21.1四边形及多边形（同步练习作业设计） 2025-2026学年人教版八年级数学下册

人教版（新教材）八年级数学下册（同步练习、作业设计） 21.1四边形及多边形 目标导航: 1. 理解四边形、凸四边形及其相关概念，会求其内角和、外角和； 2. 理解多边形、凸多边形正多边形及其相关概念，会求其内角和、外角和； 3. 理解四边形的不稳定性及其应用. 【题型1】多边形的相关概念 1.（25-26七年级上·山西运城·月考）在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.（24-25八年级下·陕西西安·月考）下列图形中，不是凸多边形的是（    ） A．B．C． D． 3.（22-23六年级下·山东烟台·期中）下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正四边形 B．边数最少的正多边形是正方形 C．由正方形的顶点共可确定4条直线 D．正方形有两条对角线 4．（22-23八年级·全国·课堂例题）下列说法中，正确的个数是（　　） ①等腰三角形是正多边形； ②等边三角形是正多边形； ③长方形是正多边形； ④正方形是正多边形． A．1 B．2 C．3 D．4 5.（24-25九年级上·江苏苏州·月考）下列正多边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．正三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正九边形 【题型2】四边形的内角和、外角和 6.一个四边形有一组对角互补，另外一组对角的关系是_______ 7.求下图四边形中x的值。 8. 四边形的四个角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？ 9.（1）一个多边形的内角和与外角和相等，求它的边数； （2）一个多边形的内角和是外角和的一半，求它的边数. 10.（24-25九年级下·上海·月考）将一副直角三角尺如图所示摆放，其中等腰直角三角形（图中阴部分）的一个锐角顶点在另一个三角形内，含角的直角三角形的角的顶点在等腰直角三角形内，那么图中角和之间的数量关系是 ． 【题型3】四边形的不稳定性 11.窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形，这是因为________ 12.举一个利用四边形不稳定性的例子______________________ 13.如图，要使四边形木架（用 4 根木条钉成）不变形，至少 要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？ 14.（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 15.（23-24八年级下·湖南益阳·期末）小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 【题型4】多边形的内角和、外角和 16.（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，在四边形中，，，若线段，线段，则四边形的面积为 （用含有a、b的代数式表示）． 17.（2015·广东茂名·中考真题）一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是 ． 18.（24-25八年级下·广东梅州·期末）已知一个凸多边形的内角和等于五边形外角和的2倍，则这个凸多边形的边数是 ． 19.（2024·陕西咸阳·一模）已知正多边形的一个内角与一个外角的差为，则该正多边形的边数是 ． 20．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，五边形中，分别是，的外角，，那么 度． 【题型5】正多边形的内角和、外角和 21. （24-25九年级上·重庆·月考）一个正多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个正多边形是正 边形． 22.（24-25八年级下·上海·月考）一个边形的每个外角都相等且等于，那么 ． 【题型6】多边形的对角线 23.（24-25八年级下·上海·期末）若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是 ． 24．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有4条，那么这个多边形的内角和为 ． 25．（24-25八年级下·上海·期中）正多边形的一个内角是，则这个多边形的对角线总数为 ． 26．（24-25八年级下·上海金山·期中）一个多边形从一个顶点出发有5条对角线，那么这个多边形共有 条对角线． 27．（2025·重庆·八年级期末）一个正多边形一共有5条对角线，则这个正多边形的一个内角为 度． 【题型7】多边形的少一个角的问题 28.（2025七年级上·广东深圳·专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 29．（2022八年级下·湖南怀化·竞赛）一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为 ． 30．（24-25八年级上·福建龙岩·月考）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【题型8】多边形的镶嵌 31.（22-23八年级下·贵州铜仁·月考）定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形，在下列四个选项中，不能进行平面镶嵌的是（    ） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 32.（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，地板砖的一部分是由若干四边形和各边相等且各角也相等的六边形镶嵌而成的，那么四边形中的度数是 度． 33.（24-25八年级上·广西河池·期末）【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个内角的度数 _______ _______ ______ 【探究发现】 (1)填写表中空格： (2)如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． 【拓展应用】 (3)如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值． (4)如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形，求图中与的度数． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版（新教材）八年级数学下册（同步练习、作业设计） 21.1四边形及多边形 目标导航: 1. 理解四边形、凸四边形及其相关概念，会求其内角和、外角和； 2. 理解多边形、凸多边形正多边形及其相关概念，会求其内角和、外角和； 3. 理解四边形的不稳定性及其应用. 【题型1】多边形的相关概念 1.（25-26七年级上·山西运城·月考）在下列图形中，不属于多边形的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形的定义，解题关键是紧扣“三条及以上线段首尾顺次连接、封闭、平面图形”的定义判断每个图形是否符合多边形特征． 多边形的定义是“由三条或三条以上线段首尾顺次连接组成的封闭平面图形”，需满足：线段组成、封闭、平面图形即可解答． 【详解】三角形：是多边形；四边形（不规则）：是多边形；圆：由曲线组成，不是多边形；六边形：是多边形；正方体：是立体图形，不是多边形． 因此，不属于多边形的是“圆”和“正方体”，共2个． 故选：A． 2.（24-25八年级下·陕西西安·月考）下列图形中，不是凸多边形的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键．根据凸多边形的定义进行判断即可． 【详解】解： 选项B、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有选项A不符合凸多边形的定义，不是凸多边形． 故选：A． 3.（22-23六年级下·山东烟台·期中）下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正四边形 B．边数最少的正多边形是正方形 C．由正方形的顶点共可确定4条直线 D．正方形有两条对角线 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的定义，正三角形的定义，正方形的性质，理解相关的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：A.四边相等的四边形是菱形，结论错误，故不符合题意； B.边数最少的正多边形是等边三角形，结论错误，故不符合题意； C.由正方形的顶点共可确定条直线，结论错误，故不符合题意； D.正方形有两条对角线，结论正确，故符合题意； 故选：D． 4．（22-23八年级·全国·课堂例题）下列说法中，正确的个数是（　　） ①等腰三角形是正多边形； ②等边三角形是正多边形； ③长方形是正多边形； ④正方形是正多边形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的定义，根据各个边各个内角都相等的图形叫正多边形直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 等腰三角形不是正多边形，故①错误不符合题意， 等边三角形是正多边形，故②符合题意， 长方形不是正多边形，故③错误不符合题意， 正方形是正多边形，故④符合题意， 故选：B． 5.（24-25九年级上·江苏苏州·月考）下列正多边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．正三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正九边形 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，根据轴对称图形（在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴‌‌）和中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心）的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合意义； D、正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C 【题型2】四边形的内角和、外角和 6.一个四边形有一组对角互补，另外一组对角的关系是_______ 分析：四边形的内角和为360，代入计算即可. 解析：互补 7.求下图四边形中x的值。 分析：四边形的内角和为360，代入计算即可. 解析：（1）65（2）40 8.四边形的四个角可以都是锐角吗？可以都是钝角吗？ 解：四边形的四个角不可以都是锐角，不可以都是钝角，可以都是直角. 理由如下： 若四个角都是锐角，则四边形的内角和小于 360°，这与四边形的内角和等于 360°相矛盾.故四边形的四个角不可以都是锐角. 若四个角都是钝角，则四边形的内角和大于 360°，这与四边形的内角和等于 360°相矛盾. 故四边形的四个角不可以都是钝角. 9.（1）一个多边形的内角和与外角和相等，求它的边数； （2）一个多边形的内角和是外角和的一半，求它的边数. 分析：四边形的内角和、外角和都为360，代入计算即可. 解：（1）设它的边数为 n，则有 (n－2)×180°= 360°，解得 n = 4. ∴它的边数为 4. （2）设它的边数为 n，则有 (n－2)×180°= 360°×， 解得 n = 3. ∴它的边数为 3. 10.（24-25九年级下·上海·月考）将一副直角三角尺如图所示摆放，其中等腰直角三角形（图中阴部分）的一个锐角顶点在另一个三角形内，含角的直角三角形的角的顶点在等腰直角三角形内，那么图中角和之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角板中角度计算问题，两个三角形重叠部分为四边形，根据四边形内角和为360度列式求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，，，， ， ， ， 故答案为：． 【题型3】四边形的不稳定性 11.窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形，这是因为________ 分析：四边形具有不稳定性，三角形有稳定性. 12.举一个利用四边形不稳定性的例子______________________ 解析；四边形不具有稳定性的例子包括： 伸缩门：利用平行四边形的不稳定性，门可以通过改变对边的长度实现收 缩和展开。 折叠椅：采用平行四边形结构，使得椅子在不使用时可以折叠，节省空间。 折叠伞棚：同样利用平行四边形的不稳定性，方便折叠和使用。 衣架：许多衣架设计也利用了平行四边形的不稳定性，使得衣架可以方便地收纳。 这些例子展示了平行四边形在实际生活中的应用及其不稳定性带来的便利。 13.如图，要使四边形木架（用 4 根木条钉成）不变形，至少 要再钉上几根木条？五边形木架和六边形木架呢？ 分析：四边形及五边形、六边形都具有不稳定性，要使多边形木架不变形，钉上木条使其变成三角形即可. 解：四边形木架至少要再钉上 1 根木条，五边形木架至少要再钉上 2 根木条， 六边形木架至少要再钉上 3 根木条. 14.（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①③ C．①④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①根据平行四边形的判定方法即可判断；②观察图形即可判断；③根据平行四边形的面积公式即可判断；④根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：①根据题意两组对边的长度分别相等，所以四边形是平行四边形，故①正确； ②向右拉动框架，观察图形可知的长度变大，故②错误； ③因为平行四边形的底不变，高变小了，所以面积变小，故③错误； ④因为平行四边形的四条边长度不变，所以周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：C． 15.（23-24八年级下·湖南益阳·期末）小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接、， 由题意可知，图（1）中 ， ， 是等边三角形， 在图（2）中 ， ， 在中，， 故选：C． 【题型4】多边形的内角和、外角和 16.（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，在四边形中，，，若线段，线段，则四边形的面积为 （用含有a、b的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，连接，证明得出，再由四边形的内角和求出，最后由面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 17.（2015·广东茂名·中考真题）一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是 ． 【答案】六 【分析】利用多边形内角和公式（为边数且且为整数 ），将内角和代入公式，通过解方程求出边数．本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】边形的内角和为， ， 解得， 这个多边形的边数是六． 故答案为六． 18.（24-25八年级下·广东梅州·期末）已知一个凸多边形的内角和等于五边形外角和的2倍，则这个凸多边形的边数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和的综合应用，根据多边形的内角和的计算公式，以及任意多边形的外角和为360度，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这个凸多边形为边形， 由题意，得：， 解得：； 故这个凸多边形为六边形； 故答案为：6． 19.（2024·陕西咸阳·一模）已知正多边形的一个内角与一个外角的差为，则该正多边形的边数是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了正多边形外角和内角综合，正多边形一个外角的度数和一个内角的度数之和为180度，再结合题意建立方程组求出一个外角的度数，再根据外角和为360度即可求出边数． 【详解】解：设这个正多边形的一个内角度数为x，一个外角度数为y， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的一个外角的度数为， ∴这个正多边形的边数为， 故答案为：9． 20．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，五边形中，分别是，的外角，，那么 度． 【答案】 【分析】本题考查多边形的内角和和外角的综合应用，根据多边形的内角和定理，结合两直线平行，同旁内角互补，以及平角的定义求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵五边形，， ∴五边形的内角和为，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【题型5】正多边形的内角和、外角和 21.（24-25九年级上·重庆·月考）一个正多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个正多边形是正 边形． 【答案】八 【分析】本题考查了正多边形的性质，外角和性质以及内角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先设正多边形的边数是，因为一个正多边形的内角和等于它的外角和的3倍，所以列式，进行计算，即可作答． 【详解】解：设正多边形的边数是， 根据题意得，， 解得， 这个多边形为八边形． 故答案为：八． 22.（24-25八年级下·上海·月考）一个边形的每个外角都相等且等于，那么 ． 【答案】5 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和综合，解题关键是明确多边形的外角和等于． 根据多边形的外角和等于，用除以即可得的值． 【详解】解：∵边形的每个外角都相等且等于， ∴， 故答案为：5． 【题型6】多边形的对角线 23.（24-25八年级下·上海·期末）若一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的对角线条数是 ． 【答案】54 【分析】本题考查了多边形内角和公式与对角线公式的结合应用，关键在于准确求出边数并代入计算．根据多边形的内角和公式求出边数，然后根据对角线的条数的公式进行计算即可求解． 【详解】解：设多边形的边数是n，则 ， 解得， 多边形的对角线条数公式为：， 代入： 故答案为：54． 24．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有4条，那么这个多边形的内角和为 ． 【答案】/900度 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线的公式，求出多边形的边数是解题的关键． 根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数，然后根据多边形的内角和公式列式进行计算即可得解． 【详解】设多边形边数为n， ∵多边形从一个顶点出发可引出4条对角线， ∴， 解得：， ∴内角和． 故答案为：900． 25．（24-25八年级下·上海·期中）正多边形的一个内角是，则这个多边形的对角线总数为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了多边形的外角与内角和对角线条数，解题关键是掌握任意多边形的外角和都等于． 先求出正多边形的一个外角度数，再根据多边形的外角和等于，即可求出这个多边形的边数，根据对角线条数公式即可求出对角线总数． 【详解】解：∵正多边形的一个内角是， ∴正多边形的一个外角是， ∵多边形的外角和等于， ∴这个多边形的边数是， ∴对角线总数为 故答案为：20． 26．（24-25八年级下·上海金山·期中）一个多边形从一个顶点出发有5条对角线，那么这个多边形共有 条对角线． 【答案】20 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，从一个n边形的一个顶点出发有对角线，n边形公有条对角线，据此先求出多边形的边数，再求出其对角线条数即可． 【详解】解：设多边形为n边形， ∵从n边形的一个顶点出发共有5条对角线， ∴， ∴， ∴这个多边形的边数为8， ∴这个多边形共有条对角线， 故答案为：20． 27．（2025·重庆·八年级期末）一个正多边形一共有5条对角线，则这个正多边形的一个内角为 度． 【答案】108 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟记对角线条数公式是解题的关键．根据多边形的对角线公式列式计算求出n的值，再求出中心角即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 由题意得， 整理得，， 解得，（舍去）， 经检验：是所列方程的解， ∴这个正多边形的边数为5 所以一个外角是72度，一个内角为108度 ∴这个正多边形的中心角为， 故答案为：72． 【题型7】多边形的少一个角的问题 28.（2025七年级上·广东深圳·专题练习）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形的知识．一个多边形截去一个角后，边数可能增加、不变或减少．由于截去后变成五边形，因此原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：∵一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条， ∴当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6． ∴原多边形边数不可能为3． 故选：A． 29．（2022八年级下·湖南怀化·竞赛）一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查的知识点是多边形的概念，解题关键是列举出所有可能的情况．一个多边形剪去一个角后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个凸2022边形，减去一个角后，所得多边形的边数为，， 故答案为：，，． 30．（24-25八年级上·福建龙岩·月考）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 【题型8】多边形的镶嵌 31.（22-23八年级下·贵州铜仁·月考）定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不空隙、不重叠地铺成一片，称为平面图形的镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形，在下列四个选项中，不能进行平面镶嵌的是（    ） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．根据正三角形、正四边形、正五边形、正六边形内角的度数，进行判定即可． 【详解】解：A．正三角形的每个内角为，因为，所以正三角形能镶嵌成一个平面图案，故A不符合题意； B．正四边形的每个内角为，因为，所以正四边形能镶嵌成一个平面图案，故B不符合题意； C．正五边形的每个内角为，因为不是整数，所以正五边形不能镶嵌成一个平面图案，故C符合题意； D．正六边形的每个内角为，因为，所以正六边形能镶嵌成一个平面图案，故D不符合题意． 故选：C． 32.（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，地板砖的一部分是由若干四边形和各边相等且各角也相等的六边形镶嵌而成的，那么四边形中的度数是 度． 【答案】60 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），根据正六边形内角和定理．求出每个内角度数，然后根据周角求出答案． 【详解】解：∵正六边形内角和：， ∴每个内角度数：， ∴， ∴的度数为． 故答案为：60． 33.（24-25八年级上·广西河池·期末）【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个内角的度数 _______ _______ ______ 【探究发现】 (1)填写表中空格： (2)如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． 【拓展应用】 (3)如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值． (4)如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形，求图中与的度数． 【答案】(1)；； (2)①③ (3)或 (4)； 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，二元一次方程的整数解等知识点，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌． （1）根据正n边形内角和定理求出内角和再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数的整数倍是即可解答； （3）由题意得，x、y满足的正整数解即可求解； （4）根据正五边形每一个内角的度数即可求解． 【详解】（1）解：正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， 故答案为：；；． （2）解：由（1）可求， 正三角形每个内角的度数为， 正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正七边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：由题意，得， 其正整数解为或． （4）解：∵正五边形的内角为， ∴，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $