精品解析：河北省邯郸市大名县第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

河北省邯郸市大名县第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 命题人：郭冰 审题人：王晓娜 一、单选题（每小题5分，共40分) 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式确定集合B，再找出集合A与集合B的公共元素得到交集. 【详解】因为，， 所以. 故选：C 2. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由解出，的两种关系，再用充分、必要条件的定义进行判断. 【详解】由，，，可得，或，.则可知“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（    ） A. 第一种 B. 第二种 C. 不确定 D. 一样实惠 【答案】A 【解析】 【分析】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【详解】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合指数函数、对数函数的单调性，判断a、b、c与0、1之间的大小关系即可求解． 【详解】因为，，， 所以． 故选：B． 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由解析式判断函数的单调性，结合零点存在性定理确定零点所在区间. 【详解】.因为在上为增函数，且，， 所以的零点所在的区间为. 故选：C 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用两角和差公式及辅助角公式得出，再应用诱导公式及二倍角余弦公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 则. 故选：C 7. 已知，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，通过平方得到，再结合通过三角函数关系得到，，进而逐项判断即可. 【详解】因为，两边平方，得，即，所以，故B错误． 由上及二倍角正弦公式，得，因为， 所以，，，又， 所以．结合，解得，，故A错误． 因为，所以，故C正确，，故D错误． 故选：C． 8. 设，则不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先结合二倍角余弦公式，利用一元二次不等式的解法及余弦函数性质求得的解，再结合二倍角正弦公式及正弦函数性质求得的解，求交集即可得解. 【详解】因为，由，得， 所以（舍）或，所以． 由，得，又，所以， 所以．因为，所以． 所以不等式组的解集为. 故选：C． 二、多选题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设为实数，且，则 B. 弧长和面积均为的扇形的半径为2 C. 若是第二象限角，则是第四象限角 D. 函数的零点是 【答案】BC 【解析】 【分析】通过举例可判断A，由扇形面积公式可判断B，由象限角的范围可判断C，由零点的概念可判断D. 【详解】对于A，取，满足，此时，故错误， 对于B，由扇形面积公式，可得，解得，故正确， 对于C，由条件知， 则，即第四象限的角，故正确， 对于D，函数的零点是，故错误， 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. “存在，使得”的否定是“对任意，均有” B. “”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充要条件 C. 函数的最小值为1 D. 使得对数有意义的实数的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称命题可判断A；根据充分必要条件的定义可判断B；根据复合函数的值域可判断C；根据对数函数的定义域可判断D. 【详解】由存在量词命题的否定是全称命题可知 “存在，使得”的否定是“对任意，均有”，故A正确； 若，，并且关于的方程的两根， 所以两根必是一正一负，所以充分性成立； 若关于的方程有一个正根一个负根， 则，解得，所以必要性也成立， 所以“”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充要条件，故B正确； 令，则原函数可化为由对勾函数单调性可知， 在上单调递增，所以，无最小值，即无最小值，故C错误； 由对数函数定义域可知使得对数有意义，则有，解得，故D正确； 故选：ABD 11. 已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. 函数为上的增函数 D. 函数为奇函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，求出的值，可判断A正确；令，求得的值，再令，求得的值，可判断B错误；根据题意，得到时，，结合函数单调性的定义，可判断C正确；令，由，令，结合函数奇偶性的定义，可判断D选项. 【详解】对于A，对任意的实数满足， 令可得，解得，所以A正确； 对于B，令可得， 即，解得， 再令，可得，所以B错误； 对于C，由题意知：当时，， 当时，则时，， 故当时，， 任取且， 则， 所以函数在上为增函数，所以C正确； 对于D，令，因为， 可得， 即，且， 令，则，即， 所以，函数为奇函数，D对； 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共15分) 12. 函数是幂函数，且在上单调递增，则实数___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用幂函数的定义，图象和性质求解. 【详解】是幂函数，，或， 当时，，满足在上单调递增， 当时，，不满足在上单调递增， 故. 故答案为：2 13. 已知，是关于的一元二次方程的两根，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据韦达定理得，再分解平方关系解得即可． 【详解】，是关于的一元二次方程的两根， 则，即， ， 则， ，则． 故答案为：． 14. 已知，若对于任意实数，均存在，使得，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先分析分段函数的单调性，得出的值域范围，再根据题意讨论值域的连续性得出关于不等式，解不等式求出的取值范围． 【详解】当时，是单调递增的一次函数，值域为， 在上的最大值为， 当时，的定义域为，且单调递增， 若，则，值域为， 若，则需满足，值域为，但此时的值域为，， 区间无法覆盖，故不成立； 当时，需满足，以保证， 解不等式，即， 解，即得或，解得，． 故答案为：． 四、解答题（共77分） 15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求定点坐标，再利用三角函数的定义求三角函数值，从而代入求解； （2）首先利用诱导公式化简，再转化为正切表示，代入正切求解. 【小问1详解】 函数（且）的定点坐标是，所以，所以，，， 所以； 【小问2详解】 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由分式不等式的解法结合集合的运算可得； （2）由已知得到，再分和两种情况由集合的包含关系可得. 【小问1详解】 当时，， ， 所以， 所以. 【小问2详解】 若，则， 当时，； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围为. 17. 已知函数，且的图象向右平移个单位得到的图象． （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间上的最大值，并求出此时对应的的值． 【答案】（1）最小正周期，对称中心为，． （2）最大值为，． 【解析】 【分析】（1）根据降幂公式、倍角公式、辅助角公式可得，再根据正弦函数的周期及对称中心公式求解即可； （2）根据三角函数的平移可得，再结合三角函数求值域的方法求解即可. 【小问1详解】 ， 令，解得，， 所以的最小正周期，对称中心为，． 【小问2详解】 因为的图象向右平移个单位得到的图象， ， 所以， ， 当，即时，，取得最大值， 所以在区间上的最大值为，此时． 18. 某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备.生产此设备的年固定成本为280万元，且每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足40台时，（万元）；当年产量不少于40台时（万元）.经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完. （1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； （2）年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】（1）； （2）当年生产58（台）时，该企业年利润的最大值为892万元. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求得和的函数关系式，进而得到答案； （2）由（1）中的函数关系式，结合二次函数的性质，以及基本不等式，分别求得最大值，即可求解. 【小问1详解】 由题意，当时， ， 当时， ， 综上所得，年利润关于年产量的函数关系式为. 【小问2详解】 当时，， 当时，. 当时， ， 当且仅当时，即时，上式取等号，即， 综上，当年生产58（台）时，该企业年利润的最大值为892万元. 19. 已知函数的两条相邻对称轴的距离为． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． ①若，且，求的值； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式对解析式进行化简，结合函数图象的对称性求出的值，即得函数解析式； （2）根据三角函数图象的平移伸缩变换得到的解析式，①由题求得，结合的范围，求得，通过凑角后利用和角的正弦公式求解即得；②先将问题转化为函数和函数的图象在区间上有且只有2个交点，通过数形结合即可求得参数范围. 【小问1详解】 因 ， 由函数的相邻两条对称轴的距离为，所以函数的周期． 则．∴． 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，得． 再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到． ①∵，∴． ∵则，则， ∴ ． ②由题知，方程在上恰有两个不同的实数解， 可转化为函数和函数的图象在区间上有且只有2个交点． 由可得，作出函数在上的图象如图： 当时，； 当时， ；当时，. 由图可知：实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省邯郸市大名县第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 命题人：郭冰 审题人：王晓娜 一、单选题（每小题5分，共40分) 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（    ） A. 第一种 B. 第二种 C. 不确定 D. 一样实惠 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 设，则不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设为实数，且，则 B. 弧长和面积均为的扇形的半径为2 C. 若是第二象限角，则是第四象限角 D. 函数的零点是 10. 下列说法正确的是（ ） A. “存在，使得”的否定是“对任意，均有” B. “”是“关于的方程有一个正根一个负根”的充要条件 C. 函数的最小值为1 D. 使得对数有意义的实数的范围是 11. 已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. 函数为上的增函数 D. 函数为奇函数 三、填空题（每小题5分，共15分) 12. 函数是幂函数，且在上单调递增，则实数___________． 13. 已知，是关于的一元二次方程的两根，则________． 14. 已知，若对于任意实数，均存在，使得，则实数的取值范围是______． 四、解答题（共77分） 15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数，且的图象向右平移个单位得到的图象． （1）求的最小正周期和对称中心； （2）求在区间上的最大值，并求出此时对应的的值． 18. 某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备.生产此设备的年固定成本为280万元，且每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足40台时，（万元）；当年产量不少于40台时（万元）.经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完. （1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式； （2）年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？ 19. 已知函数的两条相邻对称轴的距离为． （1）求的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． ①若，且，求的值； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $