精品解析：山西省大同市平城区大同市第一中学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025—2026学年第一学期八年级学业质量监测 数 学 （监测内容：第十三至十七章） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，即底数不变，指数相加，据此求解即可． 【详解】解：∵ （同底数幂相乘法则）， ∴ ， 故选：B． 2. 把多项式分解因式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式法因式分解，确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，据此找到答案即可． 【详解】解：∵系数和的最大公因数为，变量和都含有， ∴公因式为． 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称，明确关于轴对称点的坐标变化是解题关键． 点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此解答即可． 【详解】解：点关于x轴对称， 则横坐标不变，纵坐标变为， 因此对称点的坐标为， 故选：B． 4. 已知，则“★”所表示的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据被除式、除式、商之间的关系列出式子，然后根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 5. 如图，，，如果根据“”判定，那么需要补充的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定方法，“SAS”即边角边对应相等，只需找出一对对应边相等即可，进而得出答案． 【详解】解：需要补充的条件是BF=CE， ∴BF+FC=CE+CF，即BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 6. 下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式，根据完全平方公式的特点，即可解答．通过检查每个选项是否符合完全平方公式的形式来判断． 【详解】解：A、， 缺少项，不能用于完全平方公式，不符合题意； B、， 是平方差公式， 不能用于完全平方公式，不符合题意； C、，其中，，， ∴可分解为，符合题意； D、， 常数项不是平方数，不能用于完全平方公式，不符合题意． 故选：C． 7. 图①是长为，宽为的一个长方形，将其进行分割、剪拼，得到如图②所示的大正方形．通过计算阴影部分的面积验证了一个乘法公式，则这个乘法公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，根据已知条件得到平方差公式是解题的关键． 图①通过长方形的面积公式得到,图②的阴影部分面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，据此得到等式． 【详解】解：图①长方形的面积为，图②的阴影部分面积为， 根据题意得， 故选：D． 8. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交于点．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图和直角三角形的性质，解题的关键就是根据作图法则得出直角三角形.根据辅助线作法得出，然后直角三角形两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵根据作图法则可得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 9. 已知，，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，多项式乘多项式．直接展开表达式 ，并代入已知条件和进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵，， ∴， 故选：B 10. 太原某创意家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的三种板材装饰一面正方形墙壁．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形墙壁的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查根据板材的数量和形状列代数式及因式分解，用代数式表示出正方形墙壁的总面积，再通过因式分解求出边长． 【详解】解：由图可得：板材的面积为，板材的面积为，板材的面积为。 ∵用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务， ∴总面积为： 即： ∴边长为． 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方；先依据积的乘方法则，将和分别乘方，再依据幂的乘方法则计算的乘方（指数相乘），最后把常数乘方的结果与字母幂的结果相乘，得到最终答案． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 如图，在一个房间内，有一个长为米的梯子（图中）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为，那么的长是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． 证明三角形为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：根据题意，米， ， ， ∴为等边三角形， 米， 故答案为：． 14. 若，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，解题的关键是掌握同底数幂的除法法则．根据同底数幂的除法可得，再代入值计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式的运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘多项式的运算法则进行展开计算即可； （3）根据多项式除以单项式的运算法则进行展开计算即可； （4）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. （1）分解因式：； （2）利用因式分解计算：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）利用提取公因式法和平方差公式进行分解因式即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键．先根据完全平方公式和平方差公式，进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 如图，在，，，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，关键是由三角形内角和定理求出的度数，由三角形外角的性质得到．由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得到，由三角形的外角性质求出． 【详解】解：∵在中，，， ∴； ∵， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∵是的外角， ∴， ， ∴． 20. 数学活动——月历中的奥秘 如图①是2025年12月份的月历，亮亮在其中任意画出的方框，方框内的数字分别用a，b，c，d表示（如图②），他准备计算“”的值，并探索其运算结果的规律． （1）【特例探究】计算图①中方框内的结果：______，_______； （2）【推理演绎】亮亮通过特例分析，猜想所有月历中，方框内“”的结果都不变，请你将他的证明过程补充完整． 证明：设，则，，． …… 【答案】（1）7，7 （2） 证明：设，则，，， ∴ ； ∴方框内“”的结果都不变． 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算，有理数四则混合运算，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键； （1）根据题意直接进行求解即可； （2）由题意可知，然后进行求解即可． 【小问1详解】 解：（1）； 故答案为：7；7； 【小问2详解】 略 21. 在几何的学习中，我们常常在学习了图形的性质后，通过研究其逆命题得到图形的判定方法．在学习完等腰三角形的判定之后，小明根据“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线互相重合”这个性质定理，有了这样的思考：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？ 小明画出图形，经过分析找到了两种解决问题的方法． 如图，在中，平分，且点是的中点．求证：． 方法一 方法二 证明：过点分别作的垂线，垂足分别为点． 证明：延长到，使得，连接． 请你从两种方法中任选一个，完成证明． 【答案】 方法一：证明：过点分别作的垂线，垂足分别为点． ∴， ∵平分， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：证明：延长到，使得，连接． ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键： 方法一：角平分线的性质，得到，中线得到，证明，得到，进而得到，即可得证； 方法二：证明，得到，，进而求出，进而得到，进而得到，即可． 【详解】略 22. 完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，． ． ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则的值为____________； （2）若，，求的值； （3）如图，C是线段上的一点，分别以，为边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和，求的面积． 【答案】（1）12 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的关键． （1）利用完全平方公式整体代入求解即可； （2）利用完全平方公式整体代入求解即可； （3）设，，用含有a，b的代数式分别表示，以及的面积，再利用题目条件求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 即． ∵， ∴． ∴． ∴． 即； 【小问3详解】 解：设，， ∴． ∴． 即． ∵， ∴． ∴． 由题意得，为直角三角形， ∴． 23. 综合与探究 数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 已知，在中，，，D是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． （1）图①是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段上，请直接写出线段与的数量关系是____________，与的位置关系是____________； （2）图②是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； （3）“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题：在点D运动的过程中，若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）， （2） 结论仍然成立，理由如下： ∵， ． ． 在和中， ． ∴，． ∵在中，， ∴． ∴，即． ∴． （3）线段的长为5或11 【解析】 【分析】本题考查三角形的全等的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． （1）由证明可得出的数量和位置关系； （2）同（1）方法证明，可得出结论； （3）分两种情况：①当点在上时，②当点在延长线上时，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 解：，． 证明：，， ，， 在与中， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当点在上时，如图， 由（1）可知 ； ②当点在延长线上时，如图， 由（2）可知， 综上所述，或11． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期八年级学业质量监测 数 学 （监测内容：第十三至十七章） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果是（ ）． A. B. C. D. 2. 把多项式分解因式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“★”所表示的式子是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，如果根据“”判定，那么需要补充的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 7. 图①是长为，宽为的一个长方形，将其进行分割、剪拼，得到如图②所示的大正方形．通过计算阴影部分的面积验证了一个乘法公式，则这个乘法公式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交于点．则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6 10. 太原某创意家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的三种板材装饰一面正方形墙壁．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形墙壁的边长是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果为______． 12. 分解因式：_______． 13. 如图，在一个房间内，有一个长为米的梯子（图中）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为，那么的长是________米． 14. 若，，则的值为_______． 15. 【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. （1）分解因式：； （2）利用因式分解计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在，，，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，求和的度数． 20. 数学活动——月历中的奥秘 如图①是2025年12月份的月历，亮亮在其中任意画出的方框，方框内的数字分别用a，b，c，d表示（如图②），他准备计算“”的值，并探索其运算结果的规律． （1）【特例探究】计算图①中方框内的结果：______，_______； （2）【推理演绎】亮亮通过特例分析，猜想所有月历中，方框内“”的结果都不变，请你将他的证明过程补充完整． 证明：设，则，，． …… 21. 在几何的学习中，我们常常在学习了图形的性质后，通过研究其逆命题得到图形的判定方法．在学习完等腰三角形的判定之后，小明根据“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线互相重合”这个性质定理，有了这样的思考：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？ 小明画出图形，经过分析找到了两种解决问题的方法． 如图，在中，平分，且点是的中点．求证：． 方法一 方法二 证明：过点分别作的垂线，垂足分别为点． 证明：延长到，使得，连接． 请你从两种方法中任选一个，完成证明． 22. 完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，． ． ． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，则的值为____________； （2）若，，求的值； （3）如图，C是线段上的一点，分别以，为边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和，求的面积． 23. 综合与探究 数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 已知，在中，，，D是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，连接，． （1）图①是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段上，请直接写出线段与的数量关系是____________，与的位置关系是____________； （2）图②是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； （3）“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题：在点D运动的过程中，若，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $