专题16 平行线的证明压轴题分类训练2（综合定值旋转迁移4种类型32道）（高效培优期末专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题16 平行线的证明压轴题分类训练2 （综合定值旋转迁移4种类型32道） 考点01 平行线证明相关综合性问题 考点02 动点定值问题 考点03 旋转相关问题 考点04 知识迁移问题 考点01 平行线证明相关综合性问题 1．如图，与交于点，点在直线上，，，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则； ②如图2，点在之间，当，，则； ③如图2，点在之间，当，，则； ④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（    ）个． ① ② ③平分 ④ A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，，F为上一点，，且平分，于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④平分．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 6．如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③若，则；④与互余的角有2个．其中正确的有几个（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，，点在上，点在上，连接，平分，平分交于点，．给出下面四个结论：①；②平分；③；④．上述结论中，结论正确的序号（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 8．如图，，点在直线上（点F在点的右侧），点在直线上，，垂足为，为线段上的一点，连接，的平分线与的平分线交于点，且点在直线之间，有下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、解答题 考点02 动点定值问题 9．在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，直线互相平行，一块的直角三角板放置在图中，直角顶点C在两条平行线之间，A在上方，B在下方．分别交于点D、E，分别交于点． (1)若，求的度数； (2)点H为线段上一点，若_______，求证：_______． 从①②中选择一个条件，③④中选择一个结论，如果是真命题将序号填在对应的横线上，并全部加以证明． ①；②；③是定值；④是定值． 10．如图，已知，小楚将一块直角三角板的点放置在直线上，点在直线与直线之间，边与直线相交于点，边与直线相交于点，其中． (1)若，求的度数； (2)旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变． ①当时，求的度数； ②说明与的差是定值． 11．已知直线，将一个含角的直角三板按如图1所示位置摆放，使分别在上，P在之间，设． (1)比较：_______（填“>”“<”或“=”）； (2)如图2，分别画的平分线，交于点Q，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若平分，交于点E，过点N作，交于点F．请在图3中补全图形，并判断的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 12．【问题背景】 如图，在四边形中，，点是的延长线上一点，连接交于点，，点、是边上两点（点在点右侧），连接、，且． 【问题探究】 （1）求证：； （2）平分吗？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）小明画了一条射线，且平分，他说如果比的余角小，那么的度数是定值，请你判断他的说法是否正确，并说明理由． 13．已知，点M，N分别是、上的点，点G在、之间，连接、． (1)如图1．若，已知的平分线交的平分线于点H．求的度数； (2)如图2．若点P是下方一点，平分，平分，已知．证明：为定值． 14．今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，两灯同时转动，转动时间为t秒，假定这一带两岸河堤是平行的，即，且． (1)______°（用含t的式子表示）； (2)如图2，在灯A射线已转过但未到达时．若两灯射出的光束交于点C，当时，求的度数； (3)在（2）的条件下，过C作交于点D，在转动过程中，的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．在 15．如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒．    (1)当射线经过点A时，在图①中画出射线和射线，并求此时的度数． (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（解答时需要的图形请画在备用图中） (3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H做交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由．（解答时需要的图形请画在备用图中） 16．酷热的夏天过后汛期即将来临，为了便于夜间查看盘龙江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯和．如图1，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，若灯每秒钟转动度，若灯每秒钟转动b度，且满足：，假设这一带盘龙江两岸是平行的，即．且． (1)求a、b的值． (2)若灯B射线先旋转30秒，灯射线才开始转动，求灯转动多少秒时，两灯灯光第一次平行． (3)如图2，两灯同时转动t秒，在灯射线到达之前，若射出来的光线交于点C． ① （用含有t的式子表示）； ②过点C作交于点D，在转动过程中，的值是一个定值吗？若是，请求出这个定值．若不是，请说明理由． 考点03 旋转相关问题 17．某市在某段江两岸安置了两座可旋转探照灯．如图1所示灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒2度，假定江两岸是平行的，即，且． (1)求的度数； (2)若灯射线先转动10秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点，则在灯射线到达之前，当灯转动多少秒时，． 18．如图，直线，直线分别交，于点，，直角三角板如图放置，，直线. (1)求的度数. (2)将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，得到三角板，旋转的时间为秒. ①当三角板的一边与直线平行时，求的值； ②三角板绕点旋转的同时，直线绕点以每秒的速度逆时针旋转到，若，求的值. 19．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．已知，，为上两点，连接，，平分交于点，为上一点，连楼． (1) ； (2)如图，为上一点，连接．当，时，试说明：； (3)探照灯，射出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线从出发以每秒的速度逆时针转动，探照灯射出的光线从出发以每秒的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，是否存在与互相平行，如果存在，请求出此时的值；如果不存在，请说明理由． 20．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． (1)如图1，在边上任取一点（不同于点，），过点作，若，求的度数； (2)如图2，过点作，请探索并说明与之间的数量关系； (3)将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由． 21．为美化我市夜景，在两栋楼体上安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射，若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒．假定两栋楼的墙面是平行的，即，且． (1)填空： ； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，求A灯转动几秒，两灯的光束互相平行． (3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，在灯B射线第一次到达BQ之前，直接写出转动的时间为多少秒时，． 22．如图①，，直线分别交于点，，，三角形的顶点在线段上，且，． (1)求的度数． (2)平分吗？请说明理由． (3)如图②，将三角形绕点顺时针旋转，旋转至点落在射线上时停止，当与三角形的其中一条边平行时，直接写出此时的度数． 23．如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 24．如图，点P为直线外一点，过点P作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线、上，且点P在点E的右侧，，，设（）． 　　　　 　　　　 (1)填空：______°； (2)若的平分线交直线于点H，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点E以每秒的转速顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的转速进行逆时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当t为何值时，？ 考点04 知识迁移问题 25．已知直线， 直线分别交于点M、N．P是之间的一点，且位于直线左侧，连接． 【基础探究】 （1）①如图1，若， 则∠的度数为 度； ②在图1中探究和的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】 直接运用(1)中的结论，解决下列问题： （2）如图2，若平分，平分，交的延长线于点Q，，则的度数为 度． 26．【图形理解】 两根平行线，一根截线穿，角的关系藏中间，图形不全别着急，辅助线来补完整，转化思想帮你赢！ 【建立模型】 （1）如图1，，点P在直线之间，，则的度数为______； （2）如图2，，点P在直线之间，猜想与之间的关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）如图3，，线段与线段相交于点E，．过点D作交直线于点G，平分，平分，求的度数． 27．【问题背景】如图1，已知直线与直线交于点E，与直线交于点F，平分交直线于点M，且． (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)【拓展迁移】点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设，． ①如图2，当点G在点F的右侧，且时，求的值； ②当点G在运动过程中，直接写出与之间的数量关系． 28．综合与探究 【问题探究】 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 同学甲：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别证明，； 同学乙：如图③，过点作，则，再证明． 【问题解答】 （1）按同学甲的思路，补充证明过程及依据； 证明：过点作，∴ ∵ ∴（____________________） ∴…… （2）按同学乙的思路，写出证明过程； 【问题迁移】 （3）如图④，已知，平分，平分，平分．请猜想，，之间数量关系，并证明． 29．综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线，为的平分线，和相交于点． 【探究问题】 （1）如图1，请直接写出之间的数量关系． （2）如图1，请写出之间的数量关系，并说明理由． 【知识迁移】 （3）如图2，若，求大小． 30．【感知】如图1，已知，，求的度数． 小马同学的思路是：过点P作，通过平行线的性质求．按照小马同学的思路，易求得______； 【迁移】如图2，点P是所在直线上方的一点，且，连接．若，求的度数； 【应用】如图3是一盏可以伸缩的台灯示意图，已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．求灯头与水平线的夹角的度数． 31．（1）【问题解决】如图1，已知，点P在之间，，求的度数． （2）【问题迁移】如图2，若，点P 在的上方，则之间有何数量关系？请说明理由． （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和 的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含α的式子表示）. 32．综合与探究：“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想．有这样一个问题： 如图：，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． (1)【问题解决】如图①，当点在线段左侧时，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． (2)【问题迁移】如图②，当点在线段右侧时，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． (3)【联想拓展】若、的平分线交于点，且，则______． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 平行线的证明压轴题分类训练2 （综合定值旋转迁移4种类型32道） 考点01 平行线证明相关综合性问题 考点02 动点定值问题 考点03 旋转相关问题 考点04 知识迁移问题 考点01 平行线证明相关综合性问题 1．如图，与交于点，点在直线上，，，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，过点作，，分别表示出、，即可分析出答案． 【详解】解： ①正确； 过点作，， ， ， 设，，则， ， ②正确； ， ， 而 ③错误； ， ∴④正确． 综上所述，正确答案为①②④． 故选：C． 2．已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则； ②如图2，点在之间，当，，则； ③如图2，点在之间，当，，则； ④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质．①过点P作，则，根据平行线的性质即可求解；②过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；③过点P作，过点Q作，则，，结合，即可得到结论；④过点P作，则，可得，过点N作，可得，即，结合，，可得，进而可得结论． 【详解】解：①过点P作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；①正确； ②点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，②正确； ③过点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴，即，③正确； ④过点P作，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ 过点N作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，④正确． 综上，正确的有4个， 故选：D． 3．如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（    ）个． ① ② ③平分 ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】如图，延长交于，由，可得，由，可得，，进而可判断①的正误；由分别为的角平分线，则，，如图，过作，则，有，，根据，可得，可得，进而可判断④的正误；由，可知，，由，可得，进而可判断③的正误；由，可知，由于与的位置关系不确定，可知与的大小关系不确定，则不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①正确，故符合要求； ∵分别为的角平分线， ∴，， 如图，过作， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴④正确，故符合要求； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分， ∴③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵与的位置关系不确定， ∴与的大小关系不确定， ∴不一定成立， ∴②错误，故不符合要求； ∴正确的共有3个， 故选B． 【点睛】本题考查了两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；角平分线，两直线平行，同旁内角互补等知识．解题的关键在于对平行线的判定与性质的熟练掌握与灵活运用． 4．如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】①过点F作FH∥AB，利用平行线的性质以及已知即可证明； ②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，结合①的结论即可证明； ③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，结合①的结论即可证明； ④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，结合①的结论即可证明． 【详解】解：①过点F作FH∥AB，如图： ∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD， ∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH， ∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°， ∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正确； ②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP， ∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1， ∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2， ∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°， 即2∠1=180°-2∠2-∠CGF， ∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF， ∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)， ∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)= 360°-(180°-∠CGF)= 180°+∠CGF， ∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正确； ③∵∠MGF＝2∠CGF， ∴∠MGC＝3∠CGF， ∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)= 390°＝270°； 3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正确； ④∵∠MGF＝n∠CGF， ∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC， ∵∠AEF+∠CGF=90°， ∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正确． 综上，①②③④都正确，共4个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此题的关键． 5．如图，，F为上一点，，且平分，于点G，且，则下列结论：①；②平分；③；④平分．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据可得，从而可得，再根据可得，再根据代入计算，即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断③；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断②和④． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，则结论①正确； ∵， ∴， ∴，则结论③正确； ∵， ∴，， 但不一定等于，也不一定等于， 所以平分，平分都不一定正确，则结论②和④都错误； 综上，正确的是①③． 故选：B． 6．如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③若，则；④与互余的角有2个．其中正确的有几个（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，垂直的定义，角平分线的定义，互余等．根据，平分，通过导角可判断①；根据平行线的判定定理可判断②；根据平行线的性质及角平分线的定义可判断③；根据互余的定义可判断④． 【详解】解：平分， ， ， ，， ， 平分，故①正确； ，平分， ，， ， ， ， ，故②正确； ，， ， ， ， ， ，故③正确； 与互余的角有：，，，，共4个．故④错误； 综上可知，正确的有， 故选C． 7．如图，，点在上，点在上，连接，平分，平分交于点，．给出下面四个结论：①；②平分；③；④．上述结论中，结论正确的序号（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点．根据平行线的判定和性质以及图形中角度之间的关系逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴平分；故②正确； ∵，，但不一定成立， ∴不一定成立，即③错误； ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即；故④正确． 故正确的有：①②④． 故选：C． 8．如图，，点在直线上（点F在点的右侧），点在直线上，，垂足为，为线段上的一点，连接，的平分线与的平分线交于点，且点在直线之间，有下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得，是解此题的关键．①过点作，利用平行线的性质以及已知即可证明；②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到 ，结合①的结论即可证明；③由已知得到，结合①的结论即可证明；④由已知得到，结合①的结论即可证明． 【详解】①过点作， 如图： ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴，故①正确； ②∵，平分，平分， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∵， ， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∴， 即， 故③正确； ④∵， ∴，即， ∵， ，故④不正确． 综上，①②③正确， 故选：C． 二、解答题 考点02 动点定值问题 9．在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，直线互相平行，一块的直角三角板放置在图中，直角顶点C在两条平行线之间，A在上方，B在下方．分别交于点D、E，分别交于点． (1)若，求的度数； (2)点H为线段上一点，若_______，求证：_______． 从①②中选择一个条件，③④中选择一个结论，如果是真命题将序号填在对应的横线上，并全部加以证明． ①；②；③是定值；④是定值． 【答案】(1) (2)若①，求证：④；若②，求证：③． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是本题解题的关键． （1）过C作，先根据平行线的性质求出，再根据余角求出，再根据平行线的性质求出，最后根据补角求出即可； （2）根据（1）的结论，可以用表示出，进而得出结论． 【详解】（1）解：过C作，如图 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）当选题设①时，如图： 由（1）知， ， ， ∴，为定值，即④正确； 当选题设②时，由①可得：， ∴， ∴， ∴，为定值，即③正确． 故答案为：若①，求证：④；若②，求证：③． 10．如图，已知，小楚将一块直角三角板的点放置在直线上，点在直线与直线之间，边与直线相交于点，边与直线相交于点，其中． (1)若，求的度数； (2)旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变． ①当时，求的度数； ②说明与的差是定值． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了平行线性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）利用平行线性质推出，再结合平角定义求解，即可解题； （2）①过点作，利用平行线性质和判定推出，结合，进而得到，再结合平角定义求解，即可解题； ②设，由①可知，，推出，，再作差计算，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：①过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②设， 由①可知，， ， ， ， ， ， 与的差是定值． 11．已知直线，将一个含角的直角三板按如图1所示位置摆放，使分别在上，P在之间，设． (1)比较：_______（填“>”“<”或“=”）； (2)如图2，分别画的平分线，交于点Q，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若平分，交于点E，过点N作，交于点F．请在图3中补全图形，并判断的大小是否是一个定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，平角的性质，通过平行线构造等角是解答本题的关键． （1）通过辅助线构造等角得出和，进而得出结论； （2）由平行线的性质得出，在平角中求出，进而求出 ，再同（1）可求出的大小； （3）根据题意补全图形，先由平行线的性质求出然后角平分线的性质求出，最后通过角的和差关系求得 ，结合（1）即可求出结果． 【详解】（1）解： 如图， 过点作平行于， 则， ， ， ， 故答案为：； （2）解：∵， ， ， ∴由（1）结论同理可得：， ， ； （3）解：根据题意补全图形如下： ∵， ， ， ， ， ∵平分， ， ∵平分 ， ， ， 由（1）知， ， 故的大小为定值，度数是 ． 12．【问题背景】 如图，在四边形中，，点是的延长线上一点，连接交于点，，点、是边上两点（点在点右侧），连接、，且． 【问题探究】 （1）求证：； （2）平分吗？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）小明画了一条射线，且平分，他说如果比的余角小，那么的度数是定值，请你判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）平分，理由见解析；（3）的度数是定值，理由见解析 【分析】（1）由知，据此得，结合知，据此即可得证； （2）由，求得，再求得，据此即可得证； （3）根据题意求得，由角平分线的定义可得出以及，将其代入可得结论． 【详解】解：（1）， ， ， 又， ， ； （2）平分，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）的度数是定值，理由如下， ∵， ∴， 设， ∵比的余角小， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数是定值． 13．已知，点M，N分别是、上的点，点G在、之间，连接、． (1)如图1．若，已知的平分线交的平分线于点H．求的度数； (2)如图2．若点P是下方一点，平分，平分，已知．证明：为定值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查平行的常见模型，对于平行的辅助线添加，可过转折点处作已知直线的平行线，再利用平行的性质求解．关于度数的定值问题，可以借助代数式求证． （1）过点作，利用平行线的性质得到，过点作，利用平行的性质得到对应的角度关系，进而求取的值； （2）根据角平分线的定义求出，，，设，求出，，相减即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ， ， ． 过点作， ，，， 平分，平分， ， ， ，， ； （2）如图所示，将与的交点记作， 平分，且， ，， 平分， ， 设， ， 由（1）同理可得，， ， ， 在中，， ，即为定值． 14．今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，两灯同时转动，转动时间为t秒，假定这一带两岸河堤是平行的，即，且． (1)______°（用含t的式子表示）； (2)如图2，在灯A射线已转过但未到达时．若两灯射出的光束交于点C，当时，求的度数； (3)在（2）的条件下，过C作交于点D，在转动过程中，的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．在 【答案】(1) (2) (3)是定值； 【分析】本题主要考查平行线的性质和余补角和， （1）根据题意得，则， （2）过点C作，则，当时，，则，利用角度和差有即可； （3）设A灯转动时间为t秒，则，，根据平行线的性质得，结合垂直得，则有即可． 【详解】（1）解：根据题意得，则， 故答案为：； （2）解：过点C作，如图， 则， 当时， ∴， ∵， ∴； （3）解：设A灯转动时间为t秒，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 即的比值是一个定值，这个定值为． 15．如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒．    (1)当射线经过点A时，在图①中画出射线和射线，并求此时的度数． (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（解答时需要的图形请画在备用图中） (3)在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H做交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由．（解答时需要的图形请画在备用图中） 【答案】(1)图见解析， (2)存在，或 (3)的值不变， 【分析】本题考查平行线的性质，作辅助线沟构造平行是解题的关键． （1）运用平行线的性质直接解题即可； （2）设射线与射线所在直线的交点为点，则，，，过点P作，由平行线的性质可得，分两种情况或时分别解题即可； （3）由（2）可得，由垂直可得，又直接求比值解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， 故答案为135； （2）解：设射线与射线所在直线的交点为点， 旋转时间为秒时，，， 即， ①如图，当时，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， 解得， ②如图，当时，则， 由①可知，即， 解得， 综上所述，当时，射线与射线所在直线的夹角为， （3）的值不变，理由为： 解：如图，由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 16．酷热的夏天过后汛期即将来临，为了便于夜间查看盘龙江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在盘龙江两岸各安置了探照灯和．如图1，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，灯射线自顺时针方向旋转至便立即回转，若灯每秒钟转动度，若灯每秒钟转动b度，且满足：，假设这一带盘龙江两岸是平行的，即．且． (1)求a、b的值． (2)若灯B射线先旋转30秒，灯射线才开始转动，求灯转动多少秒时，两灯灯光第一次平行． (3)如图2，两灯同时转动t秒，在灯射线到达之前，若射出来的光线交于点C． ① （用含有t的式子表示）； ②过点C作交于点D，在转动过程中，的值是一个定值吗？若是，请求出这个定值．若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②为定值， 【分析】本题考查了非负数的性质，列代数式，解一（二）元一次方程(组)，平行线的性质，平行公理的推论．利用非负数的性质和平行线的性质列出方程（组）是解题的关键． （1）利用非负数的性质，列方程组解出即可； （2）设转动时间，并表示出灯和灯转动的角度，再利用平行线的性质，列出方程解出即可； （3）①利用锯齿形中各角的关系即可列出代数式； ②利用①的结论和②中的条件，用表示出与，即可探究出的值． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：； （2）当两灯灯光第一次平行时， 则：， 解得：； （3）①如图，过点C作， ， ， ， ∴， 经过秒，， ， 故答案为：； ②为定值， ， ， ， ， ，， ， ． 考点03 旋转相关问题 17．某市在某段江两岸安置了两座可旋转探照灯．如图1所示灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒2度，假定江两岸是平行的，即，且． (1)求的度数； (2)若灯射线先转动10秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点，则在灯射线到达之前，当灯转动多少秒时，． 【答案】(1) (2)灯转动20秒或68秒，两灯的光束互相平行 (3)在灯射线到达之前，两灯转动20秒或76秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，一元一次方程的应用，解题的关键在于能够运用分类讨论的思想求解． （1）由平行线的性质结合角的倍分关系可得答案； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，当时，再建立方程求解即可； （3）分两种情况进行讨论：当时，和，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解：，，， ． （2）解：设灯转动秒， ①如图，当时， ∵， 则， 又∵， ， ， ， ， ； ②如图，当时，∵， 则， 又∵， ， ， ， ∴， ∴； 综上，灯转动20秒或68秒，两灯的光束互相平行； （3）解：当时，设灯射线转动时间为秒， ， ， 过作，而， ∴， ∴，， 又， ， 解得：， 如图，当时，此时， 同理可得：， ， ， 综上所述，在灯射线到达之前，两灯转动20秒或76秒． 18．如图，直线，直线分别交，于点，，直角三角板如图放置，，直线. (1)求的度数. (2)将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，得到三角板，旋转的时间为秒. ①当三角板的一边与直线平行时，求的值； ②三角板绕点旋转的同时，直线绕点以每秒的速度逆时针旋转到，若，求的值. 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）设与交于点，根据平行线的性质，即可求解； （2）①根据，只有一种情形，根据题意列出方程，解方程，即可求解； ②，根据，或建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，设与交于点， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ （2）解：①如图1，， 只有一种情形， 则'， ， 。 ②如图2，此时。， ， ， 。 如图3，此时 ， ， 。 综上，若，则的值为或。 19．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．已知，，为上两点，连接，，平分交于点，为上一点，连楼． (1) ； (2)如图，为上一点，连接．当，时，试说明：； (3)探照灯，射出的光线在铁路所在平面旋转，探照灯射出的光线从出发以每秒的速度逆时针转动，探照灯射出的光线从出发以每秒的速度逆时针转动，转至射线后立即以相同速度回转．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止转动，则在转动过程中，是否存在与互相平行，如果存在，请求出此时的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的值为或 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的性质，一元一次方程的应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用平行线的性质和角平分线的性质解答即可； （2）由可得，再利用平行线的性质可得，即可求证； （3）分两种情况画图，根据平行线的性质，列出关于的式子即可解答即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 当时，则，如图， ∵， ∴， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴； 当转射线后回转， 当时，则，如图， 由题意得，， ， ∴， ∴ ∴； 综上，的值为或或． 20．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． (1)如图1，在边上任取一点（不同于点，），过点作，若，求的度数； (2)如图2，过点作，请探索并说明与之间的数量关系； (3)将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)①当点在直线的上方时，．②当点在直线与直线之间时，．③当点在直线的下方时， 【分析】（1）根据平行线的性质可知，结合，可求出的度数； （2）过点作，得到，通过平行线的性质把和转化到上即可； （3）分三种情形：①如图3−1中，当点F在直线的上方时，②当点F在直线与直线之间时，．③当点F在直线的下方时，分别利用平行线的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：如图1中， ， ，     ， ， ， 即． （2）解：，  理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （3）解：①如图3-1中，当点在直线的上方时，过点作． ，， ， ，， ， ． ②当点在直线与直线之间时，． ③当点在直线的下方时，过点作． ，， ， ，， ， ． 综上所述，①当点在直线的上方时，． ②当点在直线与直线之间时，． ③当点在直线的下方时， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角的和差计算，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，需要用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 21．为美化我市夜景，在两栋楼体上安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射，若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒．假定两栋楼的墙面是平行的，即，且． (1)填空： ； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，求A灯转动几秒，两灯的光束互相平行． (3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，在灯B射线第一次到达BQ之前，直接写出转动的时间为多少秒时，． 【答案】(1)60； (2)A灯转动30秒，两灯的光束互相平行； (3)转动时间为90秒，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用补角的定义，即可求解； （2）根据两光束平行，利用平行线的性质列方程，求解即可； （3），即两光束垂直，再结合平行线的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）知， 设A灯转动时间为t秒，由两光束平行，得内错角相等，可知， 解得：， ∴A灯转动30秒，两灯的光束互相平行； （3）解：转动时间为90秒，理由： ∵，即两光束垂直， ∴， 解得：， ∴转动时间为90秒时，． 22．如图①，，直线分别交于点，，，三角形的顶点在线段上，且，． (1)求的度数． (2)平分吗？请说明理由． (3)如图②，将三角形绕点顺时针旋转，旋转至点落在射线上时停止，当与三角形的其中一条边平行时，直接写出此时的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由，得，又，得证； （2）由（1），由，得，，由等角的余角相等，得，命题得证； （3）由分别与的三边分别平行，分情况讨论处理； 【详解】（1）解：∵， ∴， 又，， ∴， （2）解：平分，理由如下， ∵， ∴，， ∴， ∴平分． （3）解：记旋转角为，则 ①与的边平行时，如图， ∵, ∴, 又, ∴,； 如图， , ； ② 与的边平行时，如下图，     ，， ∴；    ③与的边平行时，如下图， , ∴，    综上，旋转角为或或或． 23．如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 【答案】(1) (2)①7.5；②或30 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于利用方程思想解决问题． （1）利用平行线的性质，以及角平分线的定义求解，即可解题． （2）①首先证明，由此构建方程求解，即可解题． ②分两种情形：当时，延长交于R．根据构建方程即可解决问题．当时，延长交于R．根据构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：①如图， ， ， ， ， ， ， 在旋转过程中，若边，t的值为； ②如图，当时，延长交于R， ， ， ，， ， ， ； 如图，当时，延长交于R， ， ， ，， ， ， ． 综上所述，满足条件的t的值为或30． 24．如图，点P为直线外一点，过点P作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线、上，且点P在点E的右侧，，，设（）． 　　　　 　　　　 (1)填空：______°； (2)若的平分线交直线于点H，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点E以每秒的转速顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的转速进行逆时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当t为何值时，？ 【答案】(1) (2)①；②6或或． 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关键． （1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答； （2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系，②动点问题，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）①， ， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵的平分线交直线于点H， ， ∵ ∴ 即 ②∵射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动． ∴ 设旋转后射线变为，变为，则即为，分三种情况： 当在下方时，， ∴， ∵， ∴，即， 解得； 如图，当在直线的上方时， 由旋转可知，，， ∵ ∴ ∴ 解得； 当在直线的下方时， 由旋转可知，，， ∵ ∴ ∴ 解得； 故答案为：6或或． 考点04 知识迁移问题 25．已知直线， 直线分别交于点M、N．P是之间的一点，且位于直线左侧，连接． 【基础探究】 （1）①如图1，若， 则∠的度数为 度； ②在图1中探究和的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】 直接运用(1)中的结论，解决下列问题： （2）如图2，若平分，平分，交的延长线于点Q，，则的度数为 度． 【答案】（1）；②，理由见解析；（2） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义： （1）①如图所示，过点P作，则，根据平行线的性质可得，则；②同（1）①求解即可； （2）由（1）可得，设，则，由角平分线的定义可得，，再由平行线的性质可得，则． 【详解】解：（1）①如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可得， 设，则， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．【图形理解】 两根平行线，一根截线穿，角的关系藏中间，图形不全别着急，辅助线来补完整，转化思想帮你赢！ 【建立模型】 （1）如图1，，点P在直线之间，，则的度数为______； （2）如图2，，点P在直线之间，猜想与之间的关系，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）如图3，，线段与线段相交于点E，．过点D作交直线于点G，平分，平分，求的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点P作，则，由平行线的性质得到，则可证明，据此可得答案； （2）过点P作，则，由平行线的性质得到，再根据即可得到结论； （3）由平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，，则由平角的定义可得，同理可得． 【详解】解；（1）如图1所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： 如图2所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图所示，点M为延长线上一点， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得． 27．【问题背景】如图1，已知直线与直线交于点E，与直线交于点F，平分交直线于点M，且． (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)【拓展迁移】点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设，． ①如图2，当点G在点F的右侧，且时，求的值； ②当点G在运动过程中，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质．利用角平分线的性质可得角度的关系，利用平行线的性质可得内错角相等，由角度相等转化关系是解决本题的关键． （1）根据平分，可得，再由，可得，由“内错角相等，两直线平行”证明即可； （2）①根据角平分线的性质可得，，,再结合平行线的性质可转化角度相等，再由即可求解； ②分两种情况讨论，当点G在点F的右侧时和当点G在点F的左侧时，根据角平分线的性质以及平行线的性质得到角度的关系即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵平分， ∴, ∵平分， ∴, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， 解得； ②与之间的数量关系或， 当点G在点F的右侧时，由①得， 当点G在点F的左侧时，如图， ∵平分， ∴, ∵平分， ∴, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，与之间的数量关系或． 28．综合与探究 【问题探究】 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 同学甲：如图②，过点作，把分成与的和，然后分别证明，； 同学乙：如图③，过点作，则，再证明． 【问题解答】 （1）按同学甲的思路，补充证明过程及依据； 证明：过点作，∴ ∵ ∴（____________________） ∴…… （2）按同学乙的思路，写出证明过程； 【问题迁移】 （3）如图④，已知，平分，平分，平分．请猜想，，之间数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3），证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点，构造平行线： （1）根据平行公理的推论，平行线的性质进行作答即可； （2）设交的延长线于点，根据平行线的性质，得到，即可得证； （3）利用（1）中结论，以及角的和差关系即可得出结论． 【详解】解：（1）证明：过点作， ∴ ∵ ∴（平行于同一条直线的两直线平行）， ∴， ∴； （2）过点作，交的延长线于点，则，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），证明如下： 由（1）可知：，， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分，平分， ∴，，， 设， ∴，， ∴，， ， ∴． 29．综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线，为的平分线，和相交于点． 【探究问题】 （1）如图1，请直接写出之间的数量关系． （2）如图1，请写出之间的数量关系，并说明理由． 【知识迁移】 （3）如图2，若，求大小． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质的综合，理解图示，作辅助线，掌握平行线的性质的综合运用是解题的关键． （1）如图所示，过点作，根据两直线平行内错角相等即可求解，，之间的数量的关系； （2）根据角平分线的定义可求出，，之间的数量关系； （3）如图所示，过点作，过点作，设，，根据平行线的性质，角平分线的定义可得，，，由此可得，所以根据，由即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，过点作， ， ， ，， ， ； （2）由（1）证明可知，， 为的平分线，为的平分线， ，， ， ； 故答案为：． （3），理由如下： 如图所示，过点作，过点作， 设，， ， ， ，， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 为的平分线，为的平分线， ，， ， ， ， ， ． 30．【感知】如图1，已知，，求的度数． 小马同学的思路是：过点P作，通过平行线的性质求．按照小马同学的思路，易求得______； 【迁移】如图2，点P是所在直线上方的一点，且，连接．若，求的度数； 【应用】如图3是一盏可以伸缩的台灯示意图，已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角．求灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】感知：70；迁移：；应用： 【分析】本题考查了平行线的性质内容，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 迁移：根据平行线的性质得到，求出即可解答； 迁移：过点P作，得到，，由即可求解； 应用：过点C作，得到，从而求出，易证，推出，再根据，推出，由即可求解． 【详解】解：迁移：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 迁移：如图，过点P作，则， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； 应用：如图，过点C作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 31．（1）【问题解决】如图1，已知，点P在之间，，求的度数． （2）【问题迁移】如图2，若，点P 在的上方，则之间有何数量关系？请说明理由． （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和 的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含α的式子表示）. 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点P作，利用平行线的性质即可解答； （2）过点P作，从而可得，，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系以及等量代换即可解答； （3）根据角平分线的定义可得，，然后利用（2）的结论进行计算即可解答． 【详解】解：（1）如图，过点P作． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）． 理由：如图，过点P作． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）如图，过点G作． ∵，， ∴， ∴，． 又∵的平分线和的平分线交于点G， ∴，， 由（2）得，． ∵， ∴， ∴，即． 32．综合与探究：“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想．有这样一个问题： 如图：，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点． (1)【问题解决】如图①，当点在线段左侧时，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． (2)【问题迁移】如图②，当点在线段右侧时，请写出、、之间的数量关系，并说明理由． (3)【联想拓展】若、的平分线交于点，且，则______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点作，可得，由推出，根据平行线的性质即可求解； （2）过点作，可得，由推出，根据平行线的性质即可求解； （3）分两种情况讨论：当点在线段左侧时，当点在线段右侧时，作出辅助线，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图①，过点作， ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图②，过点作， ， ， ， ， ， ， ； （3）当点在线段左侧时，如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 、的平分线交于点， ，， ， ； 当点在线段右侧时，如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 、的平分线交于点， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $