山东省淄博市高青县2025年中考数学一模试卷平行卷

高青县2025年中考数学一模试卷平行卷 自编模拟卷 考试时间：120分钟；命题人：XN 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题(本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，一条不完整的数轴上两个点表示的数分别是和，则可能是（    ）    A．4 B．2 C． D． 3．500米口径球面射电望远镜，简称，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”.望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一.将0.00519用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 4．如图，的半径为5，若，则经过点P的弦长可能是（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 7．小明准备用下面左图所示的纸片做一个正方体礼品盒．为了美观，他想在六个正方形纸片上画上图案，使礼盒三组对面的图案相同，下列所画图案正确的是（   ） A． B． B． C． D． 8．数学选修课开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小涵随机抽取了两张卡片，则小涵抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的概率为（    ） A． B． C． D． 9．下列命题是真命题的是（   ） A．两点之间直线最短 B．相等的角是对顶角 C．若，则 D．若，则且 10．如图，已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：①画射线AM；②连结AC、BC；③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④在射线AM上截取AB＝a；以上画法正确的顺序是（　　） A．①②③④ B．①④③② C．①④②③ D．②①④③ 第II卷（非选择题） 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11．若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 12．如图，根据所示的拼图过程，因式分解： ． 13．在同一平面内有2010条直线a1，a2，…，a2010，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a2010的位置关系是 ． 14．两地相距12千米，甲骑自行车从A地出发前往地，同时乙步行从地出发前往A地．如图的折线和线段分别表示甲、乙两人与A地的距离与时间之间的函数关系，且与相交于点．下列说法： ①与的函数关系是；    ②点表示甲、乙同时出发0.5小时相遇； ③甲骑自行车的速度是18千米/小时；       ④经过或小时，甲、乙两人相距5千米． 其中正确的有 （填序号） 15．如图，正方形ABCD的边长为，点E、F分别为边AD、CD上一点，将正方形分别沿BE、BF折叠，点A的对应点M恰好落在BF上，点C的对应点N给好落在BE上，则图中阴影部分的面积为 ； 三、解答题（共8小题，共90分，请写出必要的解答过程） 16．（1）计算：． （2）解不等式组：在数轴上表示出它的解集，并求出它的正整数解． 17．如图，在四边形中，，且，是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论： 甲：若连接，则四边形是菱形； 乙：若连接，则是直角三角形． 请选择一名同学的结论给予证明． 18．知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.周末，小强一家到两处景区游玩，他们从家处出发，向正西行驶160到达处，测得处在处的北偏西15°方向上，出发时测得处在处的北偏西60°方向上 （1）填空： 度； （2）求处到处的距离即的长度（结果保留根号） 19．为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近六场比赛中关于得分、篮板的情况． 信息1：甲的得分情况：20，14，28，30，32，32； 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27． 信息2： 信息3：技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 平均每场篮板 篮板方差 甲 26 32 m 9 乙      n      8 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____（填“＞”“=”或“＜”）； (2)本次队员综合得分按平均得分的，平均每场篮板的计算，综合得分越高表现越好，则甲、乙哪名队员的表现更好？ (3)选择一个方面进行分析，甲、乙两名队员谁表现的更好？ 20．阅读下列一段文字，然后回答问题． 已知在平面内两点、，其两点间的距离，且当两点间的连线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知一个三角形各顶点坐标为、、，则此三角形的形状是__________． (2)在（1）的条件下求解：在平面直角坐标系中，在轴上找一点，使的长度最短，求出的最短长度． (3)利用该题提供的方法求解：若、两点为坐标分别为和，点是轴上一个动点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 21．如图，为的直径，过的中点D，于点E．    (1)求证：为的切线： (2)若，求的直径 (3)在（2）的条件下，的平分线交于点F，交于点G，求的值． 22．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）．    (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 23．已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点在点左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)抛物线是否存在点，使，若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由 (5)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以，，，为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由． (6)若，，三点都在抛物线上且总有请直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高青县2025年中考数学一模试卷平行卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C D A C B D B 1．D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项是错误的； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项是错误的； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项是错误的； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项是正确的； 故选：D 2．A 【分析】根据数轴上的点的位置可知，据此即可求解． 【详解】解：∵根据数轴上的点的位置可知， ∴可以是， ∴可能是4． 故选：A． 【点睛】本题考查了根据数轴比较有理数的大小，掌握数轴右边的数大于左边的数是解题的关键． 3．B 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00519=5.19×10-3． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4．C 【分析】当经过点O、P的弦是直径时，弦最长为10；当弦与OP是垂直时，弦最短为8；判断即可． 【详解】当经过点O、P的弦是直径时，弦最长为10； 当弦与OP垂直时，根据垂径定理，得 半弦长， 所以最短弦为8； 所以符合题意的弦长为8到10， 故选C． 【点睛】本题考查了直径是最长的弦，垂径定理，熟练运用分类思想，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 5．D 【分析】根据同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式，平方差公式等知识点逐项判断即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故答案为：D． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式，平方差公式等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 6．A 【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 7．C 【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，判断即可． 【详解】解：观察正方体的表面展开图，根据“Z”字两端是对面，可得： 正确的应是：C． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键． 8．B 【分析】本题考查概率公式，以及用画树状图法求概率．根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可画树状图如下： 由图知，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的有种， 抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的概率为； 故选：B． 9．D 【分析】根据两点之间线段最短、对顶角的性质、绝对值的意义、非负数的性质逐一判断即可． 【详解】解：、两点之间线段最短，原选项是假命题，不符合题意； 、相等的角不一定是对顶角，原选项是假命题，不符合题意； 、若，则，原选项是假命题，不符合题意； 、若，则且，原选项是真命题，符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查两点之间线段最短、对顶角的性质、绝对值的意义、非负数的性质，真假命题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 10．B 【分析】根据尺规作等边三角形的过程逐项判断即可解答. 【详解】解：已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是： ①画射线AM； ②在射线AM上截取AB＝a； ③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C； ④连结AC、BC． △ABC即为所求作的三角形． 故选答案为B． 【点睛】本题考查了尺规作图和等边三角形的性质，解决本题的关键是理解等边三角形的作图过程. 11．且 【分析】本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，据此解答即可． 【详解】解：若代数式有意义， 则， 解得：且． 故答案为：且． 12． 【分析】此题考查了因式分解，利用左边4个图形的面积和等于右边长为和宽为的面积求解即可． 【详解】由拼图可得，左边4个图形的面积和为 右边长方形的面积为 ∵左边4个图形的面积和等于右边长方形的面积 ∴ 故答案为：． 13．垂直 【详解】试题分析：a1与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每4条直线一循环．根据此规律可求a1与a2010的位置关系是垂直． 解：∵a1与后面的直线按垂直、垂直、平行、平行每4条直线一循环． ∴（2010﹣1）÷4=502余1， ∴a1与a2010的位置关系是垂直． 故答案为垂直． 考点：垂线；平行线． 14．②③ 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式判断①；根据图象判断②；求出直线的解析式判断③；利用函数解析式作差法计算即可判断④． 【详解】解：设直线的解析式为，将点代入，得 ，解得， ∴直线的解析式，故①错误； 由图象可知：点M表示甲、乙同时出发0.5小时相遇，故②正确； ∵乙的速度为km/h，km， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为，将点M坐标代入，得， ∴直线的解析式，     ∴甲骑自行车的速度是18千米/小时，故③正确； 当时，解得； 当时，， 当时，解得（舍去）； 当时，解得， ∴经过或小时，甲、乙两人相距5千米．故④不正确； 故答案为：②③． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象交点的计算，解一元一次方程，能读懂函数图象并得到相关信息是解题的关键． 15． 【详解】分析：设NE＝x，由对称的性质和勾股定理，用x分别表示出ON，OE，OM，在直角△OEN中用勾股定理列方程求x，则可求出△OBE的面积. 详解：连接BO. ∠ABE＝∠EBF＝∠FBC＝30°，AE＝1＝EM，BE＝2AE＝2. ∠BNF＝90°，∠NEO＝60°，∠EON＝30°， 设EN＝x，则EO＝2x，ON＝x＝OM， ∴OE＋OM＝2x＋x＝(2＋)x＝1.∴x＝＝2－. ∴ON＝x＝(2－)＝2－3. ∴S＝2S△BOE＝2×(×BE×ON)＝2×[×2×(2－3)]＝4－6. 故答案为. 点睛：翻折的本质是轴对称，所以注意对称点，找到相等的线段和角，结合勾股定理列方程求出相关的线段后求解. 16．（1）；（2），数轴见解析；正整数解为:1、2、3、4 【分析】本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数的运算及解一元一次不等式组： （1）利用实数的混合运算、特殊角的三角函数的运算的运算法则即可求解； （2）先分别解出一元一次不等式的解集，再根据找一元一次不等组的解集的规律得出解集，再利用在数轴上表示解集的方法表示出来即可； 熟练掌握相关运算法则及在数轴上表示解集的方法是解题的关键． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 解不等式得：， 解不等式得：， 把和在数轴上表示为： 原不等式组的解集为：， 原不等式组的正整数解1、2、3、4． 17．见解析 【分析】选择甲：由，是的中点．得，从而得四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论成立；选择乙：连接、，交于，分别证明四边形是平行四边形，四边形是菱形，得，，再根据平行线的性质及垂线定义即可得证． 【详解】证明：选择甲：如图1， ∵，是的中点． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 选择乙：如图，连接、，交于， ∵，是的中点． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了菱形、平行四边形的判定及性质、垂线定义、平行线的性质，熟练掌握菱形、平行四边形的判定及性质是解题的关键． 18．（1）45；（2） 【分析】（1）利用三角形内角和定理求解即可； （2）过点作于点，可得出，在中，，由此可得出答案． 【详解】解：（1） 故答案为：45； （2）解：过点作于点 在中， ∴（） 在中， ∴（） 答：处到处的距离即的长度是 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用-方向角问题，属于基础题目，比较容易掌握． 19．(1)29，28， (2)甲队员表现更好 (3)乙在篮板方面表现的更好 【分析】本题考查了方差，统计表，中位数，加权平均数等知识． （1）根据众数、中位数、方差的定义求解即可； （2）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可； （3）合理即可． 【详解】（1）解：甲的得分从小到大排列：14，20，28，30，32，32， ∴中位数； 乙的得分情况：24，28，24，28，28，27， ∴； 篮板箱线图（即箱线图）中，箱体的长度越大，通常表示数据的方差越大， 可知， 故答案为：29，28，； （2）解：甲：， 乙：， ∵， ∴甲队员表现更好． （3）解：根据篮板的方差，甲的方差大于乙，说明乙在篮板方面表现的更好． （①根据得分或篮板的最大值，甲的最大值均高于乙，所以甲更有爆发力；②根据得分中位数，甲得分的中位数高于乙，说明甲在排除最低分的影响后，甲在大多数比赛中的得分比乙更高；③根据篮板的中位数，乙高于甲，说明乙在大部分场次的篮板表现更好等．分析合理即可．） 20．(1)等腰三角形 (2)的最小值为 (3)点Q的坐标为或或或 【分析】本题考查了两点间的距离公式，等腰三角形的定义，解题的关键是熟练掌握公式，注意进行分类讨论． （1）分别求出、、的长，然后再根据勾股定理的逆定理进行解答即可； （2）作点F关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，根据轴对称的性质可知：，根据两点之间线段最短，可知此时最小，即最小，求出最小值即可； （3）分三种情况进行讨论，当时，当时，当时，分别列出方程，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵、、， ∴， ， ， ∵， ∴为等腰三角形； （2）解：作点F关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵点F与点关于x轴对称， ∴点， ∴， 即的最小值为； （3）解：设点Q的坐标为， 当时，， 解得：， 此时点Q的坐标为； 当时，， 解得：或（舍去）， 此时点Q的坐标为； 当时，， 解得：或， 此时点Q的坐标为或； 综上分析可知，点Q的坐标为或或或． 21．(1)见解析 (2)10 (3)50 【分析】（1）根据点D是的中点，点O是的中点，得到，再根据即可得到，证得为的切线； （2）在直角三角形中，根据求出，根据勾股定理求出，在直角三角形中，根据求出，再根据勾股定理即可求出； （3）连接，根据角平分线的性质和圆周角定理可以求出，再证明，根据相似比可以得到，即可求得答案． 【详解】（1）解：如下图所示，连接，    ∵点D是的中点，点O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴为的切线； （2）解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴ ∴， ∴, ∴， ∴的直径为10． （3）解：如下图所示，连接， ∵是的平分线，， ∴，    ∴, ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的性质、切线的性质、三角函数和相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识． 22．(1)当时，点B在的垂直平分线上 (2)当时，的长度等于 (3)存在，当时，使得的面积等于 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1)先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； (2)先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； (3)先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ∵B在的垂直平分线上， ， ， 解得， ∴当时，点B在的垂直平分线上； （2）∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得， ， 即 解得，， 舍去 ∴当时，的长度等于； （3）由题意得，， 的面积等于， ， ， 化简得 或 舍去， ∴当时，使得的面积等于． 23．(1) (2)存在； (3) (4)或 (5)存在；，， (6) 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）过点作于点，勾股定理求得，等面积法求得，进而求得点的坐标，根据题意得出到的距离为，过点作，且，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交于点，构造全等三角形得出点的坐标，设直线的解析式为，代入，求得解析式为，进而联立抛物线解析式，即可求解； （5）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标； （6）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，分类讨论与，由两点中点与对称轴的位置关系求解． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为； （4）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴ ∴,， ∵， ∴，即到的距离为， ∴， ∵ ∴ ∵直线的解析式为， ∴ 解得： ∴， ∵， ∴到的距离为， 由（3）可得的最大面积为小于 ∴点在直线的上方， 过点作，且，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交于点， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴即 依题意，在过点且平行于的直线上， 设直线的解析式为，代入 ∴， 解得：， ∴ 联立 消去得， 解得： 即点的横坐标为或； （5）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． （6）抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，， ， 即， 解得， ， ， 解得， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，一次函数的几何综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $