第二十一章-01 一元二次方程的概念及解法2025-2026学年人教版九年级上册期末数学专题分类训练

2026年九年级上册期末数学专题分类训练（人教版） 第二十一章-01 一元二次方程的概念及解法 一、选择题：本题共14小题。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.已知关于的方程是一元二次方程，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 都不对 3.若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.一元二次方程的解是(    ) A. B. C. ， D. ， 6.将一元二次方程配方后所得的方程是(    ) A. B. C. D. 7.若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 8.下列方程，是一元二次方程一般形式的是(    ) A. B. C. D. 9.下列方程是关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 10.已知为实数，且满足，则的值为(    ) A. B. 或 C. D. 11.已知关于的方程，下列说法正确的是(    ) A. 当时，方程无解 B. 当时，方程有一个实数解 C. 当时，方程有两个相等的实数解 D. 当时，方程总有两个不相等的实数解 12.若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 13.已知实数，满足，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 14.已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，其中，若是关于的函数，且，当时，的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题。 15.关于的一元二次方程的一个根是，则的值是          ． 16.若是方程的一个根，则          ． 17.若关于的一元二次方程的一个根为则           ． 18.已知等腰三角形的两边长是方程的两个根，则该等腰三角形的周长为          ． 19.如果方程的三个根可以作为一个三角形的三边，那么实数的取值范围是          ． 三、计算题：本大题共3小题。 20.解方程：． 21.解方程：． 22.按要求解下列方程： 因式分解法 公式法 配方法 四、解答题：本题共8小题。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 23.解方程：． 24.解方程：． 25.解方程 26.用适当的方法解下列方程： ； ． 27.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． 若为正整数，求的值； 若，满足，求的值． 28.关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个实数根； 若方程有一个根小于，求的取值范围． 29.已知关于的方程有两实数根． 求的取值范围； 设方程两实数根分别为、，且，求实数的值． 30.已知，是一元二次方程的两个实数根． 是否存在实数，使成立？ 求使式子的值为负整数的实数的整数值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：，未知数最高次数是，不是一元二次方程，不符合题意； B.是一元二次方程，符合题意； C.是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D.含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：． 只含有一个未知数，未知数的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，根据定义即可做出判断． 此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得：， 故选：． 根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可． 本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程． 3.【答案】  【解析】解：关于的方程是一元二次方程， ， 解得：． 故选：． 直接利用只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，进而得出答案． 此题主要考查了一元二次方程的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 4.【答案】  【解析】解：， ， ， ， 所以，， 所以， 故选：． 先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到、的值，然后计算的值． 本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 5.【答案】  【解析】解：， ， ， 或， 解得，， 故选：． 先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 6.【答案】  【解析】解：， ， ， ． 故选：． 配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤： 把常数项移到等号的右边； 把二次项的系数化为； 等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数． 7.【答案】  【解析】解：将代入，得， ， ， 故选：． 根据方程的解的定义，求出，可得结论． 本题考查一元二次方程的根，代数式求值，先将代入，求出的值，再代入即可． 8.【答案】  【解析】解：，符合一般形式，故本选项符合题意； B.不符合一般形式，故本选项不符合题意； C.不符合一般形式，故本选项不符合题意； D.不符合一般形式，故本选项不符合题意； 故选：． 一元二次方程是常数且中、、分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 此题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】 解：中，当时，不是一元二次方程，故本选项错误； B.不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项错误； C.有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误； D.是一元二次方程，故本选项正确． 10.【答案】  【解析】令，则可化为解得，当时，，方程无实数根，不符合题意当时，．故选C． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了一元二次方程的概念，根的判别式，代入的值判断方程根的情况是解题关键． 利用的取值不同，原方程的类型不同，根据的取值，分别对原方程的根的情况进行判断即可． 【解答】 解：当时，原方程可化为：，解得，方程有解，所以此选项错误； B.当时，原方程可化为：，，方程有两个不等的实数解，所以此选项错误； C.当时，原方程可化为：，，方程有两个相等的实数根，所以此选项正确； D.当时，原方程是一元二次方程，，方程有两个实数根，所以此选项错误． 12.【答案】  【解析】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， 解得：，且． 故选：． 由一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，，继而可求得的范围． 此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查根的判别式的知识． 设，则，得出，根据是实数，可得，求出的范围，即可解答． 【解答】 解：设，则， ， ， ， 是实数， ， ， ， 的最小值为， 的最小值为． 14.【答案】  【解析】是关于的一元二次方程，  ，由求根公式，得 或． ，， ，． ，当时，，解得， ． 故选D． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，属于基础题由于方程的一个根是，把代入方程，求出的值． 因为方程是关于的一元二次方程，所以二次项系数不能为，可得答案． 【解答】 解：由于关于的一元二次方程的一个根是， 把代入方程，得， 解得，，， 又，即， ， 所以的值是． 故答案为． 16.【答案】  【解析】解：由题意可知：代入方程中，  得到：， ， 故答案为：． 根据题意将代入方程中即可求出答案． 本题考查一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解定义，本题属于基础题型． 17.【答案】  【解析】【分析】 根据题意把代入方程中，可得，然后根据一元二次方程的定义可得，即可解答． 本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【解答】 解：把代入中，得 ， ， 由题意得： ， ， ， 故答案为：． 18.【答案】  【解析】解方程，得，分两种情况：当等腰三角形的腰长为，底边长为时，，不能组成三角形．当等腰三角形的腰长为，底边长为时，，能组成三角形．该等腰三角形的周长为． 19.【答案】  【解析】解：方程有三个根，有一个根为，有两个实数根，则，， 又， ， ，，， ． 20.【答案】解：  ， ， ， ， ，  ，．  【解析】本题主要考查解一元二次方程的知识，解答本题的关键是知道运用配方法解一元二次方程的方法，先把配方成，然后再求出方程的解． 21.【答案】解：，   ， 或， ，．   【解析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 方程利用因式分解法求出解即可． 22.【答案】【小题】 移项，得． 因式分解，得． 于是得，或， ，． 【小题】 ，，． ． 方程有两个不相等的实数根，， 即，． 【小题】 移项，得． 配方，得，． 由此可得， ，．   【解析】 略  略  略 23.【答案】解：， 或， 所以，．  【解析】利用因式分解法解方程． 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 24.【答案】，．  【解析】解：原方程整理得， ， 或， ，． 先整理原式为，再运用配方法进行解方程，即可作答． 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 25.【答案】解：， ， ， ，， ，．  【解析】移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键，难度适中． 26.【答案】解：， 则， ， ， 或， ，； ， ，，， ， 则， ，．  【解析】利用提公因式法把方程变形，进而解出方程； 利用公式法解出方程． 本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 27.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 为正整数， 或； 由根与系数的关系可得：，， ， ， ， ， 解得：，， ， ．  【解析】本题主要考查的是一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，先判断出的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键． 根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，于是得到结论； 由根与系数的关系可得：，，把变形为，代入解方程即可得到结论． 28.【答案】证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根； 解：， 即， 即， ，． 方程有一根小于， ， 解得：， 的取值范围为．  【解析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程解答本题的关键是正确求出该方程的两个根． 根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； 利用因式分解法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 29.【答案】解：， ． 由题意可知：，， ， ， ， 或， 由可知：舍去， ．  【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及根的判别式，本题属于中档题． 根据根的判别式即可求出答案． 根据根与系数的关系即可求出答案． 30.【答案】【小题】 解：根据题意，得． 解得． 又， ． 由根与系数的关系得： ，， ， ， ， ，又， 不存在实数，使成立； 【小题】 为负整数， 且为整数，则为或，，，解得或，，．   【解析】 见答案  见答案 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $