精品解析：四川省达川中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

四川省达川中学高2027届2025年秋季第二次月考 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，，且，则等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 2. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若不更出16钱，则公士出的钱数为（ ） A. 12 B. 23 C. 24 D. 28 4. 已知平面，直线，直线不在平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若是空间任意四点，则有 B. 对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中，且），则P，，，四点共面 C. 若向量与共线，则 D. 是共线的充要条件 10. 设分别是等差数列和等比数列的前项和，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则使的最大正整数的值为15 B. 若（为常数），则必有 C. 必为等差数列 D. 必为等比数列 11. 设数列，的前项和分别为，，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列是等比数列，，则公比_________. 13. 设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为______. 14. 在棱长为4的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，正四棱台两底面边长分别为2和4． （1）若侧棱长为，求棱台的表面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的体积． 16. 将长方体沿截面截去一个三棱锥后剩下的几何体如图所示，其中，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列，若，且. （1）证明数列是等比数列，并求出的通项公式； （2）若，且数列的前项的和为，求. 18. 如图（1），在直角梯形中，，，过的中点作交于点，，现将四边形沿着翻折至位置，使得，如图（2）所示． （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 19. 已知数列为等差数列，，公差，数列为等比数列，且，，. （1）求数列、的通项公式； （2）设，求数列的前n项和为； （3）在（2）的条件下，求满足的n的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达川中学高2027届2025年秋季第二次月考 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，，且，则等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到为公比为2的等比数列，从而求出答案. 【详解】因为，，所以为公比为2的等比数列， 所以. 故选：C 2. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为计算即可. 【详解】因为，可得， 即，解之可得. 故选：D 3. 《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共出百钱，欲令高爵出少，以次渐多，问各几何？”意思是：“有大夫、不更、簪袅、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若不更出16钱，则公士出的钱数为（ ） A. 12 B. 23 C. 24 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】依题意利用等差数列通项公式及其前项和公式的基本量运算即得. 【详解】设大夫、不更、簪袅、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列， 由题意可知，等差数列中，前项和为， 设公差为，前项和为，则有，解得， 故，故， 即公士出的钱数为. 4. 已知平面，直线，直线不在平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案． 【详解】因为， 对于A，若，则有可能在平面内，故A错误； 对于B，若，又，则，又，所以或在平面内，故B错误； 对于C，若，则有可能与平面相交但不垂直，故C错误； 对于D，若，则，又，则，故D正确． 故选：D 5. 已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设向量，根据题意，取得，得到，结合向量的数量积的坐标运算公式和投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】设向量，因为，且，可得， 解得，即，则， 又因为，所以在方向上的投影向量为． 故选：A． 6. 在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】由题意可知，，两两垂直， 故分别以直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A. 7. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，，，，平面，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出外接圆半径，球心到平面的距离，再利用球的截面圆性质计算即可. 【详解】在三棱锥中，球心在棱的中垂面上，由平面，得平面， 则球心到平面的距离为，在中，由余弦定理得： ， 因此外接圆半径，球的半径， 所以球O的表面积. 故选：C 8. 已知数列满足，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用退一作差法求得，求得的表达式，结合二次函数的性质求得的取值范围. 【详解】由， 当时，， 当时，由得， 两式相减并化简得， 也符合上式，所以， 令， 为常数， 所以数列是等差数列，首项， 所以， 对称轴为， 由于对任意的恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 【点睛】与前项和有关的求通项的问题，可考虑利用“退一作差法”来进行求解，和类似.求解等差数列前项和最值有关的问题，可结合二次函数的性质来进行求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若是空间任意四点，则有 B. 对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中，且），则P，，，四点共面 C. 若向量与共线，则 D. 是共线的充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法法则、四点共面的判定定理、向量共线及向量的模逐项分析判断即可. 【详解】选项A：根据向量的加法法则可知，，故A正确； 选项B：根据空间中四点共面的判定定理可知：对空间任意一点与不共线的三点，，， 若（其中，且），则P，，，四点共面. 已知，则.选项中系数和为（只有当时满足），不满足共面定理， 因此P，，，四点不共面，B错误； 选项C：若与共线，则存在实数，使得，所以或直线与重合，故C错误； 选项D：充分性：若，则，即， 所以，说明与反向共线，充分性成立； 必要性：若与共线，当与同向时，，故必要性不成立，故D错误. 故选：A. 10. 设分别是等差数列和等比数列的前项和，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则使的最大正整数的值为15 B. 若（为常数），则必有 C. 必为等差数列 D. 必为等比数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】A由已知可得，且，再应用等差数列前n项和公式及得，即可判断；B由等比数列前n项和公式有，即可判断；C、D根据等差、等比数列片段和的性质直接判断. 【详解】令的公差为，则， 所以，故，且， 使，则， 而，即，故， 所以使的最大正整数的值为30，A错； 令的公比为且，则（公比不能为1）， 所以，即，B对； 根据等差、等比数列片段和的性质知：必为等差数列，必为等比数列，C、D对. 故选：BCD 11. 设数列，的前项和分别为，，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，通过累乘法求出的通项公式，进而求出的通项公式，即可求解； 对于CD，通过的通项公式求出的通项公式，再通过裂项相消求，进而求解. 【详解】由题意，得， ∴当时，， 又当时也符合上式， ∴，易得，∴， 故A，B正确； ， ∴， 易知单调递增， ∴，∴，故C错误，D正确. 故选:ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若数列是等比数列，，则公比_________. 【答案】1或 【解析】 【分析】根据等比数列的项与前项和的基本量运算列方程求解即得. 【详解】由，可得， 两式相除，可得，即， 解得或. 故答案为：1或. 13. 设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为______. 【答案】13 【解析】 【分析】根据函数解析式推出，再利用倒序相加法即可求得答案. 【详解】由，因， 则 . 故答案为：13. 14. 在棱长为4的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建系，设，，根据可得，进而利用两点间距离公式结合二次函数分析求解. 【详解】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 因为点，分别为棱，的中点，所以，， 设，，其中，， 则，. 因为，则，解得， 又因为，，则， 可得， 所以，此时，即线段的长度的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，正四棱台两底面边长分别为2和4． （1）若侧棱长为，求棱台的表面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，求出棱台的斜高，从而求出侧面积，再与底面积相加即可求出表面积； （2）根据已知条件求出斜高，再算出正棱台的高即可． 【小问1详解】 如图，设分别为上，下底面的中心， 分别取的中点，连接，则为正四棱台的斜高， ， 则棱台的表面积． 【小问2详解】 两底面面积之和为， 正四棱台的侧面积为，解得， 正四棱台的高． 故． 16. 将长方体沿截面截去一个三棱锥后剩下的几何体如图所示，其中，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接，如图所示， ∵长方形中，，分别是，的中点， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴且， 又∵长方体中且， ∴且， ∴四边形为平行四边形，得. 又∵平面，平面， ∴平面 （2） 【解析】 【分析】（1）连接,通过证明四边形为平行四边形，推得，再由线线平行证明线面平行即可； （2）根据题设条件建系，写出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为原点，，所在直线为轴，轴，以点为垂足， 垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设， 则，，，， ∴，， 设平面的一个法向量为， 则有，故可取， 设直线与平面所成的角为，因， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知数列，若，且. （1）证明数列是等比数列，并求出的通项公式； （2）若，且数列的前项的和为，求. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推公式构造等比数列，再由等比数列的通项公式化简即得； （2）先求得，求出的通项，利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 因为， 所以，又，所以， 所以是以为首项、为公比的等比数列， 所以，则. 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 故 . 18. 如图（1），在直角梯形中，，，过的中点作交于点，，现将四边形沿着翻折至位置，使得，如图（2）所示． （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ，，，， 又，，，； ，，四边形为平行四边形，， 即图（2）中，，又，，， ，，平面，平面， 平面，， ，平面，平面. （2）存在，点位于线段靠近点的三等分点 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可分别证得，，根据线面垂直的判定可证得结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得：平面，又，两两互相垂直， 以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，且，， ， 设平面的法向量， 则，令，解得：，， ； 轴平面，平面的一个法向量， ， 解得：（舍）或，， 当点位于线段靠近点的三等分点时，平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 已知数列为等差数列，，公差，数列为等比数列，且，，. （1）求数列、的通项公式； （2）设，求数列的前n项和为； （3）在（2）的条件下，求满足的n的最小值. 【答案】（1）；或 （2） （3）13 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项的基本量运算和等比中项概念建立方程，求出公差，即可求得两数列的通项公式； （2）先求出数列的通项，再利用错位相减法即可求得； （3）先将不等式转化为，设，作差法判断数列的增减性，即可求得答案. 【小问1详解】 ， 又，且数列为等比数列 ，即，解得或 (舍去)； ，， ，又， 或； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， ， 错位相减得： ； 【小问3详解】 由，可得 令，则 由 由，可得， 故当且时，；当且时，；当时，， 又，而 故，满足 所以满足的的最小值为13. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $