专题15 平行线的证明压轴题分类训练1（动点求值存在性探究数量关系4种类型32道）（高效培优期末专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题15 平行线的证明压轴题分类训练1 （动点求值存在性探究数量关系4种类型32道） 考点01 动点求值问题 考点02 动点存在性问题 考点03 探究两角的数量关系 考点04 探究三角的数量关系 考点01 动点求值问题 1．如图，，定点，分别在直线，上，平行线，之间有一动点． (1)如图1，试问，，满足怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，试问，，满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若，和的角平分线交于点，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． （1）过点P作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论． （2）当点P在的右侧时，画出图形，过P点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论． （3）分两种情况讨论，①如图，当P在的左侧时，如图，当P在的右侧时，再结合（1）（2）的结论进一步求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，过点P作， 则． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：当点P在的右侧时，．理由： 如图，过P点作． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：①如图，当P在的左侧时， ∵平分，平分， ， ． 由（1）可知，． ∴ ． 由（2）可知，． ． 解得． 如图，当P在的右侧时， ∵平分，平分， ， ． 由（1）可知，． ∴ ． 由（2）可知，， ． 解得． 综上：为或． 2．如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，交射线AM于点C，D． (1)求的度数． (2)当点P运动时，与的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，求的度数． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）利用平行线的性质得出的度数，再结合角平分线的定义求出； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义，分析与的关系； （3）通过角的等量关系和已知条件，求出的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ． 平分，平分， ， ， ． （2）不变，． 证明：， ， 平分， ， ． （3）解：， ， 当时，， ， ． 由（1）可知，， ． 【点睛】本题考查平行线与角平分线的综合应用，掌握利用平行线的性质得出角的关系，结合角平分线的定义进行角的计算与推导是解题的关键． 3．已知点均为定点，直线，点为射线上一个动点（点不与点A重合），连接． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)点为直线下方的动点，连接，使得平分， ①如图2，当点在线段上时，连接，若平分，探究与之间的数量关系，并证明； ②如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，点在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②或 【分析】（1）过点P作，则，两次利用两直线平行，内错角相等即可求解； （2）①过点P作，过点M作，设，，可得，，然后根据角的和差关系即可求证； ②当点P在线段上时，过点P作，而，则，通过平行线的性质即可建立方程进行求解；当点P在线段延长线上时，过点P作，设，通过平行线的性质和角平分线的意义可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：过点P作． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，证明如下： 设，， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 过点P作，过点M作， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点P在线段上时，过点P作，而，则， 设，设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点P在线段延长线上时， 过点P作，则，设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上：的度数为或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确添加辅助线是解决本题的关键． 4．综合与探究： 【问题情境】： （1）如图①，，点，，分别在直线，，上，连接，，当点在直线的左侧时，试说明； 【知识运用】： （2）将图①的点移动到直线的右侧，其他条件不变，如图②．试探究之间的关系，并说明理由； 【综合提升】： （3）如图③，，点，分别在直线，上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数． 【答案】（）见解析；（），理由见解析；（）或 【分析】本题主要考查的平行线的性质； （1）根据平行线的性质得出，，根据，等量代换，即可得出结论； （2）根据平行线的性质可得，，根据，等量代换，即可得出结论； （3）结合（1）（2）的结论，分点在的左右两侧，分别求解即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：． 理由如下：， ， ， ， ， ． （3）解：由（1）可得，当点在的左侧时，； 由（2）可得，当点在的右侧时，， ． 综上所述：的值为或 5．如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①°；② (2)不发生变化；，理由见详解 (3)当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； 过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ，， 又， ， ； 过点作， ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：； （2）解：不发生变化；，理由为： 由可得，， 、的角平分线交于点， ，， ， 过作， ， ； （3）由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ； 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 6．如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①；② (2)不发生变化，的度数为 (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； ②过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由②可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同②的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：①过点作， ， ， ，， 又， ， ； ②过点C作， ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：； （2）不发生变化，，理由为： 由②可得，， 、的角平分线交于点， ， 过点作，则， ，， ； （3）由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 的度数为或． 7．如图1，已知直线，点C为射线上一动点，过点C作交于点D，点E在线段上，． (1)写出一个与相等的角____________________（写一个即可）； (2)如图2，点F在线段上，，．求的度数； (3)点F是直线上的一点，，，，在点C的运动过程中（点C与点B不重合，点A与点F不重合），求的度数（结果用表示）． 【答案】(1)（或） (2) (3)的度数为或 【分析】本题主要考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． （1）根据同角的余角相等以及平行线的性质，即可得到与相等的角； （2）根据，可得，再根据，即可得到； （3）分两种情况讨论：当点F在线段上；点F在延长线上，根据平行线的性质，即可得到的度数为或． 【详解】（1）解：与相等的角为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的角为， 故答案为：（或）； （2）解：，， ， 又， ， ； （3）解：有两种情况： 如图，点F在线段上， ， ，， ， 又， ， ， ， ． 如图，点F在延长线上， ， ，， ， 又， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 8．如图，直线，A、N为直线上的点，过点A的直线交于点B，C在线段的延长线上．D，E为直线上的两个动点，D在B的右侧，E在D的右侧，连接，，满足．点M在上，且在点B的左侧． (1)如图1，若，，则的度数为__________； (2)如图2，射线为的角平分线． ①用等式表示与之间的数量关系，并给出证明； ②当时，的度数为__________． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的等量代换等，灵活运用平行线的性质和角平分线定义等量代换出角的关系是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，，再利用角的等量代换换算即可； （2）①设，，利用角平分线的定义和角的等量代换表示出对比即可；②运用角的等量代换换算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①． 证明如下：如图，设在上有一点在点的右侧，设，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②如图，当点在点右侧时， 由①得：， 又∵， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：． 考点02 动点存在性问题 9．如图，A，B分别是两边上的定点，C是射线上的动点，过点C作线段（点D在内部），且，连结，已知，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． (3)在点C从点O出发，沿着射线移动的过程中，是否存在点C，能使？若存在，求出的度数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定和性质求角的度数． （1）根据平行线的性质求解即可． （2）过点作，由平行线的性质得出，根据线段的和差关系即可得出，再证明，再由平行线的性质即可得出的度数． （3）分两种情况，当点在点左侧时和当点在点右侧时，设，则，过点作．根据平行线的性质列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以． （2）解：如图1，过点作， 所以． 因为， 所以， 所以， 因为， 所以． 由（1）知， 所以， 所以． 所以． （3）解：存在，理由如下： 设，则， 过点作． 因为， 所以． 如图2，当点在点左侧时，， 由（2）知， 所以， ∴， 解得：， 即：． 如图1，当点在点右侧时，， 由（2）知， 所以，， 解得：， 即：． 综上所述：的度数为或． 10．如图1，点分别在直线和上，，射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒． (1)①的度数为___________（用的代数式表示）； ②当射线经过点时，此时的度数为____________． (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在转动过程中，若射线与射线交于点，过点作交直线于点，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，t值为秒或秒． (3)与的数量关系发生变化，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． （1）①根据旋转角度等于旋转速度乘以时间，列式即可；②由，得，则，求解得，即可求解． （2）分三种情况：当射线与射线的反向延长线相交于G，且时 ；当射线与射线相交于G，且时；当射线与射线相交于G，且时；分别求解即可． （3）当时，射线与射线交于点，求得，即可得出结论． 【详解】（1）解：①如图， ∵射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转， ∴ 故答案为：； ②如图： ∵ ∴ ∴， 解得：， ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：当射线与射线的反向延长线相交于G，且时 ，如图， ∵ ∴ ∵， ∴ 解得：； 当射线与射线相交于G，且时，如图， ∵，， ∴ 解得：（不符合题意，舍去）； 当射线与射线相交于G，且时，如图， ∵ ∴ 解得：； 综上，存在，射线与射线所在直线的夹角为，t值为秒或秒． （3）解：与的数量关系要发生变化． 理由：当时，射线与射线交于点，如图， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴与的数量关系要随着t的发生而变化． 11．已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺，且点E，F不能同时落在直线和之间． (1)如图1，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为______； (2)如图2，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，与相交于点M，且所夹锐角为，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，是否存在？若存在，请求出射线与所夹锐角的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）依据题意，根据平行线的性质可得，即可求解． （2）依据题意，先求出的度数即可求解． （3）依据题意，分两种情况进行讨论，点E在上方和在下方两种情况求解即可． 本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，注意分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ， ． 故答案为：． （2）解：由题意，过点E作，如图， ， ，． ， ， ； （3）解：存在，有两种情况； ①当点E在上方时，如图； ， ， ， ∴射线与所夹锐角的度数为． ②当点E在下方时，如图； ， ， 即， ． ∴射线与所夹锐角． 综上所述射线与所夹锐角的度数为或． 12．光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有． (1)如图2，已知镜子与镜子互相平行，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角） (3)如图4，直线上有A、C两点，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点、C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，直接写出所有满足条件的时间t． 【答案】(1)，理由见解析； (2)当平面镜与水平线的夹角为时，能使反射光线正好垂直照射到井底； (3)存在，秒或70秒． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）先根据题意得到，再由平行线的性质得到，，据此求出，即可证明； （2）先计算，进一步得的值，根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等即可求解 ； （3）分当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意得，， ∵镜子与镜子互相平行， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， ∴当平面镜与水平线的夹角为时，可使反射光线正好垂直照射到井底； （3）解：当时， ∵， ∴， ∴， 解得； 当时，∵， ∴， ∴， 解得； 当时，不存在； 综上所述，存在t的值为秒或70秒使得． 13．如图，已知直线，，点，在直线上，且满足，平分． (1)求的度数． (2)若左右平移，在平移的过程中： ①求与的比值； ②是否存在某种情况，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】（1）由直线，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由，即可求得的度数； （2）①首先由直线，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可得，，由，进而可得，即可解答，②首先设，由直线，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得与的度数，又由，即可得方程，解此方程即可求得答案． 【详解】（1）解：， ． ，平分， ． （2）解：①， ，． ， ． ． ②设． ， ， ， ， ． 若，则． 解得， 存在． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行四边形的性质，角平分线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合与方程思想的应用． 14．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺中，，．    (1)如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，求的度数； (2)如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)如图（3），把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A，C始终在直线为直线b上一点）的上方，若存在，射线与直线a所夹锐角的度数为： ．（直接填空） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，平等公理的推论，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作直线，先证，从而得，，则，再根据，可求出的度数； （2）先求出，由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系； （3）先求出，设，则，由平角的定义得，即由此求出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数． 【详解】（1）解：过点作直线，如图1所示：   直线， ∴， ，， ， ， ，， ． （2）解：与间的数量关系是：，理由如下： 如图2所示： ，， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， 即， （3）解：如图3所示：   ，， ， 设， 则， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ． 15．如图1，，，，M是线段上一点，过点M分别作，，分别交于点E，点F． (1)求的度数； (2)点N为直线上的一个动点，连接． ①如图2，当点N在点A的左侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由； ②在整个运动过程中，是否存在点N，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②存在，或 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由平行线性质，，则，再由平行线性质求出，根据即可求解； （2）①根据题意可得，根据平行线的性质可得，求得，即可得出结论； ②当点在点的左侧时．当点在点的右侧时．分别画出图形，根据平行线的性质结合图形，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ． ．                        ， ． ．     ． （2）①．                                                               理由如下： ， ． ， ． ． ．                                                     ②存在点，使得． 下分两种情况： Ⅰ．如图，当点在点的左侧时． ， ． ， ． ， ， ．                       Ⅱ．如图，当点在点的右侧时． ， ． ， ． ， ， ． 16．如图，直线射线，．是射线上一动点，为射线上一点，连接，．作，交直线于点，平分．      (1)若点，，都在点的右侧，______． (2)在(1)的条件下，若，，求和的度数． (3)是否存在点，使？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，的度数为或． 【分析】（1）根据角平分线的定义即可得到的度数； （2）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，根据平分，可得，然后求得，，再根据可得，由，即可得出，进而即可求解； （3）设，则，分两种情况讨论：①当点在点的右侧时，②当点在点的左侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义，得出等量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴ ∵ ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ， ， ∴ ∴ ∵， ∴； ∵，， ∴，， ∴， （3）解：设，则， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当点在点的右侧时，    ∵， ， ， ∵， ， ∵平分， ， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴； ②如图，当点在点的左侧时，    ∵， ， ， ∴ ∵， ∴ 解得， ∴； 综上，存在这样的情形，使，此时的度数为或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，正确分两种情况讨论是解题关键． 考点03 探究两角的数量关系 17．如图，已知，连接，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)请判断与有怎样的数量关系，并说明理由； (2)若于点，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）依据题意，由，得，又，，可得，从而，则，故得解； （2）根据已知条件，可得，再由，得，根据，，得出，进而可得的度数． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ． ． 18．如图，，交、于点、平分交于点，且平分并交于点平分． (1)当时，则______度． (2)求证：． (3)求与的数量关系． 【答案】(1)80 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及角度的计算与推导，解题的关键是利用平行线的性质结合角平分线的定义，逐步分析各角之间的数量关系． （1）利用平行线同位角相等的性质，结合与的关系求解； （2）通过角平分线定义表示角，再结合平行线性质证明与相等； （3）利用角平分线性质及角度的计算与推导，推导与的数量关系． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：80； （2）证明：∵， ∵平分平分， ， ， ∵平分，且， ， ； （3）解：，，且， ， ， ． 19．已知：如图（1），直线、被直线所截，． (1)求证：； (2)如图（2），点在，之间的直线上，P、Q分别在直线、上，连接、，且平分平分，则和之间有什么数量关系，请写出你的结论，并说明理由； (3)如图（3），在（2）的条件下，过点作交于点，连接，若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识．正确作出辅助线是解题的关键． （1）首先证明，即可证得； （2）作，由平行线的性质得到，得到，同理可证：，然后结合角平分线的定义求解即可； （3）如图3中，设，，，则，由平行线的性质得到，然后推出，然后结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）如图1， ，， ， ； （2）结论：如图2中，． 理由：作 同理可证： ，， ，， ∴； （3）如图3中，设，，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．已知：，一块直角三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． (1)如图1，若，则___________°； (2)若的平分线交边于点F， ①如图2，当，且时，试说明：； ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 【答案】(1)46 (2)①见解析，② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点作，根据，可得，根据平行线的性质可得； （2）①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明；②当保持不变时，总有，在直角三角形中，，可得，根据和角平分线的定义，即可求出与α之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：46； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵当保持不变时，总有， 在直角三角形中，， ∴， ∵， ∴，且， ∵平分， ∴， ∴． 21．已知，直线，A，B，C分别是直线，m，n上的点，连结，，若为锐角，点在的内部． (1)如图（1），若，，则的度数为_____ (2)如图（2），以为边向左侧作，与直线交于点（点在点的左侧），作的平分线，交于点，连结并延长，交直线于点，记与直线的夹角为，．若． ①求与的数量关系是_____． ②求的值． 【答案】(1) (2)①， 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角的和差，对顶角相等． （1）根据平行线的性质即可解答； （2）①根据平行线的性质得到，，两式消去，即可解答； ②过作，则，因此，，结合对顶角相等与角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； ②如图2，过作， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴． 22．已知射线平分，点C为上任意一点，过点C作直线交射线于点D． (1)如图1，若，则______°； (2)点E是射线上一动点（不与点C，D重合），OF平分交于点F，过点F作交于点G． ①如图2，当点E在线段上时，若，时，求的度数； ②当点E在线段的延长线上时，设，，求出和之间的数量关系． 【答案】(1)60； (2)①；②． 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，也考查了角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义和平行线的性质即可求解； （2）①由三角形内角和定理可得，由平行线的性质和角平分线的定义可得，，根据即可求解；②当在下方时结合平行线的性质和角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； ②如图，点在下方， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 23．如图1，已知直线，点在直线之间，点分别在直线上，连接． (1)若，，则的度数为___________； (2)若，则与，之间存在什么数量关系？并说明理由； (3)如图2，分别平分相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)．理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和角平分线的性质是解题的关键． （1）过点P作，则根据平行线的性质得出，即可求出的度数； （2）同（1）的步骤求解即可； （3）借助（2）的结论求解即可． 【详解】（1）解：过点P作，   ， ， ， ， ， ∵，， ． 故答案为：； （2）解：过点P作，   ， ， ， ， ， ∵， ； （3）由（2）可知，，， ∵分别平分， ∴， ∴， ， 即． 24．如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且． (1)判断直线与直线是否平行，并说明理由； (2)如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，． ①当点G在点F的右侧时，若，求的度数； ②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并加以证明。 【答案】(1)．理由见解析 (2)①；②或． 【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，掌握角平分线的定义以及平行线的性质解题的关键． （1）根据角平分线的性质及等量代换证明即可． （2）①根据角平分线的定义，利用平角的定义由求出的度数，即可解决问题； ②分为当点在的右侧时及当点在的左侧时，这两种情况进行讨论，根据平行线的性质求，利用平角的定义表示的度数，根据角平分线的定义表示即可解决问题． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图1中， 平分交于点， ， ． ， ． （2）解：①如图2中， ∵EM平分交CD于点M， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②猜想：或； 理由：当点在的右侧时， ， ， ， ，， ， ， ， ． 当点在的左侧时， ， ∴， ，， ， ， ， ． 综上所述，或． 考点04 探究三角的数量关系 25．（1）如图①， ， ，．求的度数． （写出详细的解题步骤）（提示：过点P作直线） 如图②，，点P在射线上运动， ，． （2）当点P在线段上运动时，直接写出，，之间的数量关系为_______________． （3）当点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），直接写出，， 之间的数量关系为____________________________________________________________． 【答案】（1） （2）． （3）或． 【分析】本题主要考查了应用平行线的性质求角之间的关系， 对于（1），作，可得，再根据“两直线平行，同旁内角互补”求出，然后根据得出答案； 对于（2），作，可得，再根据平行线的性质得，然后根据得出答案； 对于（3），分两种情况，仿照（2）解答即可． 【详解】解：（1）过点P作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）． 过点P作， ∵， ∴， ∴． ∴； 故答案为：； （3）如图所示，当点P在之间时， 过点P作， ∵， ∴， ∴． ∴； 当点P在射线上时， 过点P作， ∵， ∴， ∴． ∴. 所以或． 故答案为：或． 26．已知，点是平面内一点． (1)如图1，点在直线，之间，请你求出，，之间的数量关系； (2)如图2，点在直线，的下方，请你求出，，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）过点作，可知，根据两直线平行内错角相等可知，，即可得到，，之间的数量关系； （2）过点作，可知根据平行线的性质可知，，即可得到，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图1，过点作， 因为， 所以， 所以，， 所以； （2）解：如图2，过点作， 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以． 27．已知直线，点，分别在，上，是平面内一点（不在直线，，上），连接，，分，射线，交于点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，，求的度数； (3)当点在直线，之外，且在直线的左侧时，试猜想，和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识．解题的关键在于根据题意确定角度之间的数量关系． （1）利用平行线的性质和角平分线的定义求解； （2）利用平行线的性质和角平分线的定义求解； （3）分点在直线的上方，且在直线的左侧和点在直线的下方，且在直线的左侧，利用平行线的性质和角平分线的定义求解，综合可得结果． 【详解】（1）， ， 又， ， ， ， 平分， ， ． （2），， ， ， ， 平分， ， ， 由（1）知， ， ． （3）如图3，当点在直线的上方，且在直线的左侧时， 猜想：，理由如下： ， ， 由（1）知，， ， ， 平分， ， ， ， ， 如图4，当点在直线的下方，且在直线的左侧时， 猜想：，理由如下： ， ， 由（1）知，， ， ， 平分， ，， ， ， ， 综上可知，． 28．问题情境：如图1，，，，求度数. 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求. (1)按小明的思路，易求得的度数为 度；(直接写出答案) (2)问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系. 【答案】(1)110 (2)，理由见解析 (3)当P在延长线上时，； 当P在延长线上时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出度数，利用，进行求解即可； （2）过点作，易得，得到，进而得到； （3）分P在延长线上，和P在延长线上，两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴. （2）解：，理由如下： 过点作，    ∵， ∴， ∴， ∴. （3）解：如图所示，当P在延长线上时， 过点作， ∵， ∴， ∴， ，   如图所示，当P在延长线上时， 同理可得：，， ． 29．【阅读探究】如图①，已知，、分别是、上的点，点在 、两平行线之间，，，求的度数． 解：过点M向右作，所以． 因为，所以． 所以． 所以． (1)从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图①中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系：_____． (2)如图②，已知，点、分别在直线、上，点在、两平行线之间，求、和之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，在(2)的条件下，作和的平分线、，交于点（交点在两平行线、之间）若，求的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的知识、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质及平行公理的运用． （1）过点作，根据平行公理，得，平行线的性质，内错角相等，，，即可； （2）过点作，根据平行公理，得，平行线的性质，同旁内角互补，则，，即可； （3）过点作，根据平行公理，则，平行线的性质，内错角相等，得，，再根据等量代换，角平分线的定义，，即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）过点作， ∵, ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵、平分和， ∴，， ∴， ∴， 由（2）得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 30．如图，直线，直线与、分别相交于点E、F，．将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点A、C分别在直线、上，，． (1)如图1，直接写出，，之间的数量关系________； (2)的平分线交直线于点G，且． ①如图2，当时，求的值； ②将从图2位置沿射线的方向平移，在平移过程中，请用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)①；②或． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）①根据平行线的性质求解即可；②分两种情况讨论：当点在左侧时和当点在右侧时，根据平行线和角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， （2）解：①，， ， ，， 平分， ， ，即； ②如图，当点在左侧时， ，， ， ， ， ， ， 平分， ； 如图，当点在右侧时， ，， ， ， ， ， ， 平分， ； ， 综上可知，的度数为或． 31．已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、对顶角相等、角平分线等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得； （2）过点作，先根据（1）的结论可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质、平行公理推论可得，由此即可得； （3）过点作，先参考（1）的方法可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，，然后根据代入计算即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图2，过点作， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由对顶角相等得：， 由（2）可知， ， 所以的度数为． 32．在平面直角坐标系中， ，直角三角形的边与x轴分别相交于O，G两点，与直线分别交于E，F两点， (1)将直角三角形如图1位置摆放，如果 则 ． (2)将直角三角形 如图2位置摆放，N 为上一点， ，请写出 与 之间的关系，并说明理由． (3)将直角三角形 如图3位置摆放，若 ，延长交于点Q，点 P 是射线 上一动点，探究 与 的数量关系，请直接写出结论．（题中的所有角都大于 小于） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并添加合适的辅助线是关键． （1）作轴，得到轴，则．进一步得到，即可求出答案； （2）作轴，得到，则． 则． 由即可得到结论； （3）分点 P 在线段上和点 P 在线段的延长线上两种情况，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：如图1，作轴， ∵， ∴轴， ∴轴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． （2）． 理由如下：如图2，作轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）如图3，当点 P 在线段上时，过点P作， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4，当点 P 在线段的延长线上时，过点 P作 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 平行线的证明压轴题分类训练1 （动点求值存在性探究数量关系4种类型32道） 考点01 动点求值问题 考点02 动点存在性问题 考点03 探究两角的数量关系 考点04 探究三角的数量关系 考点01 动点求值问题 1．如图，，定点，分别在直线，上，平行线，之间有一动点． (1)如图1，试问，，满足怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，试问，，满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若，和的角平分线交于点，请直接写出的度数． 2．如图，已知，P是射线AM上一动点（不与点A重合），BC，BD分别平分和，交射线AM于点C，D． (1)求的度数． (2)当点P运动时，与的度数比是否随之发生变化？若不变，请求出这个比；若变化，请找出变化规律． (3)当点P运动到使的位置时，求的度数． 3．已知点均为定点，直线，点为射线上一个动点（点不与点A重合），连接． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)点为直线下方的动点，连接，使得平分， ①如图2，当点在线段上时，连接，若平分，探究与之间的数量关系，并证明； ②如图3，当点在直线的下方运动时（点在射线上），射线平分，点在直线的下方，且满足射线，若，请直接写出的度数． 4．综合与探究： 【问题情境】： （1）如图①，，点，，分别在直线，，上，连接，，当点在直线的左侧时，试说明； 【知识运用】： （2）将图①的点移动到直线的右侧，其他条件不变，如图②．试探究之间的关系，并说明理由； 【综合提升】： （3）如图③，，点，分别在直线，上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连接，．若，直接写出的度数． 5．如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 6．如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 7．如图1，已知直线，点C为射线上一动点，过点C作交于点D，点E在线段上，． (1)写出一个与相等的角____________________（写一个即可）； (2)如图2，点F在线段上，，．求的度数； (3)点F是直线上的一点，，，，在点C的运动过程中（点C与点B不重合，点A与点F不重合），求的度数（结果用表示）． 8．如图，直线，A、N为直线上的点，过点A的直线交于点B，C在线段的延长线上．D，E为直线上的两个动点，D在B的右侧，E在D的右侧，连接，，满足．点M在上，且在点B的左侧． (1)如图1，若，，则的度数为__________； (2)如图2，射线为的角平分线． ①用等式表示与之间的数量关系，并给出证明； ②当时，的度数为__________． 考点02 动点存在性问题 9．如图，A，B分别是两边上的定点，C是射线上的动点，过点C作线段（点D在内部），且，连结，已知，． (1)求的度数． (2)若，求的度数． (3)在点C从点O出发，沿着射线移动的过程中，是否存在点C，能使？若存在，求出的度数，若不存在，请说明理由． 10．如图1，点分别在直线和上，，射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒． (1)①的度数为___________（用的代数式表示）； ②当射线经过点时，此时的度数为____________． (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在转动过程中，若射线与射线交于点，过点作交直线于点，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 11．已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺，且点E，F不能同时落在直线和之间． (1)如图1，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为______； (2)如图2，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，与相交于点M，且所夹锐角为，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，是否存在？若存在，请求出射线与所夹锐角的度数；若不存在，请说明理由． 12．光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有． (1)如图2，已知镜子与镜子互相平行，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角） (3)如图4，直线上有A、C两点，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点、C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，直接写出所有满足条件的时间t． 13．如图，已知直线，，点，在直线上，且满足，平分． (1)求的度数． (2)若左右平移，在平移的过程中： ①求与的比值； ②是否存在某种情况，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 14．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺中，，．    (1)如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，求的度数； (2)如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)如图（3），把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A，C始终在直线为直线b上一点）的上方，若存在，射线与直线a所夹锐角的度数为： ．（直接填空） 15．如图1，，，，M是线段上一点，过点M分别作，，分别交于点E，点F． (1)求的度数； (2)点N为直线上的一个动点，连接． ①如图2，当点N在点A的左侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由； ②在整个运动过程中，是否存在点N，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 16．如图，直线射线，．是射线上一动点，为射线上一点，连接，．作，交直线于点，平分．      (1)若点，，都在点的右侧，______． (2)在(1)的条件下，若，，求和的度数． (3)是否存在点，使？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 考点03 探究两角的数量关系 17．如图，已知，连接，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)请判断与有怎样的数量关系，并说明理由； (2)若于点，求的度数． 18．如图，，交、于点、平分交于点，且平分并交于点平分． (1)当时，则______度． (2)求证：． (3)求与的数量关系． 19．已知：如图（1），直线、被直线所截，． (1)求证：； (2)如图（2），点在，之间的直线上，P、Q分别在直线、上，连接、，且平分平分，则和之间有什么数量关系，请写出你的结论，并说明理由； (3)如图（3），在（2）的条件下，过点作交于点，连接，若平分，求的度数． 20．已知：，一块直角三角板中，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． (1)如图1，若，则___________°； (2)若的平分线交边于点F， ①如图2，当，且时，试说明：； ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 21．已知，直线，A，B，C分别是直线，m，n上的点，连结，，若为锐角，点在的内部． (1)如图（1），若，，则的度数为_____ (2)如图（2），以为边向左侧作，与直线交于点（点在点的左侧），作的平分线，交于点，连结并延长，交直线于点，记与直线的夹角为，．若． ①求与的数量关系是_____． ②求的值． 22．已知射线平分，点C为上任意一点，过点C作直线交射线于点D． (1)如图1，若，则______°； (2)点E是射线上一动点（不与点C，D重合），OF平分交于点F，过点F作交于点G． ①如图2，当点E在线段上时，若，时，求的度数； ②当点E在线段的延长线上时，设，，求出和之间的数量关系． 23．如图1，已知直线，点在直线之间，点分别在直线上，连接． (1)若，，则的度数为___________； (2)若，则与，之间存在什么数量关系？并说明理由； (3)如图2，分别平分相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 24．如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且． (1)判断直线与直线是否平行，并说明理由； (2)如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，． ①当点G在点F的右侧时，若，求的度数； ②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并加以证明。 考点04 探究三角的数量关系 25．（1）如图①， ， ，．求的度数． （写出详细的解题步骤）（提示：过点P作直线） 如图②，，点P在射线上运动， ，． （2）当点P在线段上运动时，直接写出，，之间的数量关系为_______________． （3）当点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），直接写出，， 之间的数量关系为____________________________________________________________． 26．已知，点是平面内一点． (1)如图1，点在直线，之间，请你求出，，之间的数量关系； (2)如图2，点在直线，的下方，请你求出，，之间的数量关系． 27．已知直线，点，分别在，上，是平面内一点（不在直线，，上），连接，，分，射线，交于点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，，求的度数； (3)当点在直线，之外，且在直线的左侧时，试猜想，和之间的数量关系，并说明理由． 28．问题情境：如图1，，，，求度数. 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求. (1)按小明的思路，易求得的度数为 度；(直接写出答案) (2)问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系. 29．【阅读探究】如图①，已知，、分别是、上的点，点在 、两平行线之间，，，求的度数． 解：过点M向右作，所以． 因为，所以． 所以． 所以． (1)从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图①中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系：_____． (2)如图②，已知，点、分别在直线、上，点在、两平行线之间，求、和之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，在(2)的条件下，作和的平分线、，交于点（交点在两平行线、之间）若，求的度数． 30．如图，直线，直线与、分别相交于点E、F，．将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点A、C分别在直线、上，，． (1)如图1，直接写出，，之间的数量关系________； (2)的平分线交直线于点G，且． ①如图2，当时，求的值； ②将从图2位置沿射线的方向平移，在平移过程中，请用含的代数式表示的度数． 31．已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 32．在平面直角坐标系中， ，直角三角形的边与x轴分别相交于O，G两点，与直线分别交于E，F两点， (1)将直角三角形如图1位置摆放，如果 则 ． (2)将直角三角形 如图2位置摆放，N 为上一点， ，请写出 与 之间的关系，并说明理由． (3)将直角三角形 如图3位置摆放，若 ，延长交于点Q，点 P 是射线 上一动点，探究 与 的数量关系，请直接写出结论．（题中的所有角都大于 小于） 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $