期末复习专题三：图形与几何·长方体和正方体【3大方向16大考点】-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 没有路的时候，我们会迷路；路多了的时候，我们也会迷路， 因为我们不知道该到哪里去。故事总要有结東的时候，但不是每个 人都有尾声的。 —迟子建《额尔古纳河右岸》 第1页共18页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 期未复习专题三：图形与几何长方体和正方体【3大方向16大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 期末复习专题三：图形与几何长方体和正方体 团专题内容 本专题以图形与几何为主，其中包括长方体和正方体的概念认识、棱长问题、 表面积问题、体积问题等内容。 ©评价体系 基础：☆：迁移：★★：综合：★★★：多维度：★☆★★；重难点：★★★★★ 白讲解建议 期末复习专题是对该学期内的专项内容进行系统复习和考点串讲的必备资 料，其内容覆盖广泛，分层明显，集中度高，综合性强，题型多样，建议作 为期末复习核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 回考点数量 3大方向16大考点 第二篇章 考点导航篇 【预测命题方向一】长方体和正方体的概念认识以及棱长问题 只【考点01】长方体和正方体的认识及特征4 月【考点02】表面展开图.…4 只【考点03】棱长总和与生活实际问题… .5 【预测命题方向二】长方体和正方体的表面积问题 只【考点01】长方体的表面积与实际生活应用… .7 冥【考点2】正方体的表面积与实际生活应用… .8 冥【考点3】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减疫化问题） .9 只【考点04】不规则或组合立体图形的表面积… 10 第2页共18页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点05)】染色问题… 11 【预测命题方向三】长方体和正方体的体积问题 只【考点01】体积和容积单位及换算…。 .12 貝【考点02】长方体的体积（容积）与生活实际应用… .13 原【考点3】正方体的体积（容积）与生活实际应用 ....14 原【考点04】长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系… ...14 原【考点05】典型问题无盖长方体容积问题（剪角折叠求体积问题）15 月【考点06】典型问题等积变形问题.…15 只【考点07】典型问题排水法求不规则物体的体积… 17 冥【考点08】不规则域组合立体图形的体积… .18 第3页共18页 命学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 第三篇章 考点预测篇 【预测命题方向一】长方体和正方体的概念认识以及棱长问题 如命题趋势 1. 期末着重直接考察，涉及基础知识点和基本图形认识。 2.图形考察结合生活实际，凸显生活化。 兵方法点拨 长方体和正方体的基本特征。 特征 长方体 正方体 6个长方形（或2个正方形） 6个完全相同的正方形 分3组，每组4条棱等长 12条棱全部等长 顶点与棱的关系 长、宽、高可能不同 长、宽、高相等（棱长） 目考察形式 填空、选择、判断 蜀动态评价 原【考点01】长方体和正方体的认识及特征 吕【典型例题】 (判断)一个长方体，它有一组相对的面是正方形，其余4个面的面积一定相等。( 胆【对应练习】 1.(判断)一个长方体相邻的2个面是正方形，这个长方体一定是正方体。( 2.(判断)所有的长方体都有六个面，因此，有六个面的立体图形一定是长方体。( 原【考点02】表面展开图 吕【典型例题】 1.把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上标有3的面与 标有( )的面相对，标有6的面与标有( )的面相对。 2 3 4 5 6 第4页共18页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.将下面的展开图围成正方体后，“1对面的是( ) 56 肥【对应练习】 1.下图是一个长方体展开的平面图。如果“建字在上面，则( )字在下面，城字在前 面，( )字在后面，“创字在( )面，市字在( )面。 创 建 文 明 城 市 5.5cm 21cm 12cm 2.下面展开图中，( )沿虚线折叠后不能围成正方体。 泉【考点03】棱长总和与生活实际问题 吕【典型例题】 母亲节到了，小悦想把送给妈妈的礼品盒包装得更精美，按照右图的方法捆扎，打结处需要 20厘米，捆扎这个礼品盒一共需要多少厘米丝带？ 30cm 60cm 40cm 第5页共18页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 1.一条丝带长10米，用这种丝带捆扎一种礼盒，捆扎方法如下图，结头处用去的丝带长30 厘米，这条丝带最多可以捆扎多少个这样的礼盒？ 15cm 10cm 2.用一根铁丝正好能焊接成一个棱长为8厘米的正方体，王叔叔打算用它焊接成一个长12厘 米、宽7厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？（焊接损耗不计） 第6页共18页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【预测命题方向二】长方体和正方体的表面积问题 如命题趋势 1.结合生活实际，凸显综合性和开放性。 2.命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 兵方法点拨 1.长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab+ 2ah+2bh-2 (ab+ah+bh) 2.正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a。 目考察形式 填空、选择、计算、应用 蜀动态评价 ★★★★☆★ 原【考点01】长方体的表面积与实际生活应用 吕【典型例题】 要制作一个50分米长的通风管道，管道口是长6分米，宽5分米的长方形。至少需要多少平 方分米铁皮？合多少平方米？ 肥【对应练习】 1.在一个长20米、宽10米、深2米的长方体游泳池内贴瓷砖，每块瓷砖是边长0.2米的正方 形，一共需要多少块这样的瓷砖？ 2.礼堂门口有两根长5分米、宽4分米、高3.5米的长方体柱子，现在要给这两根柱子粉刷涂 料，需要粉刷涂料的面积是多少？如果每平方米需要0.4千克涂料，那么至少需要购买多少千 克的涂料？ 第7页共18页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点02】正方体的表面积与实际生活应用 吕【典型例题】 徐老师用玻璃做了一个棱长是4分米的正方体金鱼缸（无盖），做这个鱼缸至少用玻璃多少平 方分米？ 肥【对应练习】 1.如图，是一个棱长为3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长1分米，宽3厘米的长方形 入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 梦名 2.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，自古以来，茶就被誉为中华民族的国饮”。下图 是一种正方体茶叶礼品包装盒，包装盒上的彩带总长是128厘米（彩带打结处忽略不计）。做 这个礼品包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 第8页共18页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点03】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题） 吕【典型例题1】切割问题 把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体后，小长方体的表面积之和比原大正方体的表面 积增加了144cm2。 (1)画出示意图并标注条件中的数据。 (2)小长方体的长、宽、高分别是多少cm? (3)原大正方体的体积是多少cm3? 肥【对应练习】 一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘 米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？ 吕【典型例题2】拼接问题 用3个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是160厘米，这个长方体的 表面积是多少平方厘米？ 第9页共18页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 两个完全相同的长方体，长是12厘米，宽是7厘米，高是4厘米，现在把它们拼成一个表面 积最大的长方体后，则表面积比原来减少了多少平方厘米？ 吕【典型例题3】高的变化问题 一个长方体，如果高减少3厘米就变成了一个正方体，表面积就减少了96平方厘米，现在这 个正方体的体积与原来长方体的体积相差多少立方厘米？ 即【对应练习】 一个长方体，如果高减少5厘米，就成了一个正方体，这时表面积会比原来少120平方厘米， 原来长方体的体积是多少？ 冥【考点04】不规则或组合立体图形的表面积 吕【典型例题】 把一个棱长为3分米的正方体木块至上而下（如图）切去一个长方体，剩下木块的表面积是多 少？ 1dm 第10页共18页品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 没有路的时候，我们会迷路；路多了的时候，我们也会迷路， 因为我们不知道该到哪里去。故事总要有结東的时候，但不是每个 人都有尾声的。 —迟子建《额尔古纳河右岸》 第1页共33页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋] 期未复习专题三：图形与几何长方体和正方体【3大方向16大考点】 第一篇章 专题解读篇 ⑧自专题名称 期末复习专题三：图形与几何长方体和正方体 团专题内容 本专题以图形与几何为主，其中包括长方体和正方体的概念认识、棱长问题、 表面积问题、体积问题等内容。 ©评价体系 基础：☆：迁移：★★：综合：★★★：多维度：★☆★★；重难点：★★★★★ 白讲解建议 期末复习专题是对该学期内的专项内容进行系统复习和考点串讲的必备资 料，其内容覆盖广泛，分层明显，集中度高，综合性强，题型多样，建议作 为期末复习核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 回考点数量 3大方向16大考点 第二篇章 考点导航篇 【预测命题方向一】长方体和正方体的概念认识以及棱长问题 只【考点01】长方体和正方体的认识及特征4 月【考点02】表面展开图.…5 只【考点03】棱长总和与生活实际问题… 7 【预测命题方向二】长方体和正方体的表面积问题 只【考点01】长方体的表面积与实际生活应用… .10 冥【考点2】正方体的表面积与实际生活应用… ...12 冥【考点3】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减疫化问题） .13 只【考点04】不规则或组合立体图形的表面积… .18 第2页共33页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【考点05)】染色问题… .19 【预测命题方向三】长方体和正方体的体积问题 只【考点01】体积和容积单位及换算…。 .20 貝【考点02】长方体的体积（容积）与生活实际应用… ..22 原【考点3】正方体的体积（容积）与生活实际应用 ..24 原【考点04)长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系… .25 具【考点05)】典型问题无盖长方体容积问题（剪角折叠求体积问题） 27 月【考点06】典型问题等积变形问题.…28 只【考点07】典型问题排水法求不规则物体的体积… .31 冥【考点08】不规则域组合立体图形的体积… ..32 第3页共33页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 第三篇章 考点预测篇 【预测命题方向一】长方体和正方体的概念认识以及棱长问题 如命题趋势 1. 期末着重直接考察，涉及基础知识点和基本图形认识。 2.图形考察结合生活实际，凸显生活化。 兵方法点拨 长方体和正方体的基本特征。 特征 长方体 正方体 6个长方形（或2个正方形） 6个完全相同的正方形 分3组，每组4条棱等长 12条棱全部等长 顶点与棱的关系 长、宽、高可能不同 长、宽、高相等（棱长） 目考察形式 填空、选择、判断 蜀动态评价 原【考点01】长方体和正方体的认识及特征 吕【典型例题】 (判断)一个长方体，它有一组相对的面是正方形，其余4个面的面积一定相等。( 【答案】√ 【分析】在长方体的6个面中，它有一组相对的面是正方形，则其余4个面是完全相同的长方 形，即它们的长相等、宽等于正方形的边长，据此判断。 【详解】一个长方体，它有一组相对的面是正方形，其余4个面完全相同，所以其余4个面的 面积一定相等。所以原题说法正确。 故答案为：√ 即【对应练习】 1.(判断)一个长方体相邻的2个面是正方形，这个长方体一定是正方体。( 【答案】√ 【分析】根据正方体的特征，正方体的12条棱的长度都相等，6个面是完全相同的正方形， 正方体是长、宽、高都相等的特殊的长方体.据此判断即可。 【详解】如果一个长方体的相邻的两个面都是正方形，那么这个长方体的长、宽、高一定相等， 所以这个长方体一定是正方体。 第4页共33页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：√ 【点睛】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，明确：正方体是长、宽、高都相等的特殊 的长方体。 2.(判断)所有的长方体都有六个面，因此，有六个面的立体图形一定是长方体。( 【答案】× 【分析】根据正方体、长方体的特征可知，正方体、长方体都有8个顶点，6个面，12条棱： 据此判断。 【详解】所有的长方体都有六个面，但有六个面的立体图形可能是长方体，也可能是正方体， 还有可能是其它立方图形。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】掌握长方体、正方体的特征是解题的关键。 原【考点02】表面展开图 吕【典型例题】 1.把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上标有3的面与 标有( )的面相对，标有6的面与标有( )的面相对。 2 3 4 5 6 【答案】 1 【分析】根据长方体展开图的特征，此图属于长方体展开图“1一4一1”型，折成长方体后，数 字3”和5相对，6和1相对。 【详解】根据长方体展开图的特征，这个长方体上标有3的面与标有5的面相对，标有6的面 与标有1的面相对。 【点睛】根据长方体展开图的特征，结合自身空间想象能力，找到展开图的每个相对面。 2.将下面的展开图围成正方体后，1对面的是( )。 第5页共33页 多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 1 234 56 【答案】5 【分析】根据正方体展开图的特征可知，“1的对面是“5”；2”的对面是4：3的对面是“6： 据此解答即可。 【详解】由分析可知：将所示展开图围成正方体后，“1”对面的是5。 肥【对应练习】 1.下图是一个长方体展开的平面图。如果“建”字在上面，则( )字在下面，“城字在前 面，( )字在后面，“创字在( )面，“市字在( )面。 创 建 文 明 城 市 5.5cm 21cm 12cm 【答案】 明 文 左 右 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）： 相对面的面积相等。通过观察长方体的展开图可知，“建字与明字相对，“城字与“文字相 对，“创字与市字相对。据此解答即可。 【详解】根据分析得，如果“建字在上面，则明字在下面，城字在前面，“文字在后面，“创 字在“左面，“市字在右面。 【点睛】本题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。 2.下面展开图中，( )沿虚线折叠后不能围成正方体。 【答案】B 第6页共33页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【分析】分析题目，正方体的展开图有11种，分为四种类型：1一4一1”型，即第一行有1个， 第二行有4个，第三行有1个；“2一2-2型，即第一行有2个，第二行有2个，第三行有2 个；3一3”型，即第一行有3个，第二行有3个：“1一3一2型，即第一行有1个，第二行有3 个，第三行有2个；据此结合选项给出的展开图判断即可。 【详解】 属于正方体展开图中的：1一4一1型，沿虚线折叠后能围成正方体： B 不属于正方体展开图，沿虚线折叠后不能围成正方体： 属于正方体展开图中的：2一2一2型，沿虚线折叠后能围成正方体； 属于正方体展开图中的：“1一3一2型，沿虚线折叠后能围成正方体。 故答案为：B 原【考点03】棱长总和与生活实际问题 吕【典型例题】 母亲节到了，小悦想把送给妈妈的礼品盒包装得更精美，按照右图的方法捆扎，打结处需要 20厘米，捆扎这个礼品盒一共需要多少厘米丝带？ 30cm 60cm 40cm 【答案】340厘米 【分析】观察图片可知，丝带的长度=4条高十2条长+2条宽+打结处，据此解答即可。 【详解】60×2+40×2+30×4+20 =120+80+120+20 =340(厘米) 第7页共33页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 答：捆扎这个礼品盒一共需要340厘米丝带。 【点睛】本题考查了长方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 肥【对应练习】 1.一条丝带长10米，用这种丝带捆扎一种礼盒，捆扎方法如下图，结头处用去的丝带长30 厘米，这条丝带最多可以捆扎多少个这样的礼盒？ cm 15cm 0cm 【答案】9个 【分析】观察图形可知，捆扎这种礼盒至少需要丝带的长度=2条长十2条宽+4条高+打结 用的长度，再用丝带的全长除以捆扎每个礼盒需要丝带的长度，即可求出这条丝带最多可以捆 扎礼盒的个数。注意单位的换算：1米=100厘米。 【详解】15×2+10×2+6×4+30 =30+20+24+30 =104(厘米) 10米=1000厘米 1000÷104≈9（个） 答：这条丝带最多可捆扎9个这样的礼盒。 【点睛】本题考查长方体棱长总和公式的实际应用以及小数除法的应用，弄清是如何捆扎的， 也就是弄清需要求哪些棱的长度之和。注意计算结果要结合生活实际，采用“去尾法？取近似数。 2.用一根铁丝正好能焊接成一个棱长为8厘米的正方体，王叔叔打算用它焊接成一个长12厘 米、宽7厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？（焊接损耗不计） 【答案】5厘米 【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和=棱长×12，代入数据，求出正方体的棱长总和； 由于正方体棱长总和等于长方体棱长总和；根据长方体棱长总和公式：棱长总和=（长十宽+ 高)×4，高=棱长总和÷4一长一宽，代入数据，即可解答。 【详解】8×12÷4-12-7 =96÷4-12-7 第8页共33页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 =24-12-7 =12-7 =5(厘米) 答：这个长方体的高是5厘米。 第9页共33页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【预测命题方向二】长方体和正方体的表面积问题 如命题趋势 1.结合生活实际，凸显综合性和开放性。 2.命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 兵方法点拨 1.长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab+ 2ah+2bh-2 (ab+ah+bh) 2.正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a。 目考察形式 填空、选择、计算、应用 過动态评价 ★★★★☆★ 原【考点01】长方体的表面积与实际生活应用 吕【典型例题】 要制作一个50分米长的通风管道，管道口是长6分米，宽5分米的长方形。至少需要多少平 方分米铁皮？合多少平方米？ 【答案】1100平方分米：11平方米 【分析】这个通风管道的形状可以看作是一个长50分米，宽6分米，高5分米的长方体。根 据题意，求铁皮的面积就是求这个长方体四个面的面积，铁皮的面积=（长×宽+长×高）×2， 据此代入数据计算。 把以平方分米为单位的数换算成以平方米为单位的数，除以它们的进率100即可。 【详解】(50×6+50x5)×2 (300+250)×2 =550×2 =1100(平方分米) 1100平方分米=11平方米 答：至少需要1100平方分米铁皮，合11平方米。 即【对应练习】 1.在一个长20米、宽10米、深2米的长方体游泳池内贴瓷砖，每块瓷砖是边长0.2米的正方 第10页共33页 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 期末复习专题三：图形与几何·长方体和正方体【3大方向16大考点】 专题名称 期末复习专题三：图形与几何·长方体和正方体 专题内容 本专题以图形与几何为主，其中包括长方体和正方体的概念认识、棱长问题、表面积问题、体积问题等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 期末复习专题是对该学期内的专项内容进行系统复习和考点串讲的必备资料，其内容覆盖广泛，分层明显，集中度高，综合性强，题型多样，建议作为期末复习核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 考点数量 3大方向16大考点 【预测命题方向一】长方体和正方体的概念认识以及棱长问题 【考点01】长方体和正方体的认识及特征 4 【考点02】表面展开图 4 【考点03】棱长总和与生活实际问题 5 【预测命题方向二】长方体和正方体的表面积问题 【考点01】长方体的表面积与实际生活应用 7 【考点02】正方体的表面积与实际生活应用 8 【考点03】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题） 9 【考点04】不规则或组合立体图形的表面积 10 【考点05】染色问题 11 【预测命题方向三】长方体和正方体的体积问题 【考点01】体积和容积单位及换算 12 【考点02】长方体的体积（容积）与生活实际应用 13 【考点03】正方体的体积（容积）与生活实际应用 14 【考点04】长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 14 【考点05】典型问题·无盖长方体容积问题（剪角折叠求体积问题） 15 【考点06】典型问题·等积变形问题 15 【考点07】典型问题·排水法求不规则物体的体积 17 【考点08】不规则或组合立体图形的体积 18 【预测命题方向一】长方体和正方体的概念认识以及棱长问题 命题趋势 1. 期末着重直接考察，涉及基础知识点和基本图形认识。 2. 图形考察结合生活实际，凸显生活化。 方法点拨 长方体和正方体的基本特征。 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 【考点01】长方体和正方体的认识及特征 【典型例题】 （判断）一个长方体，它有一组相对的面是正方形，其余4个面的面积一定相等。( ) 【对应练习】 1．（判断）一个长方体相邻的2个面是正方形，这个长方体一定是正方体。( ) 2．（判断）所有的长方体都有六个面，因此，有六个面的立体图形一定是长方体。( ) 【考点02】表面展开图 【典型例题】 1. 把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上标有3的面与标有( )的面相对，标有6的面与标有( )的面相对。 2. 将下面的展开图围成正方体后，“1”对面的是( )。 【对应练习】 1. 下图是一个长方体展开的平面图。如果“建”字在上面，则( )字在下面，“城”字在前面，( )字在后面，“创”字在( )面，“市”字在( )面。 2. 下面展开图中，( )沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 【考点03】棱长总和与生活实际问题 【典型例题】 母亲节到了，小悦想把送给妈妈的礼品盒包装得更精美，按照右图的方法捆扎，打结处需要20厘米，捆扎这个礼品盒一共需要多少厘米丝带？    【对应练习】 1. 一条丝带长10米，用这种丝带捆扎一种礼盒，捆扎方法如下图，结头处用去的丝带长30厘米，这条丝带最多可以捆扎多少个这样的礼盒？ 2. 用一根铁丝正好能焊接成一个棱长为8厘米的正方体，王叔叔打算用它焊接成一个长12厘米、宽7厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？（焊接损耗不计） 【预测命题方向二】长方体和正方体的表面积问题 命题趋势 1. 结合生活实际，凸显综合性和开放性。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【考点01】长方体的表面积与实际生活应用 【典型例题】 要制作一个50分米长的通风管道，管道口是长6分米，宽5分米的长方形。至少需要多少平方分米铁皮？合多少平方米？ 【对应练习】 1. 在一个长20米、宽10米、深2米的长方体游泳池内贴瓷砖，每块瓷砖是边长0.2米的正方形，一共需要多少块这样的瓷砖？ 2. 礼堂门口有两根长5分米、宽4分米、高3.5米的长方体柱子，现在要给这两根柱子粉刷涂料，需要粉刷涂料的面积是多少？如果每平方米需要0.4千克涂料，那么至少需要购买多少千克的涂料？ 【考点02】正方体的表面积与实际生活应用 【典型例题】 徐老师用玻璃做了一个棱长是4分米的正方体金鱼缸（无盖），做这个鱼缸至少用玻璃多少平方分米？ 【对应练习】 1. 如图，是一个棱长为3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长1分米，宽3厘米的长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 2. 中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，自古以来，茶就被誉为中华民族的“国饮”。下图是一种正方体茶叶礼品包装盒，包装盒上的彩带总长是128厘米（彩带打结处忽略不计）。做这个礼品包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 【考点03】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题） 【典型例题1】切割问题 把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体后，小长方体的表面积之和比原大正方体的表面积增加了144cm2。 （1）画出示意图并标注条件中的数据。 （2）小长方体的长、宽、高分别是多少cm？ （3）原大正方体的体积是多少cm3？ 【对应练习】 一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？ 【典型例题2】拼接问题 用3个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是160厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【对应练习】 两个完全相同的长方体，长是12厘米，宽是7厘米，高是4厘米，现在把它们拼成一个表面积最大的长方体后，则表面积比原来减少了多少平方厘米？ 【典型例题3】高的变化问题 一个长方体，如果高减少3厘米就变成了一个正方体，表面积就减少了96平方厘米，现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差多少立方厘米？ 【对应练习】 一个长方体，如果高减少5厘米，就成了一个正方体，这时表面积会比原来少120平方厘米，原来长方体的体积是多少？ 【考点04】不规则或组合立体图形的表面积 【典型例题】 把一个棱长为3分米的正方体木块至上而下（如图）切去一个长方体，剩下木块的表面积是多少？ 【对应练习】 求下面几何形体的表面积。（单位：厘米） 【考点05】染色问题 将一个棱长5厘米的正方体表面涂色，再切割成棱长1厘米的小正方体，其中三面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，一面涂色的有( )个。 【对应练习】 一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成5份，切成同样大的小正方体后，两面涂色的小正方体有( )个；如果把这个表面涂色的正方体每条棱平均分成n份，切开后，三面涂色的小正方体有( )个。 【预测命题方向三】长方体和正方体的体积问题 命题趋势 1. 结合生活实际，凸显综合性和开放性。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 体积和容积。 2. 体积和容积单位进率。 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 3. 长方体的体积计算公式。 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 4. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 5. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【考点01】体积和容积单位及换算 【典型例题】 1. 填上合适的单位名称。 (1)一桶纯净饮用水大约18( )。 (2)一袋草莓酸牛奶约220( )。 (3)一个游泳池的容积是1200( )。 (4)一块橡皮的体积大约是8( )。 2. 在括号里填上合适的数。 40dm3＝( )cm3        850L＝( )m3 6400mL＝( )L        0.26dm3＝( )L＝( )mL 【对应练习】 1. 在下面的括号里填上合适的单位。 (1)一本数学书的体积约为300( )。 (2)一间教室所占空间的大小约为140( )。 (3)一个水杯的容积约为0.35( )。 2. 在括号里填上适当的数。 4600cm3＝( )dm3             30L＝( )mL 5.7m3＝( )m3( )dm3        42.07dm3＝( )L＝( )mL 【考点02】长方体的体积（容积）与生活实际应用 【典型例题】 如图所示，用混凝土浇筑一个无盖的长方体水槽，从外面量，长10分米、宽8分米、高4分米，混凝土厚1分米，根据以上信息计算出这个水槽的容积。 【对应练习】 学校运动场有一个长6米、宽4米、深0.5米的长方体沙坑。 （1）工人把7.2立方米的黄沙铺在沙坑里，可以铺多厚？ （2）如果每立方米沙子180元，这个沙坑填满沙子，需要多少元？ （3）请提出一个数学问题，并解答。 【考点03】正方体的体积（容积）与生活实际应用 【典型例题】 一块正方体石料的棱长为6分米，如果1立方分米石料的质量是2.7千克，这块石料的质量是多少千克？ 【对应练习】 一个正方体水槽，从里面量得棱长60厘米，往里面倒入198升水，水面离水槽口还有多少厘米？ 【考点04】长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 【典型例题】 1．（正方体扩倍关系）一个正方体棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 2．（长方体扩倍关系）一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，它的体积扩大( )倍。 【对应练习】 一个正方体的体积是64立方厘米，如果棱长扩大到原来的2倍，则扩大后的正方体的体积是( )立方厘米。 【考点05】典型问题·无盖长方体容积问题（剪角折叠求体积问题） 【典型例题】 如图，把一张长方形铁皮的四个角各剪下一个边长是2分米的正方形，按图中的虚线折起来焊接成一个长方体无盖水箱。这个水箱用了多大的铁皮？这个水箱最多可盛水多少升？ 【对应练习】 如图所示，在长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四个角各去掉边长为2厘米的小正方形硬纸板，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的容积是多少立方厘米？ 【考点06】典型问题·等积变形问题 【典型例题】 1. 一个棱长是的正方体铁块，熔铸成一个长、宽的长方体铁块，这个长方体铁块高多少厘米？（损耗忽略不计） 2. 一个正方体玻璃缸，棱长6分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为30平方分米，高为10分米的长方体水槽中，水深多少？ 3. 如下图所示，密闭的容器中装有5厘米深的水。如果以这个容器的右侧面为底面把容器竖起来，这时水深多少厘米？ 【对应练习】 1. 某车间工人王叔叔为了打造一种零件，把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成了一个长方体铁块，这个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，请问它的高是多少厘米？ 2. 一个棱长是12分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个长为18分米，宽为10分米，高为12分米的长方体鱼缸里，水有多深？（鱼缸厚度忽略不计） 3. 有一个长方体容器，长40厘米，宽20厘米，高15厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来放置，这时水深是多少厘米？ 【考点07】典型问题·排水法求不规则物体的体积 【典型例题】 贵州贵定盘江酥李味甜汁多、酥脆爽口，深受大家欢迎。为测量一个酥李的体积，小丽和爸爸拿了5个差不多大的酥李做了如下实验： ①测量出一个长方体容器内的长是25厘米，宽是20厘米。 ②测量出长方体容器内的高是20厘米。 ③在容器内注入一定量的水，量出水面高度是8厘米。 ④将5个酥李完全浸没在水中（水未溢出），量出水面高度是8.5厘米。 （1）要求平均每个酥李的体积，上面的信息必须用到（     ）。（填序号） （2）根据选出的信息，求出平均每个酥李的体积是多少立方厘米。 【对应练习】 1. 一个正方体容器，从里面量棱长4分米，里面注有水，水深3分米。如果把一块棱长2分米的正方体铁块放入水中，水面会上升多少分米？ 2. 科学实验课上，乐乐先往一个棱长为2分米的正方体玻璃容器中倒入7升的水，再往容器中放入一块长15厘米、宽10厘米，高8厘米的铁块。请问。放入铁块后，玻璃容器里的水会溢出吗？如果会，溢出的水有多少升？ 【考点08】不规则或组合立体图形的体积 【典型例题】 工程队要浇筑一个建筑构件（如图），这个建筑构件的体积是多少？ 【对应练习】 如图所示，一个长方体物体的底面是正方形，中间是空心的正方形。求这个物体的体积。（请写出主要过程） 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 期末复习专题三：图形与几何·长方体和正方体【3大方向16大考点】 专题名称 期末复习专题三：图形与几何·长方体和正方体 专题内容 本专题以图形与几何为主，其中包括长方体和正方体的概念认识、棱长问题、表面积问题、体积问题等内容。 评价体系 基础：；迁移：；综合：；多维度：；重难点： 讲解建议 期末复习专题是对该学期内的专项内容进行系统复习和考点串讲的必备资料，其内容覆盖广泛，分层明显，集中度高，综合性强，题型多样，建议作为期末复习核心内容进行讲解，要求全体学生务必掌握。 考点数量 3大方向16大考点 【预测命题方向一】长方体和正方体的概念认识以及棱长问题 【考点01】长方体和正方体的认识及特征 4 【考点02】表面展开图 5 【考点03】棱长总和与生活实际问题 7 【预测命题方向二】长方体和正方体的表面积问题 【考点01】长方体的表面积与实际生活应用 10 【考点02】正方体的表面积与实际生活应用 12 【考点03】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题） 13 【考点04】不规则或组合立体图形的表面积 18 【考点05】染色问题 19 【预测命题方向三】长方体和正方体的体积问题 【考点01】体积和容积单位及换算 20 【考点02】长方体的体积（容积）与生活实际应用 22 【考点03】正方体的体积（容积）与生活实际应用 24 【考点04】长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 25 【考点05】典型问题·无盖长方体容积问题（剪角折叠求体积问题） 27 【考点06】典型问题·等积变形问题 28 【考点07】典型问题·排水法求不规则物体的体积 31 【考点08】不规则或组合立体图形的体积 32 【预测命题方向一】长方体和正方体的概念认识以及棱长问题 命题趋势 1. 期末着重直接考察，涉及基础知识点和基本图形认识。 2. 图形考察结合生活实际，凸显生活化。 方法点拨 长方体和正方体的基本特征。 考察形式 填空、选择、判断 动态评价 【考点01】长方体和正方体的认识及特征 【典型例题】 （判断）一个长方体，它有一组相对的面是正方形，其余4个面的面积一定相等。( ) 【答案】√ 【分析】在长方体的6个面中，它有一组相对的面是正方形，则其余4个面是完全相同的长方形，即它们的长相等、宽等于正方形的边长，据此判断。 【详解】一个长方体，它有一组相对的面是正方形，其余4个面完全相同，所以其余4个面的面积一定相等。所以原题说法正确。 故答案为：√ 【对应练习】 1．（判断）一个长方体相邻的2个面是正方形，这个长方体一定是正方体。( ) 【答案】√ 【分析】根据正方体的特征，正方体的12条棱的长度都相等，6个面是完全相同的正方形，正方体是长、宽、高都相等的特殊的长方体．据此判断即可。 【详解】如果一个长方体的相邻的两个面都是正方形，那么这个长方体的长、宽、高一定相等，所以这个长方体一定是正方体。 故答案为：√ 【点睛】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，明确：正方体是长、宽、高都相等的特殊的长方体。 2．（判断）所有的长方体都有六个面，因此，有六个面的立体图形一定是长方体。( ) 【答案】× 【分析】根据正方体、长方体的特征可知，正方体、长方体都有8个顶点，6个面，12条棱；据此判断。 【详解】所有的长方体都有六个面，但有六个面的立体图形可能是长方体，也可能是正方体，还有可能是其它立方图形。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】掌握长方体、正方体的特征是解题的关键。 【考点02】表面展开图 【典型例题】 1. 把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上标有3的面与标有( )的面相对，标有6的面与标有( )的面相对。 【答案】 5 1 【分析】根据长方体展开图的特征，此图属于长方体展开图“1－4－1”型，折成长方体后，数字“3”和“5”相对，“6”和“1”相对。 【详解】根据长方体展开图的特征，这个长方体上标有3的面与标有5的面相对，标有6的面与标有1的面相对。 【点睛】根据长方体展开图的特征，结合自身空间想象能力，找到展开图的每个相对面。 2. 将下面的展开图围成正方体后，“1”对面的是( )。 【答案】5 【分析】根据正方体展开图的特征可知，“1”的对面是“5”；“2”的对面是“4”；“3”的对面是“6”；据此解答即可。 【详解】由分析可知：将所示展开图围成正方体后，“1”对面的是5。 【对应练习】 1. 下图是一个长方体展开的平面图。如果“建”字在上面，则( )字在下面，“城”字在前面，( )字在后面，“创”字在( )面，“市”字在( )面。 【答案】 明 文 左 右 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。通过观察长方体的展开图可知，“建”字与“明”字相对，“城”字与“文”字相对，“创”字与“市”字相对。据此解答即可。 【详解】根据分析得，如果“建”字在上面，则“明”字在下面，“城”字在前面，“文”字在后面，“创”字在“左”面，“市”字在右面。 【点睛】本题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。 2. 下面展开图中，( )沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题目，正方体的展开图有11种，分为四种类型：“1－4－1”型，即第一行有1个，第二行有4个，第三行有1个；“2－2－2”型，即第一行有2个，第二行有2个，第三行有2个；“3－3”型，即第一行有3个，第二行有3个；“1－3－2”型，即第一行有1个，第二行有3个，第三行有2个；据此结合选项给出的展开图判断即可。 【详解】 A．属于正方体展开图中的：“1－4－1”型，沿虚线折叠后能围成正方体； B．不属于正方体展开图，沿虚线折叠后不能围成正方体； C．属于正方体展开图中的：“2－2－2”型，沿虚线折叠后能围成正方体；     D．属于正方体展开图中的：“1－3－2”型，沿虚线折叠后能围成正方体。 故答案为：B 【考点03】棱长总和与生活实际问题 【典型例题】 母亲节到了，小悦想把送给妈妈的礼品盒包装得更精美，按照右图的方法捆扎，打结处需要20厘米，捆扎这个礼品盒一共需要多少厘米丝带？    【答案】340厘米 【分析】观察图片可知，丝带的长度＝4条高＋2条长＋2条宽＋打结处，据此解答即可。 【详解】60×2＋40×2＋30×4＋20 ＝120＋80＋120＋20 ＝340（厘米） 答：捆扎这个礼品盒一共需要340厘米丝带。 【点睛】本题考查了长方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 【对应练习】 1. 一条丝带长10米，用这种丝带捆扎一种礼盒，捆扎方法如下图，结头处用去的丝带长30厘米，这条丝带最多可以捆扎多少个这样的礼盒？ 【答案】9个 【分析】观察图形可知，捆扎这种礼盒至少需要丝带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结用的长度，再用丝带的全长除以捆扎每个礼盒需要丝带的长度，即可求出这条丝带最多可以捆扎礼盒的个数。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【详解】15×2＋10×2＋6×4＋30 ＝30＋20＋24＋30 ＝104（厘米） 10米＝1000厘米 1000÷104≈9（个） 答：这条丝带最多可捆扎9个这样的礼盒。 【点睛】本题考查长方体棱长总和公式的实际应用以及小数除法的应用，弄清是如何捆扎的，也就是弄清需要求哪些棱的长度之和。注意计算结果要结合生活实际，采用“去尾法”取近似数。 2. 用一根铁丝正好能焊接成一个棱长为8厘米的正方体，王叔叔打算用它焊接成一个长12厘米、宽7厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？（焊接损耗不计） 【答案】5厘米 【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，代入数据，求出正方体的棱长总和；由于正方体棱长总和等于长方体棱长总和；根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，高＝棱长总和÷4－长－宽，代入数据，即可解答。 【详解】8×12÷4－12－7 ＝96÷4－12－7 ＝24－12－7 ＝12－7 ＝5（厘米） 答：这个长方体的高是5厘米。 【预测命题方向二】长方体和正方体的表面积问题 命题趋势 1. 结合生活实际，凸显综合性和开放性。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【考点01】长方体的表面积与实际生活应用 【典型例题】 要制作一个50分米长的通风管道，管道口是长6分米，宽5分米的长方形。至少需要多少平方分米铁皮？合多少平方米？ 【答案】1100平方分米；11平方米 【分析】这个通风管道的形状可以看作是一个长50分米，宽6分米，高5分米的长方体。根据题意，求铁皮的面积就是求这个长方体四个面的面积，铁皮的面积＝（长×宽＋长×高）×2，据此代入数据计算。 把以平方分米为单位的数换算成以平方米为单位的数，除以它们的进率100即可。 【详解】（50×6＋50×5）×2 ＝（300＋250）×2 ＝550×2 ＝1100（平方分米） 1100平方分米＝11平方米 答：至少需要1100平方分米铁皮，合11平方米。 【对应练习】 1. 在一个长20米、宽10米、深2米的长方体游泳池内贴瓷砖，每块瓷砖是边长0.2米的正方形，一共需要多少块这样的瓷砖？ 【答案】8000块 【分析】根据题意，在长方体游泳池内贴瓷砖，则贴瓷砖的是长方体的下面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，就是贴瓷砖的面积； 已知每块瓷砖是边长0.2米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出每块瓷砖的面积；用贴瓷砖的面积除以每块瓷砖的面积，即是一共需要这样瓷砖的块数。 【详解】20×10＋20×2×2＋10×2×2 ＝200＋80＋40 ＝320（平方米） 0.2×0.2＝0.04（平方米） 320÷0.04＝8000（块） 答：共需要8000块这样的瓷砖。 2. 礼堂门口有两根长5分米、宽4分米、高3.5米的长方体柱子，现在要给这两根柱子粉刷涂料，需要粉刷涂料的面积是多少？如果每平方米需要0.4千克涂料，那么至少需要购买多少千克的涂料？ 【答案】12.6平方米；5.04千克 【分析】根据1米＝10分米，把长度换算成米，通过观察可知，求粉刷涂料的面积就是求两个长方体的侧面积，根据长方体的侧面积＝底面周长×高，底面周长＝（长＋宽）×2，代入数据即可求出一个长方体的侧面积，再乘2即可求出需要粉刷涂料的面积；最后乘0.4千克即可求出涂料的总千克数。 【详解】5分米＝0.5米 4分米＝0.4米 （0.5＋0.4）×2 ＝0.9×2 ＝1.8（米） 1.8×3.5＝6.3（平方米） 6.3×2＝12.6（平方米） 12.6×0.4＝5.04（千克） 答：需要粉刷涂料的面积是12.6平方米，至少需要购买5.04千克的涂料。 【考点02】正方体的表面积与实际生活应用 【典型例题】 徐老师用玻璃做了一个棱长是4分米的正方体金鱼缸（无盖），做这个鱼缸至少用玻璃多少平方分米？ 【答案】80平方分米 【分析】求这个鱼缸至少需要玻璃的面积，就是求这个正方体金鱼缸5个面的面积和，根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×5，代入数据，即可解答。 【详解】4×4×5 ＝16×5 ＝80（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃80平方分米。 【对应练习】 1. 如图，是一个棱长为3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长1分米，宽3厘米的长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 【答案】53.7平方分米 【分析】这个募捐箱的表面积等于正方体的表面积减去长1分米，宽3厘米的长方形的面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方形的面积＝长×宽，代入数据解答即可。 【详解】3×3×6＝54（平方分米） 3厘米＝0.3分米 1×0.3＝0.3（平方分米） 54－0.3＝53.7（平方分米） 答：这个募捐箱的表面积是53.7平方分米。 2. 中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，自古以来，茶就被誉为中华民族的“国饮”。下图是一种正方体茶叶礼品包装盒，包装盒上的彩带总长是128厘米（彩带打结处忽略不计）。做这个礼品包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 【答案】1536平方厘米 【分析】观察可知，彩带长度包括8条棱长，彩带长度÷8＝棱长，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式解答即可。 【详解】128÷8＝16（厘米） 16×16×6＝1536（平方厘米） 答：做这个礼品包装盒至少需要1536平方厘米的纸板。 【考点03】长方体和正方体的切拼问题（表面积增减变化问题） 【典型例题1】切割问题 把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体后，小长方体的表面积之和比原大正方体的表面积增加了144cm2。 （1）画出示意图并标注条件中的数据。 （2）小长方体的长、宽、高分别是多少cm？ （3）原大正方体的体积是多少cm3？ 【答案】（1）见详解 （2）长2cm，宽6cm，高6cm （3）216cm3 【分析】（1）画出把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体的示意图，并标注数据；（答案不唯一） （2）根据题意，把一个大正方体切成三个小长方体，要切2次；切一次增加2个截面；切2次增加4个截面，表面积增加4个截面的面积；先用增加的表面积除以4，求出一个截面的面积；这个截面是正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出正方体的棱长；用正方体的棱长除以3，就是小长方体的长；小长方体的宽和高都等于正方体的棱长； （3）根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。 【详解】（1）如图： （答案不唯一） （2）144÷4＝36（cm2） 36＝6×6 所以大正方体的棱长是6cm。 小长方体的长是：6÷3＝2（cm） 小长方体的宽和高都是6cm。 答：小长方体的长是2cm、宽是6cm、高是6cm。 （3）6×6×6 ＝36×6 ＝216（cm3） 答：原大正方体的体积是216cm3。 【点睛】掌握正方体切割的特点，明确增加的表面积是哪些面的面积，熟记正方体的体积公式是解题的关键。 【对应练习】 一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？ 【答案】94平方厘米；60立方厘米 【分析】表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米，增加的面积和就是原来长方体的面积；根据长×高×2＝40，长×宽×2＝30，宽×高×2＝24，由此求出长方体的体积。 【详解】40＋30＋24 ＝70＋24 ＝94（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是94平方厘米。 长×高×2＝40，即长×高＝20＝5×4， 长×宽×2＝30，即长×宽＝15＝5×3， 宽×高×2＝24，即宽×高＝12＝4×3， 即长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米。 5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：体积是60立方厘米。 【点睛】考查了立体图形的切拼，解题的关键是根据分解质因数求出长、宽、高。 【典型例题2】拼接问题 用3个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是160厘米，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】896平方厘米 【分析】通过观察图形可知，拼成的长方体的棱长总和比原来3个正方体的棱长总和减少了正方体的16条棱的长度，据此可以求出正方体的棱长；这个长方体的表面积比3个正方体的表面积之和减少了正方体的4个面的面积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。 【详解】160÷（12×3﹣16） ＝160÷（36﹣16） ＝160÷20 ＝8（厘米） 8×8×6×3﹣8×8×4 ＝64×6×3﹣64×4 ＝384×3﹣256 ＝1152﹣256 ＝896（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是896平方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用，求出正方体的棱长是解题的关键。 【对应练习】 两个完全相同的长方体，长是12厘米，宽是7厘米，高是4厘米，现在把它们拼成一个表面积最大的长方体后，则表面积比原来减少了多少平方厘米？ 【答案】56平方厘米 【分析】将两个完全的长方体拼成一个大长方体，要使大长方体面积最大，则拼接的一面为小长方体面积最小的一面，根据题意可得面积最小的一面是宽和高所对应的面。此时，大长方体表面积比原来减少了2个这样的面，据此可得出答案。 【详解】拼接后要使大长方体表面积最大，则拼接面为面积最小的一面。故表面积比原来减少： 7×4×2 ＝28×2 ＝56（平方厘米）。 答：表面积比原来减少了56平方厘米。 【点睛】本题主要考查的是长方体表面积及拼接，解题的关键是根据题意中得出拼接的面为面积最小的面，进而得出答案。 【典型例题3】高的变化问题 一个长方体，如果高减少3厘米就变成了一个正方体，表面积就减少了96平方厘米，现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差多少立方厘米？ 【答案】192立方厘米 【分析】根据题意，长方体的高减少3厘米变成了一个正方体，说明长方体的长和宽都等于正方体的棱长；正方体比原来长方体减少的表面积是4个长为正方体的棱长，宽为3厘米的长方形的面积；先用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以3，即可求出正方体的棱长，也是长方体的长和宽；那么正方体与原来长方体相差的体积是一个长、宽等于正方体的棱长，高为3厘米的小长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】96÷4＝24（平方厘米） 24÷3＝8（厘米） 8×8×3 ＝64×3 ＝192（立方厘米） 答：现在这个正方体的体积与原来长方体的体积相差192立方厘米。 【点睛】本题考查立体图形的切拼以及长方体体积公式的应用，明确表面积减少的是哪些面的面积，以此为突破口，求出正方体的棱长是解题的关键。 【对应练习】 一个长方体，如果高减少5厘米，就成了一个正方体，这时表面积会比原来少120平方厘米，原来长方体的体积是多少？ 【答案】396立方厘米 【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等。由题意可知：高减少5厘米，这时表面积比原来减少了120平方厘米。表面积减少的是高为5厘米的长方体的4个侧面的面积。先求出减少部分的1个侧面的面积，120÷4＝30（平方厘米）；根据长方形的面积公式S＝ab，求出原来长方体的底面边长就是6厘米。原来的高是6＋5＝11（厘米），再根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【详解】原来长方体的底面边长是： 120÷4÷5 ＝30÷5 ＝6（厘米） 高是：6＋5＝11（厘米） 原来长方体的体积是： 6×6×11 ＝36×11 ＝396（立方厘米） 答：原来长方体的体积是396立方厘米。 【点睛】此题解答关键是求出原来长方体的底面边长，进而求出高，再根据长方体的体积公式解答即可。 【考点04】不规则或组合立体图形的表面积 【典型例题】 把一个棱长为3分米的正方体木块至上而下（如图）切去一个长方体，剩下木块的表面积是多少？ 解析： 3×3×6－1×1×2＋3×1×2 ＝54－2＋6 ＝58（平方分米） 答：剩下部分的表面积是58平方分米。 【对应练习】 求下面几何形体的表面积。（单位：厘米） 解析： 5×5×6＋5×2×4 ＝25×6＋10×4 ＝150＋40 ＝190（平方厘米） 【考点05】染色问题 将一个棱长5厘米的正方体表面涂色，再切割成棱长1厘米的小正方体，其中三面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，一面涂色的有( )个。 解析：8；36；54 【对应练习】 一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成5份，切成同样大的小正方体后，两面涂色的小正方体有( )个；如果把这个表面涂色的正方体每条棱平均分成n份，切开后，三面涂色的小正方体有( )个。 解析：36；8 【预测命题方向三】长方体和正方体的体积问题 命题趋势 1. 结合生活实际，凸显综合性和开放性。 2. 命题凸显地域特色，与本地区传统文化或资源结合。 方法点拨 1. 体积和容积。 2. 体积和容积单位进率。 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 3. 长方体的体积计算公式。 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 4. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 5. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 考察形式 填空、选择、计算、应用 动态评价 【考点01】体积和容积单位及换算 【典型例题】 1. 填上合适的单位名称。 (1)一桶纯净饮用水大约18( )。 (2)一袋草莓酸牛奶约220( )。 (3)一个游泳池的容积是1200( )。 (4)一块橡皮的体积大约是8( )。 【答案】(1)升/L (2)毫升/mL (3)升/L (4)立方厘米/cm3 【分析】常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，手指一节的体积大约是1立方厘米，一个粉笔盒的体积大约是1立方分米，棱长是1米的正方体的体积是1立方米。常用的容积单位有升和毫升，容积是1立方分米的容器正好盛水1升，容积是1立方厘米的容器正好盛水1毫升。根据一个单位的大小和单位前面的数字选择合适的单位。 【详解】（1）一桶纯净饮用水大约18升。 （2）一袋草莓酸牛奶约220毫升。 （3）一个游泳池的容积是1200升。 （4）一块橡皮的体积大约是8立方厘米。 2. 在括号里填上合适的数。 40dm3＝( )cm3        850L＝( )m3 6400mL＝( )L        0.26dm3＝( )L＝( )mL 【答案】 40000 0.85 6.4 0.26 260 【分析】根据1dm3＝1000cm3，1m3＝1000L，1L＝1000mL，1dm3＝1L，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 【详解】40×1000＝40000（cm3）；850÷1000＝0.85（m3） 6400÷1000＝6.4（L）；0.26×1000＝260（mL） 40dm3＝40000cm3；850L＝0.85m3 6400mL＝6.4L；0.26dm3＝0.26L＝260mL 【对应练习】 1. 在下面的括号里填上合适的单位。 (1)一本数学书的体积约为300( )。 (2)一间教室所占空间的大小约为140( )。 (3)一个水杯的容积约为0.35( )。 【答案】(1)立方厘米/cm3 (2)立方米/m3 (3)升/L 【分析】（1）指尖的体积大约是1立方厘米。数学书较大，并且括号前的数据是300，填立方厘米作单位比较合适； （2）一个滚筒洗衣机的体积大约是1立方米。教室远比滚筒洗衣机大，括号前的数据是140，那么单位填立方米是合适的； （3）一盒牛奶的容积大概是250毫升，即0.25升。正常的水杯能装下一盒牛奶，那么水杯的容积大约是0.35升。 【详解】（1）一本数学书的体积约为300立方厘米。 （2）一间教室所占空间的大小约为140立方米。 （3）一个水杯的容积约为0.35升。 2. 在括号里填上适当的数。 4600cm3＝( )dm3             30L＝( )mL 5.7m3＝( )m3( )dm3        42.07dm3＝( )L＝( )mL 【答案】 4.6 30000 5 700 42.07 42070 【分析】根据1dm3＝1000cm3，1L＝1000mL，1m3＝1000dm3，1dm3＝1L＝1000mL，高级单位换低级单位乘进率，低级单位换高级单位除以进率，依此进行计算即可。 【详解】4600÷1000＝4.6，即4600cm3＝4.6dm3 30×1000＝30000，即30L＝30000mL 5.7＝5＋0.7，0.7×1000＝700，即5.7m3＝5m3700dm3 42.07×1000＝42070，即42.07dm3＝42.07L＝42070mL 【考点02】长方体的体积（容积）与生活实际应用 【典型例题】 如图所示，用混凝土浇筑一个无盖的长方体水槽，从外面量，长10分米、宽8分米、高4分米，混凝土厚1分米，根据以上信息计算出这个水槽的容积。 【答案】144升 【分析】观察图形可知，这个水槽从里面测量的长为10－1×2＝8分米，宽为8－1×2＝6分米，高为4－1＝3分米，再根据长方体的容积公式：V＝abh，据此求出这个水槽的容积，结果再根据1立方分米＝1升，把结果化为升作单位。 【详解】（10－1×2）×（8－1×2）×（4－1） ＝（10－2）×（8－2）×（4－1） ＝8×6×3 ＝48×3 ＝144（立方分米） ＝144（升） 答：这个水槽的容积是144升。 【对应练习】 学校运动场有一个长6米、宽4米、深0.5米的长方体沙坑。 （1）工人把7.2立方米的黄沙铺在沙坑里，可以铺多厚？ （2）如果每立方米沙子180元，这个沙坑填满沙子，需要多少元？ （3）请提出一个数学问题，并解答。 【答案】（1）0.3米；（2）2160元；（3）见详解；34平方米 【分析】（1）长方体沙坑的底面积可利用长方形的面积公式求出，等于长乘宽，再利用长方体的体积公式：V＝Sh，用黄沙的体积除以长方体沙坑的底面积，即可求出铺沙子的厚度。 （2）已知长为6米、宽为4米、高为0.5米，这个沙坑填满沙子，则沙子的体积根据长方体的体积公式即可求出，再乘每立方米沙子的价格，求出需要的总价钱。 （3）可提出一个关于计算长方体表面积的题目，比如要把这个长方体沙坑改造成一个水池，四周及底部铺上瓷砖，那么求需要铺瓷砖的面积是多少平方米？由于缺少上底面，实际上是求长方体4个侧面和1个底面的面积之和，利用长方体的表面积公式：S＝a×b＋a×h×2＋b×h×2，代入数据即可求出需要铺瓷砖的面积。 【详解】（1）7.2÷（6×4） ＝7.2÷24 ＝0.3（米） 答：可以铺厚度为0.3米高的沙子。 （2）6×4×0.5×180 ＝24×0.5×180 ＝2160（元） 答：需要2160元。 （3）提出问题：如果改造成一个水池，要在四周及底部铺上瓷砖，求需要铺瓷砖的面积是多少平方米？ 6×4＋6×0.5×2＋4×0.5×2 ＝24＋6＋4 ＝34（平方米） 答：需要铺瓷砖的面积是34平方米。 （答案不唯一） 【点睛】此题主要考查长方体的表面积和体积的计算方法，灵活运用公式解决问题。 【考点03】正方体的体积（容积）与生活实际应用 【典型例题】 一块正方体石料的棱长为6分米，如果1立方分米石料的质量是2.7千克，这块石料的质量是多少千克？ 【答案】583.2千克 【分析】先根据正方体的体积公式，棱长×棱长×棱长，求出石料的体积，再乘2.7即可求出石料的质量即可。 【详解】6×6×6×2.7 ＝36×6×2.7 ＝216×2.7 ＝583.2（千克） 答：这块石料的质量是583.2千克。 【点睛】解答本题的关键是掌握正方体的体积计算公式。 【对应练习】 一个正方体水槽，从里面量得棱长60厘米，往里面倒入198升水，水面离水槽口还有多少厘米？ 【答案】5厘米 【分析】水面高度＝水的体积÷水槽底面积，正方体棱长－水面高度＝水面离水槽口距离，据此列式解答。 【详解】60厘米分米 （分米） （厘米） 答：水面离水槽口还有5厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式。 【考点04】长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 【典型例题】 1．（正方体扩倍关系）一个正方体棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 4 8 【分析】采用设数法解决此题。假设原来正方体的棱长为1，棱长扩大到原来的2倍后是2。 正方体的表面积＝棱长×棱长×6，根据正方体的表面积公式分别计算出正方体原来的表面积、扩大后的表面积；再用扩大后的表面积÷原来的表面积，求出表面积扩大到原的几倍。 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，根据正方体的体积公式分别计算出正方体原来的体积、扩大后的体积；再用扩大后的体积÷原来的体积，求出体积扩大到原的几倍。 【详解】假设原来正方体的棱长为1。 2×1＝2 2×2×6÷（1×1×6） ＝24÷6 ＝4 2×2×2÷（1×1×1） ＝8÷1 ＝8 所以，表面积扩大原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。 【点睛】当正方体的棱长扩大到原来的n倍时，它的表面积就扩大到原来的n2倍；它的体积就扩大到原来的n3倍。 2．（长方体扩倍关系）一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，它的体积扩大( )倍。 【答案】8 【分析】可以设长方体的长、宽、高分别为a、b、h，扩大后变为2a、2b、2h，然后根据长方体的体积公式计算后判断正误。 【详解】V原＝abh V扩＝（2a）×（2b）×（2h） ＝4ab×2h ＝8abh 所以体积扩大了8倍。 【点睛】此题考查了长方体的体积公式。 【对应练习】 一个正方体的体积是64立方厘米，如果棱长扩大到原来的2倍，则扩大后的正方体的体积是( )立方厘米。 【答案】512 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，已知正方体的体积是64立方厘米，代入可求出正方体的棱长，棱长扩大到原来的2倍，求出扩大后的棱长，再利用正方体的体积公式，即可求出扩大后的长方体的体积。 【详解】因为4×4×4＝64（立方厘米） 所以正方体的棱长为4厘米。 棱长扩大到原来的2倍， 4×2＝8（厘米） 8×8×8＝512（立方厘米） 即扩大后的正方体的体积是512立方厘米。 【点睛】此题的解题关键是熟练运用正方体的体积公式求解。 【考点05】典型问题·无盖长方体容积问题（剪角折叠求体积问题） 【典型例题】 如图，把一张长方形铁皮的四个角各剪下一个边长是2分米的正方形，按图中的虚线折起来焊接成一个长方体无盖水箱。这个水箱用了多大的铁皮？这个水箱最多可盛水多少升？ 【答案】92平方分米；80升 【分析】1.2米＝12分米；0.9米＝9分米；根据题意可知，长方形铁皮的四个角，焊成一个长方体，长方体的长等于（12－2×2）分米，宽等于（9－2×2）分米，高等于2分米，求这个水箱用铁皮的面积，就是求这个无盖长方体的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出需要铁皮的面积；求这个水箱最多盛水的容积，就是求这个长方体水箱的容积，根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据即可解答，注意单位名数的换算。 【详解】1.2米＝12分米 0.9米＝9分米 长：12－2×2 ＝12－4 ＝8（分米） 宽：9－2×2 ＝9－4 ＝5（分米） 高2分米 铁皮面积：8×5＋（8×2＋5×2）×2 ＝40＋（16＋10）×2 ＝40＋26×2 ＝40＋52 ＝92（平方分米） 容积：8×5×2 ＝40×2 ＝80（立方分米） 80立方分米＝80升 答：这个水箱用了92平方分米的铁皮，这个水箱最多可盛水80升。 【对应练习】 如图所示，在长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四个角各去掉边长为2厘米的小正方形硬纸板，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的容积是多少立方厘米？ 【答案】90立方厘米 【分析】长方体容器的长＝长方形硬纸板的长－小正方形的边长×2，长方体容器的宽＝长方形硬纸板的宽－小正方形的边长×2，长方体容器的高＝小正方形的边长，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出容积。 【详解】（13－2×2）×（9－2×2）×2 ＝（13－4）×（9－4）×2 ＝9×5×2 ＝90（立方厘米） 答：这个容器的容积是90立方厘米。 【考点06】典型问题·等积变形问题 【典型例题】 1. 一个棱长是的正方体铁块，熔铸成一个长、宽的长方体铁块，这个长方体铁块高多少厘米？（损耗忽略不计） 【答案】18厘米 【分析】根据题目可知，正方体铁块熔铸成一个长方体铁块，即体积不变，根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，把数代入公式求出正方体的铁块的体积，再根据长方体的体积公式：长×宽×高，把数代入即可求出长方体铁块的高。 【详解】6×6×6÷（4×3） ＝216÷12 ＝18（cm） 答：这个长方体铁块高18厘米。 【点睛】本题主要考查正方体长方体的体积公式，同时要注意，一个物体熔铸成另一个物体它的体积不变。 2. 一个正方体玻璃缸，棱长6分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为30平方分米，高为10分米的长方体水槽中，水深多少？ 解析： 6×6×6÷30 ＝216÷30 ＝7.2（分米） 答：水深7.2分米。 3. 如下图所示，密闭的容器中装有5厘米深的水。如果以这个容器的右侧面为底面把容器竖起来，这时水深多少厘米？ 解析： 30×10×5÷（10×15） ＝300×5÷150 ＝1500÷150 ＝10（厘米） 答：这时水深10厘米。 【对应练习】 1. 某车间工人王叔叔为了打造一种零件，把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成了一个长方体铁块，这个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，请问它的高是多少厘米？ 【答案】25厘米 【分析】把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成一个长为8厘米，宽为5厘米的长方体零件，体积不变，首先根据求出正方体铁块的体积，然后用正方体铁块的体积除以长方体的底面积即可求出长方体的高，据此解答。 【详解】10×10×10÷（8×5） ＝1000÷40 ＝25（厘米） 答：这个零件的高是25厘米。 2. 一个棱长是12分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个长为18分米，宽为10分米，高为12分米的长方体鱼缸里，水有多深？（鱼缸厚度忽略不计） 解析： 12×12×12÷（18×10） ＝1728÷180 ＝9.6（分米） 答：水深9.6分米。 3. 有一个长方体容器，长40厘米，宽20厘米，高15厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来放置，这时水深是多少厘米？ 解析： 40×20×6 ＝800×6 ＝4800（立方厘米） 4800÷20÷15 ＝240÷15 ＝16（厘米） 答：竖起来后水深是16厘米。 【考点07】典型问题·排水法求不规则物体的体积 【典型例题】 贵州贵定盘江酥李味甜汁多、酥脆爽口，深受大家欢迎。为测量一个酥李的体积，小丽和爸爸拿了5个差不多大的酥李做了如下实验： ①测量出一个长方体容器内的长是25厘米，宽是20厘米。 ②测量出长方体容器内的高是20厘米。 ③在容器内注入一定量的水，量出水面高度是8厘米。 ④将5个酥李完全浸没在水中（水未溢出），量出水面高度是8.5厘米。 （1）要求平均每个酥李的体积，上面的信息必须用到（     ）。（填序号） （2）根据选出的信息，求出平均每个酥李的体积是多少立方厘米。 【答案】（1）①③④ （2）50立方厘米 【分析】（1）水面上升的体积就是浸没在水中酥李的体积，要求平均每个酥李的体积，必须知道容器的长和宽，以及水面原来高度和水面上升后的高度，据此选择信息； （2）长方体容器的长×宽×水面上升的高度＝5个酥李的体积和，再除以5，即可求出平均每个酥李的体积。 【详解】（1）要求平均每个酥李的体积，上面的信息必须用到①③④。 （2）25×20×（8.5－8） ＝500×0.5 ＝250（立方厘米） 250÷5＝50（立方厘米） 答：平均每个酥李的体积是50立方厘米。 【对应练习】 1. 一个正方体容器，从里面量棱长4分米，里面注有水，水深3分米。如果把一块棱长2分米的正方体铁块放入水中，水面会上升多少分米？ 【答案】0.5分米 【分析】水面上升部分的体积等于正方体铁块的体积，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出水面上升部分的体积，再除以容器底面积，求出水面上升高度即可。 【详解】高度： （分米） 答：水面会上升0.5分米。 2. 科学实验课上，乐乐先往一个棱长为2分米的正方体玻璃容器中倒入7升的水，再往容器中放入一块长15厘米、宽10厘米，高8厘米的铁块。请问。放入铁块后，玻璃容器里的水会溢出吗？如果会，溢出的水有多少升？ 解析： 2×2×2＝8（立方分米） 7升＝7立方分米 15×10×8 ＝150×8 ＝1200（立方厘米） 1200立方厘米＝1.2立方分米 7＋1.2＝8.2（立方分米） 8.2立方分米＞8立方分米 8.2－8＝0.2（立方分米） 0.2立方分米＝0.2升 答：玻璃容器里的水会溢出，溢出的水有0.2升。 【考点08】不规则或组合立体图形的体积 【典型例题】 工程队要浇筑一个建筑构件（如图），这个建筑构件的体积是多少？ 解析： 如图所示： 6×10×2＋2×（4－2）×10 ＝60×2＋2×2×10 ＝120＋40 ＝160（立方米） 答：这个建筑构件的体积是160立方米。 【对应练习】 如图所示，一个长方体物体的底面是正方形，中间是空心的正方形。求这个物体的体积。（请写出主要过程） 解析： 10×10×20－5×5×20 ＝100×20－25×20 ＝2000－500 ＝1500（cm3） 答：这个物体的体积是1500cm3。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $