（易错复习讲义）常考易错知识点专题突破（八大专题37个易错点）-2025-2026学年四年级上册数学期末复习（人教版）

该小学数学讲义以四年级上册八大专题为框架，聚焦37个常考易错点，通过目录系统梳理知识脉络，将数位认识、面积换算、角的度量等核心内容按专题分类呈现，清晰标注重难点分布及内在联系。 讲义亮点在于“易错专练”分层设计，如大数改写中“四舍五入”专项练习、条形统计图绘制中的“一格代表几单位”实操题，培养运算能力与数据意识。每个易错点配典型例题，基础生可夯实基础，优秀生能突破难点，助力教师实施精准化复习教学。

常考易错知识点专题突破 2025-2026学年四年级上册数学 （八大专题37个易错点） 目录 专题一大数的认识 3 易错点1：数位与计数单位混淆​ 3 易错点2：读数时漏读“零”或多读“零” 5 易错点3：写数时位数不对齐，漏写“0”占位或写法错误 7 易错点4：大数比较时未逐位比较​​ 9 易错点5：改写“万”或“亿”作单位时未四舍五入 11 专题二公顷和平方千米 13 易错点1：面积单位进率混淆。 13 易错点2：复合单位换算错误。 15 易错点3：实际应用选错单位。 16 易错点4：解决问题时单位不统一。​ 20 专题三角的度量 24 易错点1：线段、直线、射线理解错误。 24 易错点2：数线段、直线或射线的条数要注意合并。 26 易错点3：数角的个数要注意合并。 28 易错点4：用量角器测量开口向右的角,一般要看内圈刻度；测量开口向左的角，一般要看外圈刻度。 30 易错点5：对平角、周角的认识不足，与直线、射线混淆​ 32 易错点6：画角时，度数刻度找错。 34 专题四三位数乘两位数 37 易错点1：计计算过程中的进位错误。 37 易错点2：积的末尾漏写0和漏乘积中间的0。 39 易错点3：积的变化规律应用错误。 42 易错点4：未能正确分清数量之间的关系，无法正确解决实际问题。 44 专题五平行四边形和梯形 47 易错点1：对“平行”和“垂直”的概念理解不清。 47 易错点2：作平行四边形和梯形的高时出错。 48 易错点3：平行四边形的特征理解错误。 52 易错点4：梯形的特征理解错误。 54 易错点5：数图形时遗漏或重复。 56 专题六除数是两位数的除法 58 易错点1：在计算商是两位数的笔算除法时没有除尽。 58 易错点2：在计算除数是两位数的除法时试商错误。 61 易错点3：用整十数试商时,错误地将整十数参与了运算。 63 易错点4：根据商不变的规律进行计算时,没有将余数末尾的0添上。 66 易错点5：被除数和除数的末尾同时去掉相同个数的0,商不变。 68 易错点6：“最多”与“至少”问题混淆。 70 专题七条形统计图 72 易错点1：没有掌握条形统计图的特征，随意乱画。 72 易错点2：忽略统计图中每格所代表的数量。 76 易错点3：绘制条形统计图时，“一格代表几个单位”设定不合理。 79 易错点4：根据统计图解决问题时提出数据错误，导致解决问题错误。 83 专题八数学广角—优化 90 易错点1：沏茶问题中混淆“先后”与“同时”。 90 易错点2：烙饼问题中错误计算时间。 94 易错点3：田忌赛马问题中策略选择错误。 98 专题一大数的认识 易错点1：数位与计数单位混淆​ 【易错专练1】一个八位数的最高位的计数单位是（ ）。 【答案】千万 【分析】在数位顺序表中，从个位起向左数，依次是个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位……计数单位依次是个、十、百、千、万、十万、百万、千万……一个八位数的最高位是千万位，计数单位是千万。 【解答】由分析可知：一个八位数的最高位的计数单位是千万。 【易错专练2】秒是很小的时间单位，一年按照365天计算有31536000秒。31536000的最高位是（ ）位，“5”在（ ）位上，表示（ ），它是由（ ）个万和（ ）个一组成的。 【答案】千万 十万 5个十万 3153 6000 【分析】31536000是一个八位数，最高位是千万位； 整数的右边起依次是个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位……，计数单位依次是个、十、百、千、万、十万、百万、千万……，哪一位上的数字是几就表示有几个相应的计数单位； 31536000由两级组成，万级是3153，表示3153个万，个级是6000，表示6000个一；据此解答即可。 【解答】秒是很小的时间单位，一年按照365天计算有31536000秒。31536000的最高位是千万位，“5”在十万位上，表示5个十万，它是由3153个万和6000个一组成的。 【易错专练3】73060400是一个（ ）位数，其中“6”在（ ）位上，表示6个（ ）。 【答案】八 万 万/一万/10000 【分析】一个自然数数位的个数，叫做位数； 数位指一个数中每一个数字所占的位置，整数部分从右往左是个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位、十亿位、百亿位……等； 计数单位就是数字计量单位，整数部分通常是一、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿……等，数字在哪个数位上，就表示有几个对应的计数单位；据此解答。 【解答】根据分析：73060400是一个八位数，其中“6”在万位上，表示6个万。 【易错专练4】不同数位上的数表示的意义不同，如百位上的“6”表示6个（ ），千万位上的“6”表示6个（ ）。 【答案】百 千万 【分析】根据对整数的数位和计数单位的认识进行填空；这个数位上是几，就表示几个该数位所对应的计数单位。 整数的数位从右往左依次为：个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、…… 整数的计数单位从右往左依次为：个、十、百、千、万、十万、百万、千万、……；依此填空。 【解答】根据分析可知，百位上的“6”表示6个百，千万位上的“6”表示6个千万。 【易错专练5】578000是（ ）位数，它的最高位是（ ），最高计数单位是（ ），数字“7”在（ ）位上，表示（ ）个（ ）。 【答案】六 十万位 十万 万 7 万 【分析】根据对整数数位和计数单位的认识，由几个数字组成则是几位数；从右到左依次是个位、十位、百位、万位……，计数单位分别是个、十、百、千、万……，据此判断最高位是哪一位和计数单位是什么；数字“7”在哪个数位上则表示有7个这个数位上的数，据此填空即可。 【解答】578000是六位数，它的最高位是十万位，最高计数单位是十万，数字“7”在万位上，表示7个万。 易错点2：读数时漏读“零”或多读“零” 【易错专练1】第七次全国人口普查结果公布：全国人口共1411780000人读作（ ），人口数约为（ ）亿。 【答案】十四亿一千一百七十八万 14 【分析】亿以上的数的读法：先分级，再从高位读起，读完亿级或万级的数，要加上亿字或万字，每级末尾不管有几个0都不读，其他数位有一个0或连续几个0，都只读一个零；用“四舍五入”法求近似数，看需要保留的下一位数，是0~4舍去，是5~9向前一位进一。 【解答】1411780000读作：十四亿一千一百七十八万； 1411780000≈14亿。 所以1411780000读作十四亿一千一百七十八万，人口数约为14亿。 【易错专练2】某市2024年国民经济和社会发展统计公报显示，经初步核算，2023年的全市生产总值是188810000000元。横线上的数读作（ ），省略亿位后面的尾数约是（ ）亿。 【答案】一千八百八十八亿一千万 1888 【分析】根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行“四舍五入”，再在数的后面写上“亿”字。 【解答】188810000000亿级上是1888，万级上是1000，读作：一千八百八十八亿一千万； 188810000000千万位是1，因为1＜5，则把亿位后面的数都舍去，所以188810000000≈1888亿 。 【易错专练3】2023年“五一”假期，国内旅游出游人次约为274000000，横线上的数读作（ ），写成以“万”为单位的数是（ ）万。 【答案】二亿七千四百万 27400 【分析】整数的读法：从高位读起，先读亿级，再读万级，最后读个级；读亿级和万级时按读个级的方法来读，读完亿级后加上一个“亿”字，读完万级后加上一个“万”字；每级末尾不管有几个0都不读，每级中间和前面有一个或连续几个0，都只读一个0。 改成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字。 【解答】274000000读作：二亿七千四百万 274000000＝27400万 2023年“五一”假期，国内旅游出游人次约为274000000，横线上的数读作二亿七千四百万，写成以“万”为单位的数是27400万。 【易错专练4】2023年我国普通小学在校生约有108079000人，此数读作（ ），初中生有五千二百四十三万六千九百人，此数写作（ ）。 【答案】一亿零八百零七万九千 52436900 【分析】读数时，把数先分级，从高位读起，亿级或万级的数按照个级的读法去读，再在每级的末尾加一个“亿”或“万”字，每级末尾的0都不读，每一级的开头或中间无论有几个0，都读一个0；亿以内数的写法，从最高位写起，先写亿级再万级最后写个级，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；据此解答。 【解答】108079000：一亿零八百零七万九千 五千二百四十三万六千九百：52436900 2023年我国普通小学在校生约有108079000人，此数读作一亿零八百零七万九千，初中生有五千二百四十三万六千九百人，此数写作52436900。 【易错专练5】2023年株洲“厂BA”篮球锦标赛在举办期间累计吸引了400余万人次到来，最高日流量破26万余人次，全网总曝光量约451300000余次。横线上的数读作（ ），省略亿位后面的尾数约为（ ）亿。 【答案】四亿五千一百三十万 5 【分析】根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零 ； 省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字 。 【解答】451300000亿级上是4，万级上是5130，所以读作四亿五千一百三十万； 451300000千万位上是5，根据四舍五入向亿位进1，约为5亿。 易错点3：写数时位数不对齐，漏写“0”占位或写法错误 【易错专练1】离太阳最近的一点叫“近日点”，距离太阳约一亿四千七百零九万八千零七十四千米，横线上的数写作（ ），省略这个数万位后面的尾数约是（ ）。 【答案】147098074 14710万 【分析】根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；省略这个数“万”位后面的尾数就是四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字。 【解答】一亿四千七百零九万八千零七十四，写作：147098074 147098074≈14710万 所以距离太阳约一亿四千七百零九万八千零七十四千米，横线上的数写作147098074，省略这个数万位后面的尾数约是14710万。 【易错专练2】据统计，我国使用网络的人数已经达到五亿九千八百零七万人，写作（ ）人，改写用“万”作单位的人数是（ ）万人，省略“亿”后面的尾数大约是（ ）亿人。 【答案】598070000 59807 6 【分析】根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数； 改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字； 省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。 【解答】五亿九千八百零七万写作：598070000 598070000＝59807万 598070000≈6亿 据统计，我国使用网络的人数已经达到五亿九千八百零七万人，写作598070000人，改写用“万”作单位的人数是59807万人，省略“亿”后面的尾数大约是6亿人。 【易错专练3】2025年4月4日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》全球票房已突破一百五十四亿六千七百万元人民币（约合21.5亿美元），跻身全球电影票房榜前五，横线上的数写作（ ），改写成用“万”作单位的数是（ ）。 【答案】15467000000 1546700万 【分析】写数时要从高位写起，一级一级地写；改写成用“万”作单位的数，在万位后面点上小数点，最后加上“万”字。 【解答】一百五十四亿六千七百万，百亿位写1，十亿位写5，亿位写4，千万位写6，百万位写7，其他数位用0占位 ，所以写作15467000000； 把15467000000改写成用“万”作单位的数，在万位后面点上小数点，去掉末尾的4个0，加上“万”字，得到1546700万 。 【易错专练4】世界客都梅州位于广东省东北部闽、粤、赣3省交界处。据2020年第七次全国人口普查数据显示，梅州市常住人口为三百八十七万三千二百三十九人。横线上的数写作（ ），省略万后面的尾数约是（ ）。 【答案】3873239 387万 【分析】亿以内数的写法，从最高位写起，先写万级再写个级，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字。 【解答】三百八十七万三千二百三十九，百万位是3，十万位是8，万位是7，千位是3，百位是2，十位是3，个位是9，所以写作3873239； 省略万后面的尾数求近似数，需看千位上的数，千位是3，根据“四舍五入”法，3小于5应舍去，所以3873239省略万后面的尾数约是387万。 【易错专练5】据最新的统计数据，2024年山东地区百家姓排名中，王姓稳依然居榜首，人口数是一千一百一十一万五千四百九十一人。横线上的数写作（ ），四舍五入到万位约是（ ）万。 【答案】11115491 1112 【分析】整数的写法，从高位到低位，一级一级的写，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，依此写出这个数即可； 省略万后面的尾数要看千位上的数，根据四舍五入法的原则，若千位上的数字大于等于5，就向万位进1；若千位上的数字小于5，就舍去千位及其后面数位上的数，然后在数的末尾处加一个万字。据此解答。 【解答】一千一百一十一万五千四百九十一写作：11115491 11115491≈1112万 即据最新的统计数据，2024年山东地区百家姓排名中，王姓稳依然居榜首，人口数是一千一百一十一万五千四百九十一人。横线上的数写作11115491，四舍五入到万位约是1112万。 易错点4：大数比较时未逐位比较​​ 【易错专练1】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 208808（ ）99999   3050000（ ）30500000 【答案】＞ ＜ 【分析】对于整数，可以先比较位数，位数多的数大；如果位数相同，则从最高位比起，最高位上数大的那个数大；如果最高位上的数也相同，再比较次高位，次高位上数大的那个数大，以此类推。 【解答】208808是六位数，99999是五位数，所以208808＞99999； 3050000是七位数，30500000是八位数，所以3050000＜30500000。 【易错专练2】据统计，今年澳门前三季度入境旅客人次统计表如下： 季度 第一季度 第二季度 第三季度 人次 8875800 6698000 10347100 从上表中可以看出，第（ ）季度入境旅客人次最多，第（ ）季度入境旅客人次最少。 【答案】三 二 【分析】比较数的大小，先看位数的多少，位数多的数就大，位数相同，从高位比较，高位上的数大则这个数大，高位上的数相同，就比较下一位，以此类推，据此比较三个季度的入境旅客人次，判断哪个季度最多，哪个季度最少即可。 【解答】10347100是八位数，是三个大数中最大的； 8875800和6698000都是七位数，百万位上8＞6，8875800＞6698000。 10347100＞8875800＞6698000 从上表中可以看出，第三季度入境旅客人次最多，第二季度入境旅客人次最少。 【易错专练3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 7020000（ ）7020000        453040（ ）534040 【答案】＝ ＜ 【分析】比较多位数大小时，位数多的数大，位数相同时，从最高位逐位对比，首位不同时可直接判断大小。 （1）两个数完全相同，位数与各位数字均一致。7020000＝7020000。 （2）从最高位（十万位）开始比较：4 ＜ 5，后续位数无需再比，453040＜534040。 【解答】根据分析可知： 7020000＝7020000              453040＜534040 【易错专练4】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 946850（ ）1240005             803004（ ）800304 1650000（ ）165万                 98989（ ）100000 【答案】＜ ＞ ＝ ＜ 【分析】大数大小比较：数位数，位数不同的两个数，位数多的那个数大。位数相同的两个数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大；如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，直到比较出大小为止。 【解答】946850是六位数，1240005是七位数，故946850＜1240005 803004和800304都是六位数，并且从最高位开始的前两位数都是一样的，千位上的数，803004是3，800304是0，3＞0，故803004＞800304 165万＝1650000，故1650000＝165万 98989是五位数，100000是六位数，故98989＜100000 【易错专练5】在括号里填上“＞”或“＜”。 89108（ ）89098    50048000（ ）105408000    100000（ ）99999 【答案】＞ ＜ ＞ 【分析】比较数的大小的方法：先看数位的多少，数位多的数就大，数位相同，从高位比较，高位上的数大则这个数大，高位上的数相同，就比较下一位，据此解答即可。 【解答】89108＞89098 50048000＜105408000 100000＞99999 易错点5：改写“万”或“亿”作单位时未四舍五入 【易错专练1】青海省第七次全国人口普查主要数据公报显示：全省常住人口为5923957人，横线上的数读作（ ），用“四舍五入”法省略万后面的尾数约是（ ）万。 【答案】五百九十二万三千九百五十七 592 【分析】亿以内数的读法：先读万级，再读个级。万级按照个级的读法先读出来，再在后面加上一个“万”字。每级末尾的0都不读，连续的几个0只读一个0。据此先读出横线上的数。 用“四舍五入”法省略万后面的尾数，看千位的大小。5923957的千位是3，需舍去万位后面的数，并在数的末尾添上一个“万”字。 【解答】青海省第七次全国人口普查主要数据公报显示：全省常住人口为5923957人，横线上的数读作五百九十二万三千九百五十七，用“四舍五入”法省略万后面的尾数约是592万。 【易错专练2】据第七次全国人口普查数据，普洱市少数民族人口数达一百四十五万零四百，这个数写作（ ），省略万位后面的尾数记作（ ） 【答案】1450400 145万 【分析】根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读， 每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零，即可读出此数；省略万位后面的尾数，要看千位上的数，根据四舍五入法的原则，若千位上的数字大于等于5，就向万位进1；若千位上的数字小于5，就舍去千位及其后面数位上的数。 【解答】由分析可得：据第七次全国人口普查数据，普洱市少数民族人口数达一百四十五万零四百，这个数写作1450400，省略万位后面的尾数记作145万。 【易错专练3】《中华大典》是一部涵纳百科的大型新式类书，全书共约745000000字，将横线上的数改写成用“万”作单位的数是（ ）万，省略亿位后面的尾数是（ ）亿。 【答案】74500 7 【分析】把一个整万数改写成用“万”作单位的数，只需要找到万位，把万位后面的4个0去掉，最后在数的后面写上“万”字； 一个数，要省略亿位后面的尾数并改写成用“亿”做单位的数，需要看千万位上数的大小，用“四舍五入”法求它的近似数，然后再省略亿位后面的尾数并添上一个“亿”字。据此解答。 【解答】745000000＝74500万。745000000的千万位上是4，需要舍去，所以745000000≈7亿。 《中华大典》是一部涵纳百科的大型新式类书，全书共约745000000字，将横线上的数改写成用“万”作单位的数是74500万，省略亿位后面的尾数是7亿。 【易错专练4】2024年7月27日，第33届巴黎奥运会开幕式在塞纳河上举行，空前盛宴，吸引观众达990000000人次。将划横线上的数改写成以“万”为单位是（ ）万，即“四舍五入”法省略亿位后面的尾数是（ ）亿。 【答案】99000 10 【分析】把一个整万数改写成用“万”作单位的数，只需要找到万位，把万位后面的4个0去掉，最后在数的后面写上“万”字；要省略一个数“亿”后面的尾数，需要看它的千万位上的数，根据“四舍五入”原则决定进一还是舍去，最后再在数的末尾加上一个“亿”字。据此解答。 【解答】990000000＝99000万。990000000的千万位上是9，需要进一，所以990000000≈10亿。 将990000000改写成以“万”为单位是99000万，即“四舍五入”法省略亿位后面的尾数是10亿。 【易错专练5】去年我国人口数为1409670000人，读作（ ）人，改写成万作单位的数是（ ）万人，省略“亿”后面的尾数约是（ ）亿人。 【答案】十四亿零九百六十七万 140967 14 【分析】整数的读法：从高位读起，先读亿级，再读万级，最后读个级；读亿级和万级时按读个级的方法来读，读完亿级后加上一个“亿”字，读完万级后加上一个“万”字；每级末尾不管有几个0都不读，每级中间和前面有一个或连续几个0，都只读一个0。 改写成用“万”作单位的数，就是去掉万位后面的4个0，再在数的后面写上“万”字。 省略“亿”位后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。 【解答】去年我国人口数为1409670000人，读作十四亿零九百六十七万，改写成万作单位的数是140967万人，省略“亿”后面的尾数约是14亿人。 专题二公顷和平方千米 易错点1：面积单位进率混淆。 【易错专练1】8公顷＝（ ）平方米    （ ）公顷＝7平方千米     26000000平方米＝（ ）公顷＝（ ）平方千米 【答案】80000 700 2600 26 【分析】根据1公顷＝10000平方米，1平方千米＝100公顷＝1000000平方米，据此单位换算。 【解答】8公顷中有8个1公顷，也就是8个10000平方米，即80000平方米，所以8公顷＝80000平方米； 700公顷中有7个100公顷，也就是7个1平方千米，即7平方千米，所以700公顷＝7平方千米； 26000000平方米中有2600个10000平方米，也就是2600个1公顷，即2600公顷，2600公顷中有26个100公顷，也就是26个1平方千米，即26平方千米，所以26000000平方米＝2600公顷＝26平方千米。 【易错专练2】5平方千米＝（ ）公顷   600000平方米＝（ ）公顷    25000000平方米＝（ ）公顷＝（ ）平方千米 【答案】500 60 2500 25 【分析】根据1平方千米＝100公顷，把5平方千米转换成相应公顷数即可。 根据1公顷＝10000平方米，把600000平方米转换成相应的公顷数即可。 根据1公顷＝10000平方米，先把25000000平方米转成相应的公顷数，再根据1平方千米＝100公顷，把结果转化成相应的平方千米。 【解答】1平方千米＝100公顷，5平方千米＝500公顷。 1公顷＝10000平方米，600000平方米＝60公顷。 根据分析，25000000平方米＝2500公顷＝25平方千米。 【易错专练3】17公顷（ ）平方米    80000公顷（ ）平方千米    40平方千米（ ）公顷（ ）平方米 【答案】170000 800 4000 40000000 【分析】因为1公顷＝10000平方米，17公顷里有17个1公顷，即17公顷里有17个10000平方米，所以17公顷＝170000平方米； 因为1平方千米＝100公顷，80000公顷里有800个100公顷，即80000公顷里有800个1平方千米，所以80000公顷800平方千米； 因为1平方千米＝100公顷，40平方千米里有40个1平方千米，也就是40平方千米里有40个100公顷，所以40平方千米＝4000公顷。因为1公顷＝10000平方米，4000公顷里有4000个1公顷，也就是4000公顷里有4000个10000平方米，所以4000公顷＝40000000平方米。 【解答】因为1公顷＝10000平方米，所以17公顷＝170000平方米； 因为1平方千米＝100公顷，所以80000公顷800平方千米； 因为1平方千米＝100公顷，1公顷＝10000平方米，所以40平方千米＝4000公顷＝40000000平方米。 17公顷＝170000平方米        80000公顷800平方千米 40平方千米＝4000公顷＝40000000平方米 【易错专练4】36500公顷＝（ ）平方千米  5平方千米＝（ ）公顷＝（ ）平方米 【答案】365 500 5000000 【分析】（1）根据100公顷＝1平方千米来换算单位即可。 （2）根据1平方千米＝100公顷＝1000000平方米来换算单位即可。 【解答】（1）36500公顷里面有365个100公顷，所以36500公顷＝365平方千米。 （2）1平方千米＝100公顷＝1000000平方米，所以5平方千米＝500公顷＝5000000平方米。 【易错专练5】9000公顷＝（ ）平方千米    30000平方米＝（ ）公顷 320000000平方米＝（ ）公顷＝（ ）平方千米 【答案】90 3 32000 320 【分析】1平方千米＝100公顷，1公顷＝10000平方米，高级单位换成低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率，据此解题。 【解答】9000公顷＝90平方千米    30000平方米＝3公顷 320000000平方米＝32000公顷＝320平方千米 【易错专练6】1公顷＝（ ）平方米        1平方千米＝（ ）公顷＝（ ）平方米 40000平方米＝（ ）公顷        3800公顷＝（ ）平方千米 【答案】10000 100 1000000 4 38 【分析】根据进率：1平方千米＝100公顷，1公顷＝10000平方米；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【解答】1公顷＝10000平方米 1平方千米＝100公顷＝1000000平方米 40000÷10000＝4（公顷），所以40000平方米＝4公顷。 3800÷100＝38（平方千米），所以3800公顷＝38平方千米。 易错点2：复合单位换算错误。 【易错专练1】3平方千米60公顷＝（ ）公顷 30000平方米＋2公顷＝（ ）平方米 【答案】360 【分析】第1题，根据1平方千米＝100公顷，将3平方千米的单位化为公顷，再加60即可解答此题。 第2题，根据1公顷＝10000平方米，将2公顷的单位化为平方米，再加30000即可解答此题。 【解答】3平方千米＝300公顷，300＋60＝360（公顷），3平方千米60公顷＝360公顷。 2公顷＝20000平方米，30000平方米＋20000平方米＝50000平方米，30000平方米＋2公顷＝50000平方米 【易错专练2】5公顷200平方米＝（ ）平方米。5平方千米-300公顷＝（ ）平方千米 【答案】50200，2 【分析】根据1平方千米＝100公顷、1公顷＝10000平方米，高级单位换算成低级单位，乘进率，低级单位换算成高级单位，除以进率，据此解答。 【解答】5公顷＝50000平方米，5公顷200平方米＝50200平方米。 1平方千米＝100公顷，300公顷＝3平方千米，所以5平方千米-300公顷＝2平方千米 【易错专练3】7公顷40平方米＝（ ）平方米 6平方千米4公顷＝（ ）公顷 【答案】70040 604 【分析】根据1公顷＝10000平方米，1平方千米＝100公顷，换算单位解答即可。 【解答】7公顷40平方米＝（70040）平方米 6平方千米4公顷＝（604）公顷 【易错专练4】60公顷400平方米＝（ ）平方米 6平方千米50公顷＝（ ）公顷 【答案】600400 【分析】将60公顷400平方米看成600公顷和400平方米的和，将60公顷换算成平方米乘以进率10000，再和400平方米相加； 将6平方千米50公顷看成6平方千米和50公顷的和，将6平方千米换算成公顷乘以进率100，再和50公顷相加。 【解答】 60公顷400平方米＝600004平方米 6平方千米50公顷＝650公顷 易错点3：实际应用选错单位。 【易错专练1】我国陆地面积大约是960万（ ）；学校操场的面积约为1（ ）。 【答案】平方千米/km2 公顷/hm2 【分析】1平方米大约有教师讲桌桌面那么大，计量门、房间、操场的面积一般用平方米作单位，1公顷＝10000平方米，计量公园、体育运动场馆等常用公顷作单位， 1平方千米＝100公顷，计量省、市、县的面积常用平方千米作单位，结合本题数据的大小，计量我国陆地面积用平方千米作单位比较合适，计量学校操场的面积用公顷作单位比较合适；据此即可解答。 【解答】我国陆地面积大约是960万平方千米；学校操场的面积约为1公顷。 【易错专练2】张家口市位于河北省西北部，总占地面积36357平方千米，万全区位于张家口市中部地区，占地面积大约是1161（ ），万全区体育场是万全人民健身娱乐场所，占地面积约3（ ）。 【答案】平方千米/ km² 公顷/hm 【分析】计量比较大的土地面积，常用“平方千米”（km²）作单位，边长是1千米的正方形的面积是1平方千米。所以计量万全区的面积可以用平方千米作单位。 测量土地的面积可以用“公顷”作单位，公顷用字母hm来表示。400米跑道围起来的部分面积大约是1公顷。所以计量体育场的面积用“公顷”比较合适。 【解答】根据实际情况，张家口市位于河北省西北部，总占地面积36357平方千米，万全区位于张家口市中部地区，占地面积大约是1161平方千米（km²），万全区体育场是万全人民健身娱乐场所，占地面积约3公顷（hm）。 【易错专练3】在（    ）里填上适当的面积单位。 （1）国家游泳中心（“水立方”）的占地面积约6（ ）。 （2）济南市的辖区面积约10244（ ）。 （3）一间教室的面积约63（ ）。 【答案】（1）公顷/hm2 （2）平方千米/km2 （3）平方米/m2 【分析】常用的面积单位有平方厘米，平方分米，平方米。我们知道，指甲盖的面积大约1平方厘米，手掌的面积大约1平方分米，一块地板砖的面积大约1平方米。计量比较大的土地面积，可以用公顷和平方千米做单位。边长是100米的正方形的面积为1公顷，边长是1千米的正方形的面积为1平方千米 （1）国家游泳中心（“水立方”）的占地面积很大，所以选择公顷做单位比较合适。 （2）济南市的辖区面积特别大，所以选择平方千米做单位比较合适。 （3）一间教室的面积比一块地板砖的面积大很多，所以选择平方米做单位比较合适。 【解答】（1）国家游泳中心（“水立方”）的占地面积约6公顷。 （2）济南市的辖区面积约10244平方千米。 （3）一间教室的面积约63平方米。 【易错专练4】在括号里填写合适的单位名称。 亮亮家住在美好家园小区，他家的占地面积约是115（ ）。目前在规划建设中的美好小学位于新七大道与三十二大街的交汇处，该校的总建筑面积约是4（ ）。美好小学东边800（ ）处是新建的大型植物园，它的规划总面积约是2（ ）。 【答案】平方米/ 公顷/ 米/m 公顷/ 【分析】根据生活实际，对长度单位，面积单位和数据大小的认识可知， 计量普通物体的面积一般用平方米（）作单位，一个普通家庭的地面占地面积大约100平方米左右，所以亮亮家的占地面积约是用“平方米”作单位比较合适； 计量较大建筑的面积一般用公顷（）作单位，一所医院的占地面积大约5公顷左右，所以该校的总建筑面积约是用“公顷”作单位比较合适； 在学校的周边建大型植物园，大型植物园距美好小学太远和太近都不合适，美好小学东边800米处是新建的大型植物园，所以选择用“米”作单位比较合适； 计量较大建筑的面积一般用公顷（）作单位，一个标准体育场的面积大约是6公顷‌左右，所以大型植物园的规划总面积约是用“公顷”作单位比较合适。 【解答】亮亮家住在美好家园小区，他家的占地面积约是115平方米。目前在规划建设中的美好小学位于新七大道与三十二大街的交汇处，该校的总建筑面积约是4公顷。美好小学东边800米处是新建的大型植物园，它的规划总面积约是2公顷。 【易错专练5】填上合适的单位：暑假我和爸爸妈妈去首都北京游玩，乘坐飞机从北京的上空向下看，发现北京真大呀！我用手机搜索后，知道了北京市的面积是16410（ ）。在北京游玩的第一天，我们参观了天安门广场，又参观了占地面积约72（ ）的故宫博物院。晚上我们到宾馆休息，我们住的房间面积约是15（ ）。 【答案】平方千米/km² 公顷/hm² 平方米/m² 【分析】面积的常用单位有公顷、平方千米、平方米、平方分米等，1公顷比一个标准足球场稍大一点，1平方千米大约是小型湖泊的湖面面积，1平方米大约1张方桌面的大小，1平方分米大约1个成人手掌面的大小，所以北京市的面积是16410平方千米在北京游玩的第一天，我们参观了天安门广场，又参观了占地面积约72公顷的故宫博物院。晚上我们到宾馆休息，我们住的房间面积约是15 平方米。 【解答】由分析可知，北京市的面积是16410平方千米。在北京游玩的第一天，我们参观了天安门广场，又参观了占地面积约72公顷的故宫博物院。晚上我们到宾馆休息，我们住的房间面积约是15 平方米。 【易错专练6】请完善下面这段话中空缺的单位。 一个长方形广场，长2千米，宽1千米，王叔叔每天都要绕着这个广场走一圈，走的路程是6（ ），这个广场占地面积是2（ ），合2000000（ ）。在广场中间有一个边长200米的正方形荷花池，荷花池占地面积是4（ ）。 【答案】千米/km 平方千米/km2 平方米/m2 公顷/hm2 【分析】根据题意，王叔叔绕这个广场走一圈，其实就是这个广场的周长，则（2＋1）×2＝3×2＝6千米。其面积则为2×1＝2平方千米。再根据1平方千米＝100公顷＝1000000平方米，2平方千米＝2000000平方米。根据正方形的面积公式，荷花池占地面积为200×200＝40000平方米＝4公顷。 【解答】（2＋1）×2 ＝3×2 ＝6（千米） 2×1＝2（平方千米） 2平方千米＝2000000平方米 200×200＝40000（平方米）＝4（公顷） 即一个长方形广场，长2千米，宽1千米，王叔叔每天都要绕着这个广场走一圈，走的路程是6（千米），这个广场占地面积是2（平方千米），合2000000（平方米）。在广场中间有一个边长200米的正方形荷花池，荷花池占地面积是4（公顷）。 【易错专练7】在括号里填上合适的单位。 （1）北京奥林匹克公园作为2022年冬季奥运会的核心区和主承载区，占地面积约是12（ ）。 （2）学校餐厅的面积约200（ ）。 （3）第19届亚运会于2023年9月23日在杭州开幕，主场馆奥体博览城规划总面积约为6（ ），分场馆温州奥体中心二期占地面积约为23（ ）。 【答案】（1）平方千米/km2 （2）平方米/m2 （3）平方千米/km2 公顷/hm2 【分析】根据生活经验、对面积单位和数据大小的认识填空即可。 边长是1千米的正方形的面积是1平方千米，1平方千米的面积比2个天安门广场的面积还要大一些，计量北京奥林匹克公园的占地面积，结合数据12可知，应用“平方千米”作单位；计量第19届亚运会主场馆奥林博览城规划总面积，结合数据6可知，应用“平方千米”作单位。 边长是1米的正方形的面积是1平方米。双人课桌面的面积大约是1平方米，所以计量教室门的面积用“平方米”作单位比较合适。计量学校餐厅的面积，结合数据200可知，应用“平方米”作单位； 边长是100米的正方形的面积是1公顷，400米跑道围起来的部分的面积大约是1公顷，计量温州奥体中心二期，结合数据23可知，应用“公顷”作单位。据此解答即可。 【解答】（1）北京奥林匹克公园作为2022年冬季奥运会的核心区和主承载区，占地面积约是12（平方千米）。 （2）学校餐厅的面积约200（平方米）。 （3）第19届亚运会于2023年9月23日在杭州开幕，主场馆奥体博览城规划总面积约为6（平方千米），分场馆温州奥体中心二期占地面积约为23（公顷）。 易错点4：解决问题时单位不统一。​ 【易错专练1】一辆压路机每分钟行驶25米，压轮的宽度是2米，如果所压的道路不重复，那么它10小时共能压路多少公顷？ 【答案】3公顷 【分析】先用25×2求出1分钟压路的面积是多少平方米，1小时＝60分钟，再乘60就是1小时压路的面积是多少平方米，再乘10就是10小时一共压路的面积是多少平方米，根据1公顷＝10000平方米，再把平方米数换算成用公顷作单位即可。 【解答】25×2×60×10 ＝50×60×10 ＝3000×10 ＝30000（平方米） 30000平方米＝3公顷 答：它10小时共能压路3公顷。 【易错专练2】一块长方形荒地，长是1700米，宽是1000米，建房修路后，长减少了200米，宽减少了300米，这块荒地的面积还剩多少公顷？ 【答案】105公顷 【分析】根据题意，用1700－200即可求出修路后长方形地的长，用1000－300即可求出修路后长方形的宽，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据求出修路后荒地剩下的面积，再根据1公顷＝10000平方米，将结果换算成公顷。据此解答即可。 【解答】长：1700－200＝1500（米） 宽：1000－300＝700（米） 面积：1500×700＝1050000平方米 1050000平方米＝105公顷 答：这块荒地的面积还剩105公顷。 【易错专练3】一个长方形菜园，长50米，宽40米。这块菜园的面积是多少平方米？多少个这样的菜园的面积是1公顷？ 【答案】2000平方米；5个 【分析】长方形面积＝长×宽，用50×40即可求出这块菜园的面积是多少平方米；1公顷＝10000平方米，据此判断多少个这样的菜园的面积是1公顷。 【解答】50×40＝2000（平方米） 2000×5＝10000（平方米） 10000平方米＝1公顷 答：这块菜园的面积是2000平方米，5个这样的菜园的面积是1公顷。 【易错专练4】为了美化我们的城市环境，政府计划在城市道路旁修建花坛种花。如果每平方米花坛种4朵花，那么1公顷的花坛中需要种多少朵花？ 【答案】40000朵 【分析】1公顷＝10000平方米，用花坛的面积乘4计算种花的朵数即可。 【解答】1公顷＝10000平方米 10000×4＝40000（朵） 答：1公顷的花坛中需要种40000朵花。 【易错专练5】王伯伯在当地被称为“果艺大师”，他修剪果树就像艺术家对待作品一样精心照料果园里的每一颗果树，让它们茁壮成长，结出丰硕的果实。王伯伯的果园长800米，宽50米，这个果园的面积是多少公顷？如果给这个果园围上篱笆，篱笆长多少米？ 【答案】4公顷；1700米 【分析】根据题意，根据长方形的面积＝长×宽，已知王伯伯的果园长800米，宽50米，代入公式，即可求出这个果园的面积是多少平方米；1公顷＝10000平方米，求出的这个果园的面积里面有几个10000平方米，就是几公顷，据此将求出的这个果园的面积单位换算为公顷即可。 要求出给这个果园围上篱笆，篱笆长多少米，也就求这个果园的周长，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数据，求出这个果园的周长即可解答。 【解答】800×50＝40000（平方米） 40000平方米＝4公顷 （800＋50）×2 ＝850×2 ＝1700（米） 答：这个果园的面积是4公顷；篱笆长1700米。 【易错专练6】一架飞机在一片长250千米，宽8米的防护林带上空喷洒农药。这片防护林带的面积是多少平方米？合多少公顷？合多少平方千米？ 【答案】2000000平方米；200公顷；2平方千米 【分析】长方形的面积＝长×宽。由题意得，一架飞机在一片长250千米，宽8米的防护林带上空喷洒农药，可以根据1千米＝1000米先将250千米转化为多少米，然后再乘上8米即可算出这片防护林带的面积。接着根据10000平方米＝1公顷，100公顷＝1平方千米将其单位转化为多少公顷或平方千米即可。 【解答】250×1000＝250000，所以250千米＝250000米。 250000×8＝2000000（平方米） 10000平方米＝1公顷，10000×200＝2000000，即2000000里面有200个10000，所以2000000平方米＝200公顷。 100公顷＝1平方千米，所以200公顷＝2平方千米。 答：这片防护林带的面积是2000000平方米，合200公顷，合2平方千米。 【易错专练7】一个长方形林场的宽为2千米，王叔叔开车绕一圈花了25分钟，正好行了22千米。这个林场的面积是多少公顷？ 【答案】1800公顷 【分析】由题干信息可知这个林场的周长是22千米，这个林场是长方形的，长方形周长＝（长＋宽）×2，逆用周长公式，22除以2即可求出长与宽的和是11，再给11减宽，即可求出其长，根据长方形面积＝长×宽，代入数据计算出面积，最后根据1平方千米＝100公顷，将单位化为公顷即可。 【解答】22÷2－2 ＝11－2 ＝9（千米） 9×2＝18（平方千米） 18平方千米＝1800公顷 答：这个林场的面积是1800公顷。 【易错专练8】刘叔叔家小区一共有75幢住宅楼。每幢楼的长是80米，宽是10米。小区内有一则《简介》：本小区共占地13公顷，其中游乐场、网球场、健身房等公共设施占地3公顷，绿化面积超过5公顷。这则《简介》的内容真实吗？为什么？ 【答案】不真实；实际的绿化面积不足5公顷 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，求出75幢住宅楼的占地面积，再用小区的总面积减去住宅楼的占地面积，又减去游乐场、网球场、健身馆等公共设施的占地面积，得出绿化面积实际有多少公顷，再与简介中的绿化面积比较即可。 【解答】 （平方米） （公顷） 答：这则简介的内容不真实，实际的绿化面积不足5公顷。 【易错专练9】《孟子•梁惠王上》中说：“海内之地，方千里者九。”“方千里”指横纵各一千里，也就是边长为1000里的正方形。已知1里＝500米，那么“方二里”的面积是多少平方米？合多少公顷？ 【答案】1000000平方米；100公顷 【分析】根据题意可知，方二里＝1000米，根据“正方形的面积＝边长×边长”计算 “方二里”的面积，再根据单位换算1公顷＝10000平方米求出合多少公顷，据此解答。 【解答】方二里＝1000米 1000×1000＝1000000（平方米） 1000000平方米＝100公顷 答：方二里”的面积是1000000平方米，合100公顷。 【易错专练10】王叔叔有一个长200米，宽100米的长方形果园准备扩建。 （1）如果长和宽都扩大到原来的2倍，那么果园的面积增加了多少公顷？ （2）扩建后果园全部种植苹果树，每棵苹果树的占地面积是8平方米，这个果园可以种植多少棵苹果树？ 【答案】（1）6公顷 （2）10000棵 【分析】（1）根据长和宽都扩大到原来的2倍，求出扩大后的长与宽，再根据长方形的面积＝长×宽，分别求出扩大之前和扩大之后的面积，再相减即可求出增加的面积，注意面积单位的换算（1公顷＝10000平方米）； （2）根据包含除法的意义，用扩建后的面积除以每棵苹果树的占地面积，即可求出这个果园可以种植多少棵苹果树。 【解答】（1）扩大之前的面积：200×100＝20000（平方米） 扩大之后的面积：（200×2）×（100×2） ＝400×200 ＝80000（平方米） 80000－20000＝60000（平方米） 60000平方米＝6公顷 答：果园的面积增加了6公顷。 （2）80000÷8＝10000（棵） 答：这个果园可以种植10000棵苹果树。 专题三角的度量 易错点1：线段、直线、射线理解错误。 【易错专练1】一条直线长50米，一条线段长200米，线段比直线长150米。（ ） 【答案】× 【分析】直线没有端点，可以向两端无限延伸，因此直线没有确定的长度。题目中提到的“直线长50米”不符合直线的定义，属于错误描述。线段有两个端点，长度是有限的，题目中线段长200米是正确的。由于直线的长度无法测量，因此无法比较线段和直线的长度，原题结论错误。 【解答】直线是无限长的，没有具体的长度，因此题目中“一条直线长50米”的说法错误，无法与线段的长度进行比较。 故答案为：× 【易错专练2】射线只能向一端延长，而直线可以向两端延长，所以射线可以测量长度而直线不能测量。（ ） 【答案】× 【分析】直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的几何图形；射线只有一个端点，只能向一个方向无限延长的、不可测量长度的几何图形。 【解答】根据直线和射线的含义可知：直线能向两个方向无限延长，而射线只能向一个方向无限延长，但直线和射线都无限长，所以无法测量，所以原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练3】小华把一条长3厘米线段的一端延长6厘米，就得到了一条长9厘米的射线。（ ） 【答案】× 【分析】把线段向一端无限延伸，就得到一条射线，射线只有一个端点，不可以测量长度。线段有两个端点，可以测量长度；依此判断。 【解答】根据分析可知： 小华把一条长3厘米线段的一端延长6厘米，就得到了一条长9厘米的线段。原题说法错误。 故答案为：× 【易错专练4】左图中的射线可以读作射线BA。（ ） 【答案】× 【分析】根据射线的定义：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可知射线不光包括端点，也包括它一旁的部分，读射线时应从端点读起，据此解答。 【解答】根据解析可知，左图中的射线可以读作射线AB，原题表达错误。 故答案为：× 【易错专练5】孙悟空一念咒语，他的金箍棒就会向两端无限伸长，金箍棒就相当于一条直线。（ ） 【答案】√ 【分析】根据直线的特点：直线没有端点，两端可以无限延长，不可以量出长度；这根向两端无限延伸的金箍棒相当于一条直线。 【解答】直线无端点，可以两段无限延伸，所以这个两端无限伸长的金箍棒相当于一条直线。 故答案是：A 易错点2：数线段、直线或射线的条数要注意合并。 【易错专练1】（ ）条直线  （ ）条线段  （ ）条射线 【答案】1 10 10 【分析】（1）直线没有端点，可以向两端无限延伸，不能量出长度；（2）线段有两个端点，不能延伸，能量出长度。（3）射线只有一个端点，只能向一端无限延伸，不能量出长度. 【解答】（1）直线没有端点，题图中共有1条直线。 （2）线段有两个端点，直线上的五个端点，每两个端点组成1条线段，因此共有10条线段。 （3）射线有一个端点，每个端点处各有2条射线，共有10条射线。 【易错专练2】高铁是我们重要的交通工具，往返于梅州西站和广州南站的高铁，除起点站和终点站外，中间还要停靠4个站，那么要准备（ ）种车票。 【答案】30 【分析】根据题意画线段图：先求出线段的条数，再计算车票的种数。 【解答】根据线段的定义：可知图中共有线段有AC，AD，AE，AF，AB，CD，CE，CF，CB，DE，DF，DB，EF，EB，FB，一共15条。 （种） 因为每一段路程可以有往返两种车票，故要准备30种车票。 【易错专练3】如图中，共有（ ）条直线，（ ）条射线，（ ）条线段。 【答案】1 6 1 【分析】线段：一根拉紧的线，绷紧的弦，都可以看作线段。线段有两个端点，有长短；直线：把线段向两端无限延伸，就得到一条直线。直线没有端点，是无限长的；射线：把线段向一端无限延伸，就得到一条射线，射线只有一个端点，是无限长的。据此填空即可。 【解答】经过两个端点有一条直线； 第一个端点向上向左向右各有一条射线，第二个端点向斜上向左向右各有一个射线，一共有6条； 两个端点之间的连线是一条线段。 图中，共有1条直线，6条射线，1条线段。 【易错专练4】下图中有（ ）条线段，有（ ）条射线，有（ ）条直线。 【答案】9 14 2 【分析】根据对直线、射线、线段的认识，直线是把线段的两端无限延长，得到一条直线，射线是经过两个点可以画一条直线，并且只能画一条直线（两点确定一条直线）。把线段的一端无限延长，得到一条射线。线段是直线上任意两点之间的一段叫做线段。据此可数出线段、射线、直线的数量。 【解答】 将图中的几个端点命名为A、B、C、D、E、F，如图：。 图中的线段有AB、AC、AD、BC、BD、CD、EB、EF、BF，共有9条线段。 根据射线的概念，其中A、C、D、E、F这5个点每个端点可有两个方向的射线，其中B点可有四个方向的射线，所以射线共有5×2＋4＝10＋4＝14（条）。 图中的直线是线段AD所在的直线和线段EF所在的直线，所以有2条直线。 因此，图中有9条线段，有14条射线，有2条直线。 易错点3：数角的个数要注意合并。 【易错专练1】数一数，下图中一共有（ ）个角。 【答案】6 【分析】从图中可知，由1个角组成的角有3个，由2个角组成的角有2个，由3个角组成的角有1个，共有： 3＋2＋1＝6（个）。 【解答】3＋2＋1＝6（个） 数一数，下图中一共有6个角。 【易错专练2】数一数，填一填。 一共有（ ）个角。 【答案】10 【分析】角的概念：一点引出两条射线所形成的图形叫做角。由图可知，图中有4个较小的角，由2个小角组成的角有3个，由3个小角组成的角有2个，由4个小角组成的角有1个，一共有（4＋3＋2＋1）个角。 【解答】4＋3＋2＋1＝10（个） 故图中一共有10个角。 【易错专练3】数一数，下图中共有（ ）个角。 【答案】14 【分析】从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，单个的角有10个，由2个角组成的大角有4个，依此即可计算出角的总个数。 【解答】10＋4＝14（个），即图中共有14个角。 【点评】熟练掌握角的特点是解答此题的关键。 【易错专练4】数一数，填一填。 图形 射线条数/条 2 3 （    ） （    ） （    ） 角的个数/个 1 3 （    ） （    ） （    ） 【答案】4；5；6 6；10；15 【分析】观察规律解答，2条射线组成一个角，射线的条数加1，角的数量等于＝射线的数量×（射线的数量－1）÷2，据此计算解答。 【解答】4×（4－1）÷2 ＝4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（个） 5×（5－1）÷2 ＝5×4÷2 ＝20÷2 ＝10（个） 6×（6－1）÷2 ＝6×5÷2 ＝30÷2 ＝15（个） 填表如下： 图形 射线条数/条 2 3 4 5 6 角的个数/个 1 3 6 10 15 【点评】此题主要考查计数方法的应用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力。 易错点4：用量角器测量开口向右的角,一般要看内圈刻度；测量开口向左的角，一般要看外圈刻度。 【易错专练1】看量角器上的刻度，填出每个角的度数。 （ ）    （ ）        （ ） 【答案】130 50 85 【分析】量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此填空即可。 【解答】观察第一个角，角的一条边与量角器外圈0°刻度线重合，另一条边指向外圈的130°刻度线，所以这个角的度数是130°； 第二个角，角的一条边与量角器外圈0°刻度线重合，另一条边指向外圈50°刻度线，所以这个角的度数是50°； 第三个角，角的一条边与量角器内圈0°刻度线重合，另一条边指向内圈85°刻度线，所以这个角的度数是85°。 【易错专练2】奇奇用一个破损的量角器测量一个角，角的一条边和外圈的10°刻度线重合，读数时误读了内圈的刻度，读出的度数是110°，这个角的实际度数是（ ）。 【答案】60° 【分析】量角器的内圈和外圈刻度是互补的，即同一位置的内圈刻度与外圈刻度之和是180°，用180°减去读数时误读的内圈度数即是正确的外圈读数，再用正确的外圈读数减去初始对齐的外圈刻度，即可求出这个角的实际度数。 【解答】180°－110°－10° ＝70°－10° ＝60° 因此，这个角的实际度数是60°。 【易错专练3】图中∠1是 度。 【答案】120 【分析】根据题意，仔细观察图，根据量角的方法，已知∠1的其中一条边与量角器的0度刻度线对齐，然后观察另一条边对准的刻度即可。由图可见，∠1所对的刻度是120度，故∠1＝120度。以此答题即可。 【解答】根据分析可知： 图中∠1是120度。 【易错专练4】小依的量角器坏了（如图），她灵机一动，想出了新的量角方法，则这个角是（ ）度。 【答案】80 【分析】量角的方法：当角的两边都没有对准0刻度，要么都从外圈读出两边所对刻度相减，要么都从内圈读出两边所对刻度相减。 【解答】140°－60°＝80°或120°－40°＝80° 这个角是80度。 【易错专练5】学习角的度量后，李明自制了一个特殊量角器（如下图），已知1大格的度数是15度，那么下图量角器上量的角是（ ）度。 【答案】65 【分析】根据题图可知，1大格被平均分成3小格，又已知1大格的度数是15度，所以1小格是15°÷3＝5°；图中量角器量的角有4大格1小格，即这个角度数是：4×15°＋5°；据此计算出结果，即可求出题图量角器上量的角是多少度。 【解答】4×15°＋15°÷3 ＝60°＋5° ＝65° 即学习角的度量后，李明自制了一个特殊量角器（如下图），已知1大格的度数是15度，那么下图量角器上量的角是65度。 易错点5：对平角、周角的认识不足，与直线、射线混淆​ 【易错专练1】比直角小的角是（ ），比直角大且比平角小的角是（ ）。 【答案】锐角 钝角 【分析】按角的大小进行分类：大于0°小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，等于180°的角是平角。据此作答。 【解答】根据分析可知： 锐角＜直角＜钝角＜平角 所以，比直角小的角是锐角，比直角大且比平角小的角是钝角。 【易错专练2】90°   180°   45°    72°    175°    100°    360° 直角            平角           周角        锐角          钝角 【答案】见详解 【分析】直角是90°，大于0°小于90°的角是锐角，大于90°小于180°的是钝角。平角是180°，周角是360°。据此分类即可。 【解答】90°是直角，180°是平角， 45°、72°都是锐角， 175°是钝角，100°是钝角， 360°是周角。填写如下所示： 【易错专练3】钟面上3：00，时针和分钟所成的角是（ ）角，2：30时针和分针所成的角是（ ）角，（ ）时，时针和分针所成的角是平角。 【答案】直 钝 6 【分析】时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°。钟面上3：00，分针指向12，时针指向3，12和3之间相差3个大格，夹角应为3×30°＝90°；2：30，分针指向6，时针在2和3之间，夹角应大于3×30°，小于4×30°。根据大于0°小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，据此可判断角的类型；然后根据平角为180°，6×30°＝180°，则时针和分针之间有6个大格时，夹角成平角。而整时，分针指向12，则时针应指向6，此时为6时。 【解答】根据分析： 3×30°＝90°，所以3：00，时针和分钟所成的角是直角； 4×30°＝120°，所以2：30时针和分针所成的角大于90°，小于180°，是钝角； 6×30°＝180°，所以6时，时针和分针所成的角是平角。 综上可知，钟面上3：00，时针和分钟所成的角是直角，2：30时针和分针所成的角是钝角，6时，时针和分针所成的角是平角。 【易错专练4】把一个平角分成两个角，那么这两个角可能是（ ）角和（ ）角，也可能是（ ）角和（ ）角。 【答案】锐角 钝角 直角 直角 【分析】一个平角180°分成两个角：一种情况是两个角都是直角90°＋90°＝180°，另一种情况是一个锐角（小于90°）＋一个钝角（大于90°小于180°）。 【解答】根据分析可知：把一个平角分成两个角，那么这两个角可能是锐角和钝角，也可能是直角和直角。 【易错专练5】平角比220°小（ ）°，平角的一半是（ ）角。过一点可以画（ ）条直线，经过两点可以画（ ）条直线。线段有（ ）个端点。 【答案】40 直 无数 一/1 两/2 【分析】平角的度数是180°。求平角比220°小多少度，用减法计算；直角的度数是90°，直角的度数是平角的一半；过一个点和过两个点可以画的直线如下图： 由图可知，经过一点可以画无数条直线，经过两点可以画一条直线；线段有两个端点。 【解答】220°－180°＝40°，180°÷2＝90° 平角比220°小40°，平角的一半是直角。过一点可以画无数条直线，经过两点可以画一条直线。线段有两个端点。 易错点6：画角时，度数刻度找错。 【易错专练1】画一画。 以A为顶点，画一个35度的角。 【答案】见详解 【分析】用量角器画角的方法：①画出一条射线，用量角器的中心点和射线的端点重合，0刻度线与射线重合；②在量角器上找出所要画的角的点，点上点；③以射线的端点过刚画出的点，画出射线即可，据此作图即可。 【解答】 【易错专练2】画出下面的角。 35°    65°    95°    125° 【答案】见详解 【分析】用量角器画角的步骤： 1、两重合：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。 2、点度数：在量角器所画角的度数对应的刻度线的地方点上一个点。 3、画射线：以画的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 【解答】 【易错专练3】以A点为端点画射线AB，再以射线AB为边，画一个125°的角。 【答案】见详解 【分析】（1）先以A为端点连接AB并且向B方向延伸画出射线AB。 （2）使量角器的中心和射线的端点A重合，零刻度线和射线AB重合，在量角器120°角刻度线的地方点一个点，以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线即可作成一个125°的角。 【解答】如图： 【易错专练4】画一画。 在下图的量角器上，以O为顶点，画一个105°的角。 【答案】见详解 【分析】先以O点为端点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，看量角器的内圈，然后在量角器105°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；依此画图即可。 【解答】如图所示： 专题四三位数乘两位数 易错点1：计计算过程中的进位错误。 【易错专练1】列竖式计算。          【答案】9775；8208；21480 【分析】三位数乘两位数的计算方法：先是用两位数的个位上的数字与三位数相乘，所得的积末尾与个位对齐；接着用两位数的十位上的数字与三位数相乘，所得的积末尾与十位对齐，最后把两次乘得的积相加；当乘数末尾有0时，可先不让0参与计算，最后将0的个数补在积的末尾处即可。 【解答】23×425＝9775        304×27＝8208         537×40＝21480                                      【易错专练2】笔算下面各题。（带※的要验算） 208×74＝    659×32＝    650×80＝    ※58×360＝ 【答案】15392；21088；52000；20880 【分析】计算三位数乘两位数：把数位对齐，从个位乘起，用第二个因数的每一位分别去乘第一个因数的每一位，乘到哪一位就把积的个位写在那一位下面，乘到哪一位满几十，就向前一位进几，最后把乘得的积加起来；三位数中间有0也要乘，因数末尾有0，可以先把0前面的数相乘，再在积的后面添上相同个数的0；可以利用交换因数位置再相乘，看结果是否相等进行验算。据此计算。 【解答】208×74＝15392 659×32＝21088              650×80＝52000   ※58×360＝20880      验算： 【易错专练3】我会算。                         【答案】13156；11066；31500 【分析】三位数乘两位数，把两位数的个位数字分别与三位数的个位、十位、百位数字相乘，并将乘得结果的末位数字与这个三位数的个位数字对齐，再把两位数的十位数字分别与三位数的个位、十位、百位数字相乘，并将乘得结果的末位数字与这个三位数的十位数字对齐，满10时向前一位进1，最后将两次乘得的结果相加即可。 【解答】572×23＝13156     503×22＝11066        450×70＝31500                     【易错专练4】笔算。 138×16＝          407×35＝          930×204＝ 【答案】2208；14245；189720 【分析】两位数乘三位数，先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末尾和两位数的个位对齐，再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末尾和两位数的十位对齐，然后把两次乘的结果加起来。当乘数末尾有零时，先算零前面的数，再在积的末尾添加对应个数的零。 【解答】138×16＝2208 407×35＝14245 930×204＝189720                【易错专练5】列竖式计算。 308×52＝        660×75＝        35×125＝ 264×59＝        67×206＝        45×140＝ 【答案】16016；49500；4375 15576；13802；6300 【分析】三位数乘两位数时，相同数位对齐，从个位乘起。用两位数分别依次乘三位数中的每一位数，每次乘得结果满几十向前一位进几，与哪一位上的数相乘，就在那一位的下面写上相应的积，然后将两次的积相加；两位数乘三位数时，相同数位对齐，从个位乘起。用三位数分别依次乘两位数中的每一位数，每次乘得结果满几十向前一位进几，与哪一位上的数相乘，就在那一位的下面写上相应的积，然后将所有的积相加。 【解答】308×52＝16016         660×75＝49500          35×125＝4375                           264×59＝15576            67×206＝13802              45×140＝6300                      易错点2：积的末尾漏写0和漏乘积中间的0。 【易错专练1】列竖式计算下面各题。 308×46＝        480×56＝ 【答案】14168；26880 【分析】三位数乘两位数的笔算方法：先用两位数个位上的数去乘三位数，积的末位与个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，积的末位与十位对齐；最后把两次乘得的积相加。计算乘数末尾有0的乘法，先用0前面的数去乘，再看乘数的末尾有几个0，就在积的末尾添几个0。 【解答】                               【易错专练2】列竖式计算。 706×24＝           45×508＝           520×60＝ 【答案】16944；22860；31200 【分析】笔算三位数乘两位数时：先用两位数的个位上的数去乘另一个乘数，得数的末位和三位数的个位对齐，再用两位数的十位去乘另一个乘数，得数的末位和三位数的十位对齐；然后把两次乘得的数加起来，就是所求的积。如果乘数末尾有0，可以先将0不看，算出结果后，看前面的乘数一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。 【解答】706×24＝16944        45×508＝22860        520×60＝31200                     【易错专练3】列竖式计算。 568×35＝    307×60＝    450×60＝    67×208＝ 【答案】19880；18420；27000；13936 【分析】三位数乘两位数的方法：先用一个因数的个位与另一个因数的每一位依次相乘，再用这个因数的十位与另一个因数的每一位依次相乘，乘到哪一位，积的个位就与哪一位对齐，满几十就向前一位进几，再把两次相乘的积加起来。末尾有0时，把两个因数0前面的数对齐，并将它们相乘，再在积的后面添上没有参加运算的几个0。 【解答】568×35＝19880            307×60＝18420         450×60＝27000           67×208＝13936              【易错专练4】用竖式计算。 236×43＝             32×380＝            208×56＝ 805×40＝              250×18＝            304×70＝ 【答案】10148；12160；11648 32200；4500；21280 【分析】三位数乘两位数时，相同数位要对齐。先用两位数的个位上的数分别与三位数的每一位数相乘， 再用两位数的十位上的数分别与三位数的每一位数相乘，乘得结果要与十位对齐， 然后两个结果相加就得到三位数乘两位数的结果。 【解答】236×43＝10148             32×380＝12160            208×56＝11648                            805×40＝32200              250×18＝4500            304×70＝21280                               【易错专练5】用竖式计算。 337×82＝       256×35＝         306×30＝ 260×30＝       208×13＝         450×60＝ 【答案】27634；8960；9180 7800；2704；27000 【分析】三位数乘两位数的笔算法则：先用两位数的个位分别与三位数的每一位数相乘，乘得的积的末尾和个位对齐。再用两位数的十位分别与三位数的每一位数相乘，乘得的积的末尾和十位对齐。最后，将两次乘得的积相加。 【解答】337×82＝27634  256×35＝8960      306×30＝9180                           260×30＝7800 208×13＝2704    450×60＝27000                           易错点3：积的变化规律应用错误。 【易错专练1】两个因数的积是180，其中一个因数除以2，另一个因数不变，积是( )。 【答案】90 【分析】积的变化规律：两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以相同的数。 【解答】180÷2＝90 两个因数的积是180，其中一个因数除以2，另一个因数不变，那么积也除以2，积是（90）。 【易错专练2】如果A×B＝30，那么（A×5）×B＝( )；（A×5）×（B÷5）＝( )。 【答案】150 30 【分析】积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘或除以几。 积不变的规律：两数相乘，一个因数乘或除以一个数（0除外），另一个因数除以或乘相同的数，它们的积不变。据此解答。 【解答】如果A×B＝30，A×5，积30×5＝150，那么（A×5）×B＝150。 A×5，B÷5，它们的积不变。（A×5）×（B÷5）＝30。 【易错专练3】根据49×15＝735直接写出下面算式的得数。 490×15＝( )            490×150＝( ) 【答案】7350 73500 【分析】在乘法算式里，两个因数都不为0时，一个因数不变，另一个因数乘几，积就乘几，两个因数分别乘10，积就乘100，依此计算并填空。 【解答】由分析可知：根据49×15＝735 490×15＝（49×10）×15＝735×10＝7350 490×150＝（49×10）×（15×10）＝735×10×10＝73500 【易错专练4】根据220×15＝3300，直接写出括号里面的数。 440×15＝( )                 220×45＝( ) 220×( )＝33000             （220×3）×（15÷3）＝( ) 【答案】6600 9900 150 3300 【分析】根据积的变化规律：两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0除外），积也会随之乘或除以相同的数；一个因数乘（或除以）几，另一个因数也乘（或除以）几，原来的积就乘（或除以）它们的乘积。 【解答】根据220×15＝3300，可得： 220×2＝440，所以3300×2＝6600，那么440×15＝6600； 15×3＝45，所以3300×3＝9900，那么220×45＝9900； 因为3300×10＝33000，所以15×10＝150，那么220×150＝33000； （220×3）×（15÷3）＝3300×3÷3＝3300 【易错专练5】根据220×15＝3300，直接写出括号里面的数。 440×15＝( )                 220×45＝( ) 220×( )＝33000             （220×3）×（15÷3）＝( ) 【答案】6600 9900 150 3300 【分析】根据积的变化规律：两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0除外），积也会随之乘或除以相同的数；一个因数乘（或除以）几，另一个因数也乘（或除以）几，原来的积就乘（或除以）它们的乘积。 【解答】根据220×15＝3300，可得： 220×2＝440，所以3300×2＝6600，那么440×15＝6600； 15×3＝45，所以3300×3＝9900，那么220×45＝9900； 因为3300×10＝33000，所以15×10＝150，那么220×150＝33000； （220×3）×（15÷3）＝3300×3÷3＝3300 易错点4：未能正确分清数量之间的关系，无法正确解决实际问题。 【易错专练1】眼睛是心灵的窗户，保护好它，才能看见更美的世界。升阳小学准备给每个班级换一套护目吊灯。全校共有3幢教学楼，平均每幢教学楼有20个班级，每套护目吊灯的价格是185元，全校的班级换护目吊灯共需多少元？ 【答案】11100元 【分析】根据总价＝数量×单价，用教学楼的幢数乘平均每幢教学楼的班级数，求出升阳小学班级的总数，再用升阳小学班级的总数乘每套护目吊灯的价格，即可求出全校的班级换护目吊灯共需多少元。 【解答】3×20×185 ＝60×185 ＝11100（元） 答：全校的班级换护目吊灯共需11100元。 【易错专练2】体育陆老师的支付宝里有3100元，买了25个同一种品牌的足球后，支付宝余额显示不足100元。请问陆老师买了哪一种足球？支付宝余额还剩多少元？ 【答案】B品牌足球；75元 【分析】由题意得，体育陆老师的支付宝里有3100元，买了25个同一种品牌的足球后，支付宝余额显示不足100元。单价×数量＝总价，可以用A、B、C三种足球的单价分别乘上25算出一共要花多少钱，然后看找出得数比3100元小且与3100的差值小于100元所对应的足球即可。 【解答】如果买的A品牌足球，98×25＝2450（元） 2450＜3100，3100－2450＝650（元） 650＞100，不满足题意。 如果买的B品牌足球，121×25＝3025（元） 3025＜3100，3100－3025＝75（元），75＜100，满足题意。 如果买的C品牌足球，143×25＝3575（元） 3575元＞3100元，不满足题意。 答：陆老师买了B品牌足球，支付宝金额还剩75元。 【易错专练3】“绿色低碳生活，从环保出行开始。”为了响应这一号召，王叔叔改骑共享单车去单位上班，前7分钟骑了1750米，照这样的速度，王叔叔还需要5分钟到单位。王叔叔家离单位多少米？ 【答案】3000米 【分析】由题意得，王叔叔骑共享单车去单位上班，前7分钟骑了1750米。速度＝路程÷时间，直接用1750除以7算出王叔叔骑车的速度。照这样的速度，王叔叔还需要5分钟到单位，可以用7加5算出王叔叔一共骑了多少分钟，再用王叔叔骑车的速度乘上他骑车一共花的时间即可算出王叔叔家离单位多少米。 【解答】1750÷7＝250（米） 7＋5＝12（分钟） 250×12＝3000（米） 答：王叔叔家离单位3000米。 【易错专练4】端午节（又称端阳节、龙舟节等）是中国首个入选世界非遗的节日，起源于中国古代，日期是每年农历五月初五，龙舟竞渡是端午节的传统习俗。今年端午节有25条龙舟参加比赛，每条龙舟乘坐13人。“冲锋号”2分钟划行了496米，“扬帆号”3分钟划行了750米。 （1）“冲锋号”每分钟划行多少米？“扬帆号”每分钟划行多少米？哪条船划得快？ （2）若给每名参赛人员发2盒礼品粽，共发多少盒礼品粽？ 【答案】（1）248米；250米；扬帆号 （2）650盒 【分析】（1）根据速度的计算公式：速度＝路程÷时间，分别计算“冲锋号”和“扬帆号”的速度。再比较两条龙舟的速度。 （2）已知有25条龙舟参加比赛，每条龙舟乘坐13人，根据乘法的意义，用龙舟的条数乘每条龙舟乘坐的人数，可得参赛总人数，因为给每名参赛人员发2盒礼品粽，所以用参赛总人数乘2，可得礼品粽的总盒数。 【解答】（1）496÷2＝248（米） 750÷3＝250（米） 因为248＜250，所以“扬帆号”划得快。 答：“冲锋号”每分钟划248米，“扬帆号”每分钟划250米，所以扬帆号快。 （2）25×13×2 ＝325×2 ＝650（盒） 答：共发650盒礼品粽。 【易错专练5】2024年10月30日凌晨神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射，此后它以每分钟460千米的速度带着宇航员飞向太空。大约6小时40分后快速对接中国空间站天和号核心舱径向端口，本次对接采用全自主快速交会对接模式。从发射到与天和号核心舱对接，神舟十九号载人飞船已经飞行了多少千米？ 【答案】184000千米 【分析】路程=速度×时间。由题意得，神舟十九号载人飞船的速度是460千米/分钟，它一共飞行了6小时40分，求它飞行的距离。可以先把6小时40分转化为多少分，然后再用乘法即可算出神舟十九号载人飞船飞行了多少千米。 【解答】1小时＝60分 6×60＝360 所以6小时40分＝360分＋40分＝400分 460×400＝184000（千米） 答：神舟十九号载人飞船已经飞行了184000千米。 专题五平行四边形和梯形 易错点1：对“平行”和“垂直”的概念理解不清。 【易错专练1】如图所示，直线（ ）与（ ）互相垂直，直线（ ）与（ ）互相平行。 【答案】a c a b 【分析】根据平行线和互相垂直的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；在同一平面内，当两条直线相交成90度时，这两条直线互相垂直；据此进行解答。 【解答】如图所示，直线a与c互相垂直，直线a与b互相平行。（答案不唯一） 【易错专练2】下图是一个直角梯形。图中互相平行的线段是：（ 和 ），记作（ ）；互相垂直的是线段（ 和 ），记作（ ）。 【答案】AD BC AD∥BC AB BC AB⊥BC 【分析】根据平行的概念同一平面内不相交的两条直线互相平行，平行四边形对边平行且相等； 根据垂直的概念两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。据此填空即可。 【解答】根据分析可知： 下图是一个直角梯形。图中互相平行的线段是：（AD和BC），记作AD∥BC；互相垂直的是线段（AB和BC），记作AB⊥BC。 【易错专练3】下图中，互相垂直的线段是（ ）⊥（ ），互相平行的线段是（ ）//（ ）。 【答案】AB BC AB DE 【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行。两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。据此填空即可。 【解答】根据分析，互相垂直的线段是AB⊥BC，互相平行的线段是AB//DE。 【易错专练4】下图中，与直线a互相平行的是直线（ ），与直线c垂直的直线有（ ）条。 【答案】b 2 【分析】从图中可见，直线a与直线b的倾斜方向相同，故它们平行；直线a和直线b都在与c的交点处标有直角符号，说明它们均垂直于c，所以与c垂直的直线共有2条。 【解答】由分析可知与直线a互相平行的是直线b，与直线c垂直的直线有a与b，共有2条。 【易错专练5】下图中，与直线a互相平行的是直线（ ），与直线c垂直的直线有（ ）条。 【答案】b 2 【分析】从图中可见，直线a与直线b的倾斜方向相同，故它们平行；直线a和直线b都在与c的交点处标有直角符号，说明它们均垂直于c，所以与c垂直的直线共有2条。 【解答】由分析可知与直线a互相平行的是直线b，与直线c垂直的直线有a与b，共有2条。 易错点2：作平行四边形和梯形的高时出错。 【易错专练1】操作题。 在方格纸上画一个底为5厘米、高为3厘米的平行四边形，并画出它的一条高。（每个小方格边长为1厘米） 【答案】图见详解； 【分析】在方格纸上，沿着水平方向数5个小方格，画出一条长度为5厘米的线段，这就是平行四边形的底。 从底的一个端点开始，垂直向上数3个小方格，然后过这个点向对边画一条垂线段，这条垂线段就是平行四边形的高。 根据平行四边形两组对边分别平行的性质，过底的另一个端点，画出与刚才所画高平行且长度相等的线段，再连接这两条线段的另外两个端点，就画出了一个底为5厘米、高为3厘米的平行四边形。 【解答】按照上述步骤可以在方格纸上画出底为5厘米、高为3厘米的平行四边形及其一条高。 （答案不唯一） 【易错专练2】按要求在下面的方格纸上画一画。（每个小方格的边长表示1厘米） （1）画一个底是5厘米、高是3厘米的平行四边形，并画出平行四边形的一条高。 （2）画一个上底是3厘米、下底是6厘米、高是3厘米的直角梯形。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）平行四边形对边平行且相等，从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高，据此画出一个底是5厘米、高是3厘米的平行四边形，并画出其中一条高即可。 （2）梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，直角梯形有两个角是直角，据此画出上底是3厘米、下底是6厘米、高是3厘米的直角梯形即可。 【解答】（1）（2）如图： （画法不唯一） 【易错专练3】先在方格中画出一个高为3厘米的等腰梯形，再把它分成一个平行四边形和一个三角形。（注：每个小正方形的边长为1cm） 【答案】见详解 【分析】等腰梯形的一组对边平行，它的两条腰相等。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。画出的等腰梯形的高是3厘米即可。平行四边形的两组对边平行且相等。从梯形的上底的一个顶点，作它腰的平行线，这样就把等腰梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 【解答】等腰梯形画法如下所示：（画法不唯一），分成一个平行四边形和一个三角形如图所示： 【易错专练4】画出下列图形的高。 【答案】图见详解 【分析】在梯形中，从一底的任一点作另一底的垂线，这点与垂足间的距离叫做梯形的高，习惯上作梯形的高时都从上底（较短的底）一个顶点出发作下底的垂线，用三角尺的直角板即可画出梯形的高；在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角尺的直角板即可画出平行四边形的高。 【解答】 【易错专练5】一个梯形，上底是3厘米，如果将上底延长1厘米，则该梯形可以变成一个正方形。（点子图横竖两个点之间距离为1厘米） （1）这个梯形的下底是（    ）厘米，高是（    ）厘米。 （2）在下面的点子图上画出原梯形，并注明它的高。 （3）再画一个与原梯形高相等的平行四边形，并画出它的一条高。 【答案】（1）4；4 （2）（3）见详解 【分析】（1）已知梯形上底是3厘米，将上底延长1厘米可变成正方形，那么下底和高的长度就等于上底加上延长的长度。 （2）结合（1）可知，根据梯形的上底、下底和高的长度，先确定上底4个点，也就是3厘米，下底5个点，也就是4厘米，使它们之间的距离符合要求，然后连接各点形成梯形，高为5个点，并标注4厘米。（因为题目没说是向一边延长1厘米，还是两边同时延长加起来是1厘米，所以梯形画法不唯一） （3）画一个与原梯形高相等的平行四边形，平行四边形的高与梯形的高相同。画平行四边形时，先画一条底边（长度任意），然后在对边位置画一条与原梯形高相等（4厘米）的边，再连接各点形成平行四边形，并画出一条高，从梯形的一边任意一点作另一条边的垂线段，标注为4厘米。（答案不唯一） 【解答】（1）因为将梯形上底延长1厘米变成正方形，所以下底是：3＋1＝4厘米，高也是4厘米。 （2）（3）如图所示： 易错点3：平行四边形的特征理解错误。 【易错专练1】学校一花坛是平行四边形，两条相邻的边分别长14米和12米，绕花坛走一圈是多少米？ 【答案】52米 【分析】平行四边形是指一种四边形，其中两组对边分别平行且相等。平行四边形的周长等于两条相邻边长度的两倍。已知两条相邻边分别为14米和12米，因此周长为2×（14＋12）。 【解答】（14＋12）×2 ＝26×2 ＝52（米） 答：绕花坛走一圈是52米。 【易错专练2】一个平行四边形的花池，它的一条边长12米，周长是42米，与它相邻的另一条边长多少米？ 【答案】9米 【分析】平行四边形的对边平行且相等，所以平行四边形的周长＝四条边的长度之和＝相邻两条边的长度和×2；因此，周长÷2＝相邻两边的和，周长÷2－已知的一条边＝相邻的另一条边；据此解答。 【解答】42÷2－12 ＝21－12 ＝9（米） 答：与它相邻的另一条边长9米。 【易错专练3】平行四边形的周长是58厘米，其中一条边长2分米，另外三条边分别是多少厘米？ 【答案】9厘米；9厘米；20厘米 【分析】首先把分米化成厘米，1分米＝10厘米，2分米＝20厘米，然后根据平行四边形的两组对边分别相等，可得一条边长20厘米，则相对的另一条边也是20厘米； 用周长减去已知两条边的长度，再除以2，就是剩下的两条边的长度，据此即可解答。 【解答】2分米＝20厘米 （58－20×2）÷2 ＝（58－40）÷2 ＝18÷2 ＝9（厘米） 答：另外三条边分别是9厘米，9厘米，20厘米。 【易错专练4】一面平行四边形镜子的一条边是15厘米，它的一条邻边比它长5厘米。如果用木条给这面镜子的边缘镶上镜框，至少需要多长的木条？ 【答案】70厘米 【分析】因为平行四边形的对边相等，所以周长＝邻边之和×2，先用加法求出已知的一条边的邻边的长度，再代入数据计算即可。 【解答】（15＋15＋5）×2 ＝（30＋5）×2 ＝35×2 ＝70（厘米） 答：至少需要70厘米的木条。 【点评】此题主要考查平行四边形的周长计算。平行四边形周长＝邻边之和×2。 【易错专练5】用72米的篱笆围成一个平行四边形（如下图）。已知围成的平行四边形的一条边的长度是16米，与这条边相邻的另一条边的长度是多少米？（篱笆没有剩余） 【答案】20米 【分析】本题是一道关于平行四边形的题目，熟练掌握平行四 边形的特征是解题的关键； 先明确：平行四边形的对边平行且相等，分析题意，可得与长为16米的邻边边长为72÷2－16米，计算后即可得到答案。 【解答】72÷2－16 ＝36－16 ＝20（米） 答：与这条边相邻的另一条边的长度是20米。 易错点4：梯形的特征理解错误。 【易错专练1】一个直角梯形的上底是5厘米，下底12厘米。如果把它的上底增加3厘米，下底减少4厘米，就变成了正方形，这个直角梯形的高是多少厘米？（画图简要说明） 【答案】8厘米；画图见详解 【分析】直角梯形的上底增加3厘米，下底减少4厘米就变成了正方形，根据正方形的四条边相等，那么可知梯形的高与变化后的上底边长度是一样的。据此解答即可。 【解答】 5＋3＝8（厘米） 12－4＝8（厘米） 答：这个直角梯形的高是8厘米。 【易错专练2】双洲公园有一块等腰梯形的绿地，它的上底长24米，下底长32米，腰长15米。现在要在这块绿地的四周围栅栏，栅栏至少多少米？ 【答案】86米 【分析】等腰梯形特征：两腰长相等，它的周长＝上底＋下底＋2×腰长＝24＋32＋2×15。 【解答】24＋32＋2×15 ＝24＋32＋30 ＝86（米） 答：栅栏至少86米。 【易错专练3】有一块梯形土地（如下图），划分出一整块最大的正方形土地种白菜，剩下的土地用来培育萝卜苗。如果在萝卜苗地的一周围上篱笆，那么，至少需要多少米长的篱笆？ 【答案】24米 【分析】这块土地是一个直角梯形，这块梯形土地内最大的正方形的边长是这个梯形的高，种白菜地和萝卜苗地如图： 萝卜苗地是一个三角形，一条边是梯形的一条腰10米，另一条边是梯形的高8米，第三条边长（14－8）米。把三角形萝卜苗地的三条边长度相加，即可算出至少需要多少米长的篱笆。 【解答】14－8＝6（米） 10＋6＋8 ＝16＋8 ＝24（米） 答：至少需要24米长的篱笆。 【易错专练4】班级参加校园艺术节活动，做了一块等腰梯形的宣传牌，它的上底长60厘米，下底长50厘米，一条腰长35厘米。这块宣传牌的周长是多少厘米？ 【答案】180厘米 【分析】围成封闭图形的所有边的总长度就是它的周长。等腰梯形的周长＝上底＋下底＋腰×2，代入数据计算即可。 【解答】60＋50＋35×2 ＝60＋50＋70 ＝110＋70 ＝180（厘米） 答：这块宣传牌的周长是180厘米。 易错点5：数图形时遗漏或重复。 【易错专练1】如图，有（ ）个平行四边形和（ ）个梯形。 【答案】9 7 【分析】 平行四边形的 两组对边分别平行且相等； 如图所示；涂色的四部分是四个平行四边形，红色＋蓝色，红色＋黄色，黄色＋绿色，，绿色＋蓝色，以及四个颜色加一起的图形也是平行四边形，一共是9个；梯形只有一组对边平行且不相等，如图所示，红、蓝、绿、黄色对应4个梯形，蓝色＋黄色，绿色＋白色，红色＋绿色＋白色，一共7个梯形。 【解答】如图，有9个平行四边形和7个梯形。 【易错专练2】图是由两个不同的正方形拼成的，图中共有（ ）个梯形。 【答案】3 【分析】梯形的定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形；据此解答。 【解答】根据分析：图中的梯形有：ABED、EFDC、EFDG，所以共有3个梯形。 【易错专练3】如图，四边形ABCD中，AB∥DC∥EF，数一数，图中共有（ ）个梯形。（“∥”表示平行，如：AB∥DC表示AB和DC平行） 【答案】16 【分析】根据梯形的定义，按照一定的顺序，数出梯形的个数即可。 【解答】单个的梯形有5个，两个梯形组成的梯形有4个，一个梯形一个三角形组成的梯形有2个，两个梯形一个三角形组成的梯形有1个，三个梯形一个三角形组成的梯形有2个，三个梯形组成的梯形有1个，大梯形有1个。 5＋4＋2＋1＋2＋1＋1 ＝14＋1＋1 ＝16 图中共有16个梯形。 【易错专练4】图中能找到多少个平行四边形？ 【答案】2个 【分析】两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形，据此数一数。 【解答】 如图，平行四边形有2个，一共2个平行四边形。 专题六除数是两位数的除法 易错点1：在计算商是两位数的笔算除法时没有除尽。 【易错专练1】用竖式计算。（带※的要验算） 258÷56＝    546÷51＝    ※670÷25＝ 【答案】4……34；10……36；26……20 【分析】三位数除以两位数，被除数的前两位数字大于或等于除数，商的首位在十位上，除到哪一位商写在那一位的上面，有余数时，余数要比除数小；被除数的前两位数字小于除数，商的首位在个位上，对于有余数的除法验算，用除数乘商再加余数即可。 【解答】258÷56＝4……34 546÷51＝10……36 ※670÷25＝26……20 验算： 【易错专练2】用竖式计算。（带“※”的要验算） 716÷70＝                ※727÷27＝             835÷42＝                ※540÷25＝ 【答案】10……16；26……25 19……37；21……15 【分析】三位数除以两位数的计算方法：从被除数的高位除起，先用除数去除被除数的前两位；如果被除数的前两位比除数小，就除前三位；除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面；每次除后余数应比除数小。除到哪位不够商1，就在那位上商0占位。 有余数除法的验算：根据“商×除数＋余数＝被除数”进行验算。 【解答】716÷70＝10……16 ※727÷27＝26……25            验算： 835÷42＝19……37 ※540÷25＝21……15             验算： 【易错专练3】列竖式计算，带☆号的要验算。 182÷26    450÷30    ☆850÷21 【答案】7；15；40……10 【分析】除数是两位数的除法计算时，先看被除数的前两位，不够除时看前三位，除到哪一位商就写在哪一位上面，每次除后余下的数都要比除数小。 有余数的除法验算时，用商乘除数再加上余数，看是不是等于被除数。 【解答】182÷26＝7              450÷30＝15               ☆850÷21＝40……10 验算： 【易错专练4】用竖式计算，打☆的要验算。 656÷23＝                     6400÷700＝ ☆492÷19＝                   ☆790÷28＝ 【答案】28……12；9……100 25……17；28……6 【分析】除数是两位数的除法的笔算法则：从被除数的高位数起，先看被除数的前两位；如果前两位比除数小，就要看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；余下的数必须比除数小。有余数的除法验算方法是除数乘商加余数看是否等于被除数。 【解答】656÷23＝28……12          6400÷700＝9……100                                       ☆492÷19＝25……17                      ☆790÷28＝28……6 验算：              验算： 【易错专练5】列竖式计算，加☆的要验算。 627÷33＝             5000÷400＝              ☆809÷28＝ 556÷41＝              416÷16＝               ☆770÷30＝ 【答案】19；12……200；28……25； 13……23；26；25……20 【分析】整数除法的计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位；每次除得的余数要小于除数。 有余数除法的验算方法是商×除数＋余数＝被除数。 【解答】627÷33＝19      5000÷400＝12……200      ☆809÷28＝28……25               验算： 556÷41＝13……23         416÷16＝26                 ☆770÷30＝25……20              验算： 易错点2：在计算除数是两位数的除法时试商错误。 【易错专练1】计算98÷34时，可以把34看作（ ）来试商，初商会偏（ ），应将初商调（ ）。 【答案】30 大 小 【分析】在计算98÷34时，为了方便试商，通常会把除数34看作与之接近的整十数。34接近30，所以把34看作30来试商。根据“商×除数＝被除数”的关系，当除数被看小（从34看成30）时，若被除数不变，除数越小，商就会越大。因为初商偏大，所以需要将初商调小，才能得到正确的商。 【解答】由分析可得：计算98÷34时，可以把34看作30来试商。因为30＜34，除数看小了，初商会偏大，应将初商调小。 计算98÷34时，可以把34看作30来试商，初商会偏大，应将初商调小。 【易错专练2】如图，聪聪在做三位数除以两位数的除法竖式时，发现商5小了，改商6，这道竖式的除数是（ ），被除数是（ ）。 【答案】26 164 【分析】先试商5，发现余数为34；改商6，发现余数为8。余数相差：34－8＝26，商相差6－5＝1。根据除数的意义可知，余数相差的值就等于1个除数，即除数是26。再根据被除数＝商×除数＋余数求出被除数即可。 【解答】34－8＝26 6×26＋8 ＝156＋8 ＝164 这道竖式的除数是26，被除数是164。 【易错专练3】计算357÷52时，把52看成（ ）来试商，商是（ ），商偏（ ）（填“大”或“小”），调商（ ），余数是（ ）。 【答案】50 7 大 6 45 【分析】除数是两位数的除法，一般按照“四舍五入”法，把除数看作和它接近的整十数来试商。根据被除数÷除数＝商，被除数不变，除数变小，则商会偏大，试算后把商调小。 【解答】357÷52＝6……45 计算357÷52时，把52看成（50）来试商，商是（7），商偏（大）（填“大”或“小”），调商（6），余数是（45）。 【易错专练4】计算647÷38时，把除数看作（ ）来试商，商是（ ）位数；计算193÷22时，把除数看作20来试商，商（ ）（填“偏大”“偏小”或“正好”）。 【答案】40 两 偏大 【分析】三位数除以两位数：把除数看作和它接近的整十数试商，先用被除数的前两位除以除数，如果被除数前两位比除数大或相等（商是两位数），可以继续除，如果被除数前两位比除数小（商是一位数），就用前三位除以除数，除数看小了，初商就偏大要调小，除数看大了，初商就偏小要调大。 【解答】计算647÷38时，把除数看作40来试商，被除数647中64＞38，商是两位数； 计算193÷22时，把除数看作20来试商，20比22小，除数看小了，商偏大。 【易错专练5】羊山古镇国际军事旅游度假区，以山东省内罕见的地质地貌景观为主题，吸引了无数游客来参观。东东在景区骑行624米，用时78秒，计算东东每秒骑行速度时，624÷78可以把78看作（ ）来试商，初商可能会偏（ ），东东每秒骑行（ ）米。 【答案】80 小 8 【分析】除数是两位数的除法，一般按照“四舍五入”法，把除数看作和它接近的整十数来试商。当将除数估大时，商可能偏小，此时需要将商调大；当将除数估小时，商可能偏大，此时需要将商调小； 根据三位数除以两位数的计算法则，求出624÷78的商就是东东每秒的骑行速度。 【解答】624÷78＝8（米/秒） 624÷78可以把78看作80来试商，初商可能会偏小，东东每秒骑行8米。 易错点3：用整十数试商时,错误地将整十数参与了运算。 【易错专练1】根据试商情况，很快说出准确的商。 【答案】8；9；5；8； 【分析】除数是两位数的除法，一般按照“四舍五入”法，把除数看作和它接近的整十数来试商。当试商偏大时，应将商调小；当试商偏小时，应将商调大，依此解答。 【解答】394÷48中，将48看成50试商，商7，394－336＝58，58＞48，即商7偏小，应改商8。 246÷27中，将27看成30试商，商8，246－216＝30，30＞27，即商8偏小，应改商9。 448÷89中，将89看成90试商，商4，448－356＝92，92＞89，即商4偏小，应改商5。 227÷26中，将26看成30试商，商7，227－182＝45，45＞26，即商7偏小，应改商8。 【易错专练2】很快说出下面各题应该商几。                  【答案】6；6；9 【分析】除数是两位数的除法，一般按照“四舍五入”法，把除数看作和它接近的整十数来试商。依此解答即可。 【解答】270÷45，将45看成50进行试商，商6，6×45＝270，因此商6； 150÷25，将25看成30进行试商，商5，25×5＝125，150－125＝25，改商6，6×25＝150，因此商6； 128÷14，将14看成10进行试商，商9，14×9＝126，128－126＝2，因此商9。 【易错专练3】先想一想各题的商的位置，再计算。                               【答案】3……17；2……9；8……14；3……2 【分析】（1）三位数除以两位数，就用被除数的百位和十位组成两位数与除数进行比较，如果比除数小商就是一位数，如果比除数大或等于除数，商就是两位数。观察发现，本题的4小题的商都是一位数，商都要写在个位上。 （2）除数是两位数的除法的笔算法则：从被除数的高位数起，先看被除数的前两位；如果前两位比除数小，就要看前三位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；余下的数必须比除数小。 【解答】观察发现，本题的4小题的商都是一位数，商都要写在个位上。                                    【易错专练4】先说说把除数分别看作几十来试商，再计算。 【答案】看作30试商，2……4；看成30试商，3……3； 看成50试商，7……26；看成60试商，7……19 【分析】试商一般用四舍五入法将除数看成整十数，以此来试商，再按照除数是两位数是除法算理进行计算。需要注意的是，如果试商后运算的结果比被除数大，则需要将商减1再计算，如果还大则重复此流程继续计算，如果试商后运算的结果有余数，并且余数大于除数，则需要将商加1再计算。 第一个将32看成30进行试商，商2，再进一步进行除法竖式计算； 第二个将29看成30试商，商3，再进一步进行除法竖式计算； 第三个将48看成50试商，商5，再进一步进行除法竖式计算； 第四个将63看成60试商，商7，再进一步进行除法竖式计算。 【解答】 【易错专练5】先写出把除数看作几十来试商，再计算。                             【答案】30；5……8；20；5……18；20；6……5 【分析】通过将除数看成接近的整十数来初步确定商的大小，再进行精确计算。除数是两位数的除法计算方法，先看被除数的前两位，如果被除数的前两位大于或等于除数，就用前两位除以除数；如果前两位比除数小，就看被除数的前三位。除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面，哪一位不够商1，就在那一位上写0占位。每次除得的余数必须比除数小。 计算168÷32，因为32接近30，所以把除数32看作30来试商。然后按照除数是两位数的除法计算方法计算； 计算113÷19，因为19接近20，所以把除数19看作20来试商。然后按照除数是两位数的除法计算方法计算； 计算131÷21，因为21接近20，所以把除数21看作20来试商。然后按照除数是两位数的除法计算方法计算； 【解答】       易错点4：根据商不变的规律进行计算时,没有将余数末尾的0添上。 【易错专练1】根据13÷4＝3……1，完成下面的算式。 130÷40＝（ ）……（ ）    260÷80＝（ ）……（ ） 【答案】3 10 3 20 【分析】根据除法的性质，被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变，但余数要乘相同的数。 【解答】由13÷4＝3……1，被除数和除数同时乘10得130÷40，商不变仍为3，余数乘10得10；被除数和除数同时乘20得260÷80，商不变仍为3，余数乘20得20。 130÷40＝（3）……（10）    260÷80＝（3）……（20） 【易错专练2】根据720÷90＝8，直接写出下面各题的商。 72÷9＝（ ）    360÷45＝（ ）    7200÷90＝（ ） 【答案】8 8 80 【分析】根据商不变规律，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。7200÷90，除数不变，被除数乘几（0除外），商也乘几。 【解答】72÷9＝（72×10）÷（9×10）＝720÷90＝8 360÷45＝（360×2）÷（45×2）＝720÷90＝8 7200÷90＝（720×10）÷90＝8×10＝80 【易错专练3】根据700÷40＝17……20写出下面各算式的结果。 70÷4＝（ ）……（ ）        7000÷400＝（ ）……（ ） 【答案】17 2 17 200 【分析】根据商不变的规律，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，但余数会同时乘或除以相同的数（0除外）。以此答题即可。 【解答】根据分析可知： 700÷40＝17……20 700÷70＝10 20÷10＝2 70÷4＝17……2 700×10＝7000 20×10＝200 7000÷400＝17……200 【易错专练4】根据78÷15＝5……3，填写下面各式。 （1）780÷150＝（ ）……（ ）。 （2）7800÷（ ）＝5……（ ）。 【答案】（1）5 30 （2）1500 300 【分析】商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变，但余数会乘或除以相同的不为0数。 （1）对比算式780÷150和算式78÷15＝5……3可知，被除数和除数同时乘10，商不变，余数会乘10，3×10＝30，所以780÷150＝5……30。 （2）对比算式7800÷（      ）＝5……（     ）和算式78÷15＝5……3可知，被除数乘了100，要使商不变，除数也应该乘100。同时，余数也会乘100。15×100＝1500，即除数是1500。3×100＝300，所以余数是300。即7800÷1500＝5……300。 【解答】（1）780÷150＝5……30 （2）7800÷1500＝5……300 【易错专练5】根据980÷30＝32……20，直接写出下列各题的得数。 98÷3＝（ ）……（ ）     1960÷60＝（ ）……（ ） 490÷15＝（ ）……（ ）   9800÷300＝（ ）……（ ） （ ）÷（ ）＝32……100 【答案】32 2 32 40 32 10 32 200 4900 150 【分析】在有余数的除法中，当被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，但余数也会随之乘或除以这个数。利用原式980÷30＝32……20，通过调整被除数和除数的倍数关系，推导出各题的商和余数。 【解答】98÷3，被除数和除数同时除以10，商不变为32，余数20÷10＝2，所以98÷3＝32……2。 1960÷60，被除数和除数同时乘2，商不变为32，余数20×2＝40，所以1960÷60＝32……40。 490÷15，被除数和除数同时除以2，商不变为32，余数20÷2＝10，所以490÷15＝32……10。 9800÷300，被除数和除数同时乘10，商不变为32，余数20×10＝200，所以9800÷300＝32……200。 （4900）÷（150），原余数20变为100，需乘5，故被除数和除数同时乘5，即980×5＝4900，30×5＝150，验证：4900÷150＝32……100。 易错点5：被除数和除数的末尾同时去掉相同个数的0,商不变。 【易错专练1】小家电商场在国庆前夕购进60台破壁机，一共用去9600元，如果破壁机的价格降到原来的一半，那么9600元现在可以购买（ ）台这样的破壁机。 【答案】120 【分析】根据题意，用9600除以60，求出原来每台破壁机的价格；用原来每台破壁机的价格除以2，求出现在每台破壁机的价格；最后用9600除以现在每台破壁机的价格，求出9600元现在可以购买多少台这样的破壁机。 【解答】9600÷60＝160（元） 160÷2＝80（元） 9600÷80＝120（台） 所以9600元现在可以购买120台这样的破壁机。 【易错专练2】一本360页的故事书，小丽想用15天时间看完，她平均每天要看（ ）页。小军看这本书，每天看20页，看完这本书需要（ ）天。 【答案】24 18 【分析】由题意得，一本360页的故事书，小丽想用15天时间看完，直接用360除以15即可算出小丽平均每天要看多少页；小军看这本书，每天看20页，求看完这本书需要多少天，就是求360里面有多少个20，用除法计算。 【解答】360÷15＝24（页） 360÷20＝18（天） 一本360页的故事书，小丽想用15天时间看完，她平均每天要看24页。小军看这本书，每天看20页，看完这本书需要18天。 【易错专练3】中国人吃冰食的传统由来已久，《宋史·礼志》中记载，到了夏天，皇帝就会给众大臣一些特别的赏赐，其中就有“蜜沙冰”（颇有今天红豆刨冰的意思）。一家冷饮店上午购进了440根冰棒，下午又购进860根冰棒，一箱冰棒有50根，则该冷饮店一天共购进（ ）箱冰棒。 【答案】26 【分析】根据题意可知，先用加法计算出这家冷饮店一天购进冰棒的总根数，然后用购进冰棒的总根数除以一箱冰棒有的根数即可，依此列式并计算。 【解答】440＋860＝1300（根） 1300÷50＝26（箱） 该冷饮店一天共购进（26）箱冰棒。 【易错专练4】某超市上周用950元购进了38只盐水鸭，每只盐水鸭（ ）元。如果每个盐水鸭礼盒的价格是每只盐水鸭价格的2倍，那么950元可以购进（ ）个盐水鸭礼盒。 【答案】25 19 【分析】根据题意，总价÷数量＝单价，用花的950元除以买进的38只，算出每只盐水鸭多少元。用每只盐水鸭的价格乘2就是盐水鸭礼盒的价格。再用950元除以每个礼盒的价格，就是可以买几个礼盒。 【解答】950÷38＝25（元） 25×2＝50（元） 950÷50＝19（个） 所以，每只盐水鸭25元。如果每个盐水鸭礼盒的价格是每只盐水鸭价格的2倍，那么950元可以购进19个盐水鸭礼盒。 【易错专练5】2升水全部倒入容量400毫升的瓶子，可以倒满（ ）瓶；如果全部倒入容量300毫升的瓶子，至少要准备（ ）个这样的瓶子。 【答案】5 7 【分析】根据1升＝1000毫升，先把2升换算成2000毫升；根据题意，用全部水2000毫升除以瓶子的容量400毫升，即得到可以倒满的瓶数；计算时，根据商不变的规律，把被除数和除数同时除以100，即同时去掉2个0，再相除；再用全部水2000毫升除以瓶子的容量300毫升，结果有余数，则所得的商加上1的结果即是至少要准备的瓶子的个数。据此解答。 【解答】2升＝2000毫升 2000÷400＝5（瓶） 2000÷300＝6（瓶）……200（毫升） 6＋1＝7（瓶） 所以，2升水全部倒入容量400毫升的瓶子，可以倒满5瓶；如果全部倒入容量300毫升的瓶子，至少要准备7个这样的瓶子。 易错点6：“最多”与“至少”问题混淆。 【易错专练1】把下面这瓶果汁（容量1L）倒入容量为80毫升的空杯中，至少需要多少个这样的空杯？如果前面每一个杯子都装满，最后一杯能装多少毫升？ 【答案】13个；40毫升 【分析】根据1L＝1000mL进行单位换算，再用1000除以80，所得的商为杯子数，如果有余数表示剩下的果汁，杯子数再加1。剩下的果汁装在最后一个杯子。 【解答】1L＝1000mL 1000÷80＝12（杯）……40（毫升） 12＋1＝13（杯） 答：至少需要13个这样的空杯，如果前面每一个杯子都装满，最后一杯能装40毫升。 【易错专练2】1个书架每层大约可以放15本书。 （1）3个上图这样的书架，大约可以放多少本书？ （2）明德小学新买来400本书，至少需要几个这样的书架？ 【答案】（1）180本 （2）7个 【分析】（1）先计算一个书架可以放书的数量，再乘书架的个数，得到3个书架可以放书的总数。 （2）先计算一个书架可以放书的数量，再用总本书除以一个书架放书的数量，若有余数则商加1，得到至少需要几个这样的书架。 【解答】（1）15×4＝60（本） 60×3＝180（本） 答：3个上图这样的书架，大约可以放180本。 （2）15×4＝60（本） 400÷60＝6（个）……40（本） 6＋1＝7（个） 答：明德小学新买来400本书，至少需要7个这样的书架。 【易错专练3】某乳品公司每天向市场供应鲜牛奶175箱，酸牛奶135箱。一辆汽车一次能运55箱，这辆汽车至少要运多少次才能把这些牛奶全部运完？ 【答案】6次 【分析】首先计算每天供应牛奶的总箱数：鲜牛奶175箱＋酸牛奶135箱，然后用总箱数除以汽车每次能运的箱数，即可计算出汽车需要运输的次数，有余数就需要再运一次，据此解答即可。 【解答】175＋135＝310（箱） 310÷55＝5（次）……35（箱） 5＋1＝6（次） 答：这辆汽车至少要运6次才能把这些牛奶全部运完。 【易错专练4】王老师带了500元钱去买足球，每个足球45元，最多可以买几个足球？还剩多少元？ 【答案】11个；5元 【分析】根据题意，用带去的钱除以每个足球的价钱，商就是最多可以买几个足球，余数就是还剩多少元。 【解答】500÷45＝11（个）……5（元） 答：最多可以买11个足球，还剩5元。 【易错专练5】何叔叔在定安旅游时品尝到了美味无比的“定安粽子”，准备买些回去送给亲朋好友们品尝，价格如下。请你帮他算一算，300元最多可以买多少个粽子？ 【答案】36个 【分析】根据题意，整箱购买便宜，所以先用总钱数除以80，看可以买几箱，再用箱数乘10，算出可以买几个粽子；然后用剩下的钱除以9，看还可以买几个，两部分相加即可求出一共买的粽子数量。据此解答即可。 【解答】300÷80＝3（箱）……60（元） 60÷9＝6（个）……6（元） 3×10＋6 ＝30＋6 ＝36（个） 答：300元最多可以买36个粽子。 专题七条形统计图 易错点1：没有掌握条形统计图的特征，随意乱画。 【易错专练1】实验小学四（1）班同学最喜欢吃的水果情况如下表。根据表中的数据，制作条形统计图。 品种 合计 苹果 香蕉 橘子 梨子 人数 50 14 11 16 9 【答案】作图见详解 【分析】从统计图中可以看出，横轴表示品种，纵轴表示数量，每格代表3人；根据统计表中的数据，分别找到喜欢各种水果的人数对应的刻度，画出相应高度的直条，并标上数据和日期即可。 【解答】根据分析，作图如下： 【易错专练2】奇思、淘气、乐乐与笑笑踢毽子的成绩分别是：40个、35个、25个、50个。将他们的成绩绘制成统计图。 【答案】见详解 【分析】根据奇思、淘气、乐乐、笑笑踢毽子的成绩分别是：40个、35个、25个、50个和图中给出的1个△代表5个，可确定乐乐画5个△表示25个，笑笑画10个△表示50个即可作图。根据奇思、淘气、乐乐与笑笑踢毽子的成绩在纵轴用一定单位表示一定的数量，画出统计图即可。 【解答】如图： 【易错专练3】根据统计表完成条形统计图。 月份 1月 2月 3月 4月 销量 80 120 150 100 【答案】见详解 【分析】最低销量为80，最高销量为150，统计图中有4格，所以一格表示40比较合适，再把统计表中各个月份的销量用直条在统计图中表示出来即可。 【解答】 【易错专练4】根据统计表将统计图补充完整表示出每种图书的数量。 图书种类 图画书 故事书 工具书 作文书 其他 数量/本 35 40 25 15 30 【答案】见详解 【分析】根据统计表提供的信息，图画书35本、故事书40本、工具书25本、作文书15本、其他30本，绘制统计图即可。 【解答】根据图中数据可知，每格代表5本，则画图如下： 易错点2：忽略统计图中每格所代表的数量。 【易错专练1】光明小学四（3）班有45名学生，下图是全班学生血型情况统计图。 （1）图中每小格代表（ ）人。 （2）四（3）班A型血的学生有（ ）人。 【答案】（1）3 （2）18 【分析】看图可知A血型、B型血、 AB血型、O血型有（6＋3＋2＋4）个格子，总共有45名学生，可知每个格子表示45÷15＝3（人）；A血型有6个格子，分别用格子数乘3即可求出每种血型的人数，据此解答。 【解答】（1）45÷15＝3（人） 所以图中每小格代表3人。 （2）3×6＝18（人） 所以四（3）班A型血的学生有18人。 【易错专练2】下面是某地近四年植树造林情况统计图。 （1）统计图中每1小格表示（ ）公顷。 （2）该地（ ）年植树造林的面积最大，（ ）年植树造林的面积最小。 【答案】（1）20 （2）2023 2020 【分析】（1）观察这个条形统计图可知，每1小格表示20公顷。 （2）找到直条对应的各年份植树造林面积数据，比较各个年份植树造林面积的大小解答。 【解答】（1）统计图中每1小格表示20公顷。 （2）160＞120＞80＞40 该地2023年植树造林的面积最大，2020年植树造林的面积最小。 【易错专练3】看统计图回答问题。 梨园小学课外兴趣小组女生人数统计图 （1）从图上看出人数最多的是（ ）小组，（ ）小组的总人数最少。 （2）通过计算，三个兴趣小组的总人数有（ ）人，数学小组再增加（ ）人就和科技小组的人数一样多。 【答案】（1）科技 文艺 （2）77 19 【分析】（1）观察统计图中表示各个小组的条形的高度，条形高度越高，表示人数越多，反之，则人数越少； （2）将三个兴趣小组的人数相加即可求出总人数；用科技小组的人数减去数学小组的人数即可；据此解答。 【解答】（1）从图上看出人数最多的是科技小组，文艺小组的总人数最少。 （2）20＋18＋39＝77（人） 39－20＝19（人） 所以，通过计算，三个兴趣小组的总人数有77人，数学小组再增加19人就和科技小组的人数一样多。 【易错专练4】四年级篮球组同学的身高数据如下表。    （1）条形统计图中每格表示（ ）人，这个小组共有（ ）人。 （2）这个组身高在（ ）厘米人数最多，（ ）厘米人数最少。 【答案】（1）2 28 （2）140～149 120～129 【分析】（1）根据统计图可知，条形统计图中每格表示2人；120～129之间有2人；130～139之间有8人；140～149之间有12人；150～159之间有6人，将每个身高区间的人数相加即可求出总人数。 （2）条形统计图用直条的长短来表示数量的多少，哪个身高区间的直条最高，就表示这个身高区间的人数最多，哪个身高区间的直条最短，就表示这个身高区间的人数最少，据此解答。 【解答】（1）2＋8＋12＋6 ＝10＋18 ＝28（人） 条形统计图中每格表示2人，这个小组共有28人。 （2）这个组身高在140～149厘米人数最多，有12人；120～129厘米人数最少，只有2人。 【点评】本题主要考查了统计图表的整理和分析，关键是根据已知信息解决实际问题。 【易错专练5】看图填空。 （1）纵轴上每格代表（ ）人。 （2）（ ）班人数最多，是（ ）人。 （3）三个班女生一共有（ ）人，男生一共有（ ）人。四年级学生一共有（ ）人。 【答案】（1）5 （2）四（3） 44 （3）61 65 126 【分析】（1）直接观察统计图填空即可。 （2）先计算出每个班的总人数，然后再进行比较并填空即可。 （3）先用加法分别计算出三个班男生、女生的总人数即可填空，再用三个班的女生人数加三个班的男生人数即可。 【解答】（1）根据统计图可知，纵轴上每格代表5人。 （2）20＋23＝43（人） 20＋20＝40（人） 21＋23＝44（人） 44人＞43人＞40人，即四（3）班人数最多，是44人。 （3）20＋20＋21＝61（人） 22＋20＋23＝65（人） 61＋65＝126（人） 三个班女生一共有61人，男生一共有65人。四年级学生一共有126人。 【点评】此题是考查如何从条形统计图中获取信息，并根据所获取的信息解决实际问题。 易错点3：绘制条形统计图时，“一格代表几个单位”设定不合理。 【易错专练1】某地去年上半年的月平均气温如下表。 月份（月） 1 2 3 4 5 6 平均气温（℃） 3 7 12 14 18 26 为了明显看出数量的多少，请完成下面的条形统计图。 【答案】见详解 【分析】根据统计表的数据，在统计图的纵轴上找到1～6月对应的平均气温，纵坐标一个单元格表示2℃，所以3℃在2℃和4℃中间，7℃在6℃和8℃中间，其他温度对准纵坐标刻度即可画出条形统计图。 【解答】 【易错专练2】世界四大洋平均水深如下表： 名称 太平洋 大西洋 印度洋 北冰洋 平均水深（米） 4028 3627 3897 1296 请把表中的数据用横式条形统计图绘制出来。 世界四大洋平均水深统计图 【答案】见详解 【分析】从统计图中可知：横轴上表示平均水深，纵轴上表示世界四大洋的名称，每格代表1000米；根据世界四大洋平均水深统计表中四大洋的平均水深数据，找到相应的刻度，画出相应高度的直条，并标上数据和日期即可。 【解答】世界四大洋平均水深统计图 【易错专练3】下面是四（1）班同学家务劳动情况统计表。 家务劳动 洗袜子 洗碗 擦桌子 扫地 人数 4 8 18 12 根据表中的数据完成如图的条形统计图。 【答案】见详解 【分析】根据统计表中的数据，可知最多的有18人，根据统计图可知，竖直的能填10个数，如果一格表示1人，那么18人会超出，所以可以一格表示2人，10格完全足够，据此在条形统计图相应位置涂出直条。 【解答】 【易错专练4】下面是四（3）班某次体育测试成绩的统计表。 分数 90分以下 90～92分 93～95分 96～98分 99～100分 人数 2 10 10 12 6 根据上面统计表中的数据制作一个统计图。 【答案】作图见详解 【分析】从统计图中可以看出：横轴表示分数，纵轴表示人数，纵轴上有9格，且统计表中最多的人数是12人，所以可以用1格代表2人；根据统计表中的人数，找到纵轴上相应数据的位置，画出对应高度的直条，并标上数据。据此作图。 【解答】根据分析，作图如下： 易错点4：根据统计图解决问题时提出数据错误，导致解决问题错误。 【易错专练1】绿叶水果店上周水果销售情况如下表： 种类 苹果 香蕉 梨 橘子 数量（千克） 30 15 20 40 （1）根据表中的数据完成统计图。 （2）统计图中的每格代表（    ）千克，梨比橘子少卖了（    ）千克。 （3）上周卖出的水果一共有（    ）千克，平均每天卖出水果（    ）千克。 【答案】（1）见详解 （2）5；20； （3）105；15； 【分析】（1）根据条形统计图的绘制方法，按照统计表中的数据完成条形统计图。 （2）通过观察统计表中数据，可以发现香蕉卖了15千克，但在统计图中画了3个格子，所以每格代表5千克最合适。已知梨卖了20千克，橘子卖了40千克，梨比橘子少卖了多少千克可以用40－20计算。 （3）根据统计表的内容，把卖出的苹果、香蕉、梨和橘子的重量相加，即可求出上周一共卖出多少千克，因为一周有7天，平均每天卖出水果的重量可以用105÷7计算。 【解答】（1） （2）40－20＝20（千克） 统计图中的每格代表5千克，梨比橘子少卖了20千克。 （3）30＋15＋20＋40＝105（千克） 105÷7＝15（千克） 上周卖出的水果一共有105千克，平均每天卖出水果15千克。 【易错专练2】下面是光明小学四年级学生社团报名情况统计表。 课程 阅读 思维 艺术 劳动 编程 人数/人 35 40 48 20 45 （1）根据上表的数据，把条形统计图补充完整。 （2）图中每格代表（    ）人，喜欢（    ）课的人最多，喜欢这门课的人比喜欢劳动课的人多（    ）人。 【答案】（1）见详解 （2）5；艺术；28 【分析】（1）根据单式条形统计图的特点，并结合统计表中的数据补全统计图即可。 （2）观察统计图可知，第一个小格子是数字5，所以每格代表5人；找到直条最高的就是喜欢该课程人数最多的，用喜欢这门课的人数减去喜欢劳动课的人数即可。 【解答】（1）作图如下： （2）48－20＝28（人） 图中每格代表5人，喜欢艺术课的人最多，喜欢这门课的人比喜欢劳动课的人多28人。 【易错专练3】下面是2020年至2024年我国快递业务量统计图。 （1）（ ）年我国快递业务量最多，（ ）年最少。 （2）（ ）年比前一年快递业务增加得最多，增加了（ ）亿件。 （3）根据以上数据信息，预计2025年我国全年快递业务总量大约是（ ）亿件，理由是（ ）。 【答案】（1）2024 2020 （2）2024 331 （3）1900 2025年我国快递业务仍将继续保持稳步上升态势，只要达到2024年快递业务增量就能达到1900亿件 【分析】（1）根据直条的长短可知哪年我国快递业务量最多，哪年最少。 （2）用后一年的快递业务量减前一年的快递业务量求每年比前一年业务量增加多少亿件，然后进行比较即可知哪一年比前一年快递业务量增加得最多，增加了多少。 （3）根据以上信息估计出2025年我国全年快递业务总量大约是多少，并且说出理由即可。 【解答】（1）2024年我国快递业务量最多，2020年最少。 （2）1083－834＝249（亿件） 1106－1083＝23（亿件） 1321－1106＝215（亿件） 1652－1321＝331（亿件） 331＞249＞215＞23 所以2024年比前一年快递业务增加得最多，增加了331亿件。 （3）根据以上数据信息，预计2025年我国全年快递业务总量大约是1900亿件，理由是2025年我国快递业务仍将继续保持稳步上升态势，只要达到2024年快递业务增量就能达到1900亿件。 【易错专练4】阳光小学对四年级196名学生进行了体质健康测试，并对各个项目中达到优秀的学生进行了统计： 体测项目 跳绳 仰卧起坐 坐位体前屈 50米跑 身高体重 肺活量 优秀人数（人） 182 137 132 155 142 110 （1）请根据统计表将下面的统计图补充完整。 （2）图中每格代表（    ）个人。 （3）哪个项目的优秀人数最多？哪个项目的优秀人数最少？ （4）观察统计图中的信息，你还有什么发现？写出一条。 【答案】（1）见详解 （2）20 （3）跳绳；肺活量 （4）见详解 【分析】（1）横轴表示项目，纵轴表示优秀学生人数，根据统计表中已知的数据，在统计图中相对应的位置，画出直条，涂上颜色，最后再标注数据，即可完成统计图的补充； （2）纵轴相邻的两格间相差20人，所以每格代表20人； （3）根据直条的高低即可知道各项目的优秀人数的多少； （4）结合统计图表中各个项目达到优秀的学生人数，写出自己的发现即可，答案不唯一。 【解答】（1）统计图如下： （2）图中每格代表20个人。 （3）跳绳的优秀人数最多，肺活量的优秀人数最少。 （4）观察统计图中的信息，我还发现：仰卧起坐和坐位体前屈优秀人数相差不多。（答案不唯一） 【易错专练5】垃圾分类是目前人们比较关注的话题；为了解居民是否能够正确进行垃圾分类，幸福小区对部分居民进行调查。下面是能正确识别各类垃圾的居民人数统计表。 类别 可回收垃圾 厨余垃圾 有害垃圾 其他垃圾 人数 180 260 130 280 （1）根据统计表完成上面条形统计图。 （2）统计图中，每格代表（    ）人。 （3）能识别（    ）垃圾的人数最多，能识别（    ）垃圾的人数最少。 （4）根据上面的调查情况，你还能提出其他数学问题并解答吗？ 【答案】（1）见详解 （2）20 （3）其他；有害 （4）能识别可回收垃圾的比有害垃圾的多多少人；50人（答案不唯一） 【分析】（1）根据对条形统计图的了解，用黑色长条表示能识别对应垃圾的人数，据此完成条形统计图即可。 （2）条形统计图左边竖着的一列代表人数，用20－0即可求出每格代表多少人。 （3）比较四种垃圾能识别的人数，据此判断人数最多和最少的是什么。 （4）已知能识别可回收垃圾的有180人，能识别有害垃圾的有130人，可以提问能识别可回收垃圾的比有害垃圾的多多少人；用180－130即可求解。 【解答】（1）如图： （2）20－0＝20（人） 统计图中，每格代表20人。 （3）130＜180＜260＜280 能识别其他垃圾的人数最多，能识别有害垃圾的人数最少。 （4）能识别可回收垃圾的比有害垃圾的多多少人？ 180－130＝50（人） 答：能识别可回收垃圾的比有害垃圾的多50人。（答案不唯一） 专题八数学广角—优化 易错点1：沏茶问题中混淆“先后”与“同时”。 【易错专练1】星期天，阳阳在家帮妈妈做家务。整理房间要15分钟，擦桌子要5分钟，拖地要12分钟，找齐要洗的衣服要5分钟，用全自动洗衣机洗好衣服要56分钟，晾衣服要5分钟。想一想：阳阳怎么做最省时间？最少需要多长时间？ 【答案】做法见详解；66分钟 【分析】要节省时间，需将能同时进行的任务安排在洗衣机工作的56分钟内完成。找衣服和晾衣服必须单独进行，其他任务可并行处理。洗衣服的时间，可以同时整理房间要15分钟，擦桌子要5分钟，拖地要12分钟，这三项总时间为15＋5＋12＝32（分钟），能在56分钟内完成，即最少需要5分钟（找衣服）＋56分钟（洗衣服）＋5分钟（晾衣服）＝66（分钟），据此解答即可。 【解答】15＋5＋12＝32（分钟） 32＜56 5＋56＋5＝66（分钟） 答：阳阳先找齐要洗的衣服，然后用全自动洗衣机洗衣服的同时整理房间、擦桌子、拖地，最后晾衣服；最少需要66分钟。 【易错专练2】周末宁宁要做以下家务：拖地要10分钟，收拾厨房要15分钟，用全自动洗衣机洗衣服需要30分钟，晾衣服要10分钟。按你认为最合理最省时间的安排，宁宁做完这些事至少需要多少分钟？ 【答案】40分钟 【分析】根据题意，用洗衣机洗衣服的同时，宁宁可以拖地、收拾厨房，共用时30分钟。衣服洗好了，再晾晒，用时10分钟。宁宁做完这些事至少需要（30＋10）分钟。以此答题即可。 【解答】根据分析可知： 30＋10＝40（分钟） 答：宁宁做完这些事至少需要40分钟。 【易错专练3】丽丽家来客人了，她要给客人沏茶，沏茶要做的事情包括：洗水壶1分钟，洗茶杯2分钟，烧水6分钟，接水1分钟，找茶叶1分钟，沏茶1分钟，她要想让客人尽快喝到茶水，至少需要多长时间？请在下面的空白处简要说明丽丽怎样做能够让客人在最短的时间内喝上茶。 【答案】洗水壶1分钟，接水1分钟，烧水6分钟，沏茶1分钟，这是必要步骤，其他可以在烧水的同时完成；9分钟。 【分析】此题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答。洗水壶1分钟，接水1分钟，烧水6分钟，沏茶1分钟，这是必要步骤，其他可以在烧水的同时完成，据此解答。 【解答】洗水壶1分钟，接水1分钟，烧水6分钟，沏茶1分钟，这是必要步骤，其他可以在烧水的同时完成。 1＋1＋6＋1＝9（分钟） 答：她要想让客人尽快喝到茶水，至少需要9分钟的时间。 【易错专练4】乐乐要完成烧饭和炒菜两项家务，需要的时间如下：淘米2分钟，电饭煲煮饭20分钟，洗菜2分钟，切菜3分钟，炒菜15分钟。他完成这两项家务至少要多少时间？（请写或画出过程） 【答案】22分钟 【分析】先淘米，然后再煮饭，在电饭煲煮饭的同时进行洗菜、切菜和炒菜；这样所花的时间最少；接着比较电饭煲煮饭的时间和洗菜、切菜和炒菜这三个时间之和的大小；然后用比较出来的长的时间加上淘米的时间就是至少所需的时间。 【解答】过程为：①淘米；②电饭煲煮饭，在煮饭的同时洗菜、切菜和炒菜； 2＋3＋15 ＝5＋15 ＝20（分钟） 电饭煲煮饭的时间和洗菜、切菜和炒菜的时间之和相等。 2＋20＝22（分钟） 答：他完成这两项家务至少要22分钟。 【易错专练5】果果星期六要到绘画班学习画画，她早晨8：00起床后，要做的事情和所用时间如下图所示，她最早什么时间能到绘画班上课。 穿衣、叠被：5分钟 刷牙、洗脸：3分钟 吃早餐、收拾餐桌：10分钟 整理书包：2分钟 坐车：8分钟 听音乐：15分钟 【答案】8时28分 【分析】在穿衣、叠被、刷牙、洗脸、吃早餐、收拾餐桌、整理书包、坐车的时候，同时听音乐，所以果果做这些事情需要的时间就是穿衣、叠被、刷牙、洗脸、吃早餐、收拾餐桌、整理书包、坐车所用的时间；然后根据结束时刻＝开始时刻＋经过时间，求出果果到绘画班上课的时间。 【解答】5＋3＋10＋2＋8＝28（分）   8时＋28分＝8时28分     答：她最早8时28分能到绘画班。 【易错专练6】张棋同学早上起来要做很多事：穿衣服2分钟，洗漱5分钟，蒸早点15分钟，整理房间5分钟，吃早饭10分钟，帮妈妈打理衣服5分钟。合理安排以上事情（注意要先穿衣服，再做其他事情哦！）让他所用时间最短，用流程图记录下来，并求出所用的最短时间是多少？ 【答案】27分钟；图见详解 【分析】依据题意可知，先穿衣服，然后蒸早点，同时洗漱，整理房间，帮妈妈打理衣服，然后吃早饭。注意要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答。 【解答】由分析可知： 最短时间为：2＋15＋10＝27（分钟） 答：所用的最短时间是27分钟。 【易错专练7】看图解答。 （1）小男孩应该怎样安排才能使所用的时间最少？ （2）做完这几件事情最少需要多少分钟？ 【答案】（1）见详解； （2）25分钟 【分析】（1）要想所用的时间最少，应先刷牙洗脸，再读书，在读书的同时，可以烧水，最后再吃饭。 （2）结合第一小问的安排，因为烧水的时间小于读书的时间，所以将刷牙洗脸的时间加上读书的时间，再加上吃饭的时间，即为需要的最少时间。 【解答】（1）如图： （2）4＋15＋6＝25（分钟） 答：做完这几件事情最少需要25分钟。 【易错专练8】妈妈处理好鱼后，让小明帮助烧鱼，他洗鱼、切鱼、切姜片葱花、洗锅、煎烧，各道工序共花了17分钟（如下图），请你设计一个顺序，使花费的时间最少。 【答案】顺序见详解；12分钟 【分析】根据优化问题，要使花费的时间最少，可以先洗锅，然后将锅烧热的同时洗鱼，将油烧热的同时切鱼和切姜葱，最后煎烧即可。 【解答】 如图： 2＋2＋3＋5 ＝4＋3＋5 ＝7＋5 ＝12（分钟） 答：最少花费12分钟。 易错点2：烙饼问题中错误计算时间。 【易错专练1】小平底锅一次可以煎3只鸡翅，两面都要煎，每面需要5分钟。煎4只鸡翅至少需要（    ）分钟。你是怎么煎的？ 【答案】15 【分析】由题意得，第一次煎可以先放入3只鸡翅，3只鸡翅的一面煎熟后，可以拿出其中的一只鸡翅，把锅内的2只鸡翅翻面，然后再把第4只鸡翅放入一起煎。5分钟后，2只鸡翅完全熟了。接着把第4只鸡翅翻面并将前面拿出来的那只鸡翅放入锅内一起煎。5分钟后，4只鸡翅就全部煎完了。所以一共需要煎3个5分钟。据此解答。 【解答】煎法：第一次煎可以先放入3只鸡翅，3只鸡翅的一面煎熟后，可以拿出其中的一只鸡翅，把锅内的2只鸡翅翻面，然后再把第4只鸡翅放入一起煎。5分钟后，2只鸡翅完全熟了。接着把第4只鸡翅翻面并将前面拿出来的那只鸡翅放入锅内一起煎。5分钟后，4只鸡翅就全部煎完了。 5×3＝15（分钟） 答：煎4只鸡翅至少需要15分钟。 【易错专练2】两名医生分别负责量身高，验视力。下面三位同学要去做这两项检查，每项检查都要2分钟，他们三人做完这些检查至少要用多长时间？请你把自己的方法表示出来。 【答案】6分钟；东东量身高同时兰兰验视力；东东验视力时红红量身高；兰兰量身高时，红红验视力。 【分析】优化问题时，可以同时两个人进行不同的项目，比如东东量身高时，兰兰验视力，需要2分钟，东东眼视力时，红红量身高，需要2分钟，兰兰量身高时，红红眼视力，需要2分钟。据此解题。 【解答】2×3＝6（分钟） 答：东东量身高同时兰兰验视力；东东验视力时红红量身高；兰兰量身高时，红红验视力，他们三人做完这些检查至少要用6分钟。 【易错专练3】明明爸爸用一只小平底锅烙葱花饼，每次最多能烙3张，如果烙一张葱花饼需要6分钟（正、反面各3分钟），那么烙30张葱花饼至少需要多少分钟？ 【答案】60分钟 【分析】烙饼的次数＝饼的张数×2÷一次可以烙的张数，总时间＝烙一面的时间×次数；据此解答。 【解答】30×2÷3 ＝60÷3 ＝20（次） 3×20＝60（分钟） 答：那么烙30张葱花饼至少需要60分钟。 【易错专练4】妈妈用平底锅煎荷包蛋，每次可以同时煎2个荷包蛋，煎1个荷包蛋需要4分钟（正反面各2分钟），煎5个荷包蛋至少需要多少分钟？ 【答案】10分钟 【分析】每次可以同时煎2个荷包蛋，要使时间最少，那么每煎一次，要保证锅里都有2个荷包蛋，这样才能使用的时间最少。把5个鸡蛋分别编号为：①②③④⑤，列举出每次煎蛋的顺序：①正②正、①反②反、③正④正、③反⑤正、④反⑤反，即需要分5次才可以煎完。 【解答】煎蛋顺序：①正②正、①反②反、③正④正、③反⑤正、④反⑤反 2×5＝10（分钟） 答：煎5个荷包蛋至少需要10分钟。 【易错专练5】妈妈烤面包片，第一面需要烤2分钟，烤第二面时，面包片比较干了，只需烤1分钟。妈妈用的锅一次最多能放2片面包片，烤3片面包片，最少要用多长时间？ 【答案】5分钟 【分析】先烤第一、第二片面包片的第一面，2分钟；然后第一片面包片取出，将第二片翻面，放上第三片面包片，经过1分钟，第二片面包片已熟取出；再放上第一片面包片，烤另外一面，1分钟后，第一片面包片又熟了，可把它取出；最后把第三片面包片翻面，再过1分钟，第三片面包片完成；所以一共需要（2＋1＋1＋1）分钟。 【解答】2＋1＋1＋1 ＝3＋1＋1 ＝5（分钟） 答：最少要用5分钟。 【易错专练6】小红妈妈要小红用平底锅烙饼，锅中每次最多放4个饼。烙一个饼一面要2分钟，另一面要1分钟，小红烙6个饼最短需要多少时间？ 【答案】5分钟 【分析】结合所学知识，一次最多放4个饼，一面时间为2分钟，另一面要1分钟，要求所花的时间最少，就要在保证火炉不空着的情况下，尽可能高效地烙饼，则需要交替进行，据此分析解答即可。 【解答】答：先依次放上第一到第四个饼，烙2分钟然后拿下第三、四两个饼，把第一、二两个饼翻过去，加上第五、六两个饼，烙1分钟；然后取下第一、二两个饼，放上第三、四两个饼再烙1分钟；然后再把第五、六两个饼翻过去，接着烙1分钟，烙6个饼最短需要2＋1＋1＋1＝5分钟。 【易错专练7】妈妈每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面需要3分钟。红红、爸爸、妈妈每人吃1张饼，下面是一家人商量的最佳的烙饼方案，妈妈至少需要多少分钟烙熟？ 【答案】9分钟 【分析】要使烙饼的总时间最少，那么每一次锅内就应有两张饼，然后计算出时间总和即可。妈妈烙3张饼时：第一次：第1张饼的正面，第2张饼的正面，用时3分钟；第二次：第1张饼的反面，第3张饼的正面，用时3分钟；第三次：第2张饼的反面，第3张饼的反面，用时3分钟。因此当烙2张及以上的饼，并且锅里只能同时烙两张饼时，烙饼所需要的最短时间＝烙一面需要的时间×张数。 【解答】3×3＝9（分） 答：妈妈至少需要9分钟烙熟。 【点评】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。 【易错专8】师傅说：每次只能烙两张饼，两面都要烙，每面2分钟。 徒弟问：烙熟1张饼需要几分钟？2张、3张、4张…呢？ （1）填写下表。 烙饼张数 烙饼方法 所需时间 1 先烙正面，再烙反面 2 两张一起烙 3 接最佳方法烙 4 两张、两张地烙 5 先两张、两张地烙，最后三张按最佳方法烙 6 7 8 9 （2）照这样计算，烙199张饼需要多长时间？ 【答案】（1）见详解 （2）398分钟 【分析】（1）一张烙，正反面共需2×2＝4分钟； 两张同时烙，正反面共需2×2＝4分钟； 三张，先烙第一个与第二个的正面需2分钟，然后烙第一个的反面与第三个的正面需要2分钟，最后烙第二个的反面与第三个的反面需2分钟，烙完3个共需2×3＝6分钟； 四张，两张、两张地烙，4×2＝8分钟（两张同时烙，正反面共需2×2＝4分钟）； 五张，先同时烙两个正反面共需4分钟；再烙后三个共需6分钟，5个共需4＋6＝10分钟。 通过以上发现双数张饼，就两张、两张同时烙，如果是单数张饼，前面就两张两张同时烙，剩下最后三张按最佳方法烙。 （2）通过表中的数据发现规律：在一个锅一次最多能同时烙2个饼的烙饼问题中，饼的个数与所需时间的关系为：所需时间＝个数×烙一面所用时间，据此解答填表。 【解答】（1） 烙饼张数 烙饼方法 所需时间 1 先烙正面，再烙反面 4分钟 2 两张一起烙 4分钟 3 接最佳方法烙 6分钟 4 两张、两张地烙 8分钟 5 先两张地烙，最后三张按最佳方法烙 10分钟 6 两张、两张地烙 12分钟 7 先两张、两张地烙，最后三张按最佳方法烙 14分钟 8 两张、两张地烙 16分钟 9 先两张、两张地烙，最后三张按最佳方法烙 18分钟 （2）199×2＝398（分钟） 答：烙199张饼需要398分钟。 易错点3：田忌赛马问题中策略选择错误。 【易错专练1】小明和小芳各有三张扑克牌，点数大的赢，三局两胜，下面怎样的牌局可以保证小明会赢？ 【答案】见详解 【分析】根据三局两胜制规则，要想小明赢，那么小明至少有两张牌比小芳的牌大，小芳的三张牌分别是7、5、3，那么那么小明的牌有一张比3大，有一张比5大即可。 【解答】由分析知，小明的三张牌是2、6、4即可保证小明赢。 【易错专练2】下面是参加跳绳比赛的队员最近一次记录，如果要进行团体比赛，三局两胜制，你能找出四（1）班胜出四（2）班的策略吗？ 四（1）班：林达92，林森124，何梦婷148； 四（2）班：陈捷116，陈辉133，林小军158。 【答案】林达与林小军比赛，林森与陈捷比赛，何梦婷与陈辉比赛 【分析】四（1）班要想胜出四（2）班，则需要用四（1）班最低成绩的人与四（2）班最高成绩的人进行比赛，用四（1）班排名中间成绩的人与四（2）班最低成绩的人进行比赛，用四（1）班最高成绩的人与四（2）班中间成绩的人进行比赛，依此解答。 【解答】92＜158；124＞116；148＞133； 因此四（1）班胜出四（2）班的策略是：林达与林小军比赛，林森与陈捷比赛，何梦婷与陈辉比赛。 【易错专练3】小华和丽丽两人玩数字卡片比大小的游戏，从六张数字卡片中任意抽取3张，每人每次出一张，各出3次，赢两次者获胜。如果小华抽到了，剩下的数字卡片是丽丽的，丽丽应该怎样出才能获胜？ 场次 第一次 第二次 第三次 小华 4 7 9 丽丽 获胜方 【答案】6；8；5 丽丽；丽丽；小华 【分析】本题可以根据“田忌赛马”的解题方法解答。丽丽用最小的5对应小华最大的9，用中间的6对应小华最小的4，用最大的8对应小华中间的7，此时丽丽赢两次，取得胜利。 【解答】 场次 第一次 第二次 第三次 小华 4 7 9 丽丽 6 8 5 获胜方 丽丽 丽丽 小华 【易错专练4】四年（一）班和四年（二）班举行百米短跑对抗赛。（一）班的三名队员的最好成绩分别是：1号14秒2，2号14秒7，3号15秒1；（二）班的三名最好成绩分别是：1号14秒5，2号14秒8，3号15秒6.比赛规则是：一对一分别比赛，胜一次，得1分。最后结果是（二）班以2比1获胜。（二）班是如何取胜呢？ 四年（一）班 四年（二）班 本场胜者 第一场 1号14秒2 （    ） （    ） 第二场 2号14秒7 （    ） （    ） 第三场 3号15秒1 （    ） （    ） 【答案】见详解 【分析】根据田忌赛马问题中所用的策略，第一场由四年（二）班3号与四年（一）班1号进行比赛；第二场由四年（二）班1号与四年（一）班2号进行比赛；第三场由四年（二）班2号与四年（一）班3号进行比赛，据此解答即可。 【解答】根据田忌赛马所使用的策略进行安排如下表： 四年（一）班 四年（二）班 本场胜者 第一场 1号14秒2 3号15秒6 四年（一）班 第二场 2号14秒7 1号14秒5 四年（二）班 第三场 3号15秒1 2号14秒8 四年（二）班 这样，四年（二）班赢得两场，四年（一）班赢得一场，最后结果是（二）班以2比1获胜。 【易错专练5】四（1）班和四（2）班进行乒乓球比赛。每班选出打乒乓球最好的前五名同学（按五名同学的水平高低编号）参赛，共打5场球，5场3胜制。假如你是四（1）班的同学，你将怎样安排本班的五名选手比赛的出场顺序，才有可能打赢这次比赛？（两个班前五名对应名次水平相当。） 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 四（2）班战略 四（1）班战略 【答案】见详解 【分析】要使四（1）班胜出，则可以让四（1）班第一名对四（2）班的第二名；四（1）班的第二名对四（2）班的第三名；四（1）班的第三名对四（2）班的第四名；四（1）班的第四名对四（2）班的第五名；四（1）班的第五名对四（2）班的第一名。这样能保证前四场比赛四（1）班胜出，根据五局三胜的规则即可使得四（1）班胜出。 【解答】 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 四（2）班战略 第五名 第四名 第三名 第二名 第一名 四（1）班战略 第四名 第三名 第二名 第一名 第五名 【易错专练6】合理安排比赛。 四年级两个班要进行羽毛球比赛，每班有3名选手参加，两班实力相当。四（2）班的三名选手按实力强弱分别编号为A、B、C；四（1）班的三名选手按实力强弱分别编为甲、乙、丙。已知两个班只比赛三场，每名选手只能比赛一次，每班只要能赢两场即可赢得比赛。 （1）如果不考虑包括运动员水平发挥等各种情况，想让四（2）班赢得比赛，应该怎样安排各选手对阵？试填写在下表中。 四（1）班 四（2）班 本场胜者 第一场 甲 第二场 乙 第三场 丙 （2）如果不考虑包括运动员水平发挥等各种情况，想让四（1）班赢得比赛，应该怎样安排各选手对阵？试填写在下表中。 四（1）班 四（2）班 本场胜者 第一场 A 第二场 B 第三场 C 【答案】（1）C；甲 A；A B；B （2）丙；A 甲；中 乙；乙 【分析】（1）想让四（2）班赢得比赛，先用四（2）班实力最差的和四（1）班实力最好的比赛，然后用四（2）班实力最好的和四（1）班实力第二好的比赛，最后用四（2）班实力第二好的和四（1）班实力最差的比赛； （2）想让四（1）班赢得比赛，先用四（1）班实力最差的和四（2）班实力最好的比赛，然后用四（1）班实力最好的和四（2）班实力第二好的比赛，最后用四（1）班实力第二好的和四（2）班实力最差的比赛。 【解答】（1） 四（1）班 四（2）班 本场胜者 第一场 甲 C 甲 第二场 乙 A A 第三场 丙 B B （2） 四（1）班 四（2）班 本场胜者 第一场 A 丙 A 第二场 B 甲 甲 第三场 C 乙 乙 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年四年级上册数学 （八大专题37个易错点） 目录 专题一大数的认识 3 易错点1：数位与计数单位混淆​ 3 易错点2：读数时漏读“零”或多读“零” 4 易错点3：写数时位数不对齐，漏写“0”占位或写法错误 6 易错点4：大数比较时未逐位比较​​ 7 易错点5：改写“万”或“亿”作单位时未四舍五入 8 专题二公顷和平方千米 9 易错点1：面积单位进率混淆。 9 易错点2：复合单位换算错误。 10 易错点3：实际应用选错单位。 11 易错点4：解决问题时单位不统一。​ 13 专题三角的度量 15 易错点1：线段、直线、射线理解错误。 15 易错点2：数线段、直线或射线的条数要注意合并。 16 易错点3：数角的个数要注意合并。 17 易错点4：用量角器测量开口向右的角,一般要看内圈刻度；测量开口向左的角，一般要看外圈刻度。 18 易错点5：对平角、周角的认识不足，与直线、射线混淆​ 20 易错点6：画角时，度数刻度找错。 21 专题四三位数乘两位数 22 易错点1：计计算过程中的进位错误。 22 易错点2：积的末尾漏写0和漏乘积中间的0。 23 易错点3：积的变化规律应用错误。 24 易错点4：未能正确分清数量之间的关系，无法正确解决实际问题。 25 专题五平行四边形和梯形 27 易错点1：对“平行”和“垂直”的概念理解不清。 27 易错点2：作平行四边形和梯形的高时出错。 28 易错点3：平行四边形的特征理解错误。 30 易错点4：梯形的特征理解错误。 31 易错点5：数图形时遗漏或重复。 32 专题六除数是两位数的除法 34 易错点1：在计算商是两位数的笔算除法时没有除尽。 34 易错点2：在计算除数是两位数的除法时试商错误。 35 易错点3：用整十数试商时,错误地将整十数参与了运算。 36 易错点4：根据商不变的规律进行计算时,没有将余数末尾的0添上。 37 易错点5：被除数和除数的末尾同时去掉相同个数的0,商不变。 38 易错点6：“最多”与“至少”问题混淆。 39 专题七条形统计图 41 易错点1：没有掌握条形统计图的特征，随意乱画。 41 易错点2：忽略统计图中每格所代表的数量。 43 易错点3：绘制条形统计图时，“一格代表几个单位”设定不合理。 46 易错点4：根据统计图解决问题时提出数据错误，导致解决问题错误。 48 专题八数学广角—优化 51 易错点1：沏茶问题中混淆“先后”与“同时”。 51 易错点2：烙饼问题中错误计算时间。 54 易错点3：田忌赛马问题中策略选择错误。 56 专题一大数的认识 易错点1：数位与计数单位混淆​ 【易错专练1】一个八位数的最高位的计数单位是（ ）。 【易错专练2】秒是很小的时间单位，一年按照365天计算有31536000秒。31536000的最高位是（ ）位，“5”在（ ）位上，表示（ ），它是由（ ）个万和（ ）个一组成的。 【易错专练3】73060400是一个（ ）位数，其中“6”在（ ）位上，表示6个（ ）。 【易错专练4】不同数位上的数表示的意义不同，如百位上的“6”表示6个（ ），千万位上的“6”表示6个（ ）。 【易错专练5】578000是（ ）位数，它的最高位是（ ），最高计数单位是（ ），数字“7”在（ ）位上，表示（ ）个（ ）。 易错点2：读数时漏读“零”或多读“零” 【易错专练1】第七次全国人口普查结果公布：全国人口共1411780000人读作（ ），人口数约为（ ）亿。 【易错专练2】某市2024年国民经济和社会发展统计公报显示，经初步核算，2023年的全市生产总值是188810000000元。横线上的数读作（ ），省略亿位后面的尾数约是（ ）亿。 【易错专练3】2023年“五一”假期，国内旅游出游人次约为274000000，横线上的数读作（ ），写成以“万”为单位的数是（ ）万。 【易错专练4】2023年我国普通小学在校生约有108079000人，此数读作（ ），初中生有五千二百四十三万六千九百人，此数写作（ ）。 【易错专练5】2023年株洲“厂BA”篮球锦标赛在举办期间累计吸引了400余万人次到来，最高日流量破26万余人次，全网总曝光量约451300000余次。横线上的数读作（ ），省略亿位后面的尾数约为（ ）亿。 易错点3：写数时位数不对齐，漏写“0”占位或写法错误 【易错专练1】离太阳最近的一点叫“近日点”，距离太阳约一亿四千七百零九万八千零七十四千米，横线上的数写作（ ），省略这个数万位后面的尾数约是（ ）。 【易错专练2】据统计，我国使用网络的人数已经达到五亿九千八百零七万人，写作（ ）人，改写用“万”作单位的人数是（ ）万人，省略“亿”后面的尾数大约是（ ）亿人。 【易错专练3】2025年4月4日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》全球票房已突破一百五十四亿六千七百万元人民币（约合21.5亿美元），跻身全球电影票房榜前五，横线上的数写作（ ），改写成用“万”作单位的数是（ ）。 【易错专练4】世界客都梅州位于广东省东北部闽、粤、赣3省交界处。据2020年第七次全国人口普查数据显示，梅州市常住人口为三百八十七万三千二百三十九人。横线上的数写作（ ），省略万后面的尾数约是（ ）。 【易错专练5】据最新的统计数据，2024年山东地区百家姓排名中，王姓稳依然居榜首，人口数是一千一百一十一万五千四百九十一人。横线上的数写作（ ），四舍五入到万位约是（ ）万。 易错点4：大数比较时未逐位比较​​ 【易错专练1】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 208808（ ）99999   3050000（ ）30500000 【易错专练2】据统计，今年澳门前三季度入境旅客人次统计表如下： 季度 第一季度 第二季度 第三季度 人次 8875800 6698000 10347100 从上表中可以看出，第（ ）季度入境旅客人次最多，第（ ）季度入境旅客人次最少。 【易错专练3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 7020000（ ）7020000        453040（ ）534040 【易错专练4】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 946850（ ）1240005             803004（ ）800304 1650000（ ）165万                 98989（ ）100000 【易错专练5】在括号里填上“＞”或“＜”。 89108（ ）89098    50048000（ ）105408000    100000（ ）99999 易错点5：改写“万”或“亿”作单位时未四舍五入 【易错专练1】青海省第七次全国人口普查主要数据公报显示：全省常住人口为5923957人，横线上的数读作（ ），用“四舍五入”法省略万后面的尾数约是（ ）万。 【易错专练2】据第七次全国人口普查数据，普洱市少数民族人口数达一百四十五万零四百，这个数写作（ ），省略万位后面的尾数记作（ ） 【易错专练3】《中华大典》是一部涵纳百科的大型新式类书，全书共约745000000字，将横线上的数改写成用“万”作单位的数是（ ）万，省略亿位后面的尾数是（ ）亿。 【易错专练4】2024年7月27日，第33届巴黎奥运会开幕式在塞纳河上举行，空前盛宴，吸引观众达990000000人次。将划横线上的数改写成以“万”为单位是（ ）万，即“四舍五入”法省略亿位后面的尾数是（ ）亿。 【易错专练5】去年我国人口数为1409670000人，读作（ ）人，改写成万作单位的数是（ ）万人，省略“亿”后面的尾数约是（ ）亿人。 专题二公顷和平方千米 易错点1：面积单位进率混淆。 【易错专练1】8公顷＝（ ）平方米    （ ）公顷＝7平方千米     26000000平方米＝（ ）公顷＝（ ）平方千米 【易错专练2】5平方千米＝（ ）公顷   600000平方米＝（ ）公顷    25000000平方米＝（ ）公顷＝（ ）平方千米 【易错专练3】17公顷（ ）平方米    80000公顷（ ）平方千米    40平方千米（ ）公顷（ ）平方米 【易错专练4】36500公顷＝（ ）平方千米  5平方千米＝（ ）公顷＝（ ）平方米 【易错专练5】9000公顷＝（ ）平方千米    30000平方米＝（ ）公顷 320000000平方米＝（ ）公顷＝（ ）平方千米 【易错专练6】1公顷＝（ ）平方米        1平方千米＝（ ）公顷＝（ ）平方米 40000平方米＝（ ）公顷        3800公顷＝（ ）平方千米 易错点2：复合单位换算错误。 【易错专练1】3平方千米60公顷＝（ ）公顷 30000平方米＋2公顷＝（ ）平方米 【易错专练2】5公顷200平方米＝（ ）平方米。5平方千米-300公顷＝（ ）平方千米 【易错专练3】7公顷40平方米＝（ ）平方米 6平方千米4公顷＝（ ）公顷 【易错专练4】60公顷400平方米＝（ ）平方米 6平方千米50公顷＝（ ）公顷 易错点3：实际应用选错单位。 【易错专练1】我国陆地面积大约是960万（ ）；学校操场的面积约为1（ ）。 【易错专练2】张家口市位于河北省西北部，总占地面积36357平方千米，万全区位于张家口市中部地区，占地面积大约是1161（ ），万全区体育场是万全人民健身娱乐场所，占地面积约3（ ）。 【易错专练3】在（    ）里填上适当的面积单位。 （1）国家游泳中心（“水立方”）的占地面积约6（ ）。 （2）济南市的辖区面积约10244（ ）。 （3）一间教室的面积约63（ ）。 【易错专练4】在括号里填写合适的单位名称。 亮亮家住在美好家园小区，他家的占地面积约是115（ ）。目前在规划建设中的美好小学位于新七大道与三十二大街的交汇处，该校的总建筑面积约是4（ ）。美好小学东边800（ ）处是新建的大型植物园，它的规划总面积约是2（ ）。 【易错专练5】填上合适的单位：暑假我和爸爸妈妈去首都北京游玩，乘坐飞机从北京的上空向下看，发现北京真大呀！我用手机搜索后，知道了北京市的面积是16410（ ）。在北京游玩的第一天，我们参观了天安门广场，又参观了占地面积约72（ ）的故宫博物院。晚上我们到宾馆休息，我们住的房间面积约是15（ ）。 【易错专练6】请完善下面这段话中空缺的单位。 一个长方形广场，长2千米，宽1千米，王叔叔每天都要绕着这个广场走一圈，走的路程是6（ ），这个广场占地面积是2（ ），合2000000（ ）。在广场中间有一个边长200米的正方形荷花池，荷花池占地面积是4（ ）。 【易错专练7】在括号里填上合适的单位。 （1）北京奥林匹克公园作为2022年冬季奥运会的核心区和主承载区，占地面积约是12（ ）。 （2）学校餐厅的面积约200（ ）。 （3）第19届亚运会于2023年9月23日在杭州开幕，主场馆奥体博览城规划总面积约为6（ ），分场馆温州奥体中心二期占地面积约为23（ ）。 易错点4：解决问题时单位不统一。​ 【易错专练1】一辆压路机每分钟行驶25米，压轮的宽度是2米，如果所压的道路不重复，那么它10小时共能压路多少公顷？ 【易错专练2】一块长方形荒地，长是1700米，宽是1000米，建房修路后，长减少了200米，宽减少了300米，这块荒地的面积还剩多少公顷？ 【易错专练3】一个长方形菜园，长50米，宽40米。这块菜园的面积是多少平方米？多少个这样的菜园的面积是1公顷？ 【易错专练4】为了美化我们的城市环境，政府计划在城市道路旁修建花坛种花。如果每平方米花坛种4朵花，那么1公顷的花坛中需要种多少朵花？ 【易错专练5】王伯伯在当地被称为“果艺大师”，他修剪果树就像艺术家对待作品一样精心照料果园里的每一颗果树，让它们茁壮成长，结出丰硕的果实。王伯伯的果园长800米，宽50米，这个果园的面积是多少公顷？如果给这个果园围上篱笆，篱笆长多少米？ 【易错专练6】一架飞机在一片长250千米，宽8米的防护林带上空喷洒农药。这片防护林带的面积是多少平方米？合多少公顷？合多少平方千米？ 【易错专练7】一个长方形林场的宽为2千米，王叔叔开车绕一圈花了25分钟，正好行了22千米。这个林场的面积是多少公顷？ 【易错专练8】刘叔叔家小区一共有75幢住宅楼。每幢楼的长是80米，宽是10米。小区内有一则《简介》：本小区共占地13公顷，其中游乐场、网球场、健身房等公共设施占地3公顷，绿化面积超过5公顷。这则《简介》的内容真实吗？为什么？ 【易错专练9】《孟子•梁惠王上》中说：“海内之地，方千里者九。”“方千里”指横纵各一千里，也就是边长为1000里的正方形。已知1里＝500米，那么“方二里”的面积是多少平方米？合多少公顷？ 【易错专练10】王叔叔有一个长200米，宽100米的长方形果园准备扩建。 （1）如果长和宽都扩大到原来的2倍，那么果园的面积增加了多少公顷？ （2）扩建后果园全部种植苹果树，每棵苹果树的占地面积是8平方米，这个果园可以种植多少棵苹果树？ 专题三角的度量 易错点1：线段、直线、射线理解错误。 【易错专练1】一条直线长50米，一条线段长200米，线段比直线长150米。（ ） 【易错专练2】射线只能向一端延长，而直线可以向两端延长，所以射线可以测量长度而直线不能测量。（ ） 【易错专练3】小华把一条长3厘米线段的一端延长6厘米，就得到了一条长9厘米的射线。（ ） 【易错专练4】左图中的射线可以读作射线BA。（ ） 【易错专练5】孙悟空一念咒语，他的金箍棒就会向两端无限伸长，金箍棒就相当于一条直线。（ ） 易错点2：数线段、直线或射线的条数要注意合并。 【易错专练1】（ ）条直线  （ ）条线段  （ ）条射线 【易错专练2】高铁是我们重要的交通工具，往返于梅州西站和广州南站的高铁，除起点站和终点站外，中间还要停靠4个站，那么要准备（ ）种车票。 【易错专练3】如图中，共有（ ）条直线，（ ）条射线，（ ）条线段。 【易错专练4】下图中有（ ）条线段，有（ ）条射线，有（ ）条直线。 易错点3：数角的个数要注意合并。 【易错专练1】数一数，下图中一共有（ ）个角。 【易错专练2】数一数，填一填。 一共有（ ）个角。 【易错专练3】数一数，下图中共有（ ）个角。 【易错专练4】数一数，填一填。 图形 射线条数/条 2 3 （    ） （    ） （    ） 角的个数/个 1 3 （    ） （    ） （    ） 易错点4：用量角器测量开口向右的角,一般要看内圈刻度；测量开口向左的角，一般要看外圈刻度。 【易错专练1】看量角器上的刻度，填出每个角的度数。 （ ）    （ ）        （ ） 【易错专练2】奇奇用一个破损的量角器测量一个角，角的一条边和外圈的10°刻度线重合，读数时误读了内圈的刻度，读出的度数是110°，这个角的实际度数是（ ）。 【易错专练3】图中∠1是 度。 【易错专练4】小依的量角器坏了（如图），她灵机一动，想出了新的量角方法，则这个角是（ ）度。 【易错专练5】学习角的度量后，李明自制了一个特殊量角器（如下图），已知1大格的度数是15度，那么下图量角器上量的角是（ ）度。 易错点5：对平角、周角的认识不足，与直线、射线混淆​ 【易错专练1】比直角小的角是（ ），比直角大且比平角小的角是（ ）。 【易错专练2】90°   180°   45°    72°    175°    100°    360° 直角            平角           周角        锐角          钝角 【易错专练3】钟面上3：00，时针和分钟所成的角是（ ）角，2：30时针和分针所成的角是（ ）角，（ ）时，时针和分针所成的角是平角。 【易错专练4】把一个平角分成两个角，那么这两个角可能是（ ）角和（ ）角，也可能是（ ）角和（ ）角。 【易错专练5】平角比220°小（ ）°，平角的一半是（ ）角。过一点可以画（ ）条直线，经过两点可以画（ ）条直线。线段有（ ）个端点。 易错点6：画角时，度数刻度找错。 【易错专练1】画一画。 以A为顶点，画一个35度的角。 【易错专练2】画出下面的角。 35°    65°    95°    125° 【易错专练3】以A点为端点画射线AB，再以射线AB为边，画一个125°的角。 【易错专练4】画一画。 在下图的量角器上，以O为顶点，画一个105°的角。 专题四三位数乘两位数 易错点1：计计算过程中的进位错误。 【易错专练1】列竖式计算。          【易错专练2】笔算下面各题。（带※的要验算） 208×74＝    659×32＝    650×80＝    ※58×360＝ 【易错专练3】我会算。                         【易错专练4】笔算。 138×16＝          407×35＝          930×204＝ 【易错专练5】列竖式计算。 308×52＝        660×75＝        35×125＝ 264×59＝        67×206＝        45×140＝ 易错点2：积的末尾漏写0和漏乘积中间的0。 【易错专练1】列竖式计算下面各题。 308×46＝        480×56＝ 【易错专练2】列竖式计算。 706×24＝           45×508＝           520×60＝ 【易错专练3】列竖式计算。 568×35＝    307×60＝    450×60＝    67×208＝ 【易错专练4】用竖式计算。 236×43＝             32×380＝            208×56＝ 805×40＝              250×18＝            304×70＝ 【易错专练5】用竖式计算。 337×82＝       256×35＝         306×30＝ 260×30＝       208×13＝         450×60＝ 易错点3：积的变化规律应用错误。 【易错专练1】两个因数的积是180，其中一个因数除以2，另一个因数不变，积是( )。 【易错专练2】如果A×B＝30，那么（A×5）×B＝( )；（A×5）×（B÷5）＝( )。 【易错专练3】根据49×15＝735直接写出下面算式的得数。 490×15＝( )            490×150＝( ) 【易错专练4】根据220×15＝3300，直接写出括号里面的数。 440×15＝( )                 220×45＝( ) 220×( )＝33000             （220×3）×（15÷3）＝( ) 【易错专练5】根据220×15＝3300，直接写出括号里面的数。 440×15＝( )                 220×45＝( ) 220×( )＝33000             （220×3）×（15÷3）＝( ) 易错点4：未能正确分清数量之间的关系，无法正确解决实际问题。 【易错专练1】眼睛是心灵的窗户，保护好它，才能看见更美的世界。升阳小学准备给每个班级换一套护目吊灯。全校共有3幢教学楼，平均每幢教学楼有20个班级，每套护目吊灯的价格是185元，全校的班级换护目吊灯共需多少元？ 【易错专练2】体育陆老师的支付宝里有3100元，买了25个同一种品牌的足球后，支付宝余额显示不足100元。请问陆老师买了哪一种足球？支付宝余额还剩多少元？ 【易错专练3】“绿色低碳生活，从环保出行开始。”为了响应这一号召，王叔叔改骑共享单车去单位上班，前7分钟骑了1750米，照这样的速度，王叔叔还需要5分钟到单位。王叔叔家离单位多少米？ 【易错专练4】端午节（又称端阳节、龙舟节等）是中国首个入选世界非遗的节日，起源于中国古代，日期是每年农历五月初五，龙舟竞渡是端午节的传统习俗。今年端午节有25条龙舟参加比赛，每条龙舟乘坐13人。“冲锋号”2分钟划行了496米，“扬帆号”3分钟划行了750米。 （1）“冲锋号”每分钟划行多少米？“扬帆号”每分钟划行多少米？哪条船划得快？ （2）若给每名参赛人员发2盒礼品粽，共发多少盒礼品粽？ 【易错专练5】2024年10月30日凌晨神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射，此后它以每分钟460千米的速度带着宇航员飞向太空。大约6小时40分后快速对接中国空间站天和号核心舱径向端口，本次对接采用全自主快速交会对接模式。从发射到与天和号核心舱对接，神舟十九号载人飞船已经飞行了多少千米？ 专题五平行四边形和梯形 易错点1：对“平行”和“垂直”的概念理解不清。 【易错专练1】如图所示，直线（ ）与（ ）互相垂直，直线（ ）与（ ）互相平行。 【易错专练2】下图是一个直角梯形。图中互相平行的线段是：（ 和 ），记作（ ）；互相垂直的是线段（ 和 ），记作（ ）。 【易错专练3】下图中，互相垂直的线段是（ ）⊥（ ），互相平行的线段是（ ）//（ ）。 【易错专练4】下图中，与直线a互相平行的是直线（ ），与直线c垂直的直线有（ ）条。 【易错专练5】下图中，与直线a互相平行的是直线（ ），与直线c垂直的直线有（ ）条。 易错点2：作平行四边形和梯形的高时出错。 【易错专练1】操作题。 在方格纸上画一个底为5厘米、高为3厘米的平行四边形，并画出它的一条高。（每个小方格边长为1厘米） 【易错专练2】按要求在下面的方格纸上画一画。（每个小方格的边长表示1厘米） （1）画一个底是5厘米、高是3厘米的平行四边形，并画出平行四边形的一条高。 （2）画一个上底是3厘米、下底是6厘米、高是3厘米的直角梯形。 【易错专练3】先在方格中画出一个高为3厘米的等腰梯形，再把它分成一个平行四边形和一个三角形。（注：每个小正方形的边长为1cm） 【易错专练4】画出下列图形的高。 【易错专练5】一个梯形，上底是3厘米，如果将上底延长1厘米，则该梯形可以变成一个正方形。（点子图横竖两个点之间距离为1厘米） （1）这个梯形的下底是（    ）厘米，高是（    ）厘米。 （2）在下面的点子图上画出原梯形，并注明它的高。 （3）再画一个与原梯形高相等的平行四边形，并画出它的一条高。 易错点3：平行四边形的特征理解错误。 【易错专练1】学校一花坛是平行四边形，两条相邻的边分别长14米和12米，绕花坛走一圈是多少米？ 【易错专练2】一个平行四边形的花池，它的一条边长12米，周长是42米，与它相邻的另一条边长多少米？ 【易错专练3】平行四边形的周长是58厘米，其中一条边长2分米，另外三条边分别是多少厘米？ 【易错专练4】一面平行四边形镜子的一条边是15厘米，它的一条邻边比它长5厘米。如果用木条给这面镜子的边缘镶上镜框，至少需要多长的木条？ 【易错专练5】用72米的篱笆围成一个平行四边形（如下图）。已知围成的平行四边形的一条边的长度是16米，与这条边相邻的另一条边的长度是多少米？（篱笆没有剩余） 易错点4：梯形的特征理解错误。 【易错专练1】一个直角梯形的上底是5厘米，下底12厘米。如果把它的上底增加3厘米，下底减少4厘米，就变成了正方形，这个直角梯形的高是多少厘米？（画图简要说明） 【易错专练2】双洲公园有一块等腰梯形的绿地，它的上底长24米，下底长32米，腰长15米。现在要在这块绿地的四周围栅栏，栅栏至少多少米？ 【易错专练3】有一块梯形土地（如下图），划分出一整块最大的正方形土地种白菜，剩下的土地用来培育萝卜苗。如果在萝卜苗地的一周围上篱笆，那么，至少需要多少米长的篱笆？ 【易错专练4】班级参加校园艺术节活动，做了一块等腰梯形的宣传牌，它的上底长60厘米，下底长50厘米，一条腰长35厘米。这块宣传牌的周长是多少厘米？ 易错点5：数图形时遗漏或重复。 【易错专练1】如图，有（ ）个平行四边形和（ ）个梯形。 【易错专练2】图是由两个不同的正方形拼成的，图中共有（ ）个梯形。 【易错专练3】如图，四边形ABCD中，AB∥DC∥EF，数一数，图中共有（ ）个梯形。（“∥”表示平行，如：AB∥DC表示AB和DC平行） 【易错专练4】图中能找到多少个平行四边形？ 专题六除数是两位数的除法 易错点1：在计算商是两位数的笔算除法时没有除尽。 【易错专练1】用竖式计算。（带※的要验算） 258÷56＝    546÷51＝    ※670÷25＝ 【易错专练2】用竖式计算。（带“※”的要验算） 716÷70＝                ※727÷27＝              835÷42＝                ※540÷25＝ 【易错专练3】列竖式计算，带☆号的要验算。 182÷26    450÷30    ☆850÷21 【易错专练4】用竖式计算，打☆的要验算。 656÷23＝                     6400÷700＝ ☆492÷19＝                   ☆790÷28＝ 【易错专练5】列竖式计算，加☆的要验算。 627÷33＝             5000÷400＝              ☆809÷28＝ 556÷41＝              416÷16＝               ☆770÷30＝ 易错点2：在计算除数是两位数的除法时试商错误。 【易错专练1】计算98÷34时，可以把34看作（ ）来试商，初商会偏（ ），应将初商调（ ）。 【易错专练2】如图，聪聪在做三位数除以两位数的除法竖式时，发现商5小了，改商6，这道竖式的除数是（ ），被除数是（ ）。 【易错专练3】计算357÷52时，把52看成（ ）来试商，商是（ ），商偏（ ）（填“大”或“小”），调商（ ），余数是（ ）。 【易错专练4】计算647÷38时，把除数看作（ ）来试商，商是（ ）位数；计算193÷22时，把除数看作20来试商，商（ ）（填“偏大”“偏小”或“正好”）。 【易错专练5】羊山古镇国际军事旅游度假区，以山东省内罕见的地质地貌景观为主题，吸引了无数游客来参观。东东在景区骑行624米，用时78秒，计算东东每秒骑行速度时，624÷78可以把78看作（ ）来试商，初商可能会偏（ ），东东每秒骑行（ ）米。 易错点3：用整十数试商时,错误地将整十数参与了运算。 【易错专练1】根据试商情况，很快说出准确的商。 【易错专练2】很快说出下面各题应该商几。                  【易错专练3】先想一想各题的商的位置，再计算。                               【易错专练4】先说说把除数分别看作几十来试商，再计算。 【易错专练5】先写出把除数看作几十来试商，再计算。                             易错点4：根据商不变的规律进行计算时,没有将余数末尾的0添上。 【易错专练1】根据13÷4＝3……1，完成下面的算式。 130÷40＝（ ）……（ ）    260÷80＝（ ）……（ ） 【易错专练2】根据720÷90＝8，直接写出下面各题的商。 72÷9＝（ ）    360÷45＝（ ）    7200÷90＝（ ） 【易错专练3】根据700÷40＝17……20写出下面各算式的结果。 70÷4＝（ ）……（ ）        7000÷400＝（ ）……（ ） 【易错专练4】根据78÷15＝5……3，填写下面各式。 （1）780÷150＝（ ）……（ ）。 （2）7800÷（ ）＝5……（ ）。 【易错专练5】根据980÷30＝32……20，直接写出下列各题的得数。 98÷3＝（ ）……（ ）     1960÷60＝（ ）……（ ） 490÷15＝（ ）……（ ）   9800÷300＝（ ）……（ ） （ ）÷（ ）＝32……100 易错点5：被除数和除数的末尾同时去掉相同个数的0,商不变。 【易错专练1】小家电商场在国庆前夕购进60台破壁机，一共用去9600元，如果破壁机的价格降到原来的一半，那么9600元现在可以购买（ ）台这样的破壁机。 【易错专练2】一本360页的故事书，小丽想用15天时间看完，她平均每天要看（ ）页。小军看这本书，每天看20页，看完这本书需要（ ）天。 【易错专练3】中国人吃冰食的传统由来已久，《宋史·礼志》中记载，到了夏天，皇帝就会给众大臣一些特别的赏赐，其中就有“蜜沙冰”（颇有今天红豆刨冰的意思）。一家冷饮店上午购进了440根冰棒，下午又购进860根冰棒，一箱冰棒有50根，则该冷饮店一天共购进（ ）箱冰棒。 【易错专练4】某超市上周用950元购进了38只盐水鸭，每只盐水鸭（ ）元。如果每个盐水鸭礼盒的价格是每只盐水鸭价格的2倍，那么950元可以购进（ ）个盐水鸭礼盒。 【易错专练5】2升水全部倒入容量400毫升的瓶子，可以倒满（ ）瓶；如果全部倒入容量300毫升的瓶子，至少要准备（ ）个这样的瓶子。 易错点6：“最多”与“至少”问题混淆。 【易错专练1】把下面这瓶果汁（容量1L）倒入容量为80毫升的空杯中，至少需要多少个这样的空杯？如果前面每一个杯子都装满，最后一杯能装多少毫升？ 【易错专练2】1个书架每层大约可以放15本书。 （1）3个上图这样的书架，大约可以放多少本书？ （2）明德小学新买来400本书，至少需要几个这样的书架？ 【易错专练3】某乳品公司每天向市场供应鲜牛奶175箱，酸牛奶135箱。一辆汽车一次能运55箱，这辆汽车至少要运多少次才能把这些牛奶全部运完？ 【易错专练4】王老师带了500元钱去买足球，每个足球45元，最多可以买几个足球？还剩多少元？ 【易错专练5】何叔叔在定安旅游时品尝到了美味无比的“定安粽子”，准备买些回去送给亲朋好友们品尝，价格如下。请你帮他算一算，300元最多可以买多少个粽子？ 专题七条形统计图 易错点1：没有掌握条形统计图的特征，随意乱画。 【易错专练1】实验小学四（1）班同学最喜欢吃的水果情况如下表。根据表中的数据，制作条形统计图。 品种 合计 苹果 香蕉 橘子 梨子 人数 50 14 11 16 9 【易错专练2】奇思、淘气、乐乐与笑笑踢毽子的成绩分别是：40个、35个、25个、50个。将他们的成绩绘制成统计图。 【易错专练3】根据统计表完成条形统计图。 月份 1月 2月 3月 4月 销量 80 120 150 100 【易错专练4】根据统计表将统计图补充完整表示出每种图书的数量。 图书种类 图画书 故事书 工具书 作文书 其他 数量/本 35 40 25 15 30 易错点2：忽略统计图中每格所代表的数量。 【易错专练1】光明小学四（3）班有45名学生，下图是全班学生血型情况统计图。 （1）图中每小格代表（ ）人。 （2）四（3）班A型血的学生有（ ）人。 【易错专练2】下面是某地近四年植树造林情况统计图。 （1）统计图中每1小格表示（ ）公顷。 （2）该地（ ）年植树造林的面积最大，（ ）年植树造林的面积最小。 【易错专练3】看统计图回答问题。 梨园小学课外兴趣小组女生人数统计图 （1）从图上看出人数最多的是（ ）小组，（ ）小组的总人数最少。 （2）通过计算，三个兴趣小组的总人数有（ ）人，数学小组再增加（ ）人就和科技小组的人数一样多。 【易错专练4】四年级篮球组同学的身高数据如下表。    （1）条形统计图中每格表示（ ）人，这个小组共有（ ）人。 （2）这个组身高在（ ）厘米人数最多，（ ）厘米人数最少。 【易错专练5】看图填空。 （1）纵轴上每格代表（ ）人。 （2）（ ）班人数最多，是（ ）人。 （3）三个班女生一共有（ ）人，男生一共有（ ）人。四年级学生一共有（ ）人。 易错点3：绘制条形统计图时，“一格代表几个单位”设定不合理。 【易错专练1】某地去年上半年的月平均气温如下表。 月份（月） 1 2 3 4 5 6 平均气温（℃） 3 7 12 14 18 26 为了明显看出数量的多少，请完成下面的条形统计图。 【易错专练2】世界四大洋平均水深如下表： 名称 太平洋 大西洋 印度洋 北冰洋 平均水深（米） 4028 3627 3897 1296 请把表中的数据用横式条形统计图绘制出来。 世界四大洋平均水深统计图 【易错专练3】下面是四（1）班同学家务劳动情况统计表。 家务劳动 洗袜子 洗碗 擦桌子 扫地 人数 4 8 18 12 根据表中的数据完成如图的条形统计图。 【易错专练4】下面是四（3）班某次体育测试成绩的统计表。 分数 90分以下 90～92分 93～95分 96～98分 99～100分 人数 2 10 10 12 6 根据上面统计表中的数据制作一个统计图。 易错点4：根据统计图解决问题时提出数据错误，导致解决问题错误。 【易错专练1】绿叶水果店上周水果销售情况如下表： 种类 苹果 香蕉 梨 橘子 数量（千克） 30 15 20 40 （1）根据表中的数据完成统计图。 （2）统计图中的每格代表（    ）千克，梨比橘子少卖了（    ）千克。 （3）上周卖出的水果一共有（    ）千克，平均每天卖出水果（    ）千克。 【易错专练2】下面是光明小学四年级学生社团报名情况统计表。 课程 阅读 思维 艺术 劳动 编程 人数/人 35 40 48 20 45 （1）根据上表的数据，把条形统计图补充完整。 （2）图中每格代表（    ）人，喜欢（    ）课的人最多，喜欢这门课的人比喜欢劳动课的人多（    ）人。 【易错专练3】下面是2020年至2024年我国快递业务量统计图。 （1）（ ）年我国快递业务量最多，（ ）年最少。 （2）（ ）年比前一年快递业务增加得最多，增加了（ ）亿件。 （3）根据以上数据信息，预计2025年我国全年快递业务总量大约是（ ）亿件，理由是（ ）。 【易错专练4】阳光小学对四年级196名学生进行了体质健康测试，并对各个项目中达到优秀的学生进行了统计： 体测项目 跳绳 仰卧起坐 坐位体前屈 50米跑 身高体重 肺活量 优秀人数（人） 182 137 132 155 142 110 （1）请根据统计表将下面的统计图补充完整。 （2）图中每格代表（    ）个人。 （3）哪个项目的优秀人数最多？哪个项目的优秀人数最少？ （4）观察统计图中的信息，你还有什么发现？写出一条。 【易错专练5】垃圾分类是目前人们比较关注的话题；为了解居民是否能够正确进行垃圾分类，幸福小区对部分居民进行调查。下面是能正确识别各类垃圾的居民人数统计表。 类别 可回收垃圾 厨余垃圾 有害垃圾 其他垃圾 人数 180 260 130 280 （1）根据统计表完成上面条形统计图。 （2）统计图中，每格代表（    ）人。 （3）能识别（    ）垃圾的人数最多，能识别（    ）垃圾的人数最少。 （4）根据上面的调查情况，你还能提出其他数学问题并解答吗？ 专题八数学广角—优化 易错点1：沏茶问题中混淆“先后”与“同时”。 【易错专练1】星期天，阳阳在家帮妈妈做家务。整理房间要15分钟，擦桌子要5分钟，拖地要12分钟，找齐要洗的衣服要5分钟，用全自动洗衣机洗好衣服要56分钟，晾衣服要5分钟。想一想：阳阳怎么做最省时间？最少需要多长时间？ 【易错专练2】周末宁宁要做以下家务：拖地要10分钟，收拾厨房要15分钟，用全自动洗衣机洗衣服需要30分钟，晾衣服要10分钟。按你认为最合理最省时间的安排，宁宁做完这些事至少需要多少分钟？ 【易错专练3】丽丽家来客人了，她要给客人沏茶，沏茶要做的事情包括：洗水壶1分钟，洗茶杯2分钟，烧水6分钟，接水1分钟，找茶叶1分钟，沏茶1分钟，她要想让客人尽快喝到茶水，至少需要多长时间？请在下面的空白处简要说明丽丽怎样做能够让客人在最短的时间内喝上茶。 【易错专练4】乐乐要完成烧饭和炒菜两项家务，需要的时间如下：淘米2分钟，电饭煲煮饭20分钟，洗菜2分钟，切菜3分钟，炒菜15分钟。他完成这两项家务至少要多少时间？（请写或画出过程） 【易错专练5】果果星期六要到绘画班学习画画，她早晨8：00起床后，要做的事情和所用时间如下图所示，她最早什么时间能到绘画班上课。 穿衣、叠被：5分钟 刷牙、洗脸：3分钟 吃早餐、收拾餐桌：10分钟 整理书包：2分钟 坐车：8分钟 听音乐：15分钟 【易错专练6】张棋同学早上起来要做很多事：穿衣服2分钟，洗漱5分钟，蒸早点15分钟，整理房间5分钟，吃早饭10分钟，帮妈妈打理衣服5分钟。合理安排以上事情（注意要先穿衣服，再做其他事情哦！）让他所用时间最短，用流程图记录下来，并求出所用的最短时间是多少？ 【易错专练7】看图解答。 （1）小男孩应该怎样安排才能使所用的时间最少？ （2）做完这几件事情最少需要多少分钟？ 【易错专练8】妈妈处理好鱼后，让小明帮助烧鱼，他洗鱼、切鱼、切姜片葱花、洗锅、煎烧，各道工序共花了17分钟（如下图），请你设计一个顺序，使花费的时间最少。 易错点2：烙饼问题中错误计算时间。 【易错专练1】小平底锅一次可以煎3只鸡翅，两面都要煎，每面需要5分钟。煎4只鸡翅至少需要（    ）分钟。你是怎么煎的？ 【易错专练2】两名医生分别负责量身高，验视力。下面三位同学要去做这两项检查，每项检查都要2分钟，他们三人做完这些检查至少要用多长时间？请你把自己的方法表示出来。 【易错专练3】明明爸爸用一只小平底锅烙葱花饼，每次最多能烙3张，如果烙一张葱花饼需要6分钟（正、反面各3分钟），那么烙30张葱花饼至少需要多少分钟？ 【易错专练4】妈妈用平底锅煎荷包蛋，每次可以同时煎2个荷包蛋，煎1个荷包蛋需要4分钟（正反面各2分钟），煎5个荷包蛋至少需要多少分钟？ 【易错专练5】妈妈烤面包片，第一面需要烤2分钟，烤第二面时，面包片比较干了，只需烤1分钟。妈妈用的锅一次最多能放2片面包片，烤3片面包片，最少要用多长时间？ 【易错专练6】小红妈妈要小红用平底锅烙饼，锅中每次最多放4个饼。烙一个饼一面要2分钟，另一面要1分钟，小红烙6个饼最短需要多少时间？ 【易错专练7】妈妈每次最多只能烙2张饼，两面都要烙，每面需要3分钟。红红、爸爸、妈妈每人吃1张饼，下面是一家人商量的最佳的烙饼方案，妈妈至少需要多少分钟烙熟？ 【易错专8】师傅说：每次只能烙两张饼，两面都要烙，每面2分钟。 徒弟问：烙熟1张饼需要几分钟？2张、3张、4张…呢？ （1）填写下表。 烙饼张数 烙饼方法 所需时间 1 先烙正面，再烙反面 2 两张一起烙 3 接最佳方法烙 4 两张、两张地烙 5 先两张、两张地烙，最后三张按最佳方法烙 6 7 8 9 （2）照这样计算，烙199张饼需要多长时间？ 易错点3：田忌赛马问题中策略选择错误。 【易错专练1】小明和小芳各有三张扑克牌，点数大的赢，三局两胜，下面怎样的牌局可以保证小明会赢？ 【易错专练2】下面是参加跳绳比赛的队员最近一次记录，如果要进行团体比赛，三局两胜制，你能找出四（1）班胜出四（2）班的策略吗？ 四（1）班：林达92，林森124，何梦婷148； 四（2）班：陈捷116，陈辉133，林小军158。 【易错专练3】小华和丽丽两人玩数字卡片比大小的游戏，从六张数字卡片中任意抽取3张，每人每次出一张，各出3次，赢两次者获胜。如果小华抽到了，剩下的数字卡片是丽丽的，丽丽应该怎样出才能获胜？ 场次 第一次 第二次 第三次 小华 4 7 9 丽丽 获胜方 【易错专练4】四年（一）班和四年（二）班举行百米短跑对抗赛。（一）班的三名队员的最好成绩分别是：1号14秒2，2号14秒7，3号15秒1；（二）班的三名最好成绩分别是：1号14秒5，2号14秒8，3号15秒6.比赛规则是：一对一分别比赛，胜一次，得1分。最后结果是（二）班以2比1获胜。（二）班是如何取胜呢？ 四年（一）班 四年（二）班 本场胜者 第一场 1号14秒2 （    ） （    ） 第二场 2号14秒7 （    ） （    ） 第三场 3号15秒1 （    ） （    ） 【易错专练5】四（1）班和四（2）班进行乒乓球比赛。每班选出打乒乓球最好的前五名同学（按五名同学的水平高低编号）参赛，共打5场球，5场3胜制。假如你是四（1）班的同学，你将怎样安排本班的五名选手比赛的出场顺序，才有可能打赢这次比赛？（两个班前五名对应名次水平相当。） 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 四（2）班战略 四（1）班战略 【易错专练6】合理安排比赛。 四年级两个班要进行羽毛球比赛，每班有3名选手参加，两班实力相当。四（2）班的三名选手按实力强弱分别编号为A、B、C；四（1）班的三名选手按实力强弱分别编为甲、乙、丙。已知两个班只比赛三场，每名选手只能比赛一次，每班只要能赢两场即可赢得比赛。 （1）如果不考虑包括运动员水平发挥等各种情况，想让四（2）班赢得比赛，应该怎样安排各选手对阵？试填写在下表中。 四（1）班 四（2）班 本场胜者 第一场 甲 第二场 乙 第三场 丙 （2）如果不考虑包括运动员水平发挥等各种情况，想让四（1）班赢得比赛，应该怎样安排各选手对阵？试填写在下表中。 四（1）班 四（2）班 本场胜者 第一场 A 第二场 B 第三场 C 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $