精品解析：陕西省渭南市韩城市象山中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

象山中学2025-2026学年度第三次月考试题 高一数学试题 命题人：张斌 （满分：150分，时长：120分钟） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷 一、选择题（共8题，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集运算，即可求出结果. 【详解】由题意可得，则. 故选：C. 2. 设命题p：关于x的不等式对一切恒成立，命题q：对数函数在上单调递减，那么p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】p为真，利用判别式小于0恒成立求解a的范围；q为真时，由对数函数的单调性求解a的范围q，然后利用充分必要条件的判定得答案. 【详解】解：关于x的不等式对一切恒成立， 则，即， ∴p为真：； 对数函数在上单调递减， 则，即. ∴q为真：. ∵， ∴p是q的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件，同时考查了一元二次不等式恒成立、对数函数的性质，属于基础题. 3. 下列命题中，正确的是 A. 若，则 B. 若，，则 C. 若 ，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质或反例可判断各选项正确与否. 【详解】对于A，取，则，但，故A错； 对于B，取，则， 但，，故B错； 对于C，取，则， 但，，故C错； 对于D，因为，故即，故D正确； 综上，选D. 【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题. 4. 若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数是上的增函数， 则，解得. 5. 函数为上的奇函数，时，，则=（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再根据奇函数的性质计算可得； 【详解】解：因为为上的奇函数，且时，， 所以，所以； 故选：B 6. 若，，，则，，由大到小的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数、指数函数的单调性即可分析比较大小. 【详解】因为，，， 所以，即, 故选：B 7. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的70％分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 6.5 D. 6或7 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义即可求解. 【详解】数据共有9个，，所以分位数为第7个数，即7， 故选：B 8. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 若，则 D. 函数在单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】对A，赋值法令求解；对B，赋值法结合奇函数的定义判断；对C，令求得函数的周期求解；对D，利用单调性定义结合赋值法求解判断. 【详解】对于A，令，可得，解得，故A错误； 对于B，令，可得，又， 则，所以函数是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，则是周期函数，周期为2，所以，故C错误； 对于D，令，，且，则， 即，而时，与2大小不定，故D错误. 故选：B. 二、多选题（共3题，共18分） 9. 下列选项正确的有（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. ，函数的最大值为 C. 函数的最小值为 D. 当，时，若，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二次函数的定义域，求函数的最小值，判断A，根据基本不等式判断BC，根据“1”的妙用与变形，结合基本不等式，即可判断D. 【详解】A.，，当时，函数去掉最小值1，故A正确； B.， 当，，得，所以的最大值为，故B错误； C. ， 设，则在区间单调递增，当时，取得最小值，所以函数的最小值为，故C错误； D.若，则，则， 当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：AD 10. 先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的是（ ） A. 样本空间中一共含有4个样本点 B. 事件“两次正面向上”发生的概率是 C. 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件 D. 事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据列举法判断选项A；根据古典概型判断计算判断选项B；根据互斥事件、对立事件的概念判断选项C、D.. 【详解】对于A：样本空间中一共含有：正正，正反，反正，反反共4个样本点，故A正确； 对于B，两次正面向上含有一个样本点，故事件“两次正面向上”发生的概率是，故B正确； 对于C：当恰好一次正面向上，一次反面向上时， 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”同时发生， 故不是互斥事件，故C错误； 对于D：事件“至少一次正面向上”与事件“两次背面向上”是对立事件，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则是增函数 C. 存在实数a，使得为偶函数 D. 若的值域为，则a的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用解析式求函数值判断A选项；由复合函数单调性判断B选项；由函数奇偶性的定义判断选项C；由函数值域得要取遍所有正数，分类讨论求a的取值范围判断D选项. 【详解】，A正确； 若，由复合函数单调性可知，在定义域内是增函数，B正确； 函数有意义，则， 无论为何值，函数定义域不可能关于原点对称，即不存在实数a，使得为偶函数，C错误； 若的值域为，则要取遍所有正数，得或，解得，D正确． 故选：ABD Ⅱ卷 三、填空题（共4题，共20分） 12. 现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为___________（以下摘自随机数表第7行）． 39832776 39918535 32591131 40469235 04982212 20671263 【答案】11 【解析】 【分析】由题目给出的随机数表，按照读取随机数表的方法得答案． 【详解】从随机数表第9个数字开始向右读，，（舍去），（舍去），，，（舍去），11……， 则第4支水笔的编号为． 故答案为：11． 13. 已知函数的图象恒过定点．若点在幂函数的图象上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的图象恒过定点，求出点的坐标，代入幂函数的解析式求出，再计算的值． 【详解】令，解得，此时， 所以指数函数的图象恒过定点； 因为点在幂函数的图象上，所以，解得， 所以，所以． 故答案为：． 14. 函数的零点为_____________. 【答案】和6 【解析】 【分析】分和两种情况计算求解时的解，即可得解. 【详解】当时，令即，解得（舍去）或； 当时，令即. 综上可得函数的零点为和. 故答案为：和6 15. 某校从在校学生中，用分层抽样的方法抽取男生人，女生人.测得他们的身高后，计算得到男生身高的样本平均值为，方差为；女生身高的样本平均值为，方差为.则所有个身高数据的平均值为__________，样本方差为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件，利用分层抽样的平均数及方差的计算公式，即可求解. 【详解】由题知个身高数据的平均值为， 个身高数据的样本方差为， 故答案为：. 四、解答题（共5题，共72分） 16. 已知集合 （1）当时，求 （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得. （2）利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解即得. 【小问1详解】 解不等式，得，则， 当时，， 所以. 【小问2详解】 由，得，由（1）知，， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 17. 闪存（Flash Memory）是一种非易失性电子存储器，能够在断电后保持存储的数据不丢失.它由许多小的电容构成，通过高电压供电来写入数据，具有高信息密度、大量读写、随机存取时间短等特点.几乎所有的电子设备都依赖于闪存，包括智能手机、笔记本电脑、台式机等.鉴于目前闪存的市场行情，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为200元/片，且能全部售完. （1）求公司获得的利润的函数解析式； （2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 【答案】（1） （2）160万片 【解析】 【分析】（1）根据条件列出关于的分段函数即可； （2）分成两种情况分别求出最值，再比较大小即可. 【小问1详解】 当时， ， 当时， ， 故； 【小问2详解】 当时，， 函数图象开口向下，对称轴为， 故的最大值为(万元)； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为730（万元）， 因为，所以封装160万片时，公司可获得最大利润. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论. （3）是否存在实数，对于任意，不等式恒成立，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）为上的减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）因为为上的奇函数，所以，代入可求； （2）由（1）可得，利用定义，任取，只要说明的符号即可判断； （3）由不等式恒成立，及是上的奇函数且是上的减函数，可得对恒成立．由题意可得，，结合二次函数的性质先求出的最大值，即可求的范围． 【详解】（1）因为为上的奇函数，所以， ， ； （2）为上的减函数． 任取， ， ，，， ， ，所以为上的减函数． （3）若不等式恒成立， ，又为上的奇函数， 所以 又为上的减函数，所以对恒成立． 即对恒成立． ，， 设，其对称轴为， 时是增函数， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质（定义域内有时）的应用，灵活利用该性质可以简化基本运算，函数的单调性的应用是函数基本知识的应用，而函数的恒成立与函数的奇偶性、单调性的综合应用是解决抽象不等式（或恒成立）问题中最为常用的工具． 19. 已知某医疗队共有医生20人，护士30人，现在要用分层随机抽样的方法从中选取5人组建一个救援小组. （1）求救援小组中医生和护士的人数； （2）若从救援小组中随机选取2人担任组长，求医生和护士各有1人被选中的概率. 【答案】（1）医生人数为2，护士人数为3； （2） 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的特征进行求解，得到答案； （2）2名医生，记为A，B；3名护士，记为a，b，c，利用列举法进行求解 【小问1详解】 由题可知救援小组中医生的人数为，护士的人数为. 【小问2详解】 由（1）可知救援小组中有2名医生，记为A，B；有3名护士，记为a，b，c. 从中随机选取2人担任组长，所有的结果为，，，，， ，，，，，共有10种可能的结果. 记事件M为“医生和护士各有1人被选中担任组长”，依题意可知事件M包含的样本点 有，，，，，，共有6种可能的结果. 故. 20. 某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图． （1）求直方图中的值； （2）请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数； （3）样本内语文分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率． 【答案】（1）0.01； （2）中位数是，平均数是； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图直接列式计算作答. （2）利用频率分布直方图求中位数、平均数的方法列式计算作答. （3）求出分数在的人数，再用列举法结合古典概率公式计算作答. 【小问1详解】 由频率分布直方图得： . 【小问2详解】 由频率分布直方图知，分数在区间、的频率分别为0.34，0.62， 因此，该校语文成绩的中位数，则， 解得， 语文成绩的平均数为 ， 所以该校语文成绩的中位数是，语文成绩的平均数是. 【小问3详解】 由频率分布直方图知，分数在内分别有8人和2人， 因此抽取的5人中，分数在内有人，在内有1人， 记内的4人为a，b，c，d，在内的1人为F， 从5人中任取2人的结果有：，共10个不同结果，它们等可能， 选出的2人中恰有一人成绩在中的结果是：， 所以选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 象山中学2025-2026学年度第三次月考试题 高一数学试题 命题人：张斌 （满分：150分，时长：120分钟） 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷 一、选择题（共8题，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题p：关于x的不等式对一切恒成立，命题q：对数函数在上单调递减，那么p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列命题中，正确的是 A. 若，则 B. 若，，则 C. 若 ，，则 D. 若，则 4. 若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 函数为上的奇函数，时，，则=（ ） A. B. C. 2 D. 6 6. 若，，，则，，由大到小的关系是（ ） A. B. C. D. 7. 数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的70％分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 6.5 D. 6或7 8. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 若，则 D. 函数在单调递减 二、多选题（共3题，共18分） 9. 下列选项正确的有（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. ，函数的最大值为 C. 函数的最小值为 D. 当，时，若，则的最小值为 10. 先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的是（ ） A. 样本空间中一共含有4个样本点 B. 事件“两次正面向上”发生的概率是 C. 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”是互斥事件 D. 事件“至少一次正面向上”与事件“两次反面向上”是对立事件 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则是增函数 C. 存在实数a，使得为偶函数 D. 若的值域为，则a的取值范围为 Ⅱ卷 三、填空题（共4题，共20分） 12. 现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为___________（以下摘自随机数表第7行）． 39832776 39918535 32591131 40469235 04982212 20671263 13. 已知函数的图象恒过定点．若点在幂函数的图象上，则______． 14. 函数的零点为_____________. 15. 某校从在校学生中，用分层抽样的方法抽取男生人，女生人.测得他们的身高后，计算得到男生身高的样本平均值为，方差为；女生身高的样本平均值为，方差为.则所有个身高数据的平均值为__________，样本方差为__________. 四、解答题（共5题，共72分） 16. 已知集合 （1）当时，求 （2）若，求实数的取值范围． 17. 闪存（Flash Memory）是一种非易失性电子存储器，能够在断电后保持存储的数据不丢失.它由许多小的电容构成，通过高电压供电来写入数据，具有高信息密度、大量读写、随机存取时间短等特点.几乎所有的电子设备都依赖于闪存，包括智能手机、笔记本电脑、台式机等.鉴于目前闪存的市场行情，某闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当不超过120万片时，；当超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为200元/片，且能全部售完. （1）求公司获得的利润的函数解析式； （2）封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论. （3）是否存在实数，对于任意，不等式恒成立，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由. 19. 已知某医疗队共有医生20人，护士30人，现在要用分层随机抽样的方法从中选取5人组建一个救援小组. （1）求救援小组中医生和护士的人数； （2）若从救援小组中随机选取2人担任组长，求医生和护士各有1人被选中的概率. 20. 某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图． （1）求直方图中的值； （2）请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数； （3）样本内语文分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $