1.2.1 平方差公式课件2025-2026学年湘教版 数学七年级下册

该初中数学课件聚焦平方差公式，通过“算一算”合作探究引导学生计算多项式乘法并观察规律，衔接多项式乘法法则，推导得出公式，为整式运算学习提供基础支架。 其亮点在于结合几何直观通过长方形剪拼验证公式，融入中考实例如21×(21²-22×20)的简便计算培养应用意识，例题解析强调找准相同项与相反项提升运算能力。采用情境探究与分层例题，助力学生深化理解，也为教师提供丰富教学资源。

湘教版（新教材）数学七年级下册培优备课课件 1.2.1 平方差公式 第1章 整式的乘法 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1 ① (x + 1)( x - 1)； ② (m + 2)( m - 2)； ③ (x + y)(x - y)； ④ (5y + z)(5y - z). 算一算：看谁算得又快又准. 平方差公式 合作探究 1 平方差公式 教学过程幻灯片分页内容 第1页：情境导入，引发思考 问题1：计算下列多项式乘法：（1）(x+1)(x-1) （2）(m+2)(m-2) （3）(2x+1)(2x-1)。请学生独立完成后，观察结果与原式的结构特点，思考：这类算式的结果有什么规律？ 第2页：探究推导，得出公式 1. 引导学生分析上述算式共性：都是两个数的和与这两个数的差相乘。设这两个数为a、b，即(a+b)(a-b)。2. 推导过程：用多项式乘法法则展开：(a+b)(a-b)=a² -ab +ab -b²，合并同类项后得a² -b²。3. 总结平方差公式：(a+b)(a-b)=a² -b²，语言表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 第3页：例题解析，巩固应用 例1：计算(3x+2)(3x-2)。解析：将3x看作a，2看作b，代入公式：(3x)² -2²=9x² -4。例2：计算(-x+5y)(-x-5y)。引导学生识别a=-x，b=5y，应用公式得(-x)² -(5y)²=x² -25y²。 第4页：规律总结，深化理解 1. 平方差公式适用条件：两个因式为“两数和与两数差”的形式（即相同项与相反项的乘积）。2. 关键：找准相同项（a）和相反项（b），结果为相同项的平方减去相反项的平方。3. 课堂小练：口答(1)(a+3)(a-3) (2)(2a+1)(2a-1)，检验学生掌握情况。 ② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4 ③ (x + y)(x - y) = x2 - y2 ④ (5y + z)(5y - z) = 25y2 - z2 ① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1 想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？ = x2－12 = m2－22 = x2－y2 = (5y)2－z2 用自己的语言叙述你的发现. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差. (x + y)(x − y) = x2 − y2. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形： (x – y) (x + y) = x2 − y2， (y + x)(−y + x ) = x2 − y2. 平方差公式： 知识要点 平方差公式 注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个 多项式等． (x + y)(x - y) = x2 - y2 相同为 x 相反为 y 适当交换 合理加括号 例1 计算：(1) ( 2x ＋1)( 2x －1 )； (2) (x＋2y)(x－2y). 解：(1) 将平方差公式中的 x 用 2x 代替，y 用 1 代替， 可得 典例精析 分析：(1)(2)中两个多项式的乘法都满足平方差公式的特征，因而可利用该公式进行计算. (2x＋1)(2x－1)＝ (2x)2－12 ＝4x2－1. 看作 x 看作 y 例1 计算： (2) ( x ＋ 2y )( x － 2y ). 解：将平方差公式中的 y 用 2y 代替，可得 典例精析 (x＋2y)(x－2y)＝ x2－(2y)2 ＝x2－4y2. 看作 y 例2 运用平方差公式计算: . 解：将平方差公式中的 x 用 －2x 代替，y 用 y 代替，可得 ＝ ＝. 例3 运用平方差公式计算：(4a＋b)(－b＋4a). 典例精析 解：由平方差公式得 (4a＋b)(－b＋4a)＝(4a＋b)(4a－b) ＝(4a)2－b2 ＝16a2－b2. 方法总结：将括号内的式子转化为平方差公式的形式． 将长为 (a + b)，宽为 (a－b) 的长方形，剪下宽为 b 的长方形条，拼成一个有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？ (a + b)(a − b) = a2 − b2 平方差公式的几何验证 2 合作探究 a a b b a + b a - b b b 几何验证平方差公式 a a b b a2 - b2 a b b b (a + b)(a - b) (a + b)(a - b) = a2 - b2 a - b a - b a a a2 b a a2 - b2 a b b a a b 1 2 (a+b)(a-b) 1 2 (a+b)(a-b) b a a b (a+b)(a-b) = a2-b2 自主探究 想一想： (1) 计算下列各式，并观察他们的共同特点： 6×8 = 48 14×16 = 224 69×71 = 4899 7×7 = 49 15×15 = 225 70×70 = 4900 平方差公式的运用 3 (2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母 表示这一规律，你能说明它的正确性吗？ (a − 1)(a + 1) = a2 − 1 例4 计算：(1) 1002×998； 解：由于1002×998 = (1000＋2)(1000－2) 注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用. 典例精析 于是由平方差公式得 (1000＋2)(1000－2) = 10002－22 = 1000000－4 = 999996 因此 1002×998 = 999996. 例4 计算： (2) 118×122. 解：118×122 = (120－2)(120＋2) = 1202－22 = 14400－4 = 14396. 注意：不能直接应用公式的，要适当变形才可以应用. 典例精析 例5 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中 x＝1，y＝2. 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－ (4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2. 当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15. 方法总结：利用平方差公式先化简再求值，一般不要先直接代入数值计算． 1. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是( ) D A. B. C. D. 2. 已知，则 的值为 ( ) A A. 13 B. 3 C. D. 5 3. 若，则， 的值分别为 _________. ， 中考考法 20 4. 榫卯结构是我国古建筑中采用的一种凹凸 结合的连接方式.如图①是一个榫卯结构的零部件，整体是一 个长为，宽为,高为 的长方体，中 间凿掉一个棱长为 的正方体，图②是其截面图.则这个零 部件的体积为____________ . 中考考法 21 5. 已知,求 的值. 【解】原式 . 中考考法 22 6. 教材P17练习T2 用平方差公式简便计算： （1） ; 【解】原式 . 中考考法 23 （2） . 原式 . 中考考法 24 7. [厦门校级期中] 先化简，再求值： ，其中， . 【解】原式 . 当， 时，原式 . 中考考法 25 8. 试说明：对任意自然数 ，式子 的值都能被12整除. 【解】 . 所以对任意自然数，式子 的 值都能被12整除. 中考考法 26 9. 若，则 等于 ( ) B A. B. C. 6 D. 8 中考考法 27 10. 利用平方差公式计算 ，以下结果正 确的是( ) D A. B. C. D. 11. 若，则 的值为 ( ) B A. 4 B. 8 C. D. 中考考法 28 12. 如图，大正方形与 小正方形的面积之差是48，则阴影部分的 面积是( ) C A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 中考考法 29 【点拨】设大正方形的边长为 ,小正方形 的边长为,所以 , .因为大正方形与小正方形 的面积之差是48，所以 .根据 题图可得 ,所以 , 中考考法 30 .所以阴影部分的面积 故选C. 中考考法 13. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇 数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，如 ， ，则8，16均为“和谐数”.在不超过217的正整数 中，所有的“和谐数”之和为_______. 3 024 中考考法 32 14. [北京海淀区期中] 在月历上，我们可以发现其中某些数 满足一定的规律. 中考考法 33 （1）图①是某月的月历，我们用如图所示的“ ”字型框架任 意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置 ， 上的数相乘，位置， 上的数相乘，再相减，例如： ____， ____，不难发现， 结果都等于____； 15 15 15 中考考法 34 （2）设“”字型框架中位置上的数为 ，请利用整式的运算 对（1）中的规律加以说明； 中考考法 35 【解】因为“”字型框架中位置上的数为，所以位置 ， ，，上的数依次为，，，.所以 . 中考考法 36 （3）如图②，在某月历中，正方形方框框住部分 （阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的 乘积为105，那么中间位置上的数 的值为____. 13 中考考法 37 【点拨】因为中间位置上的数为，所以最小的数为 ， 最大的数为.依题意得 ，所以 ，所以，所以或 （不符合题意，舍去）.所以中间位置上的数 . 中考考法 38 15. 阅读下列材料：#1 某同学在计算时，把3写成 后， 发现可以连续运用平方差公式计算： .他很受启发,后来在求 时，联 想到“凑成”平方差公式：将乘积式前面乘1，并且把1写成 中考考法 39 ，得 . 解答下列问题：#1.2 中考考法 （1）计算： ； 【解】原式 . 中考考法 41 （2）化简： . 当 时， 原式 ； 当 时， 原式 中考考法 42 . 中考考法 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1. 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2 2. 紧紧抓住“一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用 $