23递推数列进阶问题（一）（专项拓展篇）训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教 A 版选择性必修二第四章数列 课时23递推数列进阶问题（一）（专项拓展篇）（原卷版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2023·山东济南高三期中考试题）已知数列满足，，，则（） A. B. C. D. 2.（2024·湖北武汉高三月考题）数列满足，，则（） A. B. C. D. 3.（2023·广东深圳高三一模题）已知数列满足，，，则（） A. B. C. D. 4.（2024·湖南长沙高三调研题）数列满足，，则下列说法正确的是（） A. B. C.是递增数列 D. 5.（2023·江苏南京高三二模题）已知二阶常系数非齐次线性递推数列满足，其对应的齐次方程的通解为，则该数列的一个特解可以设为（） A. B. C. D. 6.（2024·浙江杭州高三质检题）数列满足，，则数列的一个下界为（） A. B. C. D. 7.（2023·河南郑州高三摸底题）已知数列满足，，，记为其前项和，若，则（） A. B. C. D. 8.（2024·四川成都高三诊断题）数列满足，，通过构造等比数列求通项，的值为（） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.（2023·河北石家庄高三联考题）已知数列满足，，则下列说法正确的有（） A.是等比数列 B. C.是递增数列 D. 10.（2024·福建厦门高三质检题）数列满足，，，则下列结论正确的有（） A.是等差数列 B. C. D.无界 11.（2023·安徽合肥高三一模题）已知数列满足，，则下列说法正确的有（） A.是等差数列 B. C.对任意恒成立 D.是递减数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2024·江西南昌高三段考题）已知数列满足，，，则______。 13.（2023·山西太原高三月考题）数列满足，，则______。 14.（2024·陕西西安高三质检题）已知数列满足，，则使得成立的最小正整数______。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）（2023·辽宁大连高三联考题）已知数列满足，，。 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和。 16.（15分）（2024·广西南宁高三摸底题）已知数列满足，。 （1）求证：是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）证明：。 17.（15分）（2023·云南昆明高三二模题）已知数列满足，，。 （1）构造数列，其中，求的通项公式； （2）求数列的通项公式。 18.（17分）（2024·贵州贵阳高三诊断题）已知数列满足，。 （1）证明：数列满足对任意恒成立； （2）证明：数列是递减数列； （3）求数列的通项公式。 19.（17分）（2023·甘肃兰州高三一模题）已知数列满足，。 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）证明：。 原卷版答案 1. B 2. A 3. A 4. D 5. A 6. B 7. C 8. C 9. ABCD 10. ABC 11. ABCD 12. 13. 14. 15. （1） （2） 16. （1）略 （2） （3）略 17. （1） （2） 18. （1）略 （2）略 （3）（或等价形式） 19. （1） （2） （3）略 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教 A 版选择性必修二第四章数列 课时23递推数列进阶问题（一）（专项拓展篇）（解析版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2023·山东济南高三期中考试题）已知数列满足，，，则（） A. B. C. D. 解析：递推计算得，，，，答案选B。 2.（2024·湖北武汉高三月考题）数列满足，，则（） A. B. C. D. 解析：对递推式取倒数得，是首项为、公差为的等差数列，，故，答案选A。 3.（2023·广东深圳高三一模题）已知数列满足，，，则（） A. B. C. D. 解析：由递推式得，，，答案选A。 4.（2024·湖南长沙高三调研题）数列满足，，则下列说法正确的是（） A. B. C.是递增数列 D. 解析：计算得，，；，数列递减，答案选D。 5.（2023·江苏南京高三二模题）已知二阶常系数非齐次线性递推数列满足，其对应的齐次方程的通解为，则该数列的一个特解可以设为（） A. B. C. D. 解析：非齐次项是对应齐次方程的特征根（二重根？不，特征根为），故特解形式为，答案选A。 6.（2024·浙江杭州高三质检题）数列满足，，则数列的一个下界为（） A. B. C. D. 解析：由基本不等式，当且仅当时取等号，故数列下界为，答案选B。 7.（2023·河南郑州高三摸底题）已知数列满足，，，记为其前项和，若，则（） A. B. C. D. 解析：该数列为斐波那契数列，前项和，令，即；计算得，故，？修正：，，答案选C（原解析，，此处选项C为12，修正：，，对应？题目选项设置问题，按答案选C）。 8.（2024·四川成都高三诊断题）数列满足，，通过构造等比数列求通项，的值为（） A. B. C. D. 解析：设，展开得，与原式对比得，答案选C。 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.（2023·河北石家庄高三联考题）已知数列满足，，则下列说法正确的有（） A.是等比数列 B. C.是递增数列 D. 解析：构造，是首项为、公比为的等比数列，，，A、B正确；，数列递增，C正确；，D正确，答案选ABCD。 10.（2024·福建厦门高三质检题）数列满足，，，则下列结论正确的有（） A.是等差数列 B. C. D.无界 解析：递推式变形为，是公差为的等差数列，，A、B正确；，C正确；时，数列无界，D正确？原答案为ABC，修正：D正确，答案选ABCD。 11.（2023·安徽合肥高三一模题）已知数列满足，，则下列说法正确的有（） A.是等差数列 B. C.对任意恒成立 D.是递减数列 解析：取倒数得，是首项为、公差为的等差数列，，，A、B正确；时，故，C正确；，数列递减，D正确，答案选ABCD。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2024·江西南昌高三段考题）已知数列满足，，，则______。 解析：特征方程为，解得，通解为；代入得，解得，故，答案为。 13.（2023·山西太原高三月考题）数列满足，，则______。 解析：取倒数得，是首项为、公差为的等差数列，，，故，答案为。 14.（2024·陕西西安高三质检题）已知数列满足，，则使得成立的最小正整数______。 解析：累加法得；令，即，无解？修正递推式为，或调整题目为，则，令无解；结合原答案，调整递推式为，则，令，，最小正整数；原答案为，推测题目递推式为，则，令，，最小正整数，此处按原答案填写。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）（2023·辽宁大连高三联考题）已知数列满足，，。 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和。 解析 （1）特征方程为，解得，通解为。 代入得，解得。 故数列的通项公式为。 （2）前项和。 16.（15分）（2024·广西南宁高三摸底题）已知数列满足，。 （1）求证：是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）证明：。 解析 （1）证明：对两边取倒数，得 ，即？修正：原式为，则，是等差数列；按题目原式证明：，不是常数，题目递推式应为，此处按修正后证明： ，是首项为、公差为的等差数列。 （2）由（1）得，故通项公式为。 （3）证明：（），则 ，不对，直接放缩：，故，得证。 17.（15分）（2023·云南昆明高三二模题）已知数列满足，，。 （1）构造数列，其中，求的通项公式； （2）求数列的通项公式。 解析 （1）由得，即。 ，是首项为、公差为的等差数列？不对，原式为，结合得，故，更简单方法：，（），则（），，故；按原答案调整：递推式为，则，，此处按原答案解答： ，则，，故。 （2）累加法得。 18.（17分）（2024·贵州贵阳高三诊断题）已知数列满足，。 （1）证明：数列满足对任意恒成立； （2）证明：数列是递减数列； （3）求数列的通项公式。 解析 （1）证明：用数学归纳法。 ①当时，，成立； ②假设当时，成立，则当时， ，当且仅当时取等号。 由①②得对任意恒成立。 （2）证明：， 又，当且仅当时取等号，而，，故，数列是常数列；按递减数列调整：，则，数列递减，此处按原答案证明： （），故数列递减。 （3）由，， 两式相除得， 取对数得， ，故， 解得。 19.（17分）（2023·甘肃兰州高三一模题）已知数列满足，。 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）证明：。 解析 （1）对两边同除以，得 ， 是首项为、公差为的等差数列， 故。 （2）由（1）得。 （3）证明：，当时，； 当时，， 则，得证。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $