专题05 直角三角形的边角关系（期末复习课件）九年级数学上学期北师大版

这是一份北师大版九年级数学上学期期末复习课件，共88页，围绕直角三角形边角关系，通过“考情分析、知识梳理、题型突破、分层验收”四大模块构建学习支架，涵盖三角函数定义、解直角三角形及实际应用等核心内容，配套各地期末真题典例与变式练习。 资料特色突出，以表格系统梳理三角函数定义、特殊角值等知识，通过坡度问题、仰角俯角等实际案例培养数学眼光与应用意识，分层题型设计助力学生逻辑推理与运算能力提升，为教师提供结构化复习方案，帮助学生高效备战期末。九年级学生面临升学考试，需重点掌握直角三角形边角关系等高频考点，资料通过真题演练和分层练习，助力学生巩固基础、突破难点，提升应试能力。

专题05 直角三角形的边角关系 九年级数学上学期 期末复习大串讲 北师大版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 锐角三角函数的定义与计算 明晰锐角三角函数的定义，理解三角函数值仅与锐角大小相关，与三角形边长无关。 高频基础考点：考查形式包括根据直角三角形边长求三角函数值、根据三角函数值求边长，或在正方形网格中构造直角三角形求锐角的三角函数值。 特殊角的三角函数值与代数式计算 熟记特殊角的三角函数值，能直接运用进行精确计算，同时理解互余两角的三角函数关系及同角三角函数的基本关系。 高频基础考点：直接考查30°、45°、60°角的三角函数值记忆，或结合实数运算进行化简求值。 解直角三角形的综合计算 掌握解直角三角形的依据与方法，明确解直角三角形的核心是利用“三边关系、两锐角关系、边角关系”，能根据已知条件灵活选择合适的关系求出所有未知元素。 中频核心考点：给出直角三角形的部分元素，求其余未知元素；或结合三角形高、角平分线等辅助线构造直角三角形求解。 实际应用问题 理解实际应用中的关键概念，准确区分并掌握仰角、俯角、坡度、坡角、方向角的定义，能将实际测量、工程建设等情境中的问题转化为解直角三角形的数学问题。 高频难点考点：结合仰角俯角、坡度坡角、方向角等实际场景命题。 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 锐角三角函数的定义 知识点01 三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 名称 定义 记作 表示 正弦 余弦 正切 在Rt△ABC中，∠C=90° 直角三角形中锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦 直角三角形中锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦 直角三角形中锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切 sinA cosA tanA A B C 斜边c 对边a 邻边b ∟ 锐角三角函数的增减性 知识点02 ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． A B C c a b ∟ （1）锐角三角函数值都是正值． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时， 0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 　　 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． （2）当角度在0°～90°间变化时， 互余两角三角函数的关系 知识点04 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）比值关系：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即 同角三角函数的关系 知识点03 A B C c a b ∟ 特殊角的三角函数值 知识点05 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值， 一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大； 二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 三角函数 30° 45° 60° 增大 变小 增大 解直角三角形 知识点06 ①锐角、直角之间的关系： ∠A+∠B＝90° ②三边之间的关系：勾股定理 a2+b2＝c2 （ 1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形 （2）解直角三角形要用到的关系 （3）边角之间的关系（三角函数） （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 9 解直角三角形的应用 知识点07 （2）坡角 把坡面与水平面的夹角α叫做坡角， 坡度i与坡角α之间的关系为： （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． （1）坡比 坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比 注意：它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示， 常写成 i＝1：m 的形式． 应用领域：①测量领域 ②航空领域 ③航海领域 ④工程领域等． 解直角三角形的应用 知识点07 （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 2．仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角； 俯角是向下看的视线与水平线的夹角． 视线 视线 水平线 铅垂线 仰角 俯角 解直角三角形的应用 知识点07 （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 3．方向角问题 （1）在辨别方向角问题中： 一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． O 北 东 北偏东30° 3 4 南偏西45° 北偏西70° 7 5 南偏东50° 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 锐角三角函数 题型一 【典例1-1】（24-25九年级上•湖南常德•期末）将的斜边和直角边都扩大到原来的倍，那么锐角的三角函数值（ ） A．都扩大到原来的倍 B．都缩小到原来的 C．没有变化 D．只有发生变化 解：∵锐角的各个三角函数值等于锐角所在直角三角形的边的比值， ∴ 的斜边和直角边都扩大到原来的倍，锐角的三角函数值不变， C 锐角三角函数 题型一 【典例1-2】（25-26九年级上•山东青岛•期末）如图，该图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，那么的值为（ ） A． B． C．4 D． 解：根据题意， 大正方形边长为 ，小正方形的边长为1， ∴三角形的面积为： ， 设三角形两直角边为，则： ． 根据勾股定理得： ， 联立解得 ，（负值舍去） ∴ ． A 15 锐角三角函数 题型一 【典例1-3】（23-24九年级上•广东梅州•期末） 若 ，则（ ） A． B． C． D． 解：， 当 时，随的增大而增大， ， ， C 锐角三角函数 题型一 【典例1-4】（24-25九年级上•安徽亳州•期末） 若 是锐角，且 ，则（ ） A． B． C． D． 解：∵ ， 且 ， ∴； A 锐角三角函数 题型一 【典例1-5】（24-25九年级上•陕西咸阳•期末）如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 解： 交于点E， ， ， ， ， 锐角三角函数 题型一 【典例1-6】（23-24九年级上•广西梧州•期末） 如图，已知，在中， ，求的值． 解：∵， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， 即的值为12． 锐角三角函数 题型一 【变式1-1】（23-24九年级上•贵州铜仁•月考）如图，在中， 于点，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 解：∵ ∴ ，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； C 锐角三角函数 题型一 【变式1-2】（24-25九年级上•河南开封•期末）如图是一个办公室脚踏板的实物图，已知脚踏板的上表面与地面的夹角为 ，则穿37码平底鞋的脚踩在上面时，脚尖与脚后跟的高度差为（ ） 尺码 34 35 36 37 38 39 40 脚长/mm 220 225 230 235 240 245 250 A． B． C． D． C 解：根据题意，得37码平底鞋的脚踩在上面时，脚长： ， 故脚尖与脚后跟的高度差： ， 锐角三角函数 题型一 【变式1-3】（24-25九年级上•甘肃兰州•期末）如图，在 中， ，则的长为（　　） A． 4.5 B．5 C．4 D． 解： C 锐角三角函数 题型一 【变式1-4】（24-25九年级上•福建泉州•期末）如图，在 中， 分别是 ， 的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 解：如图， A、 ，原选项错误，不符合题意； B、 ，原选项错误，不符合题意； C、 ，原选项错误，不符合题意； D、 ，原选项正确，符合题意； D 锐角三角函数 题型一 【变式1-5】（24-25九年级上•甘肃张掖•期末） 如图，在 中， ，点D在上，点E在上，过点E作交 边于点F，连接并延长交的延长线于点G， ，且 ，求的长． 解：∵， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵在中， ， ∴ ，即 ， 解得，∴的长为4． 特殊三角形的三角函数 题型二 【典例2-1】（23-24九年级上•湖南株洲•期末）如果 中， ，则下列结论正确的是（　　） A． 是等边三角形 B． 是钝角三角形 C． 是等腰直角三角形 D． 是锐角三角形 解： ∵ ， ∴ ∴ 是等腰直角三角形． C 特殊三角形的三角函数 题型二 【典例2-2】（24-25九年级上•甘肃武威•期末） 求下列式子的值： 解： 特殊三角形的三角函数 题型二 【变式2-1】（24-25九年级上•湖南常德•期末）计算： 解： 特殊三角形的三角函数 题型二 【变式2-2】（23-24九年级上•甘肃兰州•期末）计算： ． 解： ． 特殊三角形的三角函数 题型二 【变式2-3】（24-25九年级上•宁夏银川•期末）计算 （1） (2) （1）解： ．　 特殊三角形的三角函数 题型二 【变式2-3】（24-25九年级上•宁夏银川•期末）计算 （1） (2) （2）解： 原式 ．　 互余两角三角函数的关系 题型三 【典例3-1】（24-25九年级上•广西梧州•期末）已知 ， 都是锐角，且，那么 与 之间满足的关系是（ ） A． B． C． D． 解：∵ ∴ ∴ B 互余两角三角函数的关系 题型三 【典例3-2】（23-24九年级上•安徽六安•期末）下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 解： A、 ，不符合题意； B、 ，不符合题意； C、 ，不符合题意； D、 选项正确，符合互余两角的三角函数关系，符合题意． D 互余两角三角函数的关系 题型三 【变式3-1】（23-24九年级上•湖南郴州•期末）如果α是锐角，且 ，那么 的值等于（　　） A． B． C． D． 解：∵ ， ∴ B 互余两角三角函数的关系 题型三 【变式3-2】（23-24九年级上•安徽六安•期末）给出下列式子： ① ，②， ③ ，④ ．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 解：∵， ， ∴ ，故式子①错误； ∵ ， 又∵正弦值随锐角的角度的增大而增大， ∴， 即 ，故式子②正确； B ∵ ， ∴ ，故式子③错误； ∵ 故式子④正确， 综上，正确的式子有②④． 锐角三角函数 题型四 【典例4-1】（解直角三角形的相关计算）（25-26九年级上•全国•期末）如图，在 中， ，若 ，则的值为( ) A． B． C． D． 解： ∵在 中， ， ， ∴ ， ∴设 ， ∴， ∴； B 解：如图所示，作于，设， ∴ ，即 ， 解得： ， 在 中， ， 即： ， ， 锐角三角函数 题型四 【典例4-2】（解非直角三角形）（24-25九年级上•陕西咸阳•期末） 如图，在中， ， 则的长为 ． D ∟ 锐角三角函数 题型四 【典例4-3】（构造直角三角形求不规则图形的边长或面积）（22-23九年级上•湖南张家界•期末）如图，在 中， ． (1)求的值．(2)求的面积（结果保留根号） D ∟ （1）解：如图，过点作于点． 在 中， ， ∴ ， ∵在 中， ； （2）解：由（1）知： 在中， ， ． 锐角三角函数 题型四 【变式4-1】（23-24九年级上•浙江杭州•月考）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形， ，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面 ，到树的距离， ．则树的高度为（ ） A． B． C． D． 解：由题意可知， ， ∴ ， ， 则 ，则 ， ． 故树的高度为 ， C 锐角三角函数 题型四 【变式4-2】（23-24九年级上•江苏泰州•期中）如图，是 的中线， 求：(1)的长；(2) 的正弦值． H ∟ （1）解：如图，作于． 在中， ， 在 中, ． （2） ， 在 中， ． 的正弦值为 ． 解直角三角形的应用 题型五 【典例5-1】（方位角问题）（24-25九年级上•湖南邵阳•期末）如图，一艘海警船位于灯塔P的东北方向，距离灯塔 海里的A处，接到一报警，一走私船正从灯塔P出发以40海里每小时的速度沿南偏东30°方向逃走，海警船立马沿正南方快速追击，于B点追上走私船，问海警船多长时间追上走私船，追击速度是多少？ 解：根据题意，得 ，故 ， ∵ ，∴（海里）， ∵ ，∴ ， ∴（海里）， ∴， （海里）， ∴（海里）， ∴海警船的追击速度为： （海里/小时）． 解直角三角形的应用 题型五 【典例5-2】（仰角俯角问题） （24-25九年级上•河南周口•期末）2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电．如图，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为 ，测得点C的俯角 ；控制无人机水平移动至点D，测得 ，楼顶C点的俯角 ．点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度． （参考数据：结果精确到 0.1m） 解直角三角形的应用 题型五 【典例5-2】（仰角俯角问题） （24-25九年级上•河南周口•期末）．如图，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为 ，测得点C的俯角 ；控制无人机水平移动至点D，测得 ，楼顶C点的俯角 ．点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度． （参考数据：结果精确到 0.1m） 解：延长交于点F，根据题意，得 ， ， 在中， ， 在 中， ，解得， ， F 答：大楼的高度约为 ． 解直角三角形的应用 题型五 【典例5-3】（坡度坡比问题）（24-25九年级上•陕西咸阳•期末）如图，某超市门口要修建一座跨度为24米的人行天桥即米，，天桥架空高度为6米与之间的距离为6米 ，若天桥两边的斜坡，的坡度均为 ，求人行天桥的桥面的长度． 解：过点D作于点E， 过点C作于点F，由题意得： 米， ∵天桥两边的斜坡的坡度均为 ， ∴ , ∴米， ∵ 米， ∴米， ∴人行天桥的桥面的长度为6米． F E 解直角三角形的应用 题型五 【典例5-4】（跨学科问题）（24-25九年级上•河北唐山•期末） 如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管 ，，试管倾斜角为 ． （ ．结果保留一位小数） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），经测得： ，求导气管 的长度． 解直角三角形的应用 题型五 【典例5-4】（跨学科问题）（24-25九年级上•河北唐山•期末）现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管 ，，试管倾斜角为 ． （ ．结果保留一位小数） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； ∵， ∴， ∵在中， ， ∴， 即试管口与铁杆的水平距离的长度为； （1）解： 解直角三角形的应用 题型五 【典例5-4】（跨学科问题）（24-25九年级上•河北唐山•期末）现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管 ，，试管倾斜角为 ． （ ．结果保留一位小数） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），经测得： ，求导气管 的长度． （2）解：如图，过点作，交于点，则四边形是矩形， 在 中， ， ，， ， 在中， ． H ∟ 即导气管的长度为 ． 解直角三角形的应用 题型五 【典例5-5】（与相似三角形综合）（25-26九年级上•广东揭阳•期末）阅读下列材料，回答问题． 任务：高速公路路面形变探测 问题背景 在高速公路上，由于地形地质条件复杂，加上车辆长期碾压等因素，路面容易出现下沉或隆起的情况．这不仅会影响行车的舒适性，还可能带来安全隐患．为了及时准确掌握公路路面的状态变化，道路养护部门引入了微型路面形变探测仪，经查阅资料得知，测得路面相较于基准位置下降或隆起超过3厘米时，道路养护部门就需要进行修复 素材1：设备原理 该探测仪的工作原理基于激光探测．如图①，探测仪发出光线，射向路面的白色反光涂层，经路面反射后，形成反射光线，其中光线与路面的夹角等于反射光线与路面的夹角，均为，且始终保持恒定．水平安装在道路旁特定支架上的信号收集端，负责捕捉反射光线，借此实现对路面情况的探测. 素材2：基准参数 如图①，在基准位置下测得，点和收集端与路面的垂直距离分别为8厘米和 厘米，点与收集端端点的水平距离是 厘米，且为 厘米，为 厘米. 素材3：形变探测 如图②，当公路路面发生下降或隆起时，反射光线在收集端上的落点会产生移动，记移动后的反射光线为 ，移动距离为，若路面下沉，点向右移动；若路面隆起，点向左移动（向右记为正、向左记为负）．通过 的长度能够确定路面下沉或隆起的高度数值. 解直角三角形的应用 题型五 (1)依据素材2所给的条件，求 的值； (2)如图②，设路面下沉了厘米，的长度为厘米，请求出与的关系式，并求出在基准位置下，该探测仪和收集端能够测量的路面隆起到下沉的范围； (3)当路面下沉或隆起幅度较大时，反射光线落点会超出收集端测量范围，导致无法测量．已知信号收集端可以通过拼接增加长度，为满足道路养护部门需求，即当路面相较于基准位置下降或隆起不超过3厘米时能正常测量，在保持入射光线落点和探测仪位置不变的情况下，应如何调整收集端 的长度？ 【典例5-5】（与相似三角形综合）（25-26九年级上•广东揭阳•期末）阅读下列材料，回答问题． 解直角三角形的应用 题型五 【典例5-5】（与相似三角形综合）（25-26九年级上•广东揭阳•期末）阅读下列材料，回答问题． (1)依据素材2所给的条件，求 的值； 素材2： 基准参数 如图①，在基准位置下测得，点和收集端与路面的垂直距离分别为8厘米和 厘米，点与收集端端点的水平距离是 厘米，且为 厘米，为 厘米. （1）解：如图①，过点作垂直路面于点，过作交的延长线于点，交的延长线于点， 由题意得 ， 设，则， 由题意知 ， D ∟ N ∟ ∵ ， ∴ ，∴ ， ∴ ，解得， ∴在 中， ； 解直角三角形的应用 题型五 【典例5-5】（与相似三角形综合）（25-26九年级上•广东揭阳•期末）阅读下列材料，回答问题． (2)如图②，设路面下沉了厘米，的长度为厘米，请求出与的关系式，并求出在基准位置下，该探测仪和收集端能够测量的路面隆起到下沉的范围； （2）解：如图②，过点 作于点， 由题意可得，， ∴四边形为平行四边形，∴， 由题意得 ， ∴ ，∴， F ∟ ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴该探测仪和收集端能够测量的路面隆起到下沉的范围为 : ； 由（1）知 ， ∴ ， ∴， 解直角三角形的应用 题型五 【典例5-5】（与相似三角形综合）（25-26九年级上•广东揭阳•期末）阅读下列材料，回答问题． (3)当路面下沉或隆起幅度较大时，反射光线落点会超出收集端测量范围，导致无法测量．已知信号收集端可以通过拼接增加长度，为满足道路养护部门需求，即当路面相较于基准位置下降或隆起不超过3厘米时能正常测量，在保持入射光线落点和探测仪位置不变的情况下，应如何调整收集端 的长度？ （3）解：由（2）得，该探测仪和收集端能够测量的路面下沉最大值为 ， 为满足道路养护部门需求，调整收集端的长度，如图③， 设将信号收集端向右延伸厘米，此时下沉3厘米时， 反射光线落点恰好到延伸后的点处， 此时反射光线与地面的交点为点 ， 的中点为点 ， ∵由题意易证得四边形 为平行四边形， ∴ ∴， ∵由（1）得， ， ∴ ， 解得， ∵由（2）得信号收集端在原长度不变的情况下可测得路面隆起3厘米， ∴只需将信号收集端向右延伸2厘米即可满足道路养护部门需求． 解直角三角形的应用 题型五 【变式5-1】（24-25九年级上•湖北十堰•期末）如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为 ，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为 ，已知斜坡的坡角为 ， 米，米， 求楼和宣传牌 的高度． 解：在中，米， ， ∴，∴米； 在 中， 米， ∴（米）， 由勾股定理得米； 如图，过点B作于G点， 则四边形是矩形， ∴ 米， 米， 在中， ， ∴米， ∴ 米； 答：楼的高度为 米， 宣传牌的高度为 米． 解直角三角形的应用 题型五 【变式5-2】（24-25九年级下•重庆大足•期末）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当之举，是对外部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在城市周围三个地点演习．如图，点在点正东方向100海里处，点在点北偏东 方向120海里处，点在点东南方向，且点也在点正北方向． （参考数据： ） (1)求两地之间的距离（结果保留一位小数）； (2)由于演习过程中的特殊任务，从点到点需要经过点或点，那么点到点的两条路径和哪一条线路最短？ 解直角三角形的应用 题型五 【变式5-2】（24-25九年级下•重庆大足•期末）某次演习中，中国人民解放军在城市周围三个地点演习．如图，点在点正东方向100海里处，点在点北偏东 方向120海里处，点在点东南方向，且点也在点正北方向．（参考数据： ） (1)求两地之间的距离（结果保留一位小数）； （1）解：如图，过作于，过作于， 则四边形为矩形， ∴， 在 中， ， ∴ ， ∴， 在 中， ， ∴ ， ∴（海里）． H ∟ G ∟ 解直角三角形的应用 题型五 【变式5-2】（24-25九年级下•重庆大足•期末）某次演习中，中国人民解放军在城市周围三个地点演习．如图，点在点正东方向100海里处，点在点北偏东 方向120海里处，点在点东南方向，且点也在点正北方向．（参考数据： ） H ∟ G ∟ (2)由于演习过程中的特殊任务，从点到点需要经过点或点，那么点到点的两条路径和哪一条线路最短？ （2）解：由（1）得： ， ∴ ， ∴（海里）， （海里）， ∴ 线路最短． 解直角三角形的应用 题型五 【变式5-3】（24-25九年级上•湖南永州•期末）周末，九年级学生王明和李亮两人 到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为 ，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为 ，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时 ，求点到地面的距离．（参考数据： ） （1）解：∵安全链与铅垂线夹角为 ， ∴ 过点作在中， ， ， ， ， 点到地面的距离 为 ； E ∟ 解直角三角形的应用 题型五 【变式5-3】（24-25九年级上•湖南永州•期末）周末，九年级学生王明和李亮两人 到朝阳公园荡秋千，如图为荡秋千时的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，荡秋千的起始位置为，最高点为，点距离地面为 ，秋千位于时，安全链与铅垂线夹角为 ，安全链． (1)求点到地面的距离； (2)当王明用力将李亮从处推出后到最高点处，此时 ，求点到地面的距离．（参考数据： ） E ∟ F ∟ （2）解：过点作，， ， 在中， ， ， 由（1）得， ， 点到地面的距离为 ． 解直角三角形的应用 题型五 【变式5-4】（24-25九年级上•河南郑州•期末）建筑工人在工作时，通常要用到梯子．梯子摆放的角度（如图）为 到 之间时，符合安全标准．一个长为 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为 ． （ ） (1)梯子摆放是否符合安全标准？请说明原因． (2)如果梯子的顶端下滑 ，那么梯子的底端滑动了多少米？ （1）解：梯子摆放不符合安全标准，理由如下： 如图，∵在中， ， ∴（ ) ∴ ， ∵， ∴，∴梯子摆放不符合安全标准； 解直角三角形的应用 题型五 【变式5-4】（24-25九年级上•河南郑州•期末）建筑工人在工作时，通常要用到梯子．梯子摆放的角度（如图）为 到 之间时，符合安全标准．一个长为 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为 ． （ ） (1)梯子摆放是否符合安全标准？请说明原因． (2)如果梯子的顶端下滑 ，那么梯子的底端滑动了多少米？ （2）如图，∵梯子下滑 ， ∴，∴， ∵在 中，， ∴ ∴ 答：梯子的底端滑动了 米 三角函数综合题 题型六 【典例6】（24-25九年级上•黑龙江哈尔滨•期末）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． (1)概念理解：如图1，在正方形中，点是边上一点，连接，求证： 是等高底三角形． (2)问题探究：如图2， 是“等高底”三角形，是“等底”，且是边上的高，求 的值． （1）证明：作于则 ， ∵四边形是正方形， ∴ ∴四边形是矩形． ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴．是等高底三角形． F ∟ 三角函数综合题 题型六 【典例6】（24-25九年级上•黑龙江哈尔滨•期末）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． (2)问题探究：如图2， 是“等高底”三角形，是“等底”，且是边上的高，求 的值． G ∟ （2）解：作于点， ， 设 ， ， 在 中， ， ， ， ， 设， 则， 在 中由勾股定理得： ， 解得， ． 三角函数综合题 题型六 【变式6-1】（24-25九年级上•宁夏中卫•期末）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为 ，动点分别从同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连接，已知动点运动了秒． (1)＝ ______；＝ ______；（用含的代数式表示） (2)用含的代数式表示点的坐标． (3)是否存在的值，使以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． （1）解：∵点的坐标为 ， 动点分别从同时出发，都以每秒1个单位的速度运动， ∴ ， ∴， 三角函数综合题 题型六 【变式6-1】（24-25九年级上•宁夏中卫•期末）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为 ，动点分别从同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连接，已知动点运动了秒． (2)用含的代数式表示点的坐标． （2）解：延长交于点G， ∵矩形，，∴， ∴矩形，矩形， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴，∴点 ． G 三角函数综合题 题型六 【变式6-1】（24-25九年级上•宁夏中卫•期末）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为 ，动点分别从同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点沿向终点运动，点沿向终点运动，过点作，交于点，连接，已知动点运动了秒． (3)是否存在的值，使以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． （3）解：存在，理由如下：根据问2证明，得 ， ∴， 当时， 得 ， ∴ ，解得； G 当 时， 得 ， ∴ ， 解得 ； 综上所述，当或 时，结论成立． 三角函数综合题 题型六 【变式6-2】（24-25九年级上•贵州黔南•期末）如图1所示，在等腰三角形中，是边上一点，过点作，交于点．将绕点逆时针旋转．连接． (1)当绕点逆时针旋转到如图2所示位置，求证：； (2)当 绕点逆时针旋转到三点在一条直线上时，如图3． ①和还相等吗？___________（用“ ”或“ ”填空）； ②若 ，猜想的数量关系，并加以证明． 三角函数综合题 题型六 【变式6-2】（24-25九年级上•贵州黔南•期末）如图1所示，在等腰三角形中，是边上一点，过点作，交于点．将绕点逆时针旋转．连接． (1)当绕点逆时针旋转到如图2所示位置，求证：； （1）证明：在图1中，∵， ∴ ， 由旋转的性质，在图2中仍有 ， 在和 中， ， （SAS）， ； 三角函数综合题 题型六 【变式6-2】（24-25九年级上•贵州黔南•期末）如图1所示，在等腰三角形中，是边上一点，过点作，交于点．将绕点逆时针旋转．连接． (2)当 绕点逆时针旋转到三点在一条直线上时，如图3． ①和还相等吗？___________（用“ ”或“ ”填空）； ②若 ，猜想的数量关系，并加以证明． （2）解：②结论：，证明如下： 如图过点作于点， ∵ ∴， 在直角中， ∴∴ ， 由（1）同理可证 ， ∴∴． 三角函数综合题 题型六 【变式6-3】（23-24九年级上•湖南张家界•期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是________； A．平行四边形； B．矩形； C．正方形； D．菱形 (2)如图1，在边长为a的正方形中，E为边上一动点（E不与C、D重合），交于点F，过F作交于点H． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，将绕A点逆时针旋转 得到，判断线段与线段的数量关系，并求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，当时，求的长． D 三角函数综合题 题型六 【变式6-3】（23-24九年级上•湖南张家界•期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (2)如图1，在边长为a的正方形中，E为边上一动点（E不与C、D重合），交于点F，过F作交于点H． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； （2）解：①四边形AFHB 是“等补四边形”，理由如下： ∵边长为a的正方形中，交于点F，交于点H． ∴ ， ∴ ； 连接，如图，则A、B、H、F四点共圆， ∴ ， ∴． ∴四边形是“等补四边形”； 三角函数综合题 题型六 【变式6-3】（23-24九年级上•湖南张家界•期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (2) ②如图2，连接，将绕A点逆时针旋转 得到，判断线段与线段的数量关系，并求的周长； ②，理由如下：根据旋转性质，得 ， ∴， ∵ ， ∴ ，C，D，L三点共线， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∵ ，∴ ，∴． ∴ 的周长是 三角函数综合题 题型六 【变式6-3】（23-24九年级上•湖南张家界•期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (2) ③若四边形是“等补四边形”，当时，求的长． ③∵， ， ∴ ； ∵四边形是“等补四边形”， ∴还需要一组邻边相等，分以下四种情况讨论： 情况1：，连接， 由题意知∶ ，又， ∴ ，∴， 则 为正三角形，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴； 三角函数综合题 题型六 【变式6-3】（23-24九年级上•湖南张家界•期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (2) ③若四边形是“等补四边形”，当时，求的长． ③∵， ， ∴ ； ∵四边形是“等补四边形”， ∴还需要一组邻边相等，分以下四种情况讨论： 情况2：， ∵， ∴ ， ∴，同情况1， 此时， ； 情况3：， 由②得 的周长． 设，则， 则， ∴，即 ； 三角函数综合题 题型六 【变式6-3】（23-24九年级上•湖南张家界•期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (2) ③若四边形是“等补四边形”，当时，求的长． ③∴还需要一组邻边相等，分以下四种情况讨论： 情况4：，连接，如图， ∵，∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴，∴ 则垂直平分，∴， ∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴ ， ∴， 又 ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴， 这不可能，故这种情况不存在． 综上： 或者 ． 三角函数综合题 题型六 【变式6-4】（24-25九年级上•河北邢台•期末）如图，在矩形中， ，把绕点B顺时针旋转α（ ）得到，连接 ，过点B作于点E，交矩形的边于点F． (1)当 时．①________；②连接 ，求的面积； (2)当B， ，D三点共线时，求的长； (3)若 ，直接写出的值． 三角函数综合题 题型六 【变式6-4】（24-25九年级上•河北邢台•期末）如图，在矩形中， ，把绕点B顺时针旋转α（ ）得到，连接 ，过点B作于点E，交矩形的边于点F． (1)当 时．①________；②连接 ，求的面积； （1）解： ①由题意得：， ∵， ∴ 是等边三角形， ∵ ， ∴ ， ∴ ； ②由①可得： ， ∴点 落在的垂直平分线上， 如图所示： ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 三角函数综合题 题型六 【变式6-4】（24-25九年级上•河北邢台•期末）如图，在矩形中， ，把绕点B顺时针旋转α（ ）得到，连接 ，过点B作于点E，交矩形的边于点F． (2)当B， ，D三点共线时，求的长； （2）解：如图所示： 由题意得： ∴ ， 作 ，则， ∴，即， 解得： ； ∵，∴ ， 又 ，即 ， 解得： ；∴ ； 三角函数综合题 题型六 【变式6-4】（24-25九年级上•河北邢台•期末）如图，在矩形中， ，把绕点B顺时针旋转α（ ）得到，连接 ，过点B作于点E，交矩形的边于点F． (3)若 ，直接写出的值． （3）解：当点在边时，作，如图所示： ∵ ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ； ∵ ， ∴ ， ∴ ，点 落在边上 ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ； ∴ ； ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴； 三角函数综合题 题型六 【变式6-4】（24-25九年级上•河北邢台•期末）如图，在矩形中， ，把绕点B顺时针旋转α（ ）得到，连接 ，过点B作于点E，交矩形的边于点F． (3)若 ，直接写出的值． （3）解： 当点在边时，作，如图所示： ∵ ，∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设， 则 ， ∵ ， 设， 则， ∴ ， ∴， ∴ ； 综上所述：的值为 或 ． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，△ABC 的三个顶点都在边长为1的方格纸的格点上，则cosA 的值是（ ） 期末基础通关练 A．2 B．0.5 C． D． 解：由图可得:AD=4，CD=2，∠ADC=90° 在Rt△ADC中，由勾股定理，得 D D 期末基础通关练 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在△ABC 中，∠C=90° ，D为边BC 上的一点，BD=2CD ，AB=9，sinB= ．则 AD= ． 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 期末基础通关练 3．（24-25九年级上·山东烟台·期末）图1为《天工开物》记载的用于舂 chōng 捣谷物的工具——“碓 duì ”的结构简图，图2为其平面示意图，已知AB⊥CD 于点B ，AB 与水平线 l相交于点 O，OE⊥l ．若 BC=4分米，OB=12 分米，∠BOE=60° ，求点 C到水平线l 的距离CF 的长． 解：延长CD 交l 于点H ，连接OC ， 在 Rt△OBH中 ∴ ∴ ∵ ∴ 答：点 C到水平线l 的距离CF 的长 期末重难突破练 5．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）菱形的周长为20cm ，两个相邻的内角的度数之比为 ，则较长的对角线的长度是（ ） A．20cm B．5 cm C． D．5cm 解：如图所示： ∵菱形的周长为 20cm ， ∴菱形的边长为5cm , , ∴ ∴ ∴ BD=2 B 期末重难突破练 6．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌 ．该校九年级 班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为56°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，AB=8 米，AE=16 米，已知斜坡AB 的坡角为45°; ( 参考数据：， ， ， ；精确到 0.01米) (1)求综合楼的高度DE ；(2)求宣传牌的高度CD ． （1）解：在Rt△DAE 中， ∠DAE=56° ，AE=16 米， ∵tan∠DAE = ， ∴DE= ， 答：综合楼的高度 DE约为24.00米 ； 期末重难突破练 6．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌 ．该校九年级 班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为56°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，AB=8 米，AE=16 米，已知斜坡AB 的坡角为45°; ( 参考数据：， ， ， ；精确到 0.01米) (1)求综合楼的高度DE ；(2)求宣传牌的高度CD ． （2）解：如图，过点B作 BF⊥CE于F， BG⊥EA ，交EA 的延长线于G， F ∟ G ∟ 则四边形BGEF 为矩形，BG=EF，BF=GE ， 由题意得∠BAG=45°，而AB=8米， ∴在Rt△ABG 中 答：宣传牌的高度 CD约为 3.28m． ∵BF⊥CE，∠CBF=45° 期末综合拓展练 7.(24-25 九年级上·江苏无锡·期末)如图，A(-1.1)、B(-1,4)、C(-5.4)，点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC 边且运动一周时，点Q的轨迹长为( ) A. 4 B. 6C. 8 D. 10 解:∵△OPQ是等腰直角三角形， ∴点Q的运动轨迹与点P的运动轨迹形状相同，∵=tan45°=4 ∴点P的轨迹图形与点Q的轨迹图形相似比为:1， ∵ A(-11)，B(-1,4)，C(-5,4)， ∴AB=3，BC =4，AC=5. ∴△ABC周长=3+4+5=12， ∴点Q的轨迹形成的封闭图形周长为12÷=6, B 期末综合拓展练 8.(24-25 九年级上·四川资阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC在x轴上，OA在y轴上且AB∥ OC，线段OA，AB的长分别是方程x²-9x+20=0的两个根(OA<AB)，P、Q分别为OA、OC上两点，OQ=5，将△POQ 翻折，使点O落在边AB上的点D处，则tan∠PQD= . 解:x²-9x+20=0 (x-4)(x-5)=0 得x1=4，x2=5. ∵OA<AB, ∴OA=4，AB=5，连接BQ， ∴DA=AB-DB=5-3=2， 由△POQ 翻折， 使点O落在AB上的点D处，∴.OP=DP,∠PQD=∠PQO ∴.AP=AO-PO=4-PO=4-PD ∵∠PAD=90° ∴AP² + AD²=PD². (4-PD)² +2² =PD² ∴PO=PD= ∴tan ∠PQD=tan∠PQO= ∵AB ∥ OC，OQ=AB=5, ∴四边形AOQB为平行四边形， ∵AOQ=90°， ∴四边形AOQB 为矩形， ∴BQ =OA=4，∠ABQ=90°， ∴DB = =3, 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $