专题03 一元一次方程（期末复习知识清单 4知识&14题型&4易错）七年级数学上学期新教材人教版

该初中数学一元一次方程专题知识清单系统梳理了方程概念、等式性质、解法及实际应用，涵盖4大知识模块和14类典型题型，搭建了从概念理解到解法掌握再到实际应用的递进式学习支架。 清单以“知识清单+题型分类+易错突破”三维架构呈现，将“实际应用中的配套问题、行程问题”等标注为重点题型，通过变式训练培养学生的运算能力和模型意识。设计“解题步骤口诀”和“易混点对比表”，如解方程步骤归纳为“去分去括移合化”，助力学生高效掌握，也为教师提供精准教学资源。

专题03 一元一次方程（11知识&11题型&5易错&3方法清单） 【清单01】方程有关概念 (1)先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这 样的等式叫作方程 (2) 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解,求方程的解的过程，叫 作解方程. (3) 一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程 【清单02】等式的性质 等式的性质1： 如果等式的两边同时_加上(减去)___同一个_数(式子)________,结果仍相等。 如果，那么. 等式的性质2： 如果等式的两边同时乘以同一个__数_____,或除以同一个__不为0的数_______,结果相等。 如果，那么； 如果，那么 【清单03】解一元一次方程 步骤：(1)去分母 (2)去括号 (3)移项：把等式一边的某项变号后移到另一边 (4)合并同类项 (5)系数化为1 【清单04】用一元一次方程解决实际问题 (1)设未知数 (2)列方程 (3)解方程 (4)检验所得结果 (5)确定答案 【题型一】(一元一次)方程的概念 【例1】（22-23七年级上·辽宁·期末）①②③④⑤⑥⑦中，是方程的是 ，是一元一次方程的是 (将序号写到横线上)． 【答案】 ①②③④⑦ ③⑦ 【知识点】判断是否是一元一次方程、判断各式是否是方程 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程进行判断即可． 【详解】解：①是方程，含有两个未知数，不是一元一次方程； ②是方程，但不是一元一次方程， ③，是一元一次方程， ④，是方程，但不是一元一次方程 ⑤，不含未知数，不是方程， ⑥，不是等式，不是方程， ⑦，是一元一次方程， 综上所述，是方程的是①②③④⑦，是一元一次方程的是③⑦ 故答案为：①②③④⑦；③⑦． 【变式1-1】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）已知是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，本题属于基础题型．根据一元一次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：由原方程，得， 解得或， ， ， 解得． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25七年级上·重庆·期末）若方程是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】3 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，方程中只能含有一个未知数，且未知数的最高次数为1．因此，二次项系数必须为零，进而判断是否成立即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴，解得 故答案为：3． 【题型二】方程的解 【例2】(1)（22-23七年级上·广东汕头·期末）下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，解决本题的关键是知道方程的解就是能使方程的左右两边相等的未知数的值． 根据一元一次方程的解的概念解答即可． 【详解】解：A、将代入原方程，，左边右边，符合题意； B、将代入原方程，，左边右边，不符合题意； C、将代入原方程，，左边右边，不符合题意； D、将代入原方程，，左边右边，不符合题意． 故选A． (2) （24-25七年级上·浙江宁波·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．先把方程的解代入方程得：，再把所求代数式的前两项提取公因式2，然后把整体代入求值即可． 【详解】解：把代入方程得：， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25七年级下·湖南张家界·期末）若关于x的方程的解是，则a的值为 ； 【答案】7 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了方程的解的定义，根据方程解的定义，将代入方程得到一个关于a的方程，即可求解． 【详解】解：将代入方程， 得，即， 解得． 故答案为：7． 【变式2-2】（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知关于x的方程的解是，则k的值是 ． 【答案】4 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了方程的解的定义，解题的关键是将方程的解代入原方程建立关于的方程． 根据方程的解的定义，把代入方程，得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：把代入方程， 得， 即． 故答案为4． 【变式2-3】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为________ 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了已知方程的解，求参数，解题关键是掌握方程的解并能运用求解． 根据方程的解的意义求解即可． 【详解】解：原方程可变形为： 令， 则方程化为 关于的一元一次方程的解为， ∴ 对于方程，与方程形式相同， ∴方程的解为. 【题型三】等式的性质 【例3】（25-26七年级上·全国·期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质，是解题的关键．根据等式的性质，等式两边同时加上、减去、乘以或除以同一个数（除数不为零），等式仍然成立，逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：A．∵，等式两边同时除以，得，∴变形错误； B．∵，等式两边同时乘以2，得，∴变形错误； C．∵ ，等式两边同时减去x，得，而不成立，∴ 变形错误； D．∵，等式两边同时减去3，得，∴变形正确． 故选：D． 【变式3-1】（24-25七年级上·云南红河·期末）若等式成立，则下列等式变形不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的基本性质，等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式. 根据等式的性质逐项分析即可. 【详解】解：A. 若等式成立，则 ，故不符合题意；    B. 若等式成立，则 ，故不符合题意；       C. 若等式成立，则 ，故不符合题意；      D. 若等式成立，当时，则不一定成立，故符合题意；   故选D 【变式3-2】（23-24七年级上·广西梧州·期末）若，下列等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是是掌握等式的基本性质． 根据等式的基本性质逐项进行判断即可，注意等式两边同时除以同一个不为零的数，等式仍然成立． 【详解】解：A.根据等式的基本性质，等式两边应该同加或同减去一个整式，等式仍成立，故该选项错误，不符合题意； B. 根据等式的基本性质，等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍成立，没有说明，所以该选项错误，不符合题意； C. 根据等式的基本性质，等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍成立，没有说明，所以该选项错误，不符合题意； D.该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）下列解方程的过程中，变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【知识点】等式的性质2 【分析】本题考查等式的性质． 根据等式的性质来判断方程变形是否正确，关键在于移项、去分母和系数处理的变化是否合理． 【详解】选项A： 由 移项应得 ，但选项为 ，故变形错误，不符合题意； 选项B： 原方程右边为 ，选项中变形后的方程右边为 ，由于两边不相等，故变形错误，不符合题意； 选项C： 由 得 ，但选项为 ，故变形错误，不符合题意； 选项D： 由 两边乘6得 ，故变形正确，符合题意； 故选：D． 【题型四】解方程 【例4】（25-26七年级上·全国·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 经过去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案． 【详解】解：(1)， ∴， ∴， 解得：； (2)去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． (3) ， 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 两边同除以3，得． (4) ， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1，得． (5) 解： . (6) 解：， 分子分母同时扩大十倍得：， 去分母得： 去括号得：， 移项得： 合并同类项得： 系数化为得：． 【变式4-1】（24-25七年级上·内蒙古兴安盟·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）按照合并同类项，系数化为一的步骤求解即可． （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为一的步骤求解即可． （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一的步骤求解即可． （4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 合并同类项得： 系数化为一得：． （2）解： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为一得：． （3）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为一得：． （4）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为一得：． 【变式4-2】(1)（25-26七年级上·吉林松原·期中）当 时，式子与的值相等． 【答案】5 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．通过解方程来求x的值． 【详解】由题意得． 两边同时乘以6消去分母，得． 展开得． 移项得，即． 故答案为：5． (2)（23-24七年级上·福建龙岩·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】相反数的应用、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查相反数，解一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 由互为相反数的两数之和为零，建立方程并求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 去分母，方程两边同乘3，得， 合并同类项，得， 移项，得， 系数化为1，得． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，求方程正确解． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数，解一元一次方程，将错就错，求出的值，再根据正确的步骤解方程即可． 【详解】解：小明的做法是：， ， ， ， ， ， 小明得到方程的解为， ， ， ∴方程为， ， ， ， ， ， ∴方程的正确解为， 故答案为：． 【题型五】一元一次方程的实际应用----配套问题 【例5】（24-25六年级下·山东泰安·期末）某茶具生产车间共有25名工人，每人每天可生产3个茶壶或者7只茶杯，一个茶壶与6只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有（   ）名工人生产茶壶． A．7 B．10 C．18 D．23 【答案】A 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，等量关系式：每天生产茶壶的数量每天生产茶杯的数量，列方程，即可求解． 【详解】解：设需要有名工人生产茶壶，由题意得 ， 解得：， 故选：A． 【变式5-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远．某工作室制作的粽子礼盒每份由3个蛋黄肉粽和2个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设用千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，根据礼盒配套要求，蛋黄肉粽和碱水粽的数量比应为，从而列出方程，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设用千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，蛋黄肉粽的数量为个，碱水粽的数量为个， 由于每份礼盒由3个蛋黄肉粽和2个碱水粽组成， 因此蛋黄肉粽与碱水粽的数量比需满足， 故得方程， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）张老师准备购买A、B两种品牌钢笔，用于对表现优秀的学生进行奖励．已知A品牌钢笔每支10元，B品牌钢笔每支6元．经预算，张老师购买两种钢笔共需花费588元，且A品牌钢笔的数量比B品牌钢笔的数量少2支． (1)求预算中两种品牌钢笔的数量分别是多少？ (2)张老师付款时，被告知文具店正推出“满送”活动：每消费100元送1张兑换券，凭此券可兑换1支A品牌或2支B品牌钢笔．张老师将所得兑换券全部兑换后，恰好使两种品牌钢笔的总数量相同．请求出用于兑换两种品牌钢笔的兑换券各是多少张？ 【答案】(1)A品牌36只，B品牌38只 (2)A品牌4张，B品牌1张 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的求解以及应用，解题的关键点在于先根据价格和总花费的关系求出两种钢笔原本的数量，再根据“满送”活动和最终两种钢笔数量相同的条件来确定兑换券的使用情况． （1）先解设未知数，可通过A、B品牌钢笔的单只价格以及花费总价格列式，再由A、B品牌钢笔的数量关系列式，构造一元一次方程求解即可． （2）可先求出可兑换的兑换券的张数，再根据消费券的总数以及钢笔数量相等列式即可，由一元一次方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：设预算中购买A品牌钢笔x只， 因为A品牌钢笔的数量比B品牌钢笔的数量少2支， 所以预算中购买B品牌钢笔只， 因为A品牌钢笔每支10元，B品牌钢笔每支6元，且共花费588元， 则有， 解得， 所以预算中购买A品牌钢笔36只，预算中购买B品牌钢笔38只． （2）解：设用于兑换A品牌钢笔的兑换券m张， 因为总共花费588元，而每消费100元送1张兑换券， 所以共兑换5张消费券， 所以用于兑换B品牌钢笔的兑换券张， 又因为1张消费券可兑换1支A品牌或2支B品牌钢笔，且兑换后两种品牌钢笔的总数量相同， 则有， 解得， 所以用于兑换A品牌钢笔的兑换券4张，用于兑换B品牌钢笔的兑换券1张． 【变式5-3】（25-26七年级上·广西南宁·月考）小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有张白板纸，最多可做几个包装盒？ (2)现有张白板纸，为了尽可能做出更多的包装盒，小敏和小强各设计了一种解决方案： 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分全做盒身，一部分全做盒盖； 小强：先把一张白板纸适当裁出一个盒身和一个盒盖，剩下的张白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由． 【答案】(1)最多可做个包装盒 (2)小敏方案不可行，理由见解析；小强方案可行，最多做个包装盒 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查 一元一次方程的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设用 x 张白纸板做盒身， 张做盒盖，根据盒身数量 盒盖数量的配套关系列方程，求解后计算包装盒个数． （2）分别分析小敏、小强的方案，小敏方案：设用 a 张做盒身， 张做盒盖，按配套关系列方程，判断解是否为整数；小强方案：先利用 1 张纸板做 1 个盒身 + 1 个盒盖，再设剩下张中y张做盒身，张做盒盖，按配套关系列方程，求解后计算总包装盒数． 【详解】（1）解：设x 张白板纸做盒身，则有 张做盒盖， 根据题意，得 ， 解得：， (个)， 答：最多可做个包装盒． （2）解：小敏的方案不可行．理由如下： 设张白板纸做盒身． 根据题意，得 ， 解得 ，不符合题意． 小强的方案可行； 设张白板纸中张做盒身． 根据题意，得 解得， （个）． 答：最多做个包装盒． 【题型六】行程问题 【例6】（24-25七年级上·四川成都·期末）育红学校七年级学生步行到郊外旅行，七（1）班学生组成前队，步行速度为5千米/时，七（2）班学生组成后队，步行速度为7千米/时，前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断进行联络，他骑车的速度为12千米/时，根据上面的事实回答问题． (1)后队第一次追上前队用了　　小时；后队第一次追上前队时联络员行了　　千米． (2)联络员第一次追上前队用了多长时间？请你写出求解过程． (3)联络员第一次与后队相遇用了多长时间？请你写出求解过程． 【答案】(1)；30 (2)联络员第一次追上前队用了小时 (3)联络员第一次与后队相遇用了小时 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键． （1）根据两队行驶的速度列出算式求出后队第一次追上前队所用时间即可；根据速度、路程和时间关系，求出联络员行驶的路程即可； （2）设联络员第一次追上前对用了x小时，根据联络员第一次追上前队需要行驶的路程与前队行驶的总路程相等，列出方程，解方程即可； （3）设联络员第一次与前队相遇到与后队相遇用了y小时，根据题意列出方程，求出y，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：由题得： 后队第一次追上前队用的时间为： （小时）， 后队第一次追上前队时联络员行驶的路程为： （千米）， （2）解：设联络员第一次追上前队用了x小时，根据题意得： ， 解得，， 即联络员第一次追上前队用了小时； （3）解：设联络员第一次与前队相遇到与后队相遇用了y小时，根据题意得： ， 解得：， ∴， 即联络员第一次与后队相遇用了小时． 【变式6-1】（21-22七年级上·四川绵阳·期末）如示意图，两地间有一条河，两地间路程共米（包括旱路与水路），且两地到河岸均有一定距离，甲、乙二人从地出发到地，乙先于甲出发，当乙走到岸边处登船渡河时，甲从地出发；当小船将乙送过河后再空船原路返回到达地岸边处时，甲刚好到达处登船；当小船将甲送到对岸处时，乙恰好到达地，现已知甲、乙二人步行速度均为米／分钟，小船在水中行驶的平均速度为米／分钟（不考虑水流速度影响），则两地间水路的长度为 米． 【答案】 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设两地水路的长度为米，则乙从A到C的时间为船渡河的往返时间：分钟，甲从D到B的时间为船从D到C的时间加上乙乘船C到D的时间：分钟，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设两地水路的长度为米，则乙从A到C的时间为船渡河的往返时间：分钟，甲从D到B的时间为船从D到C的时间加上乙乘船C到D的时间：分钟，由题意得， ， 解得， ∴两地间水路的长度为米， 故答案为：． 【变式6-2】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）甲，乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)后甲，乙两船相距多远？ (2)若甲船从港口顺水航行到达港口；从港口返回港口逆水而行，用了，求水流速度． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减的应用、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减运算的实际应用，正确掌握船在水中顺流与逆流时的速度关系是解题关键． （1）首先根据题意得出甲船顺水时的航行速度为，乙船逆水时的航行速度为，由此即可得出二者2小时后各自的航行距离，据此进一步计算即可得出答案． （2）根据往返路程相等，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 答：后甲，乙两船相距； （2）解：根据往返路程相等，列得方程，， 去括号，得， 移项及合并同类项，得， 系数化为1，得， 答：水流的速度为． 【变式6-3】（22-23七年级上·山东泰安·期末）某自行车队进行训练，训练时所有队员都以的速度前进，突然，号队员以的速度独自前进，行进一段路程后又调转车头，仍以的速度往回骑，直到与其他队员汇合，号队员从离队开始到与其他队员重新汇合共行进了分钟，问号队员掉转车头时离队的距离是多少千米? 【答案】 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设号队员独自前进时，调转车头前行进的时间为小时，根据题意列式后，求解出的值后再进行检验，再计算1号队员掉头时与车队的距离即可． 【详解】解：设号队员独自前进时，调转车头前行进的时间为小时， 根据题意得，， 解得：， 经检验，符合题意， ∴号队员调转车头时离车队的距离是 ． 【题型七】工程问题 【例7】（25-26七年级上·全国·期末）湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】D 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设完成这个订单共需天，则乙用了天，此订单总工作量为，根据甲完成的部分乙完成的部分整个工作量（单位），即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意设完成这个订单共需天，此订单总工作量为， 则可列方程为 ， 解得， 答：完成这个订单共需要天． 故选：D． 【变式7-1】（24-25七年级上·全国·期末）学校举办一年一届的科技文化艺术节活动，需制作一块活动展板，请来两名工人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两个人合作完成剩下的部分，设徒弟和师傅合作x天，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．根据工程关系列出方程是关键． 设徒弟和师傅合作x天，根据等量关系：师傅完成的工作量+徒弟完成的工作量=1，列出方程即可求解． 【详解】解：设徒弟和师傅合作x天， 根据题意得，． 故选：C． 【变式7-2】（25-26七年级上·全国·期末）一项工作，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，甲、乙合作完成工作后共得报酬元，按个人完成的工作量计算报酬，则甲应得 元，乙应得 元． 【答案】 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 设然后两人合作x天完成，求出x的值，继而甲完成了工作量的，乙完成了工作量的，再按比例分配求出报酬即可． 【详解】解：设然后两人合作x天完成，依题意，得 ， 解得：， 则甲完成了工作量的，乙完成了工作量的． 甲所得的报酬为元，乙所得的报酬为元 故答案为：270；180． 【变式7-3】（24-25七年级上·全国·期末）某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 【答案】(1)30天 (2)60天 (3)先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分析题意，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设甲、乙两个工程队一起合作，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设共需y天才能完成此项工程，根据“合作15天后，剩下的部分由乙工程队单独做”列方程解答即可； （3）分别计算甲、乙单独完成所需费用，甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做，求出这种方案的费用，做比较解答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队一起合作天就可以完成此项工程， 则， 解得， 答：甲、乙两个工程队一起合作30天就可以完成此项工程． （2）解：设共需y天才能完成此项工程， 则． 解得． 答：共需60天才能完成此项工程． （3）解：甲完成工程所需费用为（万元）， 乙完成工程所需费用为（万元）． 甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做， 由题意得． 解得． 所需费用为：万元． 答：先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元． 【题型八】销售问题 【例8】（25-26七年级上·全国·期末）新年将至，小明的母亲准备为小明网购一件羽绒服，某服装电商销售某新款羽绒服，每件标价为400元，若按标价的8折出售，仍可获利，则这款羽绒服每件的进价为（ ） A．220元 B．240元 C．256元 D．280元 【答案】C 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握售价、进价和利润率的关系是解题的关键． 假设进价为元，售价为标价的8折，即元，获利表示利润为进价的，列出方程求解即可． 【详解】∵实际售价为元， 设进价为元，则， ∴解得， 则进价为元， 故选C． 【变式8-1】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）某商人一次卖出两件衣服，一件赚了，一件亏了，售价都是元，在这次生意中，该商人（  ） A．不赚不赔 B．赚了元 C．亏了元 D．亏了元 【答案】C 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是计算出两件商品的进价，再根据售价和进价的关系得到答案． 首先计算出两种商品的进价，然后再根据售价，比较是亏是赚，亏多少，赚多少．还应注意亏赚都是在原价的基础上． 【详解】解：设赚了的衣服的进价是元， 则：， 解得：， 设赔了的衣服的进价是元， 则， 解得：， 总进价：元， 总售价：元 元， 所以亏了元， 故选：C． 【变式8-2】（25-26七年级上·全国·期末）为迎接新年的到来，A，B两家公司都打算购买一些彩灯和射灯来装饰新年晚会的会场．已知彩灯的售价为8元/个，射灯的售价为12元/个． (1)若A公司购买了彩灯和射灯共50个，花费540元，则A公司买了彩灯和射灯各多少个？ (2)B公司去购买时正逢商家让利促销，彩灯价格降低了，射灯在原价基础上打八折出售，B公司购买了彩灯50个，射灯30个，共花费608元，请求出m的值． 【答案】(1)A公司买了彩灯15个，射灯35个 (2) 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意后，找到等量关系列方程是解题关键． （1）设买了个彩灯，则射灯买了个，根据买彩灯的费用加上买射灯的费用等于总费用来列方程，解出x即可； （2）彩灯的费用为，射灯的费用为，加起来等于总费用，列方程解出m即可． 【详解】（1）解：设A公司买了彩灯x个，则买了射灯个， 根据题意列方程：， 解得，， 射灯数量：个 答：A公司买了彩灯15个，射灯35个； （2）由题意可列方程： 解得， 答：m的值为20． 【变式8-3】（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）克拉玛依市准噶尔商场经销的两种商品，种商品每件售价60元，利润为20元；种商品每件进价50元，售价80元．（利润=售价-进价，利润率） 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)种商品每件进价为___________元，每件种商品利润率为___________； (2)若准噶尔商场同时购进两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，准噶尔商场对两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？ 【答案】(1)40； (2)种商品40件 (3)580元或660元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设A种商品每件进价为a元，利用利润=售价-进价，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出A种商品每件的进价，再利用利润率利润进价，即可求出每件B种商品利润率； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，由题意得，再解方程即可； （3）设若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付x元，分及两种情况考虑，根据该商场给出的优惠条件及小华一次性购买A，B商品实际付款元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种商品每件进价为a元， 依题意得：， 解得：， ∴A种商品每件进价为40元， 每件B种商品利润率为． 故答案为：40；． （2）设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得， 解得：． 即购进种商品件，种商品件． （3）设小华打折前应付款元． 当打折前购物金额超过450元，但不超过600元，即， 由题意得，解得， 当打折前购物金额超过600元，即， ， 解得：． 综上，小华在该商场购买同样商品要付元或元． 【题型九】积分问题 【例9】（22-23七年级上·广东江门·期末）2022年11月足球世界杯又一次让人们沉浸在了足球竞技的美好中，某校举办足球比赛，计分规则：胜一场积2分，负一场扣1分，平场积0分．如果某队在本次比赛共参赛10场（无平场），积14分，那么该队胜场数为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐蔽，要注意仔细审题，耐心寻找．设该队胜了场，根据共参赛10场，得了14分，列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设该队胜了场，根据题意得： ， 解得：， 所以该队胜了8场； 故选：． 【变式9-1】（24-25七年级下·广东湛江·期末）某次数学知识竞赛共25道题，评分标准如下：答对1题加5分；答错1题扣2分；不答记0分．已知小明不答的题比答错的题多2道，他的总分为91分，则他答对了 题． 【答案】19 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设他答错了x题，则不答题，答对题，根据总分列出方程求解即可． 【详解】解：设他答错了x题，则不答题，答对题， 根据题意得：， 解得：， （道）， 他答对了19题． 故答案为： 【变式9-2】（24-25六年级上·上海金山·期末）预备年级组织数学计算知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录的是名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 听听 欢欢 乐乐 (1)由表格知，答对一题得________分，答错一题扣________分． (2)乐乐得了分，他答对了几道题？（请用方程作答） (3)小华说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1) (2)16道题 (3)不可能，理由见解析 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用、有理数的运算，熟练掌握“得分规则（答对得分答错扣分总得分）”并建立方程是解题的关键． （1）通过听听全对的得分求答对一题的分数，再结合欢欢的得分算答错一题的扣分． （2）设乐乐答对题数为未知数，根据“答对得分答错扣分总得分”列方程求解． （3）假设小华得分分，设答对题数为未知数，列方程后判断解是否为整数且符合题数范围． 【详解】（1）解：∵听听答对题得分， ∴答对一题得分：分， 设答错一题扣分，欢欢答对题、答错题得分， 则， 解得， 故答案为：，； （2）解：设乐乐答对题，则答错题， 根据题意得， 解得， ∴他答对了道题； （3）解：小华不可能得分，理由如下： 假设小华得分，设他答对题，则答错题， 列方程：， ， ， ， ∵不是整数，不符合题数为整数的实际情况， ∴小华不可能得分． 【变式9-3】（23-24七年级上·全国·期末）表是某次篮球联赛积分的一部分 球队 比赛现场 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 备注：总积分=胜场积分+负场积分 (1)请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）； (2)某队的胜场总积分能否等于负场总积分的3倍？为什么？ (3)若某队的胜场总积分是负场总积分的n倍，n为正整数，试求n的值． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)不能，理由见解析 (3)n的值为2，5，12或26 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找准等量关系列出一元一次方程求解即可． （1）根据表格中胜场与负场的次数结合总积分即可求解； （2）设该队胜了m场，则负了场，根据胜场总积分等于负场总积分的3倍，即可得出关于m的一元一次方程解之即可得出m的值，结合m为整数即可得出结论； （3）设该队胜了a场，则负了场，根据胜场总积分等于负场总积分的n倍，结合n为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：由表格中前进球队可知，胜场为10场，负场为4场，总积分为24分， 则有， 同理其他球队也满足，胜场负场总积分， ∴胜一场积2分，负一场积1分； （2）解：不能，理由如下： 设该队胜了m场，则负了场， 若某队的胜场总积分等于负场总积分的3倍， ∴， 解得， ∵m为整数， ∴某队的胜场总积分不能等于负场总积分的3倍； （3）解：设该队胜了a场，则负了场， 根据题意可得，， 解得， 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，分母为零，此时不存在n的值； 综上，n的值为2，5，12或26． 【题型十】古文问题 【例10】（24-25七年级上·云南红河·期末）《孙子算经》中记载：今有四人同住，九人单；五人同住，一房空，问人与房各几何？译文为：今有若干人住店，每间房住人，最终剩余人无房可住；若每间房住人，则有一间房空着无人住，问共有多少人，多少间房？设共有间房，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查列方程解决古代问题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． 根据总人数不变，由每间住人剩人得总人数为，由每间住人空一间房得总人数为，两者相等建立方程即可得到答案． 【详解】解：设共有间房， 则， 故选：A． 【变式10-1】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）我国古代名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？原文意思是：现在有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？如果假设共有人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设共有x人，根据“每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元”列出方程，即可求解． 【详解】解：设共有x人，则可列方程为 ． 故选：B． 【变式10-2】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）诗是普遍的艺术，是一种最为古老的文学艺术样式．它以简洁的语言吸引着无数诗歌爱好者的追随．其实有些诗中也包含了数学问题，我们不妨来看下面这首诗：“甲赶羊群逐草牧，乙牵一羊随其后．乙问甲羊及百否？甲云所说无差谬．若得这般一群羊，再添半群小半群．得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？”诗的意思：甲赶着一群羊去放牧，乙牵着一只羊在后面．乙问甲有只羊没有，甲回答说：“如果加上这群羊同样多的羊，再添加这群羊的一半，再加上这群羊的，连同你牵的一只羊，正好只．”聪明的你，甲赶的这群羊有多少只？（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题的关键是找到等量关系． 根据“再得这样的一群羊，再得这群羊的一半，还得这群羊的四分之一，最后凑上你的这只羊，正好是一百只”这一等量关系列出方程，即可求解． 【详解】解：设甲原有只羊，根据题意得：， 解得：， 故选：B； 【变式10-3】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）《九章算术》是中国传统数学中最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有善行者一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，若走路慢的人先走100步，则走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人要走x步才能追上，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了根据题意列方程． 设走路快的人要走x步才能追上，根据“走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步”可知走路快的人走x步后走路慢的人走步，根据“走路慢的人走的路程+先走100步=走路快的人走的路程”列方程即可． 【详解】解：设走路快的人要走x步才能追上， ∵走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步 ∴走路快的人走x步后走路慢的人走步， ∴， 故选：A 【题型十一】几何问题 【例11】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．设，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程；②以大长方形的长作相等关系可得方程．其中，正确的是（    ） A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】A 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据小长方形的长相等或大长方形的长相等，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意找小长方形的长作为相等关系得； 找大长方形的宽相等关系得：． 故选：A． 【变式11-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，长为50cm、宽为的大长方形被分割成8块．除阴影A，B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边的长为． (1)由图可知，每块小长方形较长一边的长为________cm（用含a的代数式表示），图中2块阴影部分的周长和为________cm（用含x的代数式表示）． (2)当a为何值时，2块阴影部分的周长相等？ 【答案】(1)， (2)当时，2块阴影部分的周长相等． 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）从图可知，的最长边为cm，再列式计算块阴影部分的周长和； （2）根据两块阴影的周长相等列方程即可求解． 【详解】（1）解：根据图形得的最长边为cm， 观察图形可得，的长+的宽=cm，的宽+的长=cm， 所以两块阴影的周长和的长的宽的长的宽的长的宽的宽的长（cm）； 故答案为：，； （2）解：的周长为的周长为， 令， ， 解得． 故当时，块阴影部分的周长相等． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出代数式． 【变式11-2】（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个完全相同的小长方形花圃（阴影部分），则小长方形花圃的长和宽分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据2个宽一个长，两个长一个宽，再建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得：2个宽一个长，两个长一个宽， ∵小长方形花圃的长是， ∴小长方形花圃的宽是或， ∴， 解得：， ∴， ∴小长方形花圃的长和宽分别是，； 故选：A． 【变式11-3】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，长方形被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形的面积为4，求长方形中最大的正方形与最小的正方形的面积之差． 【答案】192 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，求解最小的正方形边长为2，依次表示，，，可得，，再利用长方形的性质列方程求解即可． 【详解】解：由中间最小的正方形面积为4，得最小的正方形边长为2， 如图其他正方形的边长分别为a，b，c，d， 由图知，，， ，， ∵为长方形， ∴， ∴， 解得， 则，最大的正方形面积为，， 故最大正方形的面积与最小正方形的面积之差为192． 【题型十二】方案选择 【例12】（24-25七年级上·北京·期末）某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ 【答案】(1)食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同 (2)方案二省钱，理由见解析 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意得到等量关系是解题的关键． （1）设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同，再根据题意列出一元一次方程并正确解出即为本题答案； （2）分别列式求出两种方案分别多少钱，再比较大小即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同， 方案一：费用为， 方案二：费用为 则由题意得：， 解得：， 答：食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同． （2）解：食品加工厂计划购买2500千克草莓， ∴方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴方案二更省钱． 【变式12-1】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）在以“六个统筹”谱写“十五五”体育强国建设新篇章的政策指引下，大众健身热情持续高涨，体育用品需求稳步提升．体育用品商店精准把握市场需求，用7800元购进篮球和排球共170个，以满足广大健身爱好者的需求．篮球、排球的进价和售价如下表所示． 篮球 排球 进价（元/个） 60 40 售价（元/个） 100 60 (1)体育用品商店购进篮球和排球各多少个？ (2)某校计划举办校园体育节，准备到该体育用品商店购买篮球和排球共22个，且排球的购买数量大于篮球购买数量的，该体育用品商店给出两种优惠方案： 方案一：两种球的售价都打8折； 方案二：每购买2个篮球，赠送1个排球． 学校根据购买清单发现两种方案的购买总价是一样的．求学校准备购买篮球和排球各多少个． 【答案】(1)购进50个篮球，120个排球 (2)购买12个篮球，10个排球 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． （1）设体育用品商店购进x个篮球，则购进个排球，根据题意列方程即可； （2）设学校准备购买m个篮球，则购买个排球，根据两种方案的购买总价是一样的列方程求解即可． 【详解】（1）解：设体育用品商店购进x个篮球，则购进个排球， 根据题意，得， 解得， ， 答：体育用品商店购进50个篮球，120个排球； （2）解：设学校准备购买m个篮球，则购买个排球， 根据题意，得， 解得， ， 符合题意， 答：学校准备购买12个篮球，10个排球． 【变式12-2】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． (1)请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 【答案】(1)方案一：（元），方案二：（元） (2)方案二便宜 (3)时，两种方案的费用相同 【知识点】整式加减的应用、方案选择(一元一次方程的应用)、列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查列代数式、代数式求值、整式的加减应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）根据两种优惠方案结合实际费用等于数量×单价列出代数式即可； （2）将a、b值分别代入（1）中代数式中求解，进而比较大小做出判断即可； （3）将a代入（1）中得到关于b的代数式，得到关于b的方程，解方程求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： 方案一：（元）， 方案二：（元）； （2）解：当，时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ， 方案二便宜； （3）解：当时，方案一：（元），方案二：（元）， ∵当时，两种方案的费用相同， ∴， 解得：， 时，两种方案的费用相同. 【变式12-3】（24-25七年级上·重庆·期末）忠县作为“中国柑橘城”，柑橘产业已经非常成熟，形成了多个特色品种，其中最出名的当属“爱媛果冻橙”和“沃柑”．某超市用元从农户处购进“果冻橙”和“沃柑”两个品种的柑橘共斤．进价和售价如下表所示： 果冻橙 沃柑 进价（元/斤） 售价（元/斤） (1)求该超市购进“果冻橙”和“沃柑”各多少斤？ (2)由于水果运输过程中会有一定的损坏，“果冻橙”的损坏率为，“沃柑”的损坏率为，损坏的柑橘不能进行销售，若这批柑橘全部售出的总利润为元，求的值； (3)该超市第二次进货时，农户给出了如下优惠方案： “果冻橙”优惠方案 一次性购买数量 不超过斤的部分 超过斤的部分 折扣数 九折 八折 “沃柑”优惠方案 购买总金额 不超过元 超过元但不超过元 超过元 返现金金额 0元 直接返现金元 先返购买总金额的，再返现金200元 已知超市购进“果冻橙”共支付了元，购进“沃柑”共支付了元，运输中仍按照（2）中的损坏率考量，将第二次购进的两种柑橘全部卖完，一共可获得利润多少元？ 【答案】(1)果冻橙斤，沃柑斤 (2) (3)元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设购进果冻橙斤，沃柑斤，根据题意列式求解即可． （2）根据题意可得售出的收入为，进而根据题意列式求解即可． （3）设果冻橙购买斤，则超过斤的部分为斤，根据题意列方程求解即可得果冻橙购买斤数；设沃柑购买总金额为元，根据题意列方程求解购进沃柑的斤数，进而列式求得获得总利润． 【详解】（1）解：设购进果冻橙斤，沃柑件斤， 依题意可得， 解得：， 即， ∴果冻橙斤，沃柑斤． （2）解：根据题意可得：售出的收入为， 故可列方程， 解得：， ∴的值为． （3）解：设果冻橙购买斤，则超过斤的部分为斤， ∴， 解得：； 设沃柑购买总金额为元， 根据题意可得：， 解得： ∴购进沃柑的斤数为：， ∴两种柑橘全部卖完，一共可获得利润为：（元）． 【题型十三】分段计费 【例13】（24-25七年级上·云南红河·期末）某市为鼓励市民节约用水实行阶梯水价制，2024年主城区居民生活用水阶梯价格收费标准如下（注每月还要收居民污水处理费：1元/．）： 类别 每户每月用水量（单位：） 阶梯水价（单位：元/） 第一阶梯 不超过15立方米的部分 5 第二阶梯 超过15立方米的部分 9 (1)若某居民户7月份用水量为，请用含x的代数式表示该居民户7月份应交水费多少元； (2)小云家7月份的水费为120元，她告诉小南她们家这个月的用水量为，小南通过计算发现小云的说法有误，试说明小南这样判断的理由，并计算小云家7月份的实际用水量． 【答案】(1)当时，应交水费元；当时，应交水费元 (2)小南判断的理由是：若用水量为，则水费应为元，但实际水费为 元，矛盾；小云家实际用水量为 【知识点】列代数式、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用等． （1）根据题意分两种情况讨论可得两个代数式即为本题答案； （2）利用用水量为可知此时交水费为140元，不符合小云描述矛盾，再利用一元一次方程列式计算即可． 【详解】（1）解：∵某居民户7月份用水量为， ∴根据表格信息可得： 当时，水费元； 当时，水费：（元）， ∵每月还要收居民污水处理费：1元/， ∴当时，应交水费：（元）， 当时，应交水费：（元）； （2）解：小南判断的理由是：若用水量为，则水费应为元，但实际水费为元，矛盾，实际水费计算如下： 根据题意可知：（元）， ∵小云家7月份的水费为120元， ∴， ∴小云家水费一定超过15立方米， ∵由（1）得，当时，应交水费：（元）， ∴，解得：， ∴小云家实际用水量为． 【变式13-1】（25-26七年级上·甘肃·期末）为了鼓励节约用电，某地用电标准规定：如果每户每月用电不超过度，那么每度按元缴纳；超过部分则按每度元缴纳． (1)某户月份用电度，共交电费元，求． (2)若该户月份的电费平均每度元，求月份共用电多少度？应交电费多少元？ 【答案】(1)150 (2)180度，108元 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）先判断200是否大于a，再根据计费规则列一元一次方程，即可求解； （2）设6月份共用电x度，则电费为元，根据计费规则列一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得：经验算：若，则， ∴，即有超过的部分， ∴， 解得：； （2）解：设6月份共用电x度， 则， 解得：， （元）， 即月份共用电180度，应交电费108元． 【变式13-2】（25-26七年级上·天津·期末）某市有两家出租车公司，收费标准不同．甲公司收费标准为：起步价9元，超过3千米后，超过的部分按照每千米元收费．乙公司收费标准为：起步价20元，超过8千米后，超过的部分按照每千米元收费．已知车辆行驶x千米．本题中x取整数，不足1千米的路程按1千米计费． (1)根据题意，填写下表： 车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费（元） 9 — 17 — … 乙公司收费（元） 20 20 20 — — … (2)当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲、乙两公司的收费分别是多少？（结果用化简后的含x的式子表示） (3)当行驶路程为______千米时，两家公司的费用相同． 【答案】(1)见解析 (2)甲公司的收费是：元；乙公司的收费是：元 (3)18 【知识点】列代数式、电费和水费问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，有理数四则混合计算的实际应用： （1）根据所给的收费标准列式计算即可； （2）根据所给的收费标准列式计算即可； （3）根据题意结合（2）所求可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，当时，甲公司收费9元； 当，甲公司收费元； 当时，乙公司收费元； 当时，乙公司收费元； 填表如下： 车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费（元） 9 9 17 … 乙公司收费（元） 20 20 20 20 … （2）解：由题意得，甲公司的收费为元， 乙公司的收费为元； （3）解：由题意得，， 解得， ∴当行驶路程为18千米时，两家公司的费用相同， 故答案为：18． 【变式13-3】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元，一律9折；（3）一次性购物超过300元，一律8折．一人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款 元． 【答案】288元或316元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．设第二次购物实际消费金额为元，先根据优惠方案可得第一次购物实际消费金额与付款金额相同，即为80元；或，再分两种情况：①，②，分别建立方程，解方程求出的值，然后根据优惠方案列式计算即可得． 【详解】解：设第二次购物实际消费金额为元， ∵（元），（元），（元），且，， ∴第一次购物实际消费金额与付款金额相同，即为80元；或， ①当时， 则，解得，符合题设， ∴， ∴如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款（元）； ②当时， 则，解得，符合题设， ∴， ∴如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款（元）； 综上，应付款288元或316元， 故答案为：288元或316元． 【题型十四】日历问题 【例14】（25-26七年级上·云南昆明·期末）如图是某月的日历图，用“”型框任意框出7个数（如图中阴影部分所示），这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．70 C．77 D．105 【答案】C 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设中间的数字为，进而表示出其余6个数字，求和后，使其分别等于选项中的各数，进行求解即可． 【详解】解：设中间的数字为，则其余6个数字分别为， ∴这7个数的和为， A、当时，，存在“”型，不符合题意； B、当时，，存在“”型，不符合题意； C、当时，，不存在“”型，符合题意； D、当时，，存在“”型，不符合题意； 故选C． 【变式14-1】（24-25七年级上·四川成都·期末）如图是2025年1月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果不可能有（   ） A．75 B．100 C．115 D．120 【答案】D 【知识点】整式加减的应用、日历问题(一元一次方程的应用)、列代数式、数字类规律探索 【分析】本题考查了一元一次方程的应用——日历问题，列代数式，整式加减运算，根据图中5个数的位置及各个数之间的数量关系正确设出5个代数式表示的数是解题的关键．日历中，同行相邻两数右边的数比左边的数大1，同列相邻两数下面的数比上面的数大7．设图中框选的5个数分别为，通过列方程求解判断即可． 【详解】解：设图中框选的5个数分别为（为正整数），则， A.由得，，，五个数字之和可能为75，此选项不符合题意； B.由得，，，五个数字之和可能为100，此选项不符合题意； C..由得，，，五个数字之和可能为115，此选项不符合题意； D..由得，，，而，日历表中无32，五个数字之和不可能为120，此选项符合题意； 故选：D． 【变式14-2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，是2024年1月的月历，任意选取“十”字形中的五个数（比如图中阴影部分），若移动“十”字形后所得五个数之和为115，那么该“十”字形中正中间的号数为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设该“十”字形中正中间的号数为x，则另外四个号数分别为，，，，根据移动“十”字形后所得五个数之和为115，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该“十”字形中正中间的号数为x，则另外四个号数分别为，，，， 根据题意得：， 解得：， ∴该“十”字形中正中间的号数为23． 故选：D． 【变式14-3】（22-23六年级上·山东东营·期末）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（    ） 一 二 三 四 五 六 日 2 4 5 6 7 9 11 12 13 14 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．70 B．78 C．77 D．105 【答案】B 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找到数字规律列出方程是解题关键．设型框中的中间数字为，其他6个数字分别为：，，，，，，可得七个数字之和，将选项代入解方程即可得出选项． 【详解】解：设型框中的中间数字为，其他6个数字分别为：，，，，，， 七个数字之和为： 当，，符合题意； 当，，不符合题意； 当，，符合题意； 当，，符合题意； 故选：B． 【题型一】已知一元一次方程的解，求参数 【例1】（24-25七年级上·全国·期末）若关于的方程的解为大于4的整数 ，求整数的值 【答案】3或5 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解法、含参数方程的变形技巧及整数解条件的综合分析，解题关键在于将方程整理为的标准形式．将方程整理为的形式，根据解且为整数，建立不等式并分析整数k的整除特性即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是整数， ∴为15的因数． ． 又，∴=1或3， ∴或5． 【变式1-1】（24-25七年级上·重庆·期末）已知关于的方程有整数解，则正整数的所有可能的取值之和为 ． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的整数解．先求出原方程的解为，根据原方程有整数解可得或，且，求出的值，再求和即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得， ∵原方程有整数解， ∴或，且， 解得或2或10或， ∴正整数的所有可能的取值之和为． 故答案为：． 【变式1-2】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）已知关于x的方程（a，b为常数），无论k为何值，它的解总是，则的值是 ． 【答案】9 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解答本题的关键是明确一元一次方程的解得含义． 根据题意，先化简题目中的式子，然后根据无论为何值，方程的解总是，可以求得、的值，代入计算即可． 【详解】解：把代入方程，得， 得，即， 整理得， 由于k为任意值，它的解总是， 故， 解得，， 所以， 故答案为：9． 【题型二】一元一次方程解的关系 【例2】（25-26七年级上·全国·期末）关于x的方程的解比方程的解大2． (1)求方程的解； (2)求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． （1）首先去括号，移项、合并同类项可得的值； （2）根据（1）中的值可得方程的解为，然后把的值代入可得关于的方程，再解即可． 【详解】（1）因为， 所以． 所以． 解得． （2）由题意，得方程的解为， 把代入方程，得， 所以， 解得． 【变式2-1】（22-23七年级上·陕西延安·期末）已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、一元一次方程解的关系 【分析】本题的关键是正确解一元一次方程以及互为倒数的意义；理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 先求已知方程的解，再利用倒数关系确定含字母系数方程的解，把解代入方程，可求字母系数k． 【详解】解：解方程得：． 因为方程的解与关于x的方程的解互为倒数， 所以关于x的方程的解是， 把代入方程得：，解得：． 【变式2-2】（22-23七年级上·河南开封·期末）关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【知识点】相反数的定义、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查的是解一元一次方程，相反数的定义，根据题意得出关于的一元一次方程的是解题关键．先解关于x的方程，再根据两个方程的解互为相反数，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：解方程得：， 与的解互为相反数， ， 解得． 【变式2-3】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)9 (2)或 (3)2024 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再根据“美好方程”的定义求解即可； （2）根据条件可得“美好方程”的另一个解为，再由 “美好方程”的两个解的差为8，建立关于n的方程，再求解； （3）求出方程的解为，再根据“美好方程”的定义，可得是方程的解，再把方程变形为，可得到，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得：， ∵方程与方程是“美好方程”， ∴， 解得：； （2）解： ∵“美好方程”的一个解为n， ∴“美好方程”的另一个解为， ∵“美好方程”的两个解的差为8， ∴， ∴n的值为或； （3）解：解方程得：， ∵方程和是“美好方程”， ∴是方程的解， ∵方程可变形为， ∴， ∴． 【题型三】数轴动点问题 【例3】（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，A在B的左侧． (1)若． ①若，到原点的距离相等，则 ． ②若点与原点相距3个单位长度，则 ． (2)若，，点是数轴上的点，其表示的数为． ①当有最小值时，最小值为 ，此时点须满足的条件是 ； ②若点到点和点的距离之和为40，求的值； ③点，分别从，两点同时向左运动，点始终是的中点，的速度为1个单位长度，的速度为3个单位长度，当，两点相距4个单位长度时，求此时的值． 【答案】(1)①；②5或11 (2)①28，点M在线段上；②m的值为或22；m的值为或 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴上动点问题，绝对值的意义，一元一次方程的应用，解题的关键是注意进行分类讨论． （1）①根据，，到原点的距离即可得出，即可求解； ②分在原点的左侧和右侧时，分别求得的值，进而根据，在的左侧，即可求解； （2）①根据绝对值的意义，可得点在线段上有最小值时，最小值为的长，即可求解； ②根据题意可得点不在线段上，进而分类讨论，即可求解； （3）设、同时向左运动的时间为，表示出、运动时，点对应的数为，点对应的数为，进而根据题意列出绝对值方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，，到原点的距离相等，在的左侧． ∴， ∴， 故答案为：． ②∵，点与原点相距3个单位长度，在的左侧． 当在原点的左侧时， ∴， 当在原点的右侧时，， ∴ 故答案为：或． （2）①∵，，点是数轴上的点，其表示的数为． ∴点在线段上，有最小值时，最小值为 此时点须满足的条件是：点在线段上 故答案为：28；点在线段上； ②  ， 又 ， 点不在线段上， 当点在点左侧时，，， 由得，，解得， 当点在点右侧时，，， 由得，解得， 综上所述，的值为或．                 ③设、同时向左运动的时间为， 、运动时，点对应的数为，点对应的数为， 当时，即 ，                解得或，                当时，； 当时，． 综上，当，两点相距个单位长度时，的值为或． 【变式3-1】（23-24七年级上·湖北孝感·期末）已知数轴上有A、B两个点对应的数分别是a、b，且； (1)直接写出a、b的值： ， ； (2)如图①：点M是数轴上A、B之间的一个点，若，求点M所对应的数； (3)如图②：点P、点Q为数轴上的两个动点，点P从A点以2个单位长度每秒的速度沿数轴正向运动，点Q同时从B点以1个单位长度每秒的速度沿数轴负向运动．设运动时间为t秒，在点P与点Q相遇之前，若，求时间t的值． 【答案】(1)， (2)点M 表示的数是2 (3)时间t的值为 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是数轴，非负数的性质，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． （1）先根据非负数的性质求出a，b的值即可； （2）先根据两点间的距离公式可求，再根据题意即可得出结论； （3）先用t表示出，及的值，再根据列出关于t的方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，． （2）解：设点M 表示的数是x， ∵点M 在 A、 B之间， ∴， ， ∵，    ∴， 解得：， ∴点M 表示的数是2． （3）解：由题意： ， ， 点P和点Q相遇前， ， ∵， ∴， 解得：， ∴ 时间t的值为． 【变式3-2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为10，点M，N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒． (1)求点M，点N分别所对应的数（用含t的式子表示）； (2)若点M，点N均位于点A右侧，且，求t的值． 【答案】(1)点M表示的数是，点N表示的数是 (2)运动时间t为4秒 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离． （1）根据运动方向和运动速度可表示出M与N表示的数； （2）分别用含t的代数式表示出和，再列方程即可． 【详解】（1）解：点M表示的数是，点N表示的数是 （2）解：∵，， 又 ∴， 解得， 即运动时间t为4秒． 【变式3-3】（25-26七年级上·湖南长沙·月考）如图，数轴上三个点A，B，C表示的数分别为a，b，c，其中a，c满足，点B在A、C之间，且．数轴上的两个动点P，Q分别从A，C两点同时出发向右运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒． (1)直接写出 (2)若当运动时间为t秒时，线段的中点M与线段的中点N的距离为2，请求出t的值； (3)若点D从原点出发以2单位长度/秒的速度向右运动，且与P、Q两点同时出发．当点P追上点D 后立即以原速返回A点，当点P回到A点时三点都立即停止运动．在点P返回的过程中，存在常数k，使得运动时间t在某个时间段内为定值，请求出这个时间段和k的值． 【答案】(1)；；5 (2)5或9 (3)当时，；当时， 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上点的平移（动点问题）、数轴上两点之间的距离、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据非负数的性质可求出a、c的值，根据结合数轴上两点距离计算公式可建立关于b的方程，解方程即可得到答案； （2）求出运动t秒时点P表示的数和点Q表示的数，进而求出点M和点N表示的数，根据点M和点N的距离为2建立方程求解即可； （3）列方程求出点P追上点D的时间，进而求出点P从出发到回到点A的时间，表示出点P返回途中表示的数，进而表示出，根据为定值，即的值与t无关进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴， ∴， ∵点B在A、C之间，且， ∴， 解得； （2）解：由题意得，运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∵点M和点N的距离为2， ∴， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：运动秒时，点P追上点D， 由题意得，， 解得， ∴运动16秒时，点P追上点D，此时点P表示的数为， ∴在点P返回的过程中，点P表示的数为，且点P从出发到回到点A的时间为秒， ∴，， 当，即时，， ∴ ， ∵为定值，即的值与t无关， ∴， ∴， ∴当时，； 当，即时，， ∴ ， ∵为定值，即的值与t无关， ∴， ∴， ∴当时，； 综上所述，当时，；当时，． 【题型四】几何动点问题 【例4】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段上运动，用含t的式子表示、，并求当时t的值； (2)如图②，若点Q在线段上运动，当t为何值时，的面积等于面积的； (3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，直接写出时t的值． 【答案】(1)，，秒时， (2) (3)t为4或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题属于三角形综合题，考查了三角形面积、一元一次方程以及分类讨论等知识解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题． （1）当在线段上运动，在线段上运动时，，，则，由，可得方程，解方程即可． （2）当在线段上时，，则，根据三角形的面积等于三角形面积的，列出方程即可解决问题． （3）分三种情形讨论即可①当时，在线段上运动，在线段上运动．②当时，在线段上运动，在线段上运动．③当时，在线段上运动，在线段上运动时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动． ∴，， ∵ ∴， ， ， ． 即秒时，； （2）解：当在线段上时，， 则， 三角形的面积等于三角形面积的， ， ， 解得：． 即秒时，三角形的面积等于三角形面积的； （3）解：由题意可知，在线段上运动的时间为12秒，在线段上运动时间为8秒， ①当时，在线段上运动，在线段上运动，，， 则，， ， ， 解得； ②当时，在线段上运动，在线段上运动，， 则，， ， ， 解得； ③当时，在线段上运动，在线段上运动时， 则，， ， ， 解得，不合题意舍去 综上所述，为4或时，． 【变式4-1】（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在长方形中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． (1)当点P在上运动时， _____．（用含t的代数式表示） (2)当点P在上运动时， _____（用含t的代数式表示）；当点P运动到的中点时，求线段的长； (3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值． (4)当点P在上运动时，连接．直接写出的面积是时t的值． 【答案】(1) (2)； (3)或 (4)t的值为或2 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】（1）求出，则； （2）先求出点P的运动路程再减去的长即可得到答案；根据题意可得方程，解方程求出t的值，然后再求出解得即可； （3）分两种情况：当点P在上运动时，当点P在上运动时，建立方程求解即可； （4）根据三角形面积公式求出，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当点P在上运动时，， ∴； （2）解：由题意得，当点P在上运动时， ； 由题意得，， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点P在上运动时，则， 解得：； 当点P在上运动时，则， 解得； 综上所述，当点P与点Q到点B的距离相等时，或； （4）解：∵的面积是， ∴， ∴， ∴或， 解得：或， ∴当的面积是时t的值为或2． 【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，三角形面积的计算，解题的关键是注意进行分类讨论． 【变式4-2】（24-25七年级上·湖北荆州·期末）在长方形中，．动点初始位置分别在点和点处，点，点运动速度分别是每秒1个单位长度和每秒2个单位长度；设运动的时间为秒． (1)如图1，若点从点出发，以顺时针方向在长方形上匀速运动，当时， ；当点第一次运动到上，不与两点重合时， （用含t的代数式表示）； (2)如图1，若点、同时从初始位置出发，都以顺时针方向在长方形上匀速运动，当、第一次相遇时，求的值； (3)如图2，若点同时从初始位置出发，点以顺时针方向，点以逆时针方向分别在长方形上作匀速运动，点运动到点停止运动，点运动到点停止运动； ①当为何值时，； ②当两点在运动路线上相距3个单位长度时，直接写出的值． 【答案】(1)4， (2) (3)①或或时，；②当或时，、两点相距的路程为3 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，列出代数式，建立方程求解． （1）当时，点运动的路程为，则点在上，那么根据即可求解； （2）第一次相遇，则点运动的路程减去点运动的路程等于的长，据此列方程求解； （3）①分类讨论，列方程求解，注意点与点重合时，此时点与点重合也符合题意； ②分两种情况讨论：点相遇前，可得方程；相遇后，可得方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵长方形， ∴， ∴当时，点运动的路程为 ∴点在上， ∴； 当点第一次运动到上，， 故答案为：4，； （2）解：由题意得，， 解得； （3）解：①点运动到点用时；点运动到点用时； 则当在上时，由得，，解得； 当点在上时，由得，，解得； 当点P运动到点时，则，用时，此时点与点重合，那么，满足， ∴， 综上：或或时，； ②点相遇前，则由题意得，，解得； 相遇后，则由题意得，，解得， 综上：当或时，、两点相距的路程为3． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程（4知识&14题型&4易错） 【清单01】方程有关概念 (1)先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个________的等式，这 样的等式叫作_______ (2) 一般地，使方程左、右两边的值______的未知数的值，叫作方程的解,求方程的解的过程，叫作解方程. (3) 一般地，如果方程中只含有_____未知数（元），且含有未知数的式子都是______，未知数的次数都是_____，这样的方程叫作一元一次方程 【清单02】等式的性质 等式的性质1： 如果等式的两边同时________同一个_________,结果仍相等。 如果，那么. 等式的性质2： 如果等式的两边同时乘以同一个_______,或除以同一个_________,结果相等。 如果，那么； 如果，那么 【清单03】解一元一次方程 步骤：(1)去分母 (2)去括号 (3)移项：把等式一边的某项变号后移到另一边 (4)合并同类项 (5)系数化为1 【清单04】用一元一次方程解决实际问题 (1)设未知数 (2)列方程 (3)解方程 (4)检验所得结果 (5)确定答案 【题型一】(一元一次)方程的概念 【例1】（22-23七年级上·辽宁·期末）①②③④⑤⑥⑦中，是方程的是 ，是一元一次方程的是 (将序号写到横线上)． 【变式1-1】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）已知是关于的一元一次方程，则 ． 【变式1-2】（24-25七年级上·重庆·期末）若方程是关于的一元一次方程，则 ． 【题型二】方程的解 【例2】(1)（22-23七年级上·广东汕头·期末）下列方程中，解是的方程是（   ） A． B． C． D． (2) （24-25七年级上·浙江宁波·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【变式2-1】（24-25七年级下·湖南张家界·期末）若关于x的方程的解是，则a的值为 ； 【变式2-2】（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知关于x的方程的解是，则k的值是 ． 【变式2-3】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为________ 【题型三】等式的性质 【例3】（25-26七年级上·全国·期末）根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式3-1】（24-25七年级上·云南红河·期末）若等式成立，则下列等式变形不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24七年级上·广西梧州·期末）若，下列等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）下列解方程的过程中，变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【题型四】解方程 【例4】（25-26七年级上·全国·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【变式4-1】（24-25七年级上·内蒙古兴安盟·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) 【变式4-2】(1)（25-26七年级上·吉林松原·期中）当 时，式子与的值相等． (2)（23-24七年级上·福建龙岩·期末）若与互为相反数，则的值为 ． 【变式4-3】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，求方程正确解． 【题型五】一元一次方程的实际应用----配套问题 【例5】（24-25六年级下·山东泰安·期末）某茶具生产车间共有25名工人，每人每天可生产3个茶壶或者7只茶杯，一个茶壶与6只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有（   ）名工人生产茶壶． A．7 B．10 C．18 D．23 【变式5-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远．某工作室制作的粽子礼盒每份由3个蛋黄肉粽和2个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为 ． 【变式5-2】（24-25六年级下·山东烟台·期末）张老师准备购买A、B两种品牌钢笔，用于对表现优秀的学生进行奖励．已知A品牌钢笔每支10元，B品牌钢笔每支6元．经预算，张老师购买两种钢笔共需花费588元，且A品牌钢笔的数量比B品牌钢笔的数量少2支． (1)求预算中两种品牌钢笔的数量分别是多少？ (2)张老师付款时，被告知文具店正推出“满送”活动：每消费100元送1张兑换券，凭此券可兑换1支A品牌或2支B品牌钢笔．张老师将所得兑换券全部兑换后，恰好使两种品牌钢笔的总数量相同．请求出用于兑换两种品牌钢笔的兑换券各是多少张？ 【变式5-3】（25-26七年级上·广西南宁·月考）小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有张白板纸，最多可做几个包装盒？ (2)现有张白板纸，为了尽可能做出更多的包装盒，小敏和小强各设计了一种解决方案： 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分全做盒身，一部分全做盒盖； 小强：先把一张白板纸适当裁出一个盒身和一个盒盖，剩下的张白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由． 【题型六】行程问题 【例6】（24-25七年级上·四川成都·期末）育红学校七年级学生步行到郊外旅行，七（1）班学生组成前队，步行速度为5千米/时，七（2）班学生组成后队，步行速度为7千米/时，前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断进行联络，他骑车的速度为12千米/时，根据上面的事实回答问题． (1)后队第一次追上前队用了　　小时；后队第一次追上前队时联络员行了　　千米． (2)联络员第一次追上前队用了多长时间？请你写出求解过程． (3)联络员第一次与后队相遇用了多长时间？请你写出求解过程． 【变式6-1】（21-22七年级上·四川绵阳·期末）如示意图，两地间有一条河，两地间路程共米（包括旱路与水路），且两地到河岸均有一定距离，甲、乙二人从地出发到地，乙先于甲出发，当乙走到岸边处登船渡河时，甲从地出发；当小船将乙送过河后再空船原路返回到达地岸边处时，甲刚好到达处登船；当小船将甲送到对岸处时，乙恰好到达地，现已知甲、乙二人步行速度均为米／分钟，小船在水中行驶的平均速度为米／分钟（不考虑水流速度影响），则两地间水路的长度为 米． 【变式6-2】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）甲，乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)后甲，乙两船相距多远？ (2)若甲船从港口顺水航行到达港口；从港口返回港口逆水而行，用了，求水流速度． 【变式6-3】（22-23七年级上·山东泰安·期末）某自行车队进行训练，训练时所有队员都以的速度前进，突然，号队员以的速度独自前进，行进一段路程后又调转车头，仍以的速度往回骑，直到与其他队员汇合，号队员从离队开始到与其他队员重新汇合共行进了分钟，问号队员掉转车头时离队的距离是多少千米? 【题型七】工程问题 【例7】（25-26七年级上·全国·期末）湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，湖南某文创街区上分布了很多湘绣手工店．某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做天可完成，乙店员单独做天可完成．现甲先做天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 【变式7-1】（24-25七年级上·全国·期末）学校举办一年一届的科技文化艺术节活动，需制作一块活动展板，请来两名工人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两个人合作完成剩下的部分，设徒弟和师傅合作x天，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26七年级上·全国·期末）一项工作，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，甲、乙合作完成工作后共得报酬元，按个人完成的工作量计算报酬，则甲应得 元，乙应得 元． 【变式7-3】（24-25七年级上·全国·期末）某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 【题型八】销售问题 【例8】（25-26七年级上·全国·期末）新年将至，小明的母亲准备为小明网购一件羽绒服，某服装电商销售某新款羽绒服，每件标价为400元，若按标价的8折出售，仍可获利，则这款羽绒服每件的进价为（ ） A．220元 B．240元 C．256元 D．280元 【变式8-1】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）某商人一次卖出两件衣服，一件赚了，一件亏了，售价都是元，在这次生意中，该商人（  ） A．不赚不赔 B．赚了元 C．亏了元 D．亏了元 【变式8-2】（25-26七年级上·全国·期末）为迎接新年的到来，A，B两家公司都打算购买一些彩灯和射灯来装饰新年晚会的会场．已知彩灯的售价为8元/个，射灯的售价为12元/个． (1)若A公司购买了彩灯和射灯共50个，花费540元，则A公司买了彩灯和射灯各多少个？ (2)B公司去购买时正逢商家让利促销，彩灯价格降低了，射灯在原价基础上打八折出售，B公司购买了彩灯50个，射灯30个，共花费608元，请求出m的值． 【变式8-3】（24-25七年级下·新疆克拉玛依·期末）克拉玛依市准噶尔商场经销的两种商品，种商品每件售价60元，利润为20元；种商品每件进价50元，售价80元．（利润=售价-进价，利润率） 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按总售价打九折 超过600元 其中600元部分八折优惠，超过600元的部分打七折优惠 (1)种商品每件进价为___________元，每件种商品利润率为___________； (2)若准噶尔商场同时购进两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，准噶尔商场对两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买商品实际付款522元，求小华在该商场打折前一次性购物总金额？ 【题型九】积分问题 【例9】（22-23七年级上·广东江门·期末）2022年11月足球世界杯又一次让人们沉浸在了足球竞技的美好中，某校举办足球比赛，计分规则：胜一场积2分，负一场扣1分，平场积0分．如果某队在本次比赛共参赛10场（无平场），积14分，那么该队胜场数为（） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式9-1】（24-25七年级下·广东湛江·期末）某次数学知识竞赛共25道题，评分标准如下：答对1题加5分；答错1题扣2分；不答记0分．已知小明不答的题比答错的题多2道，他的总分为91分，则他答对了 题． 【变式9-2】（24-25六年级上·上海金山·期末）预备年级组织数学计算知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录的是名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 听听 欢欢 乐乐 (1)由表格知，答对一题得________分，答错一题扣________分． (2)乐乐得了分，他答对了几道题？（请用方程作答） (3)小华说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【变式9-3】（23-24七年级上·全国·期末）表是某次篮球联赛积分的一部分 球队 比赛现场 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 备注：总积分=胜场积分+负场积分 (1)请问胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）； (2)某队的胜场总积分能否等于负场总积分的3倍？为什么？ (3)若某队的胜场总积分是负场总积分的n倍，n为正整数，试求n的值． 【题型十】古文问题 【例10】（24-25七年级上·云南红河·期末）《孙子算经》中记载：今有四人同住，九人单；五人同住，一房空，问人与房各几何？译文为：今有若干人住店，每间房住人，最终剩余人无房可住；若每间房住人，则有一间房空着无人住，问共有多少人，多少间房？设共有间房，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）我国古代名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？原文意思是：现在有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？如果假设共有人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）诗是普遍的艺术，是一种最为古老的文学艺术样式．它以简洁的语言吸引着无数诗歌爱好者的追随．其实有些诗中也包含了数学问题，我们不妨来看下面这首诗：“甲赶羊群逐草牧，乙牵一羊随其后．乙问甲羊及百否？甲云所说无差谬．若得这般一群羊，再添半群小半群．得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？”诗的意思：甲赶着一群羊去放牧，乙牵着一只羊在后面．乙问甲有只羊没有，甲回答说：“如果加上这群羊同样多的羊，再添加这群羊的一半，再加上这群羊的，连同你牵的一只羊，正好只．”聪明的你，甲赶的这群羊有多少只？（　　） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）《九章算术》是中国传统数学中最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有善行者一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，若走路慢的人先走100步，则走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人要走x步才能追上，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型十一】几何问题 【例11】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．设，有下列分析思路：①以小长方形的长作相等关系可得方程；②以大长方形的长作相等关系可得方程．其中，正确的是（    ） A．①正确，②不完全正确 B．①不完全正确，②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【变式11-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，长为50cm、宽为的大长方形被分割成8块．除阴影A，B外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边的长为． (1)由图可知，每块小长方形较长一边的长为________cm（用含a的代数式表示），图中2块阴影部分的周长和为________cm（用含x的代数式表示）． (2)当a为何值时，2块阴影部分的周长相等？ 【变式11-2】（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个完全相同的小长方形花圃（阴影部分），则小长方形花圃的长和宽分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式11-3】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，长方形被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形的面积为4，求长方形中最大的正方形与最小的正方形的面积之差． 【题型十二】方案选择 【例12】（24-25七年级上·北京·期末）某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ 【变式12-1】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）在以“六个统筹”谱写“十五五”体育强国建设新篇章的政策指引下，大众健身热情持续高涨，体育用品需求稳步提升．体育用品商店精准把握市场需求，用7800元购进篮球和排球共170个，以满足广大健身爱好者的需求．篮球、排球的进价和售价如下表所示． 篮球 排球 进价（元/个） 60 40 售价（元/个） 100 60 (1)体育用品商店购进篮球和排球各多少个？ (2)某校计划举办校园体育节，准备到该体育用品商店购买篮球和排球共22个，且排球的购买数量大于篮球购买数量的，该体育用品商店给出两种优惠方案： 方案一：两种球的售价都打8折； 方案二：每购买2个篮球，赠送1个排球． 学校根据购买清单发现两种方案的购买总价是一样的．求学校准备购买篮球和排球各多少个． 【变式12-2】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． (1)请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 【变式12-3】（24-25七年级上·重庆·期末）忠县作为“中国柑橘城”，柑橘产业已经非常成熟，形成了多个特色品种，其中最出名的当属“爱媛果冻橙”和“沃柑”．某超市用元从农户处购进“果冻橙”和“沃柑”两个品种的柑橘共斤．进价和售价如下表所示： 果冻橙 沃柑 进价（元/斤） 售价（元/斤） (1)求该超市购进“果冻橙”和“沃柑”各多少斤？ (2)由于水果运输过程中会有一定的损坏，“果冻橙”的损坏率为，“沃柑”的损坏率为，损坏的柑橘不能进行销售，若这批柑橘全部售出的总利润为元，求的值； (3)该超市第二次进货时，农户给出了如下优惠方案： “果冻橙”优惠方案 一次性购买数量 不超过斤的部分 超过斤的部分 折扣数 九折 八折 “沃柑”优惠方案 购买总金额 不超过元 超过元但不超过元 超过元 返现金金额 0元 直接返现金元 先返购买总金额的，再返现金200元 已知超市购进“果冻橙”共支付了元，购进“沃柑”共支付了元，运输中仍按照（2）中的损坏率考量，将第二次购进的两种柑橘全部卖完，一共可获得利润多少元？ 【题型十三】分段计费 【例13】（24-25七年级上·云南红河·期末）某市为鼓励市民节约用水实行阶梯水价制，2024年主城区居民生活用水阶梯价格收费标准如下（注每月还要收居民污水处理费：1元/．）： 类别 每户每月用水量（单位：） 阶梯水价（单位：元/） 第一阶梯 不超过15立方米的部分 5 第二阶梯 超过15立方米的部分 9 (1)若某居民户7月份用水量为，请用含x的代数式表示该居民户7月份应交水费多少元； (2)小云家7月份的水费为120元，她告诉小南她们家这个月的用水量为，小南通过计算发现小云的说法有误，试说明小南这样判断的理由，并计算小云家7月份的实际用水量． 【变式13-1】（25-26七年级上·甘肃·期末）为了鼓励节约用电，某地用电标准规定：如果每户每月用电不超过度，那么每度按元缴纳；超过部分则按每度元缴纳． (1)某户月份用电度，共交电费元，求． (2)若该户月份的电费平均每度元，求月份共用电多少度？应交电费多少元？ 【变式13-2】（25-26七年级上·天津·期末）某市有两家出租车公司，收费标准不同．甲公司收费标准为：起步价9元，超过3千米后，超过的部分按照每千米元收费．乙公司收费标准为：起步价20元，超过8千米后，超过的部分按照每千米元收费．已知车辆行驶x千米．本题中x取整数，不足1千米的路程按1千米计费． (1)根据题意，填写下表： 车辆行驶的路程（千米） 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费（元） 9 — 17 — … 乙公司收费（元） 20 20 20 — — … (2)当车辆行驶路程超过8千米，且路程为整数时，甲、乙两公司的收费分别是多少？（结果用化简后的含x的式子表示） (3)当行驶路程为______千米时，两家公司的费用相同． 【变式13-3】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）某超市推出如下优惠方案：（1）一次性购物不超过100元，不享受优惠；（2）一次性购物超过100元但不超过300元，一律9折；（3）一次性购物超过300元，一律8折．一人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，那么应付款 元． 【题型十四】日历问题 【例14】（25-26七年级上·云南昆明·期末）如图是某月的日历图，用“”型框任意框出7个数（如图中阴影部分所示），这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．70 C．77 D．105 【变式14-1】（24-25七年级上·四川成都·期末）如图是2025年1月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果不可能有（   ） A．75 B．100 C．115 D．120 【变式14-2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，是2024年1月的月历，任意选取“十”字形中的五个数（比如图中阴影部分），若移动“十”字形后所得五个数之和为115，那么该“十”字形中正中间的号数为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【变式14-3】（22-23六年级上·山东东营·期末）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（    ） 一 二 三 四 五 六 日 2 4 5 6 7 9 11 12 13 14 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．70 B．78 C．77 D．105 【题型一】已知一元一次方程的解，求参数 【例1】（24-25七年级上·全国·期末）若关于的方程的解为大于4的整数 ，求整数的值 【变式1-1】（24-25七年级上·重庆·期末）已知关于的方程有整数解，则正整数的所有可能的取值之和为 ． 【变式1-2】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）已知关于x的方程（a，b为常数），无论k为何值，它的解总是，则的值是 ． 【题型二】一元一次方程解的关系 【例2】（25-26七年级上·全国·期末）关于x的方程的解比方程的解大2． (1)求方程的解； (2)求m的值． 【变式2-1】（22-23七年级上·陕西延安·期末）已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【变式2-2】（22-23七年级上·河南开封·期末）关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 【变式2-3】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【题型三】数轴动点问题 【例3】（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，A在B的左侧． (1)若． ①若，到原点的距离相等，则 ． ②若点与原点相距3个单位长度，则 ． (2)若，，点是数轴上的点，其表示的数为． ①当有最小值时，最小值为 ，此时点须满足的条件是 ； ②若点到点和点的距离之和为40，求的值； ③点，分别从，两点同时向左运动，点始终是的中点，的速度为1个单位长度，的速度为3个单位长度，当，两点相距4个单位长度时，求此时的值． 【变式3-1】（23-24七年级上·湖北孝感·期末）已知数轴上有A、B两个点对应的数分别是a、b，且； (1)直接写出a、b的值： ， ； (2)如图①：点M是数轴上A、B之间的一个点，若，求点M所对应的数； (3)如图②：点P、点Q为数轴上的两个动点，点P从A点以2个单位长度每秒的速度沿数轴正向运动，点Q同时从B点以1个单位长度每秒的速度沿数轴负向运动．设运动时间为t秒，在点P与点Q相遇之前，若，求时间t的值． 【变式3-2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为10，点M，N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒． (1)求点M，点N分别所对应的数（用含t的式子表示）； (2)若点M，点N均位于点A右侧，且，求t的值． 【变式3-3】（25-26七年级上·湖南长沙·月考）如图，数轴上三个点A，B，C表示的数分别为a，b，c，其中a，c满足，点B在A、C之间，且．数轴上的两个动点P，Q分别从A，C两点同时出发向右运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒． (1)直接写出 (2)若当运动时间为t秒时，线段的中点M与线段的中点N的距离为2，请求出t的值； (3)若点D从原点出发以2单位长度/秒的速度向右运动，且与P、Q两点同时出发．当点P追上点D 后立即以原速返回A点，当点P回到A点时三点都立即停止运动．在点P返回的过程中，存在常数k，使得运动时间t在某个时间段内为定值，请求出这个时间段和k的值． 【题型四】几何动点问题 【例4】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段上运动，用含t的式子表示、，并求当时t的值； (2)如图②，若点Q在线段上运动，当t为何值时，的面积等于面积的； (3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，直接写出时t的值． 【变式4-1】（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在长方形中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． (1)当点P在上运动时， _____．（用含t的代数式表示） (2)当点P在上运动时， _____（用含t的代数式表示）；当点P运动到的中点时，求线段的长； (3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值． (4)当点P在上运动时，连接．直接写出的面积是时t的值． 【变式4-2】（24-25七年级上·湖北荆州·期末）在长方形中，．动点初始位置分别在点和点处，点，点运动速度分别是每秒1个单位长度和每秒2个单位长度；设运动的时间为秒． (1)如图1，若点从点出发，以顺时针方向在长方形上匀速运动，当时， ；当点第一次运动到上，不与两点重合时， （用含t的代数式表示）； (2)如图1，若点、同时从初始位置出发，都以顺时针方向在长方形上匀速运动，当、第一次相遇时，求的值； (3)如图2，若点同时从初始位置出发，点以顺时针方向，点以逆时针方向分别在长方形上作匀速运动，点运动到点停止运动，点运动到点停止运动； ①当为何值时，； ②当两点在运动路线上相距3个单位长度时，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $