第7章 锐角三角函数（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级下册优选题练习卷

2025-2026学年苏科版数学九年级下册章节复习检测培优卷 第7章 锐角三角函数 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在网格线的交点上，则的值为（   ）    A． B． C．3 D． 【答案】D 【思路引导】连接，格点正方形的边长为1，根据题意，得，，且故，根据正切函数的定义，解答即可．本题考查了正切函数的计算． 【规范解答】解：连接，格点正方形的边长为1，根据题意，得，，且故，    故， 故选：D． 2．（25-26九年级上·浙江金华·月考）通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东，5海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设的长为x，为y，y关于x的函数图象（如图2所示），最低点，且经过．则下列选项正确的是（    ） A．的面积是 B． C．点在该函数图象上 D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了方位角与方向角，勾股定理，函数图象的实际意义，三角形面积计算及垂线段最短．通过分析图象与几何图形的对应关系，逐一验证选项即可． 【规范解答】解：如图，过点B作于点D，，， ∵图2中图形的最低点， ∴，， ∴在中，， ∴，故B错误，不符合题意； ∴，故A错误，不符合题意； ∵图象经过点， ∴，， ∵在中，，， ∴， 即，故D错误，不符合题意； 如图，当时，， ∵在中，， ∴，即点在该函数图象上，故C正确，符合题意， 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，的半径为，直线与相切于点，动点从点出发沿圆周匀速运动一周，共用时12s，当点到直线的距离是时，点运动的时间为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了垂径定理，切线的性质，特殊的三角函数值；如图，设当点运动到两点时，点到直线的距离是，连接，，，设与交于点，可知，，先通过三角函数值可知，得到，进而再对P点进行两种情况分析即可得到结果． 【规范解答】解：如图，设当点运动到两点时，点到直线的距离是，连接，，， 设与交于点，可知，， 则，， 在中，， ∴， ∴， ∵动点从点出发沿圆周匀速运动一周，共用时， ∴的运动速度为， 当点运动到点时，运动了，所以运动时间为， 同理可知， 当点运动到点时，运动了，所以运动时间为， 综上点运动的时间为或． 故选：A． 4．（24-25九年级上·山西太原·月考）如图，矩形中，，E为边上一点，沿将对折，使点D正好落在边上的点F处，等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据折叠的性质以及矩形的性质，易得；在中，有，，由勾股定理易得的长．根据三角函数的定义，易得的值，依据，可得的值． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 根据折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 则， ∴，故B正确． 故选：B． 【考点剖析】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理求出，是解题的关键． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若米，则树高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意可得：，设米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后根据，列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【规范解答】解：由题意得：， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，，， ∴（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， ∴米． 故选：C． 6．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点D的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，坐标与图形，三角函数，由菱形的性质及三角函数得，按的顺序4次一个循环，即可求解；能由旋转的性质、菱形的性质、三角函数求出旋转后对应点的坐标，找出规律是解题的关键． 【规范解答】解：如图， ， ∴，， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 由旋转得：， 同理可求：，，， 按的顺序次一个循环， ， 第2025次旋转结束时，点的坐标为． 故选：C． 7．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴的正半轴上，，点A的坐标为，将绕点O逆时针旋转，使点B的对应点落在边上，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查坐标与图形变化-旋转，轴对称，解直角三角形等知识，解题的关键是判断出A，关于y轴对称． 证明A，关于y轴对称，可得结论． 【规范解答】解：设交y轴于点F， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴A，关于y轴对称， ， 故选：D． 8．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且，则的值等于（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的是相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，三角函数，利用相似三角形的性质得到、之比是解答本题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，根据条件可证明，得到，根据反比例函数的比例系数的几何意义得出，，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求解． 【规范解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 点在反比例函数 的图象上，点在反比例函数 的图象上， ，， ， （负值舍去）， ． 故选：D． 9．（25-26九年级上·山东泰安·期中）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段和相交于点O，则的值为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】A 【思路引导】本题考查了正方形网格的性质，正切函数的概念等知识点．通过构造直角三角形，利用正切函数的定义求解的值． 【规范解答】解：如图，取格点E，连接，，，， 设小正方形的边长为1，则，，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 10．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查含正切的定义，角平分线的性质，全等三角形、相似三角形的判定及性质；延长交于F，则有，则，易证得，得，在中，因为，所以，所以 ，而，所以． 【规范解答】解：如图，延长交延长线于F， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故选：B． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点．若，则的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定与性质，正切的定义，等腰三角形的性质，由题意，设的边长，，，则小正方形的边长，由等腰三角形的性质可得，从而得出，证明，由相似三角形的性质求出，最后由正切的定义即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ∴为直角三角形，， 设的边长，，， ∴小正方形的边长， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知在中，，，，点在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理，解直角三角形，过作轴于点，则，，设，则，由勾股定理得，所以，然后通过勾股定理求，求得，求得，最后代入即可求出的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过作轴于点，则， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，某堤坝的横截面是梯形，已知坝顶，坝高，且，斜坡的坡度，则坝底的长度为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查解直角三角形的应用，准确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作交于点，结合坡度以及特殊角度，分别计算出、、的长度，最终得出的长度． 【规范解答】过点作交于点，如下图： ∵，，， 得四边形为矩形， ∴， ∵，∴， 解得， ∵的坡度为，即， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图所示，在中，，，，则 ． 【答案】13 【思路引导】本题考查了解直角三角形，三角函数的定义及勾股定理，掌握三角函数的定义是解题的关键．注意勾股定理的应用． 利用三角函数的定义可以求得，再利用勾股定理可求得． 【规范解答】解：在中，， ， ，， ， ， ． 故答案为13． 15．（25-26九年级上·河南洛阳·月考）11月18日至24日，河南省消防救援总队在许昌举办“全省消防救援队伍2025年度实战化比武竞赛”．在攀登冲锋梯项目中，消防员需沿冲锋梯攀爬训练塔．已知冲锋梯所在斜坡的坡度为，消防员沿此冲锋梯攀爬的路程为，那么消防员攀爬的垂直上升的高度为 ． 【答案】 5 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用---坡度坡角问题，根据坡角设出直角边的长并利用勾股定理是解题的关键． 根据坡度比，可得垂直高度与水平距离的比值，结合斜边长度，利用勾股定理求解垂直高度． 【规范解答】设垂直高度为 米，水平距离为 米，坡度比为 ，即 ， 所以 ， 斜边长度为 ，由勾股定理得：， 代入已知条件，得， 解得，， 消防员攀爬的垂直上升， 故答案为 ：5． 16．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，，．若，且，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查反比例函数的图像性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握反比例函数值几何意义和解直角三角形是解题的关键． 过点作轴于点，过点作轴于点，易得，利用相似三角形的性质及反比例函数值几何意义进行解答即可． 【规范解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由于反比例函数的图象在第二象限， 则， 故答案为：． 17．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，某公园内有一斜坡，坡度，米，斜坡上有一棵竖直向上的古树，某游人在斜坡起点A处看古树树顶P的仰角为，在斜坡终点B处看古树树顶P的仰角为，则古树的高为 米．    【答案】 【思路引导】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题、仰角俯角问题．如图过点B作交于点D，过于点E，由题意求得，由平行可求得，再根据三角形外角的性质进而求得，由平行线的性质得，进而得，根据等角对等边得，设，在中，利用锐角三角函数求得， ，进而可得，再求解即可． 【规范解答】解：过点B作交于点D，过于点E，如图所示，   斜坡的坡度， ， ， ， ， ， ，竖直向上， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设， 在中，，， 即，， ， ， ， ， 解得，， ， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，矩形沿对角线翻折后，点落在点处．连接交边于点如果，，那么的长等于 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了几何变换中的翻折变换、相似三角形的性质和判定、矩形的性质、勾股定理．熟练掌握翻折变换和矩形的性质,利用相似三角形列比例式是本题的关键． 由折叠的性质可得，由矩形的性质可证明，故可得，再证明，求得，在中由勾股定理可得解． 【规范解答】解：四边形是矩形，是由翻折得到， ，， ，， 四边形是矩形， ，， 又， ， ， ，， 四边形是等腰梯形， ，， ，， ，， ， 又， ， ，即 或舍去， 在中，， ， ， 在中，， 由勾股定理得，， 即， ， 解得：． 故答案为：． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）（1）解方程：     （2） 【答案】 （1），； （2）． 【思路引导】本题考查解一元二次方程，特殊角的三角函数值． （1）用因式分解法解方程即可； （2）将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【规范解答】（1）解：， ∴， ∴，或， ∴，； （2）解： ． 20．（本题6分）（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线． (2)过点作的垂线，交于点，交于点，连接．若，，求和直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【思路引导】（1）连接，根据圆周角定理得，利用直角三角形的性质得到，根据等腰三角形等边对等角得到，结合等量代换得到，即，即可证明结论； （2）根据证明，结合，推出，求出，，即可得到，半径为，由是的垂线，证明，求出，连接，根据圆周角定理得，证明，求出，即可解答． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， 为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 为半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的垂线，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，直径． 【考点剖析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 21．（本题8分）（2026·江苏连云港·模拟预测）成都东西城市轴线东段龙泉山一号隧道横穿龙泉山山脉，设计为双向8车道分离式城市山岭隧道，是四川省内建设难度极大、施工风险极高、工程经验极少的扁平特大断面高瓦斯软弱围岩隧道．为计算隧道长度，通过测量得到如下数据，如图所示，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，且，，求隧道的长度．（结果精确到1m；参考数据：，，，） 【答案】隧道的长度约为． 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，过点作于点，设，由题知，则，所以，即，解得，即，所以，最后通过即可求解，然后通过掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过点作于点， 设，由题知，则， ∴ 又∵， ∴，即， 解得， 即， 在中，， ∴ ， 故隧道的长度约为． 22．（本题8分）（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，学校礼堂的折叠座椅由椅背、座椅组成．图2是一个折叠椅的示意图．已知椅背长，座椅长，和展开后的座椅所成，，是没人坐时座椅的位置，且三点共线，图中点在同一平面内．（参考数据：） (1)求线段的长；（结果保留一位小数） (2)求的值．（结果保留整数） 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，由解直角三角形求出，再由即可求解； （2）由解直角三角形求出，再由，，即可求解． 【规范解答】（1）解：过点作于点，如图： ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴． 23．（本题8分）（25-26九年级上·山东烟台·期中）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有6个元素—三个角，三条边．其中，有一个角为90度，对于其他五个元素，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列两个条件中，不能解直角三角形的是 ． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有6个元素——三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知在中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，在中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是 ． 【答案】（1）③；（2）、、；（3）． 【思路引导】本题主要考查了三角函数的应用、三角形内角和定理以及三角形的边角关系等知识点．解题关键在于对于解直角三角形，要清楚不同条件下能否唯一确定三角形的其他元素．解三角形时，通过作高将三角形转化为直角三角形，利用三角函数建立边与角的关系．确定三角形解的个数时，根据直角三角形的边角关系和图形特点来分析边的取值范围． （1）判断解直角三角形的条件：根据直角三角形的性质和三角函数的定义，分析每个条件能否求出其他未知元素． （2）解三角形：通过作高构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出相关边的长度，再根据三角形内角和定理求出第三个角． （3）确定的取值范围：作高构造直角三角形，求出高的长度，再结合三角形解的个数与边的关系，确定的取值范围． 【规范解答】解：（1）判断解直角三角形的条件： ①已知两条边：根据勾股定理可求出第三边，再利用三角函数可求出两个锐角，所以能解直角三角形． ②已知一条边和一个锐角：利用三角函数可求出其他边，再根据直角三角形两锐角互余可求出另一个锐角，所以能解直角三角形． ③已知两个角：只知道三角形的三个角，没有边的信息，无法确定三角形的大小，所以不能解直角三角形． 故答案为：③． （2） 如图，过点作于点 在中，,设，则，． 在中，,设，则． ∴ 即 ∴，，, 在中，由勾股定理可知 （3） 如图，过点作于点 在中，, ∴ 由勾股定理可知 ∴当时，无法构成三角形，故舍去； 当时，是直角三角形有一解； 当时，以为圆心，为半径画弧与有两个交点，此时有两解． 当时，有一解； 综上所述的取值范围是． 24．（本题8分）（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数）图象上． (1)求，，的值． (2)若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值． (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得，求的值． 【答案】(1) (2)点C的坐标为或， (3) 【思路引导】（1）把代入得到，即．将代入得到．令，则，得到的坐标为，即． （2）设点C的坐标为．根据平行四边形对角线互相平分即两条对角线的中点是同一个点列方程求解即可，注意分情况讨论； （3）过点D作于点H，过点H作x轴的垂线交x轴于点N，交过点A且与x轴平行的直线于点M．则．设，，则，．再证明，得到，代入后解得，即．再把直线表达式为解得，即可求出直线的表达式为，最后根据有且只有一点，使得，得到直线与只有一个交点，联立以后根据求解即可． 【规范解答】（1）解：∵在直线上， ∴，即． 将代入得， ∴． ∴直线即为． 令，则， ∴． 的坐标为． ∴． 综上所述，． （2）解：设点C的坐标为． 若和为对角线， 根据平行四边形对角线互相平分可得：， 解得 ∴， 把代入得：． 若和为对角线，同理可得，． 若和为对角线，此时点C在第一象限，不符合题意． 故点C的坐标为或，． （3）解：如答图，过点D作于点H，过点H作x轴的垂线交x轴于点N，交过点A且与x轴平行的直线于点M． ∴． ∴． 设，，则，． ∴，，，， ∵，， ∴， ∴． ∴． 解得， ． ∵点E与点D关于y轴对称， ∴． ∵， ∴直线表达式为． 将代入得， 整理，得． 解得（不合题意，舍去）． ∴，． 直线的表达式为． ∵有且只有一点，使得， ∴直线与只有一个交点， 联立方程组 消去，整理得． ． 解得． 【考点剖析】本题考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正切，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 25．（本题10分）（25-26九年级上·福建泉州·期末）【问题提出】（1）如图①，在矩形中，M是的中点，连接并延长与的延长线交于点E，连接并延长与的延长线交于点G，连接交于点F′，求证：； 【问题解决】（2）如图②，在矩形中，M是的中点，延长到P，连接并延长与的延长线交于点E，连接、，与交于点F，已知，，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【思路引导】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易证，．再根据相似比结合，即可得证； （2）过点E作，交、分别于点H、G，易得，可得，即可得解． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∴，， ∵， ∴； （2）过点E作，交、分别于点H、G， 在矩形中，，，M是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 26．（本题10分）（25-26九年级上·广东广州·月考）已知，，，，为平面内一点． (1)如图1，若点在外部，，，连接，求证：，，，四个点在同一个圆上； (2)求内切圆半径； (3)若点在边上，过点作，，垂足分别为，，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)内切圆半径为 (3)的最小值为 【思路引导】本题考查了圆的内接四边形判定、直角三角形性质、三角形内切圆及线段最小值，解题的关键是用勾股定理、直角三角形斜边中线、等面积法等初中知识解题． （1）取中点，用直角三角形斜边中线性质证四点共圆； （2）通过作高并设置未知数，先求中的高，再用面积公式结合内切圆半径公式计算即可； （3）利用四点共圆性质寻找与的定量关系，再利用垂线段最短，结合等面积法求最小值． 【规范解答】（1）证明：取的中点，连接、， ∵，， ∴、是直角三角形， ∵是中点， ∴，（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， ∴， ∴、、、四点在以为圆心，为半径的圆上． （2）解：过作于， 设，则 由勾股定理：， 即， 展开得：， 化简：， 解得，即， ∴，， 设内切圆半径为，内切圆与三边切于、、，则，，，且是内切圆到三边的距离， ∵的面积看成是由圆心与三角形三个顶点连线所分割的三个三角形的面积之和组成， ∴， ∴． 即内切圆半径为． （3）解：连接， ∵，， ∴， ∴、、、四点共圆（对角互补的四边形内接于圆）， 设的中点为O，则是直径，作直径，连接， ∴，， ∴， 由（2）知中，，，， ∴， ∴，即， 当时，最小（垂线段最短）， 由（2）知，又， 得：， ∴． 即的最小值为． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版数学九年级下册章节复习检测培优卷 第7章 锐角三角函数 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在网格线的交点上，则的值为（   ）    A． B． C．3 D． 2．（25-26九年级上·浙江金华·月考）通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东，5海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设的长为x，为y，y关于x的函数图象（如图2所示），最低点，且经过．则下列选项正确的是（    ） A．的面积是 B． C．点在该函数图象上 D． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，的半径为，直线与相切于点，动点从点出发沿圆周匀速运动一周，共用时12s，当点到直线的距离是时，点运动的时间为（    ） A．或 B．或 C． D． 4．（24-25九年级上·山西太原·月考）如图，矩形中，，E为边上一点，沿将对折，使点D正好落在边上的点F处，等于（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若米，则树高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点D的坐标为（） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B在x轴的正半轴上，，点A的坐标为，将绕点O逆时针旋转，使点B的对应点落在边上，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且，则的值等于（　　） A．2 B． C． D． 9．（25-26九年级上·山东泰安·期中）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段和相交于点O，则的值为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 10．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B．3 C． D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点．若，则的值是 ． 12．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知在中，，，，点在反比例函数的图象上，则的值为 ． 13．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）如图，某堤坝的横截面是梯形，已知坝顶，坝高，且，斜坡的坡度，则坝底的长度为 ． 14．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图所示，在中，，，，则 ． 15．（25-26九年级上·河南洛阳·月考）11月18日至24日，河南省消防救援总队在许昌举办“全省消防救援队伍2025年度实战化比武竞赛”．在攀登冲锋梯项目中，消防员需沿冲锋梯攀爬训练塔．已知冲锋梯所在斜坡的坡度为，消防员沿此冲锋梯攀爬的路程为，那么消防员攀爬的垂直上升的高度为 ． 16．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接，，．若，且，则 ． 17．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，某公园内有一斜坡，坡度，米，斜坡上有一棵竖直向上的古树，某游人在斜坡起点A处看古树树顶P的仰角为，在斜坡终点B处看古树树顶P的仰角为，则古树的高为 米．    18．（25-26九年级上·上海静安·期末）如图，矩形沿对角线翻折后，点落在点处．连接交边于点如果，，那么的长等于 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·内蒙古包头·月考） （1）解方程：    （2） 20．（本题6分）（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线． (2)过点作的垂线，交于点，交于点，连接．若，，求和直径的长． 21．（本题8分）（2026·江苏连云港·模拟预测）成都东西城市轴线东段龙泉山一号隧道横穿龙泉山山脉，设计为双向8车道分离式城市山岭隧道，是四川省内建设难度极大、施工风险极高、工程经验极少的扁平特大断面高瓦斯软弱围岩隧道．为计算隧道长度，通过测量得到如下数据，如图所示，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，且，，求隧道的长度．（结果精确到1m；参考数据：，，，） 22．（本题8分）（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图1，学校礼堂的折叠座椅由椅背、座椅组成．图2是一个折叠椅的示意图．已知椅背长，座椅长，和展开后的座椅所成，，是没人坐时座椅的位置，且三点共线，图中点在同一平面内．（参考数据：） (1)求线段的长；（结果保留一位小数） (2)求的值．（结果保留整数） 23．（本题8分）（25-26九年级上·山东烟台·期中）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有6个元素—三个角，三条边．其中，有一个角为90度，对于其他五个元素，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列两个条件中，不能解直角三角形的是 ． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有6个元素——三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知在中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，在中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是 ． 24．（本题8分）（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数）图象上． (1)求，，的值． (2)若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值． (3)过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得，求的值． 25．（本题10分）（25-26九年级上·福建泉州·期末）【问题提出】（1）如图①，在矩形中，M是的中点，连接并延长与的延长线交于点E，连接并延长与的延长线交于点G，连接交于点F′，求证：； 【问题解决】（2）如图②，在矩形中，M是的中点，延长到P，连接并延长与的延长线交于点E，连接、，与交于点F，已知，，，求的面积． 26．（本题10分）（25-26九年级上·广东广州·月考）已知，，，，为平面内一点． (1)如图1，若点在外部，，，连接，求证：，，，四个点在同一个圆上； (2)求内切圆半径； (3)若点在边上，过点作，，垂足分别为，，求的最小值． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $