专题09 规律性问题的五种考法（重难点培优：知识点总结+五大考点题型+能力提升练习）2025-2026学年七年级上册数学人教版

专题09 规律性问题的五种考法目录 A · 重难点题型分类 题型1：数轴上的规律探究…………………………………………………… 1 题型2：数字类规律…………………………………………………………… 2 题型3：图形类规律…………………………………………………………… 2 题型4：程序流程图中的规律问题…………………………………………… 4 题型5：整式加减中的规律问题……………………………………………… 5 B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 7 重难点题型分类 【题型1：数轴上的规律探究】 【例1】如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（  ） A．A点 B．B点 C．D点 D．E点 【变式1-2】有一机器人从数轴原点出发，沿数轴负方向以每前进5步后退4步的程序运动．该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第秒该机器人在数轴上所对应的数，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 （填序号）． 【变式1-3】如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1008，那么n的值是 ． 【题型2：数字类规律】 【例1】已知，第2025位小数是（   ） A．1 B．4 C．2 D．8 【变式1-1】观察下列一组数：…，第n个数是（   ） A． B． C． D．​ 【变式1-2】如图是一个三角形数阵，仔细观察排列规律，按照这个规律继续排列下去，第23行第3个数是 . 【变式1-3】已知一串分数：是此串分数中的第 个分数． 【题型3：图形类规律】 【例1】用小棋子按如图方式摆图，则第50个图形需要棋子的个数是（    ） A．144 B．147 C．150 D．153 【变式1-1】用火柴棒按如图所示的方式摆大小不同的“H”，第1个“H”需用5根火柴棒，第2个“H”需用8根火柴棒，第3个“H”需用11根火柴棒，…依此规律，摆出第9个“H”需用火柴棒（    ） A．29根 B．30根 C．40根 D．45根 【变式1-2】一个国家公园准备建立急救服务系统，各急救站之间由电话线相互联络．每个急救站必须能够同其他所有急救站进行联络，或者直接联络，或者最多通过另一个急救站来联络．每个急救站最多能够通过三条电话线．如图表示这种网络的一个例子，它联络着七个急救站．按这种方式建立的网络系统最多能够联络（    ）个急救站． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式1-3】图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②；再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③． （1）②有 个三角形；图③有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 三角形．（用n的代数式表示结论） 【变式1-4】用相同大小的等边三角形纸片玩叠纸游戏，可将纸片按如图所示的规律叠放，其中第1个图案有3个的角，第2个图案有7个的角，第3个图案有10个的角，第4个图案有14个的角，…，按此规律排列下去，则第2020个图案中的角的个数为 ． 【题型4：程序流程图中的规律问题】 【例1】如图所示的运算程序中，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，…，第2022次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是7，可发现第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是3，依次继续下去…，第2023次输出的结果是（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 【变式1-2】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为10，则第1次输出的结果为5，第2次输出的结果为8，……，第100次输出的结果为 ． 【变式1-3】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为7，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，第3次输出的结果为 ，依次继续下去…第2024次输出的结果为 ． 【题型5：整式加减中的规律问题】 【例1】已知一组按规律排列的式子：，则第2018个式子是(　　) A． B． C． D． 【变式1-1】按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 【变式1-3】观察下面的三行单项式： ，…① ，…② ，…③ 根据你发现的规律，完成以下各题： (1)第①行第8个单项式为________，第②行第2024个单项式为______； (2)第③行第n个单项式为________﹔ (3)取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A．计算当时，A的值． 【变式1-4】如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设长方形地面，观察下列图形，探究并解答问题：                            (1)在第4个图中，共有白色瓷砖______块；在第n个图中，共有白色瓷砖______块； (2)试用含n的代数式表示在第n个图中共有瓷砖的块数； (3)如果每块黑瓷砖15元，每块白瓷砖10元，当时，求铺设长方形地面共    需花多少钱购买瓷砖？ 能力提升 一、单选题 1．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 2（2025·重庆·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（　　）．    A．315 B．645 C．965 D．1275 3．（2025·河北邯郸·模拟预测）将正整数1至2025按一定规律排列．如图所示．平移表中带阴影的矩形框．矩形框中三个数的和可能是（    ） A．2024 B．2022 C．2019 D．2040 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江西萍乡·二模）将正偶数按如下规律排列，则数字100在（    ） A．第8排 B．第9排 C．第10排 D．第11排 6．（2025·重庆·模拟预测）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，蓝球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（    ） A．18 B．20 C．24 D．26 7．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）观察如图所示的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中☆有（    ） A．28个 B．27个 C．26个 D．25个 8．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上，两点间的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…（是正整数）处，经过这样2024次跳动后的点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2025个图中共有正方形的个数为（         ） A．6070 B．6073 C．6076 D．6067 10．（23-24七年级上·广东深圳·期末）电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为（    ）    A．0 B．2 C．4 D．5 11．（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则，按此规律继续计算，则第2025次“”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 12．（24-25七年级上·广西柳州·期中）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 14．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图是由棱长为1的小正方体堆积成的图形．若按照这样的规律继续摆放，则第8层需要摆放 块小正方体． 15．（2025·甘肃·模拟预测）我国宋朝时期的数学家杨辉曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”．顶层记为第1层，有1颗弹珠；前2层共有3颗弹珠；前3层共有6颗弹珠．往下依次是第4层、第5层……下图中画出了最上面的四层，若用表示前n层的弹珠数，其中，2，3，…，则 ． 16．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 17．（2025·陕西汉中·二模）花窗映蛇岁，新春共欢颜．如图为“盘长如意”花窗，中间图案是由若干个小平行四边形按一定规律组成，其中第1个图形共有8个小平行四边形，第2个图形共有15个小平行四边形，第3个图形共有22个小平行四边形，，则第30个图形中共有 个小平行四边形． 18．（2025·湖南长沙·一模）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6，把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下： ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则标注字母的卡片写有数字 ． 三、解答题 19．（23-24七年级上·广东佛山·期末）探究活动： (1)探究规律： ； ； ； ___________________________； … (2)猜想规律：_______（表示十位上数字是a，个位上数字是5的两位数，表示此两位数的平方）； (3)知识迁移：“十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积”即当时，会不会也有类似规律？请探索找出规律并证明． 20．（2024·江西·模拟预测）下图是用相同的木棒拼成的图形，其中第1个图形用了9根木棒，第2个图形用了13根木棒，第3个图形用了17根木棒……． (1)拼第5个图形需要用______根木棒． (2)按上面的规律继续拼，是否存在某个图形，共用了根木棒?若存在，请求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 21．（2024·安徽·二模）【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 规律性问题的五种考法目录 A · 重难点题型分类 题型1：数轴上的规律探究…………………………………………………… 1 题型2：数字类规律…………………………………………………………… 4 题型3：图形类规律…………………………………………………………… 6 题型4：程序流程图中的规律问题…………………………………………… 10 题型5：整式加减中的规律问题……………………………………………… 14 B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 18 重难点题型分类 【题型1：数轴上的规律探究】 【例1】如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探索，数轴上两点间的距离，理解题意，找出规律是解题关键．根据数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，，解答即可． 【详解】解：根据题意可得：数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，． ∵表示的点与表示2的点的距离为， 又∵， ∴圆上落在数轴上的点是P． 故选C． 【变式1-1】如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（  ） A．A点 B．B点 C．D点 D．E点 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，根据题意可得，翻转后数轴上1，2，3，4，5，6对应的点为根据，根据规律进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1，2，3，4，5，6对应的点为…… 则， 所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是B． 故答案为：B． 【变式1-2】有一机器人从数轴原点出发，沿数轴负方向以每前进5步后退4步的程序运动．该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第秒该机器人在数轴上所对应的数，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了数轴上的规律问题，准确理解题意，发现该机器人每9秒向左移动1个单位长度是解题的关键．先根据题意得出该机器人每9秒向左移动1个单位长度，用时间除以9，得到的余数小于等于5时，向左移动，余数大于5时，向右移动，据此一一判断即可． 【详解】解：∵机器人从数轴原点出发，沿数轴负方向以每前进5步后退4步的程序运动，每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度， ∴，①正确；该机器人每9秒向左移动1个单位长度， ∴，②正确； ∵， ∴， ∴，③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，④错误； ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【变式1-3】如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1008，那么n的值是 ． 【答案】1009或1006 【分析】本题考查了数轴上的动点问题． 根据点的运动情况，可知第奇数次移动的点表示的数是，第偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于1008， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：1009或1006． 【题型2：数字类规律】 【例1】已知，第2025位小数是（   ） A．1 B．4 C．2 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是找出数字的循环规律． 总结数字小数部分的循环规律，确定循环周期，然后利用除法进行求解即可． 【详解】解：根据商的小数循环规律可知，循环的部分为，循环周期为6， ∴， ∴第2025位小数是8， 故选：D． 【变式1-1】观察下列一组数：…，第n个数是（   ） A． B． C． D．​ 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．将第1个数、第2个数、第3个数、第4个数、第5个数分别改写成、、、、，据此归纳类推出一般规律即可得答案． 【详解】解：第1个数是， 第2个数是， 第3个数是， 第4个数是， 第5个数是， 归纳类推得：第个数是（其中，为正整数）， 故选：A． 【变式1-2】如图是一个三角形数阵，仔细观察排列规律，按照这个规律继续排列下去，第23行第3个数是 . 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探索． 由三角形数阵可得出，第n行的前面共有个分母，分别为连续的自然数，分子为连续奇数，且分母为偶数时为负数，由其特点求出第n行从左数第一个数，即可得出结果． 【详解】解：由题意得：第n行的前面共有个分母，分别为连续的自然数，分子为连续奇数，且分母为偶数时为负数， ∴第n行从左数第1个数的分母为：， 分子为：， ∴第23行第1个数为：， ∴第23行第3个数是：． 故答案为：． 【变式1-3】已知一串分数：是此串分数中的第 个分数． 【答案】1232 【分析】本题主要考查了数列型找规律问题．解题的关键是发现规律．根据分母的变化规律可知当分母为时，数的总个数为：，且第个分数为，由此是第个分数，进而求得是第个分数，即可求解． 【详解】解：以为分母的数有个，以为分母的数有个，以为分母的数有个，， 当分母为时，数的总个数为：， ∵是第个分数， ∴是第个分数， ∴是第个分数， 故答案为：． 【题型3：图形类规律】 【例1】用小棋子按如图方式摆图，则第50个图形需要棋子的个数是（    ） A．144 B．147 C．150 D．153 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据前三个图形中棋子的数量得到第n个图案中，棋子总数有枚，代入即可求出结果． 【详解】解：第一个图案中，棋子总数是； 第二个图案中，棋子总数为； 第三个图案中，棋子总数为； ， 第n个图案中，棋子总数有枚； 当时， 故选：C． 【变式1-1】用火柴棒按如图所示的方式摆大小不同的“H”，第1个“H”需用5根火柴棒，第2个“H”需用8根火柴棒，第3个“H”需用11根火柴棒，…依此规律，摆出第9个“H”需用火柴棒（    ） A．29根 B．30根 C．40根 D．45根 【答案】A 【分析】本题主要考查图形类规律探索，解题的关键是解读题意并根据图形找出其中的规律． 由图可知，第一个“H”用5根火柴，后一个“H”始终比前一个“H”多用3根火柴棒，据此规律即可求解． 【详解】解：由图可知，第一个“H”用5根火柴，第二个“H”比第一个“H”多用3根火柴，第三个“H”比第二个“H”多用3根火柴，…，以此类推，后一个“H”始终比前一个“H”多用3根火柴，所以，第9个“H”需用火柴：根． 故选：A． 【变式1-2】一个国家公园准备建立急救服务系统，各急救站之间由电话线相互联络．每个急救站必须能够同其他所有急救站进行联络，或者直接联络，或者最多通过另一个急救站来联络．每个急救站最多能够通过三条电话线．如图表示这种网络的一个例子，它联络着七个急救站．按这种方式建立的网络系统最多能够联络（    ）个急救站． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了图形类规律探索，先理解急救站网络的结构和限制条件，通过逐步分析每个急救站的联络情况，最终确定网络系统最多能够联络的急救站数量，即可得解，理解急救站网络的结构和限制条件是解此题的关键． 【详解】在这个问题中给出的例子说明，至少有7个急救站可以用这种方式进行联络． 我们首先求出急救站的最多个数，然后验证是否可以构成具有这么多急救站的网络．让我们选取一个特定的急救站，把它看作基地．它可以同另外1个、2个或3个急救站联络，如下图所示： （为了考虑到可能存在三条电话线并未完全使用的基地，就说A，B和C不一定不同） 急救站A，B和C中的每一个都还有两条未使用的电话线，因而每一个都能再与两个急救站联络，如图所示： （同样，图中所示急救站不一定不同）现在，我们来验证是否可以建立包含10个急救站的网络．在上面的图中，只有基地能与其他急救站紧密联络．例如，A距离B和C以外联络的急救站“太远了”． 但是这些外面的急救站中的每一个都还有两条未使用的电话线，可以使用这些电话线把外面的急救站与所有的急救站紧密联络． 这要求试着进行，最后我们确实会得到含有10个急救站的网络系统，如下图所示： 故选：D． 【变式1-3】图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②；再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③． （1）②有 个三角形；图③有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 三角形．（用n的代数式表示结论） 【答案】 5 9 【分析】此题考查了图形规律性的变化，得到第n个图形中有三角形的个数的规律是解题的关键． （1）根据所给的图形，正确数出三角形的个数； （2）根据（1）中数的过程中，发现后一个图比前一个图的基础上依次多4个三角形，即可得答案． 【详解】解：（1）：图①中有1个三角形，图②比图①多了4个三角形，即共有个三角形，图③比图②又多4个三角形，即共有个三角形； （2）：由（1）得到的规律是：后一个图在前一个图的基础上依次多4个三角形， 所以第n个图形中有三角形的个数为：， 故答案为：（1）5，9；（2）． 【变式1-4】用相同大小的等边三角形纸片玩叠纸游戏，可将纸片按如图所示的规律叠放，其中第1个图案有3个的角，第2个图案有7个的角，第3个图案有10个的角，第4个图案有14个的角，…，按此规律排列下去，则第2020个图案中的角的个数为 ． 【答案】7070 【分析】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．观察题目规律，3，，，依次规律，分n为奇数与n为偶数两种情况讨论． 【详解】解：第1个图案有3个的角， 第2个图案有7个的角， 第3个图案有10个的角， 第4个图案有14个的角，…， 按此规律排列下去， 由图可以看出， 当n为奇数时，第n个图案是在第个图案上增加了3个角； 当n为偶数时，第n个图案是在第个图案上增加了4个角； 对于奇数项：， 对于偶数项：， 由于第2020是偶数， 所以， 则第2020个图案中的角的个数为7070． 故答案为：7070． 【题型4：程序流程图中的规律问题】 【例1】如图所示的运算程序中，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，…，第2022次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和题目中的运算程序，可以写出前几次的输出结果，从而可以发现输出结果的变化规律，进而可以求得第2022次输出的结果． 【详解】解：由题意可得， 第1次输出的结果为：， 第2次输出的结果为：， 第3次输出的结果为：， 第4次输出的结果为：， 第5次输出的结果为：， 第6次输出的结果为：， …， ∴从第3次开始，以和依次循环， ∵， ∴第2022次输出的结果为， 故选：A． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现输出结果的变化规律，求出相应的输出结果． 【变式1-1】有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是7，可发现第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是3，依次继续下去…，第2023次输出的结果是（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】 由输入为7是奇数，得到输出的结果为，将偶数12代入代入计算得到结果为6，将偶数6代入计算得到第3次的输出结果，依此类推得到一般性规律，即可得到第2023次的结果． 【详解】解：根据题意得：开始输入的值是7，可发现第1次输出的结果是； 第2次输出的结果是； 第3次输出的结果是； 第4次输出的结果为； 第5次输出的结果为； 第6次输出的结果为； 第7次输出的结果为； 第8次输出的结果为； 归纳总结得到输出的结果从第2次开始以6，3，8，4，2，1循环， ， 则第2023次输出的结果为1． 故选D． 【点睛】本题考查程序流程图与代数式求值，通过归纳总结得出输入结果的规律是解题的关键． 【变式1-2】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为10，则第1次输出的结果为5，第2次输出的结果为8，……，第100次输出的结果为 ． 【答案】2 【分析】本题考查数字的变化规律，通过题意求出部分结果后，探索出输出结果的循环规律是解题的关键．根据题目所给的运算程序，得出从第3次开始，每3次为一组，每组按照4，2，1的顺序循环，即可解答． 【详解】解：第一次，10是偶数，， 第二次，5是奇数，， 第三次，8是偶数，， 第四次，4是偶数，， 第五次，2是偶数，， 第六次，1是奇数，， 第七次，4是偶数，， 第八次，2是偶数，， …… 从第3次开始，每3次为一组，每组按照4，2，1的顺序循环， ∵， ∴第100次输出的结果为第33组，第2个， ∴第100次输出的结果为2， 故答案为：2． 【变式1-3】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为7，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，第3次输出的结果为 ，依次继续下去…第2024次输出的结果为 ． 【答案】 3 6 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算．根据6为偶数即可得第3次输出的结果；再将输出的结果输入这个运算程序，归纳推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意得：第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为， 第8次输出的结果为， 由此可知，从第二次开始，输出结果依次以6，3，8，4，2，1循环出现， ， ∴第2024次输出的结果为6， 故答案为：3，6． 【题型5：整式加减中的规律问题】 【例1】已知一组按规律排列的式子：，则第2018个式子是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据观察，可发现规律：分子是a的2n次方，分母是2n﹣1，由此即可得出答案． 【详解】依次观察分子a2，a4，a6，a8，…，可知第n个式子的分子为：a2n， 依次观察分母1，3，5，7，…，可知第n个式子的分母为2n-1， 则第2018个式子为：， 故选C. 【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，关键是观察出分子、分母的变化规律． 【变式1-1】按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目中的单项式，可以发现系数的绝对值是一些连续的奇数且第奇数个单项式的系数为负数，的指数是一些连续的正整数，从而可以写出第个单项式． 【详解】解：A、当时，第一个单项式为：符合题意； B、当时，第一个单项式为：，不符合题意，排除； C、当时，第一个单项式为：，不符合题意，排除； D、当时，第一个单项式为：，不符合题意，排除； 故选：A． 【点睛】此题考查了数字的变化规律，单项式的系数和指数，解此题的关键是明确题意，发现单项式系数和字母指数的变化特点及规律． 【变式1-2】观察下面的一行单项式：， (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与它前一个单项式的商，你有什么发现？ (2)试写出第八个单项式，第个单项式． 【答案】(1)从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． (2)第八个单项式是，第个单项式为． 【分析】本题考查了单项式的运算和单项式的规律知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据单项式的运算和单项式的规律知识，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：，，， ∴从第二个单项式开始，每个单项式与前一个单项式的商都是． （2）解：第一个单项式是： 第二个单项式是： 第三个单项式是： 第四个单项式是： 第五个单项式是： 第六个单项式是： 第七个单项式是： 第八个单项式是： 第个单项式是：， ∴第八个单项式是，第个单项式为． 【变式1-3】观察下面的三行单项式： ，…① ，…② ，…③ 根据你发现的规律，完成以下各题： (1)第①行第8个单项式为________，第②行第2024个单项式为______； (2)第③行第n个单项式为________﹔ (3)取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A．计算当时，A的值． 【答案】(1)， (2) (3)513 【分析】本题考查单项式规律探究，求解代数式的值，能够通过所给例子，找到式子的规律，利用有理数的混合运算解题是关键． （1）观察所给的与式子可得：的特点，第个数是，的特点，第个数是，再进一步求解即可； （2）观察式子的特点，可得，，，，，归纳可得第个数是，即可求出解； （3）先求出，再将代入求出即可． 【详解】（1）解：的特点，第个数是， 第个单项式是； 的特点，第个数是， 第个单项式是； （2）解：∵，，，， ∴的第个数是； （3）解：的第个单项式是，的第个单项式是，的第个单项式是， ， 当时， ． 【变式1-4】如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设长方形地面，观察下列图形，探究并解答问题：                            (1)在第4个图中，共有白色瓷砖______块；在第n个图中，共有白色瓷砖______块； (2)试用含n的代数式表示在第n个图中共有瓷砖的块数； (3)如果每块黑瓷砖15元，每块白瓷砖10元，当时，求铺设长方形地面共    需花多少钱购买瓷砖？ 【答案】(1)24 (2) (3)770元 【分析】本题考查整式加减的应用，用代数式表示图形变化的规律，求代数式的值，解题的关键是掌握以上知识点． （1）观察前3个图形中白色瓷砖数量变化的规律，利用规律求解； （2）观察前3个图形中黑色瓷砖数量变化的规律，利用规律求解； （3）先根据（1）（2）结论得出需要瓷砖的数量，乘以单价可得答案． 【详解】（1）解：第1个图中，有白色瓷砖3块，， 第2个图中，有白色瓷砖8块，， 第3个图中，有白色瓷砖15块，， 可得第4个图中，白色瓷砖的数量为：（块）， 第n个图中，白色瓷砖的数量为：（块）， 故答案为：24，； （2）解：第1个图中，有黑色瓷砖12块，， 第2个图中，有黑色瓷砖16块，， 第3个图中，有黑色瓷砖20块，， …… 以此类推，第n个图中，黑瓷砖块数为：； ∴第n个图中共有瓷砖的块数为； （3）解：当时， （元） 答：铺设长方形地面共需花770元购买瓷砖． 能力提升 一、单选题 1．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可 【详解】解：∵， ， ， ∴第5个数为， 第6个数为， 第7个数为， 故选：D． 2（2025·重庆·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的（　　）．    A．315 B．645 C．965 D．1275 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意发现方格中各部分数字的变化规律及之间的关系是解题的关键． 根据所给方格中的数字，发现数字的变化规律即可解决问题． 【详解】每个方格中左上角的数字依次为， 所以第n个方格中左上角的数字可表示为， 每个方格左下角的数字是左上角数字的一半，所以第n个方格中左下角的数字可表示为， 每个方格右上角数字比左上角的数字大5，所以第n个方格中右上角的数字可表示为: ， 当时，，，， 又， 所以． 故选：B． 3．（2025·河北邯郸·模拟预测）将正整数1至2025按一定规律排列．如图所示．平移表中带阴影的矩形框．矩形框中三个数的和可能是（    ） A．2024 B．2022 C．2019 D．2040 【答案】B 【分析】本题主要考查了规律型的数字变化类、一元一次方程的应用等知识点，根据题意恰当地表示出三个数的和并结合中间数所处的位置分析是解题的关键． 设中间数为x，则另外两个数分别为：、，方框中三个数的和为：，分别令等于四个选项中的数字得到一元一次方程并求解，并结合能否形成三个相连的正整数依次分析即可． 【详解】解：设中间数为x，则另外两个数分别为：、， ∴方框中三个数的和为：， 若，则，不是正整数，舍去，故A不符合题意； 若，则，，则674在第85行第2列， ∴674的前后都可以有数，形成三数相连：673，674，675，故B符合题意； 若，则，， ∴673在第85行第1列，故C不符合题意； 若，则，， ∴680在第85行第8列，故D不符合题意． 综上，只有B符合题意． 故选：B． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字规律的探索，正确理解烷烃中碳原子和氢原子个数的规律是解题的关键．根据烷烃中碳原子和氢原子个数的规律，即得答案． 【详解】解：甲烷的化学式为， 乙烷的化学式为， 丙烷的化学式为， ， 按照此规律，十二烷的化学式为，即． 故选：A． 5．（2025·江西萍乡·二模）将正偶数按如下规律排列，则数字100在（    ） A．第8排 B．第9排 C．第10排 D．第11排 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律的探究，根据已知条件的数字排列找到规律，用含n的代数式表示出来由此解决问题是解题的关键．由题意知，第n行有n个数，前n行数的总个数为：，根据是第50个数，结合，，即可得到答案． 【详解】解：由题意知，第n行有n个数，前n行数的总个数为：， ∵， ∴是第50个数， ∵，， ∴100在第10排， 故选：C． 6．（2025·重庆·模拟预测）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，蓝球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（    ） A．18 B．20 C．24 D．26 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是18个． 故选：A． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）观察如图所示的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中☆有（    ） A．28个 B．27个 C．26个 D．25个 【答案】A 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． 观察图形可知后面一个图形比前面一个图形多3个五角星，所以可得规律为：第个图形中共有个五角星，即可求解． 【详解】解：∵第1个图形中五角星的个数为：4， 第2个图形中五角星的个数为：， 第3个图形中五角星的个数为：， 第4个图形中五角星的个数为：， 所以由规律可知：第个图形中五角星的个数为， 则第9个图形中五角星的个数为：，故选项A符合题意． 故选：A． 8．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上，两点间的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…（是正整数）处，经过这样2024次跳动后的点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律，数轴上两点的距离．熟练掌握各个点跳动的规律是解题关键． 根据题意，第一次跳动到的中点处，离原点的长度为，第二次从处跳动到处，离原点的长度为，可推出跳动次距离原点的长度为，即点表示的数为，则点表示的数为，即可解答． 【详解】解：∵数轴上，A两点的距离为12， ∴点A表示的数为12， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ……， 表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点表示的数为：， 故选：B． 9．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2025个图中共有正方形的个数为（         ） A．6070 B．6073 C．6076 D．6067 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式表示图形的规律，解题的关键是善于总结图形的变化规律． 根据图形的变化规律，总结出代数式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据图形可知： 图①正方形个数为：1； 图②正方形个数为：； 图③正方形个数为：； 图④正方形个数为：； 第个图中，正方形个数为：； ∴第2025个图中共有正方形的个数为， 故选：B． 10．（23-24七年级上·广东深圳·期末）电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为（    ）    A．0 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了规律型,本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定与重合，再根据线段的和差可得答案． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 此时与 重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． 如图，   ， 即与重合， ∴， 故选：B． 11．（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则，按此规律继续计算，则第2025次“”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”解题的基本思路． 计算出时第1，2，3，4，5，6，7次运算的结果，通过计算从第5次开始，结果就只有1和4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：当， 第1次“”运算的结果是： ， 第2次“”运算的结果是： ， 第3次“”运算的结果是： ， 第4次“”运算的结果是：， 第5次“”运算的结果是，， 第6次“”运算的结果是，， 第7次“”运算的结果是，， … 以此类推可知，从第5次“”运算开始，每两次“”运算为一个循环，运算的结果为1、4依次出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数为奇数时，结果是1， ∴第2025次“”运算的结果是1， 故选：A． 12．（24-25七年级上·广西柳州·期中）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的规律探究，找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系是解答此题的关键．圆的周长为6个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合即可解答． 【详解】解：由图可知，旋转1周，点B对应的数是0，点C对应的数是，点D对应的数是，点E对应的数是，点F对应的点为，点A对应的点为，继续旋转，点B对应的点为，点C对应的点为，……． ∵ 又∵， ∴数轴上表示的点与圆周上点D重合． 故选C． 二、填空题 13．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 【答案】 45 2 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行． 【详解】解：由图中排布可知，当正整数为时， 若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ∵， 而，在第行，第1列， ∴2024在第行，第2列， ∴，， 故答案为：45，2． 14．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图是由棱长为1的小正方体堆积成的图形．若按照这样的规律继续摆放，则第8层需要摆放 块小正方体． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，解答本题的关键是明确题意，发现题目中小正方体个数的变化特点，利用数形结合的思想解答． 根据题目中的图形，可以写出前几个图形中小正方体的个数，可以发现小正方体个数的变化规律，从而可以求得第n个叠放的图形中，小正方体总数，再将代入即可求解． 【详解】解：由图可得， 第1层中小正方体的个数为：1， 第2层中小正方体的个数为：， 第3层中小正方体的个数为：， 第4层中小正方体的个数为：， … 则第n层中，小正方体木块总数是：， ∴第8层需要摆放块小正方体， 故答案为：． 15．（2025·甘肃·模拟预测）我国宋朝时期的数学家杨辉曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”．顶层记为第1层，有1颗弹珠；前2层共有3颗弹珠；前3层共有6颗弹珠．往下依次是第4层、第5层……下图中画出了最上面的四层，若用表示前n层的弹珠数，其中，2，3，…，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，观察图形可得前n层的弹珠数为：，即，求出，再由此规律计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：观察图形的变化可得： 顶层记为第1层，有1颗弹珠，即； 前2层共有3颗弹珠，即； 前3层共有6颗弹珠，即． …， 故前n层的弹珠数为：， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 16．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 17．（2025·陕西汉中·二模）花窗映蛇岁，新春共欢颜．如图为“盘长如意”花窗，中间图案是由若干个小平行四边形按一定规律组成，其中第1个图形共有8个小平行四边形，第2个图形共有15个小平行四边形，第3个图形共有22个小平行四边形，，则第30个图形中共有 个小平行四边形． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现小平行四边形的个数依次增加是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中小平行四边形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知，第个图形中小平行四边形的个数为：； 第2个图形中小平行四边形的个数为：； 第3个图形中小平行四边形的个数为：； …， 所以第n个图形中小平行四边形的个数为． 当时，， 即第个图形中小平行四边形的个数为个． 故答案为：． 18．（2025·湖南长沙·一模）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6，把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下： ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则标注字母的卡片写有数字 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案． 【详解】解：由题意知，第一行中与第二行中肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片， ∴白卡片数字1摆在了标注字母的位置， ∴黑卡片数字1摆在了标注字母的位置， ∵第一行中与第二行中肯定有一张为白2，若第二行中为白2，则只能是黑1，黑2，而为黑1，矛盾， ∴第一行中为白2； ∵第一行中与第二行中肯定有一张为白3，若第一行中为白3，则，只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾， ∴第二行中为白3， ∴第二行中为黑2，为黑3； ∵ 第一行中与第二行中肯定有一张为白4，若第一行中为白4，则，只能是黑3，黑4，与为黑3矛盾， ∴第二行中为白4． 故答案为：4． 三、解答题 19．（23-24七年级上·广东佛山·期末）探究活动： (1)探究规律： ； ； ； ___________________________； … (2)猜想规律：_______（表示十位上数字是a，个位上数字是5的两位数，表示此两位数的平方）； (3)知识迁移：“十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积”即当时，会不会也有类似规律？请探索找出规律并证明． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）由（1）中的发现即可解决问题． （3）对发现的等式进行证明即可． 本题考查数字变化的规律，能根据所给等式发现各部分变化的规律是解题的关键． 【详解】（1）解：； ； ； 故答案为：． （2）解：根据前面的规律，得， 故答案为：． （3）解：有类似规律，；理由如下， ， 由， 故． 20．（2024·江西·模拟预测）下图是用相同的木棒拼成的图形，其中第1个图形用了9根木棒，第2个图形用了13根木棒，第3个图形用了17根木棒……． (1)拼第5个图形需要用______根木棒． (2)按上面的规律继续拼，是否存在某个图形，共用了根木棒?若存在，请求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查图形的数字规律，根据图形，数出木棒数，数形结合找到规律即可． （1）根据图形的规律进行推导即可得到答案； （2）由（1）得到第n个图形用的木棒根数是，根据和为正整数即可得到结论． 【详解】（1）解：由图可知：第1个图形用了根木棒， 第2个图形用了根木棒， 第3个图形用了根木棒， 第4个图形用了根木棒， 第5个图形用了根木棒， 故答案为： （2）不存在，理由如下： 由（1）可知，第n个图形用的木棒根数是， 由解得， ， 与为正整数矛盾， 即不存在某个图形，共用了根木棒． 21．（2024·安徽·二模）【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 【答案】（1）15，20；（2），；（3）13，57 【分析】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律． （1）依次列出前5个图中黑子和白子的个数即可求解； （2）根据规律发现第n个图案中白子为4n个，黑子为个，然后倒序相加，即可求解； （3），解得（舍负），∴n最大为13，即可求解． 【详解】（1）解：第1图中黑子为1个， 第2个图中黑子为个， 第3个图中黑子为个， 第4个图中黑子为个， 第5个图中黑子为个； 第1图中白子为个， 第2个图中白子为个， 第3个图中白子为个， 第4个图中白子为个， 第5个图中白子为个； 故答案为：15，20． （2）解：由（1）第n个图中黑子为个， 令为①式；为②式，则①+②得：，由n个， ∴，∴第n个图案中“●”的个数为； 由（1）得第n个图案“○”的个数为， 故答案为：，． （3）解：若，解得（舍负），∴n最大为13， 那么使用白子为个，黑子为个，剩余个， 故答案为：13，57． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $