数列不等式恒成立问题、数列新定义问题 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列不等式恒成立问题、数列新定义问题专项训练 数列不等式恒成立问题、数列新定义问题专项训练 考点目录 数列不等式恒成立问题 数列新定义问题 考点一 数列不等式恒成立问题 例1．（25-26高二上·江苏泰州·月考）设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）当时，由，得，，得， 又，，且，作差得， 所以，，则且， 故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为； （2） ∴. 又，所以. 例2．（25-26高二上·浙江·月考）已知数列满足的前项和为. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式. (2)记的前项和为. （i）求； （ii）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）由，可得， 则，又，所以为等比数列， 故，则，得. （2）（i）由（1）可得， 因为， 则， 得， 化简得， （ii）原不等式化简可得， 记， 则. 记，知是关于的增函数， 其中. 故时，，又，所以. 原不等式成立，则存在，使得. 则当为奇数时，此时， 故，即，此时无解，不等式恒不成立； 当为偶数时，即， 解得或， 故的取值范围为. 例3．（25-26高二上·江苏南京·月考）记数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前2n项和B2n； (3)设m为整数，且对任意，，求m的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)7. 【详解】（1）在数列中，，则， 当时，，则数列是以为首项，2为公比的等比数列， 因此，当时，，而不满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 则， ， . （3）设，则， 当时，， 于是， 则， 因此，由，得，又， 所以符合题设条件的m的最小整数值为7. 例4．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知函数，数列满足，， (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为函数， 所以，    又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可知，                 所以. （3）由（2）可知：， 所以由，                              因为， 所以由，                         设， 由，      由二次函数性质可知：当时，函数是减函数， ，， 于是有时，， 所以，，因此， 存在，使得成立，则有，     因此实数k的最大值. 变式1．（25-26高二上·广西·月考）已知正项数列的前项和为满足，数列满足且. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，证明：； (3)若对任意正整数恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 (3). 【详解】（1）由，得 故是公比为2的等比数列， 因，令得，又得. 故，的首项为， 故，所以. （2）因为 故 （3）因，故， 作差得 移项得 . 由于数列是正项数列，故 所以数列是公差为4的等差数列. 故. 由，得，设，只需求出的最大值即可. 可知，故 故. 变式2．（25-26高二上·广东江门·月考）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前n项和，若对任意的，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是. 【详解】（1）因为数列的前n项和，所以 当时，，即，解得； 当时，，化简得； 因此是首项为，公比为的等比数列， 所以通项公式为. 故通项公式为. （2）由，得，，故 ， 裂项相消求和：， 因为若对任意的，， 即对任意的，，等价于对任意的，， 当时，不等式显然成立； 当时，不等式等价于对任意的，， 设， 因为， 所以是单调递减数列，则， 综上或，所以的取值范围是. 变式3．（25-26高二上·甘肃金昌·月考）数列满足：，各项均为正数的等差数列的前项和为，4是的等比中项，且． (1)求，的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，；， (2) 【详解】（1）令，得：. 又① ② 由①②得到 即：， 经检验，，也成立，故数列的通项公式，. 由于是，的等比中项，因此可得：，即得：， 又由，得：，即 由，解得：或，当时，，不满足题意舍去； 当时，，由此可得：，. （2）， 则 . 由于，所以，因此可得 若恒成立，则，解得或， 实数的取值范围为． 变式4．（25-26高二上·浙江金华·月考）已知等比数列的前项和为，满足，且，，成等差数列，数列的前项和为，满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和，求证：； (3)若对，恒有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由，，成等差数列，则， 即，则， 设等比数列的公比为，则，又，所以. 又，则时，， 两式相减得，，即，， 又，则，， 显然满足上式，则. （2）由， 则， 由于在上单调递增，则，即. （3）由（1）得，，， 由，则，记， 则， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 故，则. 考点二 数列新定义问题 例1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若数列的前项和为，对于给定正整数，若，，，成等差数列，则称数列具有性质. (1)数列具有性质，且，，求的值； (2)若等比数列具有性质，求数列的公比； (3)若数列具有性质，，是否存在无穷子列，，，…成等差数列？若存在，求一个符合要求的子列；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)存在，如子列，理由见解析 【详解】（1）解：由数列具有性质，所以构成等差数列， 设该等差数列为，且公差为，其中，首项， 因为，， 所以数列的前的和， 解得，所以，所以. （2）解：设等比数列的首项，公比为， 由性质知：数列成等差数列， 因为，， 所以数列需为等差数列， 因为等差数列相邻两项的差相等，即， 若，则，可得，此时所有项均为，构成等差数列； 若，因为，由， 则，解得或， 但时，，与前提矛盾，故舍去，所以， 此时数列为常数列，构成等差数列， 综上可得，数列的公比或. （3）解：由数列具有性质和，即连续3项和与连续4项和分别成等差数列， 设连续3项和为，则，其中为的公差， 同理可得： 连续4项和为，则，其中为的公差， 因为3和4互质，可以表示为两种二次函数的形式， 所以必为关于的二次函数， 此时通项，满足（其中为常数） 所以数列为等差数列，即等差数列的任意无穷子列仍为等差数列， 所以存在无穷子列成等差数列. 例2．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知数列满足：对任意的，都有（为常数），则称数列为“友好数列”，特别地，当时，数列为“极好数列”. (1)若数列的通项公式分别为，求证：数列为“友好数列”； (2)若数列为“极好数列”，，求数列的通项公式； (3)已知正整数列为“友好数列”，数列为等比数列，且，求证：数列为等差数列. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为数列的通项公式分别为， 所以. 设， 则， 两式相减，可得 ， 所以. 又， 所以对任意，都有， 所以为“友好数列”. （2）因为，所以，，， 且， 所以，① 当时，，② ①-②得，即. 当时，①可化为，即 所以成立，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （3）因为数列为“友好数列”， 所以对任意的，都有. 设等比数列的公比为，则. 当时，可得，即. 由得或. 当时，. 当时，，则. 当时，，则. 这与矛盾，所以不符合题意. 当时，， 进而时，恒有，① 所以时，恒有，② ①-②可得. 故数列为等差数列. 例3．（25-26高二上·重庆九龙坡·月考）对于项数为（，）的有穷正整数数列，记（），即为，，…，中的最大值，称数列为数列的“图新数列”.比如1，3，2，5，5的“图新数列”为1，3，3，5，5. (1)若数列的“图新数列”为1，2，3，4，4，写出所有可能的数列 (2)设数列为数列的“图新数列”，满足（），求证:（） (3)设数列为数列的“图新数列”，数列中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列. 【答案】(1)；，， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由，且，则；由，且，则； 由，且，则；由，且，则； 由，且，则可能取值为. 所以的所有可能情况有；，，. （2）由题意可得，，其中，. 则， 由，则数列为单调不减数列，即， 所以，故（）. （3）由题意可得数列是严格递增的正整数列，即， 当时，由，则，解得，不符合题意. 当时，由，则当时，等式成立，符合题意； 整理等式可得， 当，时，，当且仅当时等号成立，，当且仅当时，等号成立，故，不符合题意； 当，时，，，故，不符合题意. 当时，由，整理可得， 易知，， 即，不符合题意. 综上所述，符合题意的数列为，则数列为. 例4．（25-26高二上·江苏常州·月考）设为正整数，若两个项数都不小于的数列满足：存在正数L，当且时，都有则称数列是“接近的”已知无穷等比数列满足无穷数列的前项和为，，且 (1)求数列的通项公式； (2)求证：对任意正整数，数列是“接近的”； (3)已知基本事实：对给定正整数，数列是“接近的”，求的最小值及此时的的值（均用表示）. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【详解】（1）设等比数列公比为，由得， 解得，故. （2） 对任意正整数，当，且时，有， 则，即成立， 故对任意正整数，数列，是“接近的”. （3）由，得到，且， 从而，于是. 当时，，，解得， 当时，，又， 整理得，所以，因此数列为等差数列. 又因为，，则数列的公差为1，故. 根据条件，对于给定正整数，当且时，都有 成立， 即①对都成立. 考察函数，，令， 则，当时，，所以在上是增函数. 又因为，所以当时，，即， 所以在上是增函数. 注意到，，，， 故当时，的最大值为， 的最小值为. 欲使满足①的实数存在，必有，即， 因此的最小值，此时. 变式1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）若一个数列满足是公比为的等比数列，则称数列是公比为的二级等比数列.如数列：1，3，7，15，31，63…，此数列是公比为2的二级等比数列.已知数列中，，. (1)记为数列的前项的和，且.求数列的通项公式，并判断数列是否为二级等比数列，请说明理由； (2)若数列是公比为3的二级等比数列，是否存在实数，，使得？若存在，求出，；不存在，请说明理由. 【答案】(1)，且数列是公比为二级等比数列. (2)存在，. 【详解】（1）解：由为数列的前项的和，满足，且，， 当时，可得； 当时，可得， 解得，所以， 当时，由，可得， 两式相减，可得，即， 所以，又， 故， 又由，则，符合上式， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以， 设，可得，即， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 即数列是公比为的二级等比数列. （2）解：因为数列是公比为3的二级等比数列，即是公比为3的等比数列， 设，则， 因为，可得， 则，解得，所以， 所以当， ， 所以当时，，又，也满足该式， 所以，故， 因为，即， 又因为，所以， 即，所以，代入可得， 即，即， 解不等式，可得， 因为函数为增函数， 经计算，满足该不等式，而，均不满足， 故， 所以，此时，即存在，使得成立. 变式2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）若存在正整数，使得对任意，都有，则称数列为“整有界数列”. (1)已知，数列的前项和为，分别判断和是否为“整有界数列”，并说明理由； (2)已知数列中，，，. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）若是数列的前项和，求证：是“整有界数列”，并求的最小值. 【答案】(1)数列和都为“整有界数列”，理由见解析. (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析，的最小值为12. 【详解】（1）数列和都为“整有界数列”，理由如下： 因为，则， 当时，， 当时，， 所以取，对任意，都有成立，因此数列为“整有界数列”. 又， 所以是以1为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 所以取，对任意，都有成立，因此数列为“整有界数列”. （2）（ⅰ）因为， 所以，则 又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即， 则， 各式相加可得， 则，， 所以，又满足上式， 所以. （ⅱ）证明：由（ⅰ）得， 当时，，当时，， 当时，增速快于，所以，即， 所以对于任意，， 所以， 所以， 所以， 而， 故结合题意可知正整数的取值需大于等于12， 所以取即为M的最小值，对于任意，， 所以是“整有界数列”. 变式3．（25-26高二上·上海·期中）已知数列的通项公式，数列的通项公式（）.若，则称d为数列与的公共项，将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列. (1)直接写出、、、的值； (2)猜想并证明的通项公式，并求数列各项和； (3)是否存在正整数r、s、t（）使得成立，若存在，求出r、s、t；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，，，； (2)，的各项和为； (3)只存在一组正整数、、. 【详解】（1），，，. （2）猜想，证明如下： 设公共项为， 若是中的项，则存在正整数使得， 若为偶数，则，由的二项展开式可得其除以3余数为1，不符合题意； 若为奇数，则为偶数，则, 除以3余数为2，符合题意； 又，故，所以公共项为数列中指数为大于等于3的奇数的项， 即， 所以 . ，， 则. （3）假设存在正整数、、使得成立， 则 即 即 等式右边为奇数，要使等式成立，则左边也要为奇数 又因，所以只能有， 故 可得 即 等式右边为奇数，要使等式成立，则左边也要为奇数 又因，所以只能有 故 可得，所以 所以只存在一组正整数、、，使得成立. 变式4．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的首项，前项和为，若对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列. (1)若等差数列是“”数列，求的值； (2)若正项数列是“”数列，求数列的通项公式； (3)对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）等差数列是“”数列，， ，存在，. （2）正项数列是“”数列，， ，，即， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，， 当时，， 当时，不满足， . （3）由“”数列定义知：，又，， 令，则，故，且，且， ，； 若，则恒成立，则， 若，则 ， 因为存在三个不同的数列为“”数列， 故有解，故有解且解不为1， 由双勾函数的单调性可得， ，即实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列不等式恒成立问题、数列新定义问题专项训练 数列不等式恒成立问题、数列新定义问题专项训练 考点目录 数列不等式恒成立问题 数列新定义问题 考点一 数列不等式恒成立问题 例1．（25-26高二上·江苏泰州·月考）设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 例2．（25-26高二上·浙江·月考）已知数列满足的前项和为. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式. (2)记的前项和为. （i）求； （ii）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 例3．（25-26高二上·江苏南京·月考）记数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前2n项和B2n； (3)设m为整数，且对任意，，求m的最小值. 例4．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知函数，数列满足，， (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 变式1．（25-26高二上·广西·月考）已知正项数列的前项和为满足，数列满足且. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，证明：； (3)若对任意正整数恒成立，求的取值范围. 变式2．（25-26高二上·广东江门·月考）已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前n项和，若对任意的，求k的取值范围． 变式3．（25-26高二上·甘肃金昌·月考）数列满足：，各项均为正数的等差数列的前项和为，4是的等比中项，且． (1)求，的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 变式4．（25-26高二上·浙江金华·月考）已知等比数列的前项和为，满足，且，，成等差数列，数列的前项和为，满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和，求证：； (3)若对，恒有成立，求实数的取值范围. 考点二 数列新定义问题 例1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若数列的前项和为，对于给定正整数，若，，，成等差数列，则称数列具有性质. (1)数列具有性质，且，，求的值； (2)若等比数列具有性质，求数列的公比； (3)若数列具有性质，，是否存在无穷子列，，，…成等差数列？若存在，求一个符合要求的子列；若不存在，请说明理由. 例2．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知数列满足：对任意的，都有（为常数），则称数列为“友好数列”，特别地，当时，数列为“极好数列”. (1)若数列的通项公式分别为，求证：数列为“友好数列”； (2)若数列为“极好数列”，，求数列的通项公式； (3)已知正整数列为“友好数列”，数列为等比数列，且，求证：数列为等差数列. 例3．（25-26高二上·重庆九龙坡·月考）对于项数为（，）的有穷正整数数列，记（），即为，，…，中的最大值，称数列为数列的“图新数列”.比如1，3，2，5，5的“图新数列”为1，3，3，5，5. (1)若数列的“图新数列”为1，2，3，4，4，写出所有可能的数列 (2)设数列为数列的“图新数列”，满足（），求证:（） (3)设数列为数列的“图新数列”，数列中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列. 例4．（25-26高二上·江苏常州·月考）设为正整数，若两个项数都不小于的数列满足：存在正数L，当且时，都有则称数列是“接近的”已知无穷等比数列满足无穷数列的前项和为，，且 (1)求数列的通项公式； (2)求证：对任意正整数，数列是“接近的”； (3)已知基本事实：对给定正整数，数列是“接近的”，求的最小值及此时的的值（均用表示）. 变式1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）若一个数列满足是公比为的等比数列，则称数列是公比为的二级等比数列.如数列：1，3，7，15，31，63…，此数列是公比为2的二级等比数列.已知数列中，，. (1)记为数列的前项的和，且.求数列的通项公式，并判断数列是否为二级等比数列，请说明理由； (2)若数列是公比为3的二级等比数列，是否存在实数，，使得？若存在，求出，；不存在，请说明理由. 变式2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）若存在正整数，使得对任意，都有，则称数列为“整有界数列”. (1)已知，数列的前项和为，分别判断和是否为“整有界数列”，并说明理由； (2)已知数列中，，，. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）若是数列的前项和，求证：是“整有界数列”，并求的最小值. 变式3．（25-26高二上·上海·期中）已知数列的通项公式，数列的通项公式（）.若，则称d为数列与的公共项，将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列. (1)直接写出、、、的值； (2)猜想并证明的通项公式，并求数列各项和； (3)是否存在正整数r、s、t（）使得成立，若存在，求出r、s、t；若不存在，说明理由. 变式4．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的首项，前项和为，若对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列. (1)若等差数列是“”数列，求的值； (2)若正项数列是“”数列，求数列的通项公式； (3)对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $