数学一模提分卷02（浙江专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知集合为正奇数组成的集合，且，则.故选A 2．已知向量，．若，则（    ） A．1 B． C．12 D． 【答案】C 【解析】（方法一）由，，得． 由，得，即，解得．故选：C． （方法二）由，得，即， 将代入得，，解得．故选：C． 3．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了400根棉花纤维的长度（单位：），整理得到下表数据： 纤维长度（） 频数 30 40 60 120 100 50 根据表中数据，关于对样本数据的分析，下列结论中正确的是（   ） A．棉花纤维的长度的极差估计值大于 B．棉花纤维中，其长度低于的棉花纤维数占三分之一 C．棉花纤维的长度的中位数估计值介于至之间 D．棉花纤维的长度的平均值估计值介于至之间 【答案】C 【解析】根据表中数据，这400根棉花纤维的长度的极差估计值不超过，A错误； 纤维长度低于的棉花纤维数占比为，选项B错误； 由于纤维长度小于200的纤维数量为130，纤维长度不低于250的纤维数量为150， 可知这400根棉花纤维的长度的中位数估计值介于至之间，选项C正确； 400根棉花纤维的长度的平均值估计值为 ， 选项D错误，故选：C 4．设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【解析】方法一：由题意得：，， 则等差数列的公差， 则，，所以. 方法二：因为等差数列的性质即为等差数列， 则，得，解得.故选：C 5．若函数在上单调，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，根据指数函数在上单调递增，可知. 当时，，所以，在上单调递增； 当时，，在上不单调； 当时，，所以，在上单调递减. 综上，.故选：C. 6．在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为，圆柱的侧面积为，则该毡帐的体积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为， 因为圆锥的侧面积为，所以，即. 因为，所以联立解得（负舍）. 因为圆柱的侧面积为，所以，即，解得， 所以该毡帐的体积为.故选：A. 7．函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 如图所示， 要使的图象与直线有且仅有两个不同的交点 则只需.故选：C. 8．已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由题意知定为域为R的函数满足：为偶函数， 即，即，结合， 得，即， 故，即， 则，故8为函数的一个周期， 由于，，故令，则， 结合，令，得， 对于，令，则， 故，故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，则（    ） A． B．为纯虚数 C．复数在复平面内对应的点位于第四象限 D． 【答案】AB 【解析】因为，所以为纯虚数， 复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选项AB正确，选项C错误； ，故选项D错误．故选：AB. 10．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．f（x）无最大值 B．f（x）有唯一零点 C．f（x）在（0，＋∞）单调递增 D．f（0）为f（x）的一个极小值 【答案】ACD 【解析】，记 因为，且，在区间上显然递增， 所以记为的零点，则有 所以当时，，在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，， 所以当时，有极小值，D正确； 由上可知，在上单调递增，且当x趋近于正无穷时，也趋于正无穷，故AC正确； 易知，故B错误故选：ACD 11．如图，造型为“∞”的曲线C 称为双纽线，其对称中心在坐标原点O，且C 上的点满足到点 和的距离之积为定值a，则（    ）    A．点 在曲线 C 上 B．曲线 C的方程为( C．曲线C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 D．若点在C 上，则 【答案】AC 【解析】由原点在曲线上得， 选项A．设曲线与x轴正半轴相交于， 则，解得 ，故A 正确. 选项B，设曲线C上任一点坐标为，则， 得 ，则 ， 所以 ， 即 ，故 B 错误． 选项C，由，得 ， 由，得， 所以 ，则，故C 正确． 选项 D，由，得， 故点在C 上时有成立，故D错误．故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布．若在内的概率为0.8，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不低于120分的概率为 ． 【答案】 【解析】学生成绩服从正态分布， 由正态分布对称性可知，， 则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不低于120分的概率为， 13．某人工智能模型在自然语言处理中，使用位置编码表示词序，每个位置编码需用一个6维向量表示．若某位置编码可以写成（a，b，c，d，e，f）的形式，其中，则在仅考虑前3个位置的情况下，恰好取2个不同值的编码共有 个． 【答案】18 【解析】先从这3个数中选2个，有种选法； 再分配2个数到3个位置，必有2个位置的数是相同的， 选择出现1次的数：从选中的2个数中选1个，有种选法， 选择出现1次的数的位置：有种选择； 共有种编码. 14．已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，， 由，得，即，解得， 即，于是，而， 所以双曲线的离心率的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． (1)求a； (2)若的面积为，求AB上的高CD． 【解】（1）根据,，可知： ……………………2分 因为，即， …………………………4分 所以，即; …………………………6分 （2），解得， ……………………………8分 则，解得， ……………………………10分 则，代入，解得 ……………………………13分 16．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，经过点的直线与椭圆交于、两点，若原点到直线的距离为，且，求直线的方程. 【解】（1）设椭圆的焦距为，则， …………………………2分 解得， ……………………………4分 因此，椭圆的标准方程为； ……………………………5分 （2）若直线的斜率不存在，则直线过原点，不合乎题意. ………………………6分 所以，直线的斜率存在，设斜率为， 设直线方程为，设、， 原点到直线的距离为，，即①. 联立直线与椭圆方程可得， 则，则， 由韦达定理可得，. ……………………………9分 ，则为线段的中点，所以，， ，得， ……………………………11分 所以，，整理可得， 解得，即，， ……………………………14分 因此，直线的方程为或. ……………………………15分 17．（本小题满分15分）如图，点在以为直径的圆上不同于，，垂直于圆所在平面，为的重心，，在线段上，且.    (1)证明：∥平面； (2)在圆上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【解】（1）证明：连接，并延长交于点，连接， ……………………………1分 因为为的重心，所以， 因为，所以， 所以∥， ……………………………2分 因为平面，平面，所以∥平面； ………………………3分 （2）解：在圆上假设存在点，使得二面角的余弦值为， …………4分 设，连接，并延长交于，则为的中点， 因为，所以，， 过作于点， 因为平面，平面，所以， ………………………6分 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以, ………………………7分 过作于，连接， 因为，平面，所以平面， …………………………8分 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， …………………………9分 在中，， 在中，， 因为二面角的余弦值为，所以， …………………………10分 所以，所以 所以， …………………………12分 所以，解得， 所以在在圆上存在点，且， …………………………14分 即为弧的中点，使得二面角的余弦值为， ……………………………15分 18．（本小题满分17分）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 【解】（1）当时，，，即切点坐标为，………1分 又可得，即切线斜率为， ………………3分 所以曲线在处的切线方程为，即； ………………4分 （2）当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立， 即在恒成立，所以 ……………………………6分 设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以， …………………………8分 所以，得；当时，， ， 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为. …………………………10分 （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 且时，，即， ……………………………12分 令，则， 所以， 即， ……………………………15分 所以 . ……………………………17分 19．（本小题满分17分）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到礼券，最多进行19轮游戏. (1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的期望； (2)若累计得分为的概率为，（初始得分为0分，）. ①证明数列，，，，是等比数列； ②求活动参与者得到礼券的概率. 【解】（1）由题意可知每轮游戏获得分的概率为，获得分的概率为， 设进行完轮游戏时，得分的次数为，所以， ……………………………1分 所以，，，，， ……………………………2分 而，所以随机变量的可能取值为，，，， ………………3分 所以 ， ， ， …………………………………………6分 所以的分布列为： ……………………………7分 所以. ……………………………8分 （2）①证明：，即累计得分为分，是第一次掷骰子，向上点数不超过点，， 则， ……………………………9分 累计得分为分的情况有两种： （i），即累计得分，又掷骰子点数超过点，其概率为， ……………10分 （ii）累计得分为分，又掷骰子点数没超过点，得分，其概率为， 所以，所以，，，，， 所以，，，，是首项为，公比为的等比数列. ……………………12分 ②因为数列，，，，是首项为，公比为的等比数列， 所以， ……………………………14分 所以 ， ， 各式相加，得， ……………………………15分 所以，，，，， 所以活动参与者得到礼券的概率为： …………17分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，．若，则（    ） A．1 B． C．12 D． 3．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了400根棉花纤维的长度（单位：），整理得到下表数据： 纤维长度（） 频数 30 40 60 120 100 50 根据表中数据，关于对样本数据的分析，下列结论中正确的是（   ） A．棉花纤维的长度的极差估计值大于 B．棉花纤维中，其长度低于的棉花纤维数占三分之一 C．棉花纤维的长度的中位数估计值介于至之间 D．棉花纤维的长度的平均值估计值介于至之间 4．设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．若函数在上单调，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 6．在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为，圆柱的侧面积为，则该毡帐的体积为（    ）      A． B． C． D． 7．函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，则（    ） A． B．为纯虚数 C．复数在复平面内对应的点位于第四象限 D． 10．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．f（x）无最大值 B．f（x）有唯一零点 C．f（x）在（0，＋∞）单调递增 D．f（0）为f（x）的一个极小值 11．如图，造型为“∞”的曲线C 称为双纽线，其对称中心在坐标原点O，且C 上的点满足到点 和的距离之积为定值a，则（    ）    A．点 在曲线 C 上 B．曲线 C的方程为( C．曲线C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 D．若点在C 上，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布．若在内的概率为0.8，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不低于120分的概率为 ． 13．某人工智能模型在自然语言处理中，使用位置编码表示词序，每个位置编码需用一个6维向量表示．若某位置编码可以写成（a，b，c，d，e，f）的形式，其中，则在仅考虑前3个位置的情况下，恰好取2个不同值的编码共有 个． 14．已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． (1)求a； (2)若的面积为，求AB上的高CD． 16．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，经过点的直线与椭圆交于、两点，若原点到直线的距离为，且，求直线的方程. 17．（本小题满分15分）如图，点在以为直径的圆上不同于，，垂直于圆所在平面，为的重心，，在线段上，且.    (1)证明：∥平面； (2)在圆上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 18．（本小题满分17分）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 19．（本小题满分17分）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到礼券，最多进行19轮游戏. (1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的期望； (2)若累计得分为的概率为，（初始得分为0分，）. ①证明数列，，，，是等比数列； ②求活动参与者得到礼券的概率. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，．若，则（    ） A．1 B． C．12 D． 3．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了400根棉花纤维的长度（单位：），整理得到下表数据： 纤维长度（） 频数 30 40 60 120 100 50 根据表中数据，关于对样本数据的分析，下列结论中正确的是（   ） A．棉花纤维的长度的极差估计值大于 B．棉花纤维中，其长度低于的棉花纤维数占三分之一 C．棉花纤维的长度的中位数估计值介于至之间 D．棉花纤维的长度的平均值估计值介于至之间 4．设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．若函数在上单调，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 6．在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草，穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4，侧面积为，圆柱的侧面积为，则该毡帐的体积为（    ）      A． B． C． D． 7．函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，则（    ） A． B．为纯虚数 C．复数在复平面内对应的点位于第四象限 D． 10．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．f（x）无最大值 B．f（x）有唯一零点 C．f（x）在（0，＋∞）单调递增 D．f（0）为f（x）的一个极小值 11．如图，造型为“∞”的曲线C 称为双纽线，其对称中心在坐标原点O，且C 上的点满足到点 和的距离之积为定值a，则（    ）    A．点 在曲线 C 上 B．曲线 C的方程为( C．曲线C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 D．若点在C 上，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布．若在内的概率为0.8，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不低于120分的概率为 ． 13．某人工智能模型在自然语言处理中，使用位置编码表示词序，每个位置编码需用一个6维向量表示．若某位置编码可以写成（a，b，c，d，e，f）的形式，其中，则在仅考虑前3个位置的情况下，恰好取2个不同值的编码共有 个． 14．已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． (1)求a； (2)若的面积为，求AB上的高CD． 16．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，经过点的直线与椭圆交于、两点，若原点到直线的距离为，且，求直线的方程. 17．（本小题满分15分）如图，点在以为直径的圆上不同于，，垂直于圆所在平面，为的重心，，在线段上，且.    (1)证明：∥平面； (2)在圆上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 18．（本小题满分17分）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 19．（本小题满分17分）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到礼券，最多进行19轮游戏. (1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的期望； (2)若累计得分为的概率为，（初始得分为0分，）. ①证明数列，，，，是等比数列； ②求活动参与者得到礼券的概率. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C C C A C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB ACD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 13．18 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）根据,，可知： ……………………2分 因为，即， …………………………4分 所以，即; …………………………6分 （2），解得， ……………………………8分 则，解得， ……………………………10分 则，代入，解得 ……………………………13分 16．（本小题满分15分） 【解】（1）设椭圆的焦距为，则， …………………………2分 解得， ……………………………4分 因此，椭圆的标准方程为； ……………………………5分 （2）若直线的斜率不存在，则直线过原点，不合乎题意. ………………………6分 所以，直线的斜率存在，设斜率为， 设直线方程为，设、， 原点到直线的距离为，，即①. 联立直线与椭圆方程可得， 则，则， 由韦达定理可得，. ……………………………9分 ，则为线段的中点，所以，， ，得， ……………………………11分 所以，，整理可得， 解得，即，， ……………………………14分 因此，直线的方程为或. ……………………………15分 17．（本小题满分15分） 【解】（1）证明：连接，并延长交于点，连接， ……………………………1分 因为为的重心，所以， 因为，所以， 所以∥， ……………………………2分 因为平面，平面，所以∥平面； ………………………3分 （2）解：在圆上假设存在点，使得二面角的余弦值为， …………4分 设，连接，并延长交于，则为的中点， 因为，所以，， 过作于点， 因为平面，平面，所以， ………………………6分 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以, ………………………7分 过作于，连接， 因为，平面，所以平面， …………………………8分 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， …………………………9分 在中，， 在中，， 因为二面角的余弦值为，所以， …………………………10分 所以，所以 所以， …………………………12分 所以，解得， 所以在在圆上存在点，且， …………………………14分 即为弧的中点，使得二面角的余弦值为， ……………………………15分 18．（本小题满分17分） 【解】（1）当时，，，即切点坐标为，………1分 又可得，即切线斜率为， ………………3分 所以曲线在处的切线方程为，即； ………………4分 （2）当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立， 即在恒成立，所以 ……………………………6分 设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以， …………………………8分 所以，得；当时，， ， 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为. …………………………10分 （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 且时，，即， ……………………………12分 令，则， 所以， 即， ……………………………15分 所以 . ……………………………17分 19．（本小题满分17分） 【解】（1）由题意可知每轮游戏获得分的概率为，获得分的概率为， 设进行完轮游戏时，得分的次数为，所以， ……………………………1分 所以，，，，， ……………………………2分 而，所以随机变量的可能取值为，，，， ………………3分 所以 ， ， ， …………………………………………6分 所以的分布列为： ……………………………7分 所以. ……………………………8分 （2）①证明：，即累计得分为分，是第一次掷骰子，向上点数不超过点，， 则， ……………………………9分 累计得分为分的情况有两种： （i），即累计得分，又掷骰子点数超过点，其概率为， ……………10分 （ii）累计得分为分，又掷骰子点数没超过点，得分，其概率为， 所以，所以，，，，， 所以，，，，是首项为，公比为的等比数列. ……………………12分 ②因为数列，，，，是首项为，公比为的等比数列， 所以， ……………………………14分 所以 ， ， 各式相加，得， ……………………………15分 所以，，，，， 所以活动参与者得到礼券的概率为： …………17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) ---- -----B C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）