数列单元练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列单元练习 班级 学号 姓名 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.数列1，－，，－，，…的通项公式可能是（　　） A.an＝（－1）n－1 B.an＝（－1）n C.an＝（－1）n－1 D.an＝（－1）n 2．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．7 3．在正项等比数列{an}中，若a3a5＝64，a5＋2a6＝8，则a2＝(　　) A．16 B．32 C．48 D．64 4．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10＝(　　) A．18 B．24 C．60 D．90 5.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝（　　） A.120 B.85 C.－85 D.－120 6.数列{an}中，an＝3n－7（n∈N*），数列{bn}满足b1＝，bn－1＝27bn（n≥2且n∈N*），若an＋logkbn为常数，则满足条件的k值（　　） A.唯一存在，且为 B.唯一存在，且为3 C.存在且不唯一 D.不一定存在 7. 已知数列的前n项和为，且，则（       ） A．119 B． C． D． 8. 已知是等差数列的前项和，其中，数列满足，且，则数列的通项公式为（       ） A． B． C． D． 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列四个命题是真命题的是(　　) A．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 B．若{an}为等差数列，常数c>0且c≠1，则数列{can}为等比数列 C．若{an}为等比数列，则数列{a}为等比数列 D．非零常数列既是等差数列，又是等比数列 10.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－13，S3＝－33，则下列结论正确的是（　　） A.an＝2n－15 B.{an}是先递减后递增的数列 C.a12是a8和a48的等比中项 D.Sn的最小值为－49 11．已知数列{an}满足a1＝，an＝a＋an－1(n≥2，n∈N*)．记数列{a}的前n项和为An，数列的前n项和为Bn，则下列结论正确的是(　　) A．An＝an＋1－ B．Bn＝－ C.＝an D.< 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在题中的横线上） 12．已知数列{an}满足an＋1an＝an－1，a1＝2，则a2025＝________． 13．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且＝，则＝________． 14. 设数列的前n项和为，已知，则_________. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知正项数列的前项和为，. （1）求、； （2）求证：数列是等差数列. 16．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)该数列前多少项的和Sn最大？最大和是多少？ (2)求数列{|an|}的前n项和Tn． 17．某地区火山喷发，弥漫在该地区上空多日的火山灰严重影响该地区的机场正常运营．由于风向，火山灰主要飘落在该火山口的东北方向与东南方向之间的地区．假设火山喷发停止后，需要了解火山灰的飘散程度，为了测量的需要，现将距离火山喷口中心50米内的扇形面记为第1区，50米至100米的扇环面记为第2区，…，50(n－1)米至50n米的扇环面记为第n区．若测得第1区的火山灰每平方米的平均质量为1吨，第2区每平方米的平均质量较第1区减少了2%，第3区较第2区又减少了2%，依此类推，问： (1)离火山口1225米处的火山灰每平方米的平均质量大约为多少千克？(结果精确到1千克) (2)第几区的火山灰总质量最大？ 提示：当n较大时，可用(1－x)n≈1－nx进行近似计算． 18.已知数列， 设，数列. （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前n项和Sn； 19. 设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列. 已知，，，. （1）求和的通项公式； （2）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列单元练习 班级 学号 姓名 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.数列1，－，，－，，…的通项公式可能是（　　） A.an＝（－1）n－1 B.an＝（－1）n C.an＝（－1）n－1 D.an＝（－1）n 【答案】C 【详解】将数列1，－，，－，，…变为，－，，－，，…，从而可知分母的规律为2n，分子的规律为n＋1，奇数项为正，偶数项为负，可知其通项公式可能为an＝（－1）n－1. 2．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【详解】∵S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16， ∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，∴d＝3. 3．在正项等比数列{an}中，若a3a5＝64，a5＋2a6＝8，则a2＝(　　) A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】B 【详解】根据等比中项，得a3a5＝64＝a，又{an}是正项数列，故a4＝8(负值舍去)，设等比数列{an}的公比为q，由a5＋2a6＝8，即a4q＋2a4q2＝8， 解得q＝(正项等比数列的公比不可能是负数，负值舍去)， 故a2＝＝32.故选B. 4．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10＝(　　) A．18 B．24 C．60 D．90 【答案】C 【详解】设等差数列{an}的公差为d.∵a4是a3与a7的等比中项， ∴a＝a3a7，得(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，∵d≠0，∴2a1＋3d＝0　①. 又S8＝8a1＋d＝32，则2a1＋7d＝8　②.由①②，得d＝2，a1＝－3， ∴S10＝10a1＋d＝60.故选C. 5.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝（　　） A.120 B.85 C.－85 D.－120 【答案】C 【详解】解法一：设等比数列{an}的公比为q，若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，与题意不符，所以q≠1； 由S4＝－5，S6＝21S2可得，＝－5，＝21×　①，由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4， 所以S8＝＝×（1＋q4）＝－5×（1＋16）＝－85.故选C. 解法二：设等比数列{an}的公比为q，因为S4＝－5，S6＝21S2， 所以q≠－1，否则S4＝0，从而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列， 所以（－5－S2）2＝S2（21S2＋5），解得S2＝－1或S2＝. 当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即为－1，－4，－16，S8＋21， 易知S8＋21＝－64，即S8＝－85； 当S2＝时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝（a1＋a2）（1＋q2）＝（1＋q2）S2>0， 与S4＝－5矛盾，舍去.故选C. 6.数列{an}中，an＝3n－7（n∈N*），数列{bn}满足b1＝，bn－1＝27bn（n≥2且n∈N*），若an＋logkbn为常数，则满足条件的k值（　　） A.唯一存在，且为 B.唯一存在，且为3 C.存在且不唯一 D.不一定存在 【答案】B 【详解】依题意，bn＝b1·＝·＝， ∴an＋logkbn＝3n－7＋logk＝3n－7＋（3n－2）logk ＝n－7－2logk. ∵an＋logkbn是常数，∴3＋3logk＝0，即logk3＝1，∴k＝3. 7. 已知数列的前n项和为，且，则（       ） A．119 B． C． D． 【答案】B 【详解】由余弦函数的性质知 ，， 又， 所以 ． 故选：B． 8. 已知是等差数列的前项和，其中，数列满足，且，则数列的通项公式为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， 所以， 因为， 所以， 所以，，，……，， 所以， 因为， 所以， 故选：B 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列四个命题是真命题的是(　　) A．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 B．若{an}为等差数列，常数c>0且c≠1，则数列{can}为等比数列 C．若{an}为等比数列，则数列{a}为等比数列 D．非零常数列既是等差数列，又是等比数列 【答案】BCD 【详解】对于A，当a，b，c都为零时，命题不成立；选项B，C，D均为真命题． 故选BCD. 10.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－13，S3＝－33，则下列结论正确的是（　　） A.an＝2n－15 B.{an}是先递减后递增的数列 C.a12是a8和a48的等比中项 D.Sn的最小值为－49 【答案】ACD 【详解】由题意，得S3＝3a1＋3d＝－33，因为a1＝－13，所以d＝2. 所以{an}的通项公式为an＝－13＋2（n－1）＝2n－15，A正确； 由于d＝2>0，所以{an}为递增数列，B错误； 通过计算可得，a8＝1，a12＝9，a48＝81，其中a＝a8a48，C正确； 因为{an}为递增数列，且a7＝－1<0，a8＝1>0，故Sn在n＝7时取得最小值， S7＝7a4＝－49，D正确. 故选ACD. 11．已知数列{an}满足a1＝，an＝a＋an－1(n≥2，n∈N*)．记数列{a}的前n项和为An，数列的前n项和为Bn，则下列结论正确的是(　　) A．An＝an＋1－ B．Bn＝－ C.＝an D.< 【答案】ABD 【详解】由an＝a＋an－1，得a＝an－an－1≥0， 所以an≥an－1≥，An＝a＋a＋…＋a＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an＋1－an) ＝an＋1－a1＝an＋1－，故A正确； 由an＝a＋an－1＝an－1(an－1＋1)，得＝＝－，即＝－， 所以Bn＝＋＋…＋＝＋＋…＋ ＝－＝－，故B正确； 易知An≠0，Bn≠0，所以＝＝an＋1，故C不正确； 易知an＝a＋an－1＜2a， 所以an＋1＜2a＜23a＜…＜22n－1·a＝22n－1×2n＝×32n， 所以＝an＋1＜××32n＝，故D正确． 故选ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在题中的横线上） 12．已知数列{an}满足an＋1an＝an－1，a1＝2，则a2025＝________． 【答案】－1 【详解】解法一：由an＋1an＝an－1，得a2a1＝a1－1，又a1＝2， 所以a2＝，由a3a2＝a2－1，得a3＝－1，由a4a3＝a3－1，得a4＝2， 所以数列{an}的周期为3，所以a2025＝a3×674＋3＝a3＝－1. 解法二：由已知得，an＋1＝＝1－，所以an＋2＝1－＝1－＝－，an＋3＝1－＝1－＝an， 所以数列{an}的周期为3，由a2a1＝a1－1，a1＝2，得a2＝， 由a3a2＝a2－1，得a3＝－1， 所以a2025＝a3×674＋3＝a3＝－1. 13．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且＝，则＝________． 【答案】2 【详解】＝＝＝，所以＝2. 14. 设数列的前n项和为，已知，则_________. 【答案】960 【详解】由， 当n为奇数时，有；当n为偶数时，， ∴数列的偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列， 则 ， 故答案为：960. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知正项数列的前项和为，. （1）求、； （2）求证：数列是等差数列. 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【详解】（1）由已知条件得：.∴. 又有，即. 解得（舍）或. （2）由得 时：， ∴， 即， ∴， ∴， ∴即， 经过验证也成立， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列. 16．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)该数列前多少项的和Sn最大？最大和是多少？ (2)求数列{|an|}的前n项和Tn． 【答案】（1）17，442；（2）. 【详解】(1)设数列{an}的公差为d， 由得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53.令an>0，得n<， ∴当n≤17，n∈N*时，an>0； 当n≥18，n∈N*时，an<0， ∴数列{an}前17项的和最大． (Sn)max＝S17＝17×50＋×(－3)＝442. (2)当n≤17，n∈N*时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝－n2＋n. ∴当n≤17，n∈N*时，{|an|}的前n项和为－n2＋n. 当n≥18，n∈N*时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)＝n2－n＋884， ∴当n≥18，n∈N*时，{|an|}的前n项和为n2－n＋884. ∴ 17．某地区火山喷发，弥漫在该地区上空多日的火山灰严重影响该地区的机场正常运营．由于风向，火山灰主要飘落在该火山口的东北方向与东南方向之间的地区．假设火山喷发停止后，需要了解火山灰的飘散程度，为了测量的需要，现将距离火山喷口中心50米内的扇形面记为第1区，50米至100米的扇环面记为第2区，…，50(n－1)米至50n米的扇环面记为第n区．若测得第1区的火山灰每平方米的平均质量为1吨，第2区每平方米的平均质量较第1区减少了2%，第3区较第2区又减少了2%，依此类推，问： (1)离火山口1225米处的火山灰每平方米的平均质量大约为多少千克？(结果精确到1千克) (2)第几区的火山灰总质量最大？ 提示：当n较大时，可用(1－x)n≈1－nx进行近似计算． 【答案】（1）520；（2）50. 【详解】(1)设第n区的火山灰每平方米的平均质量为an千克， 依题意，数列{an}为等比数列，且a1＝1000(千克)， 公比q＝1－2%＝0.98， ∴an＝a1qn－1＝1000×0.98n－1. ∵离火山口1225米处的位置在第25区， ∴a25＝1000×(1－0.02)24≈1000×(1－24×0.02)＝520， 即离火山口1225米处的火山灰每平方米的平均质量大约为520千克． (2)设第n区的火山灰总质量为bn千克，且该区的火山灰总质量最大． 依题意，第n区的面积为π{(50n)2－[50(n－1)]2}＝625π(2n－1)， ∴bn＝625π(2n－1)×an＝625000π(2n－1)×0.98n－1. 依题意得 解得49.5≤n≤50.5. ∵n∈N*， ∴n＝50，即第50区的火山灰总质量最大． 18.已知数列， 设，数列. （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前n项和Sn； 【答案】（1）证明见详解；（2）. 【详解】（1）由题意知， ∴数列的等差数列 （2）由（1）知， 于是 两式相减得 所以. 19. 设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列. 已知，，，. （1）求和的通项公式； （2）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见详解. 【详解】（1）设等比数列的公比为q.由可得. 因为，可得，故. 设等差数列的公差为d，由，可得由， 可得 从而 故 所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为 （2）（i）由（1），有，故 . （ii）证明：因为 ， 所以，. 学科网（北京）股份有限公司 $