江苏省海门中学2025-2026学年高二上学期周测数学试题（9.19）

海门中学高二数学每周一练(9.19) 一、单选题 1.直线x-3y+3=0在y轴的截距为() A.-3 B.-V5 C.5 D.3 2.下列说法正确的是（) A.若a∥6，则a,b与空间中其他任何向量都能构成空间的一个基底 B.若2PM=PA+PB,则点M是线段AB的中点 C.若OA=OB+2OC-OD,则A,B,C,D四点共面 D.若平面a,B的法向量分别为=(2,1，-1)，=(-1,2,1)，则a1B 3.过A(m2,+3),B(1,2m2)两点的直线1的倾斜角为135°，则m的值为(). A.-1或2 B.2 C.-1 D.-2 4.若平面x的法向量为i=(-1,2,4),平面B的法向量为下=(m-1,-2),直线1的方向向量为f=(n,-2,4), 则() A.若11B,则m=2 B.若l⊥a,则n=2 C.若n=-20,则l/1a D.若=-10，则&⊥B 5.下列说法一定正确的是（) A.过点(0,1)的直线方程为y=c+1 B.直线y=k-2在y轴上的截距为2 C.直线xsina-ycosa-+l=0的倾斜角为a D.过(x,乃)，（x2,y2)两点的直线方程为(y-)(x2-x)=(x-x)(y2-) 6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图所示，已 知四棱锥P-ABCD是阳马，PA1平面ABCD,且PE=PC,若AB=a,AD=6,AP=c,则BE=（) 4 试卷第1页，共7页 A.-a-i+ 444 B. a6- 5a+- 4 c-5- D. 3 7.如图，在三棱柱ABC-AB,C,中，M,N分别是AB,B,C上的点，且BM=2AM,CN=2B,W.设AB=a, AC=i,AA=C,若∠BAC=90°，∠BA4=∠CAA=60°，AB=AC=A4=1,则() N B A.=a+6+2 2- 3 3 3 g=号 C.AB,⊥BC D.c(ac）-君 8.如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，Q是棱DD上的动点.则下列说法正确的是() B P D ①存在点2，使得CQ/1AC；②存在点2，使得CQ⊥AC；③对于任意点Q,Q到AC的距离的取值范 「26 围为 23 ④对于任意点Q,△ACQ都是钝角三角形 A.①②③ B.①④ C.②③ D.②④ 二、多选题 9.下列说法正确的是() A.过(，乃)，(x,)两点的直线方程为)-X=X- y》2-1x2-x1 B.己知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线1与线段AB有公共点，则直线1的斜率k的取值范围 试卷第2页，共7页 是(-0，-1J[1,+o) C.直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 10.如图，圆锥SO的底面直径和母线长均为6，其轴截面为△SAB,C为底面半圆弧AB上一点，且AC=2CB, =SC,N=SB(0<<1,0<u<1),则() A.当名-时，直线AM与8C所成角的余弦值为 10 20 B.当1=u=)时，四面体MN的体积为275 1 16 C.当u=名且AMI/面OC时，2=} D.当AM1B时，1=7 4 11.已知正三棱柱ABC-AB,C的外接球球心为O,半径为√万，且OAOB=OA.OA=k(k为常数)，点P 满足B严=BC+uBB,∈「0,1]u∈[0,1.则下列结论正确的是（) A.k=1 B.当元=)时，OP+BP的最小值为 C。当A=时，存在点，使得4BL平面8P D.当+L=1时，点O到直线4AP的最小距离为Y 三、填空题 12.向量a=(1,1,-3),b=(2,-1,-1),则a在b上的投影向量的坐标为 13.经过点P(0,-1)作直线l,若直线1与连接点A(1,-2),B(2,1)的线段没有公共点，则直线1的倾斜角α的 取值范围是 试卷第3页，共7页 14.如图，在正方体ABCD-ABCD中，点M为棱A4的中点，若N为底面A,B,CD内一点（不包含边界）， 且满足MN//平面BDC1.设直线MN与直线CC,所成的角为a,则tana的最小值为一· B A D M B 四、解答题 15.己知直线1过点(1,2)： (1)从下面两个条件中任选一个，求直线1的方程. 条件①：直线1的倾斜角比直线V3x-3y+1=0的倾斜角大 12 条件②：直线1的一个方向向量为a=(1,1): ②若点4(，4)在直线1上，且5[-2,1，求占+2 5-1的取值范围 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分 试卷第4页，共7页 16.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD中，E,F分别为棱AD,CD的中点，记BC=ā，BA=b,BB=c, 满足∠B,8C-∠B,4-于2CBA-ABC-2.B|=3. E D B D B F C (I)求BD的长度： (2)求AC与EF夹角的余弦值 17.已知直线1经过点P(-5,-4). (1)若直线1与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线1的方程： (2)若直线1在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求直线1的方程. 试卷第5页，共7页 18.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD,PD=AD=2.己知E,F分别为PA, PC的中点，平面DEF与棱PB交于点G. G E B (1)求证：DE⊥平面PAB; (2)求平面CDG与平面ABCD的夹角的余弦值； ③)判断线段BF上是否存在一点H,使得点H到平面CDG的距离为Y5?若存在，请求出点H的坐标：若 10 不存在，请说明理由， 试卷第6页，共7页 19.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体T的一个顶点，定义多面体T在点P处的离散曲 率为④，=1-（∠0，P四，+∠0，P0,++∠QP0.+Q,PQ),其中2=1,2kk≥3)为多面体T的所有 与点P相邻的点，且平面QP22,平面OP2,L,平面O-1PQ,平面QPQ为多面体T的所有以P为公共 点的面.已知平面多边形ABCDE的外接圆圆心O为AD与BE的交点，如图①，且AB=AE=√2CD=2,将 △EAD沿AD翻折到△PAD如图②，连接PB,PC. A---- B 图① 图② (I)求四棱锥P-ABCD在各个顶点处的离散曲率的和； ②)已知直线PB与直线CD所成角的余弦值为6 4 ①求四棱锥P-ABCD在顶点A处的离散曲率； ②设Q为线段PD上的动点（不包括端点），OA与平面ABCD所成角为，二面角Q-AC-D的平面角为B, 其中ac0,求am(B-a)的最大值 试卷第7页，共7页海门中学高二数学每周一练(9.19) 一、单选题 1.直线x-√3y+3=0在y轴的截距为() A.-3 B.-V3 C.5 D.3 【答案】C 【分析】直接令x=0即可得到答案 【详解】令x=0,得y=√3，所以直线在y轴的截距为√. 故选：C 2.下列说法正确的是() A.若ā∥b,则ā，b与空间中其他任何向量c都能构成空间的一个基底 B.若2PM=PA+PB,则点M是线段AB的中点 C.若OA=OB+20C-OD,则A,B,C,D四点共面 D.若平面，B的法向量分别为n,=(2,1,-1),n,=（-1,2,1),则⊥B 【答案】B 【分析】对于A,根据条件可得向量a,b,c共面，再结合基底的定义判断结论，对于B,由条件，根据向量 U W 的线性运算法则证明AM=MB,由此可判断B,对于C,根据共面向量定理的推论判断C,对于D,求n·n, 证明2与2，不垂直，由此判断D. 【详解】对于A,因为ā∥b,所以a,b与任何向量c都共面， 又构成空间基底的三个向量不能共面，所以ā，b与任何向量c都不能构成基底，A错误： 对于B,因为2PM=PA+PB,所以PM-PA=PB-PM, 故AM=MB,所以M为AB中点，B正确； 对于C,因为OA=OB+20C-OD,且1+2-1=2≠1，所以A,B,C,D四点不共面，C错误： 对于D,n2=-2+2-1=-1≠0，则h与n,不垂直，所以与B不垂直，D错误. 故选：B. 3.过A(m2,+3),B(1,2m2)两点的直线1的倾斜角为135°，则m的值为(). 试卷第1页，共23页 A.-1或2 B.2 C.-1 D.-2 【答案】B 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可， 【详解】由题知，直线l的斜率k存在，所以A点和B点的横坐标不一样，2≠1即m≠±1， 则k=L+3-22 =tan135°=-1，所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2, 1m2-1 又m≠±1，所以=2. 故选：B. 4.若平面x的法向量为i=(-1,2,4),平面B的法向量为下=(m,-1,-2),直线1的方向向量为f=(n,-2,4), 则() A.若&/1B,则m=2 B.若l⊥，则n=2 C.若n=-20,则1/1a D.若=-10，则a⊥B 【答案】D 【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量逐项计算判断即得。 【详解】对于A,自u,利示，则号=子，解程m= 2A错误， 对于B,由LL,得/u,则=)=4，解得n=1,B错误： 对于C,由n=-20,得t=(20,-2,-4),i.4=20-4-16=0, 则t⊥u,则l11a或lca,C错误： 对于D,由m=-10,得=（10，-1，-2)，4.币=10-2-8=0， 则⊥v,则⊥B,D正确 故选：D 5.下列说法一定正确的是() A.过点(0,1)的直线方程为y=c+1 B.直线y=k-2在y轴上的截距为2 C.直线xsina-ycosa+1=0的倾斜角为a D.过(，乃)，(x2,y2)两点的直线方程为(y-y)(x2-x)=(x-x)(y2-) 【答案】D 【分析】根据直线方程的不同形式以及直线的相关性质，结合倾斜角、截距等概念，需要对每个选项逐一 试卷第2页，共23页 进行分析判断。 【详解】对A,当直线斜率不存在时，直线方程为x=0,故A错误. 对B,令x=0,y=-2,则直线y=-2在y轴上的截距为-2，故B错误. 对C,直线sina&-ycosa+1=0,其斜率k=tan6=- sima=tan(8为倾斜角)，但是倾斜角6∈[0，元)，而a -cosa 的取值范围是R,若ax[0,π)，则直线sina-)cosa+1=0的倾斜角不是a&，,故C错误. 对D,当过点(5，)，(x,2)的直线斜率存在且不为零时， 该直线的两点式方程为=二，可化为(0y-y)s-)=(c-x)0以-)： y2-y1x2-x1 当直线与x轴垂直时，方程为x=x,满足(y-)(x,-x)=(x-)(2-): 当直线与y轴垂直时，方程为y=,满足(y-乃)(x2-)=(x-5)y2-). 综上所述，过(：，乃)，(x2)两点的直线方程为(y-y)(x2-x)=(x-x)(y2-),故D正确 故选：D 6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图所示，已 知四棱锥P-ABCD是阳马，PA1平面ABCD,且PE=PC,若AB=a,AD=B,AP=c,则BE=() 0 iE B 5 5 A. 4 4 u.+ C.4a-44 D.- a+16+3 44 4 【答案】D 【分析】根据向量线性运算原则求解即可， 【详解】由题意，P丽-4Pc-ac--4C-P-B+A0-P-a+6-c PB=AB-AP=a-c, 则脏=P服-丽a+-a-a+b+ 4 4 4 故选：D 试卷第3页，共23页 7.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，M,N分别是AB,B,C上的点，且BM=2AM,C,N=2B,N.设AB=a, AC=b,AA=C,若∠BAC=90°，∠BA4=∠CA4=60°，AB=AC=A4=1,则(） M A.n 3 B. 3 C.AB⊥BC D.cw,C）-若 【答案】D 【分折1利用向量的江减注期.以a6为基芪可每瓜-五-3+，可得A领误：由四-a:6+ 计算可得=5可知B错误：分划表示出西=+CG-a+5可行码BC不为餐，可得C错 误；利用c中结论孤C-分，分别求出-B网-5，即可得cos瓜，C)石即D正确 【详解】对于A,根据题意可得M-MB+BB+BN,又BM=2AM,CN=2B,W, 所以可得瓜=4丽+丽+8G-44+西+4+号c-44+西++厨+4C列 -c+d-+时a+列a++g, 33 即-a+-片可知A错误 对于B,由1知=a+6+,所以-=号a6+a-号+6+f+2a6+26c+2ad -56+24cs0+26Fc0s60+2日月cs60）-56+0+1-)- 所以瓜S,即可知B错民， 对于C,易知AB=AA+AB,BC=BB+BC=AA-AB+AC, 此时ABC-(A4+a(AA-AB+AC(c+(c-a+月Ea,c+ie+ae+a6 1-分1+040，所以瓜与C不柔直，即C错误： 222 试卷第4页，共23页 对于D,由选项c可得四·BC=,且=+a矿°=f+2ac+=+1+1=3,即=5： BC=c-a+b)=++-ic+2bc2ab=+1+上+上0-3，即BC=5, 所以可得cos(AB,BC)= AB,·BC 2一=1，即D正确 A·BCV3×V6 故选：D 8.如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，Q是棱DD上的动点.则下列说法正确的是() D ①存在点Q,使得CQ/1AC;②存在点9，使得C2⊥AC；③对于任意点2，Q到A,C的距离的取值范 「2V6 围为 ④对于任意点Q,△ACQ都是钝角三角形 3 A.①②③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】C 【分析】根据题意，以A为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即 可得到结果。 【详解】解：由题知，在正方体ABCD-AB,CD中，O是棱DD,上的动点， 建立以A为原点建立空间直角坐标系A-z,如图所示： B 则A(0,0,1),C(1,1,0),C(1,1,1),设2(0,1，a),其中0≤a≤1， 试卷第5页，共23页 所以C0=(-1,0,a-1),AC=(1,1,-1), 当C2=4C,即(-1,0，a-1)=(1,1,-1), 〔-1=元 所以0=1，显然方程组无解， a-1=-元 所以不存在1使得CO=14C, 即不存在点Q,使得CQ/AC,故①错误： 当C2AC=-1+0+1-a=0时，解得a=0, 即存在点Q,使得CQ⊥AC,故②正确： 因为A2=(0,1,a-1),其中0≤a≤1， 所以点2到AC的距离为 ao" AQ·AC (2-2 AC 3 3 2 2e「6， 故③正确： 2’3 因为0C=(1.0-a),94=(0,-1,1-a),其中0≤a≤1， 所以cosOC.QA= OC.O4 a2-a (a-1)a oc24+a1+1-a 1+a√11- ≤， 所以三角形ACQ为直角三角形或钝角三角形，故④错误. 故选：C 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： (1)定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件， 解对应的三角形，即可求出结果； (2)向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与 平面的法向量、两平面的法向量)的余弦值，即可求得结果. 试卷第6页，共23页 二、多选题 9.下列说法正确的是（) A.过（④，片），(，)两点的直线方程为)-五=一 y,-y1x2-x1 B.己知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(L,0)的直线1与线段AB有公共点，则直线1的斜率k的取值范围 是(-n,-1J[1,+0) C.直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 【答案】BC 【详解】对于A:当：y时，过化，，化，)两点的百线方程为学片，放A旋项不 正确： 对于B:如图所示，由点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线1与线段AB有公共点， B 直线l的斜率k≥kB或k≤k4, 4-0 A的斜率3山，PB的斜率k。1, ∴直线1的斜率k≥1或k≤-1，即k∈(-o,-1[1,+∞)，所以B选项正确： 对于C:直线x-y-2=0在两坐标轴上的截距分别为：2，-2， 直线x-y-2=0与坐标轴围成的三角形的面积是二×2×2=2，所以C选项正确： 对于D:经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0或y=x,所以D选项不正确： 故选：BC 10.如图，圆锥SO的底面直径和母线长均为6，其轴截面为△S4B,C为底面半圆弧AB上一点，且AC=2CB, SM=2SC,=S8(0<1<1,0<u<1),则() 试卷第7页，共23页 A.当A-号时，直线M与5C所成角的余弦值为 20 B.当1=4=2时，四面体S1W的体积为275 16 C.当u-号且AM/面oC时，= 2 2 D.当AMLB时，=4 【答案】ACD 【分析】对于A,算出各个线段长度，将异面直线通过转化化为同面直线，根据余弦定理求解即可：对于B, 根据题意先计算出四面体S4BC的体积，又因四面体SAMN中一个底面积是原来的四分之一，故可求解；对 于C,法一：根据中位线定理，即可判断，法二：构建空间坐标系，将各点表示出来，同时设平面OC的 一个法向量为i=(x,y,),根据向量运算法则AM=A下+SM,根据AM.=0可求解；对于D,法一：求 出所需线段，根据余弦定理可求出cos∠CSB,代入求解即可，法二：解出SB,同时AM=AS+SM,根据 AM⊥SB,则AMSB=0,即可求解 【详解】由题意可知△SAB是边长为6的等边三角形，SA=SB=SC,AC=3√3，BC=3. 时，M为义的中点，取u-号得W少BC,Av为直线AM与BC所成角或其补角， 2 又根据余弦定理可得c0s∠4C=4+5C2-4C-36+36-275 2SA.SC 2×6×68 再根据余弦定理可求得AMP=SA2+SM2-2S4A.SM.c0s∠ASC=36+9-2x6x3× 545 82 909-27 =w,空则wAva 所以AM=30 10 2x3103 20’ X- 22 故A正确： 在△10C,B=6,C=3.得8分35-95 2 S0L△ABC,且SO=35,则四面体S4BC的体积为×95 32 x35=27 2 试卷第8页，共23页 1 1=M=2,M为s℃的中点，N为sB的中点，故四面体SMN体积为四面体SMBC体积的四分之一，得四 面体SAMN体积为 27 8,故B错误 对于CD选项： 百4时，取W的中点P,则AP/ON,所以正 过P作PM PCN交SC于M,所以PM∥面ONC, 此时M为SC的中点，又因AP,PM相较于点P, 所以面APM/面ONC, 得M/面QC,所以=)，放C正确： 当u=时，AN1SB, 2 在面SCB内过N作NM⊥SB交SC于M, S N B 则SB⊥面AN,AMC面AN, 故此时得到的AM⊥SB, △SCB中，SC=SB=2CB=6, 7 由余弦定理得cos∠CSB=8,SN=B=3,∠SMM=90°， 24 得8M=4,则以三-专放D正确 67 故选：ACD 【法二】则以O为坐标原点，过点O与AB垂直的直线为x轴，分别以OB、OS所在直线为y轴和z轴建立 如图所示的空间直角坐标系，由题意得 试卷第9页，共23页 S s00v.4030.8030.c50 SM=SC,-uS8(0<1<1,0<u<1) 得-92 =(0,3,-35m） 对于Cu-号，则=022)，丽=-o丽+丽=(@2月. 设平面ONC的一个法向量为i=(x,y,), i.0N=0 2y+V3z=0 则 i.0C=0 5x+3y=0'可取i-15,2) 35.3 2 2 AM1/面ONC时，得AM.n=0, 2-35-5j15-0 2 解符2号故C正痛 时n-aa.48-aa同9--9w5-人5 2 由AM⊥SB得， 故选：ACD. 11.已知正三棱柱ABC-AB,C的外接球球心为O,半径为√万，且OAOB=OAOA=k(k为常数)，点P 满足BP=BC+uBB,∈「0,1]u∈[0,1.则下列结论正确的是() 试卷第10页，共23页