1.2.2.1完全平方公式课件2025-2026学年湘教版 数学七年级下册

该初中数学课件聚焦七年级下册“完全平方公式”，通过正方形实验田边长变化的情境导入，引导学生从面积直接计算与分割求和两种方式发现数量关系，结合多项式乘法运算推导公式，搭建从具体情境到抽象公式的学习支架。 其亮点在于融合几何直观与代数推理，用正方形面积分割验证公式本质，培养学生抽象能力与空间观念。例题从基础运算到中考结论开放题、数形结合题，覆盖不同难度，通过易错辨析强化符号与项数意识，提升运算能力和推理意识。学生能深化公式理解与应用，教师可直接利用完整教学环节高效备课，落实新课标核心素养培养。

湘教版（新教材）数学七年级下册培优备课课件 1.2.2.1完全平方公式 第1章 整式的乘法 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1 一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米. 形成四块实验田，以种植不同的新品种 (如图). 用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较. 你发现了什么？ a a b b 直接求：总面积 = (a + b)(a + b) 间接求：总面积 = a2 + ab + ab + b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 完全平方公式教学课件（教学过程部分） 幻灯片1：情境导入——引发思考 问题1：现有边长为a的正方形花坛，现将边长增加b，扩建为新正方形花坛，新花坛的面积如何表示？（展示图形） 问题2：若将原正方形边长减少b，新正方形面积又该如何表示？ 引导学生从图形面积角度初步感知，激发探究欲望。 幻灯片2：探究推导——得出公式 1. 代数推导：利用多项式乘法法则计算（a+b）²和（a-b）² （a+b）² = (a+b)(a+b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² （a-b）² = (a-b)(a-b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b² 2. 几何验证：结合导入环节的正方形面积，对应代数表达式，验证公式合理性。 3. 总结公式：完全平方公式：（a±b）² = a² ± 2ab + b² 幻灯片3：公式辨析——深化理解 1. 口诀记忆：“首平方，尾平方，积的两倍放中央，符号跟着首尾项” 2. 易错警示：判断对错并改正 ①（a+b）² = a² + b²（×，缺少2ab） ②（a-b）² = a² - b²（×，应为a² - 2ab + b²） 强调：公式中“2ab”的符号由括号内两项的符号决定。 幻灯片4：基础应用——巩固公式 例1：计算（1）（3x+2）² （2）（5y-1）² 解析：（1）将3x看作a，2看作b，代入公式：（3x）² + 2×3x×2 + 2² = 9x² + 12x + 4 （2）将5y看作a，1看作b，代入公式：（5y）² - 2×5y×1 + 1² = 25y² - 10y + 1 练习：计算（2a+3b）²和（4x-3y）²，学生板演，师生点评。 完全平方公式 p2 + 2p + 1 m2 + 4m + 4 p2－2p + 1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) ( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = . (2) ( m + 2 )2 = ( m + 2 )( m + 2 ) = . (3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = . (4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = . m2－4m + 4 根据上面的规律，你能直接写出下面式子的结果吗？ (x＋y)2 = . x2 + 2xy + y2 (x－y)2 = . x2－2xy + y2 1 完全平方公式 (x + y)2 = ； x2 + 2xy + y2 (x - y)2 = . x2 - 2xy + y2 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的 2 倍. 这两个公式叫作完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央” 知识要点 公式特征： 1. 积为二次三项式； 2. 积中的两项为两数的平方； 3. 另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同； 4. 公式中的字母 x，y 可以表示数、单项式或多项式. 你能根据图 1 和图 2 的面积解释完全平方公式吗? b a a b b a b a 图 1 图 2 想一想： 设 a，b 都是正数，将完全平方公式1中的 x 用 a 代入，y 用 6 代入，可得 (a ± b)² = a² ± 2ab + b². 几何解释： a a b b = + + + a2 ab ab b2 (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 完全平方公式1： a2 − ab − b(a − b) = a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 几何解释： (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 完全平方公式2： a−b (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 a2 (1) ( a + )2； = a2 + a + + + 2 • a • 解：( a + )2 = 例1 运用完全平方公式计算： 典例精析 解：(2x－3)2 = = 4x2 (3) (2x－3)2. ( x－y )2 = x2 － 2xy + y2 (2x)2 － 2×(2x)×3 + 32 － 12x + 9. (2) (3m＋n)2. 解：将完全平方公式1 中的 x 用 3m 代入，y 用 n 代 入，可得 (3m＋n )2＝ (3m)2＋2 • 3m • n ＋n2 ＝9m2＋6mn＋n2. 例2 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值． 解：因为36x2＋(m＋1)xy＋25y2 ＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， 所以(m＋1)xy＝±2×6x · 5y. 所以m＋1＝±60. 所以 m＝59 或 m＝－61. 方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号可正可负，避免漏解． 1. 下列算式： ； ； ； .其中计算 错误的有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如果,则 的值是( ) D A. 4 B. 或4 C. 8 D. 或8 【点拨】因为 , ,所以,.所以 .所 以 . 中考考法 12 3. 教材P19练习T3 边长为 的正方形如图所示， 这个正方形的面积不能表示为( ) C A. B. C. D. 中考考法 13 4. 在多项式 中添加一个单项式，使 其成为一个完全平方式，则添加的单项式是______________ _____（写出一个即可）. （答案不唯 一） 中考考法 14 5. 利用完全平方公式计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ; 原式 . 中考考法 15 （3） ； 原式 . （4） . 原式 . 中考考法 16 6. 已知,,为实数，且 ， ，则,, 之间的大小关系是( ) A A. B. C. D. 中考考法 17 【点拨】因为①， ， 由，得，即 .因为 ，所以，所以，即 ；由 ，得，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 . 中考考法 18 7. 已知， ，则 的值为( ) B A. 2 B. 19 C. 25 D. 31 【点拨】因为 ，所以 .所以 .又因为 ，所以.所以.所以 .故选B. 中考考法 19 8. 现有甲、 乙两个正方形纸片，如图，将 甲、乙并列放置后得到图①， 已知点为 的中点，连接 ， ；将乙纸片放到甲纸 19 片的内部得到图②，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图 ②中阴影部分的面积为6，则图①中阴影部分的面积为____. 中考考法 20 【点拨】设甲正方形纸片的边 长为 ,乙正方形纸片的边长为 ,则, , ，所以 ，即 .因为点为 的中点，所以 .因为题图②中阴影部分的面积 中考考法 21 ，所以 . 所以 .所以题图①中阴影部分的面积 . 中考考法 完全平方公式 法则 注意 (a±b)2 = a2±2ab＋b2 1. 项数、符号、字母及其指数 2. 不能直接应用公式进行计算 的式子，需要先添括号变形 3. 弄清完全平方公式和平方差 公式的不同点（从公式结构 特点及结果两方面） $