3 等比数列（第1课时 等比数列的概念及其通项公式）（教学课件）数学北师大版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列的概念、通项公式及应用，通过理财产品本息和、放射性元素衰减等生活实例导入，结合拉面拉抻、化工厂产值实例分析共同特征，引导学生从具体问题中抽象数量关系，构建从具体到抽象的学习支架。 其特色在于以数学眼光观察现实世界，用生活实例激发探究兴趣，培养抽象能力与创新意识。通过归纳推导通项公式、证明性质，结合高考真题题型训练，发展逻辑推理的数学思维。课堂小结系统梳理知识，学生能夯实基础提升应用能力，教师可直接用于教学，高效落实核心素养。

3 等比数列(第1课时) 第一章 数列 北师大版选择性必修第二册·高二 本章导读 1.2等差数列 等差数列的概念与通项公式 等差数列的前n项和公式 1.4数列的应用 数列在日常经济生活中的应用 数列的其他应用 1.3等比数列 等比数列的概念与通项公式 等比数列的前n项和公式 1.5数学归纳法 1.1数列的概念及其函数特性 数列的概念 数列的函数特性 学 习 目 标 1 2 3 理解等比数列的定义，能区分等比数列与非等比数列.  掌握等比数列的通项公式推导过程，会用公式求指定项. 掌握等比数列公式的简单应用,能灵活运用公式解决实际问题(重点、难点). 读教材 阅读课本P22-P26，5分钟后完成下列问题： 1.什么是等比数列？它有什么特点？ 2.等比数列的通项公式是如何推导的？ 3.如何利用等比数列解决实际问题？ 我们一起来探究“等比数列”吧！ 新课引入 在日常生活中，我们经常遇到这样的数列： ①某理财产品年利率为3%，本金1000元，每年本息和构成数列：1000，1000×1.03，，，… ②某种放射性元素每年衰减10%，初始质量为10g，剩余质量构成数列： 这些数列的共同特征是什么？如何用数学式子描述这种“逐次倍数变化”的规律？今天我们就来解锁等比数列的核心知识. 学习过程 01 02 目录 1 等比数列的概念 3 题型训练 03 2 等比数列的通项公式 实例分析 下列问题中的数列有什么共同特征？ (1)你吃过拉面吗？拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、再捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条．这样拉抻、捏合8次后可拉出多少根细面条？ 第1次是1根，后面每次捏合都将1根变为2根，故有 第2次捏合成(根); 第3次捏合成(根); 第8次捏合成(根). 对于数列①，从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是2. 前8次捏合成的面条根数构成一个数列 ① 实例分析 (2)星火化工厂今年产值为万元，计划在以后5年中每年比上一年产值增长，试列出从今年起6年的产值（单位：万元）. 对于数列②，从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是 第1年产值：; 第2年产值：; 第3年产值：; 第6年产值：. 故这6年的产值构成一个数列 . ② 抽象概况 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母表示（). 等比数列的概念 经比较，可以看出数列①,②有如下的共同特征：从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是一个与项数无关的常数． 抽象概况 (2)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第项起每一项与它前一项的比值都是同一个常数，那么此数列不是等比数列. 注意： (1)由于等比数列每一项都可能作分母，因此每一项均不为0，故 也不能为0. (3)常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列. 当常数列式各项都为0的数列时，它就不是等比数列； 当常数列各项不为0时，它是等比数列. 牛刀小试 判断下面数列是不是等比数列． (1) (2) (3) (4). × √ 解:按照等比数列的定义，需要验证从第2项起，每一项与它前一项的比值是不是同一个常数．于是 (1)是等比数列，公比. (2)是公比的等比数列． (3)因为，所以该数列不是等比数列. (4)当，它是公比的等比数列；当时，它不是等比数列. √ 见解析 学习过程 01 02 目录 1 等比数列的概念 3 题型训练 03 2 等比数列的通项公式 实例分析 如果已知一个数列是等比数列，且已知它的首项和公比，怎样求出它的通项公式？ 设这个等比数列是 由等比数列的定义，可知： 从而， 由此得到 当时， 抽象概况 若首项是，公比，则等比数列的通项公式为 等比数列的通项公式 1、与等差中项类似，如果在与之间插入一个数，使得成等比数列，那么根据等比数列的定义，．我们称为的等比中项. 显然，在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项． “a，G，b成等比数列”与“”是不等价的. 因为由不能推出 (a，b可能为0). 抽象概况 2、设等比数列的公比为，则有如下的性质： (1)若，则. (2)在等比数列中，序号成等差数列的项组成的新数列仍为等比数列． (3)若数列是两个项数相同的等比数列，则数列，，也是等比数列． 你能尝试证明上述结论吗？ 抽象概况 类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列的通项公式与学过的哪类函数有关？ 即指数型函数(为常数，且，a＞0且构成一个等比数列 类比指数函数的性质，你能完成课本页思考交流中的表格吗？ 的范围 数列的增减性 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 不变 不变 例题剖析 【例1】在各项为负数的数列中，已知,且 (1)求证：数列是等比数列，并求出它的通项公式； (2)试问是数列中的项吗？如果是，指出是中的第几项；如果不是，请说明理由. 解:(1)因为，且，所以,故数列是公比的等比数列， 又 ， 则,即 又数列各项均为负数，则 所以 (2)设由等比数列的通项公式得 根据指数函数的性质，得 因此，是数列中的第6项. 例题剖析 【例2】据报载，在20世纪80年代末，中美洲地区毁林严重， 森林面积还剩．请你回答以下几个问题： (1)如果以每时平均毁林约48 hm2计算，剩下的森林经过 多少年将被毁尽？(1年按365天计） (2)根据(1)计算出的年数，如果以每年的速度减少，计算n年后还剩的森林面积（结果写成的形式，精确到0.01). (3)若按的速度减少，计算经过150年后、经过200年后、经过250年后及经过300年后森林面积的情况，经过多少年森林将被毁尽？ 解: (1)如果每时平均毁林约48 hm2，则每年平均毁林 , 列出比式，故剩下的森林大约经过 45 年将被毁尽． 说明 表示公顷， 1=10 000 例题剖析 (2)若以3.6的速度减少，用计算器计算45年后还剩的森林面积为 若以的速度减少，45年后还剩的森林面积为 (3) 经过150年后，约剩77680 hm2；经过200年后，约剩12421 hm2；经过250年后，约剩1986 hm2；经过300年后，约剩318 hm2；经过512年后，约剩0.134 hm2，森林几乎被毁尽. 学习过程 01 02 目录 1 等比数列的概念 3 题型训练 03 2 等比数列的通项公式 题型训练 题型一 等比数列基本量的计算 【练习1】等比数列的第四项等于________． 等比数列基本量的求法 等比数列的通项公式共涉及四个量a1，an，q，n，知道其中三个就能求另一个，体现了方程思想的应用． 解：由x，3x＋3，6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项为. 题型训练 题型一 等比数列基本量的计算 【练习2】(全国乙卷，理)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14　　　　　　　　　 B．12 C．6 D．3 解：设等比数列{an}的公比为由题意可得 即解得所以 题型训练 题型一 等比数列基本量的计算 【练习3】已知数列满足，且，则_______． 解：因为， 可得， 所以， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 又， 所以， 所以 题型训练 题型二 等比数列项的性质 【练习4】(全国乙卷，理)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________． 解：设的公比为，则，显然则，即，则，因为，则，则，则，则 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． 题型训练 题型二 等比数列项的性质 【练习5】已知为等比数列且满足则 解：因为{an}为等比数列，所以所以 = 题型训练 题型三 等比数列的判定与证明 【练习6】已知a1＝2，a2＝－1，且an＋2＋an＋1－6an＝0(n∈N*)．证明：{an＋1＋3an}为等比数列； 解：证明：∵an＋2＋an＋1－6an＝0，所以 ∴{an＋1＋3an}是以a2＋3a1＝5为首项，2为公比的等比数列． 等比数列判定与证明的两个注意点 (1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法. (2)证明一个数列{an}不是等比数列，只需要说明前三项满足a22≠a1·a3，或者是存在一个正整数m，使得 am＋12≠am·am＋2即可． 题型训练 题型三 等比数列的判定与证明 【练习7】已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2=2an＋1+3an. (1)证明：数列{an＋an+1}为等比数列； (2)若,求{an}的通项公式. 解:(1)由an＋2=2an＋1+3an，得an＋2+an＋1=3an+1+3an=3(an＋1+an). 因为数列{an}的各项都为正数，所以a1+a2>0， 所以{an＋an+1}是公比为3的等比数列. (2)由(1)得an＋2+an＋1=3(an＋1+an)，整理得an＋23an＋1=an＋13an). 又所以an＋13an=0,所以an＋13an， 所以数列{an}是以a1＝为首项，3为公比的等比数列． 所以数列{an}的通项公式为an= . 课堂小结   1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列．若首项是，公比，则等比数列的通项公式为 2、，的等比中项为. 3、设等比数列的公比为则有如下的性质： (1)若，则. (2)在等比数列中，序号成等差数列的项组成的新数列仍为等比数列． (3)若数列是两个项数相同的等比数列，则数列，，也是等比数列． 感谢聆听! $