江苏省南通中学2025-2026学年高二上学期周测数学试题 10.30

南通中学高二数学小练10.30 一、单选题 1.己知复数z满足1+iz=z-2i,则日=（) A.2 B. 5 C.vio 2 D.5 2.已知直线l:mx+y+3=0和直线n:3m2x+(m-2)y+1=0,则“m=-1”是“l∥n”的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.己知圆C的方程为x2+y2-2x+4y+5m2-3+3=0,若点1，-2m)在圆外，则m的取值范围是() A.(-m,1)U(4,+0) B.(1,+w) C.1,4) D.(4,+0) 4.已知C(0,3),A,B两点都在直线y=c+1上，且A,B两点横坐标之差为2，则VABC的面积为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.己知直线l:x+y+4=0与直线2：x-y-6-4=0交于点P(,%),则x+6的最大值为() A.4 B.8 C.32 D.64 6.设直线1：x+y-1=0,一束光线从原点O出发沿射线y=x(x≥0)向直线1射出，经1反射 后与x轴交于点M,再次经x轴反射后与y轴交于点N.若M= 2,则k的值为() 6 3 A. B.3 C. D. 7.三棱柱OAB-OAB中，平面OBB,O11平面OAB,且∠OOB=60°，∠AOB=90°，OB=OO,=2,OA=V3 则异面直线AB与OA所成角的余弦值为(). A.3 B.V6 D. 3 3 c.i 7 8.已知半圆C:x2+y2=1(y≥0)，A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴 垂直，点P在直线m上，纵坐标为t,若在半圆C上存在点Q使∠BPQ=了，则t的取值范国是() 4F29a面 B【i.o0ua21 试卷第1页，共3页 c..U D.t-25. 3 二、多选题 9.己知直线：y=+k+1,下列说法正确的是() A.直线1过定点(1,1) B.当k=1时，1关于x轴对称的直线为x+y+2=0 C.点P(3,-1)到直线l的最大距离为25 D.与两坐标轴围成的三角形面积为2的直线1有4条 10.己知VABC中，A(-1,2),B(1,0),C(3,4),则关于VABC下列说法中正确的有() A.某一边上的中线所在直线的方程为y=2 B.某一条角平分线所在直线的方程为y=2 C.某一边上的高所在直线的方程为2x+y=0 D.某一条中位线所在直线的方程为2x-y+1=0 11.己知P、Q分别为棱长为2的正方体ABCD-ABCD棱DD、BC,上的动点，则下列说法正确的是() A.线段PQ长度的最小值为2 B.三棱锥P-ABC,的外接球体积的最大值为4√3π C.直线A2与直线BC所成角的余弦值的范围为 0, 迈 2 D.当P、Q为中点时，平面马PQ我正方体ABCD-4ACA所形成的图形的面积为号 三、填空题 12.己知P是直线1：x+y-1=0上一点，M,N分别是圆C:(x-1)+(y-8)=1和C2:(x-5)}+6-5)}=9上 的动点，则PM+PN的最小值是」 13.己知VABC的顶点A(1,2),AB边上的中线CM所在直线的方程为x+2y-1=0,∠ABC的平分线BH所在直 线的方程为y=x.则点C的坐标为 试卷第2页，共3页 14.如图，在直三棱柱ABC-AB,C1中，AB=AC=√5，BC=2BB,=2,P,2分别为B,C,AB的中点. 股点C到直线CO的距离为d。点C到平面CPQ的距离为4，则的值 C 试卷第3页，共3页南通中学高二数学小练10.30 一、单选题 1.已知复数z满足1+iz=z-2i,则日=（) A.2 5 B. 2 C.vio D.5 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据模长公式求解 【详解】由1+z=:-2i可得：=1+2i0+21+1-1+3到 1-i(1-01+1)2 所以 故选：C 2.己知直线l:mx+y+3=0和直线n:3m2x+(m-2)y+1=0,则“m=-1”是“1∥n”的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线平行求得，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案 【详解】当l/m时，(-2)=1·32，解得m=0或m=-1, 当m=0时，两直线分别为y=-3,y= 2,符合题意， 当m=-1时，两直线分别为-x+y+3=0,3x-3y+1=0符合题意， 所以“m=-1”是“l∥n的充分不必要条件 故选：B 3.已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y+52-3m+3=0,若点1，-2m)在圆外，则m的取值范围是（) A.(-n,1)U(4,+o) B.(1,+0) C.(L4) D.(4,+m) 【答案】D 【分析】先将圆C的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解 【详解】由题意得，圆C的标准方程为(x-m)2+(y+2m)2=3-3, 故3m-3>0,.>1, 试卷第1页，共13页 又点1，-2m)在圆外，所以1-m)2+(-2m+22>3-3, .m2-5m+4>0,m>4或m<1, 所以m的取值范围为(4，+∞). 故选：D 4.已知C(0,3),A,B两点都在直线y=+1上，且A,B两点横坐标之差为2，则VABC的面积为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】利用两点间距离公式及点到直线距离公式计算即得， 【详解】设A(,a+1),B(x,,+1),则-xF2,AB卡√G-x}+(低-=21+2， 显然点C(0,)不在直线：-y+1=0上，则vABC边4B上的高h=3+1- Vk2+1Vk2+1 所以VABC的面积ScAB到h=2. 故选：B 5.已知直线：x+y+4=0与直线2：x-y-6-4=0交于点P(,%),则x+y的最大值为() A.4 B.8 C.32 D.64 【答案】D 【分析】首先根据已知条件得到直线l恒过定点B(0,4),直线2恒过定点A(6,-4),且⊥1，根据交点P(x,) 得到点P在以AB为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值. 【详解】由题知：直线4：x+y+4=0恒过定点B(0,4) 直线2：x-w-6-4m=0化简为：x-my+4)-6=0,当y=-4时，x=6,直线恒过点A(6,-4) 当m=0时，直线l2的斜率不存在，直线的斜率k=0,则1⊥1，. 当m20时名=m,名后店装=-山，则以4 综上：直线l恒过定点B(0,4),直线l2恒过定点A(6,-4),且1⊥12. 因为直线与直线l交于点P(x。,y), 所以点P在以AB为直径的圆上，线段AB的中点坐标为C(3,-4), 且AB=6,则其轨迹方程为(x-3)+(y+4)=9(除点(0,4)外)，圆的半径r=3, 试卷第2页，共13页 因为x+表示圆上的点到原点距离的平方，设d=√x好+哈， 则dx=r+OC=8,所以x+y的最大值为64. 故选：D 6.设直线1：x+y-1=0,一束光线从原点O出发沿射线y=x(x≥0)向直线1射出，经1反射 后与x轴交于点M,再次经x轴反射后与y轴交于点N,若M= 则k的值为() 6 A.2 B. 2 3 c. D. 【答案】B 【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求O关于直线I的对称点A,后求直线AP,可得M、N两点坐 标，进而由MW= 3可得k 6 【详解】 D 如图，设点O关于直线1的对称点为A($,乃)， 试卷第3页，共13页 生+4-1=0 22 则 x=1 得 即A(1,1), 立x(-1)=-1 ys1’ 由题意知y=kx(x≥0)与直线l不平行，故k≠-1， 1 x= y=kx 由 +-1=0得1，即P工 气k+1'k+1 y=k中打 k 11 故直线AP的斜率为=+1 1 k+1 1, 直线的直线方程为：-1-)。 令y=0得x=1-k,故M(1-k,0), 令x=0得y=1-会故由对称性可得Q是刂： 剑得a-+任品即e+-+8 6 解得k+13,得k=或上=} 3 2 若=3 ,则第二次反射后光线不会与y轴相交，故不符合条件. 故： 故选：B. 7.三棱柱OAB-OAB中，平面OBB,O⊥平面OAB,且∠OOB=60°，∠AOB=90°，OB=OO,=2,OA=√3， 则异面直线AB与OA所成角的余弦值为(). A.」 3 B.6 3 3 1 c. 1 D. 【答案】D 【分析】以O为坐标原点，OA,OB所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求 解即可. 试卷第4页，共13页 【详解】解：以O为坐标原点，OA,OB所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， B B 则A(5,0,0),B(0,2,0),A(5,1√5)，O(0,1,V3), 所以4B=（5,1,-),OA=(5,-1,-5), 设所求的角为&， 则cosa= le9d-1-3-1+3_1 |4B1川QAV7.V万=7' 即异面直线AB与OA所成角的余弦值为 故答案为：D 8.已知半圆C:x2+y2=1(y≥0)，A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴 垂直，点P在直线m上，纵坐标为，若在半圆C上存在点Q使∠BPQ-了，则t的取值范国是（) A,230uo, t-vi.02 C.[-v3 【答案】A 【分析】根据题意，设PQ与x轴交于点分析面得在Rt△PBT中，B-Y3P-,分P在x抽D 3 方、下方和x轴上三种情况讨论，分析BI的最值，即可得t的范围，综合可得答案. 【详解】根据题意，设PQ与x轴交于点T,则PB=1, 由于BP与x轴垂直，且∠BPO-行，则在R△PB7中， T=1PB-53M. 3 3 当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q,PT与半圆相切时，BT有最大值3，此时t有最大值√3， 试卷第5页，共13页 当P在x轴下方时，当Q与A重合时，BT有最大值2,4有最大值25，则1取得最小值-2 3 3 t=0时，P与B重合，不符合题意， 则t的取值范围为灯-2y5,0)(051: 3 故选A. 17 【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于中档题 二、多选题 9.已知直线：y=x+k+1,下列说法正确的是() A.直线1过定点(1,1) B.当k=1时，1关于x轴对称的直线为x+y+2=0 C.点P(3,-1)到直线1的最大距离为25 D.与两坐标轴围成的三角形面积为2的直线1有4条 【答案】BC 【分析】把直线方程整理成点斜式，令k的系数等于零，可求出直线所过的定点M,即可判断A;在直线 上取两点，求出这两点关于x轴对称的点，即可求出关于x轴对称直线的方程，即可判断B;结合A选项， 当直线MP⊥l时，点P到直线1的距离最大，即可判断C:分别求出直线与坐标轴的交点坐标，再结合题 意即可判断D. 详解】选项A:由直骏=红+上+山得-1k+,今0解得》 x=-1 y1, 所以直线I过定点 M(-1,1),故A错误： 选项B:当k=1时，直线上y=x+2,取两点A(0,2),B(-2,0),分别关于x轴对称的点为A(0,-2),B'(-2,0), 所以1关于x轴对称直线为x+y+2=0,故B正确： 选项C:由A选项可知直线1过定点M(-1,1),当直线MP⊥1时，点P到直线1的距离最大，最大距离为 P=V(-1-3)'+(1+1)2=25,故C正确： 试卷第6页，共13页 选项D:由直线1：y=x+k+1,令x=0,得y=k+1,当k=0时，y=1,此时直线与x轴没交点，所以k≠0， 令y=0,得x= 依题意： +2,解行表=1成3上2后。所以清足条样的直线有3 条，故D错误； 故选：BC 10.己知VABC中，A(-1,2),B(1,0),C(3,4),则关于VABC下列说法中正确的有() A.某一边上的中线所在直线的方程为y=2 B.某一条角平分线所在直线的方程为y=2 C.某一边上的高所在直线的方程为2x+y=0 D.某一条中位线所在直线的方程为2x-y+1=0 【答案】AD 【分析】求出BC边上的中线所在直线的方程可判断A;由A知，y=2只能为∠A的角平分线，由点到直 线的距离可判断B:求出直线AC的高所在直线的方程可判断C:求出线段AC的中点为F(1,3),线段AB的 中点D(0,1),即直线FD方程可判断D 【详解】对于A,线段BC的中点为(2,2)，又A(-1,2), 所以BC边上的中线所在直线的方程为y=2,故A正确： 对于B,由A知，y=2只能为∠A的角平分线，假设y=2为∠A的角平分线， 在y=2上任取一点M(a,2), 直线AB的方程为：y=-x+1,即x+y-1=0。 直线4C的方程为：-2-+).即x-2+5=0. 则M(a2)到直线AB的距离为：d=a+2-_+ √2 √2 则M(a,2)到直线Ac的距离为：4-a-4+5_2+ √5 5, 因为d≠d2,故B错误： 对于c因为k写局分品1,2， 4-21 而直线AC的高所在直线的方程为：y=-2(x-1)=-2x+2,故C错误； 对于D,线段BC的中点为E(2,2),线段AC的中点为F(1,3), 试卷第7页，共13页 线段4B的中点为D0).物。2。 直线FD的方程为：y-1=2x,即2x-y+1=0,所以D正确； 故选：AD 11.已知P、Q分别为棱长为2的正方体ABCD-ABCD棱DD、BC上的动点，则下列说法正确的是() A.线段PQ长度的最小值为2 B.三棱锥P-ABC的外接球体积的最大值为4V3π C.直线A2与直线BC所成角的余弦值的范围为 D.当P2为中点时，平面B,P吧截正方体ABCD-ABGA所形成的图形的面积为？ 【答案】ABC 【分析】先建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标；根据空间两点间距离公式可判断选项A;先求出 该正方体外接球的体积：再根据点P为棱DD上的动点，点P在正方体外接球内运动，即可确定三棱锥 P-ABC外接球体积的最大值，可判断选项B:利用空间直线与直线所成角的向量计算方法表示出直线AQ 与直线BC所成角的余弦值，再分两种情况，求出每种情况下的取值范围即可判断选项C;先根据确定平面 的依据判断截面形状，进而求出面积即可判断选项D 【详解】以点A为坐标原点，AD、AB、AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如 图所示： A B 因为正方体ABCD-ABCD的棱长为2. 则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(2,0,0),A(0,0,2),B(0,2,2),C1(2,2,2),D(2,0,2) 所以DD=(0,0,2),BC=(2,0,2),AC=(2,2,0),AB=(0,2,-2) 试卷第8页，共13页 因为P、Q分别为棱DD,、BC1上的动点，令DP=DD(0≤1≤1)，B0=BC(0≤u≤1) 所以P(2,0,22),2(24,2,24). 对于选项A:因为P%=V(2-2)+(2-0)2+(2-22)2=2Vu-1)2+(u-2)+1≥2，当且仅当元==1时， 等号成立 所以线段PQ长度的最小值为2，故选项A正确： 对于选项B:由正方体的性质可得三角形ABC,为边长为2W2的正三角形，BD=V22+22+2-2V3 所以该正方体的外接球球心O为正方体钓中心，球半径为R=B-5,外接球体积的为青=45 2 因为点P为棱DD上的动点， 所以点P在正方体外接球内运动， 故正方体外接球的体积就是三棱锥P-ABC,外接球体积的最大值，为4√3π，此时点P与点D(或点D) 重合故选项B正确： 对于选项C:因为A2=(2,2,24-2),BC=(2,0,0), AQ BC Au 所以直线AQ与直线BC所成角的余弦值为 40BC 2×√(2u)}2+22+(2-2}√2d-2μ+2 当4=0时 AO.BC =0 40 BC A0.BC 1 1 当0<≤1时，有二21 40 BC 2-2+3 1 2+ 因为当1≥1时 11)2 2 则0< 40.BC 4Q BC 2 所以直线A2与直线BC所成角的余弦值的范围为O, 故选项C正确： 2 对于选项D: 试卷第9页，共13页 A B B D 取AD中点M,连接PM,PC,B,C,BM. 因为正方体棱长为2 PM=2,PC=V5,BM =V5,B.c=22 当P、Q为中点时，B,C∥PM, 所以平面BPQ截正方体ABCD-ABCD所形成的图形为梯形PMB,C 因为在等腰梯形PMB,C中，梯形的高为 2W2-√2 32 2 2 所以截面面积为×(5+2V2)×35_9 故选项D错误 22 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题考查空间线线、线面的位置关系，几何体外接球及截面问题，属于难题解题关 键在于：建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标，利用对于空间两点间距离公式和直线与直线所成角 的向量计算方法可判断选项A、C:对于选项B,关键在于根据点P为棱DD上的动点判断点P在正方体外 接球内运动，正方体外接球的体积就是三棱锥P-ABC的外接球体积的最大值；对于选项D,关键在于根 据确定平面的依据判断截面形状， 三、填空题 12.已知P是直线1：x+y-1=0上一点，M,N分别是圆C:(x-1)+(y-8)=1和C2:(x-5)'+(y-5)=9上 的动点，则PM+PW的最小值是 【答案】9 【分析】结合点关于直线的对称可知PC+PC,的最小值，再根据圆上的点到直线距离的最值可得 PM+PW的最小值 试卷第10页，共13页