（易错复习讲义）常考易错知识点专题突破（八大专题41个易错点）-2025-2026学年四年级上册数学期末复习（北师大版）

该小学数学讲义通过八大专题系统构建四年级上册数学复习体系，以目录框架梳理41个常考易错点，按“认识更大的数、线与角、乘法”等模块划分，用表格对比数位顺序与读写规则、几何图形特征等，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“易错专练”分层设计，如“大数改写忘记加单位”“钟表角度计算”等实例，通过人口普查数据、购物情境题培养运算能力与几何直观，每个易错点配5道梯度题，基础生巩固方法，优生突破难点，助力教师精准教学与学生自主复习。

常考易错知识点专题突破 2025-2026学年四年级上册数学 （八大专题41个易错点） 目录 专题一认识更大的数 3 易错点1：数位顺序表掌握不牢​ 3 易错点2：大数的读法错误或者读数时漏读“零”或多读“零” 5 易错点3：写数时位数不对齐，漏写“0”占位或写法错误 6 易错点4：大数比较方法错误，忽略位数或者未逐位比较 7 易错点5：改写数后忘记加“万”字、“亿”字，或未四舍五入 8 易错点6：近似数求法错误，四舍五入错误或错误进位 9 专题二线与角 11 易错点1：直线、射线、线段概念混淆。 11 易错点2：平行与垂直判断错误。 12 易错点3：角度计算忽略重叠部分。 14 易错点4：钟表角度计算错误。 15 易错点5：画图题中直线与射线的混淆。 16 易错点6：画角后未标注度数。 18 专题三乘法 19 易错点1：误认为乘数中间的0不用乘了。 19 易错点2：三位数乘两位数,忘加进位，以及十位上的数相乘时对位错误。 20 易错点3：估算方法选择不当或结果表达错误。 21 易错点4：误认为CE键具有清屏的作用或对计算器认识不足。 22 易错点5：误认为根据几个规律就可以推出所有的结果。 23 专题四运算律 25 易错点1：误认为加法结合律中的规律包含加法交换律中的规律。 25 易错点2：误认为乘法结合律中包含乘法交换律。 26 易错点3：乘法分配律的正反运用不熟练。 28 易错点4：对运算律的内涵理解不透，仅凭记忆解题。 29 易错点5：选择合适的运算律解决问题。 30 专题五方向与位置 32 易错点1：描述路线时方向错误。 32 易错点2：用数对表示位置时,不能将行和列的位置颠倒。 34 易错点3：根据数对在方格图中描点时，对应错误。 36 易错点4：平移后坐标计算错误。 38 易错点5：方向与坐标结合错误。 40 专题六除法 42 易错点1：在计算商是两位数的笔算除法时没有除尽。 42 易错点2：误认为试商后,用商和除数最接近的整十数相乘。 43 易错点3：在计算除数是两位数的除法时试商错误。 44 易错点4：对商不变规律的理解和应用错误。 45 易错点5：解决路程、价格问题时，对数量关系理解错误。 46 专题七生活中的负数 47 易错点1：负数的意义理解不清。 47 易错点2：负数的读写错误。 48 易错点3：在数轴上表示错误。 49 易错点4：负数大小比较错误。 51 易错点5：实际应用混淆。 52 专题八可能性 54 易错点1：确定事件与不确定事件判断错误。 54 易错点2：可能性大小描述不准确。 56 易错点3：混淆“可能性大小”与实际操作的“不确定性”。 57 易错点4：可能性的实际应用中错误。 58 专题一认识更大的数 易错点1：数位顺序表掌握不牢​ 【易错专练1】AI人工智能自动驾驶训练用的一个数据库中大约有510065600张高清图片。510065600读作（ ），它是一个（ ）位数，最高位是（ ）位。 【易错专练2】某省大约有80418200人，这是一个（ ）位数，最高位是（ ）位，左边的“8”表示8个（ ），右边的“8”表示8个（ ）。 【易错专练3】北京奥运会的开幕仪式在国家体育场“鸟巢”举行，建筑面积是258000平方米。横线上的数是一个（ ）位数，最高位是（ ）位，“5”在（ ）上，表示（ ）。 【易错专练4】9400300是（ ）位数，最高位是（ ）位。它是由（ ）个百万，（ ）个十万和（ ）个百组成的。 【易错专练5】202378956是（ ）位数，最高位是（ ）位，左边的“2”在（ ）位上，表示2个（ ），右边的“2”在（ ）位上，表示2个（ ）。 易错点2：大数的读法错误或者读数时漏读“零”或多读“零” 【易错专练1】位于我国贵州的“天眼”望远镜是世界上最大的单口径射电望远镜，它可以接收到13700000000光年外的电磁信号，横线上的数读作（ ）。 【易错专练2】第七次全国人口普查于2020年开展，截止到2020年11月1日0时，我国登记的总人口数为1443497378人。 （1）横线上的数是（ ）位数，读作：（ ）。 （2）其中左边的“3”在（ ）位上，表示3个（ ）。 【易错专练3】AI人工智能自动驾驶训练用的一个数据库中，大约有510065600张高清图片。画线的数，读作：（ ）。 【易错专练4】由1个亿、4个百万、6个千和3个百组成的数是（ ），读作：（ ）。 【易错专练5】2020年，陕西省加大对基本养老保险基金的补助力度，其中机关事业单位养老保险改革补助2608000000元，2608000000读作（ ）。 易错点3：写数时位数不对齐，漏写“0”占位或写法错误 【易错专练1】七亿零四百零五万八千写作（ ）；30890400读作（ ）。 【易错专练2】一个九位数，最高位和最低位上的数字都是9，十万位上的数是5，其余数位上的数字都是0，这个数写作（ ），读作（ ）。 【易错专练3】一个数由5个亿，8个百万，4个千和8个一组成，这个数写作：（ ），它是（ ）位数。 【易错专练4】一个数是由23个亿、302个万和98个一组成的，这个数写作（ ）。 【易错专练5】一个数由3个亿、6个千万、2个十万和9个百组成，这个数写作：（ ），读作：（ ）。 易错点4：大数比较方法错误，忽略位数或者未逐位比较 【易错专练1】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 7080000（ ）708万    500000006（ ）5亿    399999（ ）400012 【易错专练2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 350000（ ）350万    200000（ ）199999 21亿（ ）2100000000    77000（ ）7万 【易错专练3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 387190（ ）391017        715604000（ ）89759999 260000万（ ）26亿       692000（ ）700000 【易错专练4】如表呈现了第七次人口普查时四个经济特区的人口数量情况。其中，人口数量最多的是（ ），最少的是（ ）。（填写特区名称） 深圳 厦门 汕头 珠海 人口数 17560061 5163970 5502031 2439585 【易错专练5】37（6361＞3701698，（中最大填（ ），最小填（ ）。 易错点5：改写数后忘记加“万”字、“亿”字，或未四舍五入 【易错专练1】一个八位数，最高位和万位上都是5，其他数位上都是0，这个数写作（ ），把这个数改写成以“万”为单位的数是（ ）。 【易错专练2】2024年成都国际乒联混合团体世界杯在四川省体育馆举行，决赛之夜吸引了超31000000观众在线观看。这个数读作（ ），改写成以万做单位的数是（ ）。 【易错专练3】读图信息，找相关数学信息。 四年级上册数学教科书的字数共有（ ）字。 【易错专练4】陕西省食用菌产业发展目标为：到2027年，全省食用菌栽培量达到2500000000袋（瓶），总产量达到2600000吨（鲜品），综合产值突破五百亿元，带动农户人均增收3000元以上，把陕西建成西部食用菌产业示范基地、科技研发创新高地、集散交流中心。2600000读作（ ）；五百亿写作（ ），改写成用“万”作单位的数是（ ）万。 【易错专练5】据调查，全国共有842010000名电视观众收看了某电视台的跨年晚会，创下了国内新的收视纪录。横线上的数读作（ ），改写成用“万”作单位的数是（ ）万，数字“2”在（ ）位上。 易错点6：近似数求法错误，四舍五入错误或错误进位 【易错专练1】甲骨文是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，是商朝的文化产物。据统计数据显示，中国共出土甲骨文十五万四千六百零四片。十五万四千六百零四写作（ ），改写成以“万”为单位的数是（ ）万，省略“万”位后面的尾数约是（ ）万。 【易错专练2】一个八位数最高位上是6，最低位上是1，万位上是5，其余各位上都是0，这个数是（ ），读作（ ），四舍五入到万位约是（ ）万。 【易错专练3】统计显示前三季度东阳全市居民人均可支配收入44060元，这个数读作（ ），精确到万位约是（ ）万；全市实现社会消费品零售总额二百三十五亿六千七百万元，这个数写作（ ）元，四舍五入到亿位约是（ ）亿元。 【易错专练4】据驾考一点通官网显示：2024年，全国共发生道路交通事故238301起，造成67759人死亡、275125人受伤。238301读作（ ），275125四舍五入到万位是（ ）万。 【易错专练5】2024年国庆节期间，深圳全市7天累计接待游客8188600人次，四舍五入到“万位”是（ ）万人；旅游收入近7600000000元，这个数改写成以“亿”为单位是（ ）亿元。 专题二线与角 易错点1：直线、射线、线段概念混淆。 【易错专练1】在“线段、射线、直线”中，无法测量出长度的有（ ）。 【易错专练2】（ ）没有端点，可以向两端无限延伸，（ ）可以向一端无限延伸。 【易错专练3】如图中有（ ）条直线，有（ ）条射线，有（ ）条线段。     【易错专练4】分一分。（把序号填入相应的位置） 线段：      射线：      直线： 【易错专练5】“化繁为简寻找规律”是解决问题常用的思考方法。 （1）数一数，填一填。 直线的条数 2 3 4 5 交点的个数 （    ） （    ） （    ） （    ） （2）算一算：6条直线两两相交时最多有（    ）个交点； （3）推一推：10条直线两两相交时最多有（    ）个交点。 易错点2：平行与垂直判断错误。 【易错专练1】有4条直线（如图），其中，与直线c垂直的直线有（ ）条，与直线相交的直线有（ ）条。 【易错专练2】图中与线段垂直的线段是（ ）；与线段垂直的线段是（ ）。 【易错专练3】如图，温陵路和刺桐路互相（ ），丰泽街和（ ）互相垂直。 【易错专练4】仔细观察下图，按要求，填一填。 （1）从图中找出一条射线，并命名：射线（ ）。 （2）与线段AD互相平行的是线段（ ），与线段AC互相垂直的是线段（ ）。 【易错专练5】奇思在研究同一平面内两条直线的位置关系时，画出了七幅图（如下图）。他把这些图分成两类。其中，与图①同一类的有（ ）（填序号）。 易错点3：角度计算忽略重叠部分。 【易错专练1】一张长方形的纸（如图），折起来后∠1＝75°，那么∠2＝（ ）°。 【易错专练2】如图，淘气不小心把刚发下的试卷折了一个角。如果折起来的∠1＝60°，那么，∠2＝（ ）°。 【易错专练3】把一张正方形纸折成如图的样子，已知，则（ ）°。 【易错专练4】将一张长方形纸折成下面的图，已知，求（ ） 易错点4：钟表角度计算错误。 【易错专练1】2024年来泉州多个学校推行了课间15分钟，如果第一节课下课时间是9：30，那么到第二节课上课时，分针所走过的角是（ ）角。 【易错专练2】如图，分针与时针形成的角是（ ），它比直角（ ）。 【易错专练3】当8时整，钟面上显示分针与时针所成的夹角是（ ）角，是（ ）°。 【易错专练4】10时，时针和分针形成的较小角是（ ）角，是（ ）°；9时半，时针和分针形成的较小角是（ ）角，是（ ）°。 【易错专练5】如图，下午3时整，时针和分针所组成的角是（ ）度，是（ ）角。推测：下午3：30，时针和分针所组成的角是（ ）角，晚上8时整，时针和分针所组成的角是（ ）角。 易错点5：画图题中直线与射线的混淆。 【易错专练1】画出线段AB，射线BC和直线AC。 【易错专练2】画出线段AB，直线 CD，射线EF。 【易错专练3】画出射线AB、线段BC。 【易错专练4】画出线段AB，直线BC，射线CA。 【易错专练5】按要求作图。 （1）作直线AB。 （2）以点B为端点，作射线BC。 （3）从点A到点C最短的路线。 易错点6：画角后未标注度数。 【易错专练1】画出、和的角。 【易错专练2】借助手中的草纸，可以折一折，分别画出90°的角和45°的角。 【易错专练3】用一副三角尺画出下列各角。 （1）60° （2）120° 【易错专练4】用一副三角尺画出下列各角。 75°           135°            150° 【易错专练5】画出下列各角。                                                 专题三乘法 易错点1：误认为乘数中间的0不用乘了。 【易错专练1】用竖式计算。 23×406＝                   45×605＝ 【易错专练2】列竖式计算，带★的要验算。 408×25＝    503×74＝     【易错专练3】我会用竖式计算。带※的要验算。 506×25＝　　　　 604×58＝ 【易错专练4】竖式计算。 309×18＝      401×37＝      65×207＝       【易错专练5】列竖式计算。 43×102＝    209×50＝ 易错点2：三位数乘两位数,忘加进位，以及十位上的数相乘时对位错误。 【易错专练1】竖式计算。 67×189＝    403×29＝    80×240＝ 【易错专练2】列竖式计算。 98×46＝          306×36＝          75×720＝ 【易错专练3】竖式计算。 826×18＝        207×89＝        450×12＝ 【易错专练4】用竖式计算。 780×13＝          309×24＝          125×68＝ 【易错专练5】用竖式计算。 806×32＝　    　340×25＝         448×63＝　        26×734＝ 易错点3：估算方法选择不当或结果表达错误。 【易错专练1】王阿姨走一步的距离大约是61厘米，她从家走到天虹超市需要走498步，她家离天虹超市的路程大约是多少米？ 【易错专练2】某公司准备组织295名员工12月份去景区游玩，准备带14000元购买门票，请你估一估，这笔钱够吗？ 【易错专练3】笑笑演讲时的平均语速为每分215个字，在“迎国庆演讲比赛”中，需要演讲15分，笑笑准备了3000字的稿子，够吗？先估一估，再算一算，并和同伴交流你的计算过程。 【易错专练4】笑笑跟随爸爸妈妈坐火车去桂林旅游，发现这列火车有12节硬座车厢，每节车厢有128个座位。 （1）估一估，这列火车的硬座车厢有多少个座位？ （2）算一算，这列火车的硬座车厢能容纳1000名乘客吗？ 【易错专练5】回味食杂店10月1日到10日每天的营业额如下表。（单位：元） 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 营业额 306 298 303 301 291 299 297 304 296 303 （1）估一估，该店10月这10天的营业总额大约是多少元？（请写出估算过程） （2）照这样计算，请估算一下这个店10月份的总营业额大约是多少元？ 易错点4：误认为CE键具有清屏的作用或对计算器认识不足。 【易错专练1】笑笑用计算器计算25×120时，错误输入了25×1200，可以按（    ）清除后再重新输入。 A． B． C． 【易错专练2】计算器上有许多功能键，如OFF是（ ）键。 【易错专练3】用计算器计算293293÷7的结果，请你将下面的计算步骤正确排序。 A．开机按ON/AC键    B．按＝键    C．按÷键    D．按7键    E.依次按2、9、3、2、9、3键 正确的步骤是：（ ）。 【易错专练4】用计算器计算52×5时，先输入（ ），然后输入（ ），接着输入（ ），再输入（ ），显示屏上出现的计算结果是（ ）。如果输错了，可以按（ ）键清除。 【易错专练5】计算369×78时，用计算器的操作步骤是①按下（ ）键，开机；②然后输入数字（ ）；③接着再输入计算符号（ ）；④最后输入（ ）即可得出结果。 易错点5：误认为根据几个规律就可以推出所有的结果。 【易错专练1】观察算式，并填空。 3×6＝18 33×6＝198 333×6＝1998 3333×6＝19998 333333×6＝（ ） 【易错专练2】找规律，填一填。 33×33＝1089 333×333＝110889 3333×3333＝11108889 33333×33333＝（ ） 【易错专练3】观察下列算式，找规律并填空。 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×36＝（ ） … （ ）×（ ）＝999999999 【易错专练4】找出下列算式的规律，把算式填写完整。 19＋9×9＝100 118＋98×9＝1000 1117＋987×9＝10000 （ ）＋（ ）×9＝100000 111115＋（ ）×9＝（ ）。 【易错专练5】先观察下面的算式和得数分别有什么特点，再根据特点把④和⑤两个算式补齐。 ①12345679×9＝111111111 ②12345679×18＝222222222 ③12345679×27＝333333333 ④12345679×36＝（ ） … ⑤（ ）×（ ）＝777777777 专题四运算律 易错点1：误认为加法结合律中的规律包含加法交换律中的规律。 【易错专练1】用简便方法计算。 375＋166＋234        46＋382＋154＋18        500－137－163 【易错专练2】观察每个算式中加数的特点并计算。          【易错专练3】简便计算。 500－256－44        189＋363＋211 257－（157＋80）       364＋18－64＋82 【易错专练4】用简便方法计算。 194＋357＋106          942－160－342          453＋265－153 【易错专练5】下面的算式怎样计算简便就怎样计算。  382＋165＋18＋135                      255＋981＋145                236＋189＋464＋11                      216＋89＋11＋184 易错点2：误认为乘法结合律中包含乘法交换律。 【易错专练1】挑战一下。 16×25                  125×25×320 【易错专练2】观察下面式子的特点并计算。               【易错专练3】简便计算 64×125           125×32×25 【易错专练4】脱式计算。 4×12×5            27×25×4 30×23×2            4×31×50 【易错专练5】运用乘法交换律或乘法结合律计算下面各题。 118×25×4           125×15×8                25×16 25×3×4           25×（8×4）×125         25×32×125 易错点3：乘法分配律的正反运用不熟练。 【易错专练1】脱式计算，能简算的要简算。 101×46 103×54－2×54－54            125×（8＋80） 【易错专练2】用所学规律算一算。 （125＋15）×8              72×17＋17×28 【易错专练3】脱式计算，能简算的要简算。 23×52＋52×77              8×（125＋9） 【易错专练4】用所学规律算一算。 32×89＋10×32＋32        67×101                57×99＋57              136×82－82×36 【易错专练5】脱式计算。（能简算的要简算） 15×99 （80＋4）×25  易错点4：对运算律的内涵理解不透，仅凭记忆解题。 【易错专练1】夏丽将算成，结果跟原来相差（    ）。 A．192 B．135 C．25 D．200 【易错专练2】乐乐把25×（4＋9）算成了25×4＋9，他要想计算出正确结果，应该（    ）。 A．减25×9 B．加24×9 C．减24×9 【易错专练3】小明把32×（□＋3）错算成32×□＋3，得到的结果和正确结果相差（ ）。 【易错专练4】下图是淘气在计算（▲＋25）×4时的做法，算出来的得数比正确的结果少了270，▲代表的数字是（ ），正确的结果是（ ）。 （▲＋25）×4 ＝▲＋25×4 ＝ 【易错专练5】淘气把（15＋▲）×28错算成15＋▲×28，他算出的结果与正确的得数相差（ ）。 易错点5：选择合适的运算律解决问题。 【易错专练1】暑假期间，爸爸、妈妈带优优到北京天安门、故宫、天坛、长城等景点游玩。花费如下，算一算优优一家人一共花了多少钱？ 交通费：458元 门票费：424元 住宿费：542元 餐饮费：376元 【易错专练2】张家界天门山索道全长7455米，是世界上最高的高山客运索道。天门山索道上一共有98个缆车轿厢，每个缆车轿箱最多容纳8名乘客，若所有缆车轿厢运行125趟，最多可载多少名乘客？ 【易错专练3】学校为丰富课后托管课程内容，计划增加益智棋类活动，需要购买象棋和围棋各32副。每副象棋62元，每副围棋138元。 （1）学校买象棋和围棋一共要花多少元？ （2）学校买围棋比买象棋多花多少元？ 【易错专练4】阅读材料，回答问题。 社团活动是校园文化建设的重要载体，它能培养学生的兴趣、能力及创造力。实验小学开设了丰富多彩的社团活动，有古诗词、书法、演讲、乒乓球、健美操等12个项目。其中，古诗词社团有164人，乒乓球社团有85人，书法社团有136人。健美操是融体操、舞蹈、音乐于一体的运动项目，具有高度的艺术性，深受同学们的喜爱，此社团人数最多，四至六年级各有4个班，平均每班有25人参加。社团活动的开展，不但发展了学生的兴趣爱好，而且丰富了学生的学习生活。 （1）估一估，这段材料大约有（    ）个字。 （2）古诗词、乒乓球、书法社团一共有多少人？ （3）健美操社团有多少人？ 专题五方向与位置 易错点1：描述路线时方向错误。 【易错专练1】填一填。 （1）小明从家出发向（ ）走（ ）米到电影院。 （2）小明从家出发先向（ ）走200米到学校，再向（ ）走250米到书店，最后向（ ）走（ ）米到运动场。 【易错专练2】下面是小红从家到学校的路线图。 小红去上学的路线是：从家出发向（ ）走（ ）米到公园，再向（ ）走160米到医院，从医院向（ ）走250米到商场，再向（ ）走（ ）米到体育馆，最后从体育馆向（ ）走200米到学校。 【易错专练3】根据1路公交车的行驶路线图，填一填。 1路公交车从车站向（ ）方向行驶300米到学校，然后向（ ）方向行驶500米到公园，再向正东行驶（ ）米到银行，最后向（ ）方向行驶300米到医院。 【易错专练4】乐乐从家向（ ）走600米到学校，然后向（ ）走1300米到公园，再向（ ）走400米到商场，最后向（ ）走2000米到奶奶家。 【易错专练5】齐齐站在游乐园入口处（如图），要想快一些到达非常实验室，他应该先向 方向走 米，到达 ，再向 方向走 米。 【易错专练6】强强从家出发向 走150米到医院，再向 走 米到公园，再向东 走300米到壮壮家，最后向 走200米来到学校。强强一共走了1150米。 易错点2：用数对表示位置时,不能将行和列的位置颠倒。 【易错专练1】禁手，五子棋术语，指执黑子一方，某些点禁止落子。这些点包括三三、四四等（如图1），打“×”的地方就是禁手点。则图2的禁手点的位置用数对表示是（    ）。 A．（0，4） B．（B，5） C．（A，6） D．（D，4） 【易错专练2】花园小学文艺表演，小明观演的座位用数对表示是，他在第2行的位置，小红坐在小明正后方的第一个位置上，小红的位置用数对表示是（    ）。 A． B． C． D． 【易错专练3】如图，如果三角形中点A的位置用数对表示，那么点C的位置可以用数对（    ）表示。 A． B． C． D． 【易错专练4】如图是中国象棋棋盘的一部分，在中国象棋中规定“马走日”。下面数对分别表示棋盘中的位置，“马”的下一步不能走到（    ）。 A．（4，0） B．（5，1） C．（7，3） D．（8，2） 【易错专练5】无人机编排汉字“人”（见图），圆点表示无人机的站位，其中最高四点用数对表示可以是（    ）。 A．（x，1） B．（x，x） C．（3，y） D．（x，x－6） 【易错专练6】下五子棋时，黑方一子落下（如图中“×”的位置），同时形成两个或两个以上的“四”的情况，这步棋就称为“四四禁手”。如果要使右边的棋盘中形成的棋局成为“四四禁手”，那么下一步黑棋应该落在哪个位置？这个位置用数对表示为（    ）。 A．（D，5） B．（6，D） C．（5，D） D．（D，6） 易错点3：根据数对在方格图中描点时，对应错误。 【易错专练1】方格纸上有一个点D，与点A、B、C，正好可以构成一个平行四边形，请找到点D的位置，并画出这个平行四边形。 【易错专练2】花果山上的猴博士一生致力于数学研究，为了找到合适的继承人，临终前将毕生所学和一生积蓄埋藏起来，找到这个宝藏，就可成为猴博士的弟子，继承宝藏。首先要找到三把不同的钥匙，再找到宝藏的入口，第一把钥匙的位置在（7，6），第二把钥匙在第一把钥匙正南方20米，第三把钥匙的位置是（3，1），入口处和三把钥匙的位置正好是一个平行四边形的顶点。聪明的你能成为猴博士的弟子吗？ 【易错专练3】标出它们的位置。 如图，小狗的位置用（2，2）表示，在图中标出小猴（5，4），小猪（6，7），小熊（10，6）的位置。 易错点4：平移后坐标计算错误。 【易错专练1】先描述、、各点，再依次连成封闭图形，然后将这个图形向右平移6个格，并画出来。    【易错专练2】画图。 （1）在上图中按要求画出图形①，图形①的顶点位置分别是A（0，3），B（4，5），C（3，2）。 （2）画出图形①向右平移4格得到图形②，并标出三个顶点的对应点A＇、B＇、C＇。 【易错专练3】画出平行四边形向上平移5个格后的图形。 用数对表示所得图形各顶点的位置，并说说你的发现。 【易错专练4】在方格图中，请画出小房子先向上平移4格，再向右平移4格后的位置，并用数对写出平移后小房子的顶点A的位置。 【易错专练5】（1）在方格纸上指出下列各点，并按A－B－C－D的顺序依次连接各点。              （2）将上述图形先向右平移5个单位，再向上平移3个单位后形成四边形，请用数对表示平移后图形各顶点的位置。 （    ）    （    ）    （    ）    （    ） 易错点5：方向与坐标结合错误。 【易错专练1】甘肃物产丰富，其特产融合了多民族文化，备受人们喜爱。一家特产店整齐地摆满了各种特产的货柜，如图，狼牙蜜的位置可以用数对（2，5）表示。它在百合以北4米，再往东1米处。 （1）三泡台在半夏以（    ）5米，再往（    ）（    ）米处。 （2）胡麻油的位置用数对表示为（6，5）；龙神茶的位置用数对表示为（4，3）。请你在图中标出胡麻油和龙神茶的位置。 （3）张阿姨在该特产店挑选商品时的行走路线是（1，1）→（2，3）→（3，4）→（7，2）→（6，1）。请你依次说出张阿姨去了哪些特产的货柜。 【易错专练2】中国象棋是中华民族的文化瑰宝，共有32个圆形棋子，棋子分为2种颜色，摆放和走棋都在棋盘格的交叉点上（如下图），双方交替行棋，先把对方的将（帅）“将死”的一方获胜。 （1）图中两个卒所在的位置用数对表示分别是（  ，  ）和（  ，  ）。 （2）所在的位置用数对表示是，请在图中用标出它的位置。 （3）根据规则，马若向左边走一步，到达的位置可能是哪里？请用数对表示出来。马从当前的位置走到什么位置，能吃掉对方的象？ 【易错专练3】如下图所示的是某地区的平面示意图，医院用数对（6，3）表示。 （1）请用数对表示下面建筑物的位置。 高铁站     养老院     博物馆 （2）从学校往北走1000m，再往东走400m处是图书馆，位置是（2，5）。你能像前面这样描述体育馆在高铁站的什么方向及具体位置吗？ （3）海海家在学校以东800m，再往北400m的地方，请你在上图中标出来。 （4）上周日，海海的活动路线是（4，2）→（1，2）→（1，6）→（2，5）→（3，3）→（4，2）。他先后都去了什么地方。 专题六除法 易错点1：在计算商是两位数的笔算除法时没有除尽。 【易错专练1】列竖式计算，有*的需要验算。 918÷18    463÷65    *784÷26    *3300÷400 【易错专练2】用竖式计算，带*的要验算。 546÷42＝        *453÷68＝        805÷35＝        *870÷50＝ 【易错专练3】用竖式计算，加“★”的要验算。 272÷34＝    905÷18＝    ★298÷43＝ 【易错专练4】计算下面各题，并验算。 512÷32        700÷200        430÷28 【易错专练5】用竖式计算，带☆要验算。 843÷42＝    627÷78＝    ☆4400÷70＝    504÷39＝ 易错点2：误认为试商后,用商和除数最接近的整十数相乘。 【易错专练1】先判断试商是否正确，再把不正确的调商。 【易错专练2】算一算。 【易错专练3】先说说把除数看作多少来试商，再算一算。              【易错专练4】根据试商情况，说出各题应商几。 易错点3：在计算除数是两位数的除法时试商错误。 【易错专练1】把除数34看作（ ）试商，除数变（ ），商容易偏（ ）若商不合适，调商时要调（ ）一些。（填“大”或“小”） 【易错专练2】计算289÷73时，可以把73看作（ ）来试商，商偏（ ），要将商调（ ）。4□3÷49，要使商的末尾有0，□里可以填（ ）。 【易错专练3】在算式中，可以把除数48看作（ ）试商比较简便，如果商是一位数，□里最大填（ ）；如果商是两位数，□里最小填（ ）。 【易错专练4】计算342÷43时，把43看作（ ）来试商，初商（ ），商（ ）与43相乘得（ ），比342大，说明初商大了，应改商为（ ）。 【易错专练5】把“偏大”或“偏小”填入下面括号里。 （1）计算276÷33时，把除数看成30试商，商（ ）了。 （2）计算288÷36时，把36看成40试商，商（ ）了。 （3）用“四舍”法把除数看成整十数来试商，商容易（ ）；用“五入”法把除数看成整十数来试商，商容易（ ）。 易错点4：对商不变规律的理解和应用错误。 【易错专练1】两个数相除的商是9，余数是2，如果被除数和除数都扩大到原来的10倍，商是（ ），余数是（ ）。 【易错专练2】（、均大于零），将和同时扩大为原来的10倍，商是（ ），余数是（ ）。 【易错专练3】已知☆÷△＝490，那么：（ ），（ ）。 【易错专练4】根据每组第一个式子的结果，直接写出下面的结果。 130×30＝3900    480÷40＝12 130×60＝（ ）    48÷4＝（ ） 130×90＝（ ）    4800÷400＝（ ） 【易错专练5】两个数相除的商是60，如果被除数和除数同时乘2，商是（ ）；如果被除数乘2，除数不变，商是（ ）。 易错点5：解决路程、价格问题时，对数量关系理解错误。 【易错专练1】甲城到乙城的铁路线长800千米，一列火车晚上6时从甲城出发，每小时行驶180千米，当天晚上11时能到乙城吗？ 【易错专练2】李叔叔比王阿姨少花了多少钱？ 【易错专练3】新乐超市购进55台豆浆机，每台豆浆机的批发价是150元。 原价：230元/台    促销价：199元/台 （1）新乐超市购进这些豆浆机共花多少元？ （2）当豆浆机在卖出40台后，超市开始搞促销活动，结果全部销售完。超市一共赚了多少元？ 【易错专练4】某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）。 （1）李叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月两次。他选择哪种方式更划算？ （2）一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？ 【易错专练5】“读万卷书，不如行万里路”。暑假，妙想一家三口坐高铁从长沙去北京旅游，全程约1473千米。 （1）他们乘坐上午8：00的高铁去北京，平均每小时行驶245千米，当他们到达北京时，应该是（    ）。 A．旭日东升 B．艳阳高照 C．夕阳落下 D．满天繁星 （2）他们一家三口来回都是购买高铁二等座（649元/张，小学生半价），购买车票一共花了多少元？ （3）他们计划全家每天的住宿费是288元，如果住5个晚上，1500元够吗？ 专题七生活中的负数 易错点1：负数的意义理解不清。 【易错专练1】我国古代数学著作《九章算术》中提到“以卖（收入钱）为正，则买（支出钱）为负”，照此规定，收入15元记作（ ）元，支出7元记作（ ）元。 【易错专练2】海平面的高度记作0米。泰山主峰玉皇顶比海平面高1545米，可以记作（ ）米。中国“奋斗者”号潜水器能下潜到海平面下10909米，可记作（ ）米。 【易错专练3】一艘潜水艇在水下90m处，记作﹣90m，一头鲸鱼在潜水艇上方30m处，鲸鱼在水下的位置记作（ ）m。 【易错专练4】如图是某路全路段行驶标志牌。如果通过本路段车辆的车速高于规定部分表示为正数，那么一辆汽车通过的车速为46千米/时，可以记作（ ）千米/时；而另一辆车辆通过的车速为35千米/时，可以记作（ ）千米/时。 【易错专练5】如果妙想向东走80米，记作﹢80米，那么她向西走60米，记作（ ）；如果妙想先向东走40米，再向西走60米，那么这时妙想的位置记作（ ）。 易错点2：负数的读写错误。 【易错专练1】负二点七写作（ ），﹢读作（ ）。 【易错专练2】﹢6读作（ ），﹣7读作（ ），零下三十摄氏度写作（ ）。 【易错专练3】你知道吗？珠穆朗玛峰比海平面高8844.43米，记作：﹢8844.43米，读作：（ ）米，那么吐鲁番盆地比海平面低155米，应记作：（ ）米，读作：（ ）米。 【易错专练4】神舟飞船在飞行过程中，向阳面舱外温度能达到100℃，背阴面舱外温度能达到零下100℃，可谓“冰火两重天”，而舱内生物实验箱内的温度可以控制在零上23℃左右。 零下100℃记作（ ）℃           零上23℃记作（ ）℃ 【易错专练5】读一读，写一写 ﹣3读作：（ ）    负七十写作：（ ） ﹣2.5读作：（ ）   负五十八写作：（ ） ﹢70读作：（ ）   负零点八写作：（ ） 7.3读作：（ ）   正二十三写作：（ ） 易错点3：在数轴上表示错误。 【易错专练1】写出点、、、、、表示的数。 【易错专练2】 如图的数轴中，表示﹣0.5的是（ ），表示﹢4.5的是（ ），A点表示（ ），C点表示（ ）。 【易错专练3】在□里填上合适的数。 【易错专练4】在□里填合适的数。 【易错专练5】写出下面A，B，C，D各代表的数。 易错点4：负数大小比较错误。 【易错专练1】有甲、乙两个冷库，甲冷库的温度是﹣12摄氏度，乙冷库的温度是﹣20摄氏度，（ ）冷库的温度较低。 【易错专练2】某小学男子篮球队成员的平均身高是160厘米。如果乐乐的身高是165厘米记作“﹢5”，则贝贝的身高是“﹣2”，天天的身高是“﹢3”，航航的身高是“﹣4”。这四位同学相比，身高最低的是（ ）（填姓名）。 【易错专练3】同一天下列城市的气温情况如下表。 海南 北京 重庆 大连 长春 最低气温 20℃ 1℃ 8℃ －8℃ －13℃ 最高气温 25℃ 6℃ 15℃ 4℃ 2℃ （1）这一天（ ）的气温最高，（ ）的气温最低。 （2）把各个城市的最低气温从低到高排列出来 （ ）＜（ ）＜（ ）＜（ ）＜（ ） （3）把各个城市的最高气温从高到低排列出来。 （ ）＞ （ ）＞ （ ）＞ （ ）＞ （ ） 【易错专练4】根据某文具店去年下半年盈利情况完成下列各题。 七月份：盈利540元          八月份：盈利700元 九月份：亏损100元          十月份：亏损200元 十一月份：盈利300元        十二月份：盈利450元 （1）根据上面的信息完成下表。 月份 七 八 九 十 十一 十二 盈亏（元） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （2）（ ）月份收入最多，（ ）月份收入最少。 （3）文具店去年下半年共收入（ ）元。 【易错专练5】甲、乙两个冷库，甲冷库温度﹣16摄氏度，乙冷库温度﹣20摄氏度，（ ）冷库的温度低一些，相差（ ）摄氏度。 易错点5：实际应用混淆。 【易错专练1】某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃，若该地地面温度为21℃，高空某处温度为﹣9℃，求此处的高度是多少千米？ 【易错专练2】学校有6名同学参加海洋知识竞赛，老师以80分作为标准，将他们的成绩简记为﹢3分，﹢10分，0分，﹢6分，﹣2分，﹣5分。 （1）6位同学中的最高分和最低分相差多少分？ （2）这几位同学的平均成绩是多少分？ 【易错专练3】某仓库周一到周五的货物进出记录如下（﹢表示进库，﹣表示出库，单位：吨）：﹢8，﹣3，﹢5，﹣6，﹢4 （1）周一结束后，仓库货物比原来多了还是少了？多（少）多少吨？ （2）周五结束时，仓库共有货物20吨，求仓库原有的货物吨数。 【易错专练4】小红乘坐1路公交车上学，她上车时车上一共有15人，途中经过4个停靠站，第一站上车4人，下车1人；第二站上车5人，下车2人；第三站上车3人，下车6人；第四站上车7人，下车3人，到实验小学站下车，这一站上车0人，下车10人。 （1）如果上车人数用正数表示，请你根据以上停息，将这个过程记录在下表。    停靠站 第一站 第二站 第三站 第四站 实验小学站 上下车人数 （人） 上车 下车 上车 下车 上车 下车 上车 下车 上车 下车 （2）从小红上车到下车，1路公交车一共上车多少人？一共下车多少人？ （3）小红下车后，公交车开往下一站时，车上还有多少人？ 【易错专练5】跳绳是一种古老的体育运动，它集运动性、技巧性与趣味性于一体，深受人民群众喜爱。体育课上，四年级同学进行跳绳测试，以达到满分（160下）为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示。第一小组的成绩如下表： 姓名 张立 黄国 林杰 张品 周旭 李阳 成绩/下 11 ﹣8 ﹣15 0 8 ﹣3 （1）这6个同学中，有（    ）人没有达到满分。 （2）成绩最好的同学是（    ），最差的同学是（    ）。 （3）这6个人分别跳了多少下？ 专题八可能性 易错点1：确定事件与不确定事件判断错误。 【易错专练1】田田和贝贝在玩摸球游戏，他们规定摸到白球田田赢，摸到黑球贝贝赢。如果从1号箱中摸球，田田（ ）赢，贝贝（ ）赢；如果从2号箱摸球，则田田（ ）赢。（填“一定”“可能”或“不可能”） 【易错专练2】在横线里填“一定”“可能”或“不可能”。 （1）两个钝角的和 比一个周角大； （2）两个锐角的和 比一个平角小； （3）任意三位数乘最大的两位数，积 是四位数。 （4）相交的两条直线， 有2个交点。 【易错专练3】在括号里填上“一定”“可能”或“不可能”。 （1）暴雨如注，地面上（ ）有积水。 （2）大象生活在草原上，（ ）长期生活在水中。 （3）李叔叔爱买彩票，（ ）会中奖。 （4）在有余数的除法中，余数（ ）比除数小。 【易错专练4】同时掷两枚骰子，用“可能”“不可能”或“一定”填空。 （1）两枚骰子的点数的和（ ）是1。 （2）两枚骰子的点数的和（ ）是单数，也（ ）是双数。 （3）两枚骰子的点数的和（ ）比12大。 【易错专练5】看运动会，买门票，猜一猜。 （1）从（ ）号袋中不可能拿到体操比赛门票。 （2）从（ ）号袋中一定能拿到开幕式门票。 （3）从（ ）号袋中可能拿到乒乓球比赛门票。 （4）如果从②号袋中前3次拿到的都是开幕式门票，下一次会拿到（ ）。 易错点2：可能性大小描述不准确。 【易错专练1】一个盒子里装10个红柑橘（湖北秭归特产）、6个黄柑橘、3个青柑橘，从中任意摸出一个，摸到（ ）柑橘的可能性最大，摸到（ ）柑橘的可能性最小。 【易错专练2】袋子里有1个黄球，3个红球和6个白球，它们除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，有（ ）种可能，摸出（ ）球的可能性最大；要使摸出红球和白球的可能性相同，可以取出（ ）个白球。 【易错专练3】笑笑妈妈买回了8个肉包、4个豆沙包和1个青菜包，这些包子从外观看完全一样。笑笑任意吃了一个，发现是青菜包，那么笑笑妈妈不可能吃到（ ）包，她吃到（ ）包的可能性比较大。 【易错专练4】不透明袋子里装有3个红球、5个黄球和1个白球，这些球除颜色外其它完全相同，笑笑从中任意摸出1个球，摸到（ ）球的可能性最大；在红球和黄球数量不变的情况下，要想让摸到白球的可能性最大，至少要再放入（ ）个白球。 【易错专练5】摸球游戏。（填序号） （1）从（ ）号盒子里摸球，一定摸到白球；从（ ）号盒子里摸球，不可能摸到白球。 （2）从（ ）号盒子里摸球，摸到白球的可能性比较大；两个人下棋，要公平地决定谁先下，应该从（ ）号盒子里摸球。 易错点3：混淆“可能性大小”与实际操作的“不确定性”。 【易错专练1】淘气用一枚硬币做了260次抛硬币实验，其中正面朝上的次数是127次，反面朝上的次数是133次。如果她再抛1次，那么这枚硬币（    ）。 A．不可能反面朝上 B．可能正面朝上也可能反面朝上 C．一定反面朝上 D．一定正面朝上 【易错专练2】在一个正方体的六个面上分别写上1～6这六个数字，甲、乙两人各抛30次，面朝上的数大于3甲赢，否则乙赢，在这个游戏中（    ）。 A．甲赢的可能性大 B．乙赢的可能性大 C．两人赢的可能性一样 【易错专练3】一个盒子里有同样大小的5个红球，3个黄球和2个白球，每次摸一个球，做好记录，再放回去，下列说法错误的是（    ）。 A．摸10次一定能摸到红球 B．摸到白球的可能性最小 C．第一次可能会摸到白球 D．摸10次也可能摸不到黄球 【易错专练4】食品罐里原来有7颗糖果，其中4颗是草莓味的，2颗是奶油味的，1颗是薄荷味的，当小丽吃了1颗奶油味的、妈妈吃了1颗薄荷味的糖果后，爸爸从罐子里随便拿出了1颗，那么下面表达中正确的是（    ）。 A．爸爸拿到的一定是草莓味的。 B．爸爸拿到的可能是奶油味的。 C．爸爸拿到的可能是薄荷味的。 D．以上情况都不可能。 【易错专练5】一个不透明的盒子里有4个质地、大小均相同的球，它们的颜色分别是红色、黄色、绿色、绿色。每次只能摸一个球，下列说法不正确的是（    ）。 A．摸到红球和黄球的可能性一样 B．一定摸到绿球 C．不可能摸到白球 D．摸到绿球可能性比黄球的大 易错点4：可能性的实际应用中错误。 【易错专练1】三个小朋友蒙住眼睛，把手中的棋子随机放在一个方格里，谁能放到相应的方格里谁就赢了。你判断一下，谁赢的可能性最大？谁赢的可能性最小？ 【易错专练2】幸运转盘，欢乐年华。 联欢会上，同学们通过转转盘来决定参加做游戏还是表演节目。明明很想为同学们讲一个故事，小刚最喜欢做游戏了。请你告诉明明和小刚，他们分别应该转动几号转盘。 【易错专练3】分别转动下面的转盘。 （1）每个转盘停止后，指针可能指向哪种颜色？ （2）转盘停止后，哪个转盘的指针指向蓝色的可能性最大？ 【易错专练4】按要求在下面各转盘上填上“红”“黄”或“白”。    【易错专练5】爱民商场准备在周年店庆进行酬宾活动，规定凡购物满200元可抽奖一次。请你根据信息，设计出符合要求的抽奖转盘。（温馨提示：抽奖不一定能获奖哦） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 常考易错知识点专题突破 2025-2026学年四年级上册数学 （八大专题41个易错点） 目录 专题一认识更大的数 3 易错点1：数位顺序表掌握不牢​ 3 易错点2：大数的读法错误或者读数时漏读“零”或多读“零” 5 易错点3：写数时位数不对齐，漏写“0”占位或写法错误 7 易错点4：大数比较方法错误，忽略位数或者未逐位比较 8 易错点5：改写数后忘记加“万”字、“亿”字，或未四舍五入 11 易错点6：近似数求法错误，四舍五入错误或错误进位 13 专题二线与角 15 易错点1：直线、射线、线段概念混淆。 15 易错点2：平行与垂直判断错误。 18 易错点3：角度计算忽略重叠部分。 20 易错点4：钟表角度计算错误。 22 易错点5：画图题中直线与射线的混淆。 24 易错点6：画角后未标注度数。 27 专题三乘法 29 易错点1：误认为乘数中间的0不用乘了。 29 易错点2：三位数乘两位数,忘加进位，以及十位上的数相乘时对位错误。 31 易错点3：估算方法选择不当或结果表达错误。 34 易错点4：误认为CE键具有清屏的作用或对计算器认识不足。 37 易错点5：误认为根据几个规律就可以推出所有的结果。 39 专题四运算律 41 易错点1：误认为加法结合律中的规律包含加法交换律中的规律。 41 易错点2：误认为乘法结合律中包含乘法交换律。 45 易错点3：乘法分配律的正反运用不熟练。 49 易错点4：对运算律的内涵理解不透，仅凭记忆解题。 52 易错点5：选择合适的运算律解决问题。 54 专题五方向与位置 58 易错点1：描述路线时方向错误。 58 易错点2：用数对表示位置时,不能将行和列的位置颠倒。 61 易错点3：根据数对在方格图中描点时，对应错误。 65 易错点4：平移后坐标计算错误。 68 易错点5：方向与坐标结合错误。 72 专题六除法 76 易错点1：在计算商是两位数的笔算除法时没有除尽。 76 易错点2：误认为试商后,用商和除数最接近的整十数相乘。 79 易错点3：在计算除数是两位数的除法时试商错误。 83 易错点4：对商不变规律的理解和应用错误。 84 易错点5：解决路程、价格问题时，对数量关系理解错误。 86 专题七生活中的负数 90 易错点1：负数的意义理解不清。 90 易错点2：负数的读写错误。 92 易错点3：在数轴上表示错误。 93 易错点4：负数大小比较错误。 95 易错点5：实际应用混淆。 98 专题八可能性 103 易错点1：确定事件与不确定事件判断错误。 103 易错点2：可能性大小描述不准确。 106 易错点3：混淆“可能性大小”与实际操作的“不确定性”。 108 易错点4：可能性的实际应用中错误。 110 专题一认识更大的数 易错点1：数位顺序表掌握不牢​ 【易错专练1】AI人工智能自动驾驶训练用的一个数据库中大约有510065600张高清图片。510065600读作（ ），它是一个（ ）位数，最高位是（ ）位。 【答案】五亿一千零六万五千六百 九 亿 【分析】多位数的读法：先分级每4位一级，从高位读起，每级读法和读个级的数读法一样，就是要在后面加个“亿”字或“万”字，每级末尾的0都不读，每级中间的0要读，几个连续的0只读一个0，据此读出此数即可； 在数位顺序表中，从右边起，第一位是个位，计数单位是一，表示几个一，第二位是十位，计数单位是十，表示几个十，第三位是百位，计数单位是百，表示几个百，第四位是千位，计数单位是千，表示几个千，第五位是万位，计数单位是万，表示几个万，第六位是十万位，计数单位是十万，表示几个十万，第七位是百万位，计数单位是百万，表示几个百万，第八位是千万位，计数单位是千万，表示几个千万，第九位是亿位，计数单位是亿，表示几个亿，以此类推；据此解答即可。 【解答】AI人工智能自动驾驶训练用的一个数据库中大约有510065600张高清图片。510065600读作五亿一千零六万五千六百，它是一个九位数，最高位是亿位。 【易错专练2】某省大约有80418200人，这是一个（ ）位数，最高位是（ ）位，左边的“8”表示8个（ ），右边的“8”表示8个（ ）。 【答案】八 千万 千万 千 【分析】80418200中有8个数字，这是一个八位数。根据整数的数位和计数单位的认识可知，八位数的最高位是千万位。左边的“8”在千万位，表示8个千万，右边的“8”在千位，表示8个千。 【解答】某省大约有80418200人，这是一个八位数，最高位是千万位，左边的“8”表示8个千万，右边的“8”表示8个千。 【易错专练3】北京奥运会的开幕仪式在国家体育场“鸟巢”举行，建筑面积是258000平方米。横线上的数是一个（ ）位数，最高位是（ ）位，“5”在（ ）上，表示（ ）。 【答案】六 十万 万位 5个万 【分析】一个数有几个数字就是几位数，258000这是一个六位数，最高位是十万位，十万位上是2，表示2个十万，万位上是5，表示5个万，千位上是8，表示8个千；据此解答即可。 【解答】北京奥运会的开幕仪式在国家体育场“鸟巢”举行，建筑面积是258000平方米。横线上的数是一个六位数，最高位是十万位，“5”在万位上，表示5个万。 【易错专练4】9400300是（ ）位数，最高位是（ ）位。它是由（ ）个百万，（ ）个十万和（ ）个百组成的。 【答案】7 百万 9 4 3 【分析】先根据数位顺序表判断数位和计数单位，数位上是几，就有几个该数位的计数单位，百万位上为9，则有9个百万，十万位上为4，则有4个十万， 百位上为3，则有3个百，据此即可解答。 【解答】据分析可知，9400300是7位数，最高位是百万位。它是由9个百万，4个十万和3个百组成的。 【易错专练5】202378956是（ ）位数，最高位是（ ）位，左边的“2”在（ ）位上，表示2个（ ），右边的“2”在（ ）位上，表示2个（ ）。 【答案】九 亿 亿 一亿 百万 一百万 【分析】根据整数的数位表，哪个单位上有数，就表示那个单位有多少个计数单位。即可解答。 【解答】202378956是九位数，最高位是亿位，左边的“2”在亿位上，表示2个一亿，右边的“2”在百万位上，表示2个一百万。 【点评】本题考查的是整数的数位表、计数单位以及相应数位的意义。 易错点2：大数的读法错误或者读数时漏读“零”或多读“零” 【易错专练1】位于我国贵州的“天眼”望远镜是世界上最大的单口径射电望远镜，它可以接收到13700000000光年外的电磁信号，横线上的数读作（ ）。 【答案】一百三十七亿 【分析】多位数的读法，从高位到低位，一级一级地读。先读亿级，再读万级，最后读个级。读亿级和万级按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或者“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续有几个0都只读一个零。据此解答。 【解答】根据分析：13700000000读作：一百三十七亿，所以位于我国贵州的“天眼”望远镜是世界上最大的单口径射电望远镜，它可以接收到13700000000光年外的电磁信号，横线上的数读作一百三十七亿。 【易错专练2】第七次全国人口普查于2020年开展，截止到2020年11月1日0时，我国登记的总人口数为1443497378人。 （1）横线上的数是（ ）位数，读作：（ ）。 （2）其中左边的“3”在（ ）位上，表示3个（ ）。 【答案】（1）十 十四亿四千三百四十九万七千三百七十八 （2）百万 百万 【分析】（1）一个自然数数位的个数，叫做位数；整数的读法：读数之前先分级，每4位一级，从最高级读起，一级一级往下读，先读亿级，再读万级，最后读个级；读亿级和万级时按读个级的方法来读，读完亿级后加上一个“亿”字，读完万级后加上一个“万”字；每级末尾不管有几个0都不读，每级中间和前面有一个或连续几个0，都只读一个0。据此读出这个数即可。 （2）根据整数的数级、数位顺序表可知，从右边起，第一位是个位、第二位是十位、第三位是百位、第四位是千位、第五位是万位、第六位是十万位、第七位是百万位、第八位是千万位、第九位是亿位、第十位是十亿位……；对应的计数单位是：个（一）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿……；相对应的数位上是几，就表示几个这样的计数单位；据此解答。 【解答】（1）横线上的数是十位数，读作：十四亿四千三百四十九万七千三百七十八。 （2）其中左边的“3”在百万位上，表示3个百万。 【易错专练3】AI人工智能自动驾驶训练用的一个数据库中，大约有510065600张高清图片。画线的数，读作：（ ）。 【答案】五亿一千零六万五千六百 【分析】多位数的读法：先分级每4位一级，从高位读起，每级读法和读个级的数读法一样，就是要在后面加个“亿”字或“万”字，每级末尾的0都不读，每级中间的0要读，几个连续的0只读一个0。 【解答】AI人工智能自动驾驶训练用的一个数据库中，大约有510065600张高清图片。画线的数，读作：五亿一千零六万五千六百。 【易错专练4】由1个亿、4个百万、6个千和3个百组成的数是（ ），读作：（ ）。 【答案】104006300 一亿零四百万六千三百 【分析】根据题意可知，这个数亿位上的数是1，百万位上的数是4，千位上的数是6，百位上的数是3，其它位上的数都是0，依此根据对整数的数位的认识写出这个数即可。 亿以上数的读法：从高级读到低级，亿级、万级的数，都要按照个级的数的读法来读，再在亿级数的后面加上一个“亿”字，在万级数的后面加上一个“万”字，每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0，依此读出这个数即可。 【解答】由1个亿、4个百万、6个千和3个百组成的数是：104006300； 104006300读作：一亿零四百万六千三百。 【点评】解答此题的关键是要熟练掌握对整数的数位和计数单位的认识，以及应掌握亿以上数的读法和写法。 【易错专练5】2020年，陕西省加大对基本养老保险基金的补助力度，其中机关事业单位养老保险改革补助2608000000元，2608000000读作（ ）。 【答案】二十六亿零八百万 【分析】整数的读法：从高位读起，先读亿级，再读万级，最后读个级；读亿级和万级时按读个级的方法来读，读完亿级后加上一个“亿”字，读完万级后加上一个“万”字；每级末尾不管有几个0都不读，每级中间和前面有一个或连续几个0，都只读一个0。 【解答】2020年，陕西省加大对基本养老保险基金的补助力度，其中机关事业单位养老保险改革补助2608000000元，2608000000读作（二十六亿零八百万）。 【点评】此题考查整数的读法，先分数级再读数能较好的避免读错数的情况。 易错点3：写数时位数不对齐，漏写“0”占位或写法错误 【易错专练1】七亿零四百零五万八千写作（ ）；30890400读作（ ）。 【答案】704058000 三千零八十九万零四百 【分析】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位有一个零或连续几个0都只读一个“零”； 整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 【解答】七亿零四百零五万八千写作704058000；30890400读作三千零八十九万零四百。 【点评】本题考查整数的读法和写法，分级读、写或借助数位表读、写数能较好的避免读、写错数中“0”的情况，是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用。 【易错专练2】一个九位数，最高位和最低位上的数字都是9，十万位上的数是5，其余数位上的数字都是0，这个数写作（ ），读作（ ）。 【答案】900500009 九亿零五十万零九 【分析】根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，据此可写出此数；根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位一个0或连续几个0都只读一个零，据此可读出此数。 【解答】一个九位数，最高位和最低位上的数字都是9，十万位上的数是5，其余数位上的数字都是0，这个数写作：900500009，读作：九亿零五十万零九。 【点评】本题考查了整数的写法和整数的读法，掌握相应的方法是解答本题的关键。 【易错专练3】一个数由5个亿，8个百万，4个千和8个一组成，这个数写作：（ ），它是（ ）位数。 【答案】508004008 九 【分析】最高位是亿位，则这是一个九位数，亿位上是5，百万位上是8，千位上是4，个位上是8，写这个数时，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 【解答】一个数由5个亿，8个百万，4个千和8个一组成，这个数写作：508004008，它是九位数。 【易错专练4】一个数是由23个亿、302个万和98个一组成的，这个数写作（ ）。 【答案】2303020098 【分析】根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，写出此数即可。 【解答】一个数是由23个亿、302个万和98个一组成的，这个数写作：2303020098。 【易错专练5】一个数由3个亿、6个千万、2个十万和9个百组成，这个数写作：（ ），读作：（ ）。 【答案】360200900 三亿六千零二十万零九百 【分析】亿以上的数的写法：先写亿级，再写万级，最后写个级。哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；亿以上的数的读法：先分级，再从最高级读起；亿级和万级的数都按照个级的数的读法来读，读完亿级和万级的数，要加“亿”字或“万”字；每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个零。据此解答。 【解答】一个数由3个亿、6个千万、2个十万和9个百组成，那么这个数的亿位上是3，千万位上是6，十万位上是2，百位上是9，其余数位上是0，这个数写作：360200900。这个数读作：三亿六千零二十万零九百。 易错点4：大数比较方法错误，忽略位数或者未逐位比较 【易错专练1】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 7080000（ ）708万    500000006（ ）5亿    399999（ ）400012 【答案】＝ ＞ ＜ 【分析】第一题708万把“万”字去掉，再添4个0，再与7080000比较； 第二题5亿把“亿”字去掉，再添8个0，再与500000006比较； 第三题对于整数，可以先比较位数，位数多的数大；如果位数相同，则从最高位比起，最高位上数大的那个数大；如果最高位上的数也相同，再比较次高位，次高位上数大的那个数大，以此类推。 【解答】708万＝7080000，所以7080000＝708万； 5亿＝500000000，个位6＞0，所以500000006＞5亿； 十万位3＜4，所以399999＜400012。 【易错专练2】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 350000（ ）350万    200000（ ）199999 21亿（ ）2100000000    77000（ ）7万 【答案】＜ ＞ ＝ ＞ 【分析】先将350000改写成以万为单位的数，然后再比较； 根据整数的性质，比较两个数的大小，首先要比位数，位数多的数大，位数相同要看最高位，最高位数位上的数大的则大；若最高位上的数相同，看下一级单位，依次类推，直到比较出大小即可； 把21亿改写成2100000000后根据整数大小比较方法进行比较； 把7万改写成70000后根据整数大小比较方法进行比较。 【解答】350000＝35万，35万＜350万，所以350000＜350万； 200000＞199999； 21亿＝2100000000，所以21亿＝2100000000 ； 7万＝70000，77000＞70000，所以77000＞7万。 【易错专练3】在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 387190（ ）391017        715604000（ ）89759999 260000万（ ）26亿       692000（ ）700000 【答案】＜ ＞ ＝ ＜ 【分析】大数的比较：先比较两个数的位数，位数多的数就大。如果两个数的位数相同，就从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数；把一个整亿数改写成用“亿”作单位的数，只需要找到亿位，把亿位后面的8个0去掉，最后在数的后面写上“亿”字。据此解答。 【解答】（1）387190和391017比较大小，它们都是六位数且最高位上的数相同，万位上8＜9，所以387190＜391017。 （2）715604000和89759999比较大小，715604000是九位数，而89759999是八位数，所以715604000＞89759999。 （3）260000万＝2600000000，2600000000＝26亿。 （4）692000和700000比较大小，它们都是六位数，最高位上6＜7，所以692000＜700000。 387190＜391017           715604000＞89759999 260000万＝26亿       692000＜700000 【易错专练4】如表呈现了第七次人口普查时四个经济特区的人口数量情况。其中，人口数量最多的是（ ），最少的是（ ）。（填写特区名称） 深圳 厦门 汕头 珠海 人口数 17560061 5163970 5502031 2439585 【答案】深圳 珠海 【分析】整数大小比较：位数不相同的两个数，位数多的数较大；位数相同的两个数，从最高位比起，最高位上的数大的那个数较大；如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，以此类推。比较四个城市人口数的大小即可解答。 【解答】17560061＞5502031＞5163970＞2439585，所以深圳的人口数量最多，珠海的人口数量最少。 【易错专练5】37（6361＞3701698，（中最大填（ ），最小填（ ）。 【答案】9 0 【分析】位数相同的两个整数比较大小，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，一直到比较出大小为止；依此即可解答。 【解答】37（6361与3701698，百万位上的数都是3，十万位上的数都是7，千位上的数6＞1，因此（中最大填9，最小填0。 【点评】熟练掌握大数的比较方法，是解答此题的关键。 易错点5：改写数后忘记加“万”字、“亿”字，或未四舍五入 【易错专练1】一个八位数，最高位和万位上都是5，其他数位上都是0，这个数写作（ ），把这个数改写成以“万”为单位的数是（ ）。 【答案】50050000 5005万 【分析】八位数的最高位是千万位，即千万位的数字是5，万位的数字也是5，其余数位的数字都是0，据此写出这个数，再将其改写为以万为单位的数，将其个级的4个0舍掉，再在所得数的末尾添上万字即可。 【解答】50050000＝5005万 一个八位数，最高位和万位上都是5，其他数位上都是0，这个数写作50050000，把这个数改写成以“万”为单位的数是5005万。 【易错专练2】2024年成都国际乒联混合团体世界杯在四川省体育馆举行，决赛之夜吸引了超31000000观众在线观看。这个数读作（ ），改写成以万做单位的数是（ ）。 【答案】三千一百万 3100万 【分析】亿以内的数的读法：先分级，再从最高级读起；万级的数都按照个级的数的读法来读，读完万级的数，要加“万”字；每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个零； 亿以内数的改写方法：把整万的数改写成用“万”作单位的数时，先分级，再去掉个级的4个“0”，然后在后面加上一个“万”字。 【解答】2024年成都国际乒联混合团体世界杯在四川省体育馆举行，决赛之夜吸引了超31000000观众在线观看。这个数读作三千一百万，改写成以万做单位的数是3100万。 【易错专练3】读图信息，找相关数学信息。 四年级上册数学教科书的字数共有（ ）字。 【答案】180000 【分析】图片中标明“字数：180 千字”，其中“千”表示一千，因此“180 千字”就是 180 ×1000 ＝ 180000 字。 【解答】180 ×1000 ＝ 180000 （字） 四年级上册数学教科书的字数共有180000 字。 【易错专练4】陕西省食用菌产业发展目标为：到2027年，全省食用菌栽培量达到2500000000袋（瓶），总产量达到2600000吨（鲜品），综合产值突破五百亿元，带动农户人均增收3000元以上，把陕西建成西部食用菌产业示范基地、科技研发创新高地、集散交流中心。2600000读作（ ）；五百亿写作（ ），改写成用“万”作单位的数是（ ）万。 【答案】二百六十万 50000000000 5000000 【分析】亿以内数的读法：读数之前，先分级。从个位起，每四个数位是一级。先读万级，再读个级。万级的数，要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字。每级末尾不管有几个0，都不读：其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个0，所以2600000读作二百六十万。 亿以上数的写法：从最高位写起，先写亿级，再写万级，最后写个级。哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，所以五百亿写作50000000000。 改写成用“万”作单位的数，就是在万位的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字，所以50000000000＝5000000万。 【解答】由分析可知， 2600000读作：二百六十万 五百亿写作：50000000000 50000000000＝5000000万 所以陕西省食用菌产业发展目标为：到2027年，全省食用菌栽培量达到2500000000袋（瓶），总产量达到2600000吨（鲜品），综合产值突破五百亿元，带动农户人均增收3000元以上，把陕西建成西部食用菌产业示范基地、科技研发创新高地、集散交流中心。2600000读作二百六十万；五百亿写作50000000000，改写成用“万”作单位的数是 5000000万。 【易错专练5】据调查，全国共有842010000名电视观众收看了某电视台的跨年晚会，创下了国内新的收视纪录。横线上的数读作（ ），改写成用“万”作单位的数是（ ）万，数字“2”在（ ）位上。 【答案】八亿四千二百零一万 84201 百万 【分析】整数的读法是从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零；改写成用“万”做单位去掉万位后面4个0，在数字后面添上“万”字即可；数字“2”在从右往左数第七位，是在百万位上。 【解答】据调查，全国共有842010000名电视观众收看了某电视台的跨年晚会，创下了国内新的收视纪录。横线上的数读作八亿四千二百零一万，改写成用“万”作单位的数是84201万，数字“2”在百万位上。 易错点6：近似数求法错误，四舍五入错误或错误进位 【易错专练1】甲骨文是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，是商朝的文化产物。据统计数据显示，中国共出土甲骨文十五万四千六百零四片。十五万四千六百零四写作（ ），改写成以“万”为单位的数是（ ）万，省略“万”位后面的尾数约是（ ）万。 【答案】154604 15.4604 15 【分析】根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个计数单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数； 改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字； 省略“万”后面的尾数就是四舍五入到万位，就是把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字。 【解答】十五万四千六百零四写作：154604，154604＝15.4604万，154604≈15万。 十五万四千六百零四写作154604，改写成以“万”为单位的数是15.4604万，省略“万”位后面的尾数约是15万。 【易错专练2】一个八位数最高位上是6，最低位上是1，万位上是5，其余各位上都是0，这个数是（ ），读作（ ），四舍五入到万位约是（ ）万。 【答案】60050001 六千零五万零一 6005 【分析】根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数； 根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零，即可读出此数； 四舍五入到万位就是省略“万”后面的尾数求它的近似数，要把万位的下一位千位上的数进行四舍五入，再在数的后面带上“万”字。 【解答】一个八位数最高位上是6，最低位上是1，万位上是5，其余各位上都是0，这个数是60050001，读作六千零五万零一，四舍五入到万位约是6005万。 【易错专练3】统计显示前三季度东阳全市居民人均可支配收入44060元，这个数读作（ ），精确到万位约是（ ）万；全市实现社会消费品零售总额二百三十五亿六千七百万元，这个数写作（ ）元，四舍五入到亿位约是（ ）亿元。 【答案】四万四千零六十 4 23567000000 236 【分析】大数的读法： 先把数分级，通常按照数位顺序，从低位到高位，每四位一级（个级、万级、亿级等）。 从最高级开始，一级一级往下读。例如，先读亿级，再读万级，最后读个级。每级末尾的零不读，如个级的末尾或万级、亿级的末尾的零都不读。 其他数位上有一个零或连续几个零，都只读一个零。 ‌添加单位‌： 亿级和万级的数要按照个级的数的读法来读，然后在后面加上“亿”字或“万”字。精确到万位，就是四舍五入到万位，即把万位后面的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字；根据整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，即把亿位后面的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。 【解答】根据分析可知： 统计显示前三季度东阳全市居民人均可支配收入44060元，这个数读作四万四千零六十，精确到万位约是4万；全市实现社会消费品零售总额二百三十五亿六千七百万元，这个数写作23567000000元，四舍五入到亿位约是236亿元。 【易错专练4】据驾考一点通官网显示：2024年，全国共发生道路交通事故238301起，造成67759人死亡、275125人受伤。238301读作（ ），275125四舍五入到万位是（ ）万。 【答案】二十三万八千三百零一 28 【分析】读数时，要从高位读起，读法按个级的读法来读，每级末尾的0不读，中间一个0或几个0都读一个0。 省略“万”位后面的尾数就是四舍五入到万位，把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字。 【解答】据驾考一点通官网显示：2024年，全国共发生道路交通事故238301起，造成67759人死亡、275125人受伤。238301读作二十三万八千三百零一，275125四舍五入到万位是28万。 【易错专练5】2024年国庆节期间，深圳全市7天累计接待游客8188600人次，四舍五入到“万位”是（ ）万人；旅游收入近7600000000元，这个数改写成以“亿”为单位是（ ）亿元。 【答案】819 76 【分析】用四舍五入法省略万位后面的尾数，就看千位上的数字，千位上的数字是4或者比4还小，就用“四舍”法，千位上的数字大于4，就用五入法，同时在后面加上一个“万”字； 改写成用“亿”作单位的数，就是把亿位后面的0去掉，同时在后面写上“亿”字即可。 【解答】8188600≈819万 7600000000＝76亿 2024年国庆节期间，深圳全市7天累计接待游客8188600人次，四舍五入到“万位”是819万人；旅游收入近7600000000元，这个数改写成以“亿”为单位是76亿元。 专题二线与角 易错点1：直线、射线、线段概念混淆。 【易错专练1】在“线段、射线、直线”中，无法测量出长度的有（ ）。 【答案】射线、直线 【分析】把线段的两端无限延长，得到一条直线，直线不可测量；把线段的一端无限延长，得到一条射线，射线不可测量；直线上任意两点之间的一段叫做线段，线段可以测量长度。据此解答。 【解答】在“线段、射线、直线”中，无法测量出长度的有射线和直线。 【易错专练2】（ ）没有端点，可以向两端无限延伸，（ ）可以向一端无限延伸。 【答案】直线 射线 【分析】 直线是向两方无限延伸着的，没有端点的线，例如：。 射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，射线仅有一个端点，这个端点是射线的起始点，并且射线是向一方无限延伸的，例如：。 【解答】根据对直线、射线的认识可知，直线没有端点，可以向两端无限延伸，射线可以向一端无限延伸。 【易错专练3】如图中有（ ）条直线，有（ ）条射线，有（ ）条线段。     【答案】2 12 6 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段，线段有两个端点。把线段的两端无限延长，得到一条直线，直线没有端点。把线段的一端无限延长，得到一条射线，射线有一个端点。 【解答】图中有2条直线。有5个点，其中4个点，每个点可以组成2条射线，中间的那个点可以组成4条射线，一共有12条射线。有6条线段。 【易错专练4】分一分。（把序号填入相应的位置） 线段：      射线：      直线： 【答案】③⑦ ①⑥ ②⑧ 【分析】根据线段、射线和直线的定义可知：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，线段有两个端点；线段的一段无限延长就是射线，射线有一个端点；直线没有端点，可以向两端无限延伸，据此作答。 【解答】根据上述分析可得：线段为③⑦、射线为①⑥、直线为②⑧。 【易错专练5】“化繁为简寻找规律”是解决问题常用的思考方法。 （1）数一数，填一填。 直线的条数 2 3 4 5 交点的个数 （    ） （    ） （    ） （    ） （2）算一算：6条直线两两相交时最多有（    ）个交点； （3）推一推：10条直线两两相交时最多有（    ）个交点。 【答案】（1）1；3；6；10 （2）15 （3）45 【分析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 2条直线相交，最多有1个交点。 3条直线两两相交，最多增加2个交点，最多有3个交点。1＋2＝3（个）。 4条直线两两相交，最多增加3个交点，最多有6个交点。1＋2＋3＝6（个）。 5条直线两两相交，最多增加4个交点，最多有10个交点。1＋2＋3＋4＝10（个）。 6条直线两两相交，最多增加5个交点，最多有15个交点。1＋2＋3＋4＋5＝15（个）。 …… 根据以上规律可知，n条直线两两相交，最多有1＋2＋3＋4＋……＋（n－1）个交点。 【解答】根据分析可知： 直线的条数 2 3 4 5 交点的个数 （ 1 ） （ 3 ） （ 6 ） （ 10 ） （2）1＋2＋3＋4＋5＝15（个） 6条直线两两相交时最多有15个交点。 （3）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 ＝3＋7＋11＋15＋9 ＝10＋26＋9 ＝36＋9 ＝45（个） 10条直线两两相交时最多有45个交点。 易错点2：平行与垂直判断错误。 【易错专练1】有4条直线（如图），其中，与直线c垂直的直线有（ ）条，与直线相交的直线有（ ）条。 【答案】两/2 三/3 【分析】如果两条直线相交成直角（90°），就说这两条直线互相垂直。在同一平面内，两条直线有公共点或两条直线不平行时，称这两条直线相交。以此结合题图即可解答。 【解答】观察图形可知，直线a、b与直线c相交形成的角是直角（图中有垂直符号），所以与直线c垂直的直线有两条。 图中的直线a、b都与直线c有公共点，直线d与直线c不平行，所以与直线c相交的直线有三条。 与直线c垂直的直线有两条，与直线相交的直线有三条。 【易错专练2】图中与线段垂直的线段是（ ）；与线段垂直的线段是（ ）。 【答案】 【分析】根据直角以及两直线垂直的定义：直角是等于90°的角；如果两条直线相交，且相交的角有一个直角，则这两条直线垂直；据此定义判断即可。 【解答】根据分析可得，∠AOC＝∠BOD＝90°，则线段OD与线段OB垂直，线段OC与线段OA垂直。 【易错专练3】如图，温陵路和刺桐路互相（ ），丰泽街和（ ）互相垂直。 【答案】平行 刺桐路/温陵路 【分析】平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；垂直的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；据此解答。 【解答】根据分析：温陵路和刺桐路互相平行，丰泽街和刺桐路互相垂直，丰泽街和温陵路也互相垂直。 【易错专练4】仔细观察下图，按要求，填一填。 （1）从图中找出一条射线，并命名：射线（ ）。 （2）与线段AD互相平行的是线段（ ），与线段AC互相垂直的是线段（ ）。 【答案】（1）CD （2）BC/CB BD/DB 【分析】（1）射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，有且仅有一个端点。在图中，以C为端点，向D的方向无限延伸的线就是一条射线，据此解答。 （2）平行是指在同一平面内，永不相交的两条直线。垂直是指两条直线相交成直角。 【解答】（1）从下图中找出一条射线，并命名：射线CD。 （2）与线段AD互相平行的是线段BC，与线段AC互相垂直的是线段BD。 【易错专练5】奇思在研究同一平面内两条直线的位置关系时，画出了七幅图（如下图）。他把这些图分成两类。其中，与图①同一类的有（ ）（填序号）。 【答案】②③⑤⑥ 【分析】在同一平面内的两条不重合的直线，只有两种位置关系，即相交或平行，在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行；如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。而垂直是相交的一种特殊情况。据此分析作答。 【解答】奇思在研究同一平面内两条直线的位置关系时，画出了七幅图（如下图）。他把这些图分成两类。其中，与图①同一类的有②③⑤⑥（填序号）。 易错点3：角度计算忽略重叠部分。 【易错专练1】一张长方形的纸（如图），折起来后∠1＝75°，那么∠2＝（ ）°。 【答案】30 【分析】图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形，即2个∠1和一个∠2之和是180度，据此解答。 【解答】根据分析可知： ∠1＋∠1＋∠2＝180° 75°＋75°＋∠2＝180° ∠2＝180°－75°－75°＝30° 【易错专练2】如图，淘气不小心把刚发下的试卷折了一个角。如果折起来的∠1＝60°，那么，∠2＝（ ）°。 【答案】60 【分析】根据图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是完全一样的可知，2个∠1的度数之和加∠2是180°，据此计算即可。 【解答】180°－60°－60° ＝120°－60° ＝60° 即∠2＝60°。 【易错专练3】把一张正方形纸折成如图的样子，已知，则（ ）°。 【答案】55 【分析】根据题图可知：长方形的边是线段，可以看作一个平角，大小为180°；∠2和2个∠1组成一个平角，用180°减去∠2的度数，求出2个∠1的度数，再除以2即可求出∠1的度数。 【解答】（180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 则∠1＝55°。 【易错专练4】将一张长方形纸折成下面的图，已知，求（ ） 【答案】140°/140度 【分析】如下图，由题目给的条件可知，∠3等于∠1，∠1、∠2和∠3组成的是一个平角， 180°减去∠1，再减去∠3即可求出∠2的度数。 【解答】由分析知，∠3＝∠1，∠1＋∠2＋∠3＝180°；所以∠2＝180°－∠1－∠3＝180°－20°－20°＝140°。 所以∠2＝140°。 易错点4：钟表角度计算错误。 【易错专练1】2024年来泉州多个学校推行了课间15分钟，如果第一节课下课时间是9：30，那么到第二节课上课时，分针所走过的角是（ ）角。 【答案】直 【分析】钟面一周为360°，钟表上有12个数字，分12大格，每相邻两个数字之间的夹角为30°，每个大格30°，课间15分钟分针走了3个大格，即3×30°＝90°，90°的角是直角，据此解答即可。 【解答】3×30°＝90° 2024年来泉州多个学校推行了课间15分钟，如果第一节课下课时间是9：30，那么到第二节课上课时，分针所走过的角是直角。 【易错专练2】如图，分针与时针形成的角是（ ），它比直角（ ）。 【答案】锐角 小 【分析】钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°；当7时30分时，时针处在数字7和8中间，分针指着6，数字6到数字7和8中间一共有1个大格和半个大格；根据角的分类可知，等于90°的角是直角，小于90°的角是锐角，大于90°且小于180°的角是钝角，据此解答即可。 【解答】根据解析可知，数字6到数字7和8中间一共有1个大格和半个大格，一个大格是30°，半个大格是，，所以分针与时针形成的角是锐角；45°＜90°，所以它比直角小。 【易错专练3】当8时整，钟面上显示分针与时针所成的夹角是（ ）角，是（ ）°。 【答案】钝 120 【分析】锐角是大于0°而小于90°的角；钝角是大于90°而小于180°的角，直角是90°的角； 钟面上有12大格，每一大格所对的角是30°，8时整，时针指向8，分针指向12，8到12有4大格，所以时针和分针形成的夹角是30°×4＝120°，是钝角；据此解答。 【解答】30°×4＝120°，120°是钝角。 即当8时整，钟面上显示分针与时针所成的夹角是钝角，是120°。 【易错专练4】10时，时针和分针形成的较小角是（ ）角，是（ ）°；9时半，时针和分针形成的较小角是（ ）角，是（ ）°。 【答案】锐 60 钝 105 【分析】钟面上有12大格，每一大格对应的夹角是30°，10时整，时针指向10，分针指向12，10到12有2大格，所以时针和分针形成的较小角的度数是30°×2＝60°； 9时半，时针指向9与10之间，分针指向6，此时时针与分针间隔3大格和半个大格，1大格是30°，半大格就是15°，30°乘3所得积，再加15°，即可求出此时角的度数； 大于0°小于90°的角叫做锐角，等于90°的角叫做直角，大于90°小于180°的角叫做钝角；据此将角进行分类即可。 【解答】30°×2＝60° 30°×3＋30°÷2 ＝90°＋15° ＝105° 10时，时针和分针形成的较小角是锐角，是60°；9时半，时针和分针形成的较小角是钝角，是105°。 【易错专练5】如图，下午3时整，时针和分针所组成的角是（ ）度，是（ ）角。推测：下午3：30，时针和分针所组成的角是（ ）角，晚上8时整，时针和分针所组成的角是（ ）角。 【答案】90 直 锐 钝 【分析】钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12大格，每一大格是30°，数出各时刻时针与分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即为时针和分针所组成的角的度数。 下午3时整，时针和分针相差3大格，用30°×3＝90°，即为时针和分针所组成的角，等于90°的角是直角； 下午3：30时，时针指向3和4之间，分针指向6，如图，此时时针和分针相差不到3大格，所以肯定小于90°，小于90°的角是锐角； 晚上8时整，如图，8到12有4个大格，也就是30°×4＝120°，大于90°的角是钝角，据此解题。 【解答】如图，下午3时整，时针和分针所组成的角是90度，是直角。推测：下午3：30，时针和分针所组成的角是锐角，晚上8时整，时针和分针所组成的角是钝角。 易错点5：画图题中直线与射线的混淆。 【易错专练1】画出线段AB，射线BC和直线AC。 【答案】见详解 【分析】（1）线段有两个端点，不能向两端延伸，据此连接AB，即可得到线段AB； （2）射线只有一个端点，只能向一端无限延伸，不能量出长度，据此连接BC并向C点的一端延长，即可画出射线BC； （3）直线没有端点，可以向两端无限延伸，不能量出长度，据此连接AC并向两端延长，即可画出直线AC。 【解答】作图如下： 【易错专练2】画出线段AB，直线 CD，射线EF。 【答案】见详解 【分析】用直的线把A、B两点连接起来即可得到线段AB；画一条直的线，并且经过C、D两点即可得到直线CD；以E为端点，向一边延伸，并且经过F点的直的线即可得到射线EF；据此即可解答。 【解答】 【易错专练3】画出射线AB、线段BC。 【答案】见详解 【分析】线段是直的，有2个端点，有限长。射线是直的，只有一个端点，可以向一端无限延长。 【解答】 【点评】此题考查了射线、线段的联系及区别，熟记射线、线段的特征是解题关键。 【易错专练4】画出线段AB，直线BC，射线CA。 【答案】见详解 【分析】线段是直的，有2个端点，有限长。射线是直的，有1个端点，无限长。直线是直的，没有端点，无限长。 【解答】 【点评】熟记直线、射线、线段的特征是解题关键。 【易错专练5】按要求作图。 （1）作直线AB。 （2）以点B为端点，作射线BC。 （3）从点A到点C最短的路线。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【分析】直线是直的，无限长，没有端点，可以向两端无限延伸；射线是直的，无限长，有1个端点可以向一端无限延伸；两点之间的连线中，线段最短，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离。 【解答】如图： 【点评】熟记直线、射线、线段的特征和两点间的距离知识是解题关键。 易错点6：画角后未标注度数。 【易错专练1】画出、和的角。 【答案】画图见详解 【分析】根据用量角器画角的方法：先画一条射线作为角的一条边，再把量角器的中心点与射线的端点重合，把量角器的0°刻度线与这条射线重合；再从这条0°刻度线数起，找到对应度数的刻度，打上一点，连接第一条射线的端点和这一点并延长作另一条射线，再标上角的符号和度数。据此画角。 【解答】根据分析，画角如下： 【易错专练2】借助手中的草纸，可以折一折，分别画出90°的角和45°的角。 【答案】见详解 【分析】沿正方形的一条对角线折叠，再进行第二次次折叠使两组对边分别重合，打开后四条折痕所成的角中有45°、90°的角。据此画角即可。 【解答】具体折法如图所示： （答案不唯一） 【易错专练3】用一副三角尺画出下列各角。 （1）60° （2）120° 【答案】见详解 【分析】一副三角尺中有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别是90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别是90°、60°、30°。 （1）直接用三角尺上的60°的角画即可画出60°。 （2）90°＋30°＝120°，直接用三角尺上的直角和另一个三角尺上的30°合起来即可画出120°。 【解答】（1） （2） 【易错专练4】用一副三角尺画出下列各角。 75°           135°            150° 【答案】见详解 【分析】先在三角尺上找到45°的角，先画45°角，再找到30°角，接着以45°角的一边为始边，画出30°的角，即可得到一个75°的角。 先在三角尺上找到90°的角，先画90°角，再找到45°角，接着以90°角的一边为始边，画出45°的角，即可得到一个135°的角。 先在三角尺上找到90°的角，先画90°角，再找到60°角，接着以90°角的一边为始边，画出60°的角，即可得到一个150°的角。 【解答】 【点评】本题考查三角尺画角，一副三角尺的角度分别是：90°、45°、45°；90°、30°、60°。 【易错专练5】画出下列各角。                                                 【答案】见详解 【分析】画角步骤如下：①画角的顶点和一条边；②将量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的边重合；③根据所画角的度数在相应的刻度线处点一个点，以角的顶点为端点，画经过这个点的射线，所组成的图形就是要画的角。据此画图。 【解答】画图如下： 专题三乘法 易错点1：误认为乘数中间的0不用乘了。 【易错专练1】用竖式计算。 23×406＝                   45×605＝ 【答案】9338；27225； 【分析】根据三位数乘两位数的计算方法，三位数与两位数的个位和个位要对齐，十位数要跟十位数对齐。先用两位数的个位分别与三位数的每一位数相乘。再用两位数的十位分别与三位数的每一位数相乘，乘得结果的个位要与前面结果的十位对齐。然后两个结果相加就得到三位数乘两位数的结果了。 【解答】23×406＝9338 45×605＝27225                          【易错专练2】列竖式计算，带★的要验算。 408×25＝    503×74＝     【答案】10200；37222； 【分析】两位数乘三位数，先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末尾和两位数的个位对齐，再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末尾和两位数的十位对齐，然后把两次乘的结果加起来。当乘数末尾有零时，先算零前面的数，再在积的末尾添加对应个数的零。 整数乘法验算方法是交换乘数的位置，再算一遍，看是不是等于积。 【解答】408×25＝10200 503×74＝37222          【易错专练3】我会用竖式计算。带※的要验算。 506×25＝　　　　 604×58＝ 【答案】12650；35032 【分析】三位数乘两位数的计算方法：两位数乘三位数，先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末尾和两位数的个位对齐，再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末尾和两位数的十位对齐，然后把两次乘得的结果加起来。当乘数末尾有零时，先算零前面的数，再在积的末尾添加对应个数的零。验算时，可以交换两个因数的位置，再算一次即可。 【解答】506×25＝12650　 　 604×58＝35032 　　   【易错专练4】竖式计算。 309×18＝      401×37＝      65×207＝       【答案】5562；14837；13455； 【分析】三位数乘两位数的计算方法：两位数乘三位数，先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末尾和两位数的个位对齐，再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末尾和两位数的十位对齐，然后把两次乘的结果加起来。当乘数末尾有零时，先算零前面的数，再在积的末尾添加对应个数的零。据此解答。 【解答】309×18＝5562         401×37＝14837           65×207＝13455                                            【易错专练5】列竖式计算。 43×102＝    209×50＝ 【答案】4386；10450； 【分析】三位数乘两位数，先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末位和两位数的十位对齐；然后把两次乘得的积相加。 【解答】43×102＝4386 209×50＝10450            易错点2：三位数乘两位数,忘加进位，以及十位上的数相乘时对位错误。 【易错专练1】竖式计算。 67×189＝    403×29＝    80×240＝ 【答案】12663；11687；19200 【分析】三位数乘两位数的方法：先用两位数个位上的数与另一个因数的每一位上的数依次相乘，所得的积末尾与个位对齐；再用两位数十位上的数与另一个因数的每一位上的数依次相乘，所得的积末尾与十位对齐，再把两次相乘的积加起来。末尾有0时，把两个因数0前面的数对齐，并将它们相乘，再在积的后面添上没有参加运算的几个0。 【解答】　　　 　　　　　　 【易错专练2】列竖式计算。 98×46＝          306×36＝          75×720＝ 【答案】4508；11016；54000 【分析】整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的积加起来。据此解答。 【解答】98×46＝4508      306×36＝11016           75×720＝54000                                【易错专练3】竖式计算。 826×18＝        207×89＝        450×12＝ 【答案】14868；18423；5400 【分析】计算三位数乘两位数的乘法时，先用两位数的个位上的数去乘另一个乘数，得数的末位和三位数的个位对齐，再用两位数的十位去乘另一个乘数，得数的末位和三位数的十位对齐；然后把两次乘得的数加起来，就是所求的积。 【解答】826×18＝14868        207×89＝18423        450×12＝5400               【易错专练4】用竖式计算。 780×13＝          309×24＝          125×68＝ 【答案】10140；7416；8500 【分析】三位数乘两位数的方法：先用两位数个位上的数与另一个因数的每一位上的数依次相乘，所得的积末尾与个位对齐；再用两位数十位上的数与另一个因数的每一位上的数依次相乘，所得的积末尾与十位对齐，再把两次相乘的积加起来。 【解答】780×13＝10140 309×24＝7416 125×68＝8500 【易错专练5】用竖式计算。 806×32＝　    　340×25＝         448×63＝　        26×734＝ 【答案】25792；8500； 28224；19084 【分析】三位数乘两位数算法：三位数与两位数的个位和个位要对齐，十位数要跟十位数对齐。先用两位数个位上的数去乘三位数，得数的末尾和两位数的个位对齐，再用两位数十位上的数去乘三位数，得数的末尾和两位数的十位对齐，然后把两次乘的结果加起来。当乘数末尾有零时，先算零前面的数，再在积的末尾添加对应个数的零。据此计算即可。 【解答】806×32＝25792　   340×25＝8500 　 　 448×63＝28224 　 26×734＝19084 　 　 易错点3：估算方法选择不当或结果表达错误。 【易错专练1】王阿姨走一步的距离大约是61厘米，她从家走到天虹超市需要走498步，她家离天虹超市的路程大约是多少米？ 【答案】300米 【分析】根据题意可知：走一步的距离大约是61厘米，她从家到超市要走498步，她家到超市有498个61厘米，根据乘法的意义解答出结果，再根据长度单位的换算公式：1米＝100厘米，换算单位即可。 【解答】61×498 ≈60×500 ＝30000（厘米） 30000厘米＝300米 答：她家离天虹超市的路程大约是300米。 【点评】本题考查的是整数乘法的估算，一般按照四舍五入法把它们看作整十、整百……的数来计算，据此解答即可。 【易错专练2】某公司准备组织295名员工12月份去景区游玩，准备带14000元购买门票，请你估一估，这笔钱够吗？ 【答案】够 【分析】由于是11月~次年3月是淡季，所以12月份去每张门票45元，把295看作300来估算，根据乘法的意义，用计算300×45即可，再和14000元比较。 【解答】295×45 ≈300×45 ＝13500（元） 295＜300 所以295×45＜13500 13500＜14000 够了。 答：这笔钱够了。 【点评】熟练掌握整数乘法的估算方法是解答本题的关键。 【易错专练3】笑笑演讲时的平均语速为每分215个字，在“迎国庆演讲比赛”中，需要演讲15分，笑笑准备了3000字的稿子，够吗？先估一估，再算一算，并和同伴交流你的计算过程。 【答案】不够；计算过程见详解 【分析】根据题意，用每分钟读的字数乘时间，即可求出15分钟一共能读多少个字，根据三位数乘两位数的估算，估算出结果，和3000比较，如果大于3000则不够，如果小于或等于3000则够了，据此解答即可。 【解答】215×15≈200×15＝3000（字） 215＞200，215×15＞3000 答：准备3000字的稿子不够。 【易错专练4】笑笑跟随爸爸妈妈坐火车去桂林旅游，发现这列火车有12节硬座车厢，每节车厢有128个座位。 （1）估一估，这列火车的硬座车厢有多少个座位？ （2）算一算，这列火车的硬座车厢能容纳1000名乘客吗？ 【答案】1200个；能 【分析】（1）根据“四舍五入”法，把128看作整百的数进行估算，然后用100×12，即可求出这列火车的硬座车厢约有多少个座位； （2）先用128乘12，求出12节硬座车厢能乘坐的总人数，再和1000比较即可。 【解答】（1）128×12 ≈100×12 ＝1200（个） 答：这列火车的硬座车厢约有1200个座位。 （2）128×12＝1536（个） 1536＞1000 答：这列火车的硬座车厢能容纳1000名乘客。 【易错专练5】回味食杂店10月1日到10日每天的营业额如下表。（单位：元） 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 营业额 306 298 303 301 291 299 297 304 296 303 （1）估一估，该店10月这10天的营业总额大约是多少元？（请写出估算过程） （2）照这样计算，请估算一下这个店10月份的总营业额大约是多少元？ 【答案】（1）3000元 （2）9300元 【分析】（1）306、298、303、301、291、299、297、304、296、303这几个数都接近300，把该店10月这10天每天的营业额看作300元，300乘10，即可估算出该店10月这10天的营业总额大约是多少元。 （2）把该店10月这10天每天的营业额看作300元，10月份有31天，每天的营业额乘天数，即可估算出这个店10月份的总营业额大约是多少元。 【解答】（1）306＋298＋303＋301＋291＋299＋297＋304＋296＋303 ≈300＋300＋300＋300＋300＋300＋300＋300＋300＋300 ＝300×10 ＝3000（元） 答：该店10月这10天的营业总额大约是3000元。 （2）300×31＝9300（元） 答：这个店10月份的总营业额大约是9300元。 易错点4：误认为CE键具有清屏的作用或对计算器认识不足。 【易错专练1】笑笑用计算器计算25×120时，错误输入了25×1200，可以按（    ）清除后再重新输入。 A． B． C． 【答案】A 【分析】在计算器上，各个按键有不同的功能，如下图。各选项逐一分析判断选择即可。 【解答】根据分析可知：   A．CE键：这是清除键，按下它，计算器会将当前的数字清除，回到上一步操作前的状态，方便用户重新输入数据。符合题意。      B．ON/ C是开机和清屏键，这个键有两个功能：在计算器关闭时，可以打开计算器；在开机状态下，按下该键可以将整个运算中止并归零。不符合题意。   C．OFF 键：这是关机键，按下它，计算器会关闭。 根据题目要求，当发现按错了一个数字时，我们只需要删除这个错误的数字，而不需要清除所有输入或关机。 因此，应该选择DEL键，它只删除当前输入的错误数字，保留其他正确的输入。不符合题意。 笑笑用计算器计算25×120时，错误输入了25×1200，可以按清除后再重新输入。 故答案为：A 【易错专练2】计算器上有许多功能键，如OFF是（ ）键。 【答案】关机 【分析】计算器上有许多功能键，其中ON是开机键，OFF是关机键，AC是清楚键等。 【解答】计算器上有许多功能键，如OFF是关机键。 【易错专练3】用计算器计算293293÷7的结果，请你将下面的计算步骤正确排序。 A．开机按ON/AC键    B．按＝键    C．按÷键    D．按7键    E.依次按2、9、3、2、9、3键 正确的步骤是：（ ）。 【答案】AECDB 【分析】在用计算器计算除法时，要先按ON/AC键开机，再根据被除数、除号、除数、等号的顺序依次输入计算器，即可得到计算结果。 【解答】根据分析可知，用计算器计算293293÷7的结果时，要先按ON/AC键开机；再依次按2、9、3、2、9、3键，输入被除数；再按÷键；之后按7键，输入除数；最后按＝键，即可得到结果。 因此正确的步骤是：AECDB。 【易错专练4】用计算器计算52×5时，先输入（ ），然后输入（ ），接着输入（ ），再输入（ ），显示屏上出现的计算结果是（ ）。如果输错了，可以按（ ）键清除。 【答案】52 × 5 ＝ 260 CE 【分析】计算两个数的乘积，先输入第一个数，再输入乘号，接着输入第二个数，然后输入等号，显示屏上就会出现结果。如果输错了，可以按CE键清除。 【解答】用计算器计算52×5时，先输入（52），然后输入（×），接着输入（5），再输入 （＝），显示屏上出现的计算结果是（260）。如果输错了，可以按（CE）键清除。 【点评】本题主要考查学生对计算器的初步认识和使用方法的掌握。 【易错专练5】计算369×78时，用计算器的操作步骤是①按下（ ）键，开机；②然后输入数字（ ）；③接着再输入计算符号（ ）；④最后输入（ ）即可得出结果。 【答案】ON/C 369 × 78 【分析】用计算器计算步骤：先按开机键，再照着算式在计算器上依次按键，输入等号时就能得到计算结果。输错了时可以按清除键清除。据此解答。 【解答】计算369×78时，用计算器的操作步骤是①按下ON/C键，开机；②然后输入数字 369；③接着再输入计算符号×；④最后输入78即可得出结果。 【点评】本题考查的是对计算器的认识及各按键功能的掌握。 易错点5：误认为根据几个规律就可以推出所有的结果。 【易错专练1】观察算式，并填空。 3×6＝18 33×6＝198 333×6＝1998 3333×6＝19998 333333×6＝（ ） 【答案】1999998；9 【分析】从算式可以看出，积的最高位的数字都是1，积的最低位的数字都是8，其余的数字是9，数字9的个数比乘数中数字3的个数少1个，据此可得出答案。 【解答】333333×6，333333共有6个3，所以算式的积是1999998。 1999999998里面共有8个“9”，所以是333333333×6＝1999999998。 具体填写如下所示： 3×6＝18 33×6＝198 333×6＝1998 3333×6＝19998 333333×6＝1999998 【易错专练2】找规律，填一填。 33×33＝1089 333×333＝110889 3333×3333＝11108889 33333×33333＝（ ） 【答案】1111088889 【分析】观察算式，乘数由相同位数的3组成，乘积中1和8的数量随位数增加而递增；n位数的乘积由个1、1个0、n个8和1个9组成；据此解答。 【解答】根据分析可得： 【易错专练3】观察下列算式，找规律并填空。 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×36＝（ ） … （ ）×（ ）＝999999999 【答案】444444444 12345679 81 【分析】观察给出的前三个算式可知，第一个乘数都是12345679，第二个乘数都是9的倍数，第二个乘数是9的几倍，算式的乘积就是9个几；据此解答。 【解答】36＝4×9，12345679×36＝444444444 9×9＝81，12345679×81＝999999999 【易错专练4】找出下列算式的规律，把算式填写完整。 19＋9×9＝100 118＋98×9＝1000 1117＋987×9＝10000 （ ）＋（ ）×9＝100000 111115＋（ ）×9＝（ ）。 【答案】11116 9876 98765 1000000 【分析】根据题意，找出算式的规律是，算式中的第二个乘数是9不变，第一个乘数的末尾每次添加一个从9开始依次变小的连续自然数，第一个加数的最高位上每次添加一个1，个位上的数字每次减少1，结果每次在末尾增添1个0。以此答题即可。 【解答】根据分析可知： 19＋9×9＝100   118＋98×9＝1000   1117＋987×9＝10000  　　　　　　 11116＋9876×9＝100000   111115＋98765×9＝1000000。 【易错专练5】先观察下面的算式和得数分别有什么特点，再根据特点把④和⑤两个算式补齐。 ①12345679×9＝111111111 ②12345679×18＝222222222 ③12345679×27＝333333333 ④12345679×36＝（ ） … ⑤（ ）×（ ）＝777777777 【答案】444444444 12345679 63 【分析】观察前面四道算式，第一个乘数都是12345679，第二个乘数在第一道算式的基础上乘2、乘3、乘4……。第一个积是9个1，第二个积在第一个积的基础上也跟着乘2、乘3、乘4。也就是一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也乘几。这是积的变化规律，据此解答。 【解答】111111111×4＝444444444 第四道算式与第一道相比，第一个乘数不变，第二个乘数乘4，所以积也乘4。所以12345679×36＝444444444。 因为111111111×7＝777777777，第五道算式的积与第一道相比，乘7，所以第一个乘数依旧不变，第二个乘数是在9的基础上乘7。所以12345679×63＝777777777。 专题四运算律 易错点1：误认为加法结合律中的规律包含加法交换律中的规律。 【易错专练1】用简便方法计算。 375＋166＋234        46＋382＋154＋18        500－137－163 【答案】775；600；200 【分析】（1）利用加法结合律，先计算166和234的和；（2）利用加法结合律，把382和18一起计算，46和154一起计算；（3）利用减法的性质，先计算137和163的和，据此计算。 【解答】375＋166＋234 ＝375＋（166＋234） ＝375＋400 ＝775 46＋382＋154＋18 ＝（46＋154）＋（382＋18） ＝200＋400 ＝600 500－137－163 ＝500－（137＋163） ＝500－300 ＝200 【易错专练2】观察每个算式中加数的特点并计算。          【答案】288；269；600 【分析】（1）利用加法结合律，156＋44，为200，先计算这个式子再求和；（2）利用加法交换律，将172和69调转位置，先计算28和172的和；（3）利用加法结合律，将个位相加为十的数放在一起相加，据此解答。 【解答】（1）88＋156＋44 ＝88＋（156＋44） ＝88＋200 ＝288 （2）28＋69＋172 ＝（28＋172）＋69 ＝200＋69 ＝269 （3）91＋34＋109＋366 ＝（91＋109）＋（34＋366） ＝200＋400 ＝600 【易错专练3】简便计算。 500－256－44        189＋363＋211 257－（157＋80）       364＋18－64＋82 【答案】200；763； 20；400 【分析】（1）根据减法的性质，一个数连续减两个数，可以用这个数减去两个数的和，进行简算即可； （2）根据加法结合律，进行简算即可； （3）根据减法的性质，进行简算即可； （4）先算364－64，同时利用加法结合律和交换律简算即可。 【解答】（1）500－256－44 ＝500－（256＋44） ＝500－300 ＝200 （2）189＋363＋211 ＝363＋（189＋211） ＝363＋400 ＝763 （3）257－（157＋80） ＝257－157－80 ＝100－80 ＝20 （4）364＋18－64＋82 ＝（364－64）＋（18＋82） ＝300＋100 ＝400 【易错专练4】用简便方法计算。 194＋357＋106          942－160－342          453＋265－153 【答案】657；440；565 【分析】连加计算时可以利用加法的交换律和结合律进行简算，减法计算时可以利用凑整法进行简算，由此解答。 第1题算式改写为：194＋106＋357；第2题算式改写为：942－342－160；第3题算式改写为：453－153＋265。 【解答】194＋357＋106 ＝194＋106＋357 ＝300＋357 ＝657           942－160－342    ＝942－342－160 ＝600－160 ＝440        453＋265－153 ＝453－153＋265 ＝300＋265 ＝565 【易错专练5】下面的算式怎样计算简便就怎样计算。  382＋165＋18＋135                      255＋981＋145                236＋189＋464＋11                      216＋89＋11＋184 【答案】700；1381； 900；500 【分析】（1）先交换165、18的位置，算式改写成382＋18＋165＋135，利用加法交换律和加法结合律进行简算； （2）交换981、145的位置，利用加法交换律进行简算； （3）先交换189、464的位置，算式改写成236＋464＋189＋11，利用加法交换律和加法结合律进行简算； （4）先交换89、184的位置，算式改写成216＋184＋11＋89，利用加法交换律和加法结合律进行简算。 【解答】382＋165＋18＋135 ＝382＋18＋165＋135 ＝（382＋18）＋（165＋135） ＝400＋300 ＝700 255＋981＋145 ＝255＋145＋981 ＝400＋981 ＝1381 236＋189＋464＋11 ＝236＋464＋189＋11 ＝（236＋464）＋（189＋11） ＝700＋200 ＝900 216＋89＋11＋184 ＝216＋184＋11＋89 ＝（216＋184）＋（11＋89） ＝400＋100 ＝500 易错点2：误认为乘法结合律中包含乘法交换律。 【易错专练1】挑战一下。 16×25                  125×25×320 【答案】400；1000000 【分析】（1）根据乘法结合律，将16看成4×4，先计算4×25，再用4乘这个积，进行简算。 （2）根据乘法结合律和乘法交换律，将320看成80×4，分别计算125×80以及25×4的积，再将两个积相乘，进行简算。 【解答】16×25 ＝4×4×25 ＝4×（4×25） ＝4×100 ＝400 125×25×320 ＝125×25×（4×80） ＝（125×80）×（25×4） ＝10000×100 ＝1000000 【易错专练2】观察下面式子的特点并计算。               【答案】3800；3000；390 【分析】（1）25和4相乘为100，利用乘法结合律，先计算25×4；（2）利用乘法交换律和乘法结合律，先计算125×8；（3）利用乘法结合律，先计算5×6，据此解答。 【解答】38×25×4 ＝38×（25×4） ＝38×100 ＝3800 125×3×8 ＝（125×8）×3 ＝1000×3 ＝3000 （13×5）×6 ＝13×（5×6） ＝13×30 ＝390 【易错专练3】简便计算 64×125           125×32×25 【答案】8000；100000 【分析】（1）利用乘法结合律进行简算；（2）利用乘法结合律进行简算。 【解答】64×125 ＝8×（8×125） ＝8×1000 ＝8000           125×32×25 ＝（125×8）×（4×25） ＝1000×100 ＝100000 【易错专练4】脱式计算。 4×12×5            27×25×4 30×23×2            4×31×50 【答案】240；2700； 1380；6200 【分析】先计算4和5的积，再乘12； 先计算25和4的积，再乘27； 先计算30和23的积，再乘2，； 先计算4和50的积，再乘31； 【解答】4×12×5    ＝4×5×12 ＝20×12 ＝240          27×25×4 ＝27×（25×4） ＝27×100 ＝2700 30×23×2 ＝690×2 ＝1380             4×31×50 ＝4×50×31 ＝200×31 ＝6200 【易错专练5】运用乘法交换律或乘法结合律计算下面各题。 118×25×4           125×15×8                25×16 25×3×4           25×（8×4）×125         25×32×125 【答案】11800；15000；400； 300；100000；100000 【分析】（1）利用乘法结合律进行简算；（2）利用乘法交换律进行简算； （3）利用乘法结合律进行简算；（4）利用乘法交换律进行简算； （5）利用乘法交换律和结合进行简算；（6）利用乘法交换律和结合进行简算。 【解答】118×25×4 ＝118×（25×4） ＝118×100 ＝11800 125×15×8 ＝125×8×15 ＝1000×15 ＝15000 25×16 ＝25×4×4 ＝100×4 ＝400 25×3×4 ＝25×4×3 ＝100×3 ＝300 25×（8×4）×125 ＝（25×4）×（8×125） ＝100×1000 ＝100000 25×32×125 ＝25×4×8×125 ＝（25×4）×（8×125） ＝100×1000 ＝100000 易错点3：乘法分配律的正反运用不熟练。 【易错专练1】脱式计算，能简算的要简算。 101×46 103×54－2×54－54            125×（8＋80） 【答案】4646；5400；11000； 【分析】101×46把算式改写成（100＋1）×46，然后运用乘法分配律简便计算，分别算出100和46、1和46的积，再将积相加； 103×54－2×54－54把算式改写成103×54－2×54－1×54，然后运用乘法分配律简便计算，先算出103减去2再减去1的差，再将差乘54； 125×（8＋80）运用乘法分配律简便计算，分别算出125和8与125和80的积，再将积相加； 【解答】101×46 ＝（100＋1）×46 ＝100×46＋1×46 ＝4600＋46 ＝4646 103×54－2×54－54 ＝103×54－2×54－1×54 ＝（103－2－1）×54 ＝（101－1）×54 ＝100×54 ＝5400 125×（8＋80） ＝125×8＋125×80 ＝1000＋10000 ＝11000 【易错专练2】用所学规律算一算。 （125＋15）×8              72×17＋17×28 【答案】1120；1700 【分析】根据乘法分配律，分别用125和15分别乘8，再将两个积相加。 根据乘法分配律，先计算72＋28，再用和乘17。 【解答】（125＋15）×8        ＝125×8＋15×8 ＝1000＋120 ＝1120 72×17＋17×28 ＝（72＋28）×17 ＝100×17 ＝1700 【易错专练3】脱式计算，能简算的要简算。 23×52＋52×77              8×（125＋9） 【答案】368；1072 【分析】利用乘法分配律进行简算； 【解答】23×52＋52×77    ＝52×（23＋77） ＝52×100 ＝5200          8×（125＋9） ＝8×125＋8×9 ＝1000＋72 ＝1072 【易错专练4】用所学规律算一算。 32×89＋10×32＋32        67×101                57×99＋57              136×82－82×36 【答案】3200；6767；5700  ；8200 【分析】（1）根据乘法分配律，先计算89＋10＋1，再用和乘32。 （2）根据乘法分配律，将101看成100＋1，用67分别乘100和1，再将两个积相加。 （3）根据乘法分配律，先计算99＋1，再用57乘这个和。 （4）根据乘法分配律，先计算136－36，再用差乘82。 【解答】32×89＋10×32＋32   ＝32×（89＋10＋1） ＝32×100 ＝3200 67×101           ＝67×（100＋1） ＝67×100＋67×1 ＝6700＋67 ＝6767 57×99＋57    ＝57×（99＋1） ＝57×100 ＝5700   136×82－82×36 ＝（136－36）×82 ＝100×82 ＝8200 【易错专练5】脱式计算。（能简算的要简算） 15×99 （80＋4）×25  【答案】1485；2100； 【分析】99＝100－1，先把原式写成15×（100－1），再根据乘法分配律进行简算；根据乘法分配律进行简算； 【解答】15×99 ＝15×（100－1） ＝15×100－15 ＝1500－15 ＝1485 （80＋4）×25 ＝80×25＋4×25 ＝2000＋100 ＝2100 易错点4：对运算律的内涵理解不透，仅凭记忆解题。 【易错专练1】夏丽将算成，结果跟原来相差（    ）。 A．192 B．135 C．25 D．200 【答案】A 【分析】式子25×（40＋8），根据乘法分配律，分别先计算25与40的积，25与8的积，最后把两个积相加，求出得数。再计算25×40＋8的得数，先算乘法，再算加法，求出这个式子的得数，最后把两个算式的得数相减即可。 【解答】25×（40＋8） ＝25×40＋25×8 ＝1000＋200 ＝1200 25×40＋8 ＝1000＋8 ＝1008 1200－1008＝192 结果与原来的结果相差192。 故答案为：A 【易错专练2】乐乐把25×（4＋9）算成了25×4＋9，他要想计算出正确结果，应该（    ）。 A．减25×9 B．加24×9 C．减24×9 【答案】B 【分析】如果按照有小括号的运算顺序，应先算小括号中的加法，再算括号外面的乘法，但乐乐去掉了小括号，则应根据乘法分配律，用25分别乘括号里面的两个加数，再把它们的积相加，即25×（4＋9）＝25×4＋25×9，即表示25个4加25个9；乐乐实际算成了25×4＋9，表示25个4加1个9，即把加25个9只加了1个9，也就是少加了24个9；要想计算出正确结果，则应再加24个9，即加24×9。据此解答。 【解答】根据分析可知： 乐乐把25×（4＋9）算成了25×4＋9，他要想计算出正确结果，应该加24×9。 故答案为：B 【易错专练3】小明把32×（□＋3）错算成32×□＋3，得到的结果和正确结果相差（ ）。 【答案】93 【分析】32×（□＋3）根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变成32×□＋32×3，然后再与32×□＋3进行比较。 【解答】32×（□＋3） ＝32×□＋32×3 与32×□＋3相比，前面的32×□一样，相差的是32×3－3＝96－3＝93。 所以，得到的结果和正确结果相差93。 【易错专练4】下图是淘气在计算（▲＋25）×4时的做法，算出来的得数比正确的结果少了270，▲代表的数字是（ ），正确的结果是（ ）。 （▲＋25）×4 ＝▲＋25×4 ＝ 【答案】90 460 【分析】根据乘法分配律（▲＋25）×4可以转化为▲乘4，以及25乘4，再把两个积相加，而题干中的算法与正确算法的不同在于，题干部分只加了1个▲，而正确的是加4个▲，那么题干的算法比正确的算法少加了3个▲，即3个▲是270，所以270除以3即可求出▲表示的数是90，再用90替换题中的▲，按照乘法分配律先求出90乘4的积、25乘4的积，再把两个积相加即可求出正确的结果。 【解答】（▲＋25）×4 ＝▲×4＋25×4 270÷（4－1） ＝270÷3 ＝90 ▲代表的数字是90； （90＋25）×4 ＝90×4＋25×4 ＝360＋100 ＝460 正确的结果是460。 【易错专练5】淘气把（15＋▲）×28错算成15＋▲×28，他算出的结果与正确的得数相差（ ）。 【答案】405 【分析】两个数的和与一个数相乘，可以用这两个数分别和这个数相乘，再把它们的积相加，这叫乘法分配律。 【解答】（15＋▲）×28 ＝15×28＋▲×28 ＝420＋▲×28 420－15＝405 淘气把（15＋▲）×28错算成15＋▲×28，他算出的结果与正确的得数相差（405）。 【点评】熟练掌握乘法分配律是解题关键。 易错点5：选择合适的运算律解决问题。 【易错专练1】暑假期间，爸爸、妈妈带优优到北京天安门、故宫、天坛、长城等景点游玩。花费如下，算一算优优一家人一共花了多少钱？ 交通费：458元 门票费：424元 住宿费：542元 餐饮费：376元 【答案】1800元 【分析】要求优优一家人一共花了多少钱，用加法加起来，然后根据加法结合律计算，计算458和542，424＋376，据此计算。 【解答】458＋424＋542＋376 ＝（458＋542）＋（424＋376） ＝1000＋800 ＝1800（元） 答：优优一家人一共花了1800元。 【易错专练2】张家界天门山索道全长7455米，是世界上最高的高山客运索道。天门山索道上一共有98个缆车轿厢，每个缆车轿箱最多容纳8名乘客，若所有缆车轿厢运行125趟，最多可载多少名乘客？ 【答案】98000名 【分析】1个缆车轿箱最多能载8名乘客，98乘8可以求出98个缆车轿厢最多能载多少名乘客，因为所有缆车轿厢运行125趟，再给这个积乘125即可求出125趟能载多少名乘客，计算时可以根据乘法结合律进行简算，先计算8与125的积，再把这个积与98相乘即可。 【解答】98×8×125 ＝98×（8×125） ＝98×1000 ＝98000（名） 答：最多可载98000名乘客。 【易错专练3】学校为丰富课后托管课程内容，计划增加益智棋类活动，需要购买象棋和围棋各32副。每副象棋62元，每副围棋138元。 （1）学校买象棋和围棋一共要花多少元？ （2）学校买围棋比买象棋多花多少元？ 【答案】（1）6400元 （2）2432元 【分析】（1）总价＝单价×数量，根据题意，用32×62求出买象棋需要的钱数，32×138求出买围棋需要的钱数，再根据加法的意义，求出学校买象棋和围棋一共要花多少元，可根据乘法分配律进行简算。 （2）总价＝单价×数量，根据题意，用32×62求出买象棋需要的钱数，32×138求出买围棋需要的钱数，再根据减法的意义，求出学校买围棋比买象棋多花多少元，可根据乘法分配律进行简算。 【解答】（1）32×62＋32×138 ＝32×（62＋138） ＝32×200 ＝6400（元） 答：学校买象棋和围棋一共要花6400元。 （2）32×138－32×62 ＝32×（138－62） ＝32×76 ＝2432（元） 答：学校买围棋比买象棋多花2432元。 【易错专练4】阅读材料，回答问题。 社团活动是校园文化建设的重要载体，它能培养学生的兴趣、能力及创造力。实验小学开设了丰富多彩的社团活动，有古诗词、书法、演讲、乒乓球、健美操等12个项目。其中，古诗词社团有164人，乒乓球社团有85人，书法社团有136人。健美操是融体操、舞蹈、音乐于一体的运动项目，具有高度的艺术性，深受同学们的喜爱，此社团人数最多，四至六年级各有4个班，平均每班有25人参加。社团活动的开展，不但发展了学生的兴趣爱好，而且丰富了学生的学习生活。 （1）估一估，这段材料大约有（    ）个字。 （2）古诗词、乒乓球、书法社团一共有多少人？ （3）健美操社团有多少人？ 【答案】（1）220； （2）385人； （3）300人 【分析】（1）由题意得，题目中的文字较多，可以先看一行有多少个字，再数出有多少行，可以估算出这段材料大约有多少个字。 （2）由题意得，古诗词社团有164人，乒乓球社团有85人，书法社团有136人，求古诗词、乒乓球、书法社团一共有多少人，用加法计算。计算时，利用加法交换律可使计算简便。 （3）由题意得，四至六年级各有4个班，平均每班有25人参加，可以先用3乘4算出一共有多少个班，然后再乘上25即可算出健美操社团有多少人。计算时，利用乘法结合律可使计算简便。 【解答】（1）由题意得，每行大约有40个字，一共有5行半。 40×5＋20 ＝200＋20 ＝220（个） 这段材料大约有220个字。（答案不唯一） （2）164＋85＋136 ＝164＋136＋85 ＝300＋85 ＝385（人） 答：古诗词、乒乓球、书法社团一共有385人。 （3）3×4×25 ＝3×（4×25） ＝3×100 ＝300（人） 答：健美操社团有300人。 专题五方向与位置 易错点1：描述路线时方向错误。 【易错专练1】填一填。 （1）小明从家出发向（ ）走（ ）米到电影院。 （2）小明从家出发先向（ ）走200米到学校，再向（ ）走250米到书店，最后向（ ）走（ ）米到运动场。 【答案】（1）西南 200 （2）东南 东 东北 150 【分析】 根据方位图：； （1）小明从家出发，也就是以家为准，电影院在小明家的西南方向，距离是200米。 （2）小明从家出发，以家为准，学校在其东南方向200米，然后再与学校为准，向东走250米到书店，然后再以书店为准，运动场在书店的东北150米处。 【解答】（1）小明从家出发向西南走200米到电影院。 （2）小明从家出发先向东南走200米到学校，再向东走250米到书店，最后向东北走150米到运动场。 【易错专练2】下面是小红从家到学校的路线图。 小红去上学的路线是：从家出发向（ ）走（ ）米到公园，再向（ ）走160米到医院，从医院向（ ）走250米到商场，再向（ ）走（ ）米到体育馆，最后从体育馆向（ ）走200米到学校。 【答案】东/正东 340 东南 东北 东/正东 340 西南 【分析】根据上北下南，左西右东的方位，小红从家出发先向右走，即向东走340米就到公园，医院在公园的右下角，这个位置位于东与南之间，即向东南走160米就到医院了，而商场位于医院的右上角，这个位置是东与北之间，即从医院向东北方向走250米到商场，体育馆位于商场的正右边，即从商场向东走340米就到体育馆了，学校位于体育馆的左下方，这个位置是西与南之间，即从体育馆向西南走200米，就到学校了，据此解答。 【解答】由路线图可知：小红去上学的路线是：从家出发向东走340米到公园，再向东南走160米到医院，从医院向东北走250米到商场，再向东走340米到体育馆，最后从体育馆向西南走200米到学校。 【易错专练3】根据1路公交车的行驶路线图，填一填。 1路公交车从车站向（ ）方向行驶300米到学校，然后向（ ）方向行驶500米到公园，再向正东行驶（ ）米到银行，最后向（ ）方向行驶300米到医院。 【答案】东南 南 1000 东北 【分析】由图可知，1路公交车从车站向右下方向行驶300米到学校，根据“上北下南，左西右东”可知，1路公交车从车站向东南方向行驶300米到学校。然后向下行驶500米到公园，根据“上北下南，左西右东”可知，然后向南方向行驶500米到公园。要想到银行，需要向正东方向行驶2个500米，500×2＝1000（米），所以再向正东行驶1000米到银行。最后向右上方行驶300米到医院，根据“上北下南，左西右东”可知，最后向东北方向行驶300米到医院。 【解答】1路公交车从车站向东南方向行驶300米到学校，然后向南方向行驶500米到公园，再向正东行驶1000米到银行，最后向东北方向行驶300米到医院。 【易错专练4】乐乐从家向（ ）走600米到学校，然后向（ ）走1300米到公园，再向（ ）走400米到商场，最后向（ ）走2000米到奶奶家。 【答案】东北 东 东南 东 【分析】平面上方向为上北下南，左西右东，左上角为西北方向，右上角为东北方向，左下角为西南方向，右下角为东南方向。找准观测点进行解答即可。 【解答】乐乐从家向东北走600米到学校，然后向东走1300米到公园，再向东南走400米到商场，最后向东走2000米到奶奶家。 【易错专练5】齐齐站在游乐园入口处（如图），要想快一些到达非常实验室，他应该先向 方向走 米，到达 ，再向 方向走 米。 【答案】东北 95 太阳桥 西北 180 【分析】根据题意，齐齐到达非常实验室一共有两条路线，想要快点到达，只要分别算出这两条路线的距离，看哪一条路线的距离短一些。 平面图形的绘制都是按照上北下南、左西右东来绘制的。 根据地图所示的距离以及方向的确定即可描绘齐齐行走的路线。 【解答】204＋108＝312（米） 180＋95＝275（米） 312＞275 所以，齐齐他应该先向东北方向走95米，到达太阳桥，再向西北方向走180米，到达非常实验室。 【易错专练6】强强从家出发向 走150米到医院，再向 走 米到公园，再向东 走300米到壮壮家，最后向 走200米来到学校。强强一共走了1150米。 【答案】东南方向 东 500 北方向 西北方向 【分析】依据图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”原则解答即可。医院在强强家的右下方，也就是东南方，公园在医院的东方500米的位置，壮壮家在公园的右上方也就是东北方，学校在壮壮家的左上方，也就是西北方。 【解答】由分析知，强强从家出发向东南方向走150米到医院，再向东走500米到公园，再向东北方向走300米到壮壮家，最后向西北方向走200米来到学校。 易错点2：用数对表示位置时,不能将行和列的位置颠倒。 【易错专练1】禁手，五子棋术语，指执黑子一方，某些点禁止落子。这些点包括三三、四四等（如图1），打“×”的地方就是禁手点。则图2的禁手点的位置用数对表示是（    ）。 A．（0，4） B．（B，5） C．（A，6） D．（D，4） 【答案】D 【分析】用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行。结合图1打“×”的地方就是禁手点可知，（D，4）位置放一枚黑棋横竖就都会形成四枚黑棋相连，所以图2的禁手点是（D，4），据此选择。 【解答】根据分析可知，图2的禁手点的位置用数对表示是（D，4）。 故答案为：D 【易错专练2】花园小学文艺表演，小明观演的座位用数对表示是，他在第2行的位置，小红坐在小明正后方的第一个位置上，小红的位置用数对表示是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数对中的第一个数表示列数，第二个数表示行数。小红坐在小明正后方的第一个位置上，那么两人的列数相同，小明的行数加上1就是小红的行数。据此解题。 【解答】2＋1＝3 所以小红的位置在第11列，第3行，用数对表示是（11，3）。 故答案为：D 【易错专练3】如图，如果三角形中点A的位置用数对表示，那么点C的位置可以用数对（    ）表示。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示点C的位置。 【解答】如果三角形ABC中点A的位置用数对（2，3）表示，即点A在第2列第3行，则点C在第8列第3行，那么点C的位置可以用数对（8，3）表示。 故答案为：C 【易错专练4】如图是中国象棋棋盘的一部分，在中国象棋中规定“马走日”。下面数对分别表示棋盘中的位置，“马”的下一步不能走到（    ）。 A．（4，0） B．（5，1） C．（7，3） D．（8，2） 【答案】B 【分析】根据图意，竖着表示列，横着表示行。用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，马的原来数对（6，1），“马走日”也就是后来的数对与原来数对所在的方格的横线和竖线刚好是一个“日”字。 【解答】 A．（4，0），符合要求。 B．（5，1），不符合要求。 C．（7，3），符合要求。 D．（8，2），符合要求。 故答案为：B 【易错专练5】无人机编排汉字“人”（见图），圆点表示无人机的站位，其中最高四点用数对表示可以是（    ）。 A．（x，1） B．（x，x） C．（3，y） D．（x，x－6） 【答案】C 【分析】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号，据此解答即可。 【解答】无人机编排汉字“人”（见图），圆点表示无人机的站位，其中最高四点用数对表示可以是（3，y）。 故答案为：C 【易错专练6】下五子棋时，黑方一子落下（如图中“×”的位置），同时形成两个或两个以上的“四”的情况，这步棋就称为“四四禁手”。如果要使右边的棋盘中形成的棋局成为“四四禁手”，那么下一步黑棋应该落在哪个位置？这个位置用数对表示为（    ）。 A．（D，5） B．（6，D） C．（5，D） D．（D，6） 【答案】A 【分析】数对的第一个数表示列，第二个数表示行，如下图，要使盘中棋局成为“四四禁手”，下一步黑棋应该落在红“×”位置，这个位置用数对表示为（D，5），据此即可解答。 【解答】根据分析可知，如果要使右边的棋盘中形成的棋局成为“四四禁手”，那么下一步黑棋应该落在红“×”位置，这个位置用数对表示为（D，5）。 故答案为：A 易错点3：根据数对在方格图中描点时，对应错误。 【易错专练1】方格纸上有一个点D，与点A、B、C，正好可以构成一个平行四边形，请找到点D的位置，并画出这个平行四边形。 【答案】见详解 【分析】已知AB、AC是相邻的两条边，根据平行四边形的特点，两组对边平行且相等。然后观察AB与AC线段的长占了几个方格，然后在对应的平行位置，画出同等长度的线段即可，并在画出两条线的底部相交点标出D点的位置，并写出数对即可。 【解答】具体画法如下所示： 【易错专练2】花果山上的猴博士一生致力于数学研究，为了找到合适的继承人，临终前将毕生所学和一生积蓄埋藏起来，找到这个宝藏，就可成为猴博士的弟子，继承宝藏。首先要找到三把不同的钥匙，再找到宝藏的入口，第一把钥匙的位置在（7，6），第二把钥匙在第一把钥匙正南方20米，第三把钥匙的位置是（3，1），入口处和三把钥匙的位置正好是一个平行四边形的顶点。聪明的你能成为猴博士的弟子吗？ 【答案】见详解 【分析】根据对数对的了解，列在前，行在后，据此先找到第一把和第三把钥匙所在的位置，第二把钥匙在第一把钥匙正南方20米，图中的方位顺序为上北下南左西右东，每格代表5米，则在第一把钥匙的下方20÷5＝4（格），据此标出第二把钥匙的位置，平行四边形对边平行且相等，据此标出入口处即可。 【解答】 如图： 【易错专练3】标出它们的位置。 如图，小狗的位置用（2，2）表示，在图中标出小猴（5，4），小猪（6，7），小熊（10，6）的位置。 【答案】见详解 【分析】数对的第一个数表示列，第二个数表示行，据此即可标出各个动物的位置。 【解答】 【点评】熟练掌握位置与数对的关系是解答本题的关键。 易错点4：平移后坐标计算错误。 【易错专练1】先描述、、各点，再依次连成封闭图形，然后将这个图形向右平移6个格，并画出来。    【答案】见详解 【分析】数对的第1个数表示列，第2个数表示行，然后根据数对标出相应的点，顺次连接A、B、C，据此解答即可； 根据图形平移的方法，把这个图形的各个关键顶点分别向右平移6格，再把它们依次连接起来，即可得出平移后的图形。 【解答】作图如下： 【点评】本题主要考查学生对用数对表示位置、平移的掌握和灵活运用。 【易错专练2】画图。 （1）在上图中按要求画出图形①，图形①的顶点位置分别是A（0，3），B（4，5），C（3，2）。 （2）画出图形①向右平移4格得到图形②，并标出三个顶点的对应点A＇、B＇、C＇。 【答案】见详解 【分析】（1）数对的第一个数表示列，第二个数表示行，据此标出A、B、C三个点，并顺次用线段把三个点连接起来。 （2）把图形①的各顶点分别向右平移4格，然后依次连结即可得到图形②，并标出三个顶点的对应点A＇、B＇、C＇。 【解答】（1）（2）见下图： 【点评】本题主要考查了数对与位置的关系和平移图形的画法，要熟练掌握。 【易错专练3】画出平行四边形向上平移5个格后的图形。 用数对表示所得图形各顶点的位置，并说说你的发现。 【答案】见详解 【分析】根据平移的特征，把平行四边形的四个顶点分别向上平移5格再首尾相连即可。 【解答】 我发现了向上平移数对的列数位不变行数位增加。 【点评】平移作图要注意方向和距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。 【易错专练4】在方格图中，请画出小房子先向上平移4格，再向右平移4格后的位置，并用数对写出平移后小房子的顶点A的位置。 【答案】见详解 【分析】根据平移的特征，把小房子的5个顶点分别向上平移4格，再向右平移4格，依次连接即可得到平移后的图形，并根据平移后A点所在的列与行，用数对分别表示出它们的位置即可。 【解答】 平移之后顶点A的位置是（6，8）。 【点评】图形平移注意三要素：即原位置、平移方向、平移距离。数对中每个数字所代表的意义，在不同的题目中会有所不同，但在无特殊说明的情况下，数对中第一个数字表示列，第二个数字表示行。 【易错专练5】（1）在方格纸上指出下列各点，并按A－B－C－D的顺序依次连接各点。              （2）将上述图形先向右平移5个单位，再向上平移3个单位后形成四边形，请用数对表示平移后图形各顶点的位置。 （    ）    （    ）    （    ）    （    ） 【答案】（1）画图见详解。 （2）（8，6）；（10，6）；（9，10）；（6，8） 【分析】（1）根据数对的概念，括号里左边的数为列，右边的数为行，据此找到A、B、C、D四个点所代表的位置，点出点，并按A－B－C－D的顺序依次连接各点。 （2）画出（1）的图形先向右平移5个单位，再向上平移3个单位后形成四边形，再根据数对的概念，写出对应的数对即可。 【解答】（1）找到A、B、C、D四个点，并按A－B－C－D的顺序依次连接各点，如图： （2）将（1）图形先向右平移5个单位，再向上平移3个单位后形成四边形，如图： 用数对表示平移后图形各顶点的位置。 （8，6），（10，6），（9，10），（6，8） 易错点5：方向与坐标结合错误。 【易错专练1】甘肃物产丰富，其特产融合了多民族文化，备受人们喜爱。一家特产店整齐地摆满了各种特产的货柜，如图，狼牙蜜的位置可以用数对（2，5）表示。它在百合以北4米，再往东1米处。 （1）三泡台在半夏以（    ）5米，再往（    ）（    ）米处。 （2）胡麻油的位置用数对表示为（6，5）；龙神茶的位置用数对表示为（4，3）。请你在图中标出胡麻油和龙神茶的位置。 （3）张阿姨在该特产店挑选商品时的行走路线是（1，1）→（2，3）→（3，4）→（7，2）→（6，1）。请你依次说出张阿姨去了哪些特产的货柜。 【答案】（1）东；南；1 （2）见详解； （3）张阿姨依次去了百合→半夏→羊肚菌→三泡台→牛肉干这些特产的货柜。 【分析】（1）看图可知三泡台在半夏的右方5个格子，下方1个格子，根据“上北下南，左西右东”，1个格子表示1米，据此即可填空。 （2）数对的第一个数表示列，第二个数表示排，胡麻油的位置用数对表示为（6，5），即第6列，第5排； 龙神茶的位置用数对表示为（4，3），即第4列，第3排，据此画图即可； （3）根据数对的第一个数表示列，第二个数表示排，在图中依次找到图中的描述位置即可。 【解答】（1）三泡台在半夏的右方5个格子，即三泡台在半夏以东5米； 再往下方1个格子，即三泡台在半夏往南1米处； （2） （3）（1，1）即第1列，第1排为百合； （2，3）即第2列，第3排为半夏； （3，4）即第3列，第4排为羊肚菌； （7，2）即第7列，第2排为三泡台； （6，1）即第6列，第1排为牛肉干； 即张阿姨依次去了百合→半夏→羊肚菌→三泡台→牛肉干这些特产的货柜。 【易错专练2】中国象棋是中华民族的文化瑰宝，共有32个圆形棋子，棋子分为2种颜色，摆放和走棋都在棋盘格的交叉点上（如下图），双方交替行棋，先把对方的将（帅）“将死”的一方获胜。 （1）图中两个卒所在的位置用数对表示分别是（  ，  ）和（  ，  ）。 （2）所在的位置用数对表示是，请在图中用标出它的位置。 （3）根据规则，马若向左边走一步，到达的位置可能是哪里？请用数对表示出来。马从当前的位置走到什么位置，能吃掉对方的象？ 【答案】（1）； （2）见详解； （3）见详解。 【分析】 数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此即可标出两个卒的数对位置，并可以根据这个方法标记在图上所在的位置；根据马走日的规则，马在棋盘上走“日”字形。从马当前位置出发，向左边走一步，分别分析不同走法对应的数对。 【解答】（1）图中两个卒所在的位置用数对表示分别是（2，4）；（8，4） （2） （3）马若向左边走一步，到达的位置可能是（1，4），（0，3），（0，1），（1，0）。马从当前的位置走到（3，0）的位置，能吃掉对方的象。 【易错专练3】如下图所示的是某地区的平面示意图，医院用数对（6，3）表示。 （1）请用数对表示下面建筑物的位置。 高铁站     养老院     博物馆 （2）从学校往北走1000m，再往东走400m处是图书馆，位置是（2，5）。你能像前面这样描述体育馆在高铁站的什么方向及具体位置吗？ （3）海海家在学校以东800m，再往北400m的地方，请你在上图中标出来。 （4）上周日，海海的活动路线是（4，2）→（1，2）→（1，6）→（2，5）→（3，3）→（4，2）。他先后都去了什么地方。 【答案】（1）（5，4）；（5，6）；（0，4）。 （2）从高铁站往西走800m，再往南走400m处是体育馆，位置是（1，2）。 （3） （4）海海先后去了：海海家体育馆公园图书馆百货中心海海家。 【分析】（1）根据题目描述和图示，医院的位置为（6，3），即横坐标表示向东的距离，纵坐标表示向北的距离。比例尺为每格200米。所以高铁站位于第5列第4行，因此坐标为（5，4）；养老院位于第5列第6行，因此坐标为（5，6）；博物馆位于第0列第4行，因此坐标为（0，4）。 （2）题目要求描述体育馆在高铁站的相对位置，体育馆位于第1列第2行，坐标为（1，2），高铁站位于第5列第4行，坐标为（5，4），体育馆在高铁站的西偏南方向上，从高铁站到体育馆，先从高铁站往西走4格，比例尺为每格200米，即为米，再往南走2格即为米处是体育馆，位置（1，2）。 （3）学校位于第0列第0行，即（0，0）；海海家在学校以东800米，则图上是格，北400米，则图上是格，因此海海家位于第4列第2行，即（4，2）。 （4）海海的活动路线：（4，2）是海海家，（1，2）是体育馆，（1，6）是公园，（2，5）是图书馆，（3，3）是百货中心。 【解答】（1）高铁站：（5，4）；养老院：（5，6）；博物馆：（0，4）。 （2）从高铁站往西走800m，再往南走400m处是体育馆，位置是（1，2）。 （3） （4）海海先后去了：海海家体育馆公园图书馆百货中心海海家。 专题六除法 易错点1：在计算商是两位数的笔算除法时没有除尽。 【易错专练1】列竖式计算，有*的需要验算。 918÷18    463÷65    *784÷26    *3300÷400 【答案】51；7……8；30……4；8……100 【分析】三位数除以两位数，先看被除数的前两位，如果它比除数小就看被除数的前三位，除到哪一位就把商写在那一位上面，每次除后余数要比除数小。除法可以用被除数＝商×除数＋余数进行验算。根据商不变的规律，被除数和除数同时乘或者除以100，商不变，但是如果有余数，余数需要乘100，据此解题。 【解答】 918÷18＝51               463÷65＝7……8                784÷26＝30……4                  验算： 3300÷400＝8……100 验算： 【易错专练2】用竖式计算，带*的要验算。 546÷42＝        *453÷68＝        805÷35＝        *870÷50＝ 【答案】13；6……45 23；17……20 【分析】三位数除以两位数的笔算法则：从被除数的最高位除起，先用除数试除被除数的前两位数，如果它比除数小，再试除前三位数；除到被除数的哪一位，就在那一位上面写商。求出每一位商，余下的数必须比除数小。验算时，如果没有余数，就用商乘除数看是否等于被除数。如果有余数，就用商乘除数再加上余数看是否等于被除数。 【解答】546÷42＝13         453÷68＝6……45                 验算： 805÷35＝23                870÷50＝17……20                   验算： 【易错专练3】用竖式计算，加“★”的要验算。 272÷34＝    905÷18＝    ★298÷43＝ 【答案】8；50……5；6……40 【分析】除数是两位数的除法，先用被除数前两位上的数去除，如果它比除数小，就用前三位上的数去除，除到哪一位就在那一位上面写商，每次除后余下的数必须比除数小； 有余数除法的验算方法：被除数＝商×除数＋余数。 【解答】                     ★                验算 【易错专练4】计算下面各题，并验算。 512÷32        700÷200        430÷28 【答案】16；3……100；15……10 【分析】除数是两位数或三位数的除法的笔算法则：从被除数的高位除起，先看被除数的前两位或三位；如果前两位或三位比除数小，就要看前三位或前四位；除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；余下的数必须比除数小。没有余数的除法可以用商×除数＝被除数来验算；有余数的除法可以用商×除数＋余数＝被除数来验算。 【解答】512÷32＝16     700÷200＝3……100         验算：    验算：        430÷28＝15……10 验算： 【易错专练5】用竖式计算，带☆要验算。 843÷42＝    627÷78＝    ☆4400÷70＝    504÷39＝ 【答案】20……3；8……3；62……60；12……36 【分析】三位数除以两位数的法则： 判断商的位数：若被除数的前两位大于或等于除数，商是两位数；若被除数的前两位小于除数，商是一位数。 试商：把除数“四舍五入”成接近的整十数试商。“四舍”时初商可能偏大，需调小；“五入”时初商可能偏小，需调大。 计算与调商：用试商结果与除数相乘，被除数减乘积得余数，余数需小于除数。若余数≥除数，商调大；若乘积＞被除数，商调小。 验算：利用“被除数＝商×除数＋余数”（有余数）或“被除数＝商×除数”（无余数）验证。 【解答】843÷42＝20……3           627÷78＝8……3             4400÷70＝62……60                    504÷39＝12……36 验算：        易错点2：误认为试商后,用商和除数最接近的整十数相乘。 【易错专练1】先判断试商是否正确，再把不正确的调商。 【答案】见详解 【分析】三位数除以两位数试商时，将除数看成最接近的整十数或者个位是5的数，然后再来试商。在试商的过程中，要注意余数要比除数小。如果余数比除数大，说明商小了，把商增加再试商；如果用商与除数的积大于被除数，说明商大了，把商减少再试商。据此解答。 【解答】240÷26，将26看成25，试商9，9×26＝234，234＜240，商9正好，试商正确 ； 140÷16，7×16＝112，140－112＝28，28＞16，商小了，将商调大至8，8×16＝128，140－128＝12，12＜16，商8正好，题中试商7，试商错误； 150÷24，5×24＝120，150－120＝30，30＞24，商小了，将商调大至6，6×24＝144，150－144＝6，6＜24，商6正好，题中试商5，试商错误； 270÷34，9×34＝306，306＞270，将商调至8，8×34＝272，272＞270，试商7，7×34＝238，270－238＝32，32＜34，商7正好，题中试商9，试商错误。 正确试商如下： 计算结果如下： 【易错专练2】算一算。 【答案】（1）4……5 （2）2……9 （3）8……6 （4）4……12 【分析】用竖式计算时，商要与被除数的相同位数对齐。被除数的前两位大于或等于除数时，商是两位数。被除数的前两位小于除数时，商是一位数。利用 “四舍五入”法把除数看作和它接近的整十数试商，要根据除数个位上的数进行判断商是否合适，注意余数要比除数小。 【解答】                       【易错专练3】先说说把除数看作多少来试商，再算一算。              【答案】2……16；4……21；8……19；7……29 【分析】两三位数除以两位数：把除数看作和它接近的整十数试商，先用被除数的前两位除以除数，如果被除数前两位比除数小，就用前三位除以除数，初商偏大要调小，初商偏小要调大。 多位数的有余数除法运算；三位数除以两位数时，需要从被除数的最高位除起，先用除数试除被除数的前两位；如果被除数的前两位比除数小，再试除多一位数。除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商；对于有余数的除法，还需明确每次除后余下的数必须比除数小。 【解答】把32看成30试商； 把29看成30试商； 把51看成50试商； 把87看成90试商； 【易错专练4】根据试商情况，说出各题应商几。 【答案】3；2；4；5 【分析】除数不是整十数，为了能用乘法口诀试商，利用四舍五入的方法将除数变成整十数进行，试出来的商在计算后，可能会出现商大或者商小的情况，如果商大了则商减一后再进行计算，商小了就商加一再进行计算，如果还是大（或小）则重复这个流程直到找到合适的商即可。 【解答】 根据试商的结果发现算出来的数是92＞88，商大了，则商减一后继续试商，也就是商3，商3后发现23×3＝69，69＜88； 根据试商的结果发现算出来的数是72＞67，商大了，则商减一后继续试商，也就是商2，商2后发现24×2＝48，48＜67； 根据试商的结果发现算出来的数是160＞156，商大了，则商减一后继续试商，也就是商4，商4后发现32×4＝128，128＜156； 根据试商的结果发现算出来的数是318＞300，商大了，则商减一后继续试商，也就是商5，商5后发现53×5＝265，265＜300。 易错点3：在计算除数是两位数的除法时试商错误。 【易错专练1】把除数34看作（ ）试商，除数变（ ），商容易偏（ ）若商不合适，调商时要调（ ）一些。（填“大”或“小”） 【答案】30 小 大 小 【分析】除数是两位数的除法在进行试商时，可把除数看作是和它接近的整十数来试商，如果除数偏大，则商偏小，需要将商调大；如果除数偏小，则商偏大，需要将商调小，据此解决。 【解答】把除数34看作30试商，除数变小，商容易偏大若商不合适，调商时要调小一些。 【易错专练2】计算289÷73时，可以把73看作（ ）来试商，商偏（ ），要将商调（ ）。4□3÷49，要使商的末尾有0，□里可以填（ ）。 【答案】70 大 小 9 【分析】除数是两位数的除法在进行试商时，可把这个数看作是和它接近的整十数来试商，如果除数偏大，则商偏小，如果除数偏小，则商偏大。要使4□3÷49，要使商的末尾有0，被除数的前2位要大于或等于除数，所以□里可以填9。 【解答】计算289÷73时，可以把73看作70来试商，商偏大，要将商调小。4□3÷49，要使商的末尾有0，□里可以填9。 【易错专练3】在算式中，可以把除数48看作（ ）试商比较简便，如果商是一位数，□里最大填（ ）；如果商是两位数，□里最小填（ ）。 【答案】50 4 5 【分析】三位数除以两位数试商时，把两位数看成与它接近的整十数，再计算； 三位数除以两位数，如果被除数的前两位大于等于除数，商是两位数，如果被除数的前两位小于除数，商是一位数。 【解答】在算式中，可以把除数48看作50试商比较简便，如果商是一位数，□4＜48，□里最大填4；如果商是两位数，□4＞48，□里最小填5。 【点评】熟练掌握三位数除以两位数的计算方法是解答的关键。 【易错专练4】计算342÷43时，把43看作（ ）来试商，初商（ ），商（ ）与43相乘得（ ），比342大，说明初商大了，应改商为（ ）。 【答案】40 8 8 344 7 【分析】除数43最接近整十数40，所以把43看作40，而40与8的积是320最接近342，所以初商是8，43与8的积是344，发现344比被除数大，所以商8偏大，应把8调小，改为商7。 【解答】计算342÷43时，把43看作40来试商，初商8，商8与43相乘得344，比342大，说明初商大了，应改商为7。 【点评】三位数除以两位数，试商时将除数看作最接近它的整十数，确定商的大致范围，再来计算确定。 【易错专练5】把“偏大”或“偏小”填入下面括号里。 （1）计算276÷33时，把除数看成30试商，商（ ）了。 （2）计算288÷36时，把36看成40试商，商（ ）了。 （3）用“四舍”法把除数看成整十数来试商，商容易（ ）；用“五入”法把除数看成整十数来试商，商容易（ ）。 【答案】（1）偏大 （2）偏小 （3）偏大 偏小 【分析】除数是两位数的除法试商时，把除数看成和它接近的整十数进行试商，如果把除数运用四舍法看成整十数，把除数看小了，初商可能偏大，需要把商调小；同理如果把除数用五入法看成整十数，那么除数看大了，初商可能偏小，需要把商调大。据此解答。 【解答】（1）计算276÷33时，把除数看成30试商，把除数看小了，商偏大了。 （2）计算288÷36时，把36看成40试商，把除数看大了，商偏小了。 （3）用“四舍”法把除数看成整十数来试商，商容易偏大；用“五入”法把除数看成整十数来试商，商容易偏小。 易错点4：对商不变规律的理解和应用错误。 【易错专练1】两个数相除的商是9，余数是2，如果被除数和除数都扩大到原来的10倍，商是（ ），余数是（ ）。 【答案】9 20 【分析】在有余数的除法里，当被除数和除数同时扩大相同的倍数（0除外）时，商不变，但余数会跟着扩大相同的倍数。原来的商是9、余数是2，现在被除数和除数都扩大到原来的10倍，因此商保持不变，还是9；余数扩大到原来的10倍。 【解答】被除数和除数都扩大到原来的10倍，商保持不变，余数扩大到原来的10倍。 2×10＝20 两个数相除的商是9，余数是2，如果被除数和除数都扩大到原来的10倍，商是9，余数是20。 【易错专练2】（、均大于零），将和同时扩大为原来的10倍，商是（ ），余数是（ ）。 【答案】13 60 【分析】被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），此时商不变，余数也乘或除以这个数；所以A÷B＝13……6把被除数和除数同时扩大为原来的10倍，商不变，余数乘10即可，据此填空。 【解答】根据分析可得： A÷B＝13……6，A和B同时扩大为原来的10倍，商不变，余数乘10 6×10＝60 所以A÷B＝13……6（、均大于零），将和同时扩大为原来的10倍，商是13，余数是60。 【易错专练3】已知☆÷△＝490，那么：（ ），（ ）。 【答案】490 70 【分析】商不变的规律：被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变。 商的变化规律：除数不变，被除数除以几（0除外），商也除以几。据此解答。 【解答】在☆÷△＝490中，被除数☆除以10，除数△也除以10，即被除数和除数同时除以10，所以商不变。490。 在☆÷△＝490中，除数△不变，被除数☆除以7，所以商也会除以7。490÷7＝70。 已知☆÷△＝490，那么：490，70。 【易错专练4】根据每组第一个式子的结果，直接写出下面的结果。 130×30＝3900    480÷40＝12 130×60＝（ ）    48÷4＝（ ） 130×90＝（ ）    4800÷400＝（ ） 【答案】7800 12 11700 12 【分析】根据积的变化规律：两个因数相乘（0除外），如果一个因数不变，一个因数扩大到原来的几倍或缩小为原来的几分之一，积也扩大到原来的几倍或缩小为原来的几分之一； 在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；据此解答即可。 【解答】130×30＝3900    480÷40＝12 130×60＝7800    48÷4＝12 130×90＝11700   4800÷400＝12 【易错专练5】两个数相除的商是60，如果被除数和除数同时乘2，商是（ ）；如果被除数乘2，除数不变，商是（ ）。 【答案】60 120 【分析】商的变化规律：被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），商就除以几或乘几；除数不变，被除数乘几或除以几，商就乘几或除以几；被除数和除数都乘或者除以相同的数（0除外），商不变。据此解答。 【解答】 两个数相除的商是60，如果被除数和除数同时乘2，商是（60）；如果被除数乘2，除数不变，商是（120）。 易错点5：解决路程、价格问题时，对数量关系理解错误。 【易错专练1】甲城到乙城的铁路线长800千米，一列火车晚上6时从甲城出发，每小时行驶180千米，当天晚上11时能到乙城吗？ 【答案】能到达 【分析】由题意得，一列火车晚上6时从甲城出发，求当天晚上11时能否到达乙城，可以先用11时减去6时算出经过了多长时间。这列火车每小时行驶180千米，直接用180乘上前面的得数算出这列火车一共可以行驶多少千米。最后再与800千米比较大小即可。 【解答】11时－6时＝5小时 180×5＝900（千米） 900千米＞800千米 答：这列火车在当天晚上11时能到达乙城。 【易错专练2】李叔叔比王阿姨少花了多少钱？ 【答案】5600元 【分析】王阿姨批发了30台单价为560元的点读机，用560×30求出王阿姨花的钱；李叔叔批发了80台单价为140元的复读机，用140×80求出李叔叔花的钱；再用王阿姨花的钱减李叔叔花的钱，即可求出李叔叔少花的钱，据此列式解答。 【解答】560×30－140×80 ＝16800－11200 ＝5600（元） 答：李叔叔比王阿姨少花了5600元。 【易错专练3】新乐超市购进55台豆浆机，每台豆浆机的批发价是150元。 原价：230元/台    促销价：199元/台 （1）新乐超市购进这些豆浆机共花多少元？ （2）当豆浆机在卖出40台后，超市开始搞促销活动，结果全部销售完。超市一共赚了多少元？ 【答案】（1）8250元 （2）3935元 【分析】（1）根据题意，已知新乐超市购进55台豆浆机，每台豆浆机的批发价是150元。用150乘55，就是新乐超市购进这些豆浆机共花多少元，列式计算即可。 （2）先用230乘40，求出前40台豆浆机的价格，用55减去40，求出剩下的台数，再用199乘剩下的台数，就是剩下的豆浆机卖的钱数；最后减去总进价，就是超市一共赚了多少元，列式计算即可。 【解答】根据分析可知： （1）150×55＝8250（元） 答：新乐超市购进这些豆浆机共花8250元。 （2）230×40＋199×（55－40）－8250 ＝9200＋2985－8250 ＝12185－8250 ＝3935（元） 答：超市一共赚了3935元。 【易错专练4】某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）。 （1）李叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月两次。他选择哪种方式更划算？ （2）一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？ 【答案】（1）方式二 （2）15次 【分析】（1）分别计算出两种方式的实际钱数，比较即可。一年有12个月，方式一：单价×数量＝总价，每月次数×月数＝总次数，单价×总次数＝实际钱数；方式二：每次另外收费钱数×总次数，然后再加上240元的会员费是实际钱数。 （2）两种方式，游泳次数相同，每次相差16元，240元里面有几个16元，就有几次。 【解答】（1）方式一：30×（12×2） ＝30×24 ＝720（元） 方式二：240＋14×（12×2） ＝240＋14×24 ＝240＋336 ＝576（元） 720＞576 答：他选择方式二更划算。 （2）240÷（30－14） ＝240÷16 ＝15（次） 答：一年内游泳达到15次时，两种付费方式所用钱数相等。 【易错专练5】“读万卷书，不如行万里路”。暑假，妙想一家三口坐高铁从长沙去北京旅游，全程约1473千米。 （1）他们乘坐上午8：00的高铁去北京，平均每小时行驶245千米，当他们到达北京时，应该是（    ）。 A．旭日东升 B．艳阳高照 C．夕阳落下 D．满天繁星 （2）他们一家三口来回都是购买高铁二等座（649元/张，小学生半价），购买车票一共花了多少元？ （3）他们计划全家每天的住宿费是288元，如果住5个晚上，1500元够吗？ 【答案】（1）B （2）3245元 （3）够 【分析】（1）用长沙到北京站的总路程除以平均每小时行驶的速度，估算出长沙到北京站所用的时间，再根据结束时间＝开始时间＋经过的时间，求出高铁到达北京站的时间，根据高铁到达北京站的时间，即可解答。 （2）根据题意，小学生票半价是单程票价，往返就等于一张成人票价，用649×2，求出两个成人的单程票价，再用两个成人的单程票价乘2，求出两个成人的往返票价，然后用两个成人的往返票价加上一张成人票价，即可求出购买车票一共花了多少元。 （3）用每天的住宿费用乘住宿的天数，求出住宿的总费用，再用住宿的总费用与1500元比较，即可解答。 【解答】（1）1473÷245≈1500÷250＝6（小时） 8时＋6小时＝14时 14时正是艳阳高照，当他们到达北京时，应该是艳阳高照。 故答案为：B （2）649×2×2＋649 ＝1298×2＋649 ＝2596＋649 ＝3245（元） 答：购买车票一共花了3245元。 （3）288×5＝1440（元） 1440＜1500 答：1500元够。 专题七生活中的负数 易错点1：负数的意义理解不清。 【易错专练1】我国古代数学著作《九章算术》中提到“以卖（收入钱）为正，则买（支出钱）为负”，照此规定，收入15元记作（ ）元，支出7元记作（ ）元。 【答案】﹢15 ﹣7 【分析】题目中提到《九章算术》中“以卖（收入钱）为正，则买（支出钱）为负”，这是在规定正负数的表示意义：收入的钱数用正数表示，支出的钱数用负数表示。那么收入15元记作﹢15元；支出7元记作﹣7元。 【解答】收入的钱数用正数表示，支出的钱数用负数表示。 收入15元记作﹢15元，支出7元记作﹣7元。 【易错专练2】海平面的高度记作0米。泰山主峰玉皇顶比海平面高1545米，可以记作（ ）米。中国“奋斗者”号潜水器能下潜到海平面下10909米，可记作（ ）米。 【答案】﹢1545/1545 ﹣10909 【分析】根据正负数的意义，高于海平面的高度用正数表示，低于海平面的深度用负数表示。题目中已明确海平面高度记作0米，因此泰山主峰玉皇顶的高度应记作正数，“奋斗者”号潜水器的下潜深度应记作负数。正数是在数的前面加上正号“﹢”，正号可以省略不写，负数是在数的前面加上负号“﹣”。 【解答】由分析可得： 海平面的高度记作0米。泰山主峰玉皇顶比海平面高1545米，可以记作（﹢1545或1545）米。中国“奋斗者”号潜水器能下潜到海平面下10909米，可记作（﹣10909）米。 【易错专练3】一艘潜水艇在水下90m处，记作﹣90m，一头鲸鱼在潜水艇上方30m处，鲸鱼在水下的位置记作（ ）m。 【答案】﹣60 【分析】把海平面的高度记作0m，低于海平面记为负，那么高于海平面就记为正；据此解答即可。 【解答】90﹣30＝60（米） 一艘潜水艇在水下90m处，记作﹣90m，一头鲸鱼在潜水艇上方30m处，鲸鱼在水下的位置记作﹣60m。 【易错专练4】如图是某路全路段行驶标志牌。如果通过本路段车辆的车速高于规定部分表示为正数，那么一辆汽车通过的车速为46千米/时，可以记作（ ）千米/时；而另一辆车辆通过的车速为35千米/时，可以记作（ ）千米/时。 【答案】﹢6/6 ﹣5 【分析】正数、负数表示两种相反意义的量。如果规定通过本路段车辆的车速为40千米/时，超过规定部分记作正，则低于规定部分就记作负。 【解答】高于规定车速：46－40＝6（千米/时） 低于规定车速：40－35＝5（千米/时） 如果通过本路段车辆的车速高于规定部分表示为正数，那么一辆汽车通过的车速为46千米/时，可以记作（﹢6）千米/时；而另一辆车辆通过的车速为35千米/时，可以记作（﹣5）千米/时。 【易错专练5】如果妙想向东走80米，记作﹢80米，那么她向西走60米，记作（ ）；如果妙想先向东走40米，再向西走60米，那么这时妙想的位置记作（ ）。 【答案】﹣60米 ﹣20米 【分析】向东走记为正数，那么向西走就应记为负数，向西走60米，记为﹣60米。先向东走40米，再向西走60米，那么此时在出发点西边的20米处，应记为负数，因为在出发点西边20米处，所以记为﹣20米。 【解答】60－40＝20（米） 如果妙想向东走80米，记作﹢80米，那么她向西走60米，记作﹣60米；如果妙想先向东走40米，再向西走60米，那么这时妙想的位置记作﹣20米。 易错点2：负数的读写错误。 【易错专练1】负二点七写作（ ），﹢读作（ ）。 【答案】﹣2.7 正四分之三 【分析】读正、负数时，先读正、负号，再读正、负号后面的数；写正、负数时，先写正、负号，再写正、负号后面的数，据此解答即可。 【解答】负二点七写作：﹣2.7 ﹢读作：正四分之三 二点七写作﹣2.7，﹢读作正四分之三。 【点评】明确正负数的读写是解答本题的关键。 【易错专练2】﹢6读作（ ），﹣7读作（ ），零下三十摄氏度写作（ ）。 【答案】正六 负七 ﹣30℃ 【分析】根据正负数的读法：（1）写正数时，带“﹢”或省略“﹢”两种形式都可以，但是读正数时，带“﹢”的要读出“正”字；省略“﹢”的，这个“正”字就省略不读。（2）写负数时，要写出“﹣”，读负数时也要读出“负”字。 【解答】带“﹢”的要读出“正”字，所以﹢6读作：正六； 读负数时要读出“负”字，所以﹣7读作：负七； 零上气温为正数，则零下气温为负数，根据负数的读写方法读出每个数，然后在后面加上摄氏度即可。所以零下三十摄氏度写作：﹣30℃。 【点评】此题主要考查了正、负数的读写，要熟练掌握。 【易错专练3】你知道吗？珠穆朗玛峰比海平面高8844.43米，记作：﹢8844.43米，读作：（ ）米，那么吐鲁番盆地比海平面低155米，应记作：（ ）米，读作：（ ）米。 【答案】正八千八百四十四点四三 ﹣155 负一百五十五 【分析】小数的读法：按照整数的读法读出整数部分，小数点读作“点”，再依次读出小数部分每个数字。高于海平面的，用“﹢”表示；低于海平面的，用“﹣”表示。读正数时，要在数字前面加上“正”字；读负数时，要在前面加上“负”字。据此解答。 【解答】﹢8844.43米，读作：正八千八百四十四点四三米。 吐鲁番盆地比海平面低155米，应记作：﹣155米，读作：负一百五十五米。 【点评】本题考查的是对正负数意义、读法的理解与掌握。 【易错专练4】神舟飞船在飞行过程中，向阳面舱外温度能达到100℃，背阴面舱外温度能达到零下100℃，可谓“冰火两重天”，而舱内生物实验箱内的温度可以控制在零上23℃左右。 零下100℃记作（ ）℃           零上23℃记作（ ）℃ 【答案】﹣100 ﹢23/23 【分析】负数和正数可以表示具有相反意义的量，零下温度一般用负数表示，零上温度一般用正数表示，正数前面的“﹢”可以省略不写。 【解答】零下100℃记作﹣100℃ 零上23℃记作﹢23℃（或23℃） 【易错专练5】读一读，写一写 ﹣3读作：（ ）    负七十写作：（ ） ﹣2.5读作：（ ）   负五十八写作：（ ） ﹢70读作：（ ）   负零点八写作：（ ） 7.3读作：（ ）   正二十三写作：（ ） 【答案】负三 ﹣70 负二点五 ﹣58 正七十 ﹣0.8 七点三 ﹢23/23 【解答】负数的读法是：先读“负”，再读数；正数的读法是：在读正数时，数的前面有“﹢”号时，一定要读出“正”字；省略“﹢”号的，这个“正”字也要省略不读。 负数的写法是：先写“﹣”号，然后再写后面的数字，数字要用阿拉伯数字进行书写。 正数的写法是：在写正数时，数字前写﹢”号或省略“﹢”号两种形式都可以。 ﹣3读作：负三             负七十写作：﹣70 ﹣2.5读作：负二点五       负五十八写作：﹣58 ﹢70读作：正七十          负零点八写作：﹣0.8 7.3读作：七点三           正二十三写作：﹢23 易错点3：在数轴上表示错误。 【易错专练1】写出点、、、、、表示的数。 【答案】见详解 【分析】图中数轴的单位长度是1；原点左边的为负数，原点右边的为正数，在数轴上的数从左到右依次变大。据此解答。 【解答】 【点评】明确数轴的单位长度，掌握正、负数在数轴上的位置是解题的关键。 【易错专练2】 如图的数轴中，表示﹣0.5的是（ ），表示﹢4.5的是（ ），A点表示（ ），C点表示（ ）。 【答案】B D ﹣4.5 ﹢1.5 【分析】一个单位长度表示1，0的右边表示正数，0的左边表示负数，据此即可解答。 【解答】如图的数轴中，表示﹣0.5的是B，表示﹢4.5的是D，A点表示﹣4.5，C点表示 ﹢1.5。 【点评】本题主要考查学生对正负数知识的掌握和灵活运用。 【易错专练3】在□里填上合适的数。 【答案】﹣2；0.3；0.9；1.5 【分析】先确定数轴的刻度单位，再根据每个方框的位置计算数值：观察数轴可知，0到1之间被平均分成10小格，每小格代表0.1。最左边的方框在﹣1的左边1个单位长度处，所以是﹣2；0右边第3小格的方框，表示3个0.1，即数值是0.3；0右边第9小格的方框，表示9个0.1，即数值是0.9；1右边第5小格的方框，表示15个0.1，即数值是1.5。 【解答】由分析可得，所填数从左往右依次是﹣2，0.3，0.9，1.5。 在□里填上合适的数。 【易错专练4】在□里填合适的数。 【答案】；0.6；1.4 【分析】负数在0的左边，正数在0的右边。由题目可知，负数﹣2和0中间的位置为﹣1，所以第一个箭头所指的数是﹣1；把数轴上每个单位长度平均分成10份，其中一小格表示0.1，第二个箭头在0右侧第6个小格处，表示0.6；第三个箭头在1右侧第4个小格处，表示1.4，据此填空。 【解答】根据分析： 【易错专练5】写出下面A，B，C，D各代表的数。 【答案】﹣4；﹣3；1；3 【分析】观察数轴，每格表示1，正数在0的右边，负数在0的左边，据此填空。 【解答】 易错点4：负数大小比较错误。 【易错专练1】有甲、乙两个冷库，甲冷库的温度是﹣12摄氏度，乙冷库的温度是﹣20摄氏度，（ ）冷库的温度较低。 【答案】乙 【分析】正数＞0＞负数，比较两个负数的大小，看负号后面的数，负号后面的数越大，这个负数反而越小，温度越低；据此解答。 【解答】﹣12＞﹣20，所以乙冷库的温度较低。 【易错专练2】某小学男子篮球队成员的平均身高是160厘米。如果乐乐的身高是165厘米记作“﹢5”，则贝贝的身高是“﹣2”，天天的身高是“﹢3”，航航的身高是“﹣4”。这四位同学相比，身高最低的是（ ）（填姓名）。 【答案】航航 【分析】此题主要用正负数来表示意义相反的量，因此身高大于平均身高160厘米的为正，则小于平均身高160厘米的为负；负号后面的数字越大，则身高就越低；正号后面的数字越大，则身高就越高，依此比较即可解答。 【解答】根据分析可知： ﹢5＞﹢3＞﹣2＞﹣4 则这四个学生的身高从低到高排列的是：航航＜贝贝＜天天＜乐乐 所以身高最低的是航航。 【易错专练3】同一天下列城市的气温情况如下表。 海南 北京 重庆 大连 长春 最低气温 20℃ 1℃ 8℃ －8℃ －13℃ 最高气温 25℃ 6℃ 15℃ 4℃ 2℃ （1）这一天（ ）的气温最高，（ ）的气温最低。 （2）把各个城市的最低气温从低到高排列出来 （ ）＜（ ）＜（ ）＜（ ）＜（ ） （3）把各个城市的最高气温从高到低排列出来。 （ ）＞ （ ）＞ （ ）＞ （ ）＞ （ ） 【答案】（1） 海南 长春 （2）－13℃ －8℃ 1℃ 8℃ 20℃ （3）25℃ 15℃ 6℃ 4℃ 2℃ 【分析】正数比较大小，先比较数位，数位相同时，从高位起，依次比较相同数位上的数。负数比较大小，负号后面的数值大的反而小，负号后面的数值小的反而大。据此比较各个城市最高气温大小以及最低气温大小。 【解答】（1）这一天海南的气温最高，长春的气温最低。 （2）－13℃＜－8℃＜1℃＜8℃＜20℃ （3）25℃＞15℃＞6℃＞4℃＞2℃ 【点评】本题考查正负数比较大小的方法的实际应用，负数比较大小和正数比较大小正好是相反的。 【易错专练4】根据某文具店去年下半年盈利情况完成下列各题。 七月份：盈利540元          八月份：盈利700元 九月份：亏损100元          十月份：亏损200元 十一月份：盈利300元        十二月份：盈利450元 （1）根据上面的信息完成下表。 月份 七 八 九 十 十一 十二 盈亏（元） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （2）（ ）月份收入最多，（ ）月份收入最少。 （3）文具店去年下半年共收入（ ）元。 【答案】（1）﹢540 ﹢700 ﹣100 ﹣200 ﹢300 ﹢450 （2）八 十 （3）1690 【分析】（1）此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：盈利记为正，则亏损就记为负，直接得出结论即可。 （2）当盈利最大时，则这个月的收入最多，﹢700＞﹢540＞﹢450＞﹢300；当亏损最大时，则这个月的收入最少，﹣200＜﹣100；据此解答； （3）要求文具店去年下半年共收入多少元，用七、八、十一、十二月共盈利的钱数减去九、十月共亏损的钱数，据此解答。 【解答】（1） 月份 七 八 九 十 十一 十二 盈亏（元） ﹢540 ﹢700 ﹣100 ﹣200 ﹢300 ﹢450 （2）八月份收入最多，十月份收入最少。 （3）540＋700＋300＋450 ＝1240＋750 ＝1990（元） 100＋200＝300（元） 1990－300＝1690（元） 【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负。 【易错专练5】甲、乙两个冷库，甲冷库温度﹣16摄氏度，乙冷库温度﹣20摄氏度，（ ）冷库的温度低一些，相差（ ）摄氏度。 【答案】乙 4 【分析】要求哪个冷库温度低一些，也就是求哪个负数小一些； 比较两个负数的大小，直接比较数字，数字大的反而小；用20减去16即可求出相差多少摄氏度。据此解答即可。 【解答】20＞16，即﹣20＜﹣16，则乙冷库的温度低一些； 20－16＝4，两个冷库相差4摄氏度。 易错点5：实际应用混淆。 【易错专练1】某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃，若该地地面温度为21℃，高空某处温度为﹣9℃，求此处的高度是多少千米？ 【答案】5千米 【分析】因高空温度更低，用地面温度减去高空温度，得到气温总共降低的度数。已知地面温度为21℃，高空温度为﹣9℃，21℃距0℃为21℃，﹣9℃距0℃为9℃。21＋9＝30℃，即从地面到该高空处，气温一共降低了30℃。高度每增加1千米，气温降低6℃，说明气温降低6℃对应高度增加1千米。现在气温共降低30℃，则高度增加的千米数为：30÷6＝5（千米）。 【解答】21℃距0℃为21℃，﹣9℃距0℃为9℃。 21＋9＝30（℃） 30÷6＝5（千米） 答：此处的高度是5千米。 【易错专练2】学校有6名同学参加海洋知识竞赛，老师以80分作为标准，将他们的成绩简记为﹢3分，﹢10分，0分，﹢6分，﹣2分，﹣5分。 （1）6位同学中的最高分和最低分相差多少分？ （2）这几位同学的平均成绩是多少分？ 【答案】（1）15分 （2）82分 【分析】（1）正数、负数表示两种相反意义的量。如果规定以80分作为标准，那么超过80分的记作正，低于80分的就记作负。 正数的数字越大，数值就越大；负数的数字越大，数值反而就越小；负数都比0小，正数都比0大，正数都比负数大。 根据正、负数大小比较的方法比较他们的成绩简记，得出﹢10分最高，﹣5分最低；用标准成绩加上10分，求出最高分，用标准成绩减去5分，求出最低分，再相差，即可求出最高分和最低分相差的分数。 （2）先求出每位同学的成绩，再相加，即是6位同学的总成绩，用总成绩除以6，求出他们的平均成绩。 【解答】（1）﹢10＞﹢6＞﹢3＞0＞﹣2＞﹣5 最高分为：80＋10＝90（分） 最低分为：805＝75（分） 相差：9075＝15（分） 答：6位同学中的最高分和最低分相差15分。 （2）80＋3＝83（分） 80＋10＝90（分） 80＋0＝80（分） 80＋6＝86（分） 802＝78（分） 805＝75（分） （83＋90＋80＋86＋78＋75）÷6 ＝492÷6 ＝82（分） 答：这几位同学的平均成绩是82分。 【易错专练3】某仓库周一到周五的货物进出记录如下（﹢表示进库，﹣表示出库，单位：吨）：﹢8，﹣3，﹢5，﹣6，﹢4 （1）周一结束后，仓库货物比原来多了还是少了？多（少）多少吨？ （2）周五结束时，仓库共有货物20吨，求仓库原有的货物吨数。 【答案】（1）多了；8吨 （2）12吨 【分析】（1）正数、负数表示两种相反意义的量。如果规定进库记作正，那么出库就记作负。从货物进出记录中找出周一的记录，根据正负数的意义解答。 （2）把五天进库的吨数相加，得出五天的进库量；把五天出库的吨数相加，得出五天的出库量； 如果五天的进库量大于出库量，说明周五结束时货物吨数是增加的，用减法求出增加的吨数，再用周五结束时仓库货物的吨数减去增加的吨数，即是原有货物吨数； 如果五天的进库量小于出库量，则说明周五结束时货物吨数是减少的，用减法求出减少的吨数，再用周五结束时仓库货物的吨数加上减少的吨数，即是原有货物吨数。 【解答】（1）周一的货物进出记录为：﹢8，表示进库8吨。 答：周一结束后，仓库货物比原来多了，多了8吨。 （2）五天共进库：8＋5＋4＝17（吨） 五天共出库：3＋6＝9（吨） 17＞9，进库比出库多； 周五结束时，货物增加了：17－9＝8（吨） 原有货物：20－8＝12（吨） 答：仓库原有的货物12吨。 【易错专练4】小红乘坐1路公交车上学，她上车时车上一共有15人，途中经过4个停靠站，第一站上车4人，下车1人；第二站上车5人，下车2人；第三站上车3人，下车6人；第四站上车7人，下车3人，到实验小学站下车，这一站上车0人，下车10人。 （1）如果上车人数用正数表示，请你根据以上停息，将这个过程记录在下表。    停靠站 第一站 第二站 第三站 第四站 实验小学站 上下车人数 （人） 上车 下车 上车 下车 上车 下车 上车 下车 上车 下车 （2）从小红上车到下车，1路公交车一共上车多少人？一共下车多少人？ （3）小红下车后，公交车开往下一站时，车上还有多少人？ 【答案】（1）见详解；（2）上车人数：19人；下车人数：22人；（3）12人 【分析】（1）由题意可得，第一站上车4人，下车1人；第二站上车5人，下车2人；第三站上车3人，下车6人；第四站上车7人，下车3人，到实验小学站下车，这一站上车0人，下车10人，据此填空即可； （2）分别将上车人数和下车人数单独加起来即可； （3）根据车到第一站的人数有15人，上车用加法，下车用减法计算即可。 【解答】（1）   停靠站 第一站 第二站 第三站 第四站 实验小学站 上下车人数 （人） 上车 下车 上车 下车 上车 下车 上车 下车 上车 下车 4 1 5 2 3 6 7 3 0 10 （2）上车人数：4＋5＋3＋7＋0＝19（人） 下车人数：1＋2＋6＋3＋10＝22（人） （3）15＋4－1＝18（人） 18＋5－2＝21（人） 21＋3－6＝18（人） 18＋7－3＝22（人） 22－10＝12（人） 答：1路公交车一共上车19人，1路公交车一共下车22人，车上还有12人。 【点评】此题考查了负数的意义，关键是明确车到每一站时车上的人数即可。 【易错专练5】跳绳是一种古老的体育运动，它集运动性、技巧性与趣味性于一体，深受人民群众喜爱。体育课上，四年级同学进行跳绳测试，以达到满分（160下）为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示。第一小组的成绩如下表： 姓名 张立 黄国 林杰 张品 周旭 李阳 成绩/下 11 ﹣8 ﹣15 0 8 ﹣3 （1）这6个同学中，有（    ）人没有达到满分。 （2）成绩最好的同学是（    ），最差的同学是（    ）。 （3）这6个人分别跳了多少下？ 【答案】（1）3 （2）张立；林杰 （3）张立171下，黄国152下，林杰145下，张品160下，周旭168下，李阳157下 【分析】（1）根据题目可知，以达到满分（160下）为标准，不足的个数用负数表示，表格中的负数有﹣8、﹣15和﹣3； （2）根据题目可知，超过的个数用正数表示，那么用正数表示的数越大，说明超过的个数越多；不足的个数用负数表示，说明低于标准的越多，负号后面跟着的数越大； （3）以160下为标准，用160加上11为张立跳的下数，用160减去8为黄国跳的下数，用160减去15为林杰跳的下数，0表示张品正好跳了160下，用160加上8为周旭跳的下数，用160减去3为李阳跳的下数；据此解答。 【解答】根据分析： （1）这6个同学中，有3人没有达到满分。 （2）正数中：11＞8，所以成绩最好的同学是张立；负数中：﹣3＞﹣8＞﹣15，所以最差的同学是林杰。 （3）张立：160＋11＝171（下） 黄国：160－8＝152（下） 林杰：160－15＝145（下） 张品：160下 周旭：160＋8＝168（下） 李阳：160－3＝157（下） 答：张立跳了171下，黄国跳了152下，林杰跳了145下，张品跳了160下，周旭跳了168下，李阳跳了157下。 专题八可能性 易错点1：确定事件与不确定事件判断错误。 【易错专练1】田田和贝贝在玩摸球游戏，他们规定摸到白球田田赢，摸到黑球贝贝赢。如果从1号箱中摸球，田田（ ）赢，贝贝（ ）赢；如果从2号箱摸球，则田田（ ）赢。（填“一定”“可能”或“不可能”） 【答案】一定 不可能 可能 【分析】根据题意可知，1号箱中全是白球，摸到的球一定是白球；2号箱中有黑球和白球，可能摸到黑球，也可能摸到白球，据此解答。 【解答】根据题意可知，摸到白球田田赢，摸到黑球贝贝赢，因为1号箱中全是白球，摸到的球一定是白球，2号箱中有黑球和白球，可能摸到黑球，也可能摸到白球，所以从1号箱中摸球，田田一定赢，贝贝不可能赢，从2号箱中摸球，田田可能赢。 【易错专练2】在横线里填“一定”“可能”或“不可能”。 （1）两个钝角的和 比一个周角大； （2）两个锐角的和 比一个平角小； （3）任意三位数乘最大的两位数，积 是四位数。 （4）相交的两条直线， 有2个交点。 【答案】（1）不可能 （2）一定 （3）可能 （4）不可能 【分析】（1）钝角是大于90°而小于180°的角，周角＝360°； （2）锐角是大于0°而小于90°的角，平角＝180°； （3）最大的两位数是99，用最小的三位数100和最大的三位数999分别去乘99，看积是几位数即可解答； （4）两条直线相交，产生一个交点。 【解答】（1）钝角是大于90°而小于180°的角，周角＝360°。180°＋180°＝360°，所以两个钝角的和不可能比一个周角大。 （2）锐角是大于0°而小于90°的角，平角＝180°。90°＋90°＝180°，所以两个锐角的和一定比一个平角小。 （3）100×99＝9900，999×99＝98901，所以任意三位数乘最大的两位数，积可能是四位数。 （4）相交的两条直线，不可能有2个交点。 【易错专练3】在括号里填上“一定”“可能”或“不可能”。 （1）暴雨如注，地面上（ ）有积水。 （2）大象生活在草原上，（ ）长期生活在水中。 （3）李叔叔爱买彩票，（ ）会中奖。 （4）在有余数的除法中，余数（ ）比除数小。 【答案】（1）一定 （2）不可能 （3）可能 （4）一定 【分析】一些事件的结果具有不确定性，用“可能”来进行描述。必然事件就是一定条件下一定能发生或者一定不会发生的事件，用“一定”或“不可能”进行描述。 【解答】（1）暴雨如注，地面上一定有积水。 （2）大象生活在草原上，不可能长期生活在水中。 （3）李叔叔爱买彩票，可能会中奖。 （4）在有余数的除法中，余数一定比除数小。 【点评】本题考查了事件的确定性与不确定性，要根据实际情况去判断。 【易错专练4】同时掷两枚骰子，用“可能”“不可能”或“一定”填空。 （1）两枚骰子的点数的和（ ）是1。 （2）两枚骰子的点数的和（ ）是单数，也（ ）是双数。 （3）两枚骰子的点数的和（ ）比12大。 【答案】（1）不可能 （2）可能 可能 （3）不可能 【分析】“一定”表示确定事件；“可能”表示不确定事件；“不可能”属于确定事件中的必然事件，结合两枚骰子的点数的和进行解答即可。 【解答】（1）两枚骰子的最小的点数是1，1＋1＝2，则两枚骰子的点数的和不可能是1。 （2）当骰子的点数是1，另一个点数是2时，1＋2＝3；当骰子的点数是3，另一个点数是3时，3＋3＝6；所以两枚骰子的点数的和可能是单数，也可能是双数。 （3）两枚骰子的点数最大是6，6＋6＝12，两枚骰子的点数的和最大是12，则两枚骰子的点数的和不可能比12大。 【点评】解答此题的关键是明确骰子的点数有1、2、3、4、5、6，再结合点数之和进行解答。 【易错专练5】看运动会，买门票，猜一猜。 （1）从（ ）号袋中不可能拿到体操比赛门票。 （2）从（ ）号袋中一定能拿到开幕式门票。 （3）从（ ）号袋中可能拿到乒乓球比赛门票。 （4）如果从②号袋中前3次拿到的都是开幕式门票，下一次会拿到（ ）。 【答案】（1）① （2）① （3）② （4）开幕式门票或乒乓球比赛门票或体操比赛门票 【分析】（1）①号袋中只有8张开幕式门票，没有体操比赛门票，所以从①号袋中不可能拿到体操比赛门票。 （2）①号袋中全部是开幕式门票，所以从①号袋中一定能拿到开幕式门票。 （3）②号袋中有2张乒乓球比赛门票，所以从②号袋中可能拿到乒乓球比赛门票。 （4）②号袋中有开幕式门票、乒乓球比赛门票和体操比赛门票，所以从②号袋中下一次会拿到开幕式门票或乒乓球比赛门票或体操比赛门票。 【解答】由分析可知： （1）从①号袋中不可能拿到体操比赛门票。 （2）从①号袋中一定能拿到开幕式门票。 （3）从②号袋中可能拿到乒乓球比赛门票。 （4）如果从②号袋中前3次拿到的都是开幕式门票，下一次会拿到开幕式门票或乒乓球比赛门票或体操比赛门票。 易错点2：可能性大小描述不准确。 【易错专练1】一个盒子里装10个红柑橘（湖北秭归特产）、6个黄柑橘、3个青柑橘，从中任意摸出一个，摸到（ ）柑橘的可能性最大，摸到（ ）柑橘的可能性最小。 【答案】红 青 【分析】可能性大小与物体数量多少有关，在总数中所占数量越多，摸出的可能性越大；所占数量越少，摸出的可能性越小。据此解答 【解答】10＞6＞3 所以摸到红柑橘的可能性最大，摸到青柑橘的可能性最小。 综上可知，一个盒子里装10个红柑橘（湖北秭归特产）、6个黄柑橘、3个青柑橘，从中任意摸出一个，摸到红柑橘的可能性最大，摸到青柑橘的可能性最小。 【易错专练2】袋子里有1个黄球，3个红球和6个白球，它们除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，有（ ）种可能，摸出（ ）球的可能性最大；要使摸出红球和白球的可能性相同，可以取出（ ）个白球。 【答案】3 白 3 【分析】分析题目，盒子里有几种颜色的球，则任意摸出1个球，就有几种可能；盒子里哪种颜色的球最多，则摸出这种颜色的球的可能性最大；要使摸出两种球的可能性相同，则这两种球的数量应该相等，据此解答。 【解答】6＞3＞1 6－3＝3（个） 袋子里有1个黄球，3个红球和6个白球，它们除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，有3种可能，摸出白球的可能性最大；要使摸出红球和白球的可能性相同，可以取出3个白球。 【易错专练3】笑笑妈妈买回了8个肉包、4个豆沙包和1个青菜包，这些包子从外观看完全一样。笑笑任意吃了一个，发现是青菜包，那么笑笑妈妈不可能吃到（ ）包，她吃到（ ）包的可能性比较大。 【答案】青菜 肉 【分析】因为青菜包只有1个已被吃完，所以妈妈无法吃到。剩余包子中，肉包（8个）比豆沙包（4个）多，因此妈妈吃到肉包的可能性更大。 【解答】由分析可知：笑笑妈妈买回了8个肉包、4个豆沙包和1个青菜包，这些包子从外观看完全一样。笑笑任意吃了一个，发现是青菜包，那么笑笑妈妈不可能吃到青菜包，她吃到肉包的可能性比较大。 【易错专练4】不透明袋子里装有3个红球、5个黄球和1个白球，这些球除颜色外其它完全相同，笑笑从中任意摸出1个球，摸到（ ）球的可能性最大；在红球和黄球数量不变的情况下，要想让摸到白球的可能性最大，至少要再放入（ ）个白球。 【答案】黄 5 【分析】可能性的大小与球的数量有关，哪种球的数量多则被摸到的可能性就大；不透明袋子里装有3个红球、5个黄球和1个白球，5＞3＞1，摸到黄球的可能性最大，摸到白球的可能性最小；要想让摸到白球的可能性最大，白球的数量应该最多，当白球的数量是6个时，它是最多的，那么至少放入6－1＝5个白球，据此解答即可。 【解答】根据分析：不透明袋子里装有3个红球、5个黄球和1个白球，这些球除颜色外其它完全相同，笑笑从中任意摸出1个球，摸到黄球的可能性最大；在红球和黄球数量不变的情况下，要想让摸到白球的可能性最大，至少要再放入5个白球。 【易错专练5】摸球游戏。（填序号） （1）从（ ）号盒子里摸球，一定摸到白球；从（ ）号盒子里摸球，不可能摸到白球。 （2）从（ ）号盒子里摸球，摸到白球的可能性比较大；两个人下棋，要公平地决定谁先下，应该从（ ）号盒子里摸球。 【答案】（1）② ① （2）④ ③ 【分析】（1）要想摸球一定摸到白球，那么盒子里只能有白球，满足条件的只有②号盒子；要想摸球不可能摸到白球，那么盒子里不能有白球，满足条件的只有①号盒子。 （2）要想摸到白球的可能性比较大，那么盒子里的白球数量必须比黄球数量多，满足条件的只有④号盒子；两个人下棋，要公平地决定谁先下，那么白球数量必须和黄球数量同样多，满足条件的只有③号盒子。 【解答】（1）从②号盒子里摸球，一定摸到白球；从①号盒子里摸球，不可能摸到白球。 （2）从④号盒子里摸球，摸到白球的可能性比较大；两个人下棋，要公平的决定谁先下，应该从③号盒子里摸球。 易错点3：混淆“可能性大小”与实际操作的“不确定性”。 【易错专练1】淘气用一枚硬币做了260次抛硬币实验，其中正面朝上的次数是127次，反面朝上的次数是133次。如果她再抛1次，那么这枚硬币（    ）。 A．不可能反面朝上 B．可能正面朝上也可能反面朝上 C．一定反面朝上 D．一定正面朝上 【答案】B 【分析】1枚硬币有1个正面和1个反面，所以不管抛出几次，正面和反面朝上的可能性都一样。 【解答】拋硬币正､反面的概率是相同的，所以如果将这枚硬币再抛1次，那么可能是正面朝上也可能是反面朝上。 故答案为：B 【易错专练2】在一个正方体的六个面上分别写上1～6这六个数字，甲、乙两人各抛30次，面朝上的数大于3甲赢，否则乙赢，在这个游戏中（    ）。 A．甲赢的可能性大 B．乙赢的可能性大 C．两人赢的可能性一样 【答案】C 【分析】根据题意，抛这个正方体时，每个面朝上的可能性是相等的，正方体的六个面上分别写上1~6这六个数字，其中大于3的数字有4、5、6，共3个，小于或等于3的数字有1、2、3，共3个，由此可知，抛这个正方体时，大于3和小于或等于3的概率是相等的，所以，在这个游戏中两人赢的可能性一样，据此解答即可。 【解答】在一个正方体的六个面上分别写上1～6这六个数字，甲、乙两人各抛30次，面朝上的数大于3甲赢，否则乙赢，在这个游戏中两人赢的可能性一样。 故答案为：C 【易错专练3】一个盒子里有同样大小的5个红球，3个黄球和2个白球，每次摸一个球，做好记录，再放回去，下列说法错误的是（    ）。 A．摸10次一定能摸到红球 B．摸到白球的可能性最小 C．第一次可能会摸到白球 D．摸10次也可能摸不到黄球 【答案】A 【分析】可能性的大小与事件的基本条件和发展过程等许多因素有关。当条件对事件的发生有利时，发生的可能性就大一些。当条件对事件的发生不利时，发生的可能性就小一些。 某些事件发生的可能性有大有小，对事件发生的可能性大小，可以用“一定”“经常”“可能”“偶尔”“不可能”等词语来描述。 【解答】A．摸球是随机事件，因为每次摸一个球再放回去，即使红球数量多，摸10次也“不一定”能摸到红球，该说法错误。 B．5＞3＞2，白球数量最少（2个），因此摸到白球的可能性最小，说法正确。 C．盒子里有白球，第一次摸球时“可能”摸到白球，说法正确。 D．摸球是随机的，摸10次“也可能”摸不到黄球（存在这种概率），说法正确。 所以说法错误的是选项A中的描述。 故答案为：A 【易错专练4】食品罐里原来有7颗糖果，其中4颗是草莓味的，2颗是奶油味的，1颗是薄荷味的，当小丽吃了1颗奶油味的、妈妈吃了1颗薄荷味的糖果后，爸爸从罐子里随便拿出了1颗，那么下面表达中正确的是（    ）。 A．爸爸拿到的一定是草莓味的。 B．爸爸拿到的可能是奶油味的。 C．爸爸拿到的可能是薄荷味的。 D．以上情况都不可能。 【答案】B 【分析】食品罐中有三种味道的糖果，小丽吃了1颗奶油味的，妈妈吃了1颗薄荷味的糖果，则食品罐中还剩4颗是草莓味的，1颗是奶油味的，没有薄荷味的，由此即可选择。 【解答】A．食品罐中还剩4颗是草莓味的，但还有1颗奶油味的，爸爸拿到不一定是草莓味的，不符合题意。 B．食品罐中还有1颗奶油味的，则爸爸拿到的可能是奶油味的，符合题意。 C．食品罐中没有薄荷味的，爸爸拿到的一定不是薄荷味的，不符合题意。 故答案为：B 【易错专练5】一个不透明的盒子里有4个质地、大小均相同的球，它们的颜色分别是红色、黄色、绿色、绿色。每次只能摸一个球，下列说法不正确的是（    ）。 A．摸到红球和黄球的可能性一样 B．一定摸到绿球 C．不可能摸到白球 D．摸到绿球可能性比黄球的大 【答案】B 【分析】将每种颜色球的个数比大小，数量多的可能性就大，数量一样的可能性就相等，即可做出选择。 【解答】A．由于盒子内红球和黄球的数量一致，所以摸到红球和黄球的可能性一样，A正确。 B．由于盒子内不全是绿球，所以不一定摸到绿球，B错误。 C．由于盒子内没有白球，所以不可能摸到白球，C正确。 D．由于盒子内有2个绿色的球，红球和黄球各有1个，所以摸到绿球比摸到黄色的可能性大，D正确。 故答案为：B 易错点4：可能性的实际应用中错误。 【易错专练1】三个小朋友蒙住眼睛，把手中的棋子随机放在一个方格里，谁能放到相应的方格里谁就赢了。你判断一下，谁赢的可能性最大？谁赢的可能性最小？ 【答案】杰杰赢得可能性最大，浩浩赢得可能性最小。 【分析】分析题目，首先利用数数的方法，分别数出“车”、“马”、“象”出现的次数；接下来就是根据出现次数的多少与赢的可能性大小的关系，进行分析，即可解答。 【解答】方格中是车有7个，方格中是象有1个，方格中是马有4个， 所以方格中是象最少，方格中是车最多。杰杰的棋子是车，伟伟的棋子是马，浩浩的棋子是象。 答：杰杰赢得可能性最大，浩浩赢得可能性最小。 【易错专练2】幸运转盘，欢乐年华。 联欢会上，同学们通过转转盘来决定参加做游戏还是表演节目。明明很想为同学们讲一个故事，小刚最喜欢做游戏了。请你告诉明明和小刚，他们分别应该转动几号转盘。 【答案】明明应该转动3号转盘，小刚应该转动1号转盘。 【分析】可能性大小的判断，从数量上分析，份数最多的，转到的可能性最大，份数最少的，转到的可能性最小，份数相等的，转到的可能性一样。明明想讲故事，就要选择写有“讲故事”份数最多的转盘；小刚喜欢做游戏，就要选择写有“做游戏”份数最多的转盘。 【解答】1号转盘有0份“讲故事”，2号转盘有1份“讲故事”，3号转盘有4份“讲故事”，，所以明明应该转动3号转盘； 1号转盘有8份“做游戏”，2号转盘有0份“做游戏”，3号转盘有1份“做游戏”，，所以小刚应该转动1号转盘。 答：明明应该转动3号转盘，小刚应该转动1号转盘。 【易错专练3】分别转动下面的转盘。 （1）每个转盘停止后，指针可能指向哪种颜色？ （2）转盘停止后，哪个转盘的指针指向蓝色的可能性最大？ 【答案】（1）图1指针可能指向蓝色，图2指针黄色、蓝色都有可能指向，图3指针可能指向蓝色，图4指针可能指向红色 （2）图1 【分析】（1）转盘停止后，指针可能指向占整个圆较多的颜色，如果两部分一样多，则都有可能；观察发现图1中蓝色部分比黄色部分占的更多，图2中蓝色和黄色部分一样多，图3中蓝色部分比黄色部分占的更多，图4中红色部分比蓝色和黄色都占的多； （2）哪个转盘中蓝色占的最多，指向的可能性就最大；据此解答。 【解答】（1）图1中蓝色比黄色占的多，指针可能指向蓝色 图2中黄色和蓝色占的一样多，指针黄色、蓝色都有可能指向 图3蓝色比黄色多，指针可能指向蓝色 图4红色比蓝色和黄色多，指针可能指向红色 答：图1指针可能指向蓝色，图2指针黄色、蓝色都有可能指向，图3指针可能指向蓝色，图4指针可能指向红色。 （2）图1和图3都是蓝色比黄色多，但是观察发现图1中的黄色比图3中的黄色少，那么图1中的蓝色比图3中的蓝色更多。 答：图1转盘的指针指向蓝色的可能性最大。 【易错专练4】按要求在下面各转盘上填上“红”“黄”或“白”。    【答案】见详解 【分析】可能性大小的判断，从数量上分析，哪个颜色区域数量最多的，指针落在这个区域的可能性就大；哪个颜色区域数量最少的，指针落在这个区域的可能性就小；如果没有这个颜色区域，那么指针就不可能落在这个颜色区域，据此判断解答即可。 【解答】（1）要使指针一定落在黄色区域，那么转盘上应都填“黄”，如下如示： （2）要使指针不可能落在黄色区域，那么转盘不填“黄”即可，如下图所示，（答案不唯一）： （3）要使指针可能落在黄色区域或红色区域，且指针落在红色区域的可能性大，那么就在转盘里填“黄”和“红”，填“红”的数量大于填“黄”的数量即可，如下图所示（答案不唯一）： （4）要使指针可能落在白色区域或红色区域，且指针落在红色区域的可能性小，那么就在转盘里填“白”和“红”，填“白”的数量大于填“红”的数量即可，如下图所示（答案不唯一）： 【易错专练5】爱民商场准备在周年店庆进行酬宾活动，规定凡购物满200元可抽奖一次。请你根据信息，设计出符合要求的抽奖转盘。（温馨提示：抽奖不一定能获奖哦） 【答案】见详解 【分析】结合题意可知，抽奖不一定能获奖，则需要设置没有获奖的选择，再设置三等奖、二等奖和一等奖，分别用不同的颜色或者字来表示即可，获奖的可能性可以设置为抽中一等奖的可能性最小，二等奖稍大一点，三等奖和没有奖可以一样，也可以不一样，但是发生的可能性必须要大于一等奖和二等奖。 【解答】如图所示： （答案不唯一） 转到红色为一等奖，绿色为二等奖，黄色为三等奖，谢谢为没有奖 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $