专题02 轴对称（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

专题02 轴对称 题型1 轴对称与成轴对称 题型7 线段的垂直平分线性质（重难点） 题型2 轴对称的性质 题型8 尺规作图：作线段的垂直平分线（重点） 题型3 画轴对称图形 题型9 角平分线的性质（重难点） 题型4 等腰三角形的底角相等（重难点） 题型10 尺规作图：作角平分线（重点） 题型5 等腰三角形三线合一（重难点） 题型11 将军饮马问题（重难点） 题型6 等边三角形的性质 题型1 轴对称与成轴对称（共3小题） 1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）下列各学校的校徽图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，找出对称轴是关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴，结合图形，找出对称轴即可． 【详解】解：A、没有对称轴不是轴对称图形，不符合题意； B、有对称轴是轴对称图形，符合题意； C、没有对称轴不是轴对称图形，不符合题意； D、没有对称轴不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B ． 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．直接利用镜面对称的定义得出答案． 【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称． 故选：B． 3．（24-25八年级上·河南周口·期末）下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的作图，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故A不符合题意； B．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故B不符合题意； C．图中作出的图形不是关于直线l的轴对称图形，故C符合题意； D．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 题型2 轴对称的性质（共3小题） 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，根据对称点之间的连线被对称轴垂直平分求解即可 【详解】解：与点关于直线l对称， 线段被直线l垂直平分， 故选：B 5．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知线段与线段关于直线成轴对称，连接，相交于点，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵线段与线段关于直线成轴对称， ∴，， ∴，，， ∴， 所以结论不一定正确的是． 故选：C． 6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在长方形中，，，点是线段上的一个动点，点是点关于直线的对称点，在点的运动过程中，使为等腰三角形的点的位置共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的定义，由轴对称的性质得，进而由等腰三角形的定义可得是等腰三角形有两种情况：和，据此即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由轴对称的性质得，， ∵， ∴是等腰三角形有两种情况：和， ∴使为等腰三角形的点的位置共有个， 故选：． 题型3 画轴对称图形（共3小题） 7．（25-26七年级上·山东烟台·期中）在如图所示的方格纸中，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线n成轴对称的； (2)求的面积； (3)请用尺规在直线m上找出一点P，使得的周长最小． 【答案】(1)见解析； (2)3； (3)见解析． 【分析】本题考查轴对称变换，三角形的面积，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）作点A关于直线m的对称点，连接交直线m于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解： 答：的面积为3； （3）解：如图，点P即为所求： 8．（24-25八年级上·新疆和田·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)请写出三角形的面积为_____． 【答案】(1)见详解 (2)4 【分析】本题考查了作轴对称图形，利用网格求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）运用割补法进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：三角形的面积． 9．（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)若与关于y轴成轴对称，作出； (2)若P为y轴上一点，使得最小，则最小值为______； (3)计算的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)5 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，勾股定理，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质先分别找到点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可作出； （2）连接交y轴于点P，则点P即为所求，再利用勾股定理求出即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， 即为所求； （2）解：连接交y轴于点P，则点P即为所求， 此时， ， ∴最小值为； （3）解：． 题型4 等腰三角形的底角相等（共3小题） 10．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在五边形中，，，，连接，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，等腰三角形的判定．先判定，进而得到，根据等腰三角形的性质即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ． 11．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求 的度数． (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①；②最小值为 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求解； （2）①根据线段垂直平分线的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解；②当点与重合时，周长的值最小，据此解答即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，的周长是， ∴； ②当点与重合时，周长的值最小， 理由：∵，， ∴与重合时，，此时最小， ∴周长的最小值． 12．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知，，是的高且，．直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM 上以每秒2厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，经过_________秒时，与全等． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用，由题意可得，设经过秒，与全等，由题意可得，，分两种情况：当点在线段上时，那么点在射线上；当点在线段的延长线上时，那么点在射线反向延长线上；分别利用全等三角形的判定与性质，建立一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设经过秒，与全等， 由题意可得：，， 当点在线段上时，那么点在射线上，如图， ∵，， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当点在线段的延长线上时，那么点在射线反向延长线上，如图， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，经过或秒时，与全等， 故答案为：或． 题型5 等腰三角形三线合一（共3小题） 13．（25-26八年级上·天津·期末）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点、、均为格点，点为边上任一点． （Ⅰ）的面积=______； （Ⅱ）若点在边上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________________． 【答案】 作图见解析；利用网格取的中点，连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求 【分析】本题考查了网格中求三角形的面积，全等三角形的性质，等腰三角形的性质与判定； （Ⅰ）在网格中，用正方形的面积减去三个三角形的面积； （Ⅱ）利用网格取的中点，连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求． 【详解】解：（Ⅰ）的面积为：， 故答案为：16； （Ⅱ）如图所示：利用网格取的中点，连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求； 根据网格可得的网格对角线相等，即， ∴， 又∵是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． 14．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点E、F．若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为__________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系， 连接，根据等腰三角形的性质得，再根据面积公式求出，然后根据线段垂直平分线的性质得，接下来根据三角形三边关系得即可得出答案. 【详解】解：如图，连接. ∵为边的中点， ∴. ∴， ∴. ∵垂直平分为线段上的一个动点， ∴. ∵ ∴, ∴, ∴周长的最小值为9. 故答案为：9. 15．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在正方形网格中，已知的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线的轴对称图形； (2)在直线上找一点P，使点P到边的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图－轴对称变换、角平分线的性质，熟练掌握轴对称的性质、角平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）延长交直线于点F，取的中点P，则点P即为所求． 【详解】（1）如图， 即为所求； （2）如图，延长交直线于点F，取的中点P， 则为等腰三角形， ∴为的平分线， ∴点P到边的距离相等， ∴点P即为所求． 题型6 等边三角形的性质（共3小题） 16．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列图形中是轴对称图形的有（　　） ①角；②线段；③等边三角形；④三角形． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可． 【详解】解：①该图形是轴对称图形， ②该图形是轴对称图形， ③该图形是轴对称图形， ④该图形不一定是轴对称图形， ∴这些图形中是轴对称图形的有个， 故选：C． 17．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（   ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．线段 D．角 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；根据轴对称图形的概念逐个判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不一定轴对称图形，符合题意； C、该图形是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不符合题意； 故选：B 18．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列四个轴对称图形中，只有一条对称轴的图形是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．圆 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．根据轴对称的性质可进行求解． 【详解】解：对于A选项，一般的等腰三角形只有一条对称轴，故符合题意； 对于B选项，等边三角形有三条对称轴，故不符合题意； 对于C选项，正方形有四条对称轴，故不符合题意； 对于D选项，圆有无数条对称轴，故不符合题意； 故选：A． 题型7 线段的垂直平分线性质（共3小题） 19．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，，，的垂直平分线交于点D，，，的周长是_______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．根据垂直平分线的性质可得，再根据的周长，即可求得结果． 【详解】解： ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为： ． 故答案为：9． 20．（2025·甘肃·一模）如图，的边的垂直平分线交于点D，连接．若，，则_____． 【答案】8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握线段垂直平分线的性质并能运用求解． 根据题意得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵的边的垂直平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的长为8， 故答案为：8． 21．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键，由垂直平分，可得，则可求出的周长为，把的值代入即可求出． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为， ， ，解得， 底边的长为． 题型8 尺规作图：作线段的垂直平分线（共3小题） 22．（24-25七年级下·吉林长春·期末）（1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出长方形的一条对称轴，保留作图痕迹； （2）如图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边所在直线称为格线，点、、、在格点上，点在格线上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，保留作图痕迹． ①如图2，画出四边形的对称轴； ②如图3，过点作直线． （思路提示：可先画出线段的对称轴，再作点关于此轴的对称点） 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析 【分析】本题考查了尺规作图、轴对称的性质，利用轴对称的性质正确作图是解题的关键． （1）作长方形边长的垂直平分线，即可得到对称轴； （2）①根据轴对称图形的性质即可作图；②先画出线段的对称轴，连接交对称轴于点，延长交格线于点，则直线即为所求． 【详解】解：（1）如图1，长方形的一条对称轴即为所求： （2）①如图2，四边形的对称轴即为所求： ②如图3，先画出线段的对称轴，连接交对称轴于点，延长交格线于点， ∵点在线段的对称轴上， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴直线即为所求． 23．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）已知：如图，射线和线段有公共端点B． (1)①在射线上取一点P，使是以为底边的等腰三角形； ②过P作射线，使 （以上按要求尺规作图，并保留作图痕迹） (2)若，连接，则_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是认真读题理解题意，灵活运用所学知识． （1）作线段的垂直平分线交射线于点P，作的平分线，则有； （2）利用平行线的性质和等腰三角形的性质求解； 【详解】（1）如图所示： （2）， ， ， ． 故答案为：． 24．（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知． (1)尺规作图：作的外角的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)尺规作图：作边的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作角平分线和线段垂直平分线，熟练掌握基本作图是解答本题的关键． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）利用基本作图作出的垂直平分线即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作． （2）解：如图，即为所作． 题型9 角平分线的性质（共3小题） 25．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，平分，，，则的面积为 _________ ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了角平分线性质，三角形的面积等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．如图，过点D作于点E，利用角平分线上的点到角的两边距离相等可得，进而利用三角形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ，平分，， ， ， ， 故答案为：． 26．（23-24八年级上·河北承德·期末）已知：，是的角平分线，点P是上一点，与和交于点D和点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，过点P作于点M，作于点N，根据角平分线的性质定理得到，再证明即可得出结论． 【详解】证明：过点P作于点M，作于点N， 则， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 27．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，是它的角平分线，求证：； (1)在图中完成上面的证明过程． (2)在图中，是的外角平分线，延长交于D，如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积来解决问题． （1）过作于，于，由角平分线性质得到，由三角形面积公式即可证明； （2）过作于，于，由三角形面积公式可得到，再代入数据计算即可求解． 【详解】（1）证明：过作于，于， 平分， ， 的面积，的面积， ， ； （2）解：如图，过作于，于， 平分， ， 的面积，的面积， ， 过作于， ， ，即． 解得． 题型10 尺规作图：作角平分线（共3小题） 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，某村镇有三条小路，其中与交于点，现为了方便村民通行，计划修建一条公路，保证公路是的平分线，且与小路交于点，请你用尺规作图法在图中作出公路．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的作图方法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 按照角平分线的作图方法作出即可． 【详解】解：如图所示，即为所作． 5．（25-26八年级上·河北邢台·期中）综合与实践课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法． 小惠说：我用两个全等三角形（）可以画角的平分线． 作法如下：如图1 ①将两三角形的顶点重合，点在边上，点在边上； ②与交于点，连接，射线即为的平分线． (1)图1的阴影部分_（填“是”或“不是”）轴对称图形； (2)求证：平分； (3)小旭看了小惠的作法并认真思考后，他认为只要利用有刻度的直尺，就能画出任意锐角的平分线．请你和小旭一样，利用小惠的思路，通过有刻度的直尺，在图2中作出的平分线，并简述画图的过程． 【答案】(1)是 (2)证明见详解 (3)作图及过程见详解 【分析】本题考查几何综合，涉及轴对称图形的识别、三角形全等的判定与性质、基本作图等知识，熟练掌握相关几何知识是解决问题的关键． （1）由轴对称图形定义直接判断即可得到答案； （2）由三角形全等的判断与性质求证即可得到答案； （3）由阅读材料，结合（2）的证明过程，作图求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 阴影部分关于直线轴对称， 故答案为：是； （2）证明：， ， ， 即． 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ， 平分； （3）解：如图所示： 作图过程是：用刻度尺作，连接与交于点， 射线即为的平分线． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知 (1)利用直尺和圆规在图①中作出的角平分线，标上适当字母，不写作法，保留作图痕迹； (2)根据（1）的作图，试说明； (3)运用你所学的数学知识，在图②中再设计一种方法，作出的平分线（上述（1）的方法除外，不必说明理由，只在图中保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据角平分线尺规作图的要求作出图形即可； （2）根据证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明即可； （3）以O为圆心，适当长为半径作弧交，于点E，F，过点F作，过点E作，直线交于点P，作射线即可． 【详解】（1）解：如图①，射线即为所求； （2）解：如图①中，连接，， 在和中， ， ， ， 平分 ； （3）解：如图②中，射线即为所求． 题型11 将军饮马问题（共3小题） 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线是一条河，A，B两地相距，A，B两地到的距离分别为，欲在上某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则， 根据两点之间，线段最短，可知选项B铺设的管道，则所需管道最短． 故选：B． 2．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接、，由于是等腰三角形，点是底边边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接、， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴ ∵ ∴当A、M、D三点共线时，值最小， 的长为的最小值， 周长的最小值． 故选：C． 3．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的长最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）分别作出点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）由点C与点F关于直线对称，则，根据两点之间线段最短即可求作． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：如图，点P即为所求． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 轴对称 题型1 轴对称与成轴对称 题型7 线段的垂直平分线性质（重难点） 题型2 轴对称的性质 题型8 尺规作图：作线段的垂直平分线（重点） 题型3 画轴对称图形 题型9 角平分线的性质（重难点） 题型4 等腰三角形的底角相等（重难点） 题型10 尺规作图：作角平分线（重点） 题型5 等腰三角形三线合一（重难点） 题型11 将军饮马问题（重难点） 题型6 等边三角形的性质 题型1 轴对称与成轴对称（共3小题） 1．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）下列各学校的校徽图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南周口·期末）下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 题型2 轴对称的性质（共3小题） 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（ ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知线段与线段关于直线成轴对称，连接，相交于点，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在长方形中，，，点是线段上的一个动点，点是点关于直线的对称点，在点的运动过程中，使为等腰三角形的点的位置共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 题型3 画轴对称图形（共3小题） 7．（25-26七年级上·山东烟台·期中）在如图所示的方格纸中，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线n成轴对称的； (2)求的面积； (3)请用尺规在直线m上找出一点P，使得的周长最小． 8．（24-25八年级上·新疆和田·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)请写出三角形的面积为_____． 9．（24-25七年级上·山东东营·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)若与关于y轴成轴对称，作出； (2)若P为y轴上一点，使得最小，则最小值为______； (3)计算的面积． 题型4 等腰三角形的底角相等（共3小题） 10．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在五边形中，，，，连接，．求证：． 11．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，求 的度数． (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 12．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知，，是的高且，．直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM 上以每秒2厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，经过_________秒时，与全等． 题型5 等腰三角形三线合一（共3小题） 13．（25-26八年级上·天津·期末）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点、、均为格点，点为边上任一点． （Ⅰ）的面积=______； （Ⅱ）若点在边上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）__________________． 14．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点E、F．若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为__________． 15．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在正方形网格中，已知的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线的轴对称图形； (2)在直线上找一点P，使点P到边的距离相等． 题型6 等边三角形的性质（共3小题） 16．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列图形中是轴对称图形的有（　　） ①角；②线段；③等边三角形；④三角形． A．个 B．个 C．个 D．个 17．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（   ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．线段 D．角 18．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列四个轴对称图形中，只有一条对称轴的图形是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．圆 题型7 线段的垂直平分线性质（共3小题） 19．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，，，的垂直平分线交于点D，，，的周长是_______． 20．（2025·甘肃·一模）如图，的边的垂直平分线交于点D，连接．若，，则_____． 21．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长． 题型8 尺规作图：作线段的垂直平分线（共3小题） 22．（24-25七年级下·吉林长春·期末）（1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出长方形的一条对称轴，保留作图痕迹； （2）如图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边所在直线称为格线，点、、、在格点上，点在格线上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，保留作图痕迹． ①如图2，画出四边形的对称轴； ②如图3，过点作直线． （思路提示：可先画出线段的对称轴，再作点关于此轴的对称点） 23．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）已知：如图，射线和线段有公共端点B． (1)①在射线上取一点P，使是以为底边的等腰三角形； ②过P作射线，使 （以上按要求尺规作图，并保留作图痕迹） (2)若，连接，则_______． 24．（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知． (1)尺规作图：作的外角的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)尺规作图：作边的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 题型9 角平分线的性质（共3小题） 25．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，平分，，，则的面积为 _________ ． 26．（23-24八年级上·河北承德·期末）已知：，是的角平分线，点P是上一点，与和交于点D和点E．求证：． 27．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，是它的角平分线，求证：； (1)在图中完成上面的证明过程． (2)在图中，是的外角平分线，延长交于D，如果，，，求的长． 题型10 尺规作图：作角平分线（共3小题） 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，某村镇有三条小路，其中与交于点，现为了方便村民通行，计划修建一条公路，保证公路是的平分线，且与小路交于点，请你用尺规作图法在图中作出公路．（不写作法，保留作图痕迹） 5．（25-26八年级上·河北邢台·期中）综合与实践课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法． 小惠说：我用两个全等三角形（）可以画角的平分线． 作法如下：如图1 ①将两三角形的顶点重合，点在边上，点在边上； ②与交于点，连接，射线即为的平分线． (1)图1的阴影部分_（填“是”或“不是”）轴对称图形； (2)求证：平分； (3)小旭看了小惠的作法并认真思考后，他认为只要利用有刻度的直尺，就能画出任意锐角的平分线．请你和小旭一样，利用小惠的思路，通过有刻度的直尺，在图2中作出的平分线，并简述画图的过程． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知 (1)利用直尺和圆规在图①中作出的角平分线，标上适当字母，不写作法，保留作图痕迹； (2)根据（1）的作图，试说明； (3)运用你所学的数学知识，在图②中再设计一种方法，作出的平分线（上述（1）的方法除外，不必说明理由，只在图中保留作图痕迹） 题型11 将军饮马问题（共3小题） 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线是一条河，A，B两地相距，A，B两地到的距离分别为，欲在上某点M处修建一个水泵站，向A，B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的长最短． / 学科网（北京）股份有限公司 $