形状不变的前提下，把水池的直径扩大到米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 25．（12分）【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系； (1)【思考尝试】同学们发现，在图1中，取的中点G，连接可以解决这个问题．得出与的数量关系是______． (2)【实践探究】思辨小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，为边上一动点（点不重合），在中，，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】耐思小组深入研究思辨小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，为边上一动点（点不重合），在中，，，连接．当正方形边长时，请你直接写出周长的最小值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2012九年级上册和下册。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，满27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图所示的几何体，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图的知识，正确记忆俯视图是从物体的上面看得到的图形是解题关键．找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面看到的图形如下： 故选：C． 2．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是256万元．假设该公司每个月生产成本的下降率都相同，设下降率为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该公司今年3月份的生产成本=该公司今年1月份的生产成本该公司每个月生产成本的下降率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 3．下面四个命题，其中真命题是（   ） A．矩形的对角线互相垂直 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线相等且互相垂直 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【分析】本题考查考查命题与定理知识，特殊四边形的判定与性质，需逐一分析各选项是否符合对应图形的定义或判定条件． 【详解】解：A. 矩形的对角线相等且互相平分，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A为假命题； B. 根据平行四边形的判定定理，两组对角分别相等的四边形必为平行四边形（可通过内角和与平行线性质推导对边平行），故B为真命题； C. 菱形的对角线互相垂直且平分，但长度相等仅当菱形为正方形时成立，故C为假命题； D. 对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，例如可构造满足条件但四边长度不等的四边形，故D为假命题． 故选：B． 4．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线的平移规则． 根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”进行变换． 【详解】解：∵向左平移2个单位， ∴x变为， 得； ∵向下平移2个单位， ∴整体减2， 得， 故选：A． 5．如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ >， ∴， 故选：C． 6．如图，在一条笔直的海岸线（东西方向）的北边有一座灯塔．小华在海岸线上的点测得灯塔在北偏东的方向上；小华继续沿着正东方向走了海里到达点处，此时测得灯塔在北偏东的方向上．那么灯塔到海岸线的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形——方位角问题、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．正确作出辅助线构造直角三角形，并灵活应用等腰三角形的性质及方位角的定义是解答本题的关键．根据三角形内角和定理证出，由此得到，进而构造，并运用的正弦值即可求得灯塔到海岸线的距离． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点． 由题意，易知，，． 由三角形的内角和等于，得． ∴． ∴是等腰三角形． ∴海里． ∵， ∴． 在中，，海里，， ∴(海里)． ∴灯塔到海岸线的距离为海里． 故选：C． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限内，以原点O为位似中心，在第一象限内作与的相似比为3的位似图形，若点D的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质． 根据点D的坐标结合相似比为3作答即可． 【详解】解：以原点O为位似中心，在第一象限内作与的相似比为3的位似图形， ，即 故选：D． 8．如图，点B、E是以为直径的半圆O的三等分点，弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，勾股定理，求弧长，直角三角形的性质，余弦函数．先连接，设半径为R，根据“弧，弦，圆心角的关系”得，可得，再根据弧长公式求出即，接下来根据特殊角的三角函数值求出，再解直角三角形求出，，即可求出，最后根据得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，设半径为R， ∵点B,E是半的三等分点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得即． ∵是的直径， ∴， ∴， 在中，， ∴, 根据勾股定理，得， ∴． ∵和的面积相等， ∴． 故选：A． 9．如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，下列说法：①；②；③；④方程有两个实数根；⑤（为任意实数）．其中正确的有（　） A．②③④ B．①④⑤ C．②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据图形开口，对称轴的知识即可求解，掌握二次函数图象的性质，对称轴的计算方法是解题的关键． 根据所给函数图象，得出，，的正负，再结合抛物线的对称性和增减性对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由函数图象和已知条件可知，，，， ∴， ∴，故①错误； ∴，即，故②正确； 由函数图象可知，当时，， 即，故③正确； ∵的图象与直线有两个交点， ∴方程有两个实数根，故④正确； ∵， ∴当时，，故⑤错误． 故正确的有：②③④． 故选：A． 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 10．已知点，在反比例函数的图象上，且，则______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据反比例函数的性质，在时，函数值y随x的增大反而减小，由可得． 【详解】解：因为点，在反比例函数的图象上， 所以，． 由于，且反比例函数在时，y随x的增大反而减小， 因此． 故答案为：． 11．如图，与y轴相切于点C，与x轴相交于点，，圆心P的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质定理，矩形的判定和性质，勾股定理． 连接，，作交于点，根据垂径定理得到，则，根据切线的性质定理得到，进而证明四边形是矩形，得到，进而得到，根据勾股定理求出，即可求出圆心P的坐标． 【详解】解：如图，连接，，作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵与y轴相切于点C， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴圆心P的坐标是． 故答案为：． 12．四大名著是中国文学史中的经典作品，也是世界宝贵的文化遗产之一，其中的人物和故事情节千古传诵．在箱中放置的是印有“孙悟空”、“林黛玉”、“武松”、“诸葛亮”这张卡片，箱中放置的是印有“大闹天宫”、“葬花”、“景阳冈打虎”、“草船借箭”这张卡片，这些卡片形状大小完全一样，现从、箱中分别抽取一张卡片，人物和故事情节能对应得上的概率是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查概率的计算，列树状图是解题的关键． 根据题意画树状图，根据题意求概率即可． 【详解】解：根据题意，得到如下树状图， 共16种情况，其中人物和故事情节能对应的有4种， 所以概率为， 故答案为：． 13．定义：关于的一元二次方程与为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．若关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式能取得的最大值是___________． 【答案】2026 【分析】本题考查二次函数的解析式与性质，先根据同族二次方程的定义，将第二个方程转化为顶点式，通过比较系数求出a和b的值，再代入代数式求其最大值． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， 的最大值为2026， 即能取得的最大值为2026． 14．如图，在等腰中，，，的角平分线交于点，交于点，交于点．为的中点，连接，若，，则（用含，的式子表示） 【答案】/ 【分析】连接交于点，证明，推出，再证明、即可得解． 【详解】解：连接交于点， ，，为的中点， ， ， 平分， ， ， ， ， 和中， ， ， ， ， ， ， ， 等腰中有， ， ， 又， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题． 15．如图，在函数和的图象上，分别有、两点，若轴，交轴于点，且，则线段的长度________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和相似三角形，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征．先根据，，求出，，设点坐标为，则可表示出点坐标为，然后证明，得到，即，解得，再确定、点的坐标，最后用两点的横坐标之差来得到线段的长． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴两反比例解析式为，， 设B点坐标为， ∵轴， ∴A点的纵坐标为，， 把代入，得， ∴A点坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴A点坐标为，B点坐标为， ∴线段的长度． 故答案为：． 三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．如图，在中，点为的中点，过点作直线，请利用尺规作图法在直线上作点，（在的左侧），连接，，，，使得四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键； 依据矩形的判定定理：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．以O为圆心，长为半径画弧，交直线l于两点，左侧的点为E，右侧的点为F连接、、、，四边形即为所求矩形． 【详解】解：如图，点E、F即为所求 四、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算（本小题每题4分，共8分） （1）解方程：． （2）计算： 【答案】（1）；（2）1； 【分析】（1）此题考查了解一元二次方程，利用因式分解法进行解方程即可． （2）本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，代入特殊角的三角函数值进行计算即可，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键； 【详解】（1）解：， ， 或， ．…………………………4分 （2）解： ．…………………………4分 18．（5分）体育中考前，初三某班组织模拟测试，其中“球类自选项目”需从篮球、足球、排球3种球类中选择．体育老师准备了3个完全相同的不透明小球，分别标注“篮”“足”“排”字样（分别记为，，），放入不透明袋子中．测试规则为：一名同学有放回地从袋中随机摸球两次，第一次摸出的球代表第一备选项目，第二次摸出的球代表第二备选项目（两次项目可重复）． (1)请用列表法或者画树状图法中的一种方法，列出该同学两次摸球的所有可能的结果总数； (2)求该同学两次摸出的球中，恰好标注的是“篮”和“足”字样的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键： （1）根据题意，列出表格，作答即可； （2）结合（1）中表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有9种等可能的结果；…………………………3分 （2）由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中恰好标注的是“篮”和“足”字样的有2种结果， ∴．…………………………5分 19．（6分）图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用．正确构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点，易得的长度和的度数，根据的长度和的余弦值可得的长度； （2）在（1）中求得的长，作于点，可得的长度，则水桶在竖直方向上升的距离为与的差． 【详解】（1）解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ， ，…………………………1分 ， ，…………………………2分 米，为的中点， 米， （米；…………………………3分 （2）解：在（1）中米， 如图，作于点，则， 同理可得，，…………………………4分 ，…………………………5分 水桶在竖直方向上升的距离为米， 故水桶在竖直方向上升的距离约为米．…………………………6分 20．（6分）已知在中，弦与直径交于点． (1)如图①，若，，求的度数． (2)如图②，过点作的切线交的延长线于点．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键． （1）由三角形的外角性质得出，由圆周角定理得，即可得出答案； （2）连接，由切线的性质得出，求出，由等腰三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的直径， ．…………………………1分 ，， ． ． ．…………………………2分 （2）如图，连接， ， ．…………………………3分 切于点， ，即． ． ， ．…………………………5分 ．…………………………6分 21．（8分）“秋风起，吃腊味”，某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价元/件，B类腊肠进价元/件．已知购买2件A类腊肠和1件B类腊肠需元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需元． (1)求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ (2)A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，请求出w与x的函数关系式，并求出每天每件A类腊肠降价多少元时利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A类腊肠的售价为元/件，B类腊肠的售价为元/件 (2)（） (3)²，每件A类腊肠降价2元时利润最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，一元一次方程的应用，根据实际问题列一次函数关系式，解答本题的关键是找准等量关系，列出二次函数或一元一次方程． （1）根据题意设每件类腊肠的售价为元，则每件类腊肠的售价为元，进一步得到关于的一元一次方程求解即可； （2）根据降价1元，每天可多售出件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到得取值范围； （3）结合（2）中类腊肠降价元与每天的销售量件，得到类腊肠的利润，整理得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件类腊肠的售价为元，则每件类腊肠的售价为元， 根据题意得， 解得，…………………………1分 则每件类腊肠的售价（元， 答：类腊肠的售价为元件，类腊肠的售价为元件；…………………………2分 （2）解：由题意得，…………………………3分 类腊肠进价元件，售价为元件，且每件售价不低于进价， ， 答：；…………………………4分 （3）解：…………………………5分 ，…………………………6分 ， 当时，有最大值，…………………………7分 答：类腊肠每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为元．…………………………8分 22．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)则_，_； (2)若时，则的取值范围是_； (3)过点作轴于点，连接，过点作于点D，求线段CD的长． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】此题考查了反比例函数的图形和性质，勾股定理，三角形的面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先将点坐标代入反比例函数解析式中，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式中求出； （2）根据图象直接得出结论； （3）先求出，，再求出，最后用三角形的面积公式建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：点，在反比例函数的图象上， ，…………………………1分 反比例函数的解析式为， 在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：，；…………………………2分 （2）解：由（1）知，， ，…………………………3分 ， 当或时，， 故答案为：或；…………………………4分 （3）解：轴，， ， ， 点到的距离，…………………………5分 作轴，轴， 由勾股定理得：，…………………………6分 ， ， ．…………………………8分 23．（8分）如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点O，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再通过等角对等边证，即可得出结论； （2）先证明是等边三角形，则，根据菱形的性质得到，然后由勾股定理求解，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，，…………………………1分 ∵平分， ∴，…………………………2分 ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形；…………………………3分 （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，…………………………4分 ∴是等边三角形，…………………………5分 ∴， ∴，…………………………6分 在中，，…………………………7分 ∴．…………………………8分 24．（10分）某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱形状不变的前提下，把水池的直径扩大到米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 【答案】(1)水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为； (2)为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心米以内； (3)扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数（第一象限部分）的顶点式，代入点，求出值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，代入点可求出值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵如图所示，可知第一象限的顶点坐标为，经过， ∴设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，……………………1分 将代入，得：， 解得：，…………………………2分 ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为．…………………3分 （2）∵当时，代入得：，…………………………4分 ， ， ， ，…………………………5分 ∴解得：，(舍)． ∴为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心米以内．…………………………6分 （3）设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． ∵改造前，当时，， 又∵喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合， ∴． ∵改造前后喷出水柱形状不变， ∴，即．…………………………7分 ∵水池的直径扩大到米， ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）与轴交于， 将代入得： ，…………………………8分 ， ， ， 即． ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．…………………………10分 【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 25．（12分）【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系； (1)【思考尝试】同学们发现，在图1中，取的中点G，连接可以解决这个问题．得出与的数量关系是______． (2)【实践探究】思辨小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，为边上一动点（点不重合），在中，，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】耐思小组深入研究思辨小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，为边上一动点（点不重合），在中，，，连接．当正方形边长时，请你直接写出周长的最小值． 【答案】(1)，理由见详解； (2)； (3) 【分析】（1）取的中点，连接，利用同角的余角相等说明，再根据证明，得； （2）在上取，连接，由（1）同理可得，则，再说明是等腰直角三角形即可得出答案； （3）作，交的延长线于，交于，连接，则是等腰直角三角形，可知点与关于对称，则的最小值为的长，利用勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】（1）解：， 理由如下：取的中点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 、分别为正方形的边、的中点， ， ， ，…………………………1分 平分， ， ， ，…………………………2分 ， ， ， ， ， ， ；…………………………3分 （2）解：在上取，连接， 由（1）同理可得， ，， ，…………………………4分 ， ，， ，而， ， ， ， ；…………………………6分 （3）解：连接，作，交的延长线于，交于，连接，， 由（2）知，， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形，…………………………8分 点与关于对称， …………………………9分 ∴最小值为的长， ， ，， 由勾股定理得， 周长的最小值为．…………………………12分 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $: 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 O (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 : 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 : : 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 ○ 4.测试范围：北师大版九年级上册和下册。 : 第一部分（选择题共27分) : 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，满分27分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 尽 目要求的) 1.如图所示的几何体，其俯视图是() : .: O 正面 D 2.某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是256 : 万元.假设该公司每个月生产成本的下降率都相同，设下降率为x,根据题意，下列方程正确的是() A.400(1+x)2=256 B.400(1-x)2=256 拟 : : C.400(1+2x)=256 D.400(1-2x)=256 3.下面四个命题，其中真命题是() A.矩形的对角线互相垂直 B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 : C.菱形的对角线相等且互相垂直 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 4.将抛物线y=-2x2先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是() A.y=-2(x+2)2-2 B.y=-2(x-2)2+2 C.y=-2(x+2)2+2 D.y=-2(x-2)2-2 5.如果关于x一元二次方程2x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，那么实数的取值范围为() 试题第1页（共6页） ©学科网·学易金卷做树费：限彩是鲁” 9 9 8 A.n> D.< 8 B.m>8 9 C.m<8 9 6.如图，在一条笔直的海岸线（东西方向）的北边有一座灯塔P,小华在海岸线上的点A测得灯塔P在北 偏东70°的方向上；小华继续沿着正东方向走了a海里到达点B处，此时测得灯塔P在北偏东50°的方向 上.那么灯塔P到海岸线的距离为() 50° 70° B A.atan50°海里B. sm海里 C.asin40°海里 D. 国w海里 7.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限内，以原点O为位似中心，在 第一象限内作与△OAB的相似比为3的位似图形△OCD,若点D的坐标为(3,2)，则点B的坐标为() B.（ C.(-1,-2) . 8.如图，点B、B是以AD为直径的半圆O的三等分点，弧BE的长为π，∠C=90°，则图中阴影部分的 面积为() B A.6N5-8B.3V5-2 c.63-4π D.9W5-8 3 9.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴相交于A(-3,0),B(1,0)两点，下列说法：①cb>0: ②2a-b=0;③4a+2b+c>0;④方程a.x2+bx+c-2=0有两个实数根；⑤m2-a+bm-b>0(m为 任意实数).其中正确的有() 试题第2页（共6页） ©学科网·学易金卷做概：限是禁 A.②③④ B.①④⑤ C.②③⑤ D.①②③④⑤ 第二部分（非选择题共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 10.已知点A(5,),B(x,)在反比例函数y=的图象上，且x<x<0,则出一.（填“>”、“<” 或“=”) 11.如图，⊙P与y轴相切于点C,与x轴相交于点A(-1,0),B(-9,0),圆心P的坐标是 A0末 12.四大名著是中国文学史中的经典作品，也是世界宝贵的文化遗产之一，其中的人物和故事情节千古传 诵.在A箱中放置的是印有“孙悟空”、“林黛玉”、“武松”、“诸葛亮”这4张卡片，B箱中放置的是印有 “大闹天宫”、“葬花”、“景阳冈打虎”、“草船借箭这4张卡片，这些卡片形状大小完全一样，现从A、 B箱中分别抽取一张卡片，人物和故事情节能对应得上的概率是 13.定义：关于x的一元二次方程m(x-c)+d=0与n(x-c)+d=0为“同族二次方程”.如2(x-1)+3=0 与6(x-1)2+3=0是“同族二次方程”.若关于x的一元二次方程2(x-1)2+1=0与(a+6) x2-(b+8)x+6=0是“同族二次方程”，则代数式2+bx+2025能取得的最大值是 14.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,∠ABC的角平分线交AC于点E,AD⊥BE交BE 于点F,交BC于点D.O为BC的中点，连接OF,若EF=a,DF=b,则BF=-(用含a,b的式 子表示) O D 15.如图，在函数=点(x<0)和，=点(x>0的图象上，分别有A、B两点，若AB∥x轴，交y轴于点 C,且OA⊥OB,S△AOc=1,S△oc=4,则线段AB的长度= 试题第3页（共6页） : : 三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹) 16.如图，在△ABC中，点O为AC的中点，过点O作直线l,请利用尺规作图法在直线I上作点E,F(E O 在F的左侧)，连接AE,CE,AF,CP,使得四边形AECF为矩形.（保留作图痕迹，不写作法） .: : : 四、解答题（本大题共8小题，满分71分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） :: 17.计算（本小题每题4分，共8分） (1)解方程：x2-6x+8=0. (2)计算：cos245°+√3sin60°-tan60°.tan30° : 18.(5分)体育中考前，初三某班组织模拟测试，其中“球类自选项目”需从篮球、足球、排球3种球类中 选择.体育老师准备了3个完全相同的不透明小球，分别标注“篮“足排字样（分别记为A,B,C), 游 放入不透明袋子中.测试规则为：一名同学有放回地从袋中随机摸球两次，第一次摸出的球代表第一 游 备选项目，第二次摸出的球代表第二备选项目（两次项目可重复）. : (1)请用列表法或者画树状图法中的一种方法，列出该同学两次摸球的所有可能的结果总数： S (2)求该同学两次摸出的球中，恰好标注的是“篮”和“足”字样的概率. O : 19.(6分)图1是我国古代提水的器具桔槔(i说go),创造于春秋时期.它选择大小两根竹竿，大竹竿的 中点架在作为杠杆的竹梯上.大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）， : 小竹竿上悬挂水桶.其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井.当放松大竹 竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里.如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB=8米，O为AB的中点， 支架OD垂直地面EF,此时水桶在井里时，∠AOD=120°. : 世 : B E D 图1 图2 图3 (1)如图2，求支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1米）： : (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至AB,的位置，小竹竿AC至AC的位置，此时 : ∠AOD=143°，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）.（参考数据：√3≈1.73，si37°≈0.6， : c0s37°≈0.8，tam37°≈0.75) : 试题第4页（共6页） .·.… 20.(6分)已知在⊙O中，弦CD与直径AB交于点P. D 图① 图② 斯 (1)如图①，若∠BCD=30°，∠APC=50°， 求∠CDB的度数. (2)如图②，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点Q.若∠BCD=20°，PQ=DQ,求∠ABC的度 数. 21.(8分)“秋风起，吃腊味”，某腊肠店销售A,B两类腊肠.A类腊肠进价50元/件，B类腊肠进价60元 /件.己知购买2件A类腊肠和1件B类腊肠需192元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需540元. (1)求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ : (2)A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10 件（每件售价不低于进价）.设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函 1 数关系式，以及自变量x的取值范围. (3)在(2)的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，请求出w与x的函数关系式，并求出 每天每件A类腊肠降价多少元时利润最大，最大利润是多少元？ 22.(8分)如图，一次函数片=c+b(k≠0)的图象与反比例函数片=心(m≠0)的图象交于第二、四象限 O O 1 内的A、B两点，点A的坐标为(-2,4)，点B的坐标为(8，). : (1)则m=一，n=_: (2)若>y2时，则x的取值范围是_： : (3)过点B作BC⊥y轴于C点，连接AC,过点C作CDL AB于点D,求线段CD的长. : : 23.(8分)如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，过点D分别作DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交 : AB于点F,连接AD,AD平分∠BAC. K (1)求证：四边形AEDF是菱形： : 试题第5页（共6页） ©学科网·学易金卷德概德：限餐是鲁帮 (2)连接EF交AD于点O,若∠BAC=60°，AE=5,求AD的长 24.(10分)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物 线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处 汇合.如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系. 9-8-7-6内-4-2-01234方6789x (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式： (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必 须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱形状不变的前提下，把水池的直 径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建 改造后喷水池水柱的最大高度， 25.(12分)【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的 中点，AE⊥EP,EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点.试猜想AE与EP的数量关系： 图1 图2 图3 (I)【思考尝试】同学们发现，在图1中，取AB的中点G,连接EG可以解决这个问题.得出AE与EP 的数量关系是 (②)【实践探究】思辨小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD 中，E为BC边上一动点（点E,B不重合），在△AEP中，AE=EP,∠AEP=90°，连接CP,可以求 出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题， (3)【拓展迁移】耐思小组深入研究思辨小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正 方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E,B不重合），在△AEP中，AE=EP,∠AEP=90°，连接DP.当 正方形边长AB=5时，请你直接写出△ADP周长的最小值. 试题第6页（共6页）2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣■■。。■。。。■。■=▣。▣=▣。■=。■==■■▣■▣▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1[W][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共27分) 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A1[BJ[C1[D] 2.[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 10 11. 12 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹) 16. B 四、解答题（本大题共8小题，满分71分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(8分) (1)解方程：x2-6x+8=0. (2)计算：cos245°+√3sin60°-tan60°.tan30° 18.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) B EC D D 图2 图3 20.(6分) B BO A A OP D 图① 图② 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 23.(8分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) -9-8-7-6-5-4-3-2-0123456789x 25.(12分) A D D B E C E 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！西©学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：北师大版九年级上册和下册。 第一部分（选择题共27分) 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，满27分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求的) 1.如图所示的几何体，其俯视图是() 正面 0 2.某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是256 万元.假设该公司每个月生产成本的下降率都相同，设下降率为x,根据题意，下列方程正确的是() A.400(1+x)2=256 B.400(1-x)）2=256 C.400(1+2x)=256 D.400(1-2x)=256 3.下面四个命题，其中真命题是() A.矩形的对角线互相垂直 B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C.菱形的对角线相等且互相垂直 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 1/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 4.将抛物线y=-2x先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是() A.y=-2(x+2)2-2 B.y=-2(x-2)2+2 C.y=-2(x+2)2+2 D.y=-2(x-2)2-2 5.如果关于x一元二次方程2x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为() .9 A.>三 8 B.m>8 79 C.msg D.m<8 9 6.如图，在一条笔直的海岸线（东西方向）的北边有一座灯塔P.小华在海岸线上的点A测得灯塔P在北 偏东70°的方向上；小华继续沿着正东方向走了α海里到达点B处，此时测得灯塔P在北偏东50°的方向 上.那么灯塔P到海岸线的距离为() 70 50° A.atan50°海里B. sin40°海里 C.asin40°海里 D. tan50海里 7.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限内，以原点O为位似中心，在第 一象限内作与△OAB的相似比为3的位似图形△OCD,若点D的坐标为(3,2)，则点B的坐标为() a.到 c.(-1,-2) 8。如图。点B、B是以4D为直径的半圆0的=等分点，弧E的长为和，∠C-90,则图中阴影部分的 面积为() B D 0 A.6W5-8 B. C.65-4元 D.9W58元 2/9 西©学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 9.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴相交于A(-3,0),B(1,0)两点，下列说法：①cb>0: ②2a-b=0;③4a+2b+c>0;④方程ax2+b.x+c-2=0有两个实数根；⑤am2-a+bml-b>0(m为 任意实数).其中正确的有() B A.②③④ B.①④⑤ C.②③⑤ D.①②③④⑤ 第二部分（非选择题共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 10.已知点A(5,),B(5,)在反比例函数y=的图象上，且￥<<0，则4一.（填“>八、“<” 或“=”) 11.如图，⊙P与y轴相切于点C,与x轴相交于点A(-1,0),B(-9,0),圆心P的坐标是 P. B 12.四大名著是中国文学史中的经典作品，也是世界宝贵的文化遗产之一，其中的人物和故事情节千古传 诵.在A箱中放置的是印有“孙悟空”、“林黛玉”、“武松”、“诸葛亮这4张卡片，B箱中放置的是印有“大 闹天宫”、“葬花”、“景阳冈打虎”、“草船借箭”这4张卡片，这些卡片形状大小完全一样，现从A、B箱 中分别抽取一张卡片，人物和故事情节能对应得上的概率是 13.定义：关于x的一元二次方程m(x-c)2+d=0与n(x-c)+d=0为“同族二次方程”.如2(x-1)2+3=0 与6(x-1)+3=0是“同族二次方程”.若关于x的一元二次方程2(x-1)+1=0与(a+6) x2-(b+8)x+6=0是“同族二次方程”，则代数式2+bx+2025能取得的最大值是 14.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,∠ABC的角平分线交AC于点E,AD⊥BE交BE 3/9 ©学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 于点F,交BC于点D,O为BC的中点，连接OF,若EF=a,DF=b,则BF=(用含a,b的式 子表示) O D 15.如图，在函数y=c<0)和y,=x>0)的图象上，分别有A、B两点，若AB∥x轴，交y轴于点C, 且OA1OB,S△4oc=1,S△Boc=4,则线段AB的长度= 三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹) 16.如图，在△ABC中，点O为AC的中点，过点O作直线1，请利用尺规作图法在直线1上作点E,F(E 在F的左侧)，连接AE,CE,AF,CF,使得四边形AECF为矩形.（保留作图痕迹，不写作法） 四、解答题（本大题共9小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.计算（本小题每题4分，共8分） (1)解方程：x2-6x+8=0, (2)计算：cos245°+√3sin60°-tan60°.tan30° 4/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(5分)体育中考前，初三某班组织模拟测试，其中“球类自选项目”需从篮球、足球、排球3种球类中 选择.体育老师准备了3个完全相同的不透明小球，分别标注“篮“足“排”字样（分别记为A,B,C), 放入不透明袋子中，测试规则为：一名同学有放回地从袋中随机摸球两次，第一次摸出的球代表第一 备选项目，第二次摸出的球代表第二备选项目（两次项目可重复） ()请用列表法或者画树状图法中的一种方法，列出该同学两次摸球的所有可能的结果总数： (2)求该同学两次摸出的球中，恰好标注的是“篮”和“足”字样的概率 19.(6分)图1是我国古代提水的器具桔槔(i说go),创造于春秋时期.它选择大小两根竹竿，大竹竿的中 点架在作为杠杆的竹梯上.大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小 竹竿上悬挂水桶.其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井.当放松大竹竿 时，小竹竿下降，水桶就会回到井里.如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB=8米，O为AB的中点，支 架OD垂直地面EF,此时水桶在井里时，∠AOD=120°. EC D C 图1 图2 图3 (1)如图2，求支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1米）： (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至AB,的位置，小竹竿AC至AC的位置，此时 ∠AOD=143°，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）.（参考数据：√3≈1.73，sin37°≈0.6， c0s37°≈0.8，ta37°≈0.75) 5/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(6分)已知在⊙O中，弦CD与直径AB交于点P. B P\O A OP 图① 图② (I)如图①，若∠BCD=30°，∠APC=50°，求∠CDB的度数 (2)如图②，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点2.若∠BCD=20°，PQ=DO,求∠ABC的度数. 21.(8分)“秋风起，吃腊味”，某腊肠店销售A,B两类腊肠.A类腊肠进价50元/件，B类腊肠进价60元/ 件.己知购买2件A类腊肠和1件B类腊肠需192元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需540元. (1)求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ (2)A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10 件（每件售价不低于进价）.设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函 数关系式，以及自变量x的取值范围. (3)在(2)的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为元，请求出w与x的函数关系式，并求出每 天每件A类腊肠降价多少元时利润最大，最大利润是多少元？ 6/9 ©学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(8分)如图，一次函数乃=c+b(k≠0)的图象与反比例函数y,="(m≠0)的图象交于第二、四象限 内的A、B两点，点A的坐标为(-2,4)，点B的坐标为(8，n). (1)则m=-,n=-: (2)若y>y2时，则x的取值范围是： (3)过点B作BC⊥y轴于C点，连接AC,过点C作CD⊥AB于点D,求线段CD的长. 23.(8分)如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，过点D分别作DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB 于点F,连接AD,AD平分∠BAC. (I)求证：四边形AEDF是菱形： (2)连接EF交AD于点O,若∠BAC=60°，AE=5,求AD的长. 7/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24.(10分)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物 线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇 合.如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系 y 9-87-6-5-43-2-0123456789六 (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式： (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须 在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱形状不变的前提下，把水池的直 径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建 改造后喷水池水柱的最大高度， 8/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 25.(12分)【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的 中点，AE⊥EP,EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点，试猜想AE与EP的数量关系： D 图1 图2 图3 (1)【思考尝试】同学们发现，在图1中，取AB的中点G,连接EG可以解决这个问题.得出AE与EP 的数量关系是 (2)【实践探究】思辨小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD 中，E为BC边上一动点（点E,B不重合），在△AEP中，AE=EP,∠AEP=90°，连接CP,可以求 出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题 (3)【拓展迁移】耐思小组深入研究思辨小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正 方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E,B不重合），在△AEP中，AE=EP,∠AEP=90°，连接DP.当 正方形边长AB=5时，请你直接写出△ADP周长的最小值. 9/9 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册和下册。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，满27分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图所示的几何体，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 2．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是256万元．假设该公司每个月生产成本的下降率都相同，设下降率为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下面四个命题，其中真命题是（   ） A．矩形的对角线互相垂直 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线相等且互相垂直 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 4．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 5．如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为(   ) A． B． C． D． 6．如图，在一条笔直的海岸线（东西方向）的北边有一座灯塔．小华在海岸线上的点测得灯塔在北偏东的方向上；小华继续沿着正东方向走了海里到达点处，此时测得灯塔在北偏东的方向上．那么灯塔到海岸线的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 7．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在第三象限内，以原点O为位似中心，在第一象限内作与的相似比为3的位似图形，若点D的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．如图，点B、E是以为直径的半圆O的三等分点，弧的长为，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，下列说法：①；②；③；④方程有两个实数根；⑤（为任意实数）．其中正确的有（　） A．②③④ B．①④⑤ C．②③⑤ D．①②③④⑤ 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 10．已知点，在反比例函数的图象上，且，则______．（填“”、“”或“”） 11．如图，与y轴相切于点C，与x轴相交于点，，圆心P的坐标是_______． 12．四大名著是中国文学史中的经典作品，也是世界宝贵的文化遗产之一，其中的人物和故事情节千古传诵．在箱中放置的是印有“孙悟空”、“林黛玉”、“武松”、“诸葛亮”这张卡片，箱中放置的是印有“大闹天宫”、“葬花”、“景阳冈打虎”、“草船借箭”这张卡片，这些卡片形状大小完全一样，现从、箱中分别抽取一张卡片，人物和故事情节能对应得上的概率是__________． 13．定义：关于的一元二次方程与为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．若关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式能取得的最大值是___________． 14．如图，在等腰中，，，的角平分线交于点，交于点，交于点．为的中点，连接，若，，则（用含，的式子表示） 15．如图，在函数和的图象上，分别有、两点，若轴，交轴于点，且，则线段的长度________． 三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．如图，在中，点为的中点，过点作直线，请利用尺规作图法在直线上作点，（在的左侧），连接，，，，使得四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 四、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．计算（本小题每题4分，共8分） （1）解方程：． （2）计算： 18．（5分）体育中考前，初三某班组织模拟测试，其中“球类自选项目”需从篮球、足球、排球3种球类中选择．体育老师准备了3个完全相同的不透明小球，分别标注“篮”“足”“排”字样（分别记为，，），放入不透明袋子中．测试规则为：一名同学有放回地从袋中随机摸球两次，第一次摸出的球代表第一备选项目，第二次摸出的球代表第二备选项目（两次项目可重复）． (1)请用列表法或者画树状图法中的一种方法，列出该同学两次摸球的所有可能的结果总数； (2)求该同学两次摸出的球中，恰好标注的是“篮”和“足”字样的概率． 19．（6分）图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 20．（6分）已知在中，弦与直径交于点． (1)如图①，若，，求的度数． (2)如图②，过点作的切线交的延长线于点．若，，求的度数． 21．（8分）“秋风起，吃腊味”，某腊肠店销售A，B两类腊肠．A类腊肠进价元/件，B类腊肠进价元/件．已知购买2件A类腊肠和1件B类腊肠需元，购买3件A类腊肠和5件B类腊肠需元． (1)求A类腊肠和B类腊肠每件的售价各是多少元？ (2)A类腊肠供货充足，按原价销售每天可售出件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出件（每件售价不低于进价）．设每件A类腊肠降价x元，每天的销售量为y件，请直接写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，设该店每天销售A类腊肠的利润为w元，请求出w与x的函数关系式，并求出每天每件A类腊肠降价多少元时利润最大，最大利润是多少元？ 22．（8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)则_，_； (2)若时，则的取值范围是_； (3)过点作轴于点，连接，过点作于点D，求线段CD的长． 23．（8分）如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点O，若，，求的长． 24．（10分）某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱形状不变的前提下，把水池的直径扩大到米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 25．（12分）【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系； (1)【思考尝试】同学们发现，在图1中，取的中点G，连接可以解决这个问题．得出与的数量关系是______． (2)【实践探究】思辨小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，为边上一动点（点不重合），在中，，，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】耐思小组深入研究思辨小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，为边上一动点（点不重合），在中，，，连接．当正方形边长时，请你直接写出周长的最小值． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共27分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 10.（3分）________________ 11.（3分）________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（本大题共8小题，满分71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） （1）解方程：． （2）计算： 18．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（6分） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（8分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共27分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 10．_________________ 11．___________________ 12．__________________ 13．__________________ 14．___________________ 15．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16． 四、解答题（本大题共8小题，满分71分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） （1）解方程：． （2）计算： 18．（5分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（6分） 20．（6分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8分） 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 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