江苏省海门中学2025-2026学年高二上学期周测数学试题（10.17）

海门中学高二数学每周一练（10.17) 一、单选题 1.直线：y=十b与直线2：y=bx十a(b≠0，ab)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是() 【答案】D 【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断. 【详解】对B,12斜率为正，在y轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错 当a,b>0时，I和l,斜率均为正，且截距均为正仅D选项满足. 故选：D 2.已知圆C:x2+y2+2x+8y+1=0与圆C,:x2+y2-4x-4y-1=0,则圆C,与C2的位置关系是() A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 【答案】C 【分析】先将圆C,与C,转化成标准形式，分析两圆的圆心和半径，求出圆心距，然后利用圆与圆的位置关 系进行判断即可 【详解】根据题意，圆C:x2+y2+2x+8y+1=0,即（x+1)2+(y+4}=16,其圆心为（-1，-4)， 半径R=4,圆(x-2}+(y-22=9，其圆心为(2,2)，半径r=3, 两圆的圆心距|CC,=V9+36=3W5,有R-<CC,<R+r,则两圆外切， 故选：C 3.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为 几何问题加以解决，如：√(x-a)+(y-b)可以转化为点(x,y)到点(a,b)的距离，则Vx2+1+√x2-4x+8的 最小值为() 试卷第1页，共16页 A.3 B.2√2+1 C.25 D.√13 【答案】D 【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案 【详解】x2+1+Vx2-4x+8=Vx-02+(0-12+Vx-2+(0-2y, 可以看作点P(x,0)到点A(0,1),B(2,2)的距离之和， 作点A关于x轴的对称点A'(0,-1),显然当B,P,A三点共线时，取到最小值， 最小值为B,A'间的距离√22+32=√3 故选：D 4.一条光线从点(-2，-3)射出，经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)=1相切，则反射光线所在直线的斜率为 () A. 或5 3 B. 3或-2 3 2 3 4或、4 4 5 n 3 【答案】D 【详解】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，-3)，设反射光线所在直线的斜率为k,则反 射光线所在直线方程为：y+3=k(x-2),即：kx-y-2k-3=0 又因为光线与圆相切，+3)+-2-1所以，上3欢-22--1， Vk2+1 整理：12必+25+12=0，解得：房=-子或k=故选D 考点：1、圆的标准方程：2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系 5.若圆C:(x-1)2+(y-3)2=8上存在两个点到直线：x+y+=0的距离为√2，则实数m的取值范围是() A.-6<m<-2 B.-10<m<-2 C.-2<m<2或.-10<m<-6 D.m<-6或m>-2 【答案】C 【分析】将问题转化为距离：x+y+m=0距离为√2的直线与圆C:(x-1)2+(y-3)2=8有且只有两个交点. 【详解】由两平行直线距离公式可知，与：x+y+m=0相距√2的直线为x+y+m-2=0与x+y+m+2=0 试卷第2页，共16页 又C:(-少+0-刃=8的圈心为L3引，半径为25.X+y+m-2=0与x++m+2=0相距方25 4 则x+y+m-2=0与x+y+m+2=0中一条直线与圆相交，另一条与圆相离. 即一条直线到(1,3)距离小于2√2，另一条直线到(1,3)距离大于2√5 [4+m-2 <22 4+m-2>25 √2 √2 则 4+m+2,2N2 或 4+m+2<2万 →-2<m<2或-10<m<-6. √2 故选：C 6.直线x+y+b=0与曲线x=V1-y2有两个公共点，则实数b的取值范围是() A.1<b<V2 B.1≤b<√2 C.-√5<b<-1 D.-√2<b≤-1 【答案】D 【分析】化简曲线方程，根据方程确定曲线形状，位置及大小，根据直线y=x+b与曲线的位置关系，列不 等式求b的取值范围. 【详解】方程x=V1-y2可化为x2+y2=1且x≥0，所以曲线x=V√1-y2的轨迹为原点为圆心，半径为1的 圆上横坐标为非负实数的点的集合， 因为直线l:y=-x-b表示与y=-x平行的直线系，-b为直线l在y轴上的截距， 作出曲线x=V1-y2和直线y=-x-b,对应的图象如下， 从图中可知在，，之间的平行线都与圆有两个交点，（包含I,不包含直线2）， 设l的方程为x+y+b=0,直线2的方程为x+y+b,=0,其中-b>0, 因为直线1过点(0,1)，所以0+1+b=0,即b=-1, 又(0,0到直线1的距离为1，所以=1，又么<0，所以5，=-2， 2 试卷第3页，共16页 所以当-√2<b≤-1时，直线x+y+b=0与曲线x=V1-y2有两个公共点， 所以实数b的取值范围是（√2，-1]. 故选：D 7.如图，二面角-1-B的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于 棱1.若二面角a-B的平面角为号且AB=4,AC-6,BD-8,则CD的长度为(). A.2√7I B.2√41 c.217 D.2W14 【答案】C 【分析】根据式子CD=CA+AB+BD,根据空间向量数量积的运算律即可求出CD的长 【详解】由条件知CA.AB=0,AB.BD=0,CD=CA+AB+BD, 又二面角a-1-B的平面角为弩则（丽，AC)-否 所以D=+B+BD+24A西+2AB.BD+2ABD =6+4-8+2x6c-写}=.所以e-2 故选：C 8.已知直线L:x+y-3-1=0与/2：x-y-3+1=0相交于点M,线段AB是圆C:(x+1)+(y+1)2=4的 一条动弦，且AB=2V3,则MA.MB的最小值为() A.16+4V2 B.6-4v2 C.5+6√3 D.20W5-1 【答案】B 【分析】根据直线，直线，过定点，并可得出MEM匝=0，得出M的轨迹方程为(x-2)+(y-2)2=2, 根据两圆圆心距离与半径的关系，求出|MD|的最大值，并且M匠M历=MDP-3,然后即可得出MA.MB的 最小值. 【详解】依题意得C(-1,-),半径r=2, 设M点坐标(c,y),易知直线：x-1+m(y-3)=0,恒过点E1,3), 试卷第4页，共16页 直线l:(-3)x-y+1=0恒过F(3,1),且⊥2， 则MB⊥MF,即M正MF=0,点M轨迹为(x-2)2+(y-2)2=2, 圆心为G(2,2),半径为√2，但是去掉点(3,3)， 若点D为弦AB的中点，位置关系如图： M+M=2MD,连接，CDAB=25易知CD=√22-(5)=1， VDMC+CDGC√2-1-√18√2-1=2-，MA.MB-MDF-3≥6-4W2,故B正确. 故选：B. 二、多选题 9.已知圆C:(x-a)+(y-1)=4a的半径为2，则下列说法正确的是() A.a=1 B.点(1,4)在圆C的外部 C.圆(x-9)+(y+5)=64与圆C外切 D.当直线x+y-2=0平分圆C的周长时，=-1 【答案】ABC 【分析】由己知圆半径确定参数α，即可判断A;由点与圆心的距离与半径的关系判断B;由圆心距与两圆 半径和差关系判断C；由直线过圆心求参数判断D. 【详解】根据题意得4a=4,解得a=1,A正确. 由选项A可知，圆C:(x-1)+(y-1)=4,圆心为C(1,1),半径为2.因为(1-1)2+(4-1>4，所以点(1,4) 在圆C的外部，B正确. 圆(x-9)2+(y+5)=64的圆心为M(9,-5),半径为8，因为CM=V64+36=10=2+8, 试卷第5页，共16页 所以圆(x-9)+(y+5)=64与圆C外切，C正确. 若直线x+y-2=0平分圆C的周长，则直线x+y-2=0过圆心C(1,1),则m+1-2=0,解得m=1,D 错误. 故选：ABC 10.在空间直角坐标系Oxz中，已知A(-1,0,0),B(1,2,-2),C(0,0,-2),D(2,2,-4),则以下正确的是() A.AC.AB=6 B.AC,B夹角的余弦值为 6 C.A,B,C,D共面 D.点0到直线AB的距离是V6 【答案】ACD 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算以及夹角计算公式即可求解A,B,根据共面向量基本定理可判断C, 根据点线距离的向量法即可判断D. 【详解】因为AB=(2,2,-2),AC=(1,0,-2),所以ACAB=6,A正确： AC,AB夹角的余弦值为c0s(AC,AB) AC.AB 6-5 AC AB 2√3x√5=5，所以B错误： 因为AD=(3,2,-4),所以AD=AB+AC,所以A,B,C,D共面，所以C正确： OA.AB 1 因为0A=(-1,0,0),所以 AB 5所以点O到直线4B的距离 yair-( 正确。 故选：ACD 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，M,N分别是棱AB,AD的中点，点E在BD上， 点F在B,C上，且BE=CF,点P在线段CM上运动，下列说法正确的有() M B A.当点E是BD中点时，直线EFII平面DCCD: 试卷第6页，共16页 B.直线AD到平面CN的距离是 2 C.存在点P,使得∠B,PD,=90°； D.△PDD面积的最小值是 6 【答案】AC 【分析】根据线面平行的判定判断A:根据等体积法求得点D到平面CMN的距离判断B;建立空间直角坐 标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C:求出△PDD面积的表达式，再求得面积的最小值 判断D. 【详解】对于A,由E是BD中点，BE=CF,得点F是BC的中点，连接BC,显然F也是BC的中点， 连接DC, 于是EF/ICD,而EFt平面DCCD,DCC平面DCCD,所以直线EF/I平面DCCD,A正确： A N D M B D 对于B,M,N分别是棱AB,AD的中点，则BDIN,BDc平面CMN,MNc平面CMN,于是B,DII 平面CN, 因此直线B,D,到平面CN的距离等于点D到平面CMN的距离h, MW=√2，CM=CW=√CT+D=V(22}+P=3, 2 由-m=ya-aa,得a=2,B错误： 17 以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则M(1,0,2),C(2,2,0),B(2,0,2),D(0,2,2), 试卷第7页，共16页 对于C,设MP=t·MC=t(1,2,-2),则P(t+1,2t,-2t+2),PB=(1-t,-2t,2t),PD=（-t-1,2-2t,2t),t∈[0,1]， 由∠8，PD=90°，得PB·P西=1-0(1-1)+(-2)(2-2)+21.2i=9r-4-1=0,解得1-2±E 9 由于t=2+v3 )3e[0小，因此存在点P,使得∠8A=90,C正确： 对于D,由选项C得P(t+1,2t,-2t+2)在DD的投影点为(0,2，-2t+2), 则P到D0的距离d-0+y+e-2y-0-}+, △PD0面积为S-号2d5-5D,所以当1时，s取得最小值为4 ,D错误 故选：AC 三、填空题 12.已知平面向量ā=(2,5)，6=1，)，若向量a-6在向量a方向上的投影向量的模为22 ,则x= 29 【答类15欧号 【分析】根据向量线性运算求出ā-b的坐标，再根据投影向量的概念即可求出答案 【详解】由题意可得a-b=(1,5-x), 故向量a-b在向量a上的投影向量的模长为 a-)d上x2+55-x_27-5列 a √29 29 由题意可得275y2W2 ,解得x=5或x= 9 V29 29 5 29 故答案为：5或 5 13.己知直线x-y-√3=0与圆C:x2+y2=4交于A,B两点，若VABC面积为2，则m值是 试卷第8页，共16页 【答案】±② 【分析】设圆心到直线的距离为d,由已知可得0d=d4d-2,可得d=2,进而得 1+m2 求解即可、 【详解】由圆C:x2+y2=4,可得圆心C(0,0),半径为r=2, 设圆心到直线的距离为d,则弦长|AB卡2W4-2, vABc面积为2，可得号Ad-d4d-2,解得d=反， 圆心C0.0到直线x--5=0的距离为5-5，解得M土 V1+2 3 故答案为：± 2 14.已知A(-1,0),B(-4,0),PB=2PA,若平面内满足到直线1：3x+4y+m=0的距离为1的点P有且只有3 个，则实数m= 【答案】5或-5 【分析】设出动点P的坐标，由PB=2PA求得其轨迹方程，由题意知，只需使圆心到直线1：3x+4y+=0 的距离等于1即可. 【详解】设点P(x,y),由|PB=2|PA可得：√(x+4)2+y2=2√(x+1)2+y2, 两边平方整理得：x2+y2=4,即点P的轨迹是圆，圆心在原点，半径为2 若该圆上有且只有3个点到直线1：3x+4y+=0的距离为1， 则圆心到直线的距离d=心=1，解得m=士5. 5 故答案为：5或-5， 四、解答题 15.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=9,直线1：(m+1)x-(2+1)y-m-2=0 (1)求证：直线1与圆C恒有两个交点： (2)若直线1与圆C交于点A,B,求△CAB面积的最大值，并求此时直线I的方程 【答案】(1)证明见解析 试卷第9页，共16页 9 ②面积最大值为3，x-y-2=0或7x-y-20=0, 【分析】(1)先证明直线过定点，再说明定点在圆内即可： (2)注意到SAC= h4CBCm∠ACB,所以当∠AC8=90时，可以求出VABC面积的最大值，注流验证 取等条件，进一步由点到直线的距离公式可以求出参数m,由此即可得解 【详解】(1)因为直线1：(m+1)x-(2m+1)y--2=0可变形为x-y-2+m(x-2y-1)=0, x-y-2=0 x=3 所以 -2v-1=0’解得 y=1' 故直线经过的定点为P(3,1) 将点P(3,1)代入圆的方程有(3-1)+(1-2)=5<9， 所以点P(3,1)在圆C的内部，所以直线1与圆C恒有两交点 (2)由(1)知PC=5,因为Sc=4 asin.∠ACB, 所以当∠ACB=90°时，VABC面积最大， 此时yAC为宁腰宜角三角形，VC面积最大植为S-号共中，为酒的半径 此时点C到线证离，d:方方5=心， 所以∠ACB可以取到90°， 所以 m+1-2(2m+)-m-2-3 13或m=0 Vm++(2+V2,解得m=- 故所求直线1的方程为x-y-2=0或7x-y-20=0 16.如图，在平行六面体ABCD-AB'CD中，AB=AD=2,AA=3,∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA=60°. B (I)求证：BD⊥AC: (2)求AC的长 【答案】(1)证明见解析 试卷第10页，共16页海门中学高二数学每周一练（10.17) 一、单选题 1.直线：y=十b与直线2：y=bx十a(ab≠0，ab)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（) B 2.已知圆C:x2+y2+2x+8y+1=0与圆C,:x2+y2-4x-4y-1=0,则圆C,与C,的位置关系是() A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 3.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为 几何问题加以解决，如：√(x-a+(y-b)2可以转化为点(c,)到点(a,b)的距离，则V2+1+√2-4x+8的 最小值为(). A.3 B.22+1 C.25 D.√13 4.一条光线从点(-2，-3)射出，经y轴反射后与圆(x+3)+(y-2)'=1相切，则反射光线所在直线的斜率为 () A5 B. 或 4 5.若圆C:(x-1)2+(y-3)2=8上存在两个点到直线：x+y+=0的距离为√2，则实数m的取值范围是() A.-6<m<-2 B.-10<<-2 C.-2<m<2或.-10<l<-6 D.m<-6或m>-2 6.直线x+y+b=0与曲线x=V1-y2有两个公共点，则实数b的取值范围是() A.1<b<V2 B.1≤b<√2 C.-√2<b<-1 D.-√2<b≤-1 7.如图，二面角a-1-B的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于 棱L.者二面角a-B的平面角为写且AB=4,AC=6,BD-8,则CD的长度为（入 A.2√71 B.2W41 C.217 D.2W14 试卷第1页，共5页 8.已知直线：x+y-3-1=0与l2:x-y-3+1=0相交于点M,线段AB是圆C:(x+1)2+(y+1)2=4的 一条动弦，且AB=2√3，则MA.B的最小值为() A.16+4V2 B.6-42 C.5+65 D.20W5-1 二、多选题 9.已知圆C:(x-a)+(y-1)=4a的半径为2，则下列说法正确的是() A.a=1 B.点(1,4)在圆C的外部 C.圆(x-9)+(y+5)=64与圆C外切 D.当直线x+y-2=0平分圆C的周长时，m=-1 10.在空间直角坐标系Oxz中，已知A(-1,0,0),B(1,2,-2),C(0,0,-2),D(2,2,-4),则以下正确的是() A.AC.AB=6 B.AC,A夹角的余弦值为 6 C.A,B,C,D共面 D.点0到直线AB的距离是 3 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，M,N分别是棱AB,AD的中点，点E在BD上， 点F在BC上，且BE=CF,点P在线段CM上运动，下列说法正确的有() A.当点E是BD中点时，直线EF/I平面DCCD: B.直线P到平面CN的距离是 2 C.存在点P,使得∠B,PD=90°； D.△PDD面积的最小值是5N5 6 三、填空题 试卷第2页，共5页 12.已知平面向量ā=(2,5)，6=亿，)，若向量a-B在向量a方向上的投影向量的模为2y2四 29 则x=— 13.己知直线x-y-√3=0与圆C:x2+y2=4交于A,B两点，若VABC面积为2，则值是 14.已知A(-1,0),B(-4,0),PB=2PA,若平面内满足到直线1：3x+4y+m=0的距离为1的点P有且只有3 个，则实数m= 四、解答题 15.己知圆C:(x-1)2+(y-2)=9,直线1：(m+1)x-(2+1)y--2=0. (1)求证：直线1与圆C恒有两个交点： (2)若直线1与圆C交于点A,B,求△CAB面积的最大值，并求此时直线1的方程. 16.如图，在平行六面体ABCD-A'B'C"D中，AB=AD=2,AA=3,∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60°. B (1)求证：BD⊥AC': (2)求AC的长。 试卷第3页，共5页 17.己知直线1经过点P(2,3). (1)若原点O(0,0)到直线1的距离为2，求直线1的方程： (2)若直线1被两条相交直线2x-y-2=0和x+y-3=0所截得的线段恰被点P平分，求直线I的方程； (3)若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A,B两点，求OA+口B的最小值，并求此时的直线I的方程，其 中0(0,0). 18.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，CC⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC=3,点D,E分别 在棱A4和棱CC上，且AD=1,CE=2,M为棱AB,的中点 B D B (I)求证：CM⊥平面BB,D; (I)求二面角B-B,E-D的余弦值. 试卷第4页，共5页 19.已知线段AB的端点B的坐标是(6,4)，端点A在圆(x+2)+(y+4)=16上运动，记线段AB中点的运 动轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程 (2)过点B作直线l与曲线C相切，切点分别为点M,N,求直线MN的方程. ③)斜率为k的直线与曲线C相交于异于原点的两点区，P,直线O8.OP的斜率分别为(：杰，且杰+名=号若 BD⊥EF,D为垂足，证明：存在定点O,使得DO为定值 试卷第5页，共5页