海南省海口市琼山区海南中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

海南中学2026届高三年级第三次月考数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题、审核：李园、杨菲 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1。若复数==a2-3a+2+(2a-4)i(a∈R)为纯虚数，则a=（) A.2 B.1 C.0 D.1或2 【答案】B a2-3a+2=0 【详解】由题意可得： 2a-4≠0，解得：a=1. 2.已知集合A={x0<x<2},B={x1<x<3},则A⌒CB=（) A.(0,1] B。(0,1) C。(2,3) D.(2,3] 【答案】A 【详解】由B={h<x<3},則CB={x|x≤1或x≥3}，又A={0<x<2},则AnCB=(0,1]. 3.不等式2x-1<1的一个充分不必要条件是（) 1 A。 B.0<x<1 C。-1<x<2 3 D.xs 【答案】A 详解】对于B：由2x-1<1得-1<2x-1<1,解得0<x<1,显然0<x<1为充要条件，错误； 对于A:因为<能推出0<x<1,0<x<1不能推出}x<分， 1 所以<是不等式2x<1的充分不必要条件，正确； 对于C:因为-1<x<2不能推出0<x<1,0<x<1能推出-1<x<2, 所以-1<x<2是不等式0<x<1的必要不充分条件，错误； 第1页共14页 海南中学2026届高三年级第三次月考数学试题 命题、审核：杨菲、李园 对于D:国为-1<x<号不能推出0<x<1,0<x<1不能推出-< 1 所以-1<x<是不等式0<x<1的既不充分也不必要条件，错误 4.△0AB,点P在边AB上，AB=3AP,设OA=a,0B=i,则OP=（） 1+2 A.3a+39 2+1五 3 C. 1-2五 3a- 3 D. 【答案IB 【详解】旅题意，0丽-o1+P=0i+兮沥-0+o西-a网号0i+05-ā+5. 2 B 5.已知△4BC所在平面内的动，点M满足AM=AC+aB,且实数x,y形成的向量a=(r-} 与b=(-1,2)向量共线，则动点M的轨迹必经过△ABC的( A。垂心 B.内心 C。外心 D。重心 【答案】D B 【详解】a=-方0与万=1习向量关线，数(-司》=0，印2x+=1, 則AM=xAC+yAB变形为AM=xAC+(1-2)AB,即AM-AB=xAC-2AB), 所以BM=x(BC-AB)=xBC+BA), E 取AC的中点E，则BM=2xBE，所以动点M的轨迹必经过△ABC的重心. 6。若函数f(x)=e-心在区间(0,1)上有极值，点，则实数a的取值范围是（) A。 B.(1e) C。(1,e) D. e 【答案】C 【详解I由已知得f'(x)=e-a,明显∫'(x)为单调递增函数， 若函数f(x)=e-m在(0,1)上有极值点， 则e°-a<0且e-a>0,解得l<a<e.即ae(1,e). 第2页共14页 海南中学2026届高三年级第三次月考数学试题 命题、审核：杨菲、李园 7。如图，为了测量某塔楼的高度，将一无人机（视为质点）飞升至离地面高为五米的点A处 时，测得塔尖C的俯角为α，无人机沿水平方向飞行b米后至点B处时，测得塔尖C的俯角 为B,则塔尖C距离地面() B 7777777777777777777777777 A。h- b(tanB-tana） 米 B.hbtana.tanB 米 tana.tanB tan a+tan B C。h- b(tand+anB）米 D.h- btana·tanB tana.tanB tanB-tana 米 【答案ID B D 【详解】作CD⊥AB于D,如图： 则AD=CD .BD=CD CD_CD-b, tana amp,而AD-BD=b,即am&mp 解得cD=btanatanp amB-tana,所以塔尖C距离地面h-btand:tamp tanB-tana 8。巴加，只分别为双曲战C号广-a0b>0的金、右黛点，过只作c的两本断近线的 平行线，与渐近线交于M、N两点若c0s∠MN=3,则C的渐近线方程为（） 2 A。y=士 B.y=±2x C.y= D.y 【答案】B 【详解】易知，点M,N关于x轴对称，令∠MR=a,cos2a= 13 .cosa=1+cos2a= 2 +品，m-1wa= 39 ∴.tan2= sin2a 4 Cos22 .tan o=负值舍去 b x= bc y= 由 a 2 则tana= 2= b x-c) bc 可得Mcc） (2'2a, 3 3 a 2a =2,渐近线方程为y=士2. ∴. a 第3页共14页 海南中学2026届高三年级第三次月考数学试题 命题、审核：杨菲、李园 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（) A。过点(-1,2)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y=0 B。过，点P(1,2)且在x、y轴上截距相等的直线方程为2x+y=0 C.曲线+=0过点0日的最短孩长为时 D。已知圆C1:(x-1)+y2=1,圆C2:(x-4)+y2=a,若两圆公切线有三条，则a=4且其中一 条公切线的方程为x=2 【答案IACD 【详解】对于A：与直线x-2y+3=0垂直的直线斜率为-2，故所求直线为y-2=-2(x+1), 即2x+y=0,故A正确； 对于B:若藏距郑不为0时，令直线为+)=1(a≠0)，则+2=1，解得a=3, aa 此时直线方程为x+y-3=0,若截距都为0时，令直线为y=,则k=2,此时直线方程为2x-y=0, 过，点P(1,2)且在x、y轴上截距相等的直线方程为2x-y=0或x+y-3=0,故B错误； 对于C:曲线+y=0,即=，所以抛物线的焦点为0日， 故过点Q日)的最短孩为通径，长度为行，故C正确； 对于D:因为圆C1:(x-1)2+y2=1的圆心为C(1,0),半径片=1， 圆C2:(x-4)+y2=a的圆心为C2(4,0),半径5=Va, 若两圆公切线有三条，则两圆相外切，则CC=3=5+1=Va+1,解得a=4, (x-1)2+y2=1 x=2 由 (-4)+2-4’解得 =0,即两圆的切点为(2,0)， 显然x=2与圆C:(x-1)+y2=1,圆C,:(x-4)+y2=4均相切，故x=2是两圆的公切线，故D正确. 第4页共14页 海南中学2026届高三年级第三次月考数学试题 命题、审核：杨菲、李园 10.已知向量=(1,1)，b=(-1,x),下列结论正确的是() A.若a⊥b，则x=1 B。若a∥b,则x=1 C。若a,b的夹角为钝角，则x的取值范围为(-o,1) D。设a在五方向上的投影向量为m,则网的取值范围为0，V2] 【答案】AD 【详解】因为向量a=(1,1),b=(-1,x), 对于选项A:若a⊥i,则ab=-1+x=0,解得x=1,故A正确； 对于选项B:若6，则日片，即《=-1，故B错侯； 对于选项C:由a,i的夹角为钝角，则a.i=-l+x<0,且a,b不共线， 可得x<1且x≠-1，所以x的取值范围为(-o,-1)U(-1,1),故C错误， 对于选项D:因为a6=-1+x,=V2+1,则网=出 0、a.b-,可得m=2+1■ 1+x29 令-2x+1-t,则1-)x-2x+1-t=0, 1+x2 当1-t=0,即t=1时，可得x=0,符合题意； 当1-t≠0，即t≠1时，则△=4-4(1-t)≥0，解得0≤t≤2且t≠1， 综上所述：0≤t≤2，即园的取值范围为0，V2,故D正确. 11.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC= ，内角2的平分复交AC 于点D且BD=√3，则下列结论正确的是() A1+1-1 B。b的最小值是2 a C C.a+3c的最小值是45 D.△4BC的面积最小值是√5 【答案IABD 【详解】解：由题意得：S△ABC=S△AaD+S△CD, 第5页共14页 海南中学2026届高三年级第三次月考数学试题 命题、审核：杨菲、李园 由角平分线以及面积公式得)ac×sim三-】ax sin2+】5exin产 3-2 62 69 化简得ac=a+c,所以上+上-1，故A正确； ac=a+c≥2Nac,当且仅当a=c时取等号，∴Vac≥2，.ac≥4， 所以seAc5c 25,当且仅当a=c=2时取等号，故D正确； 由余弦定理b2=a+c2-2 ac cos∠ABC=a2+c2-ac=(a+c-3ac=(ac)2-3ac≥42-3×4=4 所以b≥2，即b的最小值是2，当且仅当a=c=2时取等号，故B正确； 对于选项C:由ac=a+c得：1+-1， a c :a+3c=a+30×+=1++30+3≥4+2xc=4+2N5, a a a [L+1-1 [a=1+5 当且仅当 a C ,即 a 3c c=1+5时取等号，故C错误 3 三。填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若1og,3=a2=5，则用a,b表示log615= 【答案】 a+b 1+a 【详解】因为2=5，所以b=1og,5,则log,15=18,l15=19:3+18:5-a+b l0g2 6 l0g2 2+10g2 3 1+a 13.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超 常的贡献值。“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶，点为圆心，以其边长为半径作圆孤，由这 三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）。现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则 此“莱洛三角形”的面积为」 【答案】8π-8V5 【详解】正三角形的面积为宁4加子45，国孤的长度为1=骨4=誓，故一个弓形的面积为 45-845,故“莱洛三角形”的面积为3-45+4W5--85】 第6页共14页 海南中学2026届高三年级第三次月考数学试题 命题、审核：杨菲、李园 14.若在曲线y=-xer-1(e为自然对数的底数)存在不同的两点P、2,使P、Q两点关于x轴 的对称，点P'、Q'在曲线y=lx+ax上，则实数a的取值范围是 【答案】 e,0 【详解】已知函数f(x)=xeax-1与g(x)=nx+x的图象上存在关于x轴对称的点，那么 -f(x)=g()有解，即ea1=lnx+ax在(0，+o）)上有解， 首先对xter-l=nx+ax进行变形：xear-1=lnx+lnea=ln(ear). 设t=xe“(t>0),则原方程变为=lnt. 进一步转化为1nt-‘=0在(0，+四）上有解. 设/0=h对0求，可得/0-}：e t e te 然后分析f0的单调性：令f(0=0,即©-1=0，解得t=e. te 当0<t<e时，所以f(t)>0,f()在(0，e)上单调递增。 当t>e时，所以f"(t)<0,f()在(e,+o)上单调递减 所以f0在1=e处取得极大值，也是最大值，f(e)=ne-e=1-1=0. e 所以仅t=e满足方程有解的条件。 故er=e有两解，即e=e有两解， 两边同时取对数得=1-n,即a=1-血x在0，+0)上有两解. -_1.x-a-h 设1，对求号，则g0- )1nx-2 x2 然后分析g(x)的单调性：令g'(w)=0,即 血x-2=0,解得x=e, x2 当0<x<e2时，g'(x)<0,g(x)在(0，e)上单调递减 第7页共14页 海南中学2026届高三年级第三次月考数学试题 命题、审核：杨菲、李园 当x>e2时，g(x)>0,g(x)在(e2,+o)上单调递增。 8)在x=e处取得极小值，电是最小值，ge)=1-lne- e2 3。 当x→0*时，8(x)→+0；当x→+0时，8()→0. 因为a=上在0+网上有两解，<a<0故答索为：（合， 四。解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)设向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),xeR,函数f(x)=a-(a+b). (1)求函数f(x)的最大值与最小正周期； ②求使不等式)产威立的的取值集合及函数四)的对中心。 解：(1)由题意知，fx)=a(位+b)=a:a+i:6=sin2x+cos2x+sin xcosx+cos2x =1+m2x+s2x+0=9m2x+到》， 22 4 。…4分 当2x4子-号2新，即-智xe20时，m2x+7s-1, 四的最大准为怎，最小正同期7受 2 =π。 …7分 a由0知，四号m》 ，号ax+号，即m+孕0， …8分 22 2kr≤2x+元≤2kπ+元，keZ, 4 解得x日三r证，e2, .3π …10分 即)号成立的x的取值枭合是{红营ss红+智e。 …11分 ◆2月，则爱受，2， 4 0的对春中心济（受行昌，以， …13分 第8页共14页 海南中学2026届高三年级第三次月考数学试题 命题、审核：杨菲、李园 16.(15分)21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的 颜色分布如下表所示： 内饰 红色外观 蓝色外观 外观 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小 明取到色内饰的模型，求P(B)和P(BA)，并判断事件A和事件B是否独立并说明理由. (②)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型， 给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及 仅外观或内饰同色. 假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖金越高 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元 请你分析奖全对应的结果，设X为奖全额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 解0P-器-，P吕， 图为p4)-安P4Pey号器贺， 有P(AB)≠P(A)P(B),所以A,B不独立； …6分 (2)记外观与内饰均同色为事件A，,外观与内饰都异色为事件4，仅外观或仅内饰同色为事 件A, 第9页共14页 海南中学2026届高三年级第三次月考数学试题 命题、审核：杨菲、李园 则PA)=C6+C8+C+C=94_47 C 300150’ …8分 P4)= CHoC:+ChoC 501 C 30069 …10分 P(A,)= CHC:+CoC+CloClo+CC156 13 Cs 300259 …12分 P(A)<P(A)<P(A), .一等奖800元为两个汽车模型的外观与内饰都异色，二等奖500元为两个汽车模型的外观与 内饰均同色，三等奖300元为两个汽车模型仅外观或仅内饰同色. …13分 X的分布列为： X 800 500 300 P 1-6 47 13 150 2 …14分 E(x)=800x2+500 6 41+300× 9 150 446· …15分 第10页共14页 海南中学2026届高三年级第三次月考数学试题 时间: 120 分钟 满分: 150分 命题、审核：李园、杨菲 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数 为纯虚数，则a=() A. 2 B. 1 C. 0 D. 1或2 2. 已知集合A={x|0<x<2}, B={x|1<x<3},则 A.(0,1] B.(0,1) C. (2,3) D. (2,3] 3.不等式|2x-1|<1的一个充分不必要条件是 () B. 0<x<1 C. - 1<x<2 4. △OAB , 点 P在边 AB上, 设 则 （） 5.已知△ABC所在平面内的动点M满足 且实数x，y形成的向量 与 向量共线，则动点M的轨迹必经过△ABC的( ) A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 6.若函数. 在区间(0，1)上有极值点，则实数a的取值范围是() B.(1,c²) C.(1,e) D. (a 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 海南中学2026届高三年级第三次月考数学试题 命题、审核：李园、杨菲 7.如图，为了测量某塔楼的高度，将一无人机 (视为质点)飞升至离地面高为h 米的点A 处时，测得塔尖 C 的俯角为α，无人机沿水平方向飞行b 米后至点B 处时，测得塔尖 C的俯角为β，则塔尖C距离地面() 米 米 米 米 8.已知F₁，F₂分别为双曲线 的左、右焦点，过F₂作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M、N两点.若 则C的渐近线方程为 () B. y=±2x 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是 () A. 过点(-1,2)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y=0 B. 过点P(1,2)且在x、y轴上截距相等的直线方程为2x+y=0 C.曲线 过点 的最短弦长为 D.已知圆 圆 若两圆公切线有三条，则a=4且其中一条公切线的方程为x=2 第 2 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 海南中学2026届高三年级第三次月考数学试题 命题、审核：李园、杨菲 10.已知向量ā=(1,1), b=(-1,x),下列结论正确的是 () A. 若 则x=1 B. 若 则x=1 C.若a，b的夹角为钝角，则x的取值范围为(-∞，1) D.设ā在b方向上的投影向量为m，则|m|的取值范围为[0， 11. 在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 内角B的平分线交AC于点D且. 则下列结论正确的是 () B. b的最小值是2 C. a+3c的最小值是 D. ΔABC的面积最小值是 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若 则用a，b表示 13.“菜洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值.“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形(如图所示).现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为 . 第 3 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 海南中学2026届高三年级第三次月考数学试题 命题、审核：李园、杨菲 14.若在曲线. (e为自然对数的底数)存在不同的两点P、Q，使 P、Q两点关于x轴的对称点P'、Q'在曲线y= lnx+ ax上, 则实数a的取值范围是 . 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 设向量 函数 (1)求函数f(x)的最大值与最小正周期； (2)求使不等式 成立的x的取值集合及函数f(x)的对称中心. 第 4 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 海南中学2026届高三年级第三次月考数学试题 命题、审核：李园、杨韭 16.(15分) 21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 外观 内饰 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求P(B)和P(B|A)，并判断事件A和事件B是否独立并说明理由.. (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色. 假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖金越高. 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元. 请你分析奖金对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 第 5 页共 6页 学科网（北京）股份有限公司 海南中学2026 届高三年级第三次月考数学试题 命题、审核：李园、杨菲 17.(15分) 已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A,B,C的对边, △ABC的面积 (1) 求 sin A,cosA的值; (2) 求 的取值范围. 18. (17分) 已知椭圆E: 以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.已知斜率k存在且不为0的直线l过点 直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和 的直线AC与椭圆E的另一个交点为D. (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值及斜率k的取值范围. 19. (17分) 已知函数 f'(x)为f(x)的导数. (1)当x≥0时, 求f'(x)的最小值; (2)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围. 第 6 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $