西南名校联盟2026届高三上学期“3+3+3”高考备考诊断性联考（一）数学试题

西南名校联盟2026届“3+3+3”高考备考诊断性联考（一） 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则它的最小正周期、初相分别是（ ） A. 2π， B. ， C. 2π， D. ， 3. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若与共线，则实数m=（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 4 5. 已知O为坐标原点，过双曲线C：（，）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 下图是某古代建筑的屋顶结构模型，其中为矩形，，，，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为10 m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的三个内角所对的边分别为，，的面积为，角A的平分线交边于D，且，则a为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知函数，若对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，是上的三个点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. C. 直线的斜率为 D. 若三点共线，则的最小值为8 10. 已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 正方体的棱长为2，线段上有两个动点E、F，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等 D. 点P是平面内一点，若，则点P的轨迹长度是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为______． 13. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，若向量，，则的概率是________． 14. 已知，是的导函数，若有且只有两个不同的零点，且和的零点均在集合中，则的极大值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某高校为了解学生在一周内参与志愿服务的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参与志愿服务的次数，现随机抽取了50名同学，统计在某一周参与志愿服务的数据，结果如下表： 一周参与志愿服务次数 1 2 3 4 5 6 合计 男生人数 4 6 6 4 3 2 25 女生人数 1 1 3 5 9 6 25 合计 5 7 9 9 12 8 50 （1）若将一周参与志愿服务次数为5次及5次以上的，称为“积极参与”，其余的称为“一般参与”．请完成以下2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系； 性别 志愿服务 合计 一般参与 积极参与 男生 女生 合计 （2）若将一周参与志愿服务达到6次的同学称为“最美志愿者”，在样本的8名“最美志愿者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 在正项数列中，，． （1）证明：数列是等差数列； （2）记，设数列的前n项和为，证明：． 17. 如图，在三棱锥中，平面，是的中点，是的中点，点在棱上，且． （1）求证：平面； （2）若是边长为的等边三角形，且三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知，是椭圆的左、右焦点，椭圆Γ的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）不重合的两直线，过点且分别与椭圆Γ交于A，B和C，D两点，，不与坐标轴平行或重合，并满足． ①试判断两直线，的斜率关系并写出证明过程； ②若两直线，的斜率正负号相同，M，N分别为线段AB和CD的中点，求证：MN过定点． 19. 已知函数． （1）若，，求在处的切线方程； （2）若，且在定义域内有三个零点，，（），求的取值范围； （3）在（2）的条件下，请找出与的关系，并证明：． 西南名校联盟2026届“3+3+3”高考备考诊断性联考（一） 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】0 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） 性别 志愿服务 合计 一般参与 积极参与 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 认为性别因素与学生参与志愿服务的积极性有关系 （2） Y 0 1 2 P 期望为 【16题答案】 【答案】（1） 由，得， 因为数列为正项数列，所以，即， 又因为，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． （2） 由（1）可知，，即， 则， ∴， ∵，，∴． 【17题答案】 【答案】（1） 证明：取的中点为，在上取点，使， 连接，如图， 因为是的中点，所以，， 又因为，所以，， 所以，， 即四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， ∴平面． （2） 【18题答案】 【答案】（1）； （2）①斜率之积为1或 ，证明如下； 与斜率存在且不为零，不妨设的方程为， 联立，消去y，可得， 设 ， ，分别为的斜率，则， ， 所以， 在的表达式中用“”代换“”可得， 所以，则， 所以，得， 所以或． ②由①，M是AB中点，则， ，即， 将代换为，则， 法1：直线MN为， 即，则直线MN恒过定点得证． 法2：记定点为点T，则，MN过定点得证. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）， 注意到，，即，由于，则有， 注意到的三个零点，所以有， 要证：，即证：， 即证：， 即证：， 由于，，即证：，即证：， 由于，， 则有， 即证：，即证：， 构造：，则， 所以在上单调递增， 所以，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $