期末提升卷2025-2026学年九年级下学期苏科版数学

2025-2026学年下学期九年级期末数学提升卷 一、单选题（每题3分.共计30分） 1.在R△MBC中，∠C=90,∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c,则下列式子一定 成立的是()· A.a=c.sinB B.a=c.cosB C.a=b.tanB D.b=a tanB 2.为迎接端午节，某餐厅推出四种新款粽子（分别以A,B,C,D表示），请顾客免费试 吃后选出最喜欢的品种.结果反馈如下： CDDAAB ABBBA CC AA B AA C D C D 通过以上数据，你能获得的信息是() A.喜欢C,D两款粽子的人加起来占样本的一半 B.B款粽子比C款粽子更受欢迎 C.喜欢D款粽子的人只占样本的五分之一 D.A款粽子最受欢迎 3.《九章算术》中记载有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米600石（石是古代 的一种计量单位)，验得其中夹有谷子.现从中抽取一把米，数得90粒中夹有谷子12 粒，则这批米内夹有谷子约() A.67石 B.74石 C.80石 D.120石 4.已知按顺序排列的四条线段“&& a=3cm,b=2 cm,c=6cm 是成比例线段，其中 ,则d=() 1cm A. 3cm 4cm 8cm B. C. D 5.一抛物线的形状、开口方向与抛物线y=2相同，顶点为(-2，，则此抛物线的解析 式为() A.y=2-2y+1 B.y=5(x+2)2-1 2 1 C.y=2x+2)y+1 D.y=2x-2y-1 试卷第1页，共3页 6.将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个.已知该商品的售 价每上涨1元，其销售量就减少6个.设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元， 则下列关系式正确的是() A.y=(x+10)(200-6x B.y=(x+40(200-12x C.y=(x-30(200-6x D.y=(x+10(200-12.x 7.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在网 格线的交点上，则tan∠ABC的值为() B V10 3V10 A.10 B.10 C.3 D.3 8.如图，R△ABC,DB=90°，AD平分∠BAC,交BC于点D,DE垂直平分AC,交 AC于点E,则∠C的正切值为() 5 2 A.3 B.2 C.5 D.1 9.已知二次函数'=ar+r+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①c>0,② B<4ac:③a-b+c<0:④+b>m(am+b,(m≠l):⑤3a+c>0,其中正确的为 () 试卷第2页，共3页 A.①② B.③④ C.④⑤ D.③⑤ 5-1 10.己知顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为2，如图正五边形 1BC0E的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知BE=25 则DE的长为 () 5-V5 5+V5 A.5-V5 B.5+V5 C.2 D.2 二、填空题（每题3分.共计18分） 11.把红、黄、蓝、绿四种颜色的球各10个放进同一个袋子里，至少需要取()个球才可 以保证取到两个颜色相同的球，至少需要取()个球才可以保证取到两个颜色不同的球. 2 1/ 2 12.在锐角三角形ABC中，若∠A乙B满足0sA sin B- 2 =0,则∠C=一 13.汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶的时间t(单位：s)的函数解析式是 s=151-612,则汽车刹车后到停下来前进了一m. 14,若二次函数y=)++c的部分图像如图所示，关于x的一元二次方程 方2+s+c=0的一个解=3，则另一个解五一 试卷第3页，共3页 15.转动如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）各一次，两次转得 的数字之和大于7的概率是一 4 A图 B图 A盘B 1 2 3 4 5 盘 2 6 3 5 6 个 8√ 4 6 > 8√ 9 5 6 8√ 9√ 10/ 10 6 8√ 9√/ 11/ ABC AB=18m.BC=24m 16.如图，演出场地的平面图是直角三角形，已知 ,现规划两个 全等的矩形区域作为表演区.工作人员先划出(1)号矩形BEDF,然后在剩余的大三角形 AFD中划出(2)号矩形GHMN,则(1)号矩形的宽ED为一， 试卷第4页，共3页 (2 三、解答题（每题9分.共计72分） 17.(1)计算： 2sin45°+tan30°.cos30°-√2 (2)解方程：(x-3)2=6-2x 18.己知二次函数=r-2x-3 (1)求该二次函数的顶点坐标和对称轴： (2)将该二次函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到新的二次函数图 象，求新图象的解析式。 19.某学校为了解八年级学生数学学习情况，从八年级学生中任意抽取10名学生进行了数 学测试，他们的数学成绩如下表： 数学成 110 120 121 124 126 130 绩（分） 人数 2 3 ()这10名学生数学成绩的众数是分，中位数是分： (2)求这10名学生数学成绩的平均数： (3)若该校八年级有260名学生，以124分及124分以上为优生，请估计该校八年级优生的人 数 20.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段 CB AC AC,CB,若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即AC=AB,则这种 分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫作线段AB的黄金分割点， (I)如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点(AC>BC),求黄金比. B 图1 试卷第5页，共3页 解：设AB=1,AC=x,则CB=1-x. :CB40 AC AB' 请补全以上解题过程： (2)如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC=2,请作出AC的黄金分割点.（要 求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹) 图2 21.如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.25米，在同一时刻旗杆AB的影 长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，测得落在地面上影长为BD=9米，留 在墙上的影长CD=2米，求旗杆AB的高度. 22.当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小 说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20 元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1 元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元. (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本)与销售单价x(元)之间的函数关 系式及自变量的取值范围： (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？ (6)求店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠(0a≤6 元给困难职工，每天扣除捐赠后可 获得最大利润为1960元，求a的值. 23.左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长AB=4米， 宽BC=2米，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部AB离地面的高度为1.3米 试卷第6页，共3页 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转，箱体底部AB形成不同角度的斜坡。 4m /m 0.7m (1)当斜坡AB的坡角为37°时，求车厢最高点C离地面的距离： (2)点A处的转轴与后车轮转轴（点E处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距 为0.7m.货箱对角线AC、BD的交点G是货箱侧面的重心，卸货时如果A、G两点的水 平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故.当斜坡AB的坡角为45°时，根据上述 车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由.（精确到01 sin37°≈0.60cos37°≈0.80tan37°≈0.75√2≈1.4142 米，参考值： 24.如图，抛物线少、3 3 x2+bx+c 与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交 A(-1,0)B(3,0)MN 于点C,点A、B的坐标为 是抛物线对称轴上一段移动的线段， MN=V3 4 图1 图2 (1)如图1，求抛物线的解析式： (2)如图1，点D在直线BC上方的抛物线上运动（不含端点B、C),连接DC、DB,当 △BCD面积最大时，求出DM+BN最小值： (3)如图2，将(1)中的抛物线向右平移，当它恰好经过原点时，设原抛物线与平移后的抛 物线交于点E,连接BE,点P为原抛物线对称轴上一点，若∠PEC=∠BCE-30°时，写出 试卷第7页，共3页 所有符合条件的点P的坐标. 试卷第8页，共3页 2025-2026学年下学期九年级期末数学提升卷. 一、单选题(每题3分.共计30分) 1．在Rt中，，、、的对边分别为a、b、c，则下列式子一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的概念，掌握好三种三角函数的定义是解题关键． 根据锐角三角函数的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵在Rt中，， ∴c为斜边， A、，即，故A不一定成立，不符合题意； B、，即，故B一定成立，不符合题意； C、，即，故C不一定成立，不符合题意； D、，即，故D不一定成立，不符合题意． 故选：B． 2．为迎接端午节，某餐厅推出四种新款粽子（分别以表示），请顾客免费试吃后选出最喜欢的品种．结果反馈如下： 通过以上数据，你能获得的信息是（   ） A．喜欢两款粽子的人加起来占样本的一半 B．款粽子比款粽子更受欢迎 C．喜欢款粽子的人只占样本的五分之一 D．款粽子最受欢迎 【答案】D 【分析】本题考查根据调查结果，下结论，通过统计各款粽子的频数，比较后得出正确结论即可． 【详解】解：由调查结果可知：喜欢款粽子的有8人；喜欢款粽子的有5人；喜欢款粽子的有5人；喜欢款粽子的有4人； 故总人数为， 喜欢两款粽子的人为9人，不到样本的一半；故A错误； 款粽子和款粽子一样受欢迎；故B错误； 喜欢款粽子的人占样本的，不到五分之一；故C错误； 款粽子最受欢迎；故D正确； 故选D． 3．《九章算术》中记载有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米600石（石是古代的一种计量单位），验得其中夹有谷子．现从中抽取一把米，数得90粒中夹有谷子12粒，则这批米内夹有谷子约（    ） A．67石 B．74石 C．80石 D．120石 【答案】C 【分析】本题考查的是通过样本去估计总体．根据总体频率约等于样本频率列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：（石）， 即这批米内夹有谷子约80石， 故选：C． 4．已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了成比例线段，理解成比例线段的定义和性质是解题关键．根据题意可得，然后代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，线段，，，是成比例线段，且，，， 则有，即， 解得． 故选：C． 5．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，求二次函数的解析式； 由于抛物线的形状和开口方向相同，二次项系数相同；根据顶点坐标，直接写出顶点式． 【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与相同， ∴． ∵顶点为， ∴抛物线的解析式为． 故选：C． 6．将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用． 根据利润每个利润销售量列出关系式即可． 【详解】解：售价上涨元后，每个利润为元， 销售量减少个，即为个， ∴利润． 故选：A． 7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在网格线的交点上，则的值为（   ）    A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，格点正方形的边长为1，根据题意，得，，且故，根据正切函数的定义，解答即可．本题考查了正切函数的计算． 【详解】解：连接，格点正方形的边长为1，根据题意，得，，且故，    故， 故选：D． 8．如图，，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，则的正切值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据垂直平分线的性质得到，则有，根据角平分线的定义得到，设，利用三角形内角和定理列出方程，求出的值，再利用特殊角的三角函数值即可求出的正切值． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， 在中，， 解得， ∴， ∴． 故选：A． 9．已知二次函数（）的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④（）；⑤，其中正确的为（   ） A．①② B．③④ C．④⑤ D．③⑤ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数关系，由二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断①；由二次函数图象与x轴交于不同两点，即可判断②；根据图象，当时，得，当时，，即可判断③；根据函数的最值即可判断④；由抛物线的对称轴为直线：，可得，结合，即可判断⑤． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴， ∵对称轴在轴的右侧，a与b异号， ∴， ∵与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数图象与x轴交于不同两点，则． ∴，故②错误； ∵当时，．即．故③正确； ∵时函数有最大值， ∴当时的y值大于当时的y值， 即 ∴成立，故④正确． ∵抛物线的对称轴为直线：， ∴， ∵， ∴，故⑤错误． 综上：③④正确． 故选：B． 10．已知顶角为的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握正五边形的性质得出为黄金三角形是解题的关键． 先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果． 【详解】解：如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， 设 ， 黄金三角形的底与腰之比为， 在中，， 即， 解得， 即 ， 五边形是正五边形， ，正五边形内角和， ， ， ， 则 ， ， 则， 为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即， ， 故选：A． 二、填空题(每题3分.共计18分) 11．把红、黄、蓝、绿四种颜色的球各10个放进同一个袋子里，至少需要取( )个球才可以保证取到两个颜色相同的球，至少需要取( )个球才可以保证取到两个颜色不同的球． 【答案】 5 11 【分析】本题考查了抽屉原理的应用，抽屉原理：把多于个的物体放到个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件． 最不利的情况是，前4次取球，每次取的球颜色都不同，即分别取到红、黄、蓝、绿四种颜色各1个，此时再取1个球，无论这个球是什么颜色，都会和之前取到的4个球中的某一个颜色相同，即个；最不利的情况是，先把某一种颜色的球全部取完，因为每种颜色有10个球，所以假设先把红色的10个球全部取出来了(也可以是黄、蓝、绿任意一种颜色)，此时再取1个球，这个球的颜色必然是黄、蓝、绿中的一种，就会出现两个颜色不同的球，即个，即可解得． 【详解】解：红、黄、蓝、绿四种颜色， 要保证取到两个颜色相同的球，则只需取个球； 要保证取到两个颜色不同的球，则只需取个球； 故答案为：5,11． 12．在锐角三角形中，若、满足，则 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，根据非负数的性质，绝对值和平方项均为零，解得和的值，结合锐角三角形条件确定和，再利用三角形内角和定理求． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴． 故答案为：． 13．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据题意可知汽车刹车后行驶的距离s关于时间t的函数是二次函数，二次函数的最大值对应汽车停下来时的前进距离，据此求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当，即时，s有最大值，最大值为， ∴汽车刹车后到停下来前进了， 故答案为：． 14．若二次函数的部分图像如图所示，关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二次函数的图像确定相应方程的根，二次函数图像上点的纵坐标相等时，横坐标关于对称轴对称是解题关键． 根据二次函数图像上点的纵坐标相等时，横坐标关于对称轴对称，可得答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解， ∵与关于对称， ， 即， ∴ 故答案为：． 15．转动如图所示的两个转盘（每个转盘被分成五个面积相等的扇形）各一次，两次转得的数字之和大于7的概率是 ． 【答案】 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与数字之和大于7的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：列表得：       A盘B盘 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8√ 4 5 6 7 8√ 9√ 5 6 7 8√ 9√ 10√ 6 7 8√ 9√ 10√ 11√ ∵共有25种等可能的结果，数字之和大于7的有10种情况， ∴小明获胜的概率是：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 16．如图，演出场地的平面图是直角三角形，已知，现规划两个全等的矩形区域作为表演区．工作人员先划出（1）号矩形，然后在剩余的大三角形AFD中划出（2）号矩形，则（1）号矩形的宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 先求出，设，得到，推导出，得到，，继而证明，得到，，推导出得到，则，即可解答． 【详解】解：已知在中，，由勾股定理得： ， 设， ∵矩形与矩形全等， ∴． ∵， ∴， ∴． 代入得 ， 解得， ∵， ∴，即． ∵矩形对边平行且相等，，且，得， ∴， 因此． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ∴． 代入，得： ， 解得， ∴． 三、解答题(每题9分.共计72分) 17．（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查特殊三角函数值、二次根式的运算及一元二次方程的解法，熟练掌握特殊三角函数值、二次根式的运算及一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据特殊三角函数值、二次根式的运算可进行求解； （2）根据因式分解法可进行求解． 【详解】解：（1）原式； （2） 或 ∴，． 18．已知二次函数． (1)求该二次函数的顶点坐标和对称轴； (2)将该二次函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到新的二次函数图象，求新图象的解析式． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质以及函数平移的性质，掌握好一般式化顶点式的步骤和顶点式的平移规律是解题关键． （1）将一般式化成顶点式，根据顶点式得出顶点坐标和对称轴； （2）根据函数平移的规律，得出新函数的解析式． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知，新函数的解析式为． 19．某学校为了解八年级学生数学学习情况，从八年级学生中任意抽取名学生进行了数学测试，他们的数学成绩如下表： 数学成绩(分) 人数 (1)这名学生数学成绩的众数是 分，中位数是 分； (2)求这名学生数学成绩的平均数； (3)若该校八年级有名学生，以分及分以上为优生，请估计该校八年级优生的人数． 【答案】(1)， (2)这名学生数学成绩的平均数是分 (3)该校八年级优生的人数大约为人 【分析】本题考查了加权平均数、众数以及中位数，用样本估计总体的知识； （1）根据众数和中位数的定义，结合表格数据，即可求解； （2）先根据表格提示的数据得出名学生总分，然后除以即可求出平均数； （3）由优秀的百分比乘以即可得到结果； 【详解】（1）解：这10名学生数学成绩的众数是124分，中位数是（分） （2）（分）， 答：这10名学生数学成绩的平均数是123分． （3）(人) 答：该校八年级优生的人数大约为156人． 20．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段，，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫作线段的黄金分割点． (1)如图1，已知点C为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ∵， ∴…… 请补全以上解题过程； (2)如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点．（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）代入数据，再解一元二次方程即可； （2）以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点 【详解】（1）解：设，，则． ∵， ∴， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解。 ∵线段的长度不能为负数， ∴， ∴， ∴黄金比为． （2）如图，点P即为的黄金分割点． 21．如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质．熟练掌握相似三角形的性质与矩形的性质是解题的关键． 过点作于点，则四边形是矩形，将旗杆高度拆分为两部分，先利用物高与影长的比例关系求出旗杆上半部分高度，再加上墙上影长对应的高度，得到旗杆总高度． 【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形， 米，米， ， 解得米， 旗杆高度米． 22．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值． 【答案】(1) (2)当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元 (3)2 【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键． （1）根据题意列函数关系式即可； （2）设可获得利润为元．根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可； （3）设每天扣除捐赠后可获得利润为W元．列出函数关系式，再根据二次函数的性质可得当时，W取得最大值，然后根据每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元，每本进价为20元， ∴ 根据题意得：； （2）解：设可获得利润为元． ， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为2250， 答：当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元； （3）解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W元． ∴该函数图象的对称轴为， ∵， ∴， ∵， ∴当时，W取得最大值， ∴， ∴（不合题意舍去）， ∴． 23．左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米． 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡． (1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离； (2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，） 【答案】(1)米 (2)不会，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的重心，旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）要求车厢最高点C离地面的距离，所以过点C作，垂足为H，再过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，这样构造一个矩形，两个直角三角形和，然后进行计算即可； （2）要求A、G两点的水平距离，所以过点G作，垂足为O，再过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，这样构造一个矩形，四个直角三角形，分别为，，，，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为H，过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：车厢最高点C离地面的距离是米； （2）解：不会发生安全事故， 理由是：过点G作，垂足为O，过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴不会发生安全事故． 24．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点A、B的坐标为，，是抛物线对称轴上一段移动的线段，． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图1，点D在直线上方的抛物线上运动（不含端点B、C），连接、，当面积最大时，求出最小值； (3)如图2，将（1）中的抛物线向右平移，当它恰好经过原点时，设原抛物线与平移后的抛物线交于点E，连接，点P为原抛物线对称轴上一点，若时，写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P为或，证明见详解 【分析】（1）根据已知条件利用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）设点D为，过点D作关于y轴的平行线，交于点E，先求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设，得出的表达式，利用三角形面积公式求出的表达式，此时当时，的面积有最大值，进而求得点D的坐标，连接，作关于的平行线，使得，且，，且，再作点B关于抛物线对称轴的对称点A，连接，与抛物线对称轴交点为，此时A，，三点共线，根据已知条件得出点的坐标，进而求得的最小值； （3）先求出平移后的抛物线解析式，再求得两个抛物线的交点E的坐标，证明为含有的直角三角形，过点C作轴，得到，根据已知条件进行分类讨论：①过点E作，交抛物线对称轴于点，利用平行线的性质求出点 的坐标；②在直线上截取一点Q，使得，连接，再过点Q作，且，交于点F，此时与抛物线对称轴的交点为，利用菱形的性质，求出点Q，F的坐标，进而得出相关线段的长度，再利用待定系数法求出直线的解析式，随即求得点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线交A，B两点，，， 将A，B两点代入后得，，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设点D为， 如图，过点D作关于y轴的平行线，交于点E， ∵点C是抛物线与y轴交点， ∴点C为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点E在直线上， ∴设， ∴， ∴， 当时，的面积有最大值为， ∴点D坐标为， 连接，作关于的平行线，使得，且，，且，再作点B关于抛物线对称轴的对称点A，连接，与抛物线对称轴交点为， 此时A，，三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴点坐标为， ∴， 即的最小值为． （3）解：∵原抛物线向右平移后，新抛物线经过原点，且向右平移1个单位， ∴新抛物线的解析式为， 又∵点E为两个抛物线交点， ∴联立两个抛物线解析式得，，解得， ∴点E为， ∵，， ∴在中，，， ∴， 过点C作轴， ∴， 要使， 分以下情况讨论： ①如图，过点E作，交抛物线对称轴于点， 原抛物线对称轴为， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点为， ②如图，在直线上截取一点Q，使得，连接，再过点Q作，且，交于点F，此时与抛物线对称轴的交点为， ∴四边形为菱形， 设点Q坐标为， ∴，， ∴，解得， ∴点Q为，故，则， 设点F坐标为， ∴，即点F为， 设直线解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点为， 综上所述，点P坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质及二次函数与几何的综合应用． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $