重难点04 函数的存在性问题（4大类型16种题型）（复习讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦函数存在性问题这一核心考点，覆盖一次、反比例、二次函数及多函数综合四大类型，细分16种题型，系统梳理点与图形存在性的判定方法，构建“考点梳理-方法指导-真题训练”教学流程，通过“深挖重难·固根基”夯实解题逻辑，“分层锤炼·验成效”实现能力进阶。 亮点在于“题型归类+素养落地”，如角度存在性问题用“一线三垂直”构造培养几何直观，三角形存在性分类讨论发展推理意识，配套2025年各地中考真题及分层练习，结合即时反馈机制，助力学生提升抽象能力与问题解决能力，教师可精准把控复习节奏，高效冲刺中考。

第三章 函数 重难点04 函数的存在性问题 （4大类型16种题型） 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 152 固·重难考点 拓·创新能力 函数存在性问题是初中数学核心考点之一，覆盖一次函数、反比例函数、二次函数，常以综合题形式考查 “函数图象与几何图形的结合分析能力”，核心是判断 “满足特定条件的点 / 图形是否存在”，重难点如下： 一、一次函数的存在性问题 核心要求：结合一次函数的直线特征，判断平面内是否存在符合条件的点 / 图形。 关联难点： 1）点的存在性：如 “直线上是否存在点到两定点的距离相等”“平面内是否存在点与直线上两点构成等腰三角形”； 2）图形的存在性：如 “是否存在直线与已知一次函数平行 / 垂直，且经过某定点”“是否存在点使直线上三点构成直角三角形”。 二、反比例函数的存在性问题 核心要求：结合反比例函数的双曲线特征，判断双曲线上（或平面内）是否存在符合条件的点 / 图形。 关联难点： 1）点的存在性：如 “双曲线上是否存在点到原点的距离为定值”“是否存在点使双曲线上两点与坐标轴构成的三角形面积相等”； 2）图形的存在性：如 “是否存在点与双曲线上两点构成平行四边形”“是否存在直线与双曲线交于两点，且两点关于原点对称”。 三、二次函数的存在性问题 核心要求：结合二次函数的抛物线特征，判断抛物线上（或平面内）是否存在符合条件的点 / 图形。 关联难点： 1）点的存在性：如 “抛物线上是否存在点到某直线的距离为定值”“是否存在点使该点到两定点的线段和最小”； 2）三角形的存在性：如 “抛物线上是否存在点与已知两点构成等腰 / 直角 / 相似三角形”； 3）四边形的存在性：如 “抛物线上是否存在点与已知三点构成平行四边形 / 矩形 / 菱形”； 4）角度 / 面积的存在性：如 “是否存在点使某角等于已知角”“是否存在点使图形面积为定值”。 四、多函数综合的存在性问题 核心要求：结合一次、反比例、二次函数的图象特征，判断跨函数图象上是否存在符合条件的点 / 图形。 关联难点： 1）跨函数点的存在性：如 “是否存在点同时在一次函数与双曲线上，且满足某线段关系”； 2）跨函数图形的存在性：如 “是否存在点分别在抛物线与直线上，使两点与已知点构成等腰直角三角形”。 五、函数存在性问题的解题逻辑 核心方法： 1）设点坐标：将动点坐标用函数解析式表示为单变量形式（如二次函数上的点设为(t, at^2+bt+c）； 2）列关系式：根据条件（如线段相等、角度关系、图形性质）列出方程 / 不等式； 3）验证求解：解方程并验证解是否在函数图象 / 题目限定范围内。 题型01 角度存在性问题 度存在性问题的解题步骤 已知特殊角度求解 已知角度关系求解 第一步 读题、画图、理解题意 第二步 分析动点、定点，找不变特征 第三步 确定分类特征，进行分类讨论 第四步 已知特殊角度，构造一线三垂直、一线三等角、直角三角形，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 将角度进行转化:利用锐角三角函数、相似三角形或等腰三角形的性质、外角的性质等转化为常见的类型，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 【温馨提示】 1）角相等：若无明显条件，首选利用锐角三角函数值构造相等角( 先求已知角); 2）角度和差：可通过外角的性质、相似三角形的性质转化为相等角; 3）倍角：可通过外角的性质、等腰三角形的性质转化为相等角: 类型一 已知特殊角求坐标 1．（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线l的函数表达式为 (2)的面积最大值为， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线和直线的解析式即可； （2），过点作轴交于，设，则，表示出，从而可得，再由二次函数的性质即可得解； （3），将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于，则为等腰直角三角形，证明，得出，，求得，待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即；作点关于直线的对称点，连接交轴于，由轴对称的性质可得，，证明出点为的中点，即可得出，同理可得，直线的解析式为，当时，，即，由此即可得解． 【详解】（1）解：将、、代入二次函数的解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 设直线l的函数表达式为， 将、代入解析式可得， 解得：， ∴直线l的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴交于， ∵点P是抛物线上的点且在直线l上方， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，为，此时； （3）解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于， 则为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵轴于，轴于，、， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即； 作点关于直线的对称点，连接交轴于， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，即， ∴，即点为的中点， ∴， 同理可得，直线的解析式为， 当时，，即， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2．（2025·广东·二模）如图，抛物线 经过点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)以为直径的圆与直线的一个交点为 C． 若，求点 C 的坐标； (3)在（2）的条件下， 点 D 在以为直径的圆上， 且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，设，可证明是等腰直角三角形，，据此利用两点距离计算公式建立方程求解即可； （3）分点D在点A左侧和点D在点A右侧两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，连接，设， ∵以为直径的圆与直线的一个交点为C， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，当点D在点A左侧时，设中点为E，连接，，过点D作于R， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ； 如图所示，当点D在点A右侧时，设中点为E，连接，，过点D作交延长线于T， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ； 综上所述，的值为或． 3．（2025·湖北随州·二模）如图，平面直角坐标系中，点A，D在x轴上，点B在y轴上，四边形为菱形，．抛物线经过点，，且点C为此抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若动点P在边上以每秒2个单位长度的速度由B向C运动，同时动点Q在线段上以每秒3个单位长度的速度由D向A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)抛物线上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，求点M的坐标；不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M为或 【分析】（1）过点C作于点E，由菱形的性质可得，则可证明为等边三角形，则，解直角三角形求出的长，进而可得点C的坐标，再把解析式设为顶点式，利用待定系数法求解即可； （2）证明四边形为平行四边形，得到，即，解方程即可得到答案； （3）分，三种情况画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）四边形为菱形， ， ， 为等边三角形， 过点C作于点E，则 ， 在中，，， ， 则C为， 设抛物线的解析式为，则， 解得， ； （2）解：四边形为菱形， ，， ， ， ∴ 四边形为平行四边形， ∴，即， 解得． （3）解：当时，如图所示，过点C作于点E，设直线交y轴于H， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立解得或， ∴此时点M的坐标为； 同理可得当时，设直线与y轴交于K，过点C作轴于J， ∵轴，，即轴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或 此时点M的坐标为， 当时，点M不在抛物线上，故舍去， 综上知M为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 类型二 已知角度关系求坐标 4．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值． 【答案】(1) (2)抛物线上存在点，使，的坐标为 (3)的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据抛物线的对称轴为直线，得出则二次函数解析式为代入，得出，即可求解； （2）设，根据点的坐标可得，，分量种情况讨论，①当在直线的下方时，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，设关于的对称点为，则，验证可得点与点重合，得出，当在的上方时，作点关于的对称点，即，即可求解； （3）在上取一点，使得，得出，在上取一点，使得，垂足为，则，作关于的对称点，连接交于点，根据轴对称的性质可得当在上时取得最小值，最小值为的长，等面积法求得，则，进而得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即 ∴二次函数解析式为 将代入得， 解得：， ∴二次函数关系式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴， 当时，，则 ∴，， 设，则 ①当在直线的下方时， 如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形， ∴，， 设关于的对称点为，则， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴点与点重合， ∴ 当在的上方时，作点关于的对称点 ∵都是等腰直角三角形， ∴在轴上，（不合题意，舍去） 综上所述，抛物线上存在点，使，的坐标为 （3）解：如图，在上取一点，使得 ∴ 设，则 在中， ∴，即 解得： ∴ ∴ ∵， 在上取一点，使得，垂足为， ∴ ∴ 即, 如图，作关于的对称点，连接交于点 ∴ ∴当在上时取得最小值，最小值为的长， 在中， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴的最小值为． 5．（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴分别交于点、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一点，连接，，点M为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为N，连接，，当面积最大时，求此时点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使与互补，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)，最小值为 (3)存在，或 【分析】（1）根据对称轴得出，将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出带你P的坐标， 将点向右平移个单位长度至点，连接，则，做点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答； （3）根据题意得出平移后的解析式为，，①当点Q在x轴下方时：过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E，则，设，则，求出m即可； ②当点Q在x轴上方时：同理可得：，即可解答． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大， ∴， ∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上：，最小值为． （3）解：∵将抛物线沿射线方向平移后过点， ∴原抛物线向下平移2个单位长度，向左平移4个单位长度， ∴平移后的解析式为， ∵， ∴， ∴， ①当点Q在x轴下方时： 过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E， ∵， ∴， ∴，则， ∴，则点Q即为所求， 设， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴， ②当点Q在x轴上方时： 同理可得： 设， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：（舍）， ∴， 综上：存在，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，铅锤法求面积，将军饮马最值模型，以及一线三等角证明相似． 6．（2025·四川南充·模拟预测）如图1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在左侧）．与轴交于点，且，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点．过点作于点是直线上的动点（在左侧）．且．连接、．当线段取最大值时，求点坐标以及的最小值： (3)将原抛物线沿射线方向平移．使得平移后的抛物线经过点，点为抛物线的对称轴与轴的交点，为直线与抛物线在对称轴左侧的交点，为抛物线上的一个动点，且，请直接写出满足条件的所有点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据，求出点的坐标，用待定系数法即可求解； （2）作轴，交于，根据三角函数得出，得最大时最大，设，则，得，进而可求，设直线与轴交于，与轴交于，得点可看作点先向下平移个单位，再向可平移1个单位得到的，将点作同样的平移，得点，设点关于直线的对称点为，根据轴对称性质可得，连接，交直线于，得，进而可求的最小值； （3）根据平移规律求出，作轴，进而可得，过点，作直线，交于，交抛物线于，得，设直线为，求得，由，可求得，作点关于直线的对称点，直线交直线于，同法可求． 【详解】（1）解：令，则， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； （2）解：作轴，交于， ， ，， ， ， ， ， 最大时，最大， 设直线为， 代入，， 得，， ， ， 设，则， ， 时，， 此时， ， 设直线与轴交于，与轴交于， 当时，， 当时，， ，， ， 过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点， ， ， ， ， ，， 点可看作点先向下平移个单位，再向右平移1个单位得到的， 将点作同样的平移，得点， 即， ，且， 四边形为平行四边形， 连接， ， ， 当最小时，最小， 设点关于直线的对称点为， 直线交直线于， 设直线为， 作轴于，设，则，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连接，交直线于， ， 此时， 的最小值为； （3）解：， 将其沿直线方向平移后经过，相当于先向上平移2个单位，再向左平移3个单位， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， 作轴， ， ， 过点，作直线，交于，交抛物线于， ，， ， ， ， 设直线为， ， ， ， ， （舍），， ， ， 作点关于直线的对称点，直线交直线于， 位置如图所示： 设直线为， ， ， ， 同（2）可求， ， 令， ， ， ∵S是和的中点， ， 作射线， 交抛物线于， ， 设直线为， 代入，， ， ， ， ， ，（舍）， ， ， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，线段问题，角度问题，解直角三角形，勾股定理等知识，准确添加辅助线，综合应用相关知识点是解题的关键． 7．（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1)； (2)周长的最大值为，此时点P的坐标为； (3)存在，坐标为或． 【分析】（）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； （）设，则，；求出，，可得，即可知是等腰直角三角形，故，有，根据二次函数性质可得答案； （）当在轴上方时，延长，交于，求出，设新抛物线函数表达式为，把代入可解得新抛物线函数表达式为，可得，而直线函数表达式为，设，根据，，得，即，解得m得，故直线函数表达式为，联立，即可解得；当在轴下方时，设关于x轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，同理可解得 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：设， 轴，H在直线上， ， ； 在中，令得，令得， ，， ， ， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 的周长的最大值为，此时点P的坐标为． （3）解：在新抛物线上存在一点T，使得，理由如下： 当在轴上方时，延长，交于，如图： 在中，令得或， ， 由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， 新抛物线函数表达式为， 把代入得：， 解得舍去或， 新抛物线函数表达式为， 在中，令得或， ， 由，可得直线函数表达式为， 设， ，， ， ， ， ， 解得， ， 由，可得直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点， 由，得直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，待定系数法求解析式，等腰直角三角形判定与性质，二次函数图象与几何变换等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 类型三 已知等角求坐标 8．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定； （1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解； （4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得 ，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． （3）解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； （4）解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴ ． ∴． 即． 9．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)点E的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在下方时，可证明点P与点C关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性可得点P坐标；当点P在上方时，设直线交x轴于H，则可证明，设，利用两点距离计算公式可得，解得，则；求出直线解析式为，联立直线解析式和抛物线解析式求出点P的坐标即可； （3）先由对称性求出由对称性可得，求出，，则；则可推出将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，据此打得到新抛物线解析式为；再分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【详解】（1）解；把代入到中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；如图2-1所示，当点P在下方时， ∵， ∴， ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点P的坐标为； 如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H， ∵， ∴， ∴ 设， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线， ∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为， 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，两点距离计算公式等等，解（2）的关键在于分两种情况讨论求解，解（3）的关键在于利用平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解． 10．（2025·四川泸州·模拟预测）如图（1），抛物线交轴于，两点（点在左边），交轴于点． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)是抛物线第四象限上的一点，连接分别交，于，两点，若，求直线的解析式； (3)平移抛物线使它的顶点为，如图（2）．是轴上一个定点，以点为直角顶点，使顶点，分别在轴和抛物线上．若在变化的过程中，直线与抛物线始终有唯一公共点，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理．作出恰当的辅助线是解题关键． （1）令为0，解方程即可得和的坐标，令，即可得的坐标； （2）作交抛物线于点，交于点，利用平行导角证明，求出的表达式，设，进而由勾股定理表达出，从而可解得点坐标，得到，由平行关系 可得，最终可求直线的表达式； （3）由平移可得新抛物线的表达式为，设，由于直线与抛物线有且只有一个交点，亦可看成有两个重合的交点，故可由待定系数法得直线的表达式为，从而求出点的横坐标为作轴于点，如图（2）所示，利用“一线三垂”证明，得到比例式，设，即，整理可得，根据当点运动时，上式中的值与点的位置无关，从而，即，故得点的坐标． 【详解】（1）解：令中为0， 则，解得或， ，， 当时，， ； （2）解：作交抛物线于点，交于点，如图所示， ， ， ， ． ， 设直线的表达式为， 把，代入表达式，可得， 解得， 所以直线的表达式为， 设，则， 即， 解得或0， 故， 设直线解析式为 ∴， 解得：， ， ， 设直线的表达式为， 把代入可得， 解得， 直线的表达式为； （3）解：平移抛物线使抛物线的顶点为， 平移后抛物线的， 所以新抛物线的表达式为， 设， 设直线的解析式为， 把代入可得， 可得， 所以直线的解析式为， 列方程，整理得， 由于直线与抛物线有且只有一个交点， ，即， 可得， 故直线的表达式为， 再令，得， 解得． 作轴于点，如图所示， ， ， ， ， ， ， ， 设， 即， 整理可得， 当点运动时，上式中的值与点的位置无关， ，即， 故点的坐标为． 类型四 二倍角求坐标 11．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)①3；②抛物线的平移距离为 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点坐标，作的中垂线交轴于点，连接，则：，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而得到点坐标，求出直线的解析式，作，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点的坐标即可； （3）①求出直线的解析式，根据题意，得到旋转角为，作，交轴于点，作于点，则：，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出点的坐标，联立两个抛物线的解析式求出点坐标，作轴，交的延长线于点，证明，列出比例式求出的值，进而求出平移距离即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 12．（2025·宁夏·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，过点A作直线的平行线，交抛物线于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点D为直线下方抛物线上一点，过点D作轴交直线于点E，交直线于点Q，过点Q作于点F，连接，求面积的最大值及此时点D的坐标． (3)如图2，在（2）条件下，将原抛物线向右平移，使抛物线再次经过（2）条件下的点D，新抛物线与x轴交于点M，N（点M在点N的左侧），与y轴交于点G，连接，点P为新抛物线上一点，连接交直线于点H，使得，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为3，点D的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可解题； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平行设直线的解析式为，利用抛物线为得到，将代入求得直线的解析式，设，则，过点作交于点，记交于点，证明为等腰直角三角形，，再根据面积公式得到 ，最后利用二次函数的最值，即可解题； （3）利用平移的特点得到平移后的拋物线解析式为，以及，，，①连接，作的垂直平分线交于点，利用垂直平分线性质，等腰三角形性质，以及三角形外角定理得到，设，利用勾股定理建立等式，得到点，利用待定系数法求直线的解析式，根据点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，联立平移后的拋物线解析式和直线的解析式求解，即可解题，②作关于的对称点，连接，求解过程与①类似． 【详解】（1）解：抛物线与直线交于点， ，解得， 抛物线为； （2）解：设直线的解析式为， 过点点， ，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 当时，，解得，， ， ，解得， 设，则， 过点作交于点，记交于点， 由平移的性质可知， ， ， 即， ，轴交直线于点， ， ， 即为等腰直角三角形， ， ， ， 当时，面积的最大值为，点的坐标为； （3）解：原拋物线向右平移1个单位， 平移后的拋物线解析式为， 平移后的拋物线解析式为， 同理，求得，，， ①连接，作的垂直平分线交于点， 有， ， ， 设直线的解析式为， 过点， ，解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点为新拋物线上的一点，连接交直线于点， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， ②作关于的对称点，连接、，交抛物线于点， ，，， ， ， 由对称性可知， ， 设， ，， ， 整理得， 解得，， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解函数解析式，一次函数与二次函数交点情况，等腰三角形性质，对称的性质，勾股定理求两点间距离，垂直平分线性质，三角形外角定理，函数平移的规律，熟练掌握相关性质是解题的关键． 13．（2025·内蒙古通辽·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于点和，交y轴于点C．点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是在第二象限内抛物线上一个动点，连接，，，当的面积最大时，求点P的坐标和的面积最大值； (3)抛物线上是否存在一点E，使得，若存在，求点E坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)，最大值是8 (3)或 【分析】（1）由点和在抛物线上可设设抛物线解析式为：，再进一步求解即可； （2）求解直线解析式为：．过P做轴交直线于点Q，设，，结合，再进一步求解即可； （3）作的垂直平分线交x轴于F，可得，求解，在x轴上B点的左侧取点M，使得，再作直线垂直x轴，并且截取，可得，可得，再分两种情况讨论：当N在x轴上方时，，当N在x轴下方时，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象交x轴于点和， ∴设抛物线解析式为：． ∵， ∴， ∴ ∴抛物线解析式为：． （2）解：连接，∵，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线解析式为：． 过P作轴交直线于点Q， 设，， ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大值是8． 此时， ； （3）解：作的垂直平分线交x轴于F， ∴， ∴， ∴， 设，则． 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在x轴上B点的左侧取点M，使得，再作直线垂直x轴，并且截取， ∴， ∴， 当N在x轴上方时，， 此时，，， ∴同理可得：直线的解析式为：． ∴， 解得或， ∴； 当N在x轴下方时，， 此时，，， ∴同理：直线的解析式为：． 此时， ∴， 解得或， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与图形面积以及角度问题，锐角三角函数的应用，难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 14．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，过点作轴，交抛物线于点，过点的直线交的延长线于点，设的长为，求与的函数关系式； (3)如图3，连接交于点，交抛物线于点，于点，连接， ，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令求解即可； （2）令，表示出，，，然后根据的长为求解即可； （3）设，证明得，求出，设，可得，在上取一点，使，连接，求出得，从而，根据得，求出，证明得，求出，求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴，． ∴． （2）∵抛物线与轴交于点． ∴令． ∴． ∴． ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，即． ∵在直线上， ∴当时，． ∴． ∵轴， ∴． 当时，， ∴，， ∴． ∴． （3）∵在抛物线上， 设． ∵， ∴，，． ∴． ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 设， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 在上取一点，使，连接． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 在中，， 在中，． ∴．即． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵轴， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴在中，． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，锐角三角函数，难度较大，属中考压轴题． 题型02 三角形存在性问题 类型一 等腰三角形存在性问题 15．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 16．（2025·陕西渭南·一模）如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)存在，点的坐标为，， 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，等腰三角形定义．准确计算是解题的关键． （1）利用待定系数法求解； （2）分，两种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）将代入中，得， 一次函数的表达式为， 在一次函数图像上， ， 将代入中，得：， 反比例函数的表达式为； （2）存在，理由如下： 由（1）知：点的坐标为， 如图，过点作轴于点， 由勾股定理得：， ①如图，当时，点的坐标为，； ②如图，当时，过点作轴于点， 易证四边形为矩形，则， ，点的坐标为， 综上所述，存在满足要求的点，点的坐标为，，． 17．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线上有一点，使得是以底的等腰三角形，求点的坐标： (3)设为直线上方的抛物线上一点，连接，以为邻边作平行四边形，则平行四边形面积的最大值为___________； (4)如图2，若在x轴上有两个动点，且，则的最小值为___________． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式，平行四边形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点M的坐标为，，，根据等腰三角形的定义可得，即，则，解方程即可得到答案； （3）求出直线解析式为，设，则，则，根据，得到，则由平行四边形的性质可得，故当最大时，最大值，据此求解即可； （4）作点A关于x轴的对称点L，作且，连接，则，由轴对称的性质可得，证明四边形是平行四边形，得到，则，故当A、E、T三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线相交于点和点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设点M的坐标为， ∵，， ∴， ， ∵是以底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，； ∴点M的坐标为或； （3）解；设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当最大时，最大值， ∴的最大值为； （4）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点L，作且，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴当A、E、T三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵， ∴的最小值为． 类型二 直角三角形存在性问题 18．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数 的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)一次函数为，反比例函数为； (2) (3)或； 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理、待定系数法求函数的解析式，求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数求得的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，过点B作轴，交直线于点E，求出直线的解析式为，得到，然后利用三角形面积公式求得即可． （3）设，则，当时，，列方程并解得或，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与与反比例函数 的图象交于点， ，， ， ， ∴一次函数为，反比例函数为； （2）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 当时，，当时，， ，， ∵点是反比例函数图象上一点， ， ， 过点B作轴，交直线于点E， 设直线的解析式为，把，代入得到 解得 ∴直线的解析式为， ∵点，轴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴ ∴ ∴的面积． （3）解：设， ∵，， 则， 当时， 即，得到 解得：或， 故点P的坐标为或； 19．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求出直线的解析式为，得到，设，求出，，，分两种情况：①当时，②当时，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 20．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，② (3)存在，， 【分析】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等． （1）将、代入得方程组，解方程组即可； （2）①令，则，解方程即可求出点A的坐标； ②根据图象可知，当时，即抛物线在轴下方的部分，根据A，B两点的坐标即可得出结论； （3）设点P的坐标为，先由两点间的距离公式得，，，再分两种情况讨论：当为斜边时，则； 当为斜边时，则；分别解方程即可． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； ②根据图象可知，当时，x的取值范围为， 故答案为：； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 类型三 等腰直角三角形存在性问题 21．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，P点坐标为，或，或 【分析】（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得； （2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答； （3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，得，得，得，设，分和两种情况解答． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵中，当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 当时， ，， ∵， ∴， 解得（舍去），或（舍去）， ∴点P不存在； 当时，， ∴， 解得解得，或（舍去）， ∴， ∴； 当时，，点P不存在； 当时，，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 故点坐标为，    （3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，， ∴P坐标为，或； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，（舍去）， ∴P坐标为； 故P坐标为，或，或．    【点睛】本题考查了函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，函数的线段问题，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 22．（2025·内蒙古包头·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，，点是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点坐标为：或或或 【分析】本题考查二次函数的综合、待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及解一元二次方程，分类讨论是解题关键． （1）把、两点坐标代入，解方程组求出、的值即可求得答案； （2）根据解析式得出对称轴为直线，设，对称轴交于点，运用待定系数法可得直线的解析式为，则，进而可得，再运用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案； （3）设，，分四种情况：①点在对称轴右侧且在轴上方；②点在对称轴右侧且在轴下方；③点在对称轴左侧且在轴下方；④点在对称轴左侧且在轴上方；利用全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质，构建方程进行解答即可． 【详解】（1）解：（1）∵抛物线经过，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点与关于直线对称， ∴， ∴， ∴， 如图，设，对称轴交于点，设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． （3）解：设，， ①当点在对称轴右侧且在轴上方时，过点作对称轴的垂线，垂足为，过点作于点， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：，(舍去)， ∴, ∴． ②当点在对称轴右侧且在轴下方时，过点作轴于，过作于， 同理可得：， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． ③当点在对称轴左侧且在轴下方时， 同理可得：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． ④当点在对称轴左侧且在轴上方时， 同理可得：， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 综上所述：存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，点坐标为或或或． 23．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线解析式为 (2)的最大值为 (3) 【分析】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数最值问题，等腰直角三角形的定义等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后求得点B的坐标，即可利用待定系数法求得直线的解析式； （2）由题意可知，此时，且点在点上方，据此得到的表达式，然后根据二次函数的性质即可求得最值； （3）当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，可知此时点纵坐标为3，则有，据此即可解答． 【详解】（1）解：抛物线过、两点， 代入抛物线解析式可得， 解得， 抛物线解析式为， 令可得，，解， 点在点右侧， 点坐标为， 设直线解析式为， 把B、C坐标代入可得， 解得， 直线解析式为； （2）解：轴，点的横坐标为， ， 在线段上运动， 点在点上方， ， 当时，有最大值，的最大值为； （3）解：轴， 当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， 点纵坐标为3， ，解得或， 当时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ． 类型四 相似三角形存在性问题 “相似三角形存在性问题”是中考压轴题中一类常见的问题.为了避免讨论分支太过繁杂,一般会给出部分对应关系,最常见的就是给出一组同角(或等角),则同角(或等角)所对边为对应边.所以这类问题一般从确定一组等角(或同角)人手如果两个三角形中夹同角(或等角)的边易于列代数式表示,则建议通过解方程解决;反之,则需根据具体题意转化等角关系为特殊图形或特殊图形关系,进而求解若出现无法确定等角(或同角)的情况,也可以列表分析. 24．（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为：，反比例函数解析式为． (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用系数待定法分别求出一次函数和反比例函数的解析式即可． （2）先求出点C的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出点D，设，再根据直角坐标系两点之间的距离公式分别求出，，，由对顶角相等得出，再根据相似三角形的性质分两种情况或代入求解即可． 【详解】（1）解：把代入反比例函数，则， 则反比例函数解析式为：， 把代入， 则， ∴， 再把，代入， 则， 解得：， 则一次函数的解析式为：． （2）解：令时，则， ∴， ∵点D与点A关于点O对称， ∴ 设点， ∵， ∴ 又∵，， ∴，，， ∵与相似，， ∴分两种情况：或， 当时， 即， 解得：， 此时，点， 当， 即， 解得：， 此时， 综上：当点P在x轴的负半轴上，且与相似，点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，关于原点对称的点的坐标特点，相似三角形的性质，直角坐标系中两点之间的距离等知识，掌握这些知识是解题的关键． 25．（2025·广东揭阳·三模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与轴交于点，顶点是点D，交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)以为直径作，判断与的位置关系，并说明理由； (3)若抛物线对称轴上存在点，使得与相似，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)与相切，见解析； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查的是待定系数法求抛物线解析式，判定直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质；掌握切线的判定方法，作出合适的辅助线以及熟记相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）将点坐标代入表达式，求解即可； （2）先求出抛物线的顶点坐标，后过点作轴于点，证明即可； （3）由于相似三角形对应点尚不明确，所以分两种情况讨论，再根据相似三角形的性质即可求出坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点，， 解得 抛物线的解析式为． （2）与相切， 理由：如图（1），令， 解得，． ， ， 又 ， ， 过点作轴于点． 抛物线的对称轴为直线，顶点． ， ， ， 又 为直径， 与相切． （3）如图（2）：设抛物线对称轴与轴交于点，则． ，且点在抛物线对称轴上． 若与相似，则分以下两种情况： 当时，点与点重合， 当时，如图（2）， ， ， ． 点的坐标为或． 26．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)在轴上有一点，求出的值最小时点的坐标，及此时的值． (3)在第四象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴交轴于点，使与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2） 作点关于轴的对称点，连接、、，可知当共线时，最小，即最小，最小值为的长度，得到最小值，然后根据待定系数法求出直线的表达式为，即可得到点的坐标； （3）设 ，则，得出，，，，分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，， 把点，点，点的坐标代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：作点关于轴的对称点，连接、、，如图所示， 根据轴对称可知：， ， 两点之间线段最短， 当共线时，最小，即最小，最小值为的长度， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 顶点坐标， 的最小值为：； 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为， （3）解：在第四象限中的抛物线上存在点，使与相似，理由如下： 设 ，则， ，，，， ①当时， ， 即， 解得：，（舍去）， 此时， ； ②当时， ， 即， 解得：，（舍去）， 此时， ； 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数的解析式，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 27．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线上一动点（不与点B重合），过点M作轴于点N，交直线于点P． (1)求线段的长； (2)若，求点M的坐标； (3)若点M在直线下方的抛物线上运动，是否存在点M，使以点M，P，C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或 (3)存在，点M的坐标为或 【分析】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点等重要知识；要注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解． （1）根据题意确定，，即可求出线段的长度； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，，则，，列出方程，再求解即可； （3）设，且，则，，再求出；再分为当时及当时，这两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：令，得， 解得，． 点A在点B的左侧， ，， ． （2）令，得， ． 设直线的解析式为 把点，代入， 得， 解得 直线的解析式为． 轴， 设，则， ， ， 或， 解得，（舍去），，（舍去）． 点M的坐标为或． （3） 轴， 设，且，则，， ，，． 和相似，且， 或． 当时，，且， ，即， 解得（舍去），， ； 当时，如图，过点M作轴于点D， 则， ， ，， ，解得（舍去），， 综上，当以点M，P，C为顶点的三角形与相似时，点M的坐标 为或． 类型五 全等三角形存在性问题 28．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H． (1)求点A、P的坐标； (2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等 【分析】（1）令代入解析式求出A，将函数化成顶点式求解即可得到P，即可得到答案； （2）本题考查二次函数综合运用题，先根据题意求出H点坐标，从而求出，，设点，根据得到，从而得到，最后根据三角形全等分类讨论列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）， 令，即，解得，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：存在，理由如下， ∵点H在二次函数的对称轴上且交于x轴， ∴， ∵， ∴，， 设点， ∵DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点， ∴， ∴， ∵以点D，E，F为顶点的三角形与全等， ∴当时，， ∴，解得，（舍）， ∴； 当时，， ∴，解得，（舍）， ∴， 综上所述，当点D的坐标为或时，存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等. 29．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3，0)在抛物线上． (1)求该抛物线的表达式． (2)正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标． (3)在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值． 【答案】(1)该抛物线的表达式为y=x2+x+2； (2)点P的坐标为(1，0)或(2，0)； (3)线段CD'长度的最小值为1． 【分析】（1）先求得点A(-1，0)，点B(0，2)，利用待定系数法即可求解； （2）分两种情况讨论：△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD，利用全等三角形的性质求解即可； （3）按照（2）的结论，分两种情况讨论，当P、D'、C三点共线时，线段CD'长度取得最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：令x=0，则y=2x+2=2，令y=0，则0=2x+2，解得x=-1， 点A(-1，0)，点B(0，2)， 把A(-1，0)，B(0，2)，C(3，0)代入y=ax2+bx+c， 得，解得， ∴该抛物线的表达式为y=x2+x+2； （2）解：若△AOB和△DPC全等，且∠AOB=∠DPC=90°， 分两种情况： ①△AOB≌△DPC，则AO=PD=1，OB=PC=2， ∵OC=3， ∴OP=3-2=1， ∴点P的坐标为(1，0)； ②△AOB≌△CPD，则OB=PD=2， ∴正方形OPDE的边长为2， ∴点P的坐标为(2，0)； 综上，点P的坐标为(1，0)或(2，0)； （3）解：①点P的坐标为(1，0)时， ∵△PQD'与△PQD关于PQ对称， ∴PD'=PD， ∴点D'在以点P为圆心，1为半径的圆上运动， 当P、D'、C三点共线时，线段CD'长度取得最小值，最小值为2-1=1； ②点P的坐标为(2，0)时， ∵△PQD'与△PQD关于PQ对称， ∴PD'=PD， ∴点D'在以点P为圆心，2为半径的圆上运动， 当P、C、D'三点共线时，线段CD'长度取得最小值，最小值为2-1=1； 综上，线段CD'长度的最小值为1． 【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，点和圆的位置关系，解题的关键是正确进行分类讨论． 30．（2025·湖南株洲·一模）二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线． (1)求此二次函数的解析式和点的坐标； (2)如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)存在点 (3)或 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，勾股定理，直线与圆位置关系等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据点在函数图象上，对称轴是直线，运用待定系数法求解即可． （2）分为①当时，②当时，结合图象和全等三角形判定求解即可． （3）先算出①当与线段相切时，②当经过点时，③当经过点时，对应的临界值，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， 二次函数解析式为：， ， 令，解得：或4， 令，则， ，， 故此抛物线的解析式为：，． （2）解：如图，对称轴是直线， ①当时，P在第一象限，， ，代入中， ， ， ， 设直线解析式为， 则，解得：， ， ， ， ． ②当时，P在第四象限，显然与不全等； （或者， ，代入中， ， ， ， 设直线解析式为， 则，解得：， ， ， ， 与不全等） 综上所述，存在点，使与全等． （3）解：依题意知：的半径， ①当与线段相切时，如图所示， 设切点为H，连接，则，，， ，， ， ， ， ； ②当经过点时，M为中点，． ③当经过点时，如图， ，，， ， ， ， ， 当与线段只有一个公共点时，m的取值范围是：或． 题型03 特殊四边形存在性问题 类型一 平行四边形存在性问题 31．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出的值，即可求得二次函数解析式； （2）因为是定值，所以当的值最小时，则的周长最小．作点关于对称轴的对称点，即为点，连接，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标； （3）分别以、、为对角线进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得， ，解得， ； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小． 作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且， ． 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 把，代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 把代入得， ； （3）解：设，， ①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； ③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入， ； 综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行四边形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，正确作出分类讨论是解答本题的关键． 32．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得周长最小，请求出点M的坐标； (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形为平行四边形时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)则点P的坐标为：或 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质的综合，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次函数解析式可求出，可得点的坐标，运用交点式即可求解二次函数解析式； （2）根据抛物线的解析式可得点的对称点为点，结合轴对称最短路径可得的周长为最小，根据点的坐标可求出直线的解析式，由抛物线的对称轴为，代入直线的解析式即可求解； （3）根据平行四边形的判定和性质可得，设点则，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线的表达式可知，， ∴， ∴， ∴，，， 设抛物线的表达式为：， ∴， ∴， 故抛物线的表达式为：； （2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：， ∴对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴交抛物线的对称轴于点，即为所求点的位置，即的周长为最小， 已知，， 设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， 则点； （3）解：由（1）和（2）可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为， ∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则， ∴， ∴， ∴ 解得：，， ∴当时，，即； 当时，，即 ∴点的坐标为：或． 33．（23-24九年级下·甘肃天水·期中）如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点M、D的坐标，再根据当H，M，H三点共线时，即H与A点重合，的值最大，最大值，由勾股定理，求出的长即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∵， ∴当H，M，D三点共线时，即H与A点重合，的值最大， 最大值． （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．涉及二次函数图象性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 类型二 矩形存在性问题 1）先直角，再矩形.在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形（方法：“两线一圆”），再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用． 【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此. 2）先平四，再矩形.当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：，其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组． 【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式，剩下的都是计算的事. 3）构造“三垂直”直角得矩形 34．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；， 【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，列出方程求出的值即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是， ∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上， ∴； ∵， ∴对称轴为直线； （2）∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为， ∴， ∴； （3）存在； ∵， ∴当时，， ∴， 设，， 由（1）知：； 当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，， ∴轴， ∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：，解得， ∴，， ∵， ∴，解得； ∴； ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． 35．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可 （2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上， ，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 36．（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为，．点P是抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的取值范围是______； (3)设抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点），记为图象G．若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的取值范围； (4)已知平面内一点M的坐标为，点的坐标为，连结、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题关于抛物线，考查了抛物线的性质的应用，抛物线与几何性质的结合，解题的关键是分类讨论． （1）已知抛物线与轴的两个交点坐标，利用待定系数法，将交点坐标代入抛物线表达式建立方程组，求解系数和，即可得到函数表达式； （2）先将抛物线表达式化为顶点式，确定对称轴和开口方向，找到最大值点；再计算区间端点处的函数值，结合抛物线单调性确定该区间内的取值范围； （3）明确最值差的含义，结合抛物线顶点坐标和增减性讨论，不同范围内的最高点与最低点，求解的取值范围； （4）由、两点坐标特征可知平行于轴，结合抛物线对称轴及单调性，分析矩形位置与对称轴的关系，确定需满足的条件，进而得到的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入抛物线方程得， ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为， 观察函数图象可知，在范围内， 此时的函数值最大，此时的函数值最小， 把代入抛物线表达式得， 把代入抛物线表达式得， 故答案为：； （3）解：∵ 又∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值为2， 由题意可知， ， ∴分两种情况， 当点P在点左侧时， 此时点在与之间时，符合， ∴当时，则 解得：（不合题意，舍去）， ∴； 当点P在点右侧时， 此时点在与之间时，符合， 当时，则 解得：，， 当时， 解得：，， ∴， 综上所述，的范围为或； （4）解：∵ 又∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大 而增大，当时，y随x增大而减小， 若要使矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，矩形应在抛物线对称轴的左半部分，如图 ，，， ∴ 解得：． 【点睛】①求当t为何值时？P是[B,A]的弱点． ②求当t为何值时？P、A、B三个点中恰有一个点为其余两点的强点． 类型三 菱形存在性问题 解题思路： 1）先等腰，再菱形.在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法（两圆一线）可先确定第3个点，再确定第4个点． 2）先平四，再菱形.当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为菱形：，其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为菱形，表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可． 【总结】 菱形作为特殊的平行四边形其存在性问题亦是分类讨论中的一大难点.题目一般会给出两个定点，第三个点在某个可求的函数图像上，在另一个函数的图像上或直角坐标平面内，求能与之前的三个点构成菱形的第四个点的坐标.此类题目的一大难度在于如何合理分类的问题，若题目中已知两定点的话，可以把这两定点连成的线段作为菱形的一边或者对角线进行分类讨论，再利用菱形的性质确定出其他的顶点的位置. 37．（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中点，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)过点作轴交抛物线于点，连接，在抛物线上是否存在点使．若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答） (3)将该抛物线向左平移个单位长度得到，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，是平面直角坐标系内的一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为，，补图见解析 (3)、、、 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据平行线的性质可得，求得，进而分别求得，，根据可得，设直线交轴于点，则，．进而可得，的解析式为，，连接交抛物线于，连接交抛物线于，进而联立抛物线与直线解析式，解方程，即可求解． （3）①以为对角线，如图作的垂直平分线交于点交直线于，设，根据两点距离公式可得，根据中点坐标公式可得，②以为边，如图以为圆心，为半径画圆交直线于点，；连接，，根据勾股定理求得，进而得出，，根据平移的性质得出，，③以为边，如图以点为圆心，长为半径画圆交直线于点和，连接，，则，过点作于点，则，在和中，由勾股定理得，则、，根据，可得，过点作，过作，和相交于点，的中点．根据中点坐标公式可得； 【详解】（1）解：∵把点，代入得 ， 解得， ∴． （2）存在． 理由：∵轴且， ∴， ∴（舍去），， ∴． 过点作于点， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴． 设直线交轴于点， ，， ∴，． 连接交抛物线于，连接交抛物线于， ∴，的解析式为，， ∴，解得， 或，解得． ∴把，代入得，， ∴，． 综上所述，满足条件的点坐标为，． （3）、、、． 方法一： ①以为对角线，如图作的垂直平分线交于点交直线于 ∵，， ∴． 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ． ②以为边 如图以为圆心，为半径画圆交直线于点，；连接，， 过点作，过点作，和相交于点，同理可得 ，， ， ． 过点作直线于点，则； 在和中，由勾股定理得， ， ，． 点是由点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的， ，， ③以为边 如图以点为圆心，长为半径画圆交直线于点和， 连接，，则， 过点作于点，则，在和中，由勾股定理得， ， 、， ， ， 、、三点共线， 过点作，过作， 和相交于点， ∵、， 的中点． ，点为的中点， ． 综上所述：、、、． 38．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．D为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)过点D作，垂足为点E，求线段长的取值范围； (4)若点F、G分别为线段、上的点，且四边形是菱形，直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)点D坐标为 【分析】（1）设，将点代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）过点作轴于点，直线的解析式为，设点，则点，得出，进而根据三角形的面积公式，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解； （3）过点作轴于点，交于点，同（2）得出，证明，得出，根据二次函数的性质即可求解； （4）设，，表示出，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，， 设，将点代入， 得：， 解得：， ， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， ， ， 当时，面积的最大值为2； （3）解：如图，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， ， 在中，， ，轴， ， ， ， 又， ， ，即， ， 当时，取得最大值为， ； （4）解：设，， ， 四边形是菱形， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，菱形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 39．（2025·山东济南·模拟预测）已知：如图，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过、两点． (1)求点的坐标并直接写出、的值； (2)在反比例函数图象上点的右方有一点，使，求点的坐标； (3)如图，过点作轴，垂足为点，交的图象于点，点为轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点、、、四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)点或； (3)存在，或或． 【分析】（1）过点作轴于点，作轴于点，结合正方形的性质用“角角边”证明、，再由全等三角形的性质即可求出点、的坐标，求出坐标后分别代入反比例函数即可得出、的值； （2）延长交轴于点，由点、的坐标求出直线的解析式及线段的长，可得点坐标，过点作交轴于点，作交延长线为，结合题中所给的求出，再结合解直角三角形的应用、勾股定理求出，可得点坐标，从而求出直线解析式，由点是直线与反比例函数的交点，联立反比例函数解析式和直线解析式即可求出点横坐标，继而得解； （3）先求出点坐标、的长，设点、，分三种情况讨论：当为对角线时；当为对角线时，当为对角线时． 【详解】（1）解：过点作轴于点，作轴于点， ， 正方形中，，， 平面直角坐标系中， ，， ， 在和中， ， ， 又，， 则，， 则点， 同理可得，， ，， 则点， 将点、的坐标分别代入两个函数表达式得：，； （2）解：延长交轴于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：，， 令，则，则点， 过点作交轴于点，作交延长线为， 则， ， 由直线的表达式知，， ，， ， 直线的表达式为：，由（1）知反比例函数的表达式为：， 点是直线与反比例函数的交点， ， 解得：或， 即点或； （3）解：存在，理由： 当时，，即点， 设点、， 由点、的坐标得， 当为对角线时， 由中点坐标公式和得： ，解得：， 即点； 当或为对角线时， 同理可得：（无解）或， 解得：， 即点或， 综上，或或． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、求反比例函数解析式、求一次函数解析式、解直角三角形的应用、勾股定理、一次函数与反比例函数综合、反比例函数与几何综合、一元二次方程的实际应用，解题关键是分类讨论． 类型四 正方形存在性问题 1）从判定出发，若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直. 2）构造三垂直全等.若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等/等腰直角三角形来求得第3个点，再求第4个点.若出现三或四动点，则通常四边形具有一定的特殊性，从已知条件出发，分折还需满足的其他条件，通常列关于边或对角线方程得解. 解题方法：正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标. 40．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 41．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，；时，；时， (3)存在，或或或或或 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式； （2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可； （3）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：∵，都在该二次函数的图象上， ∴，， ∴， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； （3）解：设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当为正方形的边时， ①∵， ∴， 过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H， ∵轴， ∴， ∴，则， 设，则， ∴， ∴点N的纵坐标为， 即， ∵以，，，为顶点的四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； ②如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ③如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ④如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； 当为正方形对角线时， ⑤如图：构造矩形，过点P作于点K， 易得， ∴， 设，则， 和①同理可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，则， ∴， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ⑥如图：构造， 同理可得：， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； 综上：或或或或或 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答． 42．（2025·广东广州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，若点是轴上的动点，直线与抛物线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)G点坐标为或 (3)Q点坐标为或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角函数值的定义，正方形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意求出，可得，则点或，分别求直线与抛物线的交点即可； （3）根据正方形的性质和抛物线的对称性可知Q点横坐标为2，，设，则，，再由，得到，解得或，当与时，；当与时，． 【详解】（1）解：将点，代入中， ∴， 解得， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵轴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或， 当时，设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； 当时，同理可得直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴； 综上所述：G点坐标为或； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴关于直线对称， ∵线段为对角线作正方形， ∴轴，且P、Q点在对称轴上， ∴Q点横坐标为2，， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得或， 当与时，； 当与时，． 综上所述：Q点坐标为或． 题型04 其它存在性问题 类型一 点的存在性问题 43．（2025·四川乐山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． (1)求、的值和反比例函数的表达式； (2)若在轴上存在点，使得的面积为6，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点的问题，一次函数与几何综合，熟知一次函数与反比函数的相关知识是解题的关键． （1）分别把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出m、n的值，进而得到点A和点B的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）设直线交x轴于C，则，根据可得，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：如图所示，设直线交x轴于C， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 44．（2025·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，对于图上或内部有一点（不与原点重合），及平面内一点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图上或内部，则称点是图的“映射点”． (1)如图1，已知图：线段，，．在，中，__________是图的“映射点”； (2)如图2，已知图：正方形，，，，．若直线：上存在点是图的“映射点”，求的最大值； (3)如图3，已知图：，圆心为，半径为．若轴上存在点是图的“映射点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，切线长定理的应用，一次函数与结合图形，熟练掌握轴对称的性质，找到临界值是解题的关键； （1）根据定义，观察，，经过对称后，判断对称点是否在上，即可求解； （2）根据正方形的顶点到的距离为，则对称之前的点到原点的距离为，进而求得的最大值，将代入得，，即可求解； （3）根据新定义，找到临界值，即为的切线时的情形，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，当重合时，关于的对称点为，在线段上 ∴是图的“映射点”； 而关于的对称点不在上，则不是图的“映射点”； 故答案为：． （2）解：依题意，正方形的顶点到的距离为， ∴当上存在点是图的“映射点”，则点到的距离为 ∴当经过点时，的值最大， 将代入得， 解得：， ∴的最大值； （3）解：如图，分别为的切线， 当为的“映射点”， ∴， 又∵， 设，则 ∴ ∴ 解得： ∴， ∵， ∴, 当减小时，关于的“映射点”，在即的内部，符合题意， ∴ 当时，根据对称性可得 综上所述，． 45．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)①5；② 【分析】（1）根据“关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数”，从而求出点和关于点的对称点，再用待定系数法求出函数关于点的“对称函数”； （2）分析函数解析式可知，函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的，从而得出函数的图象关于点中心对称； （3）①当时，：，：，联立 ，得交点横坐标，结合图形计算可得内的“整点”个数有5个； ②先得出的解析式为，在区域内找出关于点对称的点，得出过点和过时的值即可得答案． 【详解】（1）解：关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数， 点和关于点的对称点分别是，； 设函数关于点的“对称函数”为， 将，代入得， ，解得， 函数关于点的“对称函数”为． （2）解：函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的， 而反比例函数关于原点中心对称， 函数的图象关于点中心对称， 存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身． （3）解：将化成顶点式，其顶点为， 、关于点对称， 的顶点为， 的解析式为 ①如图，当时，：，： 联立，解得， 当时，，，有整点， 当时，，，有整点，，， 当时，，，有整点， 故当时，求内的“整点”个数有5个； ②∵的顶点为， ∴的解析式为， ∵函数与的图象关于点成中心对称， ∴点必为区域内的“整点”， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，即和，和，和，和， 此时，当过时，满足题意，即， 解得：， 当过时，即， 解得：， 此时区域内有个整点，如图， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，在前面个“整点”的基础上增加了、、及 个“整点”， 此时， 如图， 的取值范围是． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求解析式，新定义函数，二次函数的顶点坐标，成中心对称的点的特征，理解“对称函数”的定义及运用数形结合思想是解题的关键． 46．（2025·湖南长沙·中考真题）我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（    ） ②函数一定不是“对偶函数”；（    ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（    ） (2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； (3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 【答案】(1)①（√）；②（√）；③（×） (2) (3) 【分析】（1）根据题目中给出的“对偶点”， “对偶函数”的定义结合反比例函数，一次函数，二次函数的性质进行分析得出结果； （2）由题意可得，，得出从而求出，，得出两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，画出图形得出结果； （3）由题意可得，且时，有，整理得到，利用关于的一元二次方程必有实数根，分别根据判别式等于零和大于零求解即可． 【详解】（1）解：，且，， ，， ，， ①函数（k是非零常数）的图象上，， 满足，，故①正确； ②由题意可得，， 则点与点且是一对“对偶点”， 函数的图像如下图： 函数中不存在“对偶点”，一定不是“对偶函数”，故②正确； 函数的图象如下图， 由题意可得，，则 ∴“对偶点”在反比例函数图象上， ∴函数的图象上存在一对“对偶点”， 至少存在两对“对偶点”说法错误，故③错误； 故答案为：①（√）；②（√）；③（×） （2）由题意可得，，点与点且是一对 “对偶点”，由于是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”． 从而有，两式相减可得，同理可得． 两个一次函数为，，由于，都是常数，且， 两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示 求得其面积之和； （3）由题意可得，且时，有， 以上两式相减可得， 从而将， 代入①整理可得， 此关于的一元二次方程必有实数根， 由于时，（不符合题意）． 从而必有，解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数，反比例函数，二次函数的图形与性质，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 类型二 线段的存在性问题 47．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点Q使，此时点Q的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为；过点P作轴交于E，连接，设，则，可得；根据，可得，则当有最大值是，有最大值，可求出的最大值为；求出，设点P到直线的距离为h，根据三角形面积计算公式可得，则当有最大值时，h有最大值，据此可求出答案； （3）分当点Q在x轴下方时，当点Q在x轴上方时，两种情况求出对称轴，设出点Q坐标，根据“一线三垂直”模型构造全等三角形，用点Q的坐标表示出点D的坐标，再根据点D在抛物线上构造方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过三点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于E，连接， 设，则， ∴； ∵， ∴ ， ∴当有最大值是，有最大值， ∵，， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为； ∵， ∴， ∵， ∴； 设点P到直线的距离为h， ∴， ∴， ∵当有最大值时，h有最大值， ∴h的最大值为， ∴点P到直线的最大距离为； （3）解：如图3-1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作交直线于G， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴； ∵， ∴； 设点Q的坐标为，则； 由旋转的性质可得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 如图3-2所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴，分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S，设点Q的坐标为， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 综上所述，存在点Q使，此时点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于把求点P到的距离的最大值转换成求的面积的最大值，解（3）的关键在于通过“一线三垂直”模型构造全等三角形． 48．（2025·青海西宁·三模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线上一点，连接使得，求出点P坐标； (3)如图3，连接与交于点D，是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握数形结合与分类讨论思想，以及方程建模是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）过P作轴于H，证明是等腰直角三角形，得到，设，分P在x轴上方时和P在x轴下方时，利用坐标与图形性质列方程求解m值即可解答； （3）先利用待定系数法求得直线的函数表达式为，设，分当点D在线段上时，当点D在延长线上、当点D在延长线上，三种情况，过P作轴于H，交于Q，则轴，，证明得到，则，利用坐标与图形性质列方程求得m值即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过P作轴于H，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是， ∴， 当P在x轴上方时，有， 解得或（与B重合，舍去）， ， ∴； 当P在x轴下方时，有， 解得或（与B重合，舍去）， ， ∴， 综上，点P的坐标为或； （3）解：存在． 设直线的函数表达式为 ∵，， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 设， 如图，当点D在线段上时，过P作轴于H，交于Q，则轴，， ∴， ∴，则， ∴， 解得或， ∴或， ∴或； 当点D在延长线上，如图， 同理可证， ∴，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴． 当点D在延长线上，如图， 同理可证， ∴，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴或， ∴． 综上，点P坐标为或或或． 49．（2025·广东东莞·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点，是线段上的动点点在点的右侧，且，是否存在这样的点、使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)动直线：与抛物线交于、两点，以为直径的圆与上方的抛物线始终交于一定点，请求定点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，此题计算量较大，准确地计算是解题的关键． （1）根据正切的定义求得，进而得出的坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，根据，得到方程，求出的值即可求点坐标； （3）设，，由，可得，，设为直径的圆的圆心为，则，则，设，根据，可得，由是定点，可知，即可求点坐标． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 将，，代入， ∴， 解得， ∴； （2）存在这样的点、使得，理由如下： 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设， ∵， ∴， 解得(舍)或 ， ∴； （3）设，， ， 整理得， ∴，， 设为直径的圆的圆心为，则， 如图，过点作，轴， ∴， ∴， 设， ， ， 整理得， 是定点， ， ． 类型三 面积的存在性问题 50．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等知识点． （1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解； （2）先确定为等腰直角三角形，过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，通过三线合一得到，由三角形面积公式可得过点作平行线与抛物线交点即为点，然后求出直线解析式，再与抛物线解析式联立求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，； （2）解：存在，理由如下： 对于抛物线， 当，， 解得：， 当， ∴，， ∵， ∴， 过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则， ∴， ∴， 过点作平行线与抛物线交点即为点， ∵，， ∴， 设直线， 则， ∴， ∴直线， ∵∥， ∴设直线， 代入得：， 解得：， ∴直线， 与抛物线解析联立得：， 整理得： 解得： 或， ∴点P的横坐标为或． 51．（2024·青海西宁·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点C的坐标为． (1)求二次函数的解析式． (2)判断的形状，并说明理由． (3)在直线上方的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)存在，点P的坐标是， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，勾股定理的逆定理等知识． （1）设二次函数解析式为，将顶点代入解析式得y＝，再将代入求解即可； （2）过点C作轴于点D，过点A作于点E，，然后根据勾股定理的逆定理即可解决问题； （3）设点P的坐标为，过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q，求出直线的解析式为，得点Q的坐标为，得，得，，进而解决问题． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 将顶点代入解析式得， ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：是直角三角形，理由如下： 抛物线与y轴的交点， 当时，， ∴， 如图1，过点C作轴于点D， ∴， 过点A作于点E， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：存在，理由如下： ， 设点P的坐标为， 过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q， 设直线的解析式为，将代入得， ， 解得： ∴直线的解析式为， ∴点Q的坐标为， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵轴， ∴， 在中， ∵ ∴ ∴， 解得，， 当时， ∴， 当时，， ∴， ∴所有符合条件的点P的坐标是，． 52．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①该二次函数的解析式为：；， ②存在，P点横坐标为：或或 【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得； （2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，； ②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ， ， ∴，． （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∵解得， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为：， 当时，， 解得，， ∴， ． ②设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴直线的表达式为：， 当点P在点A右侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，， ∴点P横坐标为或； 当点P在点A左侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，（舍去）， ∴点P横坐标为， 综上所述，P点横坐标为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式．熟练掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键． 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为， (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）作轴于点，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）先求得，，分当轴和当时两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：作轴于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去），经检验，是原方程的解， ∴点D的坐标为， ∴； （3）解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴，， ∴， ∴， 当轴时， ，， ∴， ∵点D的坐标为， ∴点Q的坐标为； 当时， ，， ∴， ∵点D的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ． （1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式． （2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立． （3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点， ∴令，则， 点C的坐标为． 令，则． 解得，或， ∴点B的坐标为． 设直线对应函数的表达式为，由题意，得 解得 直线对应函数的表达式为． （2）不存在实数m使得，理由如下： 方法一：为二次函数图像上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得． 方法二：由方法一，得． 当时，，即． ， ∴方程没有实数根． 不存在实数m使得． （3），或．解答如下： 如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为． ， ． ， ． ． ，即． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得或． 3．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，的最小值为 【分析】（1）对称性求出点坐标，两点式写出函数解析式即可； （2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可； （3）在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点 ∴设，； ∵旋转， ∴， 当点在轴上方时， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴当时，满足题意，此时点与点重合，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点在轴下方时，如图，作对称轴于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴； 综上：或； （3）存在； 在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点与点重合时，的值最小为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：，的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 4．（2025·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，当直角三角板的直角顶点落在处时，锐角顶点、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数表达式为，直线所对应的一次函数的表达式为 (2)存在，周长的最小值为，理由见解析 【分析】（1）过点A，B作轴于点D，轴于点E，求出，证明，得，，求出，，得反比例函数的表达式为，求出直线解析式； （2）作点B关于x轴的对称点F，过点F作交延长线于点G，连接交x轴于点P，可得，求出 ，，即得周长的最小值． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∴， 过点A，B作轴于点D，轴于点E， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵点A，B都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为． （2）解：周长存在最小值．理由： 作点B关于x轴的对称点F，过点F作交延长线于点G，连接交x轴于点P， 则， ∴， 此时，的值最小，的周长最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴周长的最小值为． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合．熟练掌握含30度的直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，用待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数和一次函数的图象和性质，轴对称性质，是解题的关键． 1．（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】（1）根据“1阶近轴点”的定义，结合函数的性质逐个分析判断即可得出结论； （2）设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为，根据题意列出不等式组，进而得出关于的不等式组有解，列出关于的不等式，即可求解； （3）设“2阶完美点”的坐标为，由题意得，得出“2阶完美点”在函数上，分析可知函数与函数只有一个交点，设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足，根据函数与轴的交点个数分情况讨论，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：经过点，点是“1阶近轴点”，故①符合题意； 设存在“1阶近轴点”，设此点的坐标为， 由题意得，， ∴不等式组无解， ∴图像上不存在“1阶近轴点”，故②不符合题意； ∵， ∴函数的最小值为2， ∴函数图像上的点到轴的距离大于等于2， ∴函数不存在“1阶近轴点”，故③不符合题意； ∴函数图像上存在“1阶近轴点”的是①； 故答案为：①； （2）解：设一次函数的图像上“3阶近轴点”的坐标为， 由题意得，， 解得：， ∵一次函数的图像上存在“3阶近轴点”， ∴关于的不等式组有解， ∴或或， 解得：或或，即， ∴实数的取值范围为； （3）解：设“2阶完美点”的坐标为， 由题意得，， ∴“2阶完美点”在函数上， ∵二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”， ∴函数与函数只有一个交点， 令，整理得， 设函数，则函数与轴的交点的横坐标有且只有一个满足， 当时，， 若函数与轴有2个交点，则当时，有， ∴， 解得：； 若函数与轴只有1个交点，则， 整理得：， 解得：或， 当时，则与轴的交点的横坐标为， ∵， ∴符合题意； 当，则与轴的交点的横坐标为，不符合题意，舍去； 综上所述，实数的取值范围为或． 【点睛】本题考查了新定义，涉及一次函数、反比例函数、二次函数的图像与性质，理解“阶近轴点”和“阶完美点”的定义是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的理解应用和数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 2．（2025·山东·中考真题）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． (1)当、时，求此函数图象的对称轴； (2)当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、因式分解的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）将、代入化简，然后根据二次函数的性质即可解答； （2）代入化简可得，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求出，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：当、时，二次函数可化为：， ∴此函数图象的对称轴为． （2）解：当时，二次函数可化为：， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口方向向上， ∵在时，y随的增大而减小； ∴， ∵在时，随的增大而增大； ∴， ∴． （3）解：∵若点，，均在该函数的图象上， ∴， ， ∴ ； ； ∵， ∴，整理得： ∵，为两个不相等的实数， ∴， ∴，解得：． 3．（2025·上海·二模）小昌对“二次函数与特殊三角形的存在性”问题展开了如下探究，请你协助他一起完成． 【问题引入】 已知抛物线开口向上，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），与直线交于第一象限点C，且这条直线恰好经过抛物线的顶点D． （1）小昌说：“m为定值．”请求出m的值； 【深入探究】 （2）经过思考，小昌决定先探究三角形相似的存在性问题．设直线交x轴于点E，请探究当与相似时，的正切值； 【拓展延伸】 （3）请从下面的两个序号中选一个填空，并帮助小昌解决问题．如果是 三角形，求出k的值．①等腰  ②直角 【答案】（1）；（2）；（3）①是等腰三角形，；②是直角三角形，或 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及抛物线与直线交点，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点； （1）先求出顶点坐标，代入得到，根据，得到，即可求解； （2）先按题目条件求出，，，，则，，，再根据，得到， ，代入求出，最后根据求解即可； （3）由（2）得，，，求出，，，再根据是等腰三角形或直角三角形列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线开口向上， ∴，顶点坐标， ∵直线恰好经过抛物线的顶点D． ∴， 整理得， ∵， ∴， 解得； （2）当时，解得， ∵抛物线开口向上，交x轴于点A，B（点A在点B左侧）， ∴，， 由（1）得，则直线与x轴交点， 联立，解得或， ∴抛物线与直线交于第一象限点， ∴，，， ∵与中，，， ∴当与相似时，只能是， ∴，， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， 如图，过作轴于，则，，， ∴； （3）由（2）得，，， ∴，，， ①如果是等腰三角形， 当时，，则，解得（负值舍去）； 当时，，则，方程无解； 当时，，则，方程无解； 综上所述，当是等腰三角形时，； ②如果是直角三角形， 当时，，解得（负值舍去）； 当时，，方程无解； 当时，，解得（负值舍去）； 综上所述，当是直角三角形时，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 重难点04 函数的存在性问题 （4大类型16种题型） 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 28 固·重难考点 拓·创新能力 函数存在性问题是初中数学核心考点之一，覆盖一次函数、反比例函数、二次函数，常以综合题形式考查 “函数图象与几何图形的结合分析能力”，核心是判断 “满足特定条件的点 / 图形是否存在”，重难点如下： 一、一次函数的存在性问题 核心要求：结合一次函数的直线特征，判断平面内是否存在符合条件的点 / 图形。 关联难点： 1）点的存在性：如 “直线上是否存在点到两定点的距离相等”“平面内是否存在点与直线上两点构成等腰三角形”； 2）图形的存在性：如 “是否存在直线与已知一次函数平行 / 垂直，且经过某定点”“是否存在点使直线上三点构成直角三角形”。 二、反比例函数的存在性问题 核心要求：结合反比例函数的双曲线特征，判断双曲线上（或平面内）是否存在符合条件的点 / 图形。 关联难点： 1）点的存在性：如 “双曲线上是否存在点到原点的距离为定值”“是否存在点使双曲线上两点与坐标轴构成的三角形面积相等”； 2）图形的存在性：如 “是否存在点与双曲线上两点构成平行四边形”“是否存在直线与双曲线交于两点，且两点关于原点对称”。 三、二次函数的存在性问题 核心要求：结合二次函数的抛物线特征，判断抛物线上（或平面内）是否存在符合条件的点 / 图形。 关联难点： 1）点的存在性：如 “抛物线上是否存在点到某直线的距离为定值”“是否存在点使该点到两定点的线段和最小”； 2）三角形的存在性：如 “抛物线上是否存在点与已知两点构成等腰 / 直角 / 相似三角形”； 3）四边形的存在性：如 “抛物线上是否存在点与已知三点构成平行四边形 / 矩形 / 菱形”； 4）角度 / 面积的存在性：如 “是否存在点使某角等于已知角”“是否存在点使图形面积为定值”。 四、多函数综合的存在性问题 核心要求：结合一次、反比例、二次函数的图象特征，判断跨函数图象上是否存在符合条件的点 / 图形。 关联难点： 1）跨函数点的存在性：如 “是否存在点同时在一次函数与双曲线上，且满足某线段关系”； 2）跨函数图形的存在性：如 “是否存在点分别在抛物线与直线上，使两点与已知点构成等腰直角三角形”。 五、函数存在性问题的解题逻辑 核心方法： 1）设点坐标：将动点坐标用函数解析式表示为单变量形式（如二次函数上的点设为(t, at^2+bt+c）； 2）列关系式：根据条件（如线段相等、角度关系、图形性质）列出方程 / 不等式； 3）验证求解：解方程并验证解是否在函数图象 / 题目限定范围内。 题型01 角度存在性问题 度存在性问题的解题步骤 已知特殊角度求解 已知角度关系求解 第一步 读题、画图、理解题意 第二步 分析动点、定点，找不变特征 第三步 确定分类特征，进行分类讨论 第四步 已知特殊角度，构造一线三垂直、一线三等角、直角三角形，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 将角度进行转化:利用锐角三角函数、相似三角形或等腰三角形的性质、外角的性质等转化为常见的类型，再利用直角三角形、相似三角形边的比例关系去计算求解. 【温馨提示】 1）角相等：若无明显条件，首选利用锐角三角函数值构造相等角( 先求已知角); 2）角度和差：可通过外角的性质、相似三角形的性质转化为相等角; 3）倍角：可通过外角的性质、等腰三角形的性质转化为相等角: 类型一 已知特殊角求坐标 1．（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 2．（2025·广东·二模）如图，抛物线 经过点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)以为直径的圆与直线的一个交点为 C． 若，求点 C 的坐标； (3)在（2）的条件下， 点 D 在以为直径的圆上， 且，求的值． 3．（2025·湖北随州·二模）如图，平面直角坐标系中，点A，D在x轴上，点B在y轴上，四边形为菱形，．抛物线经过点，，且点C为此抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若动点P在边上以每秒2个单位长度的速度由B向C运动，同时动点Q在线段上以每秒3个单位长度的速度由D向A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)抛物线上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，求点M的坐标；不存在，说明理由． 类型二 已知角度关系求坐标 4．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像与轴交于、两点，交轴于点，对称轴为直线． (1)求二次函数关系式． (2)连接，抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． (3)在轴上方的抛物线上找一点，作射线，使，点是线段上的一动点，过点作轴，垂足为点，连结，求的最小值． 5．（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴分别交于点、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一点，连接，，点M为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为N，连接，，当面积最大时，求此时点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使与互补，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2025·四川南充·模拟预测）如图1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（在左侧）．与轴交于点，且，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线下方抛物线上一动点．过点作于点是直线上的动点（在左侧）．且．连接、．当线段取最大值时，求点坐标以及的最小值： (3)将原抛物线沿射线方向平移．使得平移后的抛物线经过点，点为抛物线的对称轴与轴的交点，为直线与抛物线在对称轴左侧的交点，为抛物线上的一个动点，且，请直接写出满足条件的所有点的坐标． 7．（2025·广东东莞·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 类型三 已知等角求坐标 8．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 9．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 10．（2025·四川泸州·模拟预测）如图（1），抛物线交轴于，两点（点在左边），交轴于点． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)是抛物线第四象限上的一点，连接分别交，于，两点，若，求直线的解析式； (3)平移抛物线使它的顶点为，如图（2）．是轴上一个定点，以点为直角顶点，使顶点，分别在轴和抛物线上．若在变化的过程中，直线与抛物线始终有唯一公共点，求点的坐标． 类型四 二倍角求坐标 11．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 12．（2025·宁夏·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，过点A作直线的平行线，交抛物线于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点D为直线下方抛物线上一点，过点D作轴交直线于点E，交直线于点Q，过点Q作于点F，连接，求面积的最大值及此时点D的坐标． (3)如图2，在（2）条件下，将原抛物线向右平移，使抛物线再次经过（2）条件下的点D，新抛物线与x轴交于点M，N（点M在点N的左侧），与y轴交于点G，连接，点P为新抛物线上一点，连接交直线于点H，使得，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 13．（2025·内蒙古通辽·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于点和，交y轴于点C．点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是在第二象限内抛物线上一个动点，连接，，，当的面积最大时，求点P的坐标和的面积最大值； (3)抛物线上是否存在一点E，使得，若存在，求点E坐标；若不存在，说明理由． 14．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，过点作轴，交抛物线于点，过点的直线交的延长线于点，设的长为，求与的函数关系式； (3)如图3，连接交于点，交抛物线于点，于点，连接， ，求的长． 题型02 三角形存在性问题 类型一 等腰三角形存在性问题 15．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 16．（2025·陕西渭南·一模）如图，一次函数（b为常数）的图像与y轴交于点，与反比例函数（k为常数，且）的图像交于点B、，连接． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)点是轴上一点，是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，且为等腰三角形的腰，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线上有一点，使得是以底的等腰三角形，求点的坐标： (3)设为直线上方的抛物线上一点，连接，以为邻边作平行四边形，则平行四边形面积的最大值为___________； (4)如图2，若在x轴上有两个动点，且，则的最小值为___________． 类型二 直角三角形存在性问题 18．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数 的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 19．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 20．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 类型三 等腰直角三角形存在性问题 21．（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（2025·内蒙古包头·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，，点是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 23．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，抛物线与轴交于A、B两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值． 类型四 相似三角形存在性问题 “相似三角形存在性问题”是中考压轴题中一类常见的问题.为了避免讨论分支太过繁杂,一般会给出部分对应关系,最常见的就是给出一组同角(或等角),则同角(或等角)所对边为对应边.所以这类问题一般从确定一组等角(或同角)人手如果两个三角形中夹同角(或等角)的边易于列代数式表示,则建议通过解方程解决;反之,则需根据具体题意转化等角关系为特殊图形或特殊图形关系,进而求解若出现无法确定等角(或同角)的情况,也可以列表分析. 24．（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 25．（2025·广东揭阳·三模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与轴交于点，顶点是点D，交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)以为直径作，判断与的位置关系，并说明理由； (3)若抛物线对称轴上存在点，使得与相似，求点的坐标． 26．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)在轴上有一点，求出的值最小时点的坐标，及此时的值． (3)在第四象限内的抛物线上是否存在一点，过点作轴交轴于点，使与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线上一动点（不与点B重合），过点M作轴于点N，交直线于点P． (1)求线段的长； (2)若，求点M的坐标； (3)若点M在直线下方的抛物线上运动，是否存在点M，使以点M，P，C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 类型五 全等三角形存在性问题 28．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H． (1)求点A、P的坐标； (2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 29．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3，0)在抛物线上． (1)求该抛物线的表达式． (2)正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标． (3)在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值． 30．（2025·湖南株洲·一模）二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线． (1)求此二次函数的解析式和点的坐标； (2)如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围． 题型03 特殊四边形存在性问题 类型一 平行四边形存在性问题 31．（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 32．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，C两点，交y轴于点B，． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得周长最小，请求出点M的坐标； (3)连接，点P是线段上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形为平行四边形时点P的坐标． 33．（23-24九年级下·甘肃天水·期中）如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二 矩形存在性问题 1）先直角，再矩形.在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形（方法：“两线一圆”），再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用． 【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此. 2）先平四，再矩形.当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为矩形：，其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组． 【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式，剩下的都是计算的事. 3）构造“三垂直”直角得矩形 34．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 36．（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为，．点P是抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的取值范围是______； (3)设抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点），记为图象G．若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的取值范围； (4)已知平面内一点M的坐标为，点的坐标为，连结、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 类型三 菱形存在性问题 解题思路： 1）先等腰，再菱形.在构成菱形的4个点中任取3个点，必构成等腰三角形，根据等腰存在性方法（两圆一线）可先确定第3个点，再确定第4个点． 2）先平四，再菱形.当AC为对角线时，A、B、C、D满足以下3个等式，则为菱形：，其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为菱形，表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可． 【总结】 菱形作为特殊的平行四边形其存在性问题亦是分类讨论中的一大难点.题目一般会给出两个定点，第三个点在某个可求的函数图像上，在另一个函数的图像上或直角坐标平面内，求能与之前的三个点构成菱形的第四个点的坐标.此类题目的一大难度在于如何合理分类的问题，若题目中已知两定点的话，可以把这两定点连成的线段作为菱形的一边或者对角线进行分类讨论，再利用菱形的性质确定出其他的顶点的位置. 37．（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中点，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)过点作轴交抛物线于点，连接，在抛物线上是否存在点使．若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答） (3)将该抛物线向左平移个单位长度得到，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，是平面直角坐标系内的一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标． 38．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．D为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)过点D作，垂足为点E，求线段长的取值范围； (4)若点F、G分别为线段、上的点，且四边形是菱形，直接写出点D的坐标． 39．（2025·山东济南·模拟预测）已知：如图，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过、两点． (1)求点的坐标并直接写出、的值； (2)在反比例函数图象上点的右方有一点，使，求点的坐标； (3)如图，过点作轴，垂足为点，交的图象于点，点为轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点、、、四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 类型四 正方形存在性问题 1）从判定出发，若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直. 2）构造三垂直全等.若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等/等腰直角三角形来求得第3个点，再求第4个点.若出现三或四动点，则通常四边形具有一定的特殊性，从已知条件出发，分折还需满足的其他条件，通常列关于边或对角线方程得解. 解题方法：正方形是菱形和矩形特征的集结，因此同时采取菱形或矩形存在性问题解决的方法去求点的坐标. 40．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 41．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 42．（2025·广东广州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)连接，若点是轴上的动点，直线与抛物线交于点．当时，求点的坐标； (3)若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请求出点的坐标． 题型04 其它存在性问题 类型一 点的存在性问题 43．（2025·四川乐山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． (1)求、的值和反比例函数的表达式； (2)若在轴上存在点，使得的面积为6，求的值． 44．（2025·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，对于图上或内部有一点（不与原点重合），及平面内一点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图上或内部，则称点是图的“映射点”． (1)如图1，已知图：线段，，．在，中，__________是图的“映射点”； (2)如图2，已知图：正方形，，，，．若直线：上存在点是图的“映射点”，求的最大值； (3)如图3，已知图：，圆心为，半径为．若轴上存在点是图的“映射点”，请直接写出的取值范围． 45．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 46．（2025·湖南长沙·中考真题）我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（    ） ②函数一定不是“对偶函数”；（    ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（    ） (2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； (3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 类型二 线段的存在性问题 47．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 48．（2025·青海西宁·三模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线上一点，连接使得，求出点P坐标； (3)如图3，连接与交于点D，是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 49．（2025·广东东莞·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴正半轴交于点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点，是线段上的动点点在点的右侧，且，是否存在这样的点、使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)动直线：与抛物线交于、两点，以为直径的圆与上方的抛物线始终交于一定点，请求定点的坐标． 类型三 面积的存在性问题 50．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 51．（2024·青海西宁·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点C的坐标为． (1)求二次函数的解析式． (2)判断的形状，并说明理由． (3)在直线上方的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 52．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 3．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由． 4．（2025·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，当直角三角板的直角顶点落在处时，锐角顶点、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 1．（2025·江苏宿迁·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于的点叫“阶近轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形．如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为中心，2为边长的正方形区域． (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是___________； ①；②；③． (2)若一次函数的图像上存在“3阶近轴点”，求实数的取值范围； (3)特别地，当点在图形上，且横坐标是纵坐标的倍时，称点是图形的“阶完美点”，若二次函数的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数的取值范围． 2．（2025·山东·中考真题）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． (1)当、时，求此函数图象的对称轴； (2)当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 3．（2025·上海·二模）小昌对“二次函数与特殊三角形的存在性”问题展开了如下探究，请你协助他一起完成． 【问题引入】 已知抛物线开口向上，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），与直线交于第一象限点C，且这条直线恰好经过抛物线的顶点D． （1）小昌说：“m为定值．”请求出m的值； 【深入探究】 （2）经过思考，小昌决定先探究三角形相似的存在性问题．设直线交x轴于点E，请探究当与相似时，的正切值； 【拓展延伸】 （3）请从下面的两个序号中选一个填空，并帮助小昌解决问题．如果是 三角形，求出k的值．①等腰  ②直角 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $