精品解析：河南省南阳市第十三中学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025年秋期九年级数学第二次限时督学 一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共30分） 1. 在中，，都是锐角，且，，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角函数、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握特殊角度三角函数、三角形内角和的性质，从而完成求解． 根据特殊角度三角函数的性质，结合题意，分别得；再根据三角形内角和性质计算得，即可得到答案． 【详解】解：∵都是锐角，且，， ， ， ∴的形状是钝角三角形， 故选：B． 2. 如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（　　） A. 5m B. 2 m C. 4 m D. m 【答案】B 【解析】 【详解】如图， ∵AB=10m，tanA= ． ∴设BC=x，AC=2x， 由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2， ∴AC=4，BC=2m． 故选：B． 3. 如图，将的按图摆放在一把刻度尺上，顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数约为（ ） （结果精确到，参考数据：，， A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，作于，作于，解得到，再证明，即可解求出的长，即可得到答案． 【详解】解：作于，作于，如图： 依题意得：， 在中，，，， ， ，，且， ， 在中，，，， ，即：， 解得：， 点C在尺上的读数约为， 故选：C． 4. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620． 其中合理的是（　　） A. ① B. ② C. ①② D. ①③ 【答案】B 【解析】 【详解】①当频数增大时，频率逐渐稳定的值即为概率，500次的实验次数偏低，而频率稳定在了0.618，错误；②由图可知频数稳定在了0.618，所以估计频率为0.618，正确；③.这个实验是一个随机试验，当投掷次数为1000时，钉尖向上”的概率不一定是0.620.错误, 故选B. 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，能正确理解相关概念是解题的关键. 5. 下列各式中，是的二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】形如的函数叫做二次函数，其中a、b、c是常数；根据二次函数的定义判断即可． 【详解】A、自变量在分母上，不是二次函数，不符合题意； B、不一定，当a为零时，则不是，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、自变量在根号内，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的概念，掌握概念是关键，特别强调：二次函数中的二次项系数非零． 6. 若，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算抛物线的对称轴，在计算各点与对称轴的水平距离，根据抛物线开口向上，距离越大，函数值也越大比较即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，且， ∵，，， ∴点A到对称轴直线的距离为， 点B到对称轴直线的距离为， 点C到对称轴直线的距离为， ∵， ∴， 根据抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的增减性，熟练掌握抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小是解题的关键． 7. 已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】分情况讨论，当时，函数是一次函数，为：，此时图象和x轴有交点；当时，函数是二次函数图像与x轴有公共点，说明一元二次方程的，建立一个关于k的不等式，解不等式即可． 【详解】当时，函数是一次函数， 解析式为：， 此时图象和x轴有交点， 即满足要求； 当时，函数是二次函数图像与x轴有公共点， ∴一元二次方程的， 即：， 解得且， 综上：则k的取值范围是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和二次函数图像与x轴交点个数的关系，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．解答时注意分类讨论的思想． 8. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，遵循“左加右减，上加下减”的规则． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位， x变为； 再向上平移1个单位， 整体加1， ， 故选：A． 9. 如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（　　） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】首先建立坐标系，然后利用待定系数法求得函数的解析式，然后令y=0，即可求解． 【详解】如图建立坐标系： 抛物线的顶点坐标是（1，4）， 设抛物线的解析式是y=a（x-1）2+4， 把（0，3）代入解析式得：a+4=3， 解得：a=-1， 则抛物线的解析式是：y=-（x-1）2+4， 当y=0时，-（x-1）2+4=0， 解得：x1=3，x2=-1（舍去）， 则水池的最小半径是3米． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式是本题的关键． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列正确的有（ ）个． ①；②；③；④；⑤当时，的取值范围是． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征，由抛物线的图象及与轴的交点可判断①②③，由由时，可判断④，结合抛物线的对称轴可得抛物线与轴的另一个交点为，可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象如图所示， ∴，，故①②符合题意； ∵图象与x轴两个交点， ∴方程有两个不相等的根， ∴，故③符合题意； 由时，，故④不符合题意； ∵抛物线的对称轴为，其中一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，的取值范围是，故⑤符合题意； 即正确的有4个， 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，小明家的客厅有一张高0.8米（即米）的圆桌，圆桌的直径为1米，点处有一盏灯，圆桌在此灯光下的影子最外侧两点分别为、，以所在直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，已知图中所有的点均在同一平面内，轴，米，点的坐标为，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的实际应用，由题意可推出；得出，进而得到 ，结合即可求解． 【详解】解：由题意得：轴， ∴ ∴， ， 即： 故答案为： 12. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的业余生活，开展了4个体育兴趣社团：田径社团、篮球社团、足球社团、体操社团．小亮和小东对4个社团都很喜欢，他们随机选择参加其中一个社团，则两人恰好选择同一个社团的概率是___________． 【答案】 ##0.25 【解析】 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，正确列表或画树状图，找到所有等可能的情况是解题关键． 列表或画树状图，得到所有等可能的情况，找出其中两人恰好选择同一个社团的情况，通过概率公式求解即可． 【详解】设四个社团分别为A（田径）、B（篮球）、C（足球）、D（体操）． 小亮和小东各随机选择一个社团，列表如下： 小东 小亮 A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 由表可知，所有可能的结果共有16种，且每种结果出现的可能性相等．其中两人选择同一个社团的结果有4种（即都选A、都选B、都选C或都选D）． 因此概率为． 故答案为：． 13. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶时间（单位：s）的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进了__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用．通过配方法将二次函数化为顶点式，从而找到最大值． 【详解】解：， 故当时，取得最大值． 故答案为：． 14. 对于二次函数，当时，的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握抛物线开口方向、对称轴和增减性是解题的关键． 由解析式可知开口向下，对称轴为直线，根据的范围结合增减性求的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵， 当时，取得最大值， 当时，， 当时，， ∴的取值范围是． 15. 如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若是“好玩三角形”，且，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况分析：①E在AB上时，；②当E在AC上时，. 【详解】①如图1中， 在中，，是的中线，设，则，， ∴． ②如图2中， 在中，，是的中线，设，则，， ∴．， 故答案为或． 【点睛】考核知识点：解直角三角形，分类讨论是关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键； （1）先求出特殊三角函数值，再算乘法，最后算加减可进行求解； （2）先求出特殊三角函数值，再算乘法，最后算加减可进行求解． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 如图，在中，，的平分线交于D，，解这个直角三角形． 【答案】 解：∵，， ∴， ∴， ∵的平分线交于D， ∴， ∴， ∴，． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，在中，根据，求出，角平分线求出，进而得到，根据锐角三角函数求出的长即可． 【详解】略 （2025山东同步练习改编题） 18. 如图，根据提供的数据回答下列问题： （1）在图①中，___________，___________，___________； 在图②中，___________，___________，___________． 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角的等式表示出来___________ （2）利用你发现的规律求解以下题目：已知是锐角，且满足，求的值． 【答案】（1），，；，，； （2） 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义以及发现规律的能力，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据锐角三角函数的定义，即可得到锐角三角函数的正弦值和余弦值，从而发现规律； （2）根据（1）中的规律，即可求解． 【小问1详解】 解：图①中，，，， 图②中，，，， 规律：对于任意锐角有； 【小问2详解】 解：∵为锐角， ∴，， 由，得 解得（负值已经舍去）． 19. 如图，某滑雪场的滑雪轨道由与两部分组成，长度为，长度为，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若的坡度为，与水平面的夹角为，则他下降的高度为多少米？（精确到1米，参考数据：，，）． 【答案】234米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数定义．过点A作于点E，过点B作于点G，设米，则米，根据勾股定理求出（米），得出，求出米，根据三角形函数求出米，即可得出答案． 【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点G，如图所示： 的坡度为，为260米， 设米，则米， 故（米）， 解得：， 则（米）， 在中， ， （米）， 他下降的高度为：米， 答：他下降的高度为234米． （202河南郑州期中试卷改编） 20. 南阳市某学校开展了“纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利80周年”思政大课研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用表示，单位：）进行调查．经过整理，将数据分成四组（组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中，的值为___________；组对应的扇形圆心角的度数为___________． （3）组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用画树状图或列表的方法求所抽取的两人恰好是两名女生的概率． 【答案】（1） 如图所示： （2）， （3）所抽取的两人恰好是两名女生的概率为 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，条形统计图和扇形统计图关联． （1）根据已知条件求出总人数，再用总人数减去A、B、D组人数求得C组人数，再将C组人数补全到条形统计图即可； （2）利用“B组人数总人数B组所占百分比”可得B组所占的百分比，根据“圆心角度数A组占总体的百分比”即可得出； （3）设两名男生分别为男1、男2，两名女生分别为女1、女2，据此列出列表，再计算所有可能的结果数和所抽取的两人恰好是两名女生的结果数，最后计算概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，抽取学生的总人数为：（人）， ∴C组人数为：（人） 【小问2详解】 解：由题意知，抽取学生的总人数为：（人）， ∴， A组对应的扇形圆心角的度数为：． 故答案为：，； 【小问3详解】 解：由题意知，列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 ∴共有种等可能情况，其中所抽取的两人恰好是两名女生的情况有种， ∴所抽取的两人恰好是两名女生的概率为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，点是抛物线上在第一象限内一点，直线与轴相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点是线段的中点时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）将点A,B代入抛物线，解得b，c可得解析式； （2）过点作轴，交轴于点．结合题意可知，进一步可解得及，OD的值即为点P的横坐标，代入解析式即可得出点P的坐标． 【详解】解：（1）∵交轴于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）如图，过点作轴，交轴于点． ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点，结合题意添加合适的辅助线是解题的关键． 22. 某服装店销售一批品牌衬衫，每件进价50元，规定销售单价不低于55元，且获利不高于．试销时发现，当销售单价定为55元时，每天可售出200件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件．设每天销售量为y件，销售单价为x（x为正整数）元． （1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当每件衬衫销售单价是多少元时，服装店每天获利1500元？ （3）销售单价定为多少元时，服装店每天销售衬衫获得的利润w最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）， （2）60元或65元 （3）单价定为62元或63元时，服装店每天销售衬衫获得的利润w最大，最大利润1560元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用－销售最值问题，根据条件建立二次函数模型是解题关键． （1）每日销售量＝，据此可进行求解． （2）总利润=销量单件利润，据此可进行求解． （3）总利润=销量单件利润，据此建立二次函数模型，结合二次函数性质求出最值． 【小问1详解】 解：由题意，， 进价50元，获利不高于， 售价不高于元， x的取值范围是． 答：y与x之间的函数关系式为，x的取值范围为． 【小问2详解】 解：由题意，， 整理得， 解得，，均在取值范围内． 答：单价是60元或65元． 【小问3详解】 解：由题意，， 对称轴为，x为正整数， 或时，w最大， 最大利润为（元）． 答：单价定为62元或63元时，有最大利润1560元． （2025河南新乡期末期中试卷） 23. 如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）在斜坡上的点有一棵竖直向上生长的树，点的横坐标为3，树高为7，通过计算说明小球能否飞过这棵树？ （3）过点作平行于轴，与斜坡交于点，求的最大值． 【答案】（1） （2）小球能飞过这棵树 （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的表达式为，把代入即可得到答案； （2）把分别代入和，即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：（1）∵小球到达的最高的点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，，， ∵， ∴小球能飞过这棵树； 【小问3详解】 解：联立， 解得：，． ∴． 如图，过点作平行于轴，与斜坡交于点．     设，则， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期九年级数学第二次限时督学 一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共30分） 1. 在中，，都是锐角，且，，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 2. 如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（　　） A. 5m B. 2 m C. 4 m D. m 3. 如图，将的按图摆放在一把刻度尺上，顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数约为（ ） （结果精确到，参考数据：，， A. B. C. D. 4. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620． 其中合理的是（　　） A. ① B. ② C. ①② D. ①③ 5. 下列各式中，是的二次函数的是（　　） A. B. C. D. 6. 若，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（　　） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列正确的有（ ）个． ①；②；③；④；⑤当时，的取值范围是． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，小明家的客厅有一张高0.8米（即米）的圆桌，圆桌的直径为1米，点处有一盏灯，圆桌在此灯光下的影子最外侧两点分别为、，以所在直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，已知图中所有的点均在同一平面内，轴，米，点的坐标为，则点的坐标是___________． 12. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的业余生活，开展了4个体育兴趣社团：田径社团、篮球社团、足球社团、体操社团．小亮和小东对4个社团都很喜欢，他们随机选择参加其中一个社团，则两人恰好选择同一个社团的概率是___________． 13. 汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶时间（单位：s）的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进了__________． 14. 对于二次函数，当时，的取值范围是___________ 15. 如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若是“好玩三角形”，且，则_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，，的平分线交于D，，解这个直角三角形． （2025山东同步练习改编题） 18. 如图，根据提供的数据回答下列问题： （1）在图①中，___________，___________，___________； 在图②中，___________，___________，___________． 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角的等式表示出来___________ （2）利用你发现的规律求解以下题目：已知是锐角，且满足，求的值． 19. 如图，某滑雪场的滑雪轨道由与两部分组成，长度为，长度为，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若的坡度为，与水平面的夹角为，则他下降的高度为多少米？（精确到1米，参考数据：，，）． （202河南郑州期中试卷改编） 20. 南阳市某学校开展了“纪念中国人民抗日战争暨反法西斯战争胜利80周年”思政大课研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用表示，单位：）进行调查．经过整理，将数据分成四组（组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中，的值为___________；组对应的扇形圆心角的度数为___________． （3）组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用画树状图或列表的方法求所抽取的两人恰好是两名女生的概率． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，点是抛物线上在第一象限内一点，直线与轴相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点是线段的中点时，求点的坐标． 22. 某服装店销售一批品牌衬衫，每件进价50元，规定销售单价不低于55元，且获利不高于．试销时发现，当销售单价定为55元时，每天可售出200件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件．设每天销售量为y件，销售单价为x（x为正整数）元． （1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当每件衬衫销售单价是多少元时，服装店每天获利1500元？ （3）销售单价定为多少元时，服装店每天销售衬衫获得的利润w最大？最大利润是多少元？ （2025河南新乡期末期中试卷） 23. 如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）在斜坡上的点有一棵竖直向上生长的树，点的横坐标为3，树高为7，通过计算说明小球能否飞过这棵树？ （3）过点作平行于轴，与斜坡交于点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $