江苏省南通中学2025-2026学年高二上学期周测数学试题 11.20

南通中学高二数学小练11.20 一、单选题 1.如图，在三棱锥O-ABC中，D是BC的中点，若OA=a,OB=b,OC=c,则AD等于(） A.-a+b+c B.a+b-c C.-a+lB+lc D. 【答案】C 【分析】由4AD=OD-OA及OD=亿+C),求解即可 【详解】因为D是BC的中点， 所以0D=O5+0C=号6+⊙， 所以4D=6而-o丽6+8-a=-a+5+8 故选：C 2.两条直线！：产上=1和1，：兰=1在同一直角坐标系中的图象可以是() a b b a 【答案】A 【分析】根据直线的截距式方程，可得直线的横、纵截距分别为α，-b,直线2的横、纵截距分别为b,-α， 逐项根据截距的正负判断即可 【详解】由截距式方程可得直线l的横、纵截距分别为α，-b,直线，的横、纵截距分别为b,-a, 选项A,由的图象可得a<0.b>0,可得直线l的截距均为正数，故正确； 试卷第1页，共13页 选项B,由的图象可得α<0.b>0,可得直线l,的截距均为正数，由图象不对应，故错误： 选项C,由的图象可得a<0.b<0,可得直线2的横截距均为负数，纵截距为正数，由图象不对应，故错 误： 选项D,由l的图象可得α>0，b>0,可得直线，的横截距为正数，纵截距为负数，由图象不对应，故错误 故选：A. 3.已知直线1：2x+(m+1)y+21-6=0,:x+3y-2=0,则m=-3是4/112的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】c 【分析】根据(/，或重合，找到平行的充要条件，再根据充分、必要条件定义判断. 【详解】当1/1，或重合时，2×3=m+1),解得m=-3或m=2, 当m=-3时，1：x-y-6=0,12:-3x+3y-2=0,此时4/12， 当m=2时，1：2x+3y-2=0,/2:2x+3y-2=0,此时重合， 所以m=-3是1l的充要条件. 故选：C 4.方程V(x-4)2+y+Vx+4)2+y2=10的化简结果是() A.+少1 B.+=1 53 35 C. D.+-1 259 925 【答案】C 【分析】由方程的几何意义及椭圆定义得出结果即可， 【详解】方程的几何意义为动点(x,y)到定点(-4,0)和(4,0)的距离和为10，并且10>8， 所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为2a的椭圆，所以a=5,c=4, 根据=a心-c2=9,所以椭圆方程为+义-1. 259 故选：C 5.如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆 试卷第2页，共13页 的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：己知曲线C的方程为x2+4y2=4,其左、右焦点分别是乃， F,直线1与椭圆C切于点P,且|P=1,过点P且与直线I垂直的直线'与椭圆长轴交于点M,则 FM:IFM= 切线一 法线 F M A.2:V5 B.1:√2 C.1:3 D.1:√5 【答案】c SPMF FM sn KPM 【详解】由椭圆的光学性质得到直线'平分角P，因为 PE FM PM sin F PM PF 由P=1,P+PF=4得到PF=3,故FM FM=1:3 故答案为C. 6.已知椭圆c:+二=1的左、右焦点分别为R,B,点P是椭圆c上的动点，m=P,n=P,则 1612 4+”的最小值为（） nin 9 A. B. 5 C. 20-3√7 D. 20+3V万 4 9 9 【答案】A 【分析】根据椭圆定义得m+=8,再利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为点P是椭圆C:+二=1上的动点，m=P,n=P,所以m+n=8, 1612 所以4m+n.4+1-141） -5+2 4、n9 n m 当且仅当贸是即m号a=5时，等号成立 n m 3= 故选：A 7.已知点P是椭圆二+上=1上的任意一点，过点P作圆C:+(-1少=1的切线，设其中一个切点为M, 129 则PM的取值范围为() 试卷第3页，共13页 A.[V54 B.[V5,i5 c.[5,4 D.「V3,2W3 【答案】B 【分析】设P(x),得到PM=PC-Mc=+3)+15,利用椭圆的范围求解 【详解】解：设P(x,y), PM=PCP-MC=x2+y-1)-1, 1Sx12+0--1. =-3v+3)9+15, 因为-3≤y≤3， 所以3≤PM≤15，即V3≤PMsM5, 故选：B 8.如图，在边长为2正方体ABCD-ABCD中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足B,P⊥DE, 则点B和满足条件的所有点P构成的图形的周长是() D B B A.2W2+2W5B.3V5+2V5 C.4W2+25 D.3√2+4√5 【答案】B 【分析】以点D为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系过点B,作与DE垂直的平面AB,并由 坐标法证明，从而得出点B,和满足条件的所有点P构成的图形为梯形AB,求出其各边的长，即可得出 周长 【详解】边长为2正方体ABCD-ABCD中如图所示，建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B(2,2,2),D(0,0,2),E(1,2,0) 试卷第4页，共13页 所以DE=(1,2,-2),AB=(0,2,2),因为AB·DE=0,所以AB⊥DE 所以AB⊥DE. 在棱CC上取中点N,则N(0,2,1),BN=(-2,0,-1). 因为BNDE=0,所以BN⊥DE,所以B,N⊥D,E. 取棱cD的中点M,则M01.0)连接0N,瓜-(0L)=西，所以瓜/a正。 所以A,M,N,B,四点共面： 因为BNOAB=B,BN,ABC平面AMNB,所以DE⊥平面AMNB. 所以点B,和满足条件的所有点P构成的图形为梯形AB AM=VAD+DM=5,AB=AB =22,MN=MN=,BN=BN=5 梯形AMWB,的周长为3√2+2√5 故选：B. Z D C By M C E A B 二、多选题 9.己知椭圆c:+二=1的左、右焦点分别为R,乃，点AL,1),点P是椭圆C上的一个动点，则() 32 A.AF⊥耳E B.AR+AF <2V3 C.当点P不在x轴上时，从点P向x轴作垂线PP,P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为 号+2y-10w20) D.P+AP的最大值为23-1 试卷第5页，共13页 【答案】ABC 【分析】根据直线A?,方程、两点间距离公式可求得AB正确：利用相关点法可求得M点轨迹，知C正确； 根据椭圆定义将问题转化为求解AP-PF的最大值，根据三角形三边关系可求得结果，知D错误 【详解】对于A,由椭圆方程得：耳(-1,0)，耳(1,0)，A所在直线为x=1, AE⊥耳耳，A正确； 对于B,:A=V22+1=V5,AE=V02+IP=1, :AF+AE=V5+1<2W5,B正确： 对于C,设P(K,)y。≠0)，M(x,y),则P'(x,0), [x=X0 即。P(2y),又P在椭圆c上 =2y1 2 号+2-10≠o),即M点轨过为号2=1020)，C正确： 对于D,由椭圆定义知：P+PE引=23，P+Ar=A-P到+23， :AP-PF≤AE引（当且仅当A,耳，P三点共线时取等号，即P位于图中点Q的位置时取等号)， (P+AP)=AR+2W3=1+2W5,D错误 故选：ABC 10.以下四个命题表述正确的是() A.直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒过定点(-3，-3) B.圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线1：x-y+V2=0的距离都等于1 C.曲线C:x2+y2+2x=0与曲线C:x2+y2-4x-8y+m=0恰有三条公切线，则m=4 D.己知圆C:x2+y2=4,点P为直线+号=1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、P8,A、B为 2 切点，则直线AB经过定点(1,2) 试卷第6页，共13页 【答案】BCD 【分析】对于选项A:将直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)整理为(x+3)+(3x+4y-3)=0,则有 [x+3=0 3x十4y-3=0'解出这个方程组的解，这个解构成的点就是直线恒过的定点：对于选项B:求出圆心到 直线的距离，这个距离与半径比较得到所求；对于选项C:两圆有三条公切线，则有两个圆心间的距离等 于两个圆的半径和，求解即可；对于选项D:设Pm,),由点P为直线+二=1上一动点，将P(m,m代入 42 直线方程整理后得到n=2),求出以OP为直径的圆的方程，这个圆的方程和圆C：+y广=4相减得 到直线AB的方程，将=2-代入直线AB的方程得m+2-孕y=4,再求出直线恒过的定点即可 2 【详解】对于选项A:将直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)整理为(x+3)L+(3x+4y-3)=0,则有 [x+3=0 x=-3 3x+4y-3=0解得 y=3, 直线恒过定点(3,3)，则选项A错误： 对于选项B:圆x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径r=2, 圆心到直线的距离为d =1, √2 ∴.圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x-y+√2=0的距离都等于1.则选项B正确： 对于选项C:曲线C:x2+y2+2x=0的圆心为C(-1,0),半径1=1， 曲线C2:x2+y2-4x-8y+l=0的圆心为C2(2,4),半径1=√20-m, 曲线C:x2+y2+2x=0与曲线C2:x2+y2-4x-8y+m=0恰有三条公切线， “CC,=1+52,·V(-1-2)2+(0-4)2=1+V20-m,m=4,则选项C正确： 对于选项D:设P,川，~点P为直线片上一动点，学+台1，即=2 2, 4 ，即x2+少2-m-y=0, 圆C:x2+y2=4和x2+y2-mx-y=0,这两个圆相减得直线AB的方程为mx+炒=4， 代入1=2-受有m+0-分=4，整理得之+2-利=0， 2 试卷第7页，共13页 设 x-g=0 x=1 2 解得 即直线AB经过定点(1,2)，则选项D正确 2y-4=0 故选：BCD 11.在长方体ABCD-ABCD中，己知AB=2√5，BC=AA1=2,M,N分别为BC,AB1的中点，则() A.异面直线BN与AC所成角的余弦值为 37 14 B.若点P为长方形ABCD内一点（包含边界），且DP/I平面BMN,则DP长的最小值为√5 C.三棱锥B-BMN的外接球的半径为√2 D.过点D,M,N的平面截长方体ABCD-AB,CD.所得的截面周长为√31+V13+2 【答案】ACD 【分析】作出异面直线的平面角利用余弦定理计算可得A;根据题意当DP⊥EF时，DP的长取得最小值， 计算可判断B,找出球心位置计算得出外接球半径即可得C;建立空间直角坐标系求得截面各点的坐标，求 得各线段长度可得D. 【详解】对于A.连接AC,NI1AC1IIAC,.∠BM即为直线BN与AC所成角或其补角， 在aBMN中，根据余弦定理得cos∠BMM=BN+MW2-BM 2BN.MN 又BM-V2+p-5.w-2+2-2BN-の+2-寸， 代入求得cos∠BNM= 3√7 14，A正确： 对于B.如图①， D D N 01 B ② ③ 试卷第8页，共13页 取AD的中点E,取CD的中点F,连接EF,DE,DF, 易知平面DEFI/平面BMN,又点P为长方形ABCD内一点，所以点P的运动轨迹为线段EF, 在VD,EF中，过点D作DP⊥EF,此时DP取得最小值， 由题意可知，DE=√5，DF=√万，EF=2, sin∠DFE=sin∠BNMM 2W7,DP=Asn∠DE= V19 2 2,B错误： 对于C.如图②，取MN的中点O,连接B,O,则ON=OM=OB, 过点Q作O0/B8,且O0-号BA-1,:OM为三棱锥B-BN外接球的半径， 在R8w,N=2R=0MO0-婴反C正痛： 对于D.由平面AAD,D//平面BBC,C得，过点D,M,N的平面必与AA,CC有交点， 设过点D,M,N的平面与平面AAD,D和平面BB,CC分别交于DO,TM, .Dg//TM,同理可得DTI/QN, 过点D,M,N的平面截长方体ABCD-ABCD所得的截面图形为五边形DTMNO, 如图③，以D为坐标原点，以DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 设A0=m,CT=n,则D(0,0,0),2(2,0,m,T0,25,n,M1,25,2N么，6,2)： ∴QN=（0,V3,2-m),TM=1,0,2-nD0=2,0,m): DT=(0.2 .n),DT /ON,DO //TM,. m=2(2-m, n=2(2-m） ￥8w=-g-2-图-m-,w+f2 w-j-周-瓦a-目-aw2 所以五边形DTMNO的周长为DQ+DT+QN+TM+MN=2+√13+√31，即D正确. 故选：ACD 试卷第9页，共13页 【点睛】关键点点睛：本题关键在于建立空间直角坐标系由向量共面求出对应截面各点的坐标，进而求得 截面各边长可得结论 三、填空题 12.直线3x+4y+c=0与圆x2+2=4相交于4，B两点，且OA+0丽=OA-0丽(0为坐标原点)，则 C= 【答案】±5√2 【分析】由|OA+OBOA-OB结合向量加减法的意义可得VAOB为等腰直角三角形，再由点到直线距离 及垂径定理求解即可 【详解】因|OA+OBOA-OB1,由向量加法和减法的几何意义知， 以线段OA,OB为一组邻边的平行四边形两条对角线长相等， 从而这个平行四边形是矩形，即OA1O死，又104-081上2，则VAOB是等腰直角三角形， 所以AB=√22+2=2√5，从而0到直线3x+4y+c=0的距离为√2-√22=√2， Ic=c1=√5，得c=52 所以3+平 5 故答案为：±5√5 13.如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底 面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线 是函数y=2sin x一个周期的图像，且其对应的椭圆曲线的离心率为 6 B B 答案105 【分析】由正弦型函数的最值和周期可得圆锥的高和底面半径，根据题意可得椭圆的长轴和短轴，即可得 离心率 【详解】因为函数y=2m5x的值域为[-2]，最小正周期T- T= 2π=4N3m 6 6 可知圆柱的高h=AB=4, 试卷第10页，共13页南通中学高二数学小练11.20 一、单选题 1.如图，在三棱锥O-ABC中，D是BC的中点，若OA=a,OB=i,OC=C,则AD等于() A.-a+b+c B.a+b-c C.-a+lB+1c D.-a-1i-1 22 22 2.两条直线1：-￥=1和1，：-上=1在同一直角坐标系中的图象可以是（） a b b a 水… D 3.已知直线Z:2x+(（m+1)y+2m-6=0,Z,:x+3y-2=0,则m=-3是l/10,的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.方程Vx-4)2+y+V(x+4)+y2=10的化简结果是() A.￥+=1 B.+=1 53 35 25+9=1 D.2 9+25=1 5.如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆 的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为x2+4y2=4,其左、右焦点分别是耳， F,直线1与椭圆C切于点P,且|P耳=1，过点P且与直线1垂直的直线'与椭圆长轴交于点M,则 IFMEEME= 试卷第1页，共4页 切线一一 P 法线 六 A.V2:5 B.1:√2 C.1:3 D.1:V5 6.已知椭圆c:+y =1的左、右焦点分别为耳，F,点P是椭圆C上的动点，=P,n=P引，则 1612 4+”的最小值为() mn 9 A. c.20-37 d, 20+3√7 9 9 7.已知点P是椭圆 ,y2 =1上的任意一点，过点P作圆C:x2+(-)=1的切线，设其中一个切点为M, 129 则PM的取值范围为() A.[54 B.「5,5 c.[「5,4] D.「5,25 8.如图，在边长为2正方体ABCD-ABC1D中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足B,P⊥DE, 则点B和满足条件的所有点P构成的图形的周长是() A.2√5+25 B.3v2+2W5 C.4W2+2W5 D.3W2+45 二、多选题 9.己知椭圆c:x+y 3T2 =1的左、右焦点分别为耳，，点A(1,1),点P是椭圆C上的一个动点，则() A.AF⊥F B.AF+AF <2V3 C.当点P不在x轴上时，从点P向x轴作垂线PP,P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为 +2y2=10y≠0) x2 试卷第2页，共4页 D.P+AP的最大值为2W3-1 10.以下四个命题表述正确的是() A.直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒过定点(-3，-3) B.圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线1：x-y+√2=0的距离都等于1 C.曲线C:x2+y2+2x=0与曲线C2:x2+y2-4x-8y+m=0恰有三条公切线，则=4 D.已知圆C:x2+y2=4,点P为直线+二=1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB,A、B为 42 切点，则直线AB经过定点(1,2) 11.在长方体ABCD-ABCD中，已知AB=2N5,BC=AA1=2,M,N分别为BCAB的中点，则() D A.异面直线BN与AC所成角的余弦值为3厅 14 B.若点P为长方形ABCD内一点（包含边界），且DP/I平面BMN,则DP长的最小值为√5 C.三棱锥B-BMN的外接球的半径为√2 D.过点D,M,N的平面截长方体ABCD-ABCD.所得的截面周长为√31+√13+2 三、填空题 12.直线3x+4y+c=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点，且OA+O丽=OA-O丽(0为坐标原点)，则 C= 13.如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底 面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线 是函数y=2sin 3 一个周期的图像，且其对应的椭圆曲线的离心率为」 6 B B 试卷第3页，共4页 14.如图，已知菱形4BCD,AB=2∠ADC-写沿直线4C将ACD翻折成ACS,,P分别为S4亚的 中点，S1与平面ABC所成角的正弦值为Y6,M为线段AC上一点（含端点），则AB与平面BRM所成角 3 的正弦值的最大值为 试卷第4页，共4页