专题 6.1 图形的初步知识（全章复习讲义）- 2025-2026学年浙教版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

该初中数学复习讲义通过表格对比线段、射线、直线的特征与表示方法，系统梳理几何图形、角的度量与和差等8个知识点，以“定义-性质-应用”逻辑呈现知识脉络，突出线段中点、角平分线等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础篇“钟面表角度计算”联系生活实际培养应用意识，培优篇“线段中点与动点问题”通过动态过程发展推理能力。每个题型配例题与变式，助力不同层次学生掌握方法，为教师实施精准复习提供系统支持。

专题 6.1 图形的初步知识（全章复习讲义） 目录 一．知识梳理 2 【知识点一】几何图形 2 【知识点二】线段、射线和直线 2 【知识点三】线段的长短比较 3 【知识点四】线段的和差 3 【知识点五】角与角的度量 3 【知识点六】角的大小比较 4 【知识点七】角的和差 5 【知识点八】余角和补角 5 二.题型精析 5 （一）基础篇 5 【★题型 1】图形的识别 5 【★题型 2】平面图形旋转后的立体图形 6 【★题型3】线段、直线、射线的识别 7 【★题型4】直线和线段的基本事实 8 【★题型5】尺规作图——画一条线段等于已知线段 8 【★题型6】线段中点与线段和差简单运算 9 【★题型7】角度制与角的四则运算 9 【★题型8】钟面表 10 【★题型9】角的平分线与角的和差简单运算 10 【★题型10】余角与补角 11 （二）培优篇 12 【★★题型11】几何图形与三视图最多与最少问题 12 【★★题型12】线段中点与线段和差综合 12 【★★题型13】角的平分线与角的和差综合 13 【★★题型14】线段中点与线段和差中的动点问题 14 【★★题型15】角平分线与角的旋转综合问题 15 【★★题型16】线段中点与角平分类比综合题 17 一．知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】几何图形 几何图形：从实物中得到的点、线、面、体称为几何图形. 立体图形：图形所表示的各个部分不在同一个平面内，这样的几何图形称为立体图形 常见的立体图形有长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥. 平面图形：像直线、射线、角、三角形、平行四边形、梯形和圆也都是几何图形，这些图形所表示的各个部分都在同一个平面内，称为平面图形. 【知识点二】线段、射线和直线 （一）线段、射线和直线的特征与表示方法 名称 图形 表示方法 端点个数 延伸性 长度（能否度量） 线段 线段 或线段 或线段 2 不可延伸 可度量 射线 射线 1 向一端 无限延伸 不可度量 直线 直线 或直线 0 向两端 无限延伸 不可度量 直线、射线、线段的关系：射线、线段是直线的一部分：直线上取一点可分成 2 条射线；直线上取两点可分成 1 条线段。线段、射线可以向指定方向延伸：线段延长后可得到射线或直线。 （二）直线的基本事实 经过两点有一条而且只有一条直线。可以简单地说成:两点确定一条直线。 （三）点和直线的关系 点和直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外，一个点在一条直线上，就说这条直线经过这个点；一个点在一条直线外，就说这条直线不经过这个点. 【知识点三】线段的长短比较 （1） 比较线段长短方法： 度量法：用刻度尺进行测量进行比较，叠加法：两条线段一个端点重合，根据另一个端点位置进行比较. 【特别提示】一般地，如果两条线段长度相等，那么我们就说这两条线段相等。 （二）尺规作图 在数学中，限定用无刻度的直尺和圆规作图，即是尺规作图。 【特别提示】尺规作图题只要求作出图形，并说明结果。在没有特别说明的情况下可以不写作法，但要保留作图痕迹。 （三）线段的基本事实 在所有连结两点的线中，线段最短简单地说，两点之间线段最短。 连结两点的线段的长度叫作这两点间的距离。 【知识点四】线段的和差 （一）线段的和差：一般地，如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和；如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差。两条线段的和或差仍是一条线段。 （二）线段的中点 如图，点C把线段AB分成相等的两条线段AC和BC，点C叫作线段AB的中点，这时 ， 【知识点五】角与角的度量 （一）角的定义：角是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫作这个角的顶点。角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.我们把旋转一周的角叫周角，旋转半周的角叫平角。 （二）角的表示方法： 角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 表示方法 基本图形 记法 适用范围 （1）用三个大写字母表示 或 任何情况都适用，表示顶点的字母写在中间 （2）用一个大写字母表示 以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点表示角 （3）用阿拉伯数字表示 任何情况都适用 （4）用希腊字母表示 任何情况都适用 （三）角度制 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作，把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作 即：1°=， 【知识点六】角的大小比较 （一）角的比较： 度量法：用量角器测量进行比较，叠加法：使两角一边重合，根据另一边的位置进行比较. 【特别提示】一般地，如果两个角的度数相等，那么我们就说这两个角相等。 （二）角的分类：等于90°的角是直角，小于直角的角是锐角，大于直角而小于平角的角 是钝角。 【知识点七】角的和差 （一）角的和差： 一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差。两个角的和或差仍是一个角。 （2） 角的平分线： 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。如图，OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=∠AOC+∠BOC =2∠AOC=2∠BOC. 【知识点八】余角和补角 （一）余角和补角定义： 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角 （二）余角和补角性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等. 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型 1】图形的识别 【例题1】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？ 平面图形： （填序号）．立体图形： （填序号）． 【变式1】（25-26七年级上·山西太原·月考）下列图形中属于棱柱的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）请在如图所示每个几何体下面写出它们的名称． 【★题型 2】平面图形旋转后的立体图形 【例题2】（24-25七年级上·全国·期中）如图，第一行的图形绕虚线转一周，能形成第二行的哪个几何体？ 用线连起来． ．【变式1】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，该图形绕着轴旋转一周后形成的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·河南郑州·月考）如图所示，在直角三角形中，以其中一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到几何体的体积为 ．（结果保留） 【★题型3】线段、直线、射线的识别 【例题3】（25-26七年级上·全国·随堂练习）按下列语句画出图形： （1）直线经过点C； （2）点A在直线l外； （3）经过点O的三条线段； （4）线段相交于点B，连接． 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，点三点在同一水平线上，下列说法不正确的是（   ） A．线段和线段是同一条线段 B．直线和直线是同一条直线 C．射线和射线是同一条射线 D．射线和射线是同一条射线 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）观察图形，下列说法正确的个数是（   ） （1）直线和直线是同一条直线；（2）射线和射线是同一条射线；（3）线段和线段是同一条线段． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【★题型4】直线和线段的基本事实 【例题4】（25-26七年级上·陕西西安·期中）下列说法正确的是（  ） A．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” B．在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定一条直线 C．画一条直线，使它的长度为 D．射线和射线是同一条射线 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）值日生小亮为了把桌子又快又好的摆整齐，总是先把一列的第一张桌子和最后一张桌子摆好，再依次摆中间的桌子，这样做蕴含的数学依据是 ． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）小白同学准备从长春南站去往红旗街万达广场，打开导航，显示两地距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为（如图）．能解释这一现象的数学知识是 ． 【★题型5】尺规作图——画一条线段等于已知线段 【例题5】（24-25七年级上·陕西宝鸡·月考）已知线段，，用圆规和直尺作一条线段，使它等于．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知线段、．请你用尺规作图，求作线段，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式2】（23-24七年级上·河北唐山·期末）如图，已知线段、，画出线段，则的长度表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【★题型6】线段中点与线段和差简单运算 【例题6】如图，已知线段，延长至点，使．为线段的中点． （1）求线段的长（用含的代数式表示）． （2）若，求的值． 【变式1】（18-19七年级上·湖北武汉·期末）已知点B在线段上，点D在线段上． （1）如图1，若，，D为线段的中点，求线段的长度； （2）如图2，若，E为线段的中点，，求线段的长度． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知线段和在一条直线上，M、N分别是、的中点，若，，求线段的长度． 【★题型7】角度制与角的四则运算 【例题7】（25-26七年级上·湖南长沙·月考）计算： （1）； （2） 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）___________°___________＇； （2）___________°； （3）___________； （4）___________． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）角的换算． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【★题型8】钟面表 【例题7】分别记以下三个时刻3:30, 6:40，9:00时针和分针所成角的大小为，请比较的大小 ．（用“＜”号连结） 【变式1】（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，钟表8点05分时，时针与分针所成的角的度数是 °． 【变式2】（24-25六年级下·山东淄博·期中）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． _______              _______                 _______                    _______ （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ 【★题型9】角的平分线与角的和差简单运算 【例题7】（23-24七年级下·甘肃武威·开学考试）如图，，，平分．求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·湖南张家界·期末）如图，点E，B，C在同一直线上，平分．若，则 ． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且恰好平分，则的度数是 ． 【★题型10】余角与补角 【例题7】一个角的补角加上后，等于这个角的余角的3倍，求这个角以及它的余角和补角的度数． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，．请在，，，中找出相等的角，并试着说明理由． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，O为直线AB上的一点，OC平分． （1）和相等吗？为什么？ （2）除（1）中的一对角和的角外，还有哪些相等的角？请说明理由． （二）培优篇 【★★题型11】几何图形与三视图最多与最少问题 【例题11】（2024七年级上·全国·专题练习）易错题  从正面和上面看到的用大小相同的小立方块搭成的几何体的形状图如图所示． （1）这样的几何体有多少种？ （2）它最多需要多少个小立方块？最少需要多少个小立方块？ （3）分别画出需要小立方块最少和最多时，从左面看到的几何体的形状图． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）变式，用大小相同的小正方体搭一个几何体，从正面看和从上面看所得的图形如图所示，这样的几何体最少需要小正方体的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·四川成都·期中）用若干大小相同的小正方体组合成一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示．则搭建该几何体最多需要 个正方体，最少需要 个正方体． 【★★题型12】线段中点与线段和差综合 【例题12】（2025七年级上·四川眉山·专题练习）如图，点E是线段的中点，C是上一点，且，． （1）求的长； （2）若F为的中点，求长． 【变式1】（23-24六年级上·山东济宁·期末）如图，点C在线段上，，，点M、N分别是、的中点． （1）求线段的长； （2）若C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，你能猜出线段的长度吗？并说明理由．你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？ 【变式2】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）（1）如图，已知点C在线段上，且，点M、N分别是、的中点，求线段的长度； （2）若点C是线段上任意一点，且，点M、N分别是、的中点，请直接写出线段的长度 （用a、b的代数式表示）； （3）在（2）中，把“点M、N分别是、的中点”改为：点M、N分别是的中点，其他条件不变，则线段的长度会变化吗？若有变化，请直接写出的长度． 【★★题型13】角的平分线与角的和差综合 【例题13】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，是的平分线，是的平分线． （1）若，求的度数； （2）若，，求的度数． 【变式1】（25-26七年级上·江西吉安·月考）（1）如图，是平角，，，分别是的平分线，求的度数． （2）如图，已知是平角，分别是的平分线，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点在直线上，． （1）如图1，若在直线上方，，求的度数； （2）如图2，若在直线上方，在直线下方，过点分别作的平分线，的平分线．求的度数． 【★★题型14】线段中点与线段和差中的动点问题 【例题14】（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． （1）当时，若，的长为______； （2）当时，若，试说明点为的中点； （3）若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【变式1】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． （1）当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； （2）当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题： （1）当时，______；当时，______． （2）若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点． ①若，求线段的长； ②若，求线段的长． 【★★题型15】角平分线与角的旋转综合问题 【例题15】（25-26七年级上·山西运城·月考）综合与探究 问题情境：如图，将一把含角的直角三角板和一把含角的直角三角板的直角顶点叠放在点处，．两三角板可绕点旋转． 计算与观察： （1）①若，则的度数为___________ ②若，则的度数为___________． 猜想与证明： （2）猜想与有何数量关系？请说明理由． 拓展与运用： （3）若射线平分，且，直接写出的度数． 【变式1】（24-25七年级下·湖南郴州·开学考试）如图1，为直线上一点，过点作射线，使，现将一个三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． （1）__________； （2）如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，当是的平分线时；求的度数； （3）将三角板绕点逆时针旋转，设旋转角度，是否有某个时刻满足？如果有，求的度数，说明理由． 【变式2】（24-25七年级上·陕西西安·月考）已知如图，． （1）若，则______________； （2）如图2，为外部的一条射线，且满足． ①若射线、射线分别为、内部的一条射线，若，求和之间的数量关系； ②如图3，若射线、射线分别从射线、射线的位置开始，同时绕着点按顺时针方向分别以每秒、每秒的速度旋转，当射线旋转至射线上时整个运动停止．在旋转过程中，旋转时间为秒，若射线所在的直线平分时，请直接写出的值． 【★★题型16】线段中点与角平分类比综合题 【例题16】（25-26七年级上·河南南阳·月考）综合与实践 【特例感知】 （1）如图1，线段，为线段上的一个动点，分别是和的中点． ①若，则线段 ． ②若，则线段 ． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图2，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 【拓展探究】 （3）如图3，在内部，，，且，，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【变式1】（25-26七年级上·广东广州·期末）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． 【知识探究】 （1）若，则______； （2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和． ①若，，则______． ②请你猜想、和三个角有怎样的数量关系请说明理由． 【变式2】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）【特例感知】 （1）如图1，已知线段，点A、B在线段MN上，点C和点D分别是和的中点，则______ ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部（在的上方），射线和射线分别平分和； ①若，求的度数； ②若，用含α、β的代数式表示． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.1 图形的初步知识（全章复习讲义） 目录 一．知识梳理 2 【知识点一】几何图形 2 【知识点二】线段、射线和直线 2 【知识点三】线段的长短比较 3 【知识点四】线段的和差 3 【知识点五】角与角的度量 3 【知识点六】角的大小比较 4 【知识点七】角的和差 5 【知识点八】余角和补角 5 二.题型精析 5 （一）基础篇 5 【★题型 1】图形的识别 5 【★题型 2】平面图形旋转后的立体图形 7 【★题型3】线段、直线、射线的识别 8 【★题型4】直线和线段的基本事实 10 【★题型5】尺规作图——画一条线段等于已知线段 12 【★题型6】线段中点与线段和差简单运算 13 【★题型7】角度制与角的四则运算 15 【★题型8】钟面表 17 【★题型9】角的平分线与角的和差简单运算 19 【★题型10】余角与补角 21 （二）培优篇 22 【★★题型11】几何图形与三视图最多与最少问题 22 【★★题型12】线段中点与线段和差综合 24 【★★题型13】角的平分线与角的和差综合 27 【★★题型14】线段中点与线段和差中的动点问题 30 【★★题型15】角平分线与角的旋转综合问题 34 【★★题型16】线段中点与角平分类比综合题 41 一．知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】几何图形 几何图形：从实物中得到的点、线、面、体称为几何图形. 立体图形：图形所表示的各个部分不在同一个平面内，这样的几何图形称为立体图形 常见的立体图形有长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥. 平面图形：像直线、射线、角、三角形、平行四边形、梯形和圆也都是几何图形，这些图形所表示的各个部分都在同一个平面内，称为平面图形. 【知识点二】线段、射线和直线 （一）线段、射线和直线的特征与表示方法 名称 图形 表示方法 端点个数 延伸性 长度（能否度量） 线段 线段 或线段 或线段 2 不可延伸 可度量 射线 射线 1 向一端 无限延伸 不可度量 直线 直线 或直线 0 向两端 无限延伸 不可度量 直线、射线、线段的关系：射线、线段是直线的一部分：直线上取一点可分成 2 条射线；直线上取两点可分成 1 条线段。线段、射线可以向指定方向延伸：线段延长后可得到射线或直线。 （二）直线的基本事实 经过两点有一条而且只有一条直线。可以简单地说成:两点确定一条直线。 （三）点和直线的关系 点和直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外，一个点在一条直线上，就说这条直线经过这个点；一个点在一条直线外，就说这条直线不经过这个点. 【知识点三】线段的长短比较 （1） 比较线段长短方法： 度量法：用刻度尺进行测量进行比较，叠加法：两条线段一个端点重合，根据另一个端点位置进行比较. 【特别提示】一般地，如果两条线段长度相等，那么我们就说这两条线段相等。 （二）尺规作图 在数学中，限定用无刻度的直尺和圆规作图，即是尺规作图。 【特别提示】尺规作图题只要求作出图形，并说明结果。在没有特别说明的情况下可以不写作法，但要保留作图痕迹。 （三）线段的基本事实 在所有连结两点的线中，线段最短简单地说，两点之间线段最短。 连结两点的线段的长度叫作这两点间的距离。 【知识点四】线段的和差 （一）线段的和差：一般地，如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，那么这条线段就叫作另两条线段的和；如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差。两条线段的和或差仍是一条线段。 （二）线段的中点 如图，点C把线段AB分成相等的两条线段AC和BC，点C叫作线段AB的中点，这时 ， 【知识点五】角与角的度量 （一）角的定义：角是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫作这个角的顶点。角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.我们把旋转一周的角叫周角，旋转半周的角叫平角。 （二）角的表示方法： 角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 表示方法 基本图形 记法 适用范围 （1）用三个大写字母表示 或 任何情况都适用，表示顶点的字母写在中间 （2）用一个大写字母表示 以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点表示角 （3）用阿拉伯数字表示 任何情况都适用 （4）用希腊字母表示 任何情况都适用 （三）角度制 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作，把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作 即：1°=， 【知识点六】角的大小比较 （一）角的比较： 度量法：用量角器测量进行比较，叠加法：使两角一边重合，根据另一边的位置进行比较. 【特别提示】一般地，如果两个角的度数相等，那么我们就说这两个角相等。 （二）角的分类：等于90°的角是直角，小于直角的角是锐角，大于直角而小于平角的角 是钝角。 【知识点七】角的和差 （一）角的和差： 一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差。两个角的和或差仍是一个角。 （2） 角的平分线： 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线。如图，OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=∠AOC+∠BOC =2∠AOC=2∠BOC. 【知识点八】余角和补角 （一）余角和补角定义： 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角 （二）余角和补角性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等. 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型 1】图形的识别 【例题1】（根据浙教版七上164页作业题第3题改编）（24-25七年级上·湖南湘西·期末）你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？ 平面图形： （填序号）．立体图形： （填序号）． 【答案】 ②④⑤⑥ ①③⑦ 【分析】本题主要考查了平面图形和立体图形的识别，各个部分不都在同一平面内的为立体图形，各个部分在同一平面内的为平面图形，据此可得答案． 解：由题意得，平面图形有②④⑤⑥，立体图形有①③⑦， 故答案为：②④⑤⑥；①③⑦． 【变式1】（25-26七年级上·山西太原·月考）下列图形中属于棱柱的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查认识立体图形，根据“棱柱”的形体特征进行判断即可． 解：图形中各个几何体的名称为①正方体，②长方体，③球，④圆柱，⑤圆锥，⑥四棱柱，⑦三棱柱，⑧五棱锥，⑨六棱柱 由棱柱的形体特征可知，棱柱有①正方体，②长方体，⑥四棱柱，⑦三棱柱，⑨六棱柱，共有5个． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）请在如图所示每个几何体下面写出它们的名称． 【答案】见分析 【分析】本题考查认识立体图形，掌握棱柱、圆柱、圆锥以及球体的形体特征是正确解答的前提． 根据各个几何体的形体特征进行解答即可． 解：这些几何体的名称为： 【★题型 2】平面图形旋转后的立体图形 【例题2】（根据浙教版七上164页作业题第4题改编）（24-25七年级上·全国·期中）如图，第一行的图形绕虚线转一周，能形成第二行的哪个几何体？ 用线连起来． 【答案】见分析 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体：梯形绕底边旋转得中间圆柱、上下圆锥，半圆绕直径旋转得球，矩形绕边旋转得圆柱，直角三角形绕直角边旋转得圆锥，可得答案． 解：第一行的图形绕虚线转一周，能形成第二行的某个几何体，用线连起来为： ． 【变式1】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，该图形绕着轴旋转一周后形成的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本图形的旋转，掌握几何体的基本概念是解题的关键． 根据旋转的定义分析各选项中的图形即可解答． 解：根据旋转的定义可知：该图形绕着轴旋转一周后形成一个上面是圆锥、下面是圆柱组成的几何体，即选项B符合题意． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·河南郑州·月考）如图所示，在直角三角形中，以其中一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到几何体的体积为 ．（结果保留） 【答案】或 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据题意判断出几何体的形状为圆锥，然后根据体积公式计算即可，解题的关键是掌握圆锥的体积公式． 解：由题意得，当以3为直角边所在的直线为轴旋转一周得到几何体为圆锥， ∴圆锥的体积， 当以5为直角边所在的直线为轴旋转一周得到几何体为圆锥， ∴圆锥的体积， 故答案为：或． 【★题型3】线段、直线、射线的识别 【例题3】（根据浙教版七上168页作业题第2题改编）（25-26七年级上·全国·随堂练习）按下列语句画出图形： （1）直线经过点C； （2）点A在直线l外； （3）经过点O的三条线段； （4）线段相交于点B，连接． 【答案】（1）见分析；（2）见分；（3）见分析；（4）见分析 【分析】本题考查线段，直线的画法，正确画出图形是解题的关键． 根据直线、线段的概念，结合各选项的表述作图即可． （1）解：如图所示， （2）解：如图所示， （3）解：如图所示， （4）解：如图所示， 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，点三点在同一水平线上，下列说法不正确的是（   ） A．线段和线段是同一条线段 B．直线和直线是同一条直线 C．射线和射线是同一条射线 D．射线和射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是正确解答的关键． 根据直线、射线、线段的定义进行解答即可． 解：．线段和线段是同一条线段，因此选项不符合题意； ．直线和直线是同一条直线，因此选项不符合题意； ．射线和射线不是同一条射线，因此选项符合题意； ．射线和射线是同一条射线，因此选项不符合题意． 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）观察图形，下列说法正确的个数是（   ） （1）直线和直线是同一条直线；（2）射线和射线是同一条射线；（3）线段和线段是同一条线段． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段的表示方法，根据直线、射线、线段表示方法逐项判断即可求解，注意直线、线段的表示方法没有方向性，射线表示方法要注意方向． 解：（1）直线和直线是同一条直线，说法正确，符合题意； （2）射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； （3）线段和线段是同一条线段，说法正确，符合题意． 综上分析可知：正确的有3个． 故选：D． 【★题型4】直线和线段的基本事实 【例题4】（25-26七年级上·陕西西安·期中）下列说法正确的是（  ） A．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” B．在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定一条直线 C．画一条直线，使它的长度为 D．射线和射线是同一条射线 【答案】A 【分析】本题考查几何基本概念，包括直线的性质、射线的定义以及公理的应用．选项A正确应用了“两点确定一条直线”的原理；选项B混淆了“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”；选项C错误地认为直线有长度；选项D错误地认为方向相反的射线是同一条射线． 解：∵两点确定一条直线，选项A中用两个钉子固定木条符合这一原理，∴A正确． ∵选项B中缩短路程是基于“两点之间线段最短”的公理，而非“两点确定一条直线”，∴B错误． ∵直线是无限延伸的，没有固定长度，∴C错误． ∵射线是以A为端点向B方向延伸，射线是以B为端点向A方向延伸，方向相反，不是同一条射线，∴D错误． 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·河南郑州·期中）值日生小亮为了把桌子又快又好的摆整齐，总是先把一列的第一张桌子和最后一张桌子摆好，再依次摆中间的桌子，这样做蕴含的数学依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了几何公理，掌握“两点确定一条直线”是解题关键．小亮先摆好第一张和最后一张桌子，相当于确定一条直线的两个端点，从而确定一条直线，然后中间的桌子沿这条直线摆放，确保整齐． 解：根据几何公理，两点确定一条直线．小亮先摆好两端桌子，就确定了桌子的摆放直线，再摆中间桌子，使所有桌子在一条直线上， 故答案为：两点确定一条直线． 【变式2】（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）小白同学准备从长春南站去往红旗街万达广场，打开导航，显示两地距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为（如图）．能解释这一现象的数学知识是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题主要考查了两点之间，线段最短． 直接运用两点之间，线段最短即可解答． 解：，打开导航，显示两地距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为， 能解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 【★题型5】尺规作图——画一条线段等于已知线段 【例题5】（根据浙教版七上170页做一做第3题改编）（24-25七年级上·陕西宝鸡·月考）已知线段，，用圆规和直尺作一条线段，使它等于．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】本题考查了作线段，先画出射线，以为圆心，以线段的长为半径画弧，交射线于一点，再以该点为圆心，以线段的长为半径画弧，交射线于一点，然后以点为圆心，以线段的长为半径画弧，交线段于一点，所以线段即为线段，即可作答． 解：线段，即线段如图所示： 【变式1】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知线段、．请你用尺规作图，求作线段，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了尺规作一条线段等于已知线段．先作射线，然后以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，最后以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，即可得出答案． 解：如图，线段即为所求作的线段． 【变式2】（23-24七年级上·河北唐山·期末）如图，已知线段、，画出线段，则的长度表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了基本作图以及两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．结合图形，根据作图即可求解． 解：由作图知：， 故选：D． 【★题型6】线段中点与线段和差简单运算 【例题6】（根据浙教版七上175页作业题第4题改编）如图，已知线段，延长至点，使．为线段的中点． （1）求线段的长（用含的代数式表示）． （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据已知结合图形可得出，即可求解； （2）根据中点的性质得出，根据，，即可求解． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵为中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，线段和差的计算，线段中点的性质，数形结合是解题的关键． 【变式1】（18-19七年级上·湖北武汉·期末）已知点B在线段上，点D在线段上． （1）如图1，若，，D为线段的中点，求线段的长度； （2）如图2，若，E为线段的中点，，求线段的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线上两点之间的距离公式计算方法． （1）由线段的中点，线段的和差求出线段的长度为； （2）设，由线段的中点，线段的和差倍分求出，，根据可得，解方程即可求解． 解：（1）解：∵，， ∴， 又∵D为线段的中点， ∴， ∴； （2）解：设，   ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵E为线段的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知线段和在一条直线上，M、N分别是、的中点，若，，求线段的长度． 【答案】或 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的有关计算，分类讨论是解答本题的关键．分情况讨论计算长即可． 解：分以下两种情况讨论： 如图，当点B在线段上时， 因为，分别是，的中点， 所以，， 所以； 如图，当点在线段的延长线上时， 因为，分别是，的中点， 所以，， 所以； 综上所述，线段的长为或． 【★题型7】角度制与角的四则运算 【例题7】（根据浙教版七上180页课内练习第4题改编）（25-26七年级上·湖南长沙·月考）计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了角度的四则运算，熟练掌握运算法则和正确进行度、分、秒之间的换算是解题的关键． （1）根据度分秒的减法法则计算即可求解； （2）根据度分秒的乘法和加法法则计算即可求解； 解：（1）解： （2）解：． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）___________°___________＇； （2）___________°； （3）___________； （4）___________． 【答案】（1）49；54；（2）；（3）；（4） 【分析】此题考查了度分秒之间的转换和角度的运算，熟练掌握度分秒之间的换算关系是解题的关键． （1）将小数度转换为度分； （2）将度分转换为度； （3）进行角度加法，需从秒开始计算，满60进一位； （4）进行角度减法，不够减时需借位． 解：（1）解：， 故答案为：49；54． （2）解：， 故答案为：． （3）解： ， ， 故答案为：． （4）解：， 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）角的换算． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 ； ； ； ； ； ． 【分析】本题考查了度、分、秒的换算，解决本题的关键是掌握度、分、秒的进率及换算方法． （1）用乘以即可得到结果； （2）根据进行转换； （3）把转化为，再把转化为秒； （4）把秒转化为分，再把分转化为度即可． 解：（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：，， ， 故答案为：，，； （4）解：， ， ， ， 故答案为：． 【★题型8】钟面表 【例题7】（根据浙教版七上183页课内作业题第6题改编）分别记以下三个时刻3:30, 6:40，9:00时针和分针所成角的大小为，请比较的大小 ．（用“＜”号连结） 【答案】β<α<γ 【分析】先求得三个时刻的时针与分针所成的角的度数，然后比较大小即可． 解：由钟面有12大格可知每个大格度数为=30°， ∵3：30时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数是2×30°+×30°=75°； 6：40时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数是1×30°+×30°=40°； 9：00时，钟表的时针与分针形成的夹角的度数是3×30°=90°； ∴β<α<γ． 故答案为：β<α<γ． 【点拨】本题考查了钟面角，求出每个时刻时针与分针所成的角的大小是解题的关键． 【变式1】（2025七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，钟表8点05分时，时针与分针所成的角的度数是 °． 【答案】147.5 【分析】本题考查的是钟面角，解题的关键是能得出时针和分针每格转动的角度．钟表上共计12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，时针每分钟转动，然后根据8时05分时，时针指向8与9之间，分针指向1，列式求解即可． 解：∵8时05分时，时针指向8与9之间，分针指向1，且钟表上共计12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，时针每分钟转动， ∴8时05分时分针与时针的夹角是． 故答案为：147.5． 【变式2】（24-25六年级下·山东淄博·期中）（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数． _______              _______                 _______                    _______ （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午，时针与分针的夹角是多少度？ 【答案】（1）；；；；（2）时针每经过1小时，转过，分针每分钟转过；（3） 【分析】本题主要考查了钟面角的计算，熟知钟面角的计算方法是解题的关键． （1）时针12小时转一圈，转一圈转360度，则可求出时针每小时转的度数，据此求解即可； （2）时针12小时转一圈，转一圈转360度，分针每60分钟转一圈，转一圈转360度，据此求解即可； （3）先求出10点整时时针与分针的夹角，再求出十分钟分针所转的度数与时针所转的度数之差即可得到答案． 解：（1）巴黎时间是1点，则时针和分针的夹角为； 伦敦时间是12点，则时针和分针的夹角为； 北京时间是8点，则时针和分针的夹角为； 东京时间是9点，则时针和分针的夹角为； 故答案为：；；；； （2）∵时针12小时转一圈，转一圈转360度， ∴时针每经过1小时，转过， ∵分针每60分钟转一圈，转一圈转360度， ∴分针每分钟转过； （3）， ∴当时钟指向上午，时针与分针的夹角是． 【★题型9】角的平分线与角的和差简单运算 【例题7】（根据浙教版七上186页课内作业题第4题改编）（23-24七年级下·甘肃武威·开学考试）如图，，，平分．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算，先根据角平分线定义得出，再根据角度间的数量关系，求出结果即可． 解：∵平分，， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·湖南张家界·期末）如图，点E，B，C在同一直线上，平分．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线，先根据平角的定义得出，再根据角平分线的定义得，即可得出答案． 解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且恰好平分，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角板中的角的和差计算． 根据三角板得到，由角平分线得到，再由即可求解． 解：由题意得，， ∵恰好平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【★题型10】余角与补角 【例题7】（根据浙教版七上190页课内作业题第3题改编）一个角的补角加上后，等于这个角的余角的3倍，求这个角以及它的余角和补角的度数． 【答案】这个角的度数为，它的补角为，它的余角为． 【分析】设这个角的度数为，则其补角为，其余角为，根据题意可得，求解即可获得答案． 解：设这个角的度数为，则它的补角为，它的余角为， 根据题意，可得， 解得 ， 所以，， 所以，这个角的度数为，它的补角为，它的余角为． 【点拨】本题主要考查了补角和余角的相关计算以及一元一次方程的应用，理解补角和余角的定义是解题关键． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，．请在，，，中找出相等的角，并试着说明理由． 【答案】，理由见详解 【分析】本题考查了等角的余角相等，根据，，，得出，即可作答． 解：，理由如下： ∵，， ∴ ∵，， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，O为直线AB上的一点，OC平分． （1）和相等吗？为什么？ （2）除（1）中的一对角和的角外，还有哪些相等的角？请说明理由． 【答案】（1）和相等．理由见分析；（2）和相等．理由见分析 【分析】（1）利用同角的余角相等即可求解； （2），利用同角的余角相等即可求解. 解：（1）解：和相等．理由如下： 由题意可知，OC平分，， ， ． 又， ， ． （2）解：和相等．理由如下： 由题意，得， ． 【点拨】本题考查了余角的性质，掌握并灵活运用“同角的余角相等”是解题的关键． （二）培优篇 【★★题型11】几何图形与三视图最多与最少问题 【例题11】（2024七年级上·全国·专题练习）易错题  从正面和上面看到的用大小相同的小立方块搭成的几何体的形状图如图所示． （1）这样的几何体有多少种？ （2）它最多需要多少个小立方块？最少需要多少个小立方块？ （3）分别画出需要小立方块最少和最多时，从左面看到的几何体的形状图． 【答案】（1）3种；（2）最多8个，最少7个；（3）见分析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体． （1）根据从正面和上面看到的形状求解即可； （2）根据第2列小立方块的个数即可求解； （3）根据从左面看的情况分别画出需要小立方块最少和最多时的情况即可． 解：（1）解：第2列小立方块前面1个，后面2个；第2列小立方块前面2个，后面1个；第2列小立方块前面2个，后面2个；故这样的几何体有3种； （2）解：它最多需要个小立方块；最少需要个小立方块； （3）解：如图所示： 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）变式，用大小相同的小正方体搭一个几何体，从正面看和从上面看所得的图形如图所示，这样的几何体最少需要小正方体的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力、空间想象能力，灵活运用三视图的能力和空间想象能力是解答本题的关键． 从上面可以看出最底层小正方形的个数及形状，从正面可以看出第列和第列都有个小正方体，从而可以算出最少需要小正方体的个数． 解：由从上面看到的形状可得最底层有个小正方体， 由从正面看到的形状可得第列和第列都有个小正方体， 那么最少需要个小正方体， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·四川成都·期中）用若干大小相同的小正方体组合成一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示．则搭建该几何体最多需要 个正方体，最少需要 个正方体． 【答案】 14 10 【分析】本题考查从不同方向看几何体，结合从正面看、从上面看确定层数、每层的正方体个数，即可求解． 解：结合两个图形可知，该几何体从下到上有3层， 最下面一层有6个小正方体， 中间一层最少有3个小正方体，最多有6个小正方体， 最上面一层最少有1个小正方体，最多有2个小正方体， 综上可知，最多需要小正方体的个数为：， 最少需要小正方体的个数为：， 故答案为：14，10． 【★★题型12】线段中点与线段和差综合 【例题12】（2025七年级上·四川眉山·专题练习）如图，点E是线段的中点，C是上一点，且，． （1）求的长； （2）若F为的中点，求长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，则，，得到，解答即可； （2）根据题意，得，根据F为的中点，得到，故． 本题考查了线段的和差，线段的中点，一元一次方程的应用，熟练掌握中点，解方程是解题的关键． 解：（1）解：∵点E是线段的中点， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故的长为． （2）解：∵点E是线段的中点， ∴， ∵， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴． 【变式1】（23-24六年级上·山东济宁·期末）如图，点C在线段上，，，点M、N分别是、的中点． （1）求线段的长； （2）若C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，你能猜出线段的长度吗？并说明理由．你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？ 【答案】（1）；（2）能；，的长度与C的位置无关，都是等于 【分析】本题考查的是线段中点的含义，线段的和差运算，理解线段的和差运算是解本题的关键． （1）根据中点的含义先求解，，再利用线段的和差关系可得答案； （2）根据中点的含义先求解，，再利用线段的和差关系可得答案； 解：（1）解：∵点M，N分别是，的中点，，， ∴，， ∴． （2）解：能；．理由如下： ∵点M，N分别是，的中点， ∴，， ∴． 结论：的长度与C的位置无关，都是等于． 【变式2】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）（1）如图，已知点C在线段上，且，点M、N分别是、的中点，求线段的长度； （2）若点C是线段上任意一点，且，点M、N分别是、的中点，请直接写出线段的长度 （用a、b的代数式表示）； （3）在（2）中，把“点M、N分别是、的中点”改为：点M、N分别是的中点，其他条件不变，则线段的长度会变化吗？若有变化，请直接写出的长度． 【答案】（1）7cm；（2）cm；（3）会变化，． 【分析】本题考查线段中点有关的计算，线段的和差． （1）由中点的定义得到，再利用，即可得出结果； （2）同法（1）进行求解即可； （3）同法（1）进行求解即可． 解：（1）∵，点M、N分别是、的中点， ∴， ∴； （2），点M、N分别是、的中点， ∴， ∴； 故答案为：； （3）会； ∵，点M、N分别是、的中点， ∴，， ∴． 【★★题型13】角的平分线与角的和差综合 【例题13】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，是的平分线，是的平分线． （1）若，求的度数； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 解：（1）解：因为是的平分线，是的平分线， 所以， 因为， 所以， 即； （2）解：因为，，，，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 【变式1】（25-26七年级上·江西吉安·月考）（1）如图，是平角，，，分别是的平分线，求的度数． （2）如图，已知是平角，分别是的平分线，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查了几何图形中的角度运算，角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先算出，结合分别是的平分线，故， ，再代入数值到进行计算，即可作答． （2）易得，再结合分别是的平分线，则， ，把 进行整理得，即可作答． 解：（1）∵是平角， ∴． ∵分别是的平分线， ∴， ， ∴． （2） 理由：∵是平角， ∴， ∵分别是的平分线， ∴， ， ∴ ， 即． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，点在直线上，． （1）如图1，若在直线上方，，求的度数； （2）如图2，若在直线上方，在直线下方，过点分别作的平分线，的平分线．求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角、余角的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角的和差关系和平角定义求解即可； （2）先根据角平分线的定义得出，结合已知条件可得出，，然后根据角的和差关系求解即可． 解：（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴ ． 【★★题型14】线段中点与线段和差中的动点问题 【例题14】（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． （1）当时，若，的长为______； （2）当时，若，试说明点为的中点； （3）若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【答案】（1）；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查了线段上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据题意得出，，推得，根据，，即可求出的长，即可求解； （2）由（1）可得，根据，，求出，，即可得出点为的中点； （3）由（1）可得，即，根据题意可得，推得，即可求出的长． 解：（1）解：∵点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设且运动时间为， ∴，， 故， 即， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则． 故答案为：． （2）解：由（1）可得， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则， 即， 故点为的中点． （3）解：由（1）可得， 即， 若点，运动到任一时刻，总有， 即， 整理得， ∴， 故的长为． 【变式1】（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． （1）当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； （2）当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】（1）①出发6秒后，；②见分析；（2）①长度不变，； 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 解：（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题： （1）当时，______；当时，______． （2）若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点． ①若，求线段的长； ②若，求线段的长． 【答案】（1），；（2）①，②线段的长为或 【分析】本题考查代数式，一元一次方程，线段的运算，熟练掌握线段的运算是解题的关键； （1）根据速度时间关系，可以求得相对应线段的长度，利用线段之间运算即可求解； （2）①由题意，得，，根据相遇关系列方程，求得的值，求出的值，进而求解； ②根据题意，求得的长度，进而分情况讨论，即可求解； 解：（1）解：当时，， ， 当时，，， ， 故答案为：， （2））①由题意，得，， 当点，相遇时，，， 则， 所以， 因为， 所以， 所以； ②由①可得，， 因为， 所以， 当点C在点D左侧时，， 当点C在点D右侧时，， 故线段的长为或． 【★★题型15】角平分线与角的旋转综合问题 【例题15】（25-26七年级上·山西运城·月考）综合与探究 问题情境：如图，将一把含角的直角三角板和一把含角的直角三角板的直角顶点叠放在点处，．两三角板可绕点旋转． 计算与观察： （1）①若，则的度数为___________ ②若，则的度数为___________． 猜想与证明： （2）猜想与有何数量关系？请说明理由． 拓展与运用： （3）若射线平分，且，直接写出的度数． 【答案】（1）①②（2），理由见分析（3） 【分析】本题考查角度的计算，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）①由，得出，则即可得出结果；②由，得出，则即可得出结论； （2）由，，即可得出结论； （3）设，则，由（2）知，解方程可求得和，因为射线平分，则可求，进而的度数可求． 解：（1）①，， ， ； ②，， ， ； 故答案为：，； （2），理由如下： ， ， ； （3）∵， 设，则， 由（2）知 ， ， ∵射线平分， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·湖南郴州·开学考试）如图1，为直线上一点，过点作射线，使，现将一个三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． （1）__________； （2）如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，当是的平分线时；求的度数； （3）将三角板绕点逆时针旋转，设旋转角度，是否有某个时刻满足？如果有，求的度数，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）有，的度数或，见分析 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的有关计算，旋转的性质以及一元一次方程的应用等知识． （1）根据三角板中，即可得到结果； （2）设旋转的角度，再根据角平分线的定义即可得到，计算得到结果； （3）分类讨论，当时，或当时，得到旋转的角度，再结合角的和差关系进行计算，即可得到结果． 解：（1）解：∵， ∴， 故答案为：． （2）解：设旋转的角度， ， ∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：有某个时刻满足，理由如下： 依题意，旋转的角度， 当时，点在的右侧， 当时，点在的左侧， ∴或， ∵， ∴，或 解得或， ∴的度数或． 【变式2】（24-25七年级上·陕西西安·月考）已知如图，． （1）若，则______________； （2）如图2，为外部的一条射线，且满足． ①若射线、射线分别为、内部的一条射线，若，求和之间的数量关系； ②如图3，若射线、射线分别从射线、射线的位置开始，同时绕着点按顺时针方向分别以每秒、每秒的速度旋转，当射线旋转至射线上时整个运动停止．在旋转过程中，旋转时间为秒，若射线所在的直线平分时，请直接写出的值． 【答案】（1）或；（2）①或；②的值为或或 【分析】（1）分两种情况：在内部或在外部，再根据题意求解即可； （2）①分两种情况：在内或在内，画出图形，分别表示出和，再根据关系式找出数量关系即可； ②动角问题，由运动时间可分三种情况，利用角平分线的定义建立方程求解即可． 解：（1）解：①如图，当在内部， ∵，， ∴， ∴； ②如图，当在外部， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或； （2）∵为外部的一条射线，，， ∴， ①分两种情况： 第一种情况：当在内时， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， 即； 第二种情况：当在内时， 设，则， ∴，， ∴， 即； 综上所述，和之间的数量关系为或； ②∵，， 又∵射线、射线分别从射线、射线的位置开始，同时绕着点按顺时针方向分别以每秒、每秒的速度旋转，当射线旋转至射线上时整个运动停止，旋转时间为秒， ∴，，， 第一次平分：如图， ∵，， 又∵平分， ∴， ∴， 解得：； 第二次平分：如图， ∵，， ∴， ∵所在直线平分， ∴平分， ∴， ∴， 解得：； 第三次平分：如图， ∵，， ∵平分， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，的值为或或． 【点拨】本题考查角的计算，角平分线的定义，动角问题，一元一次方程的实际应用等内容，利用分类的讨论的思想解决问题是解题的关键． 【★★题型16】线段中点与角平分类比综合题 【例题16】（25-26七年级上·河南南阳·月考）综合与实践 【特例感知】 （1）如图1，线段，为线段上的一个动点，分别是和的中点． ①若，则线段 ． ②若，则线段 ． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图2，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 【拓展探究】 （3）如图3，在内部，，，且，，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1）①9；②9；（2）；（3） 【分析】本题主要考查线段中点的计算，角平分线的定义相关的计算，理解图示，掌握中点的定义，数形结合分析思想是解题的关键． （1）①根据线段中点的定义得到，由得到，即可求解；②方法同①； （2）根据角平分线的定义得到，由，得到，由此即可求解； （3）根据角平分线的定义得到，则，由即可求解． 解：（1）①， ， ∵分别是和的中点， ， ， ， 故答案为：9； ②同理，， 故答案为：9； （2）∵，是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ， ， ， ∴的度数为； （3），， ， ∵在内部，，， ， ． 【变式1】（25-26七年级上·广东广州·期末）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． 【知识探究】 （1）若，则______； （2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和． ①若，，则______． ②请你猜想、和三个角有怎样的数量关系请说明理由． 【答案】（1）12；（2）不变化，；（3）①；②，理由见分析 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义，角的和差，角平分线的定义， 对于（1），先求出，再根据中点的定义得 ，，然后根据 得出答案； 对于 ，先求出，再根据中点的定义得，即可得出，然后根据得出答案； 对于（3）①，先求出 ，再根据角平分线的定义得 ，，即可得，然后根据得出答案； ②根据角平分线的定义得 ，即可得，然后根据可得答案． 解：（1）解：，，， ． ，分别是，的中点， ，， ． 故答案为：； 解：不变化， ，， ． ，分别是，的中点， ， ， ； ，， ． ，分别平分和， ，， ， ． 故答案为：； ，理由如下： ，分别平分和， ，， ． ， ． ， ， ， ， 即． 【变式2】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）【特例感知】 （1）如图1，已知线段，点A、B在线段MN上，点C和点D分别是和的中点，则______ ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部（在的上方），射线和射线分别平分和； ①若，求的度数； ②若，用含α、β的代数式表示． 【答案】（1）24；（2）①；② 【分析】本题考查了线段中点以及角平分线的有关计算，掌握整体思想是解题关键． （1）根据题意可得，再由线段中点的定义可得，即可求解； （2）①根据题意先求出，再根据角平分线的定义可得，即可求解；②根据题意先求出，再根据角平分线的定义可得，即可求解． 解：（1）∵， ∴， ∵点和点分别是和的中点， ，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∵射线和射线分别平分和， ，， ∴， ； ②∵， ∴， ∵射线和射线分别平分和， ，， ∴， 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $