第9讲 电磁感应中的动力学和能量问题 课件 -2026届高考物理二轮复习

该高中物理高考复习课件聚焦“电磁感应中的动力学和能量问题”核心专题，依据高考评价体系梳理了平衡态与非平衡态分析、能量转化与焦耳热计算两大考查方向，通过近五年真题及模拟题统计，明确动力学动态过程分析占45%、能量守恒应用占40%的高频考点分布，归纳出单棒运动、双棒作用、含磁场变化等六大常考题型。 课件亮点在于“真题引领+模型建构+素养提升”的备考路径，如以2024年全国甲卷电磁减速模型、河北高考双导轨问题为母题，通过动力学中“受力分析—牛顿定律—动态推理”三步法和能量中“三种焦耳热计算模型”，培养学生科学思维与科学推理素养。特设“易错警示”专栏（如双棒电动势方向判断、非平衡态加速度公式推导），助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准定位复习重点，实现高效备考冲刺。

物理冯老师 第9讲 电磁感应中的动力学和能量问题 ——夯基强化讲义 考点1：电磁感应中的动力学问题 1．概述 电磁感应现象中产生的感应电流在磁场中受到安培力的作用，从而影响导体棒(或线圈)的受力情况和运动情况。涉及安培力大小、方向的分析。 2．两种状态及处理方法 状态 特征 处理方法 平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析 非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律进行分析或结合功能关系进行分析 3．力学对象和电学对象的相互关系 4．领会力与运动的动态关系 【典例1】舰载机返回航母甲板时有多种减速方式，如图所示为一种电磁减速方式的简要模型。固定在水平面上足够长的平行光滑导轨，左端接有定值电阻，整个装置处在匀强磁场中。现有一舰载机可等效为垂直于导轨的导体棒ab，以一定初速度水平向右运动，导体棒和导轨的电阻不计。则导体棒运动过程中，其速度v、加速度a随运动时间t的关系图像可能正确的是(　　) 【典例2】(多选) 如图所示，间距为L的无限长光滑导轨平面倾斜放置，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向下，导轨平面与水平面夹角为θ，一个质量为m、电阻为r的光滑导体棒垂直横跨在两根导轨上，导轨上端的定值电阻阻值为R，导轨电阻不计，当导体棒从静止释放后，沿导轨下滑距离l时达到稳定状态，下滑过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好，以下说法正确的是(　　) A．导体棒做变加速运动，最大加速度为gsinθ B．导体棒做匀加速运动，加速度为gsinθ C．导体棒稳定时的速度为 D．导体棒稳定时的速度为 【典例3】(多选)如图所示，U形光滑金属导轨与水平面成37°角倾斜放置，现将一金属杆垂直放置在导轨上且与两导轨接触良好，在与金属杆垂直且沿着导轨向上的外力F的作用下，金属杆从静止开始做匀加速直线运动。整个装置处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，外力F的最小值为8 N，经过2 s金属杆运动到导轨最上端并离开导轨。已知U形金属导轨两轨道之间的距离为1 m，导轨电阻可忽略不计，金属杆的质量为1 kg、电阻为1 Ω，磁感应强度大小为1 T，重力加速度g＝10 m/s2，sin37°＝0．6，cos37°＝0．8。下列说法正确的是(　　) A．拉力F是恒力 B．拉力F随时间t均匀增加 C．金属杆运动到导轨最上端时拉力F为12 N D．金属杆运动的加速度大小为2 m/s2 【典例4】如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻，一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下。导轨和ab杆的电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和ab杆接触良好，不计它们之间的摩擦。(重力加速度为g) (1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图； (2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求杆中的电流及其加速度的大小； (3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值。 【典例5】(多选)如图，两条“∧”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好，ab、cd的质量分别为2m和m，长度均为L。导轨足够长且电阻不计，重力加速度为g，两棒在下滑过程中(　 　) A．回路中的电流方向为abcda B．ab中电流趋于 C．ab与cd加速度大小之比始终为2∶1 D．两棒产生的电动势始终相等 【典例6】两根质量均为m的光滑金属棒a、b垂直放置在如图所示的足够长的水平导轨上，两金属棒与导轨接触良好，导轨左边间距是右边间距的2倍，两导轨所在的区域处于竖直向下的匀强磁场中。一根不可伸长的绝缘轻质细线一端系在金属棒b的中点，另一端绕过轻小光滑定滑轮与质量也为m的重物c相连，细线的水平部分与导轨平行且足够长，c离地面足够高，重力加速度为g。由静止释放重物c后，两金属棒始终处在各自的导轨上垂直于导轨运动，达到稳定状态后，细线中的拉力大小为（导轨电阻忽略不计）(　 　) A．mg B．mg C．mg D．mg 【典例7】（多选）由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是(　　) A．甲和乙都加速运动 B．甲和乙都减速运动 C．甲加速运动，乙减速运动 D．甲减速运动，乙加速运动 【典例8】（多选）(2024·全国甲卷)如图，一绝缘细绳跨过两个在同一竖直面(纸面)内的光滑定滑轮，绳的一端连接一矩形金属线框，另一端连接一物块。线框与左侧滑轮之间的虚线区域内有方向垂直纸面的匀强磁场，磁场上下边界水平，在t＝0时刻线框的上边框以不同的初速度从磁场下方进入磁场。运动过程中，线框始终在纸面内且上下边框保持水平。以向上为速度的正方向，下列线框的速度v随时间t变化的图像中可能正确的是(　　) 【典例9】(2024·河北高考)如图，边长为2L的正方形金属细框固定放置在绝缘水平面上，细框中心O处固定一竖直细导体轴OO′。间距为L、与水平面成θ角的平行导轨通过导线分别与细框及导体轴相连。导轨和细框分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。足够长的细导体棒OA在水平面内绕O点以角速度ω匀速转动，水平放置在导轨上的导体棒CD始终静止。OA棒在转动过程中，CD棒在所受安培力达到最大和最小时均恰好能静止。已知CD棒在导轨间的电阻值为R，电路中其余部分的电阻均不计，CD棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度大小为g。 (1)求CD棒所受安培力的最大值和最小值。 (2)锁定OA棒，推动CD棒下滑，撤去推力瞬间，CD棒的加速度大小为a，所受安培力大小等于(1)问中安培力的最大值，求CD棒与导轨间的动摩擦因数。 【典例10】如图1所示，光滑的平行导电轨道水平固定在桌面上，轨道间连接一可变电阻，导体杆与轨道垂直并接触良好（不计杆和轨道的电阻），整个装置处在垂直于轨道平面向上的匀强磁场中。杆在水平向右的拉力作用下先后两次都由静止开始做匀加速直线运动，两次运动中拉力大小与速率的关系如图2所示。其中，第一次对应直线①，初始拉力大小为F0，改变电阻阻值和磁感应强度大小后，第二次对应直线②，初始拉力大小为2F0，两直线交点的纵坐标为3F0。若第一次和第二次运动中的磁感应强度大小之比为k、电阻的阻值之比为m、杆从静止开始运动相同位移的时间之比为n，则k、m、n可能为(　　) A．k＝2、m＝2、n＝2 B．k＝2、m＝2、n＝ C．k＝、m＝3、n＝ D．k＝2、m＝6、n＝2 考点2：电磁感应中的能量问题 1．电磁感应中的能量转化 2．求解电磁感应中的焦耳热Q的三种方法 【典例11】（多选）如图所示，两根间距为d的足够长光滑金属导轨，平行放置在倾角为θ＝30°的绝缘斜面上，导轨的右端接有电阻R，整个装置放在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上。导轨上有一质量为m、电阻也为R的导体棒与两导轨垂直且接触良好，导体棒以一定的初速度v0在沿着导轨上滑一段距离L后返回，不计导轨电阻及感应电流间的相互作用，重力加速度为g。下列说法正确的是(　 　) A．导体棒返回时先做加速运动，最后做匀速直线运动 B．导体棒沿着导轨上滑过程中通过R的电荷量q＝ C．导体棒沿着导轨上滑过程中克服安培力做的功W＝（mv－mgL） D．导体棒沿着导轨上滑过程中电阻R上产生的热量Q＝（mv－mgL） 【典例12】(多选) (人教版选择性必修第二册·第二章[复习与提高]B组T2改编)如图所示，单匝线圈ABCD在外力作用下以速度v向右匀速进入匀强磁场，第二次又以速度2v匀速进入同一匀强磁场，则下列说法正确的是(　　) A．第二次与第一次进入时线圈中电流之比为2∶1 B．第二次与第一次进入时外力做功的功率之比为2∶1 C．第二次与第一次进入过程中通过线圈某横截面的电荷量之比为2∶1 D．第二次与第一次进入时线圈中产生热量之比为2∶1 【典例13】如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ间距L＝1 m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成θ＝30°角，N、Q两端接有R＝1 Ω的电阻。一金属棒ab垂直导轨放置，ab两端与导轨始终有良好接触，已知ab的质量m＝0．2 kg，电阻r＝1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小B＝1 T。ab在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度v1＝0．5 m/s沿导轨向上开始运动，可达到最大速度v＝2 m/s。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度g＝10 m/s2。 (1)求拉力的功率P； (2)ab开始运动后，经t＝0．09 s速度达到v2＝1．5 m/s，此过程中ab克服安培力做功W＝0．06 J，求该过程中ab沿导轨的位移大小x。 【典例14】如图所示，正方形单匝线框abcd边长L＝0.4 m，每边电阻都相同，总电阻R＝0.16 Ω。一根足够长的绝缘轻质细绳跨过两个轻小光滑定滑轮，一端连接正方形线框，另一端连接物体P，手持物体P使二者在空中保持静止，线框处在竖直面内。线框的正上方有一有界匀强磁场，磁场区域的上、下边界水平平行，间距也为L＝0.4 m，磁感线方向垂直于线框所在平面向里，磁感应强度大小B＝1.0 T，磁场的下边界与线框的上边ab相距h＝1.6 m。现将系统由静止释放，线框向上运动过程中始终在同一竖直面内，ab边保持水平，刚好以v＝4.0 m/s的速度进入磁场并匀速穿过磁场区，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。 (1)线框ab边进入磁场中运动时，a、b两点间的电势差Uab为多少？ (2)线框匀速穿过磁场区域的过程中产生的焦耳热Q为多少？ (3)若在线框ab边刚进入磁场时，立即给物体P施加一竖直向下的力F，使线框保持进入磁场前的加速度做匀加速运动穿过磁场区域，已知此过程中力F做功WF＝3.6 J，ab边上产生的焦耳热Qab为多少？ 【典例15】如图甲所示，光滑的金属导轨MN和PQ平行，间距L＝1.0 m，与水平面之间的夹角α＝37°，匀强磁场磁感应强度大小B＝2.0 T，方向垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值R＝1.6 Ω的电阻，质量m＝0.5 kg、电阻r＝0.4 Ω的金属棒ab垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属棒ab，使其由静止开始运动，当金属棒上滑的位移s＝3.8 m时达到稳定状态（稳定状态时金属棒以1.0 m/s的速度匀速运动），对应过程的v－t图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2，导轨足够长(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求： (1)运动过程中a、b哪端电势高？并计算恒力F的大小。 (2)从金属棒开始运动到刚达到稳定状态，此过程金属棒上产生的焦耳热。 【典例16】（2022·全国乙卷）如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为l＝0.40 m的正方形金属框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场。已知构成金属框的导线单位长度的阻值为λ＝5.0×10-3 Ω/m；在t＝0到t＝3.0 s时间内，磁感应强度大小随时间t的变化关系为B(t)＝0.3－0.1t(SI)。求：(1)t＝2.0 s时金属框所受安培力的大小；(2)在t＝0到t＝2.0 s时间内金属框产生的焦耳热。 【典例17】 (多选)如图所示，两根足够长光滑导轨竖直放置，导轨间距为L，底端接阻值为R的电阻，其他电阻均可忽略。将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，弹簧劲度系数为k，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直。现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，第一次达到最大速度v时，回路产生的焦耳热为Q。重力加速度为g。若金属棒和导轨接触良好，则(　 　) A．金属棒和弹簧组成的系统机械能守恒 B．金属棒第一次达到最大速度时弹簧的伸长量为 C．金属棒从开始运动到最后静止，电阻R上产生的总热量为 D．金属棒第一次达到最大速度时，弹簧的弹性势能小于－mv2－Q 【典例18】如图所示，质量为M、电阻为R、长为L的导体棒，通过两根长均为l、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为L。细杆通过开关S可与直流电源E0或理想二极管串接。在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为B的匀强磁场，不计空气阻力和其他电阻。开关S接1，当导体棒静止时，细杆与竖直方向的夹角θ＝，然后开关S接2，棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中(　 　) A．电源电动势E0＝R B．棒消耗的焦耳热Q＝Mgl C．从左向右运动时，最大摆角小于 D．棒两次过最低点时感应电动势大小相等 为则易 行则至 第 12 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $物理冯老师 第9讲 电磁感应中的动力学和能量问题 ——夯基强化讲义 考点1：电磁感应中的动力学问题 1．概述 电磁感应现象中产生的感应电流在磁场中受到安培力的作用，从而影响导体棒(或线圈)的受力情况和运动情况。涉及安培力大小、方向的分析。 2．两种状态及处理方法 状态 特征 处理方法 平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析 非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律进行分析或结合功能关系进行分析 3．力学对象和电学对象的相互关系 4．领会力与运动的动态关系 【典例1】舰载机返回航母甲板时有多种减速方式，如图所示为一种电磁减速方式的简要模型。固定在水平面上足够长的平行光滑导轨，左端接有定值电阻，整个装置处在匀强磁场中。现有一舰载机可等效为垂直于导轨的导体棒ab，以一定初速度水平向右运动，导体棒和导轨的电阻不计。则导体棒运动过程中，其速度v、加速度a随运动时间t的关系图像可能正确的是(　　) 【答案】B 【详解】导体棒以速度v向右切割磁感线时，根据右手定则可得导体棒产生的感应电动势E＝BLv，由闭合电路欧姆定律可得通过导体棒的感应电流I＝，由右手定则可得通过导体棒中感应电流方向从b指向a，由左手定则可得导体棒受到的安培力F安方向向左，大小为F安＝BIL，所以导体棒做减速运动，由牛顿第二定律，有F安＝ma，解得导体棒的加速度大小a＝，由于导体棒速度减小，则导体棒的加速度减小，所以导体棒做的是加速度越来越小的减速运动，直至停止运动，故A错误，B正确；根据a＝可知，a­t图像的形状与v­t图像类似，故C、D错误。 【典例2】(多选) 如图所示，间距为L的无限长光滑导轨平面倾斜放置，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向下，导轨平面与水平面夹角为θ，一个质量为m、电阻为r的光滑导体棒垂直横跨在两根导轨上，导轨上端的定值电阻阻值为R，导轨电阻不计，当导体棒从静止释放后，沿导轨下滑距离l时达到稳定状态，下滑过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好，以下说法正确的是(　　) A．导体棒做变加速运动，最大加速度为gsinθ B．导体棒做匀加速运动，加速度为gsinθ C．导体棒稳定时的速度为 D．导体棒稳定时的速度为 【答案】AC 【详解】当导体棒沿导轨下滑的速度大小为v时，导体棒产生的感应电动势E＝BLv，由右手定则可得通过导体棒的感应电流方向由a指向b，由闭合电路欧姆定律可得感应电流大小I＝，导体棒所受安培力FA＝BIL，由牛顿第二定律可得mgsinθ－FA＝ma，解得导体棒的加速度大小a＝gsinθ－，所以随着导体棒的速度增大，其加速度减小，即导体棒做加速度减小的加速运动，当v＝0时，导体棒加速度最大，为amax＝gsinθ，故A正确，B错误；当a＝0时，导体棒达到稳定状态，开始做匀速运动，速度最大，为vm＝，故C正确，D错误。 【典例3】(多选)如图所示，U形光滑金属导轨与水平面成37°角倾斜放置，现将一金属杆垂直放置在导轨上且与两导轨接触良好，在与金属杆垂直且沿着导轨向上的外力F的作用下，金属杆从静止开始做匀加速直线运动。整个装置处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，外力F的最小值为8 N，经过2 s金属杆运动到导轨最上端并离开导轨。已知U形金属导轨两轨道之间的距离为1 m，导轨电阻可忽略不计，金属杆的质量为1 kg、电阻为1 Ω，磁感应强度大小为1 T，重力加速度g＝10 m/s2，sin37°＝0．6，cos37°＝0．8。下列说法正确的是(　　) A．拉力F是恒力 B．拉力F随时间t均匀增加 C．金属杆运动到导轨最上端时拉力F为12 N D．金属杆运动的加速度大小为2 m/s2 【答案】BCD 【详解】设金属杆从静止开始做匀加速直线运动的加速度大小为a，t时刻，金属杆的速度大小为v＝at，产生的感应电动势为E＝Blv，回路中的感应电流为I＝，金属杆所受的安培力大小为F安＝BIl，由牛顿第二定律得F－mgsin37°－F安＝ma，联立解得F＝ma＋mgsin37°＋，所以拉力F随时间t均匀增加，故当t＝0时，F最小，即ma＋mgsin37°＝8 N，代入数据解得a＝2 m/s2，当t＝2 s时，代入数据解得金属杆运动到导轨最上端时拉力F＝12 N，故B、C、D正确，A错误。 【典例4】如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻，一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下。导轨和ab杆的电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和ab杆接触良好，不计它们之间的摩擦。(重力加速度为g) (1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图； (2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求杆中的电流及其加速度的大小； (3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值。 【答案】　(1)见解析图 (2)　g sin θ－　(3) 【详解】(1)由右手定则可知，ab杆中电流方向为a→b。如图所示，ab杆受重力mg，方向竖直向下；支持力FN，方向垂直于导轨平面向上；安培力F安，方向沿导轨平面向上。 (2)当ab杆的速度大小为v时，产生的感应电动势E＝BLv， 此时电路中的电流I＝＝， ab杆受到安培力F安＝BIL＝， 根据牛顿第二定律，有 mg sin θ－F安＝mg sin θ－＝ma， 解得a＝g sin θ－。 (3)当a＝0时，ab杆有最大速度vm， 由平衡条件得mg sin θ＝， 解得vm＝。 【典例5】(多选)如图，两条“∧”形的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，间距为L，左、右两导轨面与水平面夹角均为30°，均处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。将有一定阻值的导体棒ab、cd放置在导轨上，同时由静止释放，两棒在下滑过程中始终与导轨垂直并接触良好，ab、cd的质量分别为2m和m，长度均为L。导轨足够长且电阻不计，重力加速度为g，两棒在下滑过程中(　 　) A．回路中的电流方向为abcda B．ab中电流趋于 C．ab与cd加速度大小之比始终为2∶1 D．两棒产生的电动势始终相等 【答案】AB 【详解】两导体棒沿轨道向下滑动，根据右手定则可知回路中的电流方向为abcda，故A正确；设回路中的总电阻为R，对于任意时刻，当电路中的电流为I时，对ab根据牛顿第二定律得2mg sin 30°－2BIL cos 30°＝2maab，对cd有mg sin 30°－BIL cos 30°＝macd，故可知aab＝acd，分析可知两个导体棒产生的电动势相互叠加，随着导体棒速度的增大，回路中的电流增大，导体棒受到的安培力在增大，故可知当安培力沿导轨方向的分力与重力沿导轨向下的分力平衡时导体棒将匀速运动，此时电路中的电流达到稳定值，此时对ab分析可得2mg sin 30°＝2BIL cos 30°，解得I＝，故B正确，C错误；根据前面分析可知aab＝acd，故可知两导体棒速度大小始终相等，由于两边磁感应强度不同，故产生的感应电动势不相等，故D错误。 【典例6】两根质量均为m的光滑金属棒a、b垂直放置在如图所示的足够长的水平导轨上，两金属棒与导轨接触良好，导轨左边间距是右边间距的2倍，两导轨所在的区域处于竖直向下的匀强磁场中。一根不可伸长的绝缘轻质细线一端系在金属棒b的中点，另一端绕过轻小光滑定滑轮与质量也为m的重物c相连，细线的水平部分与导轨平行且足够长，c离地面足够高，重力加速度为g。由静止释放重物c后，两金属棒始终处在各自的导轨上垂直于导轨运动，达到稳定状态后，细线中的拉力大小为（导轨电阻忽略不计）(　 　) A．mg B．mg C．mg D．mg 【答案】C 【详解】设棒a、b的速度大小分别为v1、v2，加速度大小分别为a1、a2，重物c与棒b的加速度大小相等，回路中的电流为I，回路中的电动势为E，E＝BLv2－B·2Lv1，达到稳定状态后，电路中的电流恒定，即电动势恒定，金属棒的加速度恒定，设k＝v2－2v1，当k恒定时达到稳定状态，由此可知，金属棒的加速度满足a1＝a2，受力情况如图所示。 对棒a受力分析得2BIL＝ma1，对棒b受力分析得T－BIL＝ma2，对重物c受力分析得mg－T＝ma2，解得T＝mg，C正确，A、B、D错误。 【典例7】（多选）由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是(　　) A．甲和乙都加速运动 B．甲和乙都减速运动 C．甲加速运动，乙减速运动 D．甲减速运动，乙加速运动 【答案】AB 【详解】由题意知，两线圈所用导线的体积相同，由电阻定律可知，甲的电阻是乙的电阻的4倍；两线圈到达磁场上边界时两线圈的速度相同，设乙线圈的匝数为n，两线圈的边长均为l，两线圈进入磁场后，乙受到的安培力F乙＝nBIl＝，甲受到的安培力F甲＝＝，可见，甲、乙受到的安培力大小相同，重力也相同，则运动情况相同，A、B正确。 【典例8】（多选）(2024·全国甲卷)如图，一绝缘细绳跨过两个在同一竖直面(纸面)内的光滑定滑轮，绳的一端连接一矩形金属线框，另一端连接一物块。线框与左侧滑轮之间的虚线区域内有方向垂直纸面的匀强磁场，磁场上下边界水平，在t＝0时刻线框的上边框以不同的初速度从磁场下方进入磁场。运动过程中，线框始终在纸面内且上下边框保持水平。以向上为速度的正方向，下列线框的速度v随时间t变化的图像中可能正确的是(　　) 【答案】AC 【详解】设虚线区域内磁场的磁感应强度大小为B，线框的质量为M，电阻为R，上下边框长度为L，物块的质量为m，细绳上的拉力大小为T，以初速度的反方向为加速度的正方向，设线框与物块的加速度均为a。线框穿过磁场的过程中，由牛顿第二定律，对线框有Mg＋F安－T＝Ma，对物块有T－mg＝ma，其中线框所受安培力大小F安＝BIL，线框中电流大小I＝，线框产生的感应电动势大小E＝BLv，联立解得a＝＋g。根据四个选项中的v­t图，只考虑t＝0时线框速度开始减小的情况。根据表达式a＝＋g可知，可以分三种情况分析v的变化的可能性：(1)M>m，线框进入磁场的过程，随着v的减小，a逐渐减小且趋于某个非零值，线框完全进入磁场运动时，a>0且恒定，线框做匀减速直线运动，分析四个选项的图，可知没有与这种情况对应的图。(2)M<m，线框进入磁场的过程，随着v的减小，a逐渐减小，如果v能减小到某个非零值，从而使a＝0，则之后线框做匀速直线运动，线框完全进入磁场运动时，a<0，做匀加速直线运动，分析四个选项的图，可知没有与这种情况对应的图。(3)M＝m，线框进入磁场的过程，随着v的减小，a逐渐减小且趋于0，若进入磁场的过程线框速度能减小到0，则之后线框静止，A符合这种情况；若进入磁场的过程线框速度不能减小到0，则完全进入磁场运动时，a＝0，线框做匀速直线运动，线框离开磁场的过程，随着v的减小，a逐渐减小，若离开磁场的过程线框速度能减小到0，则之后线框静止，分析四个选项的图，可知没有与这种情况对应的图；若离开磁场的过程线框速度不能减小到0，则线框完全离开磁场运动时，a＝0，做匀速直线运动，分析四个选项的图，可知C符合这种情况。综上所述，A、C可能正确，B、D不可能正确。 【典例9】(2024·河北高考)如图，边长为2L的正方形金属细框固定放置在绝缘水平面上，细框中心O处固定一竖直细导体轴OO′。间距为L、与水平面成θ角的平行导轨通过导线分别与细框及导体轴相连。导轨和细框分别处在与各自所在平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B。足够长的细导体棒OA在水平面内绕O点以角速度ω匀速转动，水平放置在导轨上的导体棒CD始终静止。OA棒在转动过程中，CD棒在所受安培力达到最大和最小时均恰好能静止。已知CD棒在导轨间的电阻值为R，电路中其余部分的电阻均不计，CD棒始终与导轨垂直，各部分始终接触良好，不计空气阻力，重力加速度大小为g。 (1)求CD棒所受安培力的最大值和最小值。 (2)锁定OA棒，推动CD棒下滑，撤去推力瞬间，CD棒的加速度大小为a，所受安培力大小等于(1)问中安培力的最大值，求CD棒与导轨间的动摩擦因数。 【答案】(1)　　(2)－tanθ 【详解】(1)设OA棒接入电路的长度为l，则OA棒切割磁感线的平均速度＝ωl 根据法拉第电磁感应定律，此时回路的感应电动势大小E＝Bl 根据闭合电路欧姆定律，此时通过CD棒的电流大小I＝ 则CD棒所受安培力大小F＝ILB 联立得F＝ 当OA棒运动到细框对角线位置时，l最大，为lmax＝L，此时CD棒所受的安培力最大 可解得CD棒所受安培力的最大值为 Fmax＝ 当OA棒运动到与细框一边平行时，l最小，为lmin＝L，此时CD棒所受的安培力最小 可解得CD棒所受安培力的最小值为 Fmin＝。 (2)设CD棒的质量为m，CD棒与导轨间的最大静摩擦力为fm，CD棒与导轨间的动摩擦因数为μ。CD棒在导轨上静止时，根据题意，当CD棒受到的安培力最小时，根据平衡条件有 mgsinθ＝fm＋Fmin 当CD棒受到的安培力最大时，根据平衡条件有Fmax＝mgsinθ＋fm 撤去推力瞬间，对CD棒，沿导轨方向，根据牛顿第二定律有Fmax＋f－mgsinθ＝ma 其中滑动摩擦力大小f＝μN 垂直导轨方向，根据平衡条件有N＝mgcosθ 联立解得μ＝－tanθ。 【典例10】如图1所示，光滑的平行导电轨道水平固定在桌面上，轨道间连接一可变电阻，导体杆与轨道垂直并接触良好（不计杆和轨道的电阻），整个装置处在垂直于轨道平面向上的匀强磁场中。杆在水平向右的拉力作用下先后两次都由静止开始做匀加速直线运动，两次运动中拉力大小与速率的关系如图2所示。其中，第一次对应直线①，初始拉力大小为F0，改变电阻阻值和磁感应强度大小后，第二次对应直线②，初始拉力大小为2F0，两直线交点的纵坐标为3F0。若第一次和第二次运动中的磁感应强度大小之比为k、电阻的阻值之比为m、杆从静止开始运动相同位移的时间之比为n，则k、m、n可能为(　　) A．k＝2、m＝2、n＝2 B．k＝2、m＝2、n＝ C．k＝、m＝3、n＝ D．k＝2、m＝6、n＝2 【答案】C 【详解】由题知导体杆在水平向右的拉力作用下先后两次都由静止开始做匀加速直线运动，设加速度大小为a，磁场的磁感应强度大小为B，轨道宽度为L，电阻的阻值为R，导体杆的质量为m0，则导体杆速率为v时产生的感应电动势大小E＝BLv，感应电流大小I＝，导体杆受到的安培力大小F安＝BIL，由牛顿第二定律得F－F安＝m0a，联立得F＝v＋m0a，可知F－v图线的斜率表示，纵截距表示m0a，结合题图2，可知＝·＝，得＝2，＝，得＝，由x＝at2得，导体杆从静止开始运动相同位移的时间之比n＝＝＝，故C正确，A、B、D错误。 考点2：电磁感应中的能量问题 1．电磁感应中的能量转化 2．求解电磁感应中的焦耳热Q的三种方法 【典例11】（多选）如图所示，两根间距为d的足够长光滑金属导轨，平行放置在倾角为θ＝30°的绝缘斜面上，导轨的右端接有电阻R，整个装置放在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上。导轨上有一质量为m、电阻也为R的导体棒与两导轨垂直且接触良好，导体棒以一定的初速度v0在沿着导轨上滑一段距离L后返回，不计导轨电阻及感应电流间的相互作用，重力加速度为g。下列说法正确的是(　 　) A．导体棒返回时先做加速运动，最后做匀速直线运动 B．导体棒沿着导轨上滑过程中通过R的电荷量q＝ C．导体棒沿着导轨上滑过程中克服安培力做的功W＝（mv－mgL） D．导体棒沿着导轨上滑过程中电阻R上产生的热量Q＝（mv－mgL） 【答案】AC 【详解】导体棒返回时先做加速度减小的加速运动，最后受力平衡，做匀速直线运动，所以A正确；根据q＝，则导体棒沿着导轨上滑过程中通过R的电荷量为q＝，所以B错误；设导体棒沿着导轨上滑过程中克服安培力做的功为W，由能量守恒可得W＋mgL sin 30°＝mv，解得W＝（mv－mgL），所以C正确；根据功能关系可得，导体棒沿着导轨上滑过程中电阻R上产生的热量为Q＝W，则Q＝（mv－mgL），所以D错误。 【典例12】(多选) (人教版选择性必修第二册·第二章[复习与提高]B组T2改编)如图所示，单匝线圈ABCD在外力作用下以速度v向右匀速进入匀强磁场，第二次又以速度2v匀速进入同一匀强磁场，则下列说法正确的是(　　) A．第二次与第一次进入时线圈中电流之比为2∶1 B．第二次与第一次进入时外力做功的功率之比为2∶1 C．第二次与第一次进入过程中通过线圈某横截面的电荷量之比为2∶1 D．第二次与第一次进入时线圈中产生热量之比为2∶1 【答案】AD 【详解】由E＝Blv知，第二次与第一次进入时线圈中感应电动势之比为＝，由I＝得，第二次与第一次进入时线圈中感应电流之比为＝，故A正确。匀速进入，外力做功的功率与克服安培力做功的功率相等，由P＝I2R得，第二次与第一次进入时外力做功的功率之比为＝，故B错误。由电荷量q＝得，第二次与第一次进入过程中通过线圈某横截面的电荷量之比为＝，故C错误。产生热量Q＝Pt＝P·，得第二次与第一次进入时线圈中产生热量之比为＝×＝，故D正确。 【典例13】如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ间距L＝1 m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成θ＝30°角，N、Q两端接有R＝1 Ω的电阻。一金属棒ab垂直导轨放置，ab两端与导轨始终有良好接触，已知ab的质量m＝0．2 kg，电阻r＝1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小B＝1 T。ab在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度v1＝0．5 m/s沿导轨向上开始运动，可达到最大速度v＝2 m/s。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度g＝10 m/s2。 (1)求拉力的功率P； (2)ab开始运动后，经t＝0．09 s速度达到v2＝1．5 m/s，此过程中ab克服安培力做功W＝0．06 J，求该过程中ab沿导轨的位移大小x。 【答案】(1)4 W　(2)0.1 m 【详解】(1)在ab运动过程中，由于拉力功率恒定，ab做加速度逐渐减小的加速运动，速度达到最大时，加速度为零，设此时拉力的大小为F，安培力大小为FA，有F－mgsinθ－FA＝0 由法拉第电磁感应定律，此时回路中的感应电动势E＝BLv 由闭合电路欧姆定律，回路中的感应电流 I＝ ab受到的安培力FA＝ILB 由功率表达式，有P＝Fv 联立上述各式，代入数据解得P＝4 W。 (2)ab从速度v1到v2的过程中，由动能定理，有Pt－W－mgxsinθ＝mv－mv 代入数据解得x＝0.1 m。 【典例14】如图所示，正方形单匝线框abcd边长L＝0.4 m，每边电阻都相同，总电阻R＝0.16 Ω。一根足够长的绝缘轻质细绳跨过两个轻小光滑定滑轮，一端连接正方形线框，另一端连接物体P，手持物体P使二者在空中保持静止，线框处在竖直面内。线框的正上方有一有界匀强磁场，磁场区域的上、下边界水平平行，间距也为L＝0.4 m，磁感线方向垂直于线框所在平面向里，磁感应强度大小B＝1.0 T，磁场的下边界与线框的上边ab相距h＝1.6 m。现将系统由静止释放，线框向上运动过程中始终在同一竖直面内，ab边保持水平，刚好以v＝4.0 m/s的速度进入磁场并匀速穿过磁场区，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。 (1)线框ab边进入磁场中运动时，a、b两点间的电势差Uab为多少？ (2)线框匀速穿过磁场区域的过程中产生的焦耳热Q为多少？ (3)若在线框ab边刚进入磁场时，立即给物体P施加一竖直向下的力F，使线框保持进入磁场前的加速度做匀加速运动穿过磁场区域，已知此过程中力F做功WF＝3.6 J，ab边上产生的焦耳热Qab为多少？ 【答案】　(1)1.2 V　(2)3.2 J　(3)0.9 J 【详解】(1)线框ab边以v＝4.0 m/s的速度进入磁场并匀速运动，产生的感应电动势为E＝BLv＝1×0.4×4 V＝1.6 V，将ab边作为等效电源，则a、b两点间的电势差为外电压Uab＝E＝1.2 V。 (2)线框进入磁场后立即做匀速运动，并匀速穿过磁场区，线框所受安培力F安＝ILB， 根据闭合电路欧姆定律有I＝， 联立解得F安＝4 N， 所以线框克服安培力做功W安＝F安×2L＝4×2×0.4 J＝3.2 J。 而Q＝W安，故该过程中产生的焦耳热Q＝3.2 J。 (3)设线框出磁场区域的速度大小为v1，则根据运动学关系有v－v2＝2a·2L，而根据牛顿第二定律可知a＝， 联立整理得 (M＋m)（v－v2）＝(M－m)g·2L， 线框穿过磁场区域过程中，力F和安培力都是变力，根据动能定理有WF－W′安＋(M－m)g·2L＝(M＋m)（v－v2）， 联立解得WF－W′安＝0， 而W′安＝Q′，故Q′＝3.6 J。 又因为线框每边产生的热量相等，故ab边上产生的焦耳热Qab＝Q′＝0.9 J。 【典例15】如图甲所示，光滑的金属导轨MN和PQ平行，间距L＝1.0 m，与水平面之间的夹角α＝37°，匀强磁场磁感应强度大小B＝2.0 T，方向垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值R＝1.6 Ω的电阻，质量m＝0.5 kg、电阻r＝0.4 Ω的金属棒ab垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属棒ab，使其由静止开始运动，当金属棒上滑的位移s＝3.8 m时达到稳定状态（稳定状态时金属棒以1.0 m/s的速度匀速运动），对应过程的v－t图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2，导轨足够长(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。求： (1)运动过程中a、b哪端电势高？并计算恒力F的大小。 (2)从金属棒开始运动到刚达到稳定状态，此过程金属棒上产生的焦耳热。 【答案】(1)b端　5 N　(2)1.47 J 【详解】(1)由右手定则可判断感应电流由a流向b，b端相当于电源的正极，故b端电势高。 当金属棒匀速运动时，由平衡条件得 F＝mg sin 37°＋F安， 其中F安＝ILB＝， 由乙图可知v＝1.0 m/s， 联立解得F＝5 N。 (2)从金属棒开始运动到达到稳定状态，由功能关系可得(F－mg sin 37°)s＝Q＋mv2， 电阻与金属棒产生的焦耳热与阻值成正比，故金属棒上产生的焦耳热为Qr＝Q， 联立解得Qr＝1.47 J。 【典例16】（2022·全国乙卷）如图，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为l＝0.40 m的正方形金属框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面的匀强磁场。已知构成金属框的导线单位长度的阻值为λ＝5.0×10-3 Ω/m；在t＝0到t＝3.0 s时间内，磁感应强度大小随时间t的变化关系为B(t)＝0.3－0.1t(SI)。求： (1)t＝2.0 s时金属框所受安培力的大小； (2)在t＝0到t＝2.0 s时间内金属框产生的焦耳热。 【答案】(1) N　(2)0.016 J 【详解】 (1)对正方形金属框分析，由法拉第电磁感应定律得 E＝＝＝×， 由B(t)＝0.3－0.1t(SI)知＝0.1 T/s， 通过金属框的电流I＝，其中R＝4lλ， 当t＝2.0 s时，B＝(0.3－0.1×2.0) T＝0.1 T， 金属框所受安培力大小F＝BIl′，其中l′＝l， 代入数据解得F＝ N。 (2)根据焦耳定律有Q＝I2Rt， R＝4λl＝8×10-3 Ω， 在0～2.0 s时间内电流恒定，I＝＝1 A， 代入数据解得Q＝0.016 J。 【典例17】 (多选)如图所示，两根足够长光滑导轨竖直放置，导轨间距为L，底端接阻值为R的电阻，其他电阻均可忽略。将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，弹簧劲度系数为k，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直。现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，第一次达到最大速度v时，回路产生的焦耳热为Q。重力加速度为g。若金属棒和导轨接触良好，则(　 　) A．金属棒和弹簧组成的系统机械能守恒 B．金属棒第一次达到最大速度时弹簧的伸长量为 C．金属棒从开始运动到最后静止，电阻R上产生的总热量为 D．金属棒第一次达到最大速度时，弹簧的弹性势能小于－mv2－Q 【答案】BD 【详解】金属棒从弹簧原长位置由静止释放后，速度逐渐增大，切割磁感线，产生感应电流，金属棒受到竖直向上的安培力，安培力做负功，故金属棒和弹簧组成的系统机械能不守恒，故A错误；金属棒第一次达到最大速度时，受到重力、弹簧的弹力和安培力，处于平衡状态，则有F＋F安＝mg，安培力为F安＝ILB，金属棒切割磁感线，感应电动势为E＝BLv，根据闭合电路欧姆定律有I＝，弹簧的弹力为F＝kx1，联立解得x1＝，故B正确；金属棒最后静止时，所受安培力为零，受重力和弹簧弹力，则有mg＝kx2，根据能量守恒定律有mgx2－W－kx＝0，由功能关系可知回路产生的焦耳热为Q′＝W，联立解得Q′＝，故C错误；金属棒从开始运动到第一次达到最大速度过程，由能量守恒定律有mgx1＝mv2＋Ep＋Q，即Ep＝－mv2－Q－，可得Ep＜－mv2－Q，故D正确。 【典例18】如图所示，质量为M、电阻为R、长为L的导体棒，通过两根长均为l、质量不计的导电细杆连在等高的两固定点上，固定点间距也为L。细杆通过开关S可与直流电源E0或理想二极管串接。在导体棒所在空间存在磁感应强度方向竖直向上、大小为B的匀强磁场，不计空气阻力和其他电阻。开关S接1，当导体棒静止时，细杆与竖直方向的夹角θ＝，然后开关S接2，棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中(　 　) A．电源电动势E0＝R B．棒消耗的焦耳热Q＝Mgl C．从左向右运动时，最大摆角小于 D．棒两次过最低点时感应电动势大小相等 【答案】C 【详解】以导体棒为研究对象，作出受力图，如图所示。 根据平衡条件可得F安＝Mg tan θ，且F安＝BIL，解得I＝，电源电动势E0＝IR＝，故A错误；导体棒向左运动时，回路中有电流，导体棒会产生焦耳热，向右运动时，由于二极管的作用，回路中无电流，导体棒不会产生焦耳热，假设导体棒从右侧开始运动完成一次振动的过程中，达到最低点时速度为0，则棒的重力势能减少ΔEp＝Mgl·(1－cos θ)，解得ΔEp＝Mgl，根据能量守恒定律可知导体棒消耗的焦耳热Q＝×Mgl，由于导体棒达到最低点时的速度不为0，则完成一次振动过程中，导体棒消耗的焦耳热小于Mgl，故B错误；导体棒从右侧开始运动达到最左侧过程中，回路中有感应电流，导体棒上会产生焦耳热，所以达到左侧最高点时，棒的最大摆角小于，从左向右运动时，由于二极管具有单向导电性，所以回路中没有电流，则导体棒从左向右运动时，最大摆角小于，故C正确；导体棒第一次经过最低点向左摆动过程中，回路中有感应电流，导体棒的机械能有损失，所以第二次经过最低点时的速度小于第一次经过最低点的速度，根据E＝BLv可知，第二次经过最低点时感应电动势大小小于第一次经过最低点的感应电动势大小，故D错误。 为则易 行则至 第 12 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $