5.4 用一次函数解决问题 同步练习 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

5.4 用一次函数解决问题同步练习 2025-2026学年苏科版数学八年级上册 一．基础演练 1．一辆汽车油箱中剩余的油量y（L）与已行驶的路程x（km）的对应关系如图所示．如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为（　　） A．150km B．165km C．125km D．350km 2．某市乘出租车需付车费y（元）与行车里程x（千米）之间函数关系的图象如图所示，那么该市乘出租车超过2千米但不超过5千米时，每千米的费用是（　　） A．1元 B．1.1元 C．1.2元 D．2.5元 3．某人驾车从乡村进城，各时间段的行驶速度如图． （1）当0≤t＜1时，则其行驶路程s（千米）与时间t（时）的函数表达式是 　 　 ； （2）当1≤t＜2时，则其行驶路程s（千米）与时间t（时）的函数表达式是 　 　 ； （3）当2≤t≤3时，则其行驶路程s（千米）与时间t（时）的函数表达式是 　 　 ． 4．我国传统的计重工具—秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的血量，称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数，右表中为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 3 4 5 6 y（斤） 0.6 1.3 2 2.7 3.4 4.8 （1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？ （2）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤杆所挂物重y的具体变化是 　 　 斤； （3）根据表格和图象的发现，通过计算回答下列问题． ①y与x的函数关系式； ②当秤钩所挂物重是6.9斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？ ③已知秤砣到秤纽的最大水平距离为35厘米，这杆秤的可称物重范围是多少斤？ 5．为了提高同学们学习数学的兴趣，某中学开展主题为“感受数学魅力，享受数学乐趣”的数学活动．并计划购买A、B两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生，已知购买1件A种奖品和2件B种奖品共需64元，购买2件A种奖品和1件B种奖品共需56元． （1）每件A、B奖品的价格各是多少元？ （2）根据需要，该学校准备购买A、B两种奖品共80件，设购买a件A种奖品，所需总费用为w元，求w与a的函数关系式，并直接写出a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若要求购买的A种奖品的数量不超过B种奖品数量的3倍，求所需总费用的最小值． 二．能力提升 6．为增强国防意识，长沙某校于近日开展了国防教育竞技活动，提升了国防技能，培育了竞技精神．该校为比赛购买了甲、乙两种奖品．已知甲种奖品的单价是每件30元，乙种奖品的单价是每件15元，该活动一共需要购买甲、乙两种奖品共30件，设购买甲种奖品x件，购买奖品的总费用为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）若甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，请设计出最省钱的购买方案，并求出购买费用的最小值． 7．随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲，乙两人相约同时从天府绿道A地出发同向骑行至终点B地．已知甲骑行的速度是15km/h，乙从A地骑行至B地的路程s与时间t之间的关系如图所示（乙骑行时的速度保持不变）． （1）求甲从A地不停歇地骑行至B地所花费的时间； （2）乙在骑行27km后进行了短暂的休息，求乙休息的时长； （3）在（1）（2）的条件下，当甲，乙两人相距4km时，甲骑行了多长时间？ 8．为了抗击新冠疫情，我市甲乙两工厂积极生产了某种防疫物资，甲工厂的生产量是200吨，乙工厂的生产量是300吨，现要把这批防疫物资全部运往A，B两地，A地需要240吨，B地需要260吨，运费如表所示： 目的地 生产厂 A地 B地 甲工厂 20元/吨 25元/吨 乙工厂 15元/吨 24元/吨 （1）设这批物资从乙工厂运往A地x吨，防疫物资全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当每吨运费降低n元（0＜n≤15，且n为整数），在（1）的结论下，若计划总运费不超过7200元，求n的最小值． 9．受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？ （3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值． 参考答案与试题解析 1．一辆汽车油箱中剩余的油量y（L）与已行驶的路程x（km）的对应关系如图所示．如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为（　　） A．150km B．165km C．125km D．350km 【分析】由图象可知，汽车行驶10km耗油1L，据此解答即可． 【解答】解：当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为：（50﹣35）×（500÷50）＝150（km）， 故选：A． 【点评】本题考查了函数的图象，由题意得出汽车行驶10km耗油1L是解答本题的关键． 2．某市乘出租车需付车费y（元）与行车里程x（千米）之间函数关系的图象如图所示，那么该市乘出租车超过2千米但不超过5千米时，每千米的费用是（　　） A．1元 B．1.1元 C．1.2元 D．2.5元 【分析】观察图象发现从2公里到5公里共行驶了3公里，费用增加了33元，从而确定每千米的费用． 【解答】解：观察图象发现从2公里到5公里共行驶了5﹣2＝3公里，费用增加了8﹣5＝3元， 故出租车超过2千米后，每千米的费用是3÷3＝1（元）， 故选：A． 【点评】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是仔细观察函数的图象，并从中整理出进一步解题的有关信息，难度不大． 3．某人驾车从乡村进城，各时间段的行驶速度如图． （1）当0≤t＜1时，则其行驶路程s（千米）与时间t（时）的函数表达式是 s＝40t ； （2）当1≤t＜2时，则其行驶路程s（千米）与时间t（时）的函数表达式是 s＝80t﹣40　 ； （3）当2≤t≤3时，则其行驶路程s（千米）与时间t（时）的函数表达式是 s＝30t+60　 ． 【分析】观察函数图象，可得分段函数解析式． 【解答】解：观察图象，得： 当0≤t＜1时，则其行驶路程s与时间t的函数关系式是s＝40t， 当1≤t＜2时，则其行驶路程s与时间t的函数关系式是s＝80（t﹣1）+40，化简得s＝80t﹣40， 当2≤t＜3时，则其行驶路程s与时间t的函数关系式是s＝30（t﹣2）+120＝30t+60，化简得s＝30t+60， 故答案为：s＝40t，s＝80t﹣40，s＝30t+60． 【点评】本题考查了一次函数的应用，观察图象得到分段函数是解题关键． 4．我国传统的计重工具—秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的血量，称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数，右表中为若干次称重时所记录的一些数据． x（厘米） 1 2 3 4 5 6 y（斤） 0.6 1.3 2 2.7 3.4 4.8 （1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误，在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？ （2）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x每增加1厘米时，秤杆所挂物重y的具体变化是 　0.7　 斤； （3）根据表格和图象的发现，通过计算回答下列问题． ①y与x的函数关系式； ②当秤钩所挂物重是6.9斤时，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？ ③已知秤砣到秤纽的最大水平距离为35厘米，这杆秤的可称物重范围是多少斤？ 【分析】（1）根据数据描点即可判断； （2）根据表中数据当x＝1时，y＝0.6，当x＝2时，y＝1.3，由此即可求解； （3）①设y与x的函数关系式为y＝kx+b，根据表中数据有当x＝1时，y＝0.6，当x＝2时，y＝1.3，代入即可得到二元一次方程组，求解即可得到函数解析式； ②把y＝6.9代入函数解析式，求解x的值即可解答． ③把x＝35代入函数解析式，求解y的值即可解答． 【解答】解：（1）把表中数据描点如下： 观察图象可知：由于y是x的一次函数，（6，4.8）没有位于直线上，所以x＝6，y＝4.8这组数据错误． （2）根据表中数据当x＝1时，y＝0.6，当x＝2时，y＝1.3，由此可得： 当x每增加1厘米时，秤杆所挂物重y增加了1.3﹣0.6＝0.7（斤）． 故答案为：0.7； （3）①∵y是x的一次函数， ∴设y与x的函数关系式为y＝kx+b， 根据表中数据有当x＝1时，y＝0.6，当x＝2时，y＝1.3， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为y＝0.7x﹣0.1． ②当y＝6.9时，6.9＝0.7x﹣0.1， 解得x＝10． 答：秤钩所挂物重是6.9斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为10厘米； ③当x＝35时，0.7×35﹣0.1＝24.4， ∴这杆秤的可称物重范围是0＜y≤24.4． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，理解题意是关键． 5．为了提高同学们学习数学的兴趣，某中学开展主题为“感受数学魅力，享受数学乐趣”的数学活动．并计划购买A、B两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生，已知购买1件A种奖品和2件B种奖品共需64元，购买2件A种奖品和1件B种奖品共需56元． （1）每件A、B奖品的价格各是多少元？ （2）根据需要，该学校准备购买A、B两种奖品共80件，设购买a件A种奖品，所需总费用为w元，求w与a的函数关系式，并直接写出a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若要求购买的A种奖品的数量不超过B种奖品数量的3倍，求所需总费用的最小值． 【分析】（1）设每件A种奖品的价格各是x元，每件B种奖品的价格各是y元，得出方程组，解方程组即可解得答案； （2）根据甲的费用+乙的费用＝总费用，列出函数关系式即可； （3）由购买的甲种礼品的数量不超过乙种礼品数量的3倍，可得a≤60，根据一次函数性质即可答案． 【解答】解：（1）设每件A奖品的价格各是x元，每B奖品的价格各是y元， 根据题意得：， 解得， 答：每件A奖品的价格是16元，每件B奖品的价格是24元； （2）根据题意得：w＝16a+24（80﹣a）＝﹣8a+1920， ∴w与a的函数关系式为w＝﹣8a+1920（0＜a＜80）； （3）∵购买的A种奖品的数量不超过B种奖品数量的3倍， ∴a≤3（80﹣a）， 解得a≤60， 在w＝﹣8a+1920中，﹣8＜0， ∴w随a的增大而减小， ∴a＝60时，w最小，最小值为﹣8×60+1920＝1440（元）， 答：所需总费用的最小值是1440元． 【点评】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． 6．为增强国防意识，长沙某校于近日开展了国防教育竞技活动，提升了国防技能，培育了竞技精神．该校为比赛购买了甲、乙两种奖品．已知甲种奖品的单价是每件30元，乙种奖品的单价是每件15元，该活动一共需要购买甲、乙两种奖品共30件，设购买甲种奖品x件，购买奖品的总费用为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）若甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，请设计出最省钱的购买方案，并求出购买费用的最小值． 【分析】（1）根据题意w＝甲种奖品费用+乙种奖品费用，即可列出函数关系式； （2）由甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，得x（30﹣x），故x≥7.5，从而知x的最小值为8，再由一次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）根据题意得：w＝30x+15（30﹣x）＝15x+450； （2）∵甲种奖品的数量不少于乙种奖品的， ∴x（30﹣x）， 解得x≥7.5， ∵x为整数， ∴x的最小值为8； 在w＝15x+450中，15＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝8时，w取最小值，最小值为15×8+450＝570（元）， 此时30﹣x＝30﹣8＝22， ∴购买甲种奖品8件，乙种奖品22件，购买费用最小为570元． 【点评】本题考查一次函数，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式和列出不等式． 7．随着“公园城市”建设的不断推进，成都绕城绿道化身成为这座城市的一个超大型“体育场”，绿道骑行成为市民的一种低碳生活新风尚．甲，乙两人相约同时从天府绿道A地出发同向骑行至终点B地．已知甲骑行的速度是15km/h，乙从A地骑行至B地的路程s与时间t之间的关系如图所示（乙骑行时的速度保持不变）． （1）求甲从A地不停歇地骑行至B地所花费的时间； （2）乙在骑行27km后进行了短暂的休息，求乙休息的时长； （3）在（1）（2）的条件下，当甲，乙两人相距4km时，甲骑行了多长时间？ 【分析】（1）根据图象可得AB之间的距离，由时间＝路程÷速度计算即可； （2）根据坐标（0.5，9）可求得乙骑行的速度，根据时间＝路程÷速度可求得乙在不休息的情况下从A地到B地所用的时间，实际所用的时间减去这个时间即为休息的时长； （3）根据题意和（1）（2），作出甲从A地骑行至B地的路程s与时间t的函数图象，并分别用待定系数法求出甲和乙的s关于t的函数表达式，当甲，乙两人相距4km时，求出对应t的值即可． 【解答】解：（1）由图象可知，AB之间的距离为45km， ∴甲从A地不停歇地骑行至B地所花费的时间为45÷15＝3（h）； （2）由图象可知，乙的骑行速度是9÷0.5＝18（km/h）， ∴乙若从A地不停歇地骑行至B地所花费的时间是45÷18＝2.5（h）， 根据图象，乙从A地骑行至B地实际所花费的时间是3.5h， ∴乙休息的时长是3.5﹣2.5＝1（h）． （3）甲从A地骑行至B地的路程s与时间t之间的关系如图所示． ①甲的路程s与时间t之间的函数关系式： 设s＝kt，将坐标（3，45）代入， 得3k＝45，解得k＝15， ∴s＝15t． ②乙的路程s与时间t之间的函数关系式： 当0≤t＜1.5时，设s＝k1t，将坐标（0.5，9）代入， 得0.5k1＝9，解得k1＝18， ∴s＝18t； 当1.5≤t＜2.5时，s＝27； 当2.5≤t≤3.5时，设s＝k2t+b，将坐标（2.5，27）和（3.5，45）代入， 得，解得， ∴s＝18t﹣18； 综上，s． （3）当0≤t＜1.5时，|18t﹣15t|＝3t＝4，解得t； 当1.5≤t＜2.5时，|27﹣15t|＝4，即27﹣15t＝4或15t﹣27＝4，解得t或t； 当2.5≤t≤3时，|18t﹣18﹣15t|＝4，即18﹣3t＝4，解得t（不符合题意，舍去）； 综上，在（1）（2）的条件下，当甲，乙两人相距4km时，甲骑行了h或h或h． 【点评】本题考查一次函数的应用，作出甲的函数图象并用待定系数法求出函数解析式是本题的关键． 8．为了抗击新冠疫情，我市甲乙两工厂积极生产了某种防疫物资，甲工厂的生产量是200吨，乙工厂的生产量是300吨，现要把这批防疫物资全部运往A，B两地，A地需要240吨，B地需要260吨，运费如表所示： 目的地 生产厂 A地 B地 甲工厂 20元/吨 25元/吨 乙工厂 15元/吨 24元/吨 （1）设这批物资从乙工厂运往A地x吨，防疫物资全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当每吨运费降低n元（0＜n≤15，且n为整数），在（1）的结论下，若计划总运费不超过7200元，求n的最小值． 【分析】（1）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可； （2）根据题意以及（2）的结论可得y＝﹣4x+11000﹣500n，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可． 【解答】解：（1）设从乙工厂运往A地x吨，则从乙工厂运往B地（300﹣x）吨， 从甲工厂运往A地（240﹣x）吨，从甲工厂运往B地（x﹣40）吨， 由题意得：y＝15x+24（300﹣x）+20（240﹣x）+25（x﹣40）， ＝15x+7200﹣24x+4800﹣20x﹣1000+25x ＝﹣4x+11000， ∵， ∴40≤x≤240， 自变量x的取值范围为40≤x≤240， 答：y与x之间的函数关系式是y＝﹣4x+11000（40≤x≤240）； （2）由题意和（1）的解答得：y＝﹣4x+11000﹣500n， ∵﹣4＜0，40≤x≤240， ∴当x＝40时，y最大＝﹣4×40+11000﹣500n＝10840﹣500n， ∴10840﹣500n≤7200， 解得：n≥7.28， 而0＜n≤15且n为整数， ∴n的最小值为8． 【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出函数解析式和不等式组求解． 9．受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？ （3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值． 【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可． （2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，根据实际意义可以确定a的范围，结合付款总金额（元）与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少． （3）根据（2）的结论分情况讨论． 【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y＝k1x，根据题意得50k1＝1500， 解得k1＝30； ∴y＝30x； 当x＞50时，设y＝k2x+b， 根据题意得， ，解得， ∴y＝24x+300． ∴y， （2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克， ∴40≤a≤60， 当40≤a≤50时，w1＝30a+25（100﹣a）＝5a+2500． 当a＝40 时．wmin＝2700 元， 当50＜a≤60时，w2＝24a+300+25（100﹣a）＝﹣a+2800． 当a＝60时，wmin＝2740 元， ∵2740＞2700， ∴当a＝40时，总费用最少，最少总费用为2700 元． 此时乙种水果100﹣40＝60（千克）． 答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少． （3）由题意可设甲种水果为千克，乙种水果为千克 当时，即0≤a≤125， 则甲种水果的进货价为30元/千克， （40﹣30）a+（36﹣25）1650， 解得a， 与0≤a≤125矛盾，故舍去； 当时，即a＞125， 则甲种水果的进货总成本是（9.6a+300）元， 1650， 解得a≥150， ∴a的最小值为150． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/26 18:28:06；用户：沈晓伟；邮箱：orFmNt-72lbAHdKYUsSxwOObB6og@weixin.jyeoo.com；学号：23270586 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $